导体平面上感应电荷及空间电场分布

导体中的电场分布与电势分布导体是一种能够自由传导电荷的物质，当导体处于电场中时，会产生电场分布和电势分布。

本文将探讨导体中的电场分布与电势分布的特点和影响因素。

首先，导体中的电场分布是指导体内部电场的分布情况。

由于导体可以自由传导电荷，当外界施加电场时，电荷会在导体内部重新分布，使得导体内部电场为零。

这是因为电荷在导体内部自由移动，会产生一个与外部电场大小相等、方向相反的感应电场，从而抵消外部电场的作用。

因此，在导体内部，电场分布为零。

其次，导体中的电势分布是指导体内部电势的分布情况。

电势是描述电场能量分布的物理量，与电场强度有关。

根据高斯定律，导体内部电场为零，因此导体内部的电势分布是均匀的。

导体表面的电势与外部电势相等，并且导体表面的电势是恒定的。

这是因为导体表面上的电荷会在表面上聚集，使得表面电势相等且保持恒定。

而导体内部电势的分布则取决于导体的形状和电荷分布情况。

例如，如果导体是一个球体，那么球内部的电势分布是径向对称的，电势随着距离球心的增加而减小。

导体中的电场分布和电势分布对导体内部的电荷分布产生了影响。

由于导体内部电场为零，电荷会在导体内部自由移动，使得电荷分布均匀。

这也意味着导体内部的电势分布是均匀的。

当导体处于电场中时，电荷会在导体内部重新分布，直到导体内部电势均匀。

这种重新分布的过程称为静电平衡。

在静电平衡状态下，导体内部电荷分布是稳定的，并且导体内部的电场和电势分布保持不变。

此外，导体的形状和电荷分布情况也会影响导体中的电场分布和电势分布。

例如，如果导体是一个封闭的金属球壳，那么球壳内部的电场分布和电势分布是均匀的。

这是因为金属球壳内部的电荷会在球壳表面均匀分布，从而产生一个与外部电场大小相等、方向相反的感应电场。

这个感应电场会使得球壳内部的电场为零，并且球壳内部的电势分布是均匀的。

总之，导体中的电场分布和电势分布是由导体内部电荷的重新分布所决定的。

导体内部的电场分布为零，导体表面的电势恒定且与外部电势相等。

点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布
关于点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布，通过观察我们可以发现，当放在一个场中时，导体球体上的感应电荷分布是经过一定的分布规律的，主要表现在其外部与它的位置有关，这是因为电场的数量与强度本身是一定的。

首先，点电荷电场中的感应电荷分布在外部的分布保持的对称性是最重要的，即对于导体球体来说，其外部的感应电荷以某种以中心为，可以分成几部分进行分析，相互之间有一定的规律。

根据电磁学定律，外部感应电荷强度和电荷集中于球体内部的强度成正比，这也就意味着在一个给定的电荷电场中，外部感应电荷强度是一定的，而且与位置有关，电荷的场强度也是一定的。

此外，点电荷电场中的感应电荷分布还有另一个重要的特性，即它的分布具有分步趨近性，这表明当电荷在空间中运动时，它的感应电荷将以分步趨近形式逐渐衰减，大小与距离有关，这也就有助于说明电荷在感应电荷分布过程中对空间附近电势场的影响。

而且，由于导体球体表面上的电荷数量是一定的（根据电磁学定律要求），所以在点电荷电场中，感应电荷的分布也是一定的。

所以，我们很容易得出这样的结论，即在点电荷电场中，导体球面上的感应电荷分布以外部与它的位置有关，但是强度是固定的，并且有一定的对称性，而且它的分布具有分步趨近性。

第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z aC =5x a -2za求：⑴矢量A 的单位矢量A a ； ⑵矢量A 和B 的夹角AB θ； ⑶A ·B 和A ⨯B⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ；⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C解：⑴A a =A A=（x a +2y a -3z a ） ⑵cos AB θ=A ·B /A BAB θ=135.5o⑶A ·B =-11, A ⨯B =-10x a -y a -4z a ⑷A ·（B ⨯C ）=-42（A ⨯B ）·C =-42⑸A ⨯（B ⨯C ）=55x a -44y a -11z a（A ⨯B ）⨯C =2x a -40y a +5z a1.3有一个二维矢量场F(r)=x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ∇=x a x ψ∂∂+y a y ψ∂∂+z a zψ∂∂=12x 3y x a +182x 2y y a +ze z a 得ψ∇=-24x a +72y a +z a1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x)⑵验证散度定理。

