量子力学的矩阵形式及表象理论

§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。

态有时称为态矢量。

力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。

1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。

平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。

而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。

现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。

而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。

现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。

用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。

第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。

一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。

3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。

认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。

ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。

1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。

3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。

(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。

量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。

具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。

假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。

⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。

显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。

⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。

设，式中，。

取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。

第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。

对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。

2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。

设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。

设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。

(2) 波函数变换规则为：矩阵。

(3) ⼒学量变换规则为：。

（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。

本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。

第六章量子力学的矩阵形式及表示理论第六章目录§6.1 量子体系状态的表示 (3)§6.2 Dirac符号介绍 (4)（1）量子态、Ket矢，Bra矢（Bracket） . 5（2）标积 5（3）算符及其表示 (7)（4）不可约张量算符的矩阵元计算简介 (12)（5）投影算符 15§6.3 表象变换，幺正变换 (17)（1）同一状态在不同表象中的表示间的关系 (17)（2）两表象的基矢之间关系 (18)（3）力学量在不同表象中的矩阵表示之间的关系 (18)（4）幺正变换 19§6.4平均值，本征方程和薛定谔方程的矩阵形式 (20)（1）平均值20（2）本征方程 21（3）薛定谔方程 (25)§6.5 量子态的不同描述 (26)（1）薛定谔绘景 (27)（2）海森堡绘景 (28)第六章 量子力学的矩阵形式及表示理论§6.1 量子体系状态的表示现在来讨论体系状态的“坐标”—状态表示如果有一组力学量Mˆ构成一力学量完全集，其共同本征函数构成一正交，归一和完备组，并有封闭性。

()mn n m ,δ=ϕϕ)r r ()r ()r (*m mm '-δ='ϕϕ∑于是，任一波函数⎰''ψ'-δ=ψr d )r ()r r ()r (⎰∑''ψ'ϕϕ=r d )r ()r ()r (m*m m∑ϕ=mm m a )r (。

⎰ψϕ=''ψ'ϕ=),(r d )r ()r (a m *m m2m a 是在)r (ψ中测得力学量M ˆ取值为m 的几率（若)r (ψ是归一化的）。

显然，当选定一组力学量完全集Mˆ 后，则集合 {}m a 是与 )r (ψ 完全等价的，它完全确定了体系的状态。

我们将会看到，{}m a 与)r (ψ一样，提供给我们同样多的信息。

状态表示的定义：若力学量的完全集M ˆ的共同本征函数组为m ϕ，则),(a m mψϕ=的全体{}m a ，被称为体系所处态ψ在Mˆ表象中的表示，也可以看作态矢量ψ在m ϕ作为基矢所张的“坐标系”中的“坐标”。

第四章矩阵力学基础(Ⅱ)——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示 (1) 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。

以一维的x 坐标为例。

算符xˆ本征方程是)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (4-1-1) 本征函数是).(x x '-δ量子态)(x 'ψ总可按x 的本征函数系展开，得dxx x x x )()()('-='⎰δϕϕ （4.1.2）展开系数必)(x ϕ就是该量子态在x 表象的表示，即波函数。

(2) 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。

选x 为自变量，动量算符的本征函数是平面波。

以动量算符x pˆ为例，其本征态为： x p ip x x ex2121=/)()(πϕ (4 .1 .3)将量子态)(x ϕ按)(x xp ϕ展开==⎰x p x dp x p C x x )()()(ψϕxx x p i dp p C ex )()(/⎰2121π (4 .1 .4)C(p x )就是动量表象中的波函数。

这正是第二章中已熟知的结果。

动量表象也可以用动量为自变量表示。

在P x 表象中，粒子具有确定动量分量P x 的波函数是以P x 为自变量的函数)()(ˆx x x x x x p p p p p p'-'='-δδ （4.1.5） 在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2)式的方式给出。

