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第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时，称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成： ①⇒导体内各点电势相等； ②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=•内S Sq s d E 01ε 导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=•⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布（1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=•内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴ 空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即BAU U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=•内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ，∴ 腔内表面必有感应电荷-q ，。
实心导体静电平衡时电荷分布
在物理学中，实心导体静电平衡时电荷分布是一个重要的概念。
实心导体是指内部没有空洞的导体，通常是一个完全封闭的金属球体或圆柱体。
当一个实心导体处于静电平衡状态时，内部电荷会按照一定的规律分布，这种分布对于导体内部电场的性质和外部电场的影响具有重要意义。
当一个实心导体处于静电平衡时，内部电荷会沿着表面均匀分布。
这是因为在静电平衡条件下，导体内部不存在任何净电荷，所有净电荷都会聚集在导体表面。
这样的分布可以确保导体内部的电场为零，因为内部电荷会互相抵消，不会产生电场。
导体表面的电荷密度是与表面曲率成反比的。
这意味着在一个实心导体球体上，电荷密度在曲率最大的地方会最小，而在曲率最小的地方会最大。
这是由于电荷在导体表面上会受到库仑排斥力的作用，会尽可能远离曲率较大的地方，从而在曲率较小的地方聚集。
实心导体静电平衡时的电荷分布也与导体的形状和大小有关。
在一个圆柱体导体上，电荷会更多地分布在两个端面附近，而在球体上则会更加均匀。
这是因为球体的曲率相对均匀，电荷更容易均匀分布在表面上，而圆柱体的两个端面的曲率更大，电荷会更多地聚集在这些地方。
总的来说，实心导体静电平衡时的电荷分布是一个复杂而有规律的
过程，受到多种因素的影响。
通过研究实心导体的电荷分布规律，可以更好地理解导体内部电场的性质，为静电学和电磁学的研究提供重要参考。
希望通过本文的介绍，读者能对实心导体静电平衡时的电荷分布有更深入的理解。
《大学物理》考试试卷E 及答案解析一、简答题（每题4分，共16分）1. 哪个物理量描写了刚体的转动惯性？并说明它的大小与哪些因素有关？答案: 转动惯量描写了刚体的转动惯性；它的大小与刚体的质量、刚体的质量分布、转动轴的位置有关。
2. 列举静电场及磁场中的高斯定理，并指出静电场、磁场哪个是有源场？ 答案：静电场高斯定理：0ε∑⎰⎰=⋅=Φi q s s d E e ,静电场高斯定理：0==s s d B ϕ, 静电场为有源场。
3. 简述静电平衡条件及静电平衡时导体表面电荷密度与导体表面曲率半径的关系。
答案：导体达到静电平衡时，导体内部的任意处的电场强度为零；导体表面电场强度的方向都与导体面垂直。
或：导体内部场强为零；导体为等势体；净电荷分布在导体的外表面。
达到静电平衡时导体表面电荷密度与导体表面曲率半径成反比。
4. 简述感生电场与静电场的区别。
答案：静电场是由静止电荷激发；电力线为非闭合曲线；电场为散场、有源场、保守力场。
感生电场是由变化的磁场激发的；电力线为闭合曲线；电场为旋场、无源场、非保守力场。