第九章 静电场中的导体和电介质9-1 把一厚度为d 的无限大金属板置于电场强度为0E 的匀强电场中，0E 与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度．分析 对于有导体存在的静电场问题，首先由静电平衡条件分析放入静电场后导体上电荷的重新分布情况，再计算空间电场和电势的分布．本题中，将金属板放入均匀电场后，由于静电感应，平板两面带上等值异号感应电荷．忽略边缘效应，两带电面可视为平行的无限大均匀带电平面．解 设平板两表面的感应电荷面密度分别为σ'和σ'-，如图9-1所示．由例题8-7结果知，带感应电荷的两表面视为带等量异号电荷的无限大平行平面，在导体中产生的场强为0εσ'='E ，方向与0E 相反，由场强叠加原理，平板中任一点的总场强为00εσ'-='-=E E E E 根据静电平衡条件，金属板中场强0=E ，代入上式得000='-εσE 则 00εσE ='， 00εσE -='- 结果与板的厚度无关．9-2 一金属球壳的内外半径分别为R 1和R 2，在球壳内距球心为d 处有一电荷量为q 的点电荷，（1）试描述此时电荷分布情况及球心O 处电势；（2）将球壳接地后，以上问题的答案；（3）如原来球壳所带电荷量为Q ，（1）、（2）的答案如何改变．分析 当导体内达到静电平衡后，应用高斯定理可以确定导体上电荷重新分布的情况，然后用电势叠加原理求电势．解 （1）按照静电平衡条件，导体内部0=E ，在球壳内外表面间作同心高斯球面，应用高斯定理，可知球壳内表面上应有q -的感应电荷，为非均匀分布，如图9-2所示．根据电荷守恒定律和高斯定理，球壳外表面上有+q 的感应电荷，且均匀分布．点电荷q 在O 点产生的电势为dq V 0=πε41球壳内外表面上的感应电荷q -和+q 无论分布情况如何，到球心距离分别为R 1和R 2，电势叠加原理表达式为标量求和，所以在O 点产生的电势分别为124R q V 0-=πε 234R q V 0=πεO 点电势为 21321444R qR q d q V V V V 000+-=++=πεπεπε111(421R R d q +-=πε （2）将球壳接地后，外球面上的感应电荷消失，球面上电荷分布不变，得)11(4121R d qV V V -=+=0πε （3）如果原来球壳带电量为Q ，达静电平衡后外球面上电荷Q +q 均匀分布，内球面上电荷分布不变，得2213214)111(4R Q R R d q V V V V 00++-=++=πεπε 球壳接地后，结果与（2）相同．9-3 一无限长圆柱形导体半径为R a ，单位长度带有电荷量λ1，其外有一共轴的无限长导体圆筒，内外半径为分为R b 和R c ，单位长度带有电荷量λ2，求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2）a R r <，b c R r R <<，c b R r R <<，c R r >四个区域的电场强度．分析 静电平衡条件下，在圆筒导体内场强为零，用高斯定理和电荷守恒定律可求出感应电荷的分布．解 （1）如图9-3所示，在圆筒形导体内作半径为r ，高为单位长的同轴圆柱形高斯面S ，设导体圆筒内外表面单位长的感应电荷分别为λ'-和λ'，由静电平衡条件知导体内0=E , 故有⎰=⋅S E d 0)(1110='-=∑λλεεq即得半径为R b 的圆筒内表面单位长上的感应电荷为-λ1．由电荷守恒定律知，半径为R c 的圆筒外表面上单位长的感应电荷应为λ1，加上原有电荷量λ2，单位长上总带电量为12λλ+．（2）电荷重新分布的结果形成三个同轴的无限长带电圆柱面如图9-3，由于电荷分布具有轴对称性的，产生的电场也是轴对称的，用高斯定理可求出a R r <时，0=Eb a R r R <<时，rE 0=πελ21c b R r R <<时， 0=E c R r >时， rE 0212πελλ+=9-4 证明：两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A 和B 相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小相等，符号相同，如果两金属板的面积同为100cm 2，电荷量分别为C 1068A -⨯=Q 和C 1048B -⨯=Q ，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电荷面密度．分析 根据静电平衡条件，一切净电荷都分布在导体表面，本题中的电场空间可视为四个无限大均匀带电平行平面产生的电场的叠加，金属板A 、B 内任意点场强为零．由电荷守恒定律可以建立各表面的电荷面密度与两金属板的总电荷量之间的关系．解 设A 、B 两板的四个表面上的电荷面密度（先假定为正）分别为σ1、σ2、σ3和σ4，如图9-4所示．设向右为正向，由无限大均匀带电平面的场强公式和场强叠加原理，考虑到金属板A 、B 内任意点场强为零，得 金属板A 内0222243201=---000εσεσεσεσ 金属板B 内 0222243201=-++000εσεσεσεσ 解得32σσ-=， 41=σσ又由电荷守恒定律得 A Q S =+21)(σσ，B Q S =+)(43σσ 联立解得 26BA C/m 105-41⨯=+==SQ Q σσ 261A2C/m 101S-⨯=-=σσQ 263C/m 101-2⨯-=-=σσ9-5 三个平行金属板A 、B 和C ，面积都是200cm 2，A 、B 相距4.0mm ，A 、C 相距2.0mm ，B 、C 两板都接地，如图9-5所示，如果A 板带正电C 100.37-⨯，略去边缘效应，（1）求B 板和C 板上感应电荷各为多少？（2）以地为电势零点，求A 板的电势．分析 由静电平衡条件，A 、B 、C 板内各点的场强均为零，A 板上电荷分布在两个表面上，因B 、C 两板均接地，感应电荷应分布在内侧表面上．解 （1）设A 板1、2两面上带电量分别为q 1和q 2，B 、C 两板与A 相对的两内侧表面3、4 上的感应电荷分别为q 1’和q 2’，如图9-5所示．作侧面与平板垂直的高斯面1S ，两端面处E =0，忽略边缘效应，侧面无电场线穿过，由高斯定理0)(11d 110=+'==⋅0⎰∑S S q S S q q ∆∆εεS E 得11q q -=' 同理可得22q q -='．AB 板间和AC 板间为匀强电场，场强分别为S q E 0=ε11 Sq E 0=ε22又已知AC AB V V =，即2211d E d E =因 C 100.3721-⨯==+q q q 由以上各式，得B 、C 两板上的感应电荷分别为C 100.13711-⨯-=-=-='qq q C 100.227122-⨯-=-=-='q q q （2）取地电势为零，A 板电势即为A 、B 间电势差V 103.231111⨯====0Sd q d E V V AB A ε 9-6 半径为cm 0.11=R 的导体球所带电荷量为C 100.110-⨯=q ，球外有一个内外半径分别为cm 0.32=R 和cm 0.43=R 的同心导体球壳，壳上带有电荷量C 111110-⨯=Q ，求：（1）两球的电势；（2）用导线把两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点．）分析 根据静电平衡条件可以确定感应电荷的分布，用导线连接的导体电势相等，外球接地后电势为零．解 （1）根据静电平衡条件，导体球壳内表面感应电荷为-q ，外表面感应电荷为q ，原有电荷量Q ．由电势叠加原理，导体球电势为321144R Q q R q R q V 000++-4=πεπεπεV 103.3)(412321⨯=++-=0R Qq R q R q πε导体球壳的电势为V 107.244442333302⨯=+=++-=000R qQ R q Q R q R q V πεπεπεπε（2）球壳和球用导线相连后成为等势体，电势等于半径为R 3带电量为Q +q 的均匀带电球面的电势，以无穷远为电势零点，得V 107.24232⨯=+=0R qQ V πε（3）外球接地后，只乘下内表面的电荷-q ，由电势叠加原理内球电势为V 6044211=-='00R q R q V πεπε外球壳接地与地等势，即02='V另外，求V 1’时还可以用内球产生的电场的线积分计算，即V 60)11(4d 4212221=-=='00⎰R R q r r q V R R πεπε 9-7 半径为R 的金属球离地面很远，并用细导线与地相连，在与球心的距离为R D 3=处有一点电荷q +，试求金属球上的感应电荷．