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量子力学中几种表象及其之间的关系摘要体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。
态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。
微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。
常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。
而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。
关键词态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。
ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是式中 是动量的本征函数，dxx t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ⎰=⎰=ψψψ/2/1)2(1)(ipx p ex -=πψ称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。
由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。
将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成dx t x dx t x w 2),(),(ψ=dpt p c dp t p w 2),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp pp p p/''')()()(),(),(-**⎰=ψ⎰=ψψψ/')'(t iEp e p p --=δ)()(),(x u t a t x n nn ∑=ψ上式两边乘 ，再对x 变化整个空间积分 即其物理意义是，体系处在ψ(x,t)所描述的状态时，力学量Q 具有确定值Qn 的几率为可以用一组数代替ψ(x,t)描写该状态。
量子力学中的表象理论表象理论在量子力学中是一种根据物理定律做出的概念，它是大多数量子力学理论实践中最常用的抽象表达形式。
它可以用来更深入地理解量子力学中的相互作用和物理现象。
表象理论能够帮助发现量子力学中的一致性，从而构建出有效的模型来解释实验结果。
表象理论是一种抽象的概念，它有助于科学家在量子力学中描述具体的物理现象。
它以直观的方式解释了纳米世界的单体、分子、原子和其他微观物理系统的行为。
在该理论中，物理定律变得易于理解，可以运用于对实际系统的描述。
表象理论允许更具体地描述物质状态，以便科学家们能够准确地模仿实际系统的行为。
表象理论用威尔逊算符来表示系统的无量纲状态。
这种表示法是一种抽象的表示法，它可以解释由纳米等级的粒子所形成的复杂系统的行为。
这是基于Heisenberg不确定性原理的威尔逊算符已被用于研究纳米系统的行为，其中的粒子具有可能的处于不同的状态。
因此，威尔逊算符可以描述系统的可能性，使得研究者可以把这些状态当作独立的、相互关联的表象本质。
表象理论还能够解释量子力学中的相干效应。
一个引人注目的特性是，表象理论可以在纳米级别上界定每个粒子的干涉不变性，这一点可以帮助研究者们更好地控制纳米系统，从而了解系统中的相干效应，使得科学家们可以准确地描述这些粒子的行为。
另外，由于表象理论的有效性，它还被用于研究量子力学中的趨向性，包括量子能量跃迁等现象。
到目前为止，表象理论已经得到广泛的应用，它应用于描述量子力学中的行为与过程，从而帮助研究者们更好地掌握量子力学中的现象。
此外，它也被用于研究量子力学表象和实际物理系统之间的相互作用。
在今天，表象理论仍然是量子力学研究领域中广泛使用的抽象建模技术，用于更好地理解量子力学中的运动。
总的来说，表象理论是一种非常实用的量子力学理论，它可以帮助我们更具体地描述和理解量子力学中的物理系统。
由于它的多样性，表象理论也可以被用于研究复杂的纳米系统，从而实现准确的预测和模拟。
第三章表象理论本章提要：本章讨论态矢和算符的具体表示形式。
首先，重点讨论了本征矢和本征函数、态矢量和波函数之间的关系，指出了函数依赖于表象。
之后，引入投影算符，讨论了不同表象下的态矢展开，尤其是位置和动量表象，并顺带解决了观测值问题。
接着，用投影算符统一了态矢内积与函数内积。
最后，简单介绍了一些矩阵力学的内容。
1.表象：完备基的选择不唯一。
因此可以选用不同的完备基把态矢量展开。