二、单项选择题(每题3分，共24分)1. 一质点沿x 轴运动，其运动方程为()SI t t x 324-=，当t=2s 时，该质点正在（ ）(A)加速 (B)减速 (C)匀速 (D)静止2．对动量和冲量，正确的是（ ）（A ）动量和冲量的方向均与物体运动速度方向相同。
（B ）质点系总动量的改变与内力无关。
（C ）动量是过程量，冲量是状态量。
（D ）质点系动量守恒的必要条件是每个质点所受到的力均为0。
3．对功的概念有以下几种说法正确的是（ ）（A ）保守力作正功时系统内相应的势能增加。
（B ）非保守力也有势能。
（C ）作用力与反作用力大小相等、方向相反，故两者所作的功的代数合必为零。
（D ）质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。
4．下列说法中正确的是（ ）（A ）电势不变的空间，电场强度必为零 （B ）电场强度不变的空间，电势必为零（C ）电场线和等势面可能平行 （D ）电势越大的地方，电场强度也越大。
孤立带电导体的面电荷密度和曲率的关系
1面电荷密度和曲率
电荷密度是指物体表面上产生集聚在一起的电子的空间密度，曲率是指轮廓线的曲率程度，曲率越大表示轮廓越弯曲。
孤立的带电导体的面电荷密度和曲度之间的关系比较复杂，分为两个方面：表面电荷和自发电荷。
表面电荷是指连接到电极上的电荷，自发电荷是指由带电体表面所产生的电荷。
一般来说，如果孤立的带电导体的表面电荷增加，那么它的曲度就会增加，因为表面的静电励就会增大。
而如果孤立的带电导体的自发电荷增加，那么它的曲度也会增加，因为孤立的带电导体表面会产生电场，电场在半径方向上具有静电励作用，使表面的曲率增大。
另外，孤立的带电导体的曲度还与它的形状有关系，比如将一个柱形物体放入水中，它的曲度会变大，因为水的流动会增加它的曲度，而将一个球形物体放入水中，它的曲度也会增加，但是变化不会太大。
总之，孤立带电导体的面电荷密度和它的曲度之间存在复杂的关系，表面电荷增加或者静电励增加，那么曲度就会增加；另外，形状也会影响曲度的变化。
电流与电荷在导体中的分布在日常生活中我们经常听到电流和电荷这两个词，它们与电子和电路有关。
但是，你有没有想过电流和电荷是如何在导体中分布的呢？通过本文，我们将探讨电流和电荷在导体中的分布原理。
首先，让我们先了解电流和电荷的概念。
简单来说，电流是电荷的流动，即单位时间内通过某一点的电荷量。
而电荷则是物质带有的电性属性，分为正电荷和负电荷。
正电荷指的是带有过量正电子的物质，而负电荷指的是带有过量负电子的物质。
导体是电流的良好传导介质，通常是由金属构成的。
金属中的自由电子是负电荷，它们在金属晶格中自由运动并形成电流。
因此，导体中的电荷主要分布在导体表面和靠近表面的区域。
当一个电源连接到导体两端时，电源提供了电场，使电荷在导体中运动。
在连接电源的瞬间，电源的电场会迅速传播到导体的内部。
由于导体中的电子可以自由移动，它们会沿着电场的方向流动，形成电流。
然而，电荷在导体中的分布并不是均匀的。
在导体内部，电荷会经历均匀分布和非均匀分布两种情况。
首先，我们来看均匀分布的情况。
当导体处于静止状态时，电荷在导体内部均匀分布。
这是因为导体的电子处于热运动状态，它们会在导体中自由运动，最终形成均匀的电荷分布。
当外部电场不存在时，导体内部的电荷分布保持稳定。
然而，当导体处于外部电场作用下时，电荷分布将变得非均匀。
外部电场会对导体中的电荷施加力，电荷将在导体内部重新分布，使导体表面附近的电荷密度更高。
这种情况下，电子将在导体内部产生运动，直到达到新的平衡分布。
除了电场作用外，导体的形状、尺寸和电导率也会影响电荷在导体内部的分布。
例如，当导体的形状是球形或圆筒形时，电荷会更密集地分布在导体表面，而导体内部的电荷密度较低。
这是因为导体表面的曲率较大，电荷更容易在这些区域聚集。
此外，电荷在导体中的分布还受到电流的影响。
当导体中存在电流时，电流的流向也会影响电荷的分布。
在直流电路中，电荷会沿着电流方向流动，在导体中形成一个连续的电流通路。
导体表面电荷分布与导体表面曲率的关系
（1）静电平衡条件下导体表面的电荷分布是一个复杂的静电学问题。
它不仅与导体表面的曲率有关。
而且与导体本身的形状、周围导体和介质的分布及带电状态有关。
