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§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
第七章 IWOP技术推导正规乘积算符公式当一个算符排成正规乘积以后，它的相干态矩阵元就立刻可以得出，即，利用IWOP技术可以将很多量子力学算符化成正规乘积，它们在量子力学的各项计算中会有潜在的应用，帮助我们进一步分析物理性质。
另一方面，新的表象的建立也为导出新的算符恒等式提供了基础，如从纠缠态表象、相干态表象，我们都可以导出许多新的公式。
§7.1 n维球极坐标空间中完备性的正规乘积[1]在球极坐标系统中，矢径，那么相应的正规乘积展开形式是什么呢？我们不妨把这个问题推广到维坐标空间去讨论。
利用n维坐标算符本征态的Fock空间展开式（7.1.1）并考虑到维真空投影算符的展开式，我们看到（7.1.2）为了证明的完备性，将转化成在球极坐标中的体积元，即这里则转换的Jacobi式为（7.1.3）因此（7.1.4）利用一个已知的积分公式并用IWOP技术对方位角依次进行积分得（7.1.5）这里我们令，（）,再用Poisson积分公式[2]（7.1.6）看到（7.1.7）将其代入到（7.1.6）得（7.1.8）使用Bessel和Gamma函数的定义，（7.1.9）（7.1.10）得到（7.1.11）这就用IWOP技术证明了维坐标空间完备性。
§7.2 n维径向坐标算符的正规乘积展开三维径向坐标算符的幂算符（）的正规乘积展开为，（7.2.1）这里三维径向坐标算符具有旋转对称性，如果将其推广到n维具有旋转不变性的情况，算符正规乘积展开又该是什么呢？定义为，（7.2.2）这里，。
用（7.1.11）和IWOP技术得（7.2.3）用Gamma函数的递推关系，（且为整数）得（7.2.4）这里定义我们还可以用超几何函数[3]，（7.2.5）简写（7.2.4）得（7.2.6）再用Kummer第一公式，（7.2.7）得到了一个更为简约的表达式（7.2.8）不妨我们以三维（）和四维（）为例推导的正规乘积展开式，当，考虑到，于是从（7.2.8）得（7.2.9）当，（7.2.10）可以看出，利用IWOP积分技术和表象的完备性我们能将很多算符正规乘积化，帮助我们简化了一些繁琐的物理计算过程。
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。
3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。
认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。
ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。
3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。
(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
量子力学中的表象理论表象理论在量子力学中是一种根据物理定律做出的概念，它是大多数量子力学理论实践中最常用的抽象表达形式。
它可以用来更深入地理解量子力学中的相互作用和物理现象。
表象理论能够帮助发现量子力学中的一致性，从而构建出有效的模型来解释实验结果。
表象理论是一种抽象的概念，它有助于科学家在量子力学中描述具体的物理现象。
它以直观的方式解释了纳米世界的单体、分子、原子和其他微观物理系统的行为。
在该理论中，物理定律变得易于理解，可以运用于对实际系统的描述。
表象理论允许更具体地描述物质状态，以便科学家们能够准确地模仿实际系统的行为。
表象理论用威尔逊算符来表示系统的无量纲状态。
这种表示法是一种抽象的表示法，它可以解释由纳米等级的粒子所形成的复杂系统的行为。
这是基于Heisenberg不确定性原理的威尔逊算符已被用于研究纳米系统的行为，其中的粒子具有可能的处于不同的状态。
因此，威尔逊算符可以描述系统的可能性，使得研究者可以把这些状态当作独立的、相互关联的表象本质。
表象理论还能够解释量子力学中的相干效应。
一个引人注目的特性是，表象理论可以在纳米级别上界定每个粒子的干涉不变性，这一点可以帮助研究者们更好地控制纳米系统，从而了解系统中的相干效应，使得科学家们可以准确地描述这些粒子的行为。
另外，由于表象理论的有效性，它还被用于研究量子力学中的趨向性，包括量子能量跃迁等现象。
到目前为止，表象理论已经得到广泛的应用，它应用于描述量子力学中的行为与过程，从而帮助研究者们更好地掌握量子力学中的现象。
此外，它也被用于研究量子力学表象和实际物理系统之间的相互作用。
在今天，表象理论仍然是量子力学研究领域中广泛使用的抽象建模技术，用于更好地理解量子力学中的运动。
总的来说，表象理论是一种非常实用的量子力学理论，它可以帮助我们更具体地描述和理解量子力学中的物理系统。
由于它的多样性，表象理论也可以被用于研究复杂的纳米系统，从而实现准确的预测和模拟。
量子力学中表象变换的教学方法研讨郭文军，黄江伟（上海理工大学理学院，上海200093）摘要：量子力学中的表象变换是一个重要问题，它的研究不仅对于深入理解量子力学的基本观点至关重要，而且对于如何利用量子力学观点处理具体问题也非常重要。
本文利用牛顿力学中坐标系的观点，解释量子力学中为什么要引入表象变换的概念它和坐标变换的相同点和不同点。
关键词：表象变换；参照系；坐标变换中图分类号：G642.41文献标志码：A文章编号：1674-9324（2014）44-0183-04一、前言量子力学是近代物理的两大支柱之一，它的建立是20世纪划时代的成就之一，可以毫不夸张的说没有量子力学的建立，就没有人类的现代物质文明[1，2]。
量子力学在近代物理中的地位如此之重，成为物理本科专业学生最重要的课程之一，也是大多数学校招考物理专业研究生的必考科目之一。
但在实际教学过程中，学生普遍感到量子力学难学，其抽象的思维方式和学生长期受到的牛顿力学思维方式格格不入，造成学生无所适从。
在笔者几年的教学活动中，尤其在讲授“表象变换”一节时，学生更是感到无从着手、难于理解，所以笔者认为有必要对表象变换的教学方法进行研讨。
笔者认为量子力学的难，主要在于以下几点。
1.量子力学中的能量、动量、角动量量子化问题，相对于经典力学有很大不同。
例如电子从一条经典轨道瞬时跃迁到另一条经典轨道，按牛顿力学来说完全无法解释。
2.微观粒子的波粒二象性，带来很多新的物理现象，例如隧道效应、纠缠态等，也是经典物理无法想象的事情。
经典物理中的决定论演化成了量子力学基金中的概率论。
学模式和教学手段，发展创新型教育，提出我们都关心的要求，从而更加有利于培养学生的创造力，更有利于促进学生全面发展和提高学生的综合素质，已经成为当前时代发展对教育的新要求。
美术教育的创新型教学方式，应该发挥其独特的作用，教师个人能力的提高，教学方法和教学内容的设计以及教学环境的形成，都对学生创造力的培养起着至关重要的作用。
量子力学（物理学理论）—搜狗百科理论的产生及其发展量子力学是描述物质微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。
它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。
19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。
德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。
德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hf为最小单位，一份一份交换的。
这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且跟'辐射能量与频率无关，由振幅确定'的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。
当时只有少数科学家认真研究这个问题。
爱因斯坦于1905年提出了光量子说。
1916年，美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。
1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定性（按经典理论，原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq=nh，n称之为量子数。
玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差确定，即频率法则。
这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铪的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。
这在物理学史上是空前的。
由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。
量子力学的几率解释等都做出了贡献。