除了态矢量，算符在不同表象下的具体表示也不同。
因此，我们把态矢量和算符的具体表示方式统称为表象 ①使用力学量表象：我们还知道每个力学量对应的（厄米）算符的本征矢都构成一组完备基。
若选用算符G 的（已经标准正交化（离散谱）或规格正交化（连续谱））的本征矢作为态空间的基，就称为使用G 表象的描述②波函数：把态矢展开式中各项的系数（“坐标”）定义为G 表象下的波函数③本征函数与本征矢的关系：设本征方程ψ=ψλQˆ又可写作()()G Q G Q ψψ=ˆ 则两边乘G 有()()ψ===ψ=ψ=ψQ G Q G Q G Q Q G QG ˆˆˆψψ 因此：本征函数()ψ=G G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ下的“坐标”（波函数） 如果离散谱：()ψ=i i G ψ就是Q ˆ的本征态ψ在表象G ˆ的iG 方向上的“坐标” ④结论：算符和态矢量的抽象符号表示不依赖于表象，具体形式依赖于表象选择但本征函数和波函数相当于“坐标”，依赖于态矢（向量）和表象（基）*注意：第二章在展开态矢量、写算符和本征函数时使用都是位置表象（也称坐标表象）2.投影算符：我们将使用这个算符统一函数与矢量的内积符号（1）投影算符：令()()连续谱离散谱dG G Gi i Pi⎰∑==ˆ，称为投影算符（2）算符约定：求和或积分遍历算符G 的标准（或规格）完备正交基矢量（3）本征方程：ψ=ψ=ψI Pˆˆ，表明投影算符就是单位算符 （4）单位算符代换公式：()()连续谱离散谱dQ G G i i I i⎰∑==ˆ3.不同表象下的态矢量展开和波函数：①离散谱：∑=ii iF Fψψ，ψψi i F =为Fˆ表象下的波函数 {}i ψ可表示为一列矩阵，第i 行元素就是ψψi i F =观测值恰为i Q 的概率：用Qˆ表象展开∑=ii i Q Q ψψ，22Pr ψψi i Q ob ==概率归一等价于波函数归一∑==ii 12ψψψ算符Qˆ的观测平均值：ψψψQ Q Q ii i ˆˆ2==∑②连续谱：⎰==dG G GIψψψˆ，ψψG =称为Gˆ表象下的波函数观测值落在dQ Q Q +~范围内的概率：用Qˆ表象展开⎰=dQ Q Qψψ，dQ Q dQ ob 22Pr ψψ==，满足概率归一⎰=12dQ ψ算符Qˆ的观测平均值：()()ψψψQ dQ Q Q Q ˆ,ˆ2==⎰③本征函数和态矢量的内积统一：设f f =，g Q g =，有()g f gdQ f dQ g Q f Q dQ g Q f g I f g f ,ˆ**=====⎰⎰⎰结论：量子态g f 在同一表象Q 下投影得波函数g f ,，则()g f g f ,=算符对本征函数作用：()()ϕψϕψϕψϕψϕψQ Q QQ Qˆˆˆ,ˆˆ,==== 示例：()ϕψϕψϕψϕψϕψϕψp dx pdx x p dx p x x p I pˆ,ˆˆˆˆˆˆ**=====⎰⎰⎰④位置表象与动量表象：4.力学量的测量值问题：①当待测系统处于算符本征态：此时ψ=ψQ Qˆ，对系统中所有粒子的测量结果都是本征态ψ对应的本征值i Q ，显然i Q 的统计平均值还是i Q ，iQ Q =ˆ。
第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r ϕ、)(rψ，定义内积r d r r)()(),(ψϕψϕ*⎰=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()rψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。
依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ-U存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。
”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)AA ϕψϕψ+= (5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U。
” (5.4b) 证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。
类似，也能从第二种定义导出第一种定义。
从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正1这里强调了 U-1既是对 U右乘的逆又是对 U 左乘的逆。
和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U-1。
算符。
ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.证明：设Uˆ、V ˆ是两个幺正算符，则 ()111ˆˆˆˆˆˆ()UVV U V U UV -+++--=== 所以V Uˆˆ也是个幺正算符。
iii, 若一个幺正算符U ˆ和单位算符I 相差一无穷小，这个幺正算符被称为无穷小幺正算符。
这时Uˆ可记为 F i Uˆ1ˆε-= (5.5a) ε为一个无穷小参数。
于是Uˆ的逆算符(准确到ε的一阶，以下同)为 +-+=F i Uˆ1ˆ1ε (5.5b) 利用Uˆ的幺正性, 1)ˆˆ(1)ˆ1)(ˆ1(ˆˆ=-+=-+=+++F F i F i F i U Uεεε 得到等式F Fˆˆ=+ (5.6) 这说明，如将一个无穷小幺正算符Uˆ表示为上述形式，则其中的F ˆ为厄米算符。
Fˆ也常称为幺正算符U ˆ的生成元。
于是，按以下方式可以用厄米算符 Ω构造出一个幺正算符U ˆ ()Ω∞=≡Ω=∑ˆi n n n e ˆi !n U ˆαα01 (5.7)这里，α为任意实数。
3, 幺正变换幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。
具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：对波函数： )(ˆU U ψψ≡; (5.8a) 对力学量算符： )(1ˆˆˆˆU U UΩ≡Ω-. (5.8b) 这两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变，),()ˆ,()()()(U U U ψϕψϕΩ=Ω(5.9) 这可以检验：右边)ˆ,()ˆ,ˆˆ()ˆˆ,ˆ()ˆˆˆˆ,ˆ(1ψϕψϕψϕψϕΩ=Ω=Ω=⋅Ω=+-U U U U U U U U 。
例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数)()(p r ψψ→和算符)(ˆ)(ˆp r Ω→Ω，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。
这时3/2ˆ(2)i p r dr U e π-⋅=⎰(5.10a)13/2ˆ(2)i r p dp U e π⋅-=⎰(5.10b) 注意，这里算符U ˆ是一种积分变换，其中，r 为积分变数，p 为参量。
因此当U ˆ和后面的算符或坐标函数作乘积运算时，r 必须和后面（算符或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，p作为参量保持不变（因此，p 类似于矩阵乘积中的行标——保持固定，而r则是它的列标——与后面取一致并求和）；1ˆ-U 的作用则相反，p 为积分变数，r 为参量（此时r 为行标，p为列标）。
在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须注意相互区别，以避免混乱。
比如()3/2ˆ()()(2)i p r dr p U r e r ψψψπ-⋅==⎰(5.11a)()13/2ˆ()()(2)i r p dp r U p e p ψψψπ⋅-==⎰(5.11b)ˆˆ'⋅⋅'⋅⎰⎰i i -p r r p -1h h 3/23/2dr dp UU =e e (2πh)(2πh) '⋅'⋅''⋅⎰⎰⎰i -(p-p )r h 3dr=dp e (2πh)=dp δ(p -p )(5.12) 这说明，算符1-UU 将任意动量函数()p ' ψ变为同一函数()pψ，是一个恒等变换。
还有，m p U ˆm p ˆU ˆ22212 =- （5.13） p i U ˆr ˆU ˆ∇=- 1 (5.14)由(5.13)和(5.14)式又可以得到)p (mp )r (U ˆU ˆm p ˆU ˆ)r (mp ˆU ˆψψψ2222122=⋅=⋅- (5.15)（5.15）式也可以换一种算法——作直接变换来得到，即ˆˆ⋅⋅⋅⎰ i 22-p r h 3/2p dr -U ψ(r)=e Δψ(r)2m (2π)2m})()(){2()2(122/3⎰⎰⎰⋅-⋅-⋅∇⋅+⋅∇-=r d e r p i d r e m r p i r p iψσψπ ⋅⎰i 22-p r 2h 3/2-i dr p =()(p)ψ(r)e =ψ(p)2m (2π)2m由（5.13）和（5.14）式可知，在 U 的变换下，Hamilton 量)(2ˆˆ2r V mp H +=改变成为)i (V mp H ˆp∇+= 22。
这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。