分析 由于导体球接地，其表面上的感应正电荷通过导线与地球内负电荷中和，只剩下负感应电荷在金属球表面不均匀地分布，如图9-7所示．接地后，导体球上各点电势均为零，球心O点的电势应等于点电荷在该点电势与金属球表面感应负电荷在该点电势的代数和．解 设金属球上感应电荷为q '，在金属球表面不均匀地分布，但这些电荷到O 点距离相等，电势叠加后得R q V 0'=πε42点电荷q 在O 点的电势为 R q V 3410=πε043421='+=+=00Rq Rq V V V πεπε得感应电量为 3qq -='由此可以推证，当nR D =时， nqq -='9-8 如图9-8所示，三个“无限长”的同轴导体圆柱面A 、B 和C ，半径分别为A R 、B R 、C R ，圆柱面B 上带电荷，A 和C 都接地，求：B 的内表面单位长度电荷量1λ，外表面单位长度电荷量2λ之比值21/λλ．分析 本题与题9-5的解题思路相似．解 在导体B 内作单位长圆柱面形高斯面，可以说明A 面单位长度上感应电荷为1λ-．同理，可说明C 面单位长度上感应电荷为2λ-．由高斯定理可知场强分布为B A R r R <<时，rE 012=πελ1，方向沿径向由B 指向A ． C B R r R <<时，rE 02=πελ22，方向沿径向由B 指向C ． BA 间电势差BAV ⎰⋅=A B d 2R R r E ⎰00=-=AB A B 11ln 22R R R R r drπελπελBC 间电势差 BC 02BCln 2R R V πελ=B 为等势体，A 、C 接地，BC BA V V =，从而)/ln()/ln(A B B C 21R R R R =λλ9-9 半径分别为1R 和)(122R R R >的两个同心导体薄球壳，电荷量分别为1Q 和2Q ，今将内球壳用细导线与远处的半径为r 的导体球相联，导体球原来不带电，并假设导线上无电荷分布，试求相连后，导体球所带电荷量q ．分析 带电的内球壳与导体球用导线相连后，一部分电荷通过导线转移到导体球表面上．两者相距甚远，可以认为两球壳与球的电场互不影响，已假设导线上无电荷分布，利用内球壳与远处导体球电势相等建立方程求解．解 因两球壳与球的电场互不影响，导体球电势为214r q V 0=πε假设导线上无电荷分布，则内球壳上电荷量变为q Q -1，由电势叠加原理，内球壳的电势为2211244R Q R q Q V 00+-=πεπε内球壳与远处导体球电势相等，即21V V =2211444R Q R q Q r q000+-=πεπεπε 解得)()(121221r R R Q R Q R r q ++=9-10 地球表面的电场强度为150N/C ，方向垂直指向地面，若把地球视为导体，试求地球表面的电荷面密度和地球带的总电荷量．分析 由于地球表面的电场强度方向垂直指向地面，可知地球带负电，将地球视为导体，在静电平衡状态下，电荷分布在表面上．解 设地球表面的电荷面密度为σ，表面附近的场强0εσ=E ，则 292120C/m 1033.1C/m )1085.8150(--⨯-=⨯⨯-==εσE地球半径m 1037.66⨯≈R ，地球带的总电荷量为kC 680C 108.6C 41033.14529-=⨯-=10⨯6.37⨯⨯⨯-==12-2ππσR q9-11 设有一孤立导体球，半径为R .，（1）试求其在真空中的电容表示式；（2）若把地球视为m 1037.66⨯=R 的导体球，它的电容量多大？（3）欲使地球的电势改变1V ，需使其所带电荷量改变多少？解 （1）将孤立导体球视为与无穷远处的同心导体球面组成的球形电容器，利用球形电容器电容表达式，（9-4）式给出孤立导体球的电容R VQC 0==πε4． （2）地球电容F 107F 1037.6446--12⨯=⨯⨯10⨯8.85⨯=πC（3）欲使地球电势改变1伏特，需使地球电量的改变为C 1071107ΔΔ44--⨯=⨯⨯==V C Q这个值很大，所以地球带电量的日常变化不会引起地球电势发生明显的改变，这就是通常可以选取地球作为电势零点的原因．9-12 已知空气的击穿电场强度为V/m 1036⨯，求处于空气中一个半径为1m 的导体球最多能带多少电荷及能达到的最高电势．分析 在带电导体球周围的空气形成一种绝缘介质包围着导体球，当导体球产生的电场足够强时，会使其周围的空气发生电离而成为导体，致使带电导体球放电，通常称为空气被击穿．因均匀带电导体球面的电场强度和电势与带电量成正比，为了不击穿周围的空气，带电导体球所带电量要受到限制．解 由题意击穿电场强度V /m 1036max ⨯=E而 2maxmax 4RQ E 0=πε C 103.3C 11085.841034421262max max --0⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==ππεR E Q最高电势为 V 103446max 2max max max ⨯====00RE R R E C Q V πεπε或 V 103V 14103.3464max max ⨯=⨯10⨯8.85⨯⨯==12--0ππεR Q V9-13 收音机里的可变电容器如图9-13（a ）所示，其中共有n 块金属片，相邻两片的距离均为d ，奇数片联在一起固定不动（叫定片），偶数片联在一起可一同转动（叫动片），每片的形状如图9-13（b ）所示，求当动片转到使两组片重叠部分的角度为θ时，电容器的电容．分析 除了最外侧的两片外，每块金属片的两个表面分别与相邻的金属片表面构成一个电容器，如图9-13（c ）所示，所以n 块金属片如此连接等效于（1-n ）个平行板电容器并联．当两组片重叠部分的角度为θ时，每个电容器有效极板面积为)(θS ，因此电容器的等效电容是θ的函数．收音机调频的电容器就是根据这个原理设计的．解 当两组片重叠部分的角度为θ时，每个电容器有效极板面积为)(3602212-︒=r r S ππθ（n -1）个极板面积为S ，板间距为d 的平行板电容并联时的等效电容为dr r n d Sn C ⋅︒)-(-=-=0360)1()1(21220θπεε式中θ以度计．9-14 半径都为a 的两根平行长直导线相距为)(a d d >>.（1）设两导线每单位长度上分别带电λ+和λ-，求两导线的电势差；（2）求此导线组每单位长度的电容．分析 因a d >>，可设两导线的电场互不影响，由场强叠加原理可求出两导线间的场强分布，再用场强与电势的积分关系求两导线间电势差，由电容器电容的定义即可求出单位长导线组的等效电容．解 作两导线组合的截面图，以带正电导线轴心为原点建立坐标系如图9-14所示．不难看出，正负电荷在P 点的场强均沿r 轴正向，矢量叠加简化为标量和-11()(2rd r r d r E E E +2=-2+=+=000-+πελπελπελ 两导线间电势差为=-+V r E ad a d ⋅⎰-⎰-0-+=a d a r rd r d 11(2πελa ad -=0ln πελ 由电容器电容的定义，导线单位长电容为aad V C -==-+lnπελ9-15 有两个半径分别为1R 和2R 的导体球放在真空中，两球表面相距为d ，已知1R d >>和2R d >>，试求两导体构成的电容器的电容.分析 按题意 2R d >>，可认为当两导体球分别带电Q +和Q -时，彼此电场互不影响，即各球面上电荷分布仍是均匀的，由场强叠加原理可求出两球球心连线上任一点的场，用与上题相似的方法可以求出两球电势差和两球构成的电容器电容．