2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：12 函数模型及应用 Word版含解析

课时作业12函数模型及应用一、选择题1．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( A )A.一次函数模型 C ．指数函数模型 D ．对数函数模型解析：由表中数据知x ，y 满足关系y ＝13＋2(x －3)．故为一次函数模型．2．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( D )A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)，方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)，因为210<211.6，故方法①省钱．3．一个人以6 m/s 的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m 时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s 2的加速度匀加速开走，那么( D )A ．人可在7 s 内追上汽车B ．人可在10 s 内追上汽车C ．人追不上汽车，其间距最少为5 mD ．人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7.4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.故选D.5．李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( B )A ．10步，50步B ．20步，60步C ．30步，70步D ．40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．故选B.6．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30 ，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( D )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析：由题意M ′(t )＝M 02－t 30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.二、填空题7．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是108元．解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.8．某人根据经验绘制了2017年春节前后，从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月26日大约卖出了西红柿1909千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9．已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎨⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升．则此驾驶员至少要过4小时后才能开车．(精确到1小时) 解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则35⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车．三、解答题10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x －48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号．所以年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，为32万元．(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以x ＝210时，R (x )有最大值，为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．11．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超过4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12；当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112×(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.12．(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1； ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是p 2.解析：①设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )，则Q i ＝2y i (i ＝1,2,3)．因此只需比较C 1，C 2，C 3三个点纵坐标的大小即可．不难发现y 1最大，所以Q 1最大．②由题意，知p i＝y i x i(i ＝1,2,3)．故只需比较三条直线OC 1，OC 2，OC 3的斜率即可，发现p 2最大． 13．牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同．假定保鲜时间y (单位：h)与储藏温度x (单位：℃)间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中，保鲜时间约是42 h.(1)写出保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式．(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：22732≈0.93)解：(1)保鲜时间y 与储藏温度x 间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ ka 0＝192，ka 22＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝192，a ＝22732≈0.93，故所求函数解析式为y ＝192×0.93x .(2)设f (x )＝192×0.93x ，因为f (x )是减函数，且10>5，所以f (10)<f (5)，所以把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14．我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A ．2[x ＋1]B ．2([x ]＋1)C ．2{x }D ．{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.15．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t的变化关系．Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120；(2)最低种植成本是80(元/100 kg)．解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01. 所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.。