一般情况下对孤立导体它也不是与曲率有简单正比关系。
下面我们通过带电旋转椭球形导体的例子加以说明。
椭球面的数学表达式是比较简单的，当它的三个半轴相等时，它就变成球；细长的椭圆绕长轴旋转而成的椭球就相当于细长棒；细长椭圆绕短铀旋转时形成的椭球就相当于平板，因此研究椭球带电的电荷分布，有较普遍的意义。
无论什么形状的导体决定电荷平衡分布的唯—条件是导体内部各点的场强必须为零。
凡是能满足这个条件的分布，便是实际存在的分布。
根据这个条件，以及静电场的基本性质求解椭球上的电荷分布，是一个典型的电磁学问题要用到较复杂的数学工具，本书不严格处理这一问题。
这里用一个不够严格的方法导出其结果。
假没我们考虑的是一个旋转椭球如图9.8所示，它有两个焦点O1和O2。
表面电荷的分布使椭球内任一点的合场强为零。
一般说来，这是表面所有的电荷综合抵消的结果。
但是对于焦点O1和O2，很巧，这种抵消是一对一的。
过焦点O1作一个小立体角，它在椭球表面上切出两块表面 d S和 d S2，严格的理论证明，d S上的电荷在O1产生的场强与O2上的电荷在O1产生的场强恰恰抵消，因此整个椭球面上的电荷在O1产生的场强之和为零。
循着这一途径，便可找出表面电荷分布的规律。
设 d S处电荷密度为σ1，距O1的距离为r1，d S上的电量 d q1 = d Sσ1，这部分电荷在O1产生的场强 d E1应为：
而 d S = d S'/cosα1。
α1是r1与 d S2表面法线n1间的夹角。
同时
， dΩ1是 d S1对O1所张的立体角。
因此有：
用同样的方法，可以得到 d S2在O1产生的场强 d E2为：
α2是 d r2与 d S2表面法线n2间的夹角。
d S2对O1所张的立体角仍然为 dΩ1。
由于在焦点上对应电荷产生的场相互抵消，故有 d E1 = d E2，从而得到：
，也就是说：σ∝
这就是椭球表面电荷分布的具体规律。
运用微积分和基本的矢量分析，由焦点为原点的椭圆方程：
这里P是焦点参数，δ是椭圆偏心率。
可以求出r, φ处的 cosα为：
从而可以求出任何两点(即φ1和φ2 )的表面电荷密度之比。
图9.9中，如在椭圆最尖锐的一端A，φA = 0, cosαA = 1。
在最平的一点B，
，可见。
而在A与B之间的其
它的点，cosα的值介于1与之间，电荷的面密度是逐渐由1向
过渡的。
当δ趋向于1，椭球逐渐向细长杆过渡；当δ很接近于1时，焦点
O1和O2趋向两瑞，椭球上很大一部分面积的，因而 cosα≈ 0，故电荷分布集中于杆的两端很小的区域内，杆身绝大部分基本上
没有电荷分布。
搞清楚了椭球上电荷分布的具体规律以后，再来看面电荷密
度与表面曲率的关系。
定性地看一下，可以说，表面曲率大
的地方，α角小，cosα的值大；表面曲率小的地方，α角
大，cosα的值小。
因此曲率大的地方电荷密度大于曲率小
的地方，这是正确的。
但σ是不是一定与表面曲率K成
正比呢? 这就要用数学方法把椭圆各处的曲率求出来。
按平
面曲线曲率的定义：
d l是椭圆上的一段弧长，经过计算可知K并不简单地与 cosα成正比，因此，α也不是简单地与K成正比，它们之间是一个很复杂的函数关系。
曲率大的地方电荷密度大只能说是一个大致的、定性的规律，不能简单地依据两处的曲率来比较它们的电荷密度。
（2）狐立导体表面能否出现电荷异号面一个孤立导体的表面会不会出现异号的面电荷分布呢? 例如，如图9.10所示导体中凹陷进去的地方的曲率为负值，会不会出现异号面荷分布。
结论是不可能。
对此可以借助电力线用反证法证明。
设图中导体带有净正电荷，假如在凹陷处出现负面电荷分布，则该处要会聚电力线。
会聚于凹陷处的电力线只有两个可能的来源：一种可能是来自无穷远处，一种可能来自导体上的正电荷。
假设无穷远处为零电势点，对来自无穷远处的电力线，则沿此电力线求场强的线积分会得出导体的电势是负值，这与沿导体表面带正电处发出的电力线到无穷远处的线积分应得导体的电势是正值的结论产生矛盾(静电平衡时导体表面应为—等势面)；如果会聚于凹陷处的电力线来自导体上的正电荷，则沿此电力线的场强线积分将不为零，这与导体为一等势面的条件相矛盾。
因此孤立导体上不可能出现异号的面电荷分布。