解 以大球球心为原点，建立如图9-15所示的坐标系，在坐标为r 处的P 点（在连心线上），两球产生的电场均沿r 轴正向，得2212)(44r d R R Qr Q E E E -+++=+=00-+πεπε两带电导体球间电势差为-+V ⎰+⋅=dR R r E 11d ⎰+0-+++=dR R r r d R R r Q 112212d ])(11[4πε)1111(42121R d R d R R Q +-+-+=πε 考虑到1R d >>，2R d >>，可将电势近似表示为)211(421dR R Q V -+=-+πε 此两导体球构成的电容器电容为dR V Q C 21R 421-+1==0-+πε9-16 两只电容器F 81μ=C ，F 22μ=C ，分别把它们充电到1000V ，然后将它们反接，如图9-16所示，求此时两极间电势差．分析 并联电容极板间电压相同，因两电容器电容不等，则反接前两电容器带的电量必定不等．反接后，相连的极板上正负电荷中和，可以计算出中和后电荷量的代数和及并联电容器的等效电容C ，从而求出电势差．解 反接前，设1C 和2C 带电量分别为1Q 和2Q ，充电电压V 10000=U ，则011U C Q = 022U C Q =反接后，正负电荷中和，中和后总电量为21Q Q Q -=，并联等效电容 21C C C +=，则并联电容器两板间电势差为V 600V 1021081000)102108()(666621021=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+-==----C C U C C C Q U 9-17 如图9-17所示，F 0.5,F 0.5,F 10321μμμ===C C C ，求：（1）AB 间的电容；（2）在AB 间加上100V 电压时，求每一个电容器上的电荷量和电压；（3）如果C 1被击穿，问C 3上的电荷量和电压各是多少？分析 并联电容器极板电势相等，串联电容器极板上电荷量相等，总电压等于各电容器上电压之和．当1C 上电压超过1C 的额定电压，1C 将被击穿，1C 支路即短路，全部电压就加在3C 上，如超过3C 的额定电压，3C 将被击穿，A 、B 间就发生短路．所以，在设计电容器组合电路时，除应计算等效电容外，还应考虑分配到每个电容器上的电压是否超过所选电容器的额定电压．解 （1）1C 和2C 并联电容为21C C C +='，再与3C 串联后，等效电容为F 75.333μ='+'=C C C C C （2）等效电容所带电量为CU Q =，串联的电容所带电量相等C 1075.343-⨯===CU Q QV 75333==C Q U V 25221121==='==C Q C Q C Q U U又因 Q Q Q =+21可解得 C 105.241-⨯=QC 1025.142-⨯=Q（3）如果C 1被击穿，AB 间电压就加在C 3上，即V 1003==U U则 C 1054333-⨯==U C Q9-18 平板电容器，两极间距离为1.5cm ，外加电压39kV ，若空气的击穿电场强度为30kV/cm ，问此时电容器是否会被击穿？现将一厚度为0.3cm 的玻璃插入电容器并与两板平行，若玻璃的相对电容率为7，击穿电场强度为100kV/cm ，问此时电容器是否会被击穿？结果与玻璃片的位置有无关系？分析 加玻璃片后，电场被分成两部分，应分别计算出空气和玻璃中的电场强度，再判断是否有哪种介质中的场强超过了其击穿场强．可以证明结果与玻璃板的位置无关．解 未加玻璃前平板电容器内场强为kV/cm 30kV/cm 26V/cm 5.139<===d U E 因其量值小于空气的击穿电场强度，电容器不会被击穿．加玻璃后，设电容器极板的电荷面密度为σ，平行板电容器中电位移σ=D ．设玻璃和空气中场强分别为1E 和2E ，则有r 01εεσε==DE 002εσε==D E玻璃厚为d 1，则空气层厚为d - d 1，得U d d E d E =-+)(1211由以上各式得kV /cm 48.4)(r111=-+=εd d d UE30kV /cm kV /cm 4.31)(r11r2>=-+=εεd d d U E即空气部分首先被击穿，然后全部电压加在玻璃板上，致使玻璃中场强为kV /cm 100kV /cm 1303.03911>==='d U E 玻璃部分也会被击穿．9-19一平板电容器极板面积为S ，两板间距离为d ，其间充以相对电容率分别为r1ε、r2ε的两种均匀介质，每种介质各占一半体积，若忽略边缘效应，（1）与两种不同介质相对的两部分极板所带电荷面密度是否相等？如果不相等，求：21/σσ=？（2）试证此电容器的电容为⎪⎭⎫⎝⎛+=2210r r d S C εεε 分析 忽略边缘效应，电容器中的电场可视为无限大平行平面间的电场，从而可以确定两种不同介质中场强与极板电势差的关系，以及与两部分极板上的电荷面密度的关系，从而可知极板上的总电荷量．另一种思路是将充入两种介质后的电容器视为由两个电容器并联而成，直接应用并联电容器的计算公式．解1 （1）设电容器端电压为U ，两种介质中场强分别为E 1和E 2，由充满均匀介质的平行板电容器的场强与电压的关系可得dUE E ==21 （1）设1σ、2σ分别为两种不同介质对应部分极板上的电荷面密度，忽略边缘效应，电容器中的电场可视为无限大平行平面间的电场，则有r1011εεσ=E r2022εεσ=E （2） 代入(1)式可得 r2r121εεσσ=即两部分极板所带电荷面密度不相等．由（1）和（2）式可得极板上的总电荷量为)2()(2r2r1021εεεσσ+=+=d SU SQ 由电容器定义得 )2(210r r d S U Q C εεε+==解2 由并联电容器公式求总电容)2(22210201021r r r r d S d S d S C C C εεεεεεε+=+=+= 可见第二种方法计算简单，用第一种方法可对物理过程、电场电荷分布有更明确的概念．另外在第一种方法中亦可用介质中的高斯定理求解．9-20 一球形电容器，在外球壳的半径R 和内外导体间的电势差U 维持恒定的条件下，内球半径R '为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？并求这个最小电场强度的值．分析 导体表面附近的场强与电荷面密度成正比，而当极板间电势差恒定时，极板所带电荷量取决于电容C ，电容器的电容由电介质性质和几何因素决定，根据这些关系可以确定内球半径对内球表面附近电场强度的影响．解 球形电容器电容为R R R R C '-'=πε4 极板上带电量为RR UR R CU q '-'==πε4当外球壳的半径R 和极板间电势差U 恒定时，q 是内球半径R '的函数．内球表面附近的场强大小为)(42R R R RUR q E '-'='==πεεσ 即E 也是R '的函数．欲求场强E 的最小值，令0])(2[d d 22='-'-'='R R R RR RU R E 得 2RR =' 并有2R R ='时，0d d 22>'R E ，即2RR ='时，场强有极小值，且 RUE 4min =9-21 图9-21为水蒸气分子O H 2中氧氢原子核及核外电子云示意图．由于分子的正负电荷中心不重合，故其为有极分子，电矩m C 102.630⋅⨯=-p ．（1）水分子有10个正电荷及10个负电荷，试求正负电荷中心之距d=?（2）如将水蒸气置于N/C 105.14⨯=E 的匀强电场中，求其可能受到的最大力矩？（3）欲使电矩与外场平行反向的水分子转到外场方向（转向极化），问电场力作功多少？这功的大小为室温（300K ）水分子的平均平动动能kT 23的多少分之一？在室温下实现水分子的转向极化，外加电场强度应该多大？分析 由电矩qd p =及已知的水分子电量可计算正负电荷中心之距d ．由电偶极子在外场中受的力矩M E p ⨯=，θsin pE M =，可知，当p 与E 正交时力矩最大.当电矩与外场平行反向)180(︒=θ时，电场力的力矩作功将使θ减小，最后0=θ，注意到在此过程中0d <θ.如果这个功与室温下水分子的平均平动动能kT 23相比较是微不足道的，那么要使水分子在常温下实现极化，外电场作的功至少要等于平均平动动能才能克服热运动的干扰，这就要求外电场足够强．本题的目的在于启发在实际问题中综合各种物理因素的分析方法和数量级分析的方法．