课后限时集训(十二)函数模型及其应用(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是() A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100C[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.]2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.p＋q2B.(p＋1)(q＋1)－12C.pqD.(p＋1)(q＋1)－1D[设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x＝(1＋p)(1＋q)－1，故选D.]3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)()A．1033B．1053 C．1073D．1093D[由题意，lg MN＝lg33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与MN最接近的是1093.故选D.]4．血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是()A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 D [结合图象易知A ，B ，C 均正确，D 选项中的描述会中毒，故选D .]5．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B (x －A )，x ＞A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如下表：A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12(x －5)，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A .]二、填空题6．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 4．24 [∵m ＝6.5， ∴[6.5]＝6，∴f (6.5)＝1.06(0.5×6＋1)＝4.24.]7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m .20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)， 当x ＝20时，S max ＝400.]8．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x (a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．5 [设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元． 利润分别为Q ＝a2 x (a ＞0)，P ＝20－x 4，因为P ＋Q ≥5,0≤x ≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，0≤x ≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x ≤20时，分离参数a ≥x2，0＜x ≤20时恒成立， 所以a ≥5，a 的最小值为5.] 三、解答题9．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销售x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x ＝3－2t ＋1函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润是多少万元． [解] 由题知t ＝23－x－1，(1＜x ＜3)， 所以月利润：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即月最大利润为37.5万元．10．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1； (ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． [解] (1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10,100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10,100]时，f (x )≤5恒成立．③当x ∈[10,100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1， 它在[10,100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x ＞80时，y ＞5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．(b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①， x ＝100时，y max ＝log 2 100－2＝2log 2 5＜5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②， 设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10,100]，所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )＜log 2e 10－15＜210－15＝0，所以h (x )在[10,100]上是递减的， 因此h (x )＜h (10)＝log 210－4＜0， 即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．B 组 能力提升1．(2019·武汉检测)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元D ．43.025万元C [设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－110⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2122＋110×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]2．(2018·山西一模)如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，|AB |＝6，|BC |＝2.若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动．设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数y ＝f (θ)的图象大致是( )A BC DA[当θ＝π时，y＝2，排除B和C；当θ＝0时，y取得最小值－2，排除D，故选A.]3．某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是________．(参考数据：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.301)2026[设从2018年后，第x年该公司全年投入的研发资金为y万元，则y＝300×(1＋10%)x，依题意得，300×(1＋10%)x＞600，即1.1x＞2，两边取对数可得x＞lg 2lg 1.1＝0.3010.041≈7.3，则x≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2026年．]4．(2019·湖北八校联考)已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x(x＞0)件产品的销售收入是R(x)＝－14x2＋500x(元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝总利润总产量)．销售商从工厂以每件a元进货后，又以每件b元销售，且b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b －a是c－b，c－a的比例中项时来确定．(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？并求P(x)的最大值；(2)求乐观系数λ的值；(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．[解](1)依题意设总利润为L(x)，则L(x)＝－14x 2＋500x－100x－40 000＝－14x2＋400x－40 000(x＞0)，∴P(x)＝－14x2＋400x－40 000x＝－14x－40 000x＋400≤－200＋400＝200，当且仅当14x＝40 000x，即x＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b ＝a ＋λ(c －a )，得λ＝b －ac －a .∵b －a 是c －b ，c －a 的比例中项， ∴(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边同时除以(b －a )2，得1＝(c －a )－(b －a )b －a ·c －a b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a b －a －1c －ab －a，∴1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1·1λ，解得λ＝5－12或λ＝－5－12(舍去)．故乐观系数λ的值为5－12.(3)∵厂家平均利润最大，∴a ＝40 000x ＋100＋P (x )＝40 000400＋100＋200＝400. 由b ＝a ＋λ(c －a )，结合(2)可得b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)， ∴b ＝100(5＋3)．故a 与b 的值分别为400,100(5＋3)．。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