应当强调指出，量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。
这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力学量算符方程、全部概率幅。
比如，容易检验：基本对易规则在Uˆ变换下确实是保持不变的，i x p p x x p p xU U U U =-=⋅-⋅)()()()(ˆˆˆˆ (5.16)关于全部概率幅不变是说应当有()()r pf f ϕψϕψ= (5.17) 这里，()r f ϕψ是粒子处在)(r ϕ态时，找到它处于)(rψ态的概率幅，即⎰*=r d r r f r)()()(ϕψϕψf 上标)(r表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。
接着，系统经受幺正变换U ˆ：)()(p r ϕϕ→，)()(p r ψψ→，自变数成为p 。
于是变换之后，这个概率幅应当表示为⎰*=p d )p ()p (f )p (ϕψϕψ现在来证明(5.17)式：实际上，()()()()()ϕϕ'⋅⋅''⎡⎤⎣⎦⎰⎰i i p r -p r**232dr dr dp ψp p =dp ψr r e2π ⎰'-''=*)r r ()r ()r (r d r dδϕψ)r (f )r ()r (r d ϕψϕψ==⎰*这表明任何概率幅的确没变。
反过来也可以说，两个量子体系，如能用某个幺正变换联系起来，它们在物理上就是等价的。
这里，“物理上等价”的含义是从实验观测的角度说的。
就是说，如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是等价的，可以认为它们在物理上是相同的。
因为从实验观点来看，它们之间已无区别。
※4, 反幺正变换反幺正变换的全名是反线性的幺正变换。
为阐述其内容，我们先定义反线性算符。
一个反线性算符 A满足 ψβϕαβψαϕA A Aˆˆ)(ˆ**+=+ (5.18) 这里α、β为任一复常数，ϕ、ψ为任意波函数。
就是说，如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轭。
这是与线性算符唯一的然而是极本质的差别。
反线性算符 A的厄米共轭算符 A +的定义是 )ˆ,(),ˆ()ˆ,(ϕψψϕψϕ+*+==A A A(5.19) 这里，为了使定义在逻辑上自洽，中间这个内积必须要有复数共轭。
可作如下检查即知这一点是必须的：设想从内积的ϕ或ψ中抽出一个复数常系数。
反线性的幺正算符Aˆ(反幺正算符)定义为 )ˆ,(),ˆ()ˆ,(11ϕψψϕψϕ-*-==A A A(5.20) 根据这个定义，立即知道，对反幺正算符也有1ˆˆ-+=A A(5.21)这导致I A A A A==++ˆˆˆˆ。
这和幺正算符相同。
反线性算符的进一步叙述参见附录一。
§5.2 量子力学的Dirac 符号表示1, Dirac 符号先从三维空间中对任一矢量的表示方法说起。
众所周知，所有同类三维矢量的线性组合构成了三维空间。
为了表示这个空间中的任一矢量，可以在三维空间中事先选定一个坐标系(比如某个笛卡儿坐标)，于是任一矢量A 在这个坐标系中便由相应的三个数(是A与坐标轴单位矢量i e的标积，也称为这个矢量在这个坐标系中的分量3,2,1,==⋅i A e A i i)来表示。
于是，标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算。
通常，三维空间任一矢量的表示方法依赖于坐标系（也即基矢）的选取。
但是，也可以不选取任何基矢，而只直接就将这些矢量写作为A 、B、......，并利用标积B A ⋅、矢积B A ⨯等等，形式地表示对它们的代数运算或微积分运算。
由于这种描述不依赖于基矢即笛卡儿坐标的选取，所以它是一种抽象的、普适的表示方法。
在量子力学中，按照态叠加原理，一个量子体系的所有可能状态将构成一个线性空间，这个由全部状态集合构成的线性空间通常称为Hilbert 空间。
体系的每一个状态对应于体系Hilbert 空间中的一个矢量，称为状态矢量，简称态矢。
所以状态Hilbert 空间又常称为态矢空间（或态空间）。
这个Hilbert 空间的范数便是状态之间的内积),(ψϕ=N 1。
在Hilbert 空间中，所有态矢都称为右矢，比如右矢A ，等等。
这里，记号A 是对此态矢的某种标记。
标记的办法以确切、简便为准。
比如用系统的好量子数组来标记（例如nlm ）；也可以用态矢的波函数(它和态矢的关系下面即将谈及)来标记，例如态矢nlm 可记为nlm ψ；如果要强调态矢随时间的变化，也可以记为()t nlm ψ；另外还有r ' ，p '等等。