(3) 任意表象设有某一线性厄米算符Q ˆ。

为叙述方便起见，假定算符Q ˆ具有分立本征值谱。

它的本征方程为)()(ˆr u Q r u Q nn n = (4.1.6) 将波函数),(t r ϕ按Q ˆ算符的正交归一本征函数系)}({r u展开∑=nn n r u t a t r )()(),(ϕ （4.1.7）展开系数{a n (t)}就是波函数必),(t rϕ在Q 表象中的表示。

-/§4.2量子力学的矩阵表示一、态的表示 二、算符的表示三、量子力学公式的矩阵表示用力学量完全集 },ˆ,ˆ{ B A的正交、归一和完备的本征态矢量的集合},,{ b a 作基底的表象，称为},ˆ,ˆ{ B A表象。

为书写简便，用Fˆ代表},ˆ,ˆ{ B A ，用n 代表 ,,b a ，用n 代表本征值谱},,{ b a . 把},ˆ,ˆ{ B A表象简称为Fˆ表象。

以分立谱为例 本征方程： n n Fn ˆ 基底： },3,2,1;{ n n 正交归一化： n m n m , 封闭关系： I n n n一、态的表示-/态 在Fˆ表象上的表示为一个列矩阵21Ψ21C C矩阵元 n C n 代表态 在基底n 上的投影，或称为展开系数。

它可在坐标表象上计算x x x x x x n n C n nd d )()(*态 和 的内积可以通过列矩阵相乘得到ΨΦ其中21Φ，21Ψ.这是因为n n nn n nn n n*21,2,1**ΨΦ若 0ΨΦ，则称态Ψ和Φ正交。

而1ΨΨ则是指态Ψ是归一化的。

基底m 在自身表象上的表示为010Φ m 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mΦΦ. 态向基底的展开写成1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦnn C .对于连续谱情况本征方程： Fˆ 基底： }{正交归格化： )( 封闭关系： Id态 在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值 的函数 )(态 和 的内积为d )()(*因为d d d )()(][*归一化条件为1)()(*d .而基底 在自身表象上表示为)( .二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。

因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。

Lˆ m n n Lm n ˆ m n n Lm nˆ212122211211L L L LΦL Ψ矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ 可以在坐标表象上计算。

量⼦⼒学的矩阵形式及表象理论量⼦⼒学习题（三年级⽤）北京⼤学物理学院⼆O O三年第⼀章绪论1、计算下列情况的Broglie d e-波长，指出那种情况要⽤量⼦⼒学处理：（1）能量为eV .0250的慢中⼦()克2410671-?=µ.n；被铀吸收；（2）能量为a MeV 的5粒⼦穿过原⼦克2410646-?=µ.a；（3）飞⾏速度为100⽶/秒，质量为40克的⼦弹。

2、两个光⼦在⼀定条件下可以转化为正、负电⼦对，如果两光⼦的能量相等，问要实现这种转化，光⼦的波长最⼤是多少？3、利⽤Broglie d e -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原⼦能量可能值。

第⼆章波函数与波动⼒学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=（1）求归⼀化常数（2）.?p ?,x x ==2、求ikrikr ere r -=?=?1121和的⼏率流密度。

3、若(),Be e A kx kx -+=?求其⼏率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、⼀维运动的粒⼦处于()?<>=λ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归⼀化系数A 和粒⼦动量的⼏率分布函数。

5、证明：从单粒⼦的薛定谔⽅程得出的粒⼦的速度场是⾮旋的，即求证0=??其中ρ=υ/j6、⼀维⾃由运动粒⼦，在0=t时，波函数为 ()()x ,x δ=?0求：)t ,x (=2第三章⼀维定态问题1、粒⼦处于位场()000000≥=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒⼦由右向左运动）2、⼀粒⼦在⼀维势场>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。

（1）求粒⼦的能级和对应的波函数；（2）若粒⼦处于)x (n ?态，证明：,/a x 2= ().n a x x ??π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有⼀位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“⼊射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁⽆限⾼位垒中粒⼦的束缚态能级和波函数()>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒⼦在下列位场中运动的能级()>µω≤∞=021022x x x V X6、粒⼦以动能E ⼊射，受到双δ势垒作⽤()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射⼏率和透射⼏率，以及发⽣完全透射的条件。