解 （1）由题意，水分子正负电荷中心不重合，形成一个电偶极子，电量 e q 10=， ∴ 电矩大小d e qd p )10(==正负电荷中心之距m 109.3106.110102.610121930---⨯=⨯⨯⨯==e p d 题9-21图中，OH 键距为m 10958.010-⨯，d 为这个距离的4%.（2）由电场力作用于电偶极子的力矩M E p ⨯=，力矩大小为θsin PE M =，︒=90θ，M 达极大.m N 103.9105.1102.626430max ⋅⨯=⨯⨯⨯==--PE M（3）力矩作功为⎰=θd M W ，本题中，当转向极化进行时，力矩作正功但0,<θd∴⎰︒-⨯==-=18025109.12d sin J PE PE W θθ 而T =300K 时，水分子的平均平动动能J kT k 2123102.63001038.12323--⨯=⨯⨯⨯==ε32630=Wkε可见在这样大小的外电场中，水分子的转向极化将被分子的热运动干扰，要实现转向极化，使︒=180θ的水分子也转到外电场的方向上 ，电场力作的功至少要等于分子热运动的平均平动动能k ε，从而外场场强值至少要达到N/C 105102.62102.62283021⨯=⨯⨯⨯=='='--p p W E k ε 9-22 平板电容器两级板相距3.0 cm ，其间平行地放置一层0.2=r ε的介质，其位置和厚度如图9-22(a)所示，已知A 板带负电、B 板带正电，极板上电荷面密度为3100C/m 1085.8-⨯=σ，略去边缘效应，求：（1）极板间各区域的D 、E ；（2）极板间距A 极1cm 、2cm 、3cm 处的电势（设A 板电势为零）；（3）绘出x D -、x E -、x U -曲线；（4）介质表面的极化电荷面密度．解 （1）作如图9-22(a)所示的高斯面1S 和2S ，由介质中的高斯定理可以证明各区域D 相等，得2100c/m 1085.8-⨯==σD介质外场强 V /m 1000==εDE（3）x D -，x E -，x V -曲线如图9.22(b)所示．（4）介质表面的极化电荷面密度为C/m 10425.4)11(10-⨯=-='σεσr9-23 平板电容器两极间充满某种介质，板间距mm 2=d ，电压600V ，如果断开电源后抽出介质，则电压升高到1800V ，求：（1）介质的相对电容率；（2）介质上的极化电荷面密度；（3）极化电荷产生的电场强度．分析 断开电源后抽出介质意味着极板上的自由电荷电量保持不变，电位移σ=D 也不变，但是电场强度改变，电压也会改变．在计算有均匀各向同性电介质的平行板电容器之间的电场时，电场强度可以表示为0000εσεσ'-='-=E E E ，即自由电荷的电场和极化电荷产生的附加电场的叠加，其中电介质对电场的影响以极化电荷面密度σ'的形式表现出来，反映了空间电场是自由电荷和极化电荷共同产生的；介质中的电场强度也可以直接表示为r00εεσ=E ，其中电介质对电场的影响以相对电容率r ε的形式表现出来，也反映了空间的电场是自由电荷和极化电荷共同产生的．这两种表现形式是等效的．解 （1） 由d U E 00=，dUE =，得相对电容率为 3600180000r ====U U E E ε （2）在平行板电容器两极板间充满均匀电介质时，忽略边缘效应，得C/m 1031.5 )11( )11(600rr-⨯=-=-='εεσεσE（3）极化电荷的分布形成等量异号带电板，忽略边缘效应，得V /m 10650⨯='='εσE9-24 盖革计数器可用来测量电离辐射，它的正极是半径为1R 的金属丝，负极是半径为2R 的同轴圆柱面，当管内充以低压惰性气体，并使两极间建立起强电场，若有辐射粒子进入器壁时将使气体电离，在电子向正极运动的过程中，又会与其他气体原子产生碰撞电离，这样将有更多的电子到达正极并产生一个信号，记录下该辐射，假设m 104.1,m 10252261--⨯=⨯=R R ，管长m 10162-⨯=L ，两级间电势差V 6000=U ，低压惰性气体的相对电容率1r ≈ε，试计算此时阳极上的电荷量和电荷数．分析 由于12,R L R L >>>>，忽略边缘效应，可以把盖革计数器视为带等量异号电荷的无限长同轴圆柱面电容器．解 两级间场强为rE 02πελ=，方向沿径向指向阴极．电势差为 ⎰==211200ln 2d 2R R R R r r U πελπελ 则 120ln R R Uπελ2=阳极上电荷量为)1025/104.1ln(101660002ln 2622120----12⨯⨯⨯⨯⨯10⨯8.85⨯===ππελR R UL L q C 9104.8-⨯= 相应的电荷数为 101991025.5106.1104.8⨯=⨯⨯==--e q N9-25 圆柱形电容器是由半径为1R 的导体圆柱和与它同轴的导体圆筒构成的，圆筒的半径为2R ，电容器的长为L ，其间充满相对电容率为r ε的介质，设沿轴线单位长度上圆柱带电荷量为λ+，圆筒单位长带电荷量为λ-，忽略边缘效应，求：（1）介质中的电位移和电场强度；（2）介质表面的极化电荷面密度；（3）两极之间的电势差U ，从而求电容器电容．分析 已知电荷分布，由介质中的高斯定理可知介质中的D 和E ，由场强叠加原理可求出极化电荷的面密度.解 （1）由于电场具有轴对称性，以半径为r 作高为L 的同轴高斯面，介质中的高斯定理得L D rL λπ=⋅2rD πλ2=rr DE r 2επελπελε0=2==（1） （2）设介质内外表面单位长上的极化电荷分别为λ'和λ'-，在介质内，其内表面极化电荷产生的附加电场的场强为rE 02πελ'-=' 根据场强叠加原理，在介质内电场是导体圆柱表面的自由电荷产生的电场和介质内表面极化电荷产生的附加电场的叠加，即rr E E E 00022πελπελ'-='-= （2） 由（1）和（2）式解得)11(rελλ-='介质内外表面单位长的面积分别为22R π，12R π，则极化电荷面密度分别为)1(22r 11επλπλσ1--='-='-R R )1(22r22επλπλσ1-='='R R （3）电容器两极板电势差为=U ⎰⋅21d R R r E ⎰2==2112r 0r 0ln 2d R R R R r r επελεπελ电容为 12r 012r 0ln 2ln 2R R LR R LUQC επεεπελλ===9-26 在半径为R 的金属球外有一层外半径为R '的均匀介质层，设电介质的相对电容率为r ε，金属球带电量为Q ，求：（1）介质层内外的电场强度；（2）介质层内外的电势；（3）金属球的电势．分析 本题为球对称场，已知电荷分布由介质中的高斯定理可求出D 、E 分布．以无穷远电势为零由场强与电势的积分关系或电势叠加原理可求电势分布．解 （1）如图9-26，作半径为r 的球面为高斯面，由有介质的高斯定理得Q D r =24π24r QD π=在介质内，R r R '<< 2r 0r014r Q DE επεεε==在介质外，R r '> 224rQDE 00==πεε（2）介质内任一点的电势为⎰⎰'∞'+=R rR r E r E V d d 211⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'-=0R R r Q 1)11(14r επε （1） 介质外任一点电势为⎰∞==rrQ dr E V 0224πε（3）金属球的电势可由（1）式中令R r =得到，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=R R R Q V 11114r 00επε 9-27 球形电容器由半径为1R 的导体球和与它同心的导体球壳组成，球壳内半径为3R ，其间有两层均匀电介质，分界面半径为2R ，相对电容率分别为1r ε和r2ε，如图9-27所示，求：（1）当内球所带电荷量为Q +时，电场强度的分布；（2）各介质表面上的束缚电荷面密度；（3）电容器电容．分析 本题电场为球对称的，已知电荷分布，可由介质中的高斯定理先求D ，再求E 的分布．束缚电荷分布在内外两层介质的四个表面上，因为各表面的曲率。

通用版带答案高中物理必修三第十章静电场中的能量微公式版知识点总结(超全)单选题1、静电除尘装置如图所示，它由金属管A和管中金属丝B组成，A接高压电源的负极，B接高压电源的正极，关于静电除尘的原理，下列说法正确的是（）A．煤粉等烟尘在靠近B时被电离成正、负离子B．因为金属外壳接地，所以B的电势比A的电势高C．煤粉等烟尘吸附电子后被吸在B上D．煤粉等烟尘吸附电子后被吸在A上，最后由于重力的作用掉落在装置底部答案：BA．由题意可知靠近B的空气被电离，煤粉等烟尘吸附正离子后带正电，A错误；B．A接高压电源的负极，B接高压电源的正极，所以B的电势比A的电势高，B正确；C．因为A接高压电源的负极，煤粉等烟尘吸附正离子后被吸在A上，C错误；D．煤粉等烟尘吸附正离子后被吸在A上，最后由于重力的作用掉落在装置底部，D错误。

故选B。

2、如图甲所示，在无限大的空间内，边长为2L的正方形四个顶点分别固定着电荷量相等的正电荷，O点为正方形的几何中心，以O为原点，沿中垂线指向无穷远建立x轴，设无穷远处电势为零，通过电势传感器测出中垂线上各点电势随距离x的变化图像如图乙所示。

a、b、c、d四个点为两条中垂线上距中心O点等距离的点，有电子、氕核、氘核、氚核四个带电粒子，分别从a、b、c、d四个点由静止释放，不计粒子的重力，以下说法正确的是（）A．每条中垂线上电场强度为零的点除无穷远处外还有两处B．每条中垂线上电场强度相同的点有两处C．若氕、氘、氚三个粒子最终能到达无穷远处，其速度大小关系为v氕>v氘>v氚D．电子、氕、氘、氚可能围绕中心O做往复运动答案：CA．根据电场强度矢量合成法则和对称性原理，原点O的电场强度为零，在φ−x图像中电势最高点处电场强度为零，故每条中垂线上电场强度为零的点除无穷远处外还有三处，故A错误；B．每条中垂线上电场强度为零的点有三处，则电场强度从原点O向两侧先逐渐增大再减小到零，反向后再增大后再减小到零，由于场强相等时，大小相等方向一致，则每条中垂线上电场强度相同的点可能有两处、三处或四处，故B错误；C．若氕、氘、氚三个粒子最终能到达无穷远处，电场力做功相同，由动能定理有ue=12mv2由于三个粒子质量不同，有m氕<m氘<m氚则有v 氕>v氘>v氚故C正确；D．由于释放位置关系，氕、氘、氚可以围绕原点O做往复运动，但电子将在a点左侧做往复运动，不可能围绕O点做往复运动，故D错误。

专题八 电场的分布电场的分布问题是近年的高考的热点问题，这部分题目也选择题为主，本专题主要讲解四种情况下的电场分布问题1、电场由一个或多个点电荷的电场叠加而成，这类题目的处理方法一般为将各个点电荷的场强进行矢量和，也可运用一些已知的结论，如等量同种电荷的场强分布、等量异种电荷的场强分布2、电场由非点电荷产生，常见的有直杆、圆环或圆环的一部分，平面等。

处理这类问题的思路一般是根据对称性或某些特殊位置解决3、已知等势面的分布判断电场的分布，思路为电场线与等势面垂直，从而画出电场线4、已知电势的变化规律（φ—x 图象），根据图象的斜率等于场强来判断 1、（2013海南）1．如图，电荷量为q 1和q 2的两个点电荷分别位于P 点和Q 点。

已知在P 、Q 连线至某点R 处的电场强度为零，且PR=2RQ 。

则A ．q 1=2q 2B ．q 1=4q 2C ．q 1=-2q 2D ．q 1=-4q 22、（2010海南）4、(3分)如下图， M 、N 和P 是以为直径的半圈弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M 、N 两点，这时O 点电场强度的大小为；若将N 点处的点电荷移至P 点，则O 点的场场强大小变为，与之比为A ．B ．C ．D ．4、（2013江苏）6. 将一电荷量为+Q 的小球放在不带电的金属球附近,所形成的电场线分布如图所示,金属球表面的电势处处相等. a 、b 为电场中的两点,则(A)a 点的电场强度比b 点的大 (B)a 点的电势比b 点的高(C)检验电荷-q 在a 点的电势能比在b 点的大(D)将检验电荷-q 从a 点移到b 点的过程中,电场力做负功 6、（2013山东）19、如图所示，在x 轴上相距为L 的两点固定两个等量异种电荷+Q 、-Q ，虚线是以+Q 所在点为圆心、2L为半径的圆，a 、b 、c 、d 是圆上的四个点，其中a 、c 两点在x 轴上，b 、d 两点关于x 轴对称，下列说法正确的是（ ） A 、b 、d 两点处的电势相同 B 、四个点中c 点处的电势最低 C 、b 、d 两点处的电场强度相同D 、将一试探电荷+q 沿圆周由a 点移至c 点，+q 的电势能减小5、（2010上海）9、(3分)三个点电荷电场的电场线分布如图所示，图中a 、b 两点处的场强大小分别为E a 、E b ，电势分别为φa 、φb ，则 …( )A ．E a ＞E b ，φa ＞φbB ．E a ＜E b ，φa ＜φbC ．E a ＞E b ，φa ＜φbD ．Ea ＜Eb ，φa ＞φb3、（2011重庆）6、(6分)如图所示，电量为＋q 和－q 的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有 …（ ）A ．体中心、各面中心和各边中点B ．体中心和各边中点C ．各面中心和各边中点D ．体中心和各面中心 7、（2012海南）12．N (N ＞1)个电荷量均为q (q ＞0)的小球，均匀分布在半径为R 的圆周上，示意如图．如移去位于圆周上P 点的一个小球，则圆心O 点处的电场强度大小为________，方向________．(已知静电力常量为k )8、如图所示为一均匀带电的直杆，杆长为L ，O 为杆的中点，A 到O 的距离为L/4，B 到O 的距离为3L/4，试比较A 点和B 点的场强大小9、（2013江苏）3. 下列选项中的各41圆环大小相同,所带电荷量已在图中标出,且电荷均匀分布,各41圆环间彼此绝缘. 坐标原点o 处电场强度最大的是10、（2013新课标1）15.如图，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、 c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q >0)的固定点电荷.已知b 点处的场强为零，则d 点处场强的大小为(k 为静电力常量)A.k 3q R 2B. k 10q 9R 2C. k Q +q R 2D. k 9Q +q 9R2 11、(2013安徽理综)20.如图所示，xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满z ＜0的空间，z ＞0的空间为真空。

导体中的电场分布与电势导体是指能够将电子自由流动的物质。

在导体中，电场的分布与电势的变化是基本的物理现象，对于电场的分布和电势的理解有助于我们更好地理解电磁现象。

首先，让我们来了解一下什么是电场。

电场是描述空间中某一点受到的电力作用的物理量。

导体中的电场主要受到导体表面的限制。

由于导体的特殊性质，其内部的电场强度为零。

这是因为在导体内部，自由电子可以自由移动，从而外加电场对于内部自由电子的力会迅速平衡，使得电场强度为零。

因此，在导体中，电场主要分布在导体表面。

导体内部的电场分布与导体表面的形状密切相关。

考虑一个球形导体，当导体带电时，电荷会分布在导体表面上。

由于导体表面是一个等势面，也就是说，导体表面上的任意两点之间没有电势差，这意味着导体表面上的电势处处相等。

导体表面上的电势是由导体内部带来的电荷分布决定的。

在导体内部，电荷分布会随着导体的形状和尺寸而变化。

通过电场和电势公式，我们可以推导出导体表面上的电势分布。

对于球形导体，如果质点在球心，根据库仑定律，电势符合反比例关系。

这意味着导体表面上的电势随着距离球心的距离增加而减小。

除了形状和尺寸，导体的一些特殊性质也会影响导体内部和表面的电势分布。

例如，如果导体的形状并非规则的球形，导体表面上的电势分布将更为复杂。

此外，导体的导电能力也会对电势分布产生影响。

较好的导电体将更容易在表面上平均分布电荷，从而使电势更均匀。

在导体表面上，电场强度垂直于导体表面。

这是因为电场是电势的负梯度。

在导体表面上，由于电势相等，电势梯度为零，因此电场强度垂直于导体表面。

导体中的电场分布与电势的变化是导体中电荷分布和导体性质的结果。

了解这些现象有助于我们理解导体中的电磁现象，例如电磁感应和电子流动。

此外，对于电场和电势的理解还有助于我们更好地应用电场和电势的原理，例如用导体制作电势计和电容器。

综上所述，导体中的电场分布与电势的变化是导体形状、尺寸和导体特性的结果。

导体内部的电势分布为零，主要电场分布在导体表面上。

点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布姜树青（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表面有感应电荷分布．本文拟对球形导体表面感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨． 关键词：感应电荷面密度 最近点 最远点 界心角 切心角 角差 1 问题的提出如右图1所示，导体球半径为R ，点电荷与球心相距为r （r ＞R ），整个装置置于真空中．试讨论在电键k 接通和断开两种情况下，导体球表面感应电荷的分布规律． 2 求解和讨论 2.1电键k 接通情形2.1.1导体球表面感应电荷分布的定量表达式我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q 和球面感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球面感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q 的像点电荷q ′等效替代． q ′位于Q 与导体球心O 连线上，距球心为r ′．这里 q ′和r ′之值为：画出点电荷r 为正、负电性两种情形球面某点P 的合电场E P 如图2甲、乙所示．图中E P 方向总与球面垂直，当Q 为正电性时，E P 方向沿径向指向球心；当Q 为负电性时，E P 方向沿径向指向球外．只要R 和r 相同，点电荷Q 正、负两种情形对应的E P 大小相等．设θ为OQ 和OP 所夹的角， 仅用初等数学知识就能求出Q 和．Q2rR－q r R r ='='，q ′在P 点产生的合场强E P 的大小（推导过程从略）：于是P 点感应电荷面密度σP 为表达式中前面的“－”号表示感应电荷的电性与Q 相反．由上式可知，在Q 、R 及r 都确定下，球面上感应电荷的面密度σ只与θ有关．在θ于范围0～2π以内，σ总与Q 符号相反，即整个导体球面上都分布着与Q 电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q 与球心O 的连线对称．|σ|—θ关系如图3所示． 我们知道，导体球接地时，整个球体电势视为0，设整个球面感应电荷的总量为q 总感，由电磁学知识易得q 总感之值：kQ/r + k q 总感 /R = 0，即q 总感=－R Q / r ． （2）一个自然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球面感应电荷，整个球面感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球面积分：，）（）（32222P cos 2Q θR r －R r k R －R r －E +⋅=）（）（）（1cos 2Q4432222P P ．R r －R r R－R r －kE θππσ+⋅==．Q 224Q ]cos 21[24Q cos 2sin 4Q sin 222202122220232220220220R R r r R r R rR R r rRR r R d rR R r d R r R d d R s d q -=-⋅⋅--=-+⋅-⋅⋅--=-+--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰）（）（）（）（）（）（总感ππθππθθθϕπθϕθσσπππππ可见，两种方法所得结果一致．2.1.2球面最近点感应电荷的面密度σ近如图2中，球面上距Q 最近点M ，以下简称最近点．令（1）式中θ= 0，得到球面最近点感应电荷的面密度设想Q 距球心的距离发生变化：r →R 时，|σ近|→∞，即当点电荷Q 由远及近以至充分接近球面时，理论上球面最近点感应电荷面密度的绝对值逐渐增大并趋于无穷大；r →∞时，|σ近|→0．画出|σ近|— r 关系如图4所示． 2.1.3球面最远点感应电荷的面密度σ远如图2中，球面上距Q 最远点N ，以下简称最远点．令（1）式中θ=π，得到球面最远点感应电荷的面密度画出|σ远|— r 关系如图5所示．在r →R 和r →∞两种极端情况下，均有 |σ远|→0，故适当取r 值，|σ远|可取极大值．极值点的位置在何处？把（4）式变形为可知：当（r －R ）= 4R 2 /（r －R ），即r = 3R 时， |σ远|取极大值（另一根r =－ R 舍弃），此时σ远为如果设想把－Q 的电量全部导入一半径为R 的中性绝缘导体球，则当－Q 在导体球面上均匀分布后，电荷的面密度为σ′= －Q /4πR 2．显）（）（）（近34Q 2．R r R R r -+-=πσ）（）（）（远44Q2．R r R R r +--=πσ．RπR r R R r R r 232max 32Q ]4Q [-=+--==）（）（远πσ，）（）（）（）（远]44[14422R R r RR r R Q R r R Q R r +-+-⋅-=+--=ππσ然，上述最远点处的感应电荷面密度σ远max 也才是σ′的1/8．可见最远点处感应电荷分布得较“稀疏”．2.1.4感应电荷面密度之比σ近/σ远及其随r 的变化球面最近点和最远点感应电荷面密度的比值为由（5）式可以看出，当点电荷Q 与球心距离r 在区间（R ，∞）内逐渐增大时，σ近/σ远从无穷大逐渐衰减并趋于1．这表明当点电荷Q 与导体球逐渐远离时，σ近和σ远一方面均渐减小且趋于0，另一方面球面感应电荷的分布也渐趋均匀．画出σ近/σ远 —— r 关系如图6所示．表1列出由（5）式求出的几个r 值所对应的σ近/σ远之值，以便比较．r 100 R 10.0 R 3.00 R 2.00 R 1.50 R 1.10 R 1.01 R σ近/σ远 1.062 1.826 8.000 27.00 125.0 9261 8.121×106 2.1.5右半球面感应电量q 远半占整个球面感应总电量q 总感的百分比 在图1中，我们把导体球面分成靠近Q 一侧的左半球面和远离Q 一侧的右半球面，感应电量分别记为q 近半和q 远半．右半球面的电量 q 远半为）（）（）（）（）（）（远近521]Q 4[4Q 322．Rr R R r R r R R r πR R r -+=-+-⋅-+-=πσσ．Rr R r rR r r R r R R r R R r d r R R r R R r d r d s d q ）（）（）（）（）（）（（右半球面）远半+-+⋅--=-+-⋅--=-+⋅--=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰112Q ]cos 2[2Q ]cos 2sin 4Q [2sin 2222221222222322222022πππππππθθθθππθθσϕσ可以证明，在r →R 下，上述q 远半→0．前已讨论，当r →R 时，最远点|σ远|→0，最近点|σ近|→∞；而由球面感应总电量 q 总感=－R Q / r 知，当r →R 时，q 总感→－Q ．如果我们把上述变化综合起来考查，展现在眼前的是这样一幅物理图景：随着点电荷Q 逐渐向导体表面移近，整个球面感应电荷的总量逐渐增大并趋于－Q ，感应电荷的分布也逐渐向左半球面聚拢，最终感应电荷几乎全部地聚集于最近点处．这是不难理解的，因为当r →R 时，点电荷Q 非常接近导体球面，对点电荷Q 而言，球面则相当于“无穷大的平面”了，它发出的电场线将几乎全部地终止于球面上最近点附近很小的面积区域内．右半球面感应电量q 远半与整个球面感应总电量q 总感之比为表2列出由（6）求得的几个r 值下的q 远半/q 总感 百分比之值，供读者比较．由上表可直观地看到，随着点电荷Q 逐渐向导体球靠近，导体球远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量q 总感的百分比越来越小，或者说导体球面感应电荷的分布重心逐渐向靠近点电荷Q 一侧移动，而当点电荷Q 逐渐远离导体球时，远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量 q 总感的百分比越来越趋近于50％． 2.2电键k 断开情形当k 断开时，根据电像理论，导体球表面电荷在球外空间的电场贡献可由两个像电荷q ′、q ″共同等效替代：q ′和“2.1电键k 接）（）（）（）（总感远半6112Q 112Q 22222222．R r Rr R R r r R R r R r r R r q q +-+⋅-=-+-+⋅--=通情形”完全相同，而q ″置于球心，电量为导体球带电量与q ′之差．以下本文只对整个导体为电中性情形作出讨论．2.2.1整个导体球为电中性情形下，表面感应电荷分布的定量表达式此时球外空间的电场由点电荷Q 及两个像电荷q ′、q ″共同产生，q ′=－q ″=－R Q / r ．三者在球面外侧附近的合场强E 方向沿法线，大小为于是球面某点P 感应电荷面密度表达为2.2.2中性导体球面上感应电荷的界心角右图7为中性导体球在点电荷电场中的剖面图，A 1 、A 2为圆周上正、负感应电荷的分界点（图中以正点电荷Q 为例画出）．我们定义，分界点A 1 、A 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠A 1O A 2叫界心角，用α表示．在分界点处，感应电荷面密度必为0，故令（7）式σ= 0，得到这里θ1、θ2分别对应图7中A 1 和A 2两分界点．于是界心角为可以证明，（8）式在r →R 和r →∞下，分别有α→0和α→π，表明随着点电荷Q 接近中性绝缘导体球，与Q 异性的感应电荷只分布在球面上很小比例的面积区域内；而当Q 远离中性绝缘导体球并趋向无穷远时，球面上正、负感应电荷的分布均渐趋占据半个球面． 2.2.3中性导体球面感应电荷的界心角和切心角的关系，）（）（）（）（R r k R r －R r k R －R r －r q k R r －R r k R －R r －E Qcos 2Q cos 2Q 32222232222++⋅="++⋅=θθ）（）（）（74πQcos 2Q 432222．rR R r －R r R －R r －++⋅=θπσ，）（r R R r r r R 2arccos θ32222221--+=．rR R r r r R 2arccos 2θ32222222）（--+-=π）（）（82arccos 22θα32222221．rR R r r r R --+==过点电荷Q 向导体球做切线，剖面如图8所示．其中B 1、B 2为两个切点．为叙述方便，把切点B 1、B 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠B 1O B 2叫切心角，用β表示，有有人从“想当然”出发，错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心角β．以下我们用反证法证明，只有在r →R 和r →∞两种极端情况下二者相等外，其它情况下并不相等．令r /R =m ，α和β可简化为假设α≤ β． 有亦即两边同时立方并整理，得到因r ＞R ，必有r /R =m ＞1，故上面不等式不成立！结论：只要满足条件∞＞r ＞R ，必有α＞β，即导体球感应电荷的界心角α总大于切心角β． 2.2.4角差及其极值把界心角α与切心角β之差叫角差，用γ表示．有我们的问题是：那种错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心．rRarccos 2β=．m1arccos 2β2m 1m 2m m 1m arccos 2α33=+--+=，m12m 1m 2m m 1m 33≥+--+1m m 1m 2m m 233-≤+-01m 22≤-）（）（），（9m1arccos 2m 1m 2m m 1m arccos 2β－αγ33－+--+==角β的观点，产生的偏差最大能达到多少？换言之，角差γ的最大值γmax是多少？（9）式是复杂函数，我们借助电子计算机，生成γ—m关系如图9所示，采用逼近法求近似值，得到如下结果：m0≈1.07048，γmax≈0.314131弧度≈18°．即：当点电荷Q离球心的距离约为球半径的1.07048倍（见图10）时，界心角α与切心角β相差最大约为18°（角差的一半即半角差γ/2，最大约为9°，见图10中阴影部分）．。

点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布本文将介绍一种在点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布。

电荷分布是本文主要讨论的话题，因为它是由电荷的分布和排列组成的。

在这里，我们主要讨论点电荷电场中的感应电荷分布，我们将介绍这种电荷分布的各种特性，以及它在电学和物理学中的应用。

必须指出的是，这种电荷分布产生的电场可以表示为点电荷的向量场。

首先介绍的是点电荷的概念。

点电荷是一种球形的荷电粒子，它在电动势面上具有定向的电荷。

在点电荷电场中，可以考虑一个点电荷位于某一位置，而另一点电荷位于另一位置，这样我们就可以用点电荷模型来描述一个点电荷分布的电场。

接下来，我们将讨论导体球面上感应电荷分布的情况。

在这种情况下，这个感应电荷被认为是“感应电荷”，因为它们受到电场的影响，而不是因为它们自身的电场。

感应电荷的分布可以通过量化的方法得到，即将感应电荷的分布表示为一系列点电荷分布的结果。

对于导体球面上的感应电荷分布，一个点电荷分布数值求解器可以实现，它可以用于求解球面上的电荷分布，以及其他类型的电荷分布。

量化的方法是通过精确的数值求解获得的，并通过用于解决物理问题的数值模拟软件完成。

此外，由于点电荷电场中的感应电荷可以描述为一系列点电荷的结果，所以可以将这种电荷分布的结果用于电学中的分析问题。

例如，可以利用点电荷电场中的感应电荷分布来求解电场和电流的分布，从而求解电子学中的问题。

此外，由于在点电荷电场中点电荷本身可以产生电场，因此可以将这种电荷分布的结果用于物理学中的问题，例如力学和流体力学问题的求解。

最后，介绍一种点电荷电场中的感应电荷分布的计算方法，即采用多重采样技术。

这种技术使用多个点电荷模拟点电荷电场，从而使得采样计算更为精确。

在这种情况下，可以针对点电荷分布中不同点电荷的采样结果，采用多重采样技术来求解感应电荷分布的结果。

采用这种技术可以得到更准确的计算结果，比一般的数值求解更准确。

总之，本文讨论的是点电荷电场中的感应电荷分布，并简要介绍了该问题的背景知识、理论分析以及求解手段。