课时作业(十二) [第12讲函数模型及其应用]（时间:４5分钟分值:1０0分）基础热身图Ｋ12－１1.“红豆生南国，春来发几枝?”，图K12-１给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝）的散点图,那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( ）Ａ．y＝ｔ２Ｂ．ｙ=loｇ２tC．ｙ=2ｔD．y＝2t２2．等边三角形的边长为ｘ,面积为y,则y与x之间的函数关系式为( )A.ｙ＝x2B.y=错误!x2C.y＝错误!x２ D．ｙ＝错误!x23.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长4４%,若每年的平均增长率相同（设为x),则以下结论正确的是（)A．x>22% B．x<22%C.x=2２% D．ｘ的大小由第一年的产量确定4．某种储蓄按复利计算利息,若本金为a元,每期利率为ｒ,存期是x，本利和(本金加利息)为y元,则本利和y随存期x变化的函数关系式是＿_____＿_.错误!5.某电视新产品投放市场后第一个月销售10０台,第二个月销售２00台,第三个月销售４００台，第四个月销售７90台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( ）A.ｙ＝100x B．ｙ＝５０x２-50x＋100C．y＝５0×2x D．y＝10０loｇ2x＋１００6．[2012·华南师大附中模拟] 在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=ｆ（x)，一种是平均价格曲线y＝g（x)(如f(2)=3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g(2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元）.下面所给出的四个图象中，实线表示ｙ=f(x）,虚线表示y＝ｇ(x),其中可能正确的是（ )图K1２-2７.[2０12·商丘一模] 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元）分别为L1＝5.06x－0.１5ｘ2和Ｌ2=2x,其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )Ａ．４５.６0６万元Ｂ．4５．6万元C．4５.５6万元Ｄ.４5.51万元８．[2０13·荆州中学一检] 下列所给4个图象中,与所给3件事吻合最好的顺序为( )(a)我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;(b)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间；（c)我出发后,心情轻松,缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．图K1２-3Ａ．(1)（2）(4) B．（4)(2)(3）C．(4）(1)(３) Ｄ.(4)(1)(2)9．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产ｘ件,则平均仓储时间为＼f（x,８)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品( )A．60件Ｂ．８0件 C.100件 D．1２0件图Ｋ１2－４10.一位设计师在边长为３的正方形ＡBCＤ中设计图案，他分别以Ａ,B，Ｃ，D为圆心,以b错误!为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线）构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为__＿__＿＿_.图K1２-5１1.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位:10万元)与营运年数x（ｘ∈Ｎ）为二次函数关系（如图K１2－5所示)，若每辆客车营运的年平均利润最大，则营运的年数为________年．12.某市出租车收费标准如下:起步价为8元，起步里程为3 ｋm（不超过3 km按起步价收费）；超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.１5元收费;超过８ km时，超过的部分按每千米2．８5元收费,每次乘车需付燃油附加费1元,现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了___＿____千米.图K１2-613.[2013·上海南汇一中月考] 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(ｍｇ)与时间t(h)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为ｙ=错误!错误!(a为常数)，如图K12-6所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25 mg以下时,学生方可进教室，那从药物释放开始,至少需要经过_＿＿_____h后,学生才能回到教室.１4．(10分）某地上年度电价为0.８元,年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.５５元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量ｙ(亿千瓦时）与(x－０.4）元成反比例．又当x＝0.６５时，y＝0.８.(1)求y与x之间的函数关系式;(２)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年增加２0%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]15．(13分)[２０13·重庆北江中学月考] 围建一个面积为3６0 ｍ2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为２ m的进出口，如图K1２－7所示．已知旧墙的维修费为４５元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:ｍ),修建此矩形场地围墙的总费用为ｙ(单位：元).（1）将y表示为x的函数；(2）试确定ｘ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．图K1２-7错误!１6．(1２分)江苏省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指数ｆ（x）与时刻x(时）的关系为ｆ（x）=错误!＋2ａ+错误!，ｘ∈［0，24］，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈错误!．若用每天f （x ）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作Ｍ(a ）．（１)令t ＝＼f (x,ｘ2+1),x ∈[0，２4］，求t 的取值范围；（2)省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过2,试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？ﻬ课时作业(十二)【基础热身】１．A [解析］ 由函数的图象知Ｂ显然不符，将t ＝6代入发现Ｃ不符,将t ＝２代入发现D 不符,故选A ．本题也可取几个特殊点代入验证.2.Ｄ [解析] ｙ=１２·x ·x ·sin ６０°=错误!x 2.故选Ｄ. 3．Ｂ [解析］ (１+ｘ）２＝1+44%,解得x =0.2<0.22．故选B.4.y ＝a (1＋r ）ｘ(ｘ∈N ＊) [解析] 按复利的计算方法得y =a (1+r )ｘ(x ∈N *)，注意不要忘记定义域．【能力提升】5．C [解析] 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型.6．C ［解析] 开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，Ｂ,D 均错误，故选C.７．B [解析] 依题意可设甲地销售ｘ辆，则乙地销售(15－x )辆,所以总利润Ｓ＝5.0６x －０．15x 2+２(15-ｘ)＝－０.15x 2+３.0６ｘ＋３0(０≤x ≤１5，x ∈N )．所以当x =10时,S m ａx ＝45.6(万元).８.Ｄ ［解析］ 图（4)中有一段时间显示离开家的距离为零，与(a ）吻合；图(1)中有一段时间显示离开家的距离没有变化，与(ｂ)吻合；图（2)显示离开家的距离在不断加快,图(3)显示离开家的距离在增加，但是增加的速度越来越慢.故选D ．9.B [解析] 仓储费用＼ｆ（ｘ,8)×ｘ×１=＼f (x 2,8)，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 y ＝错误!=错误!＋错误!≥2错误!=２0，当且仅当错误!=错误!，即x =80时等号成立，所以每批应生产产品8０件，故选B. 10．3π [解析] 由题意实线部分的总长度为l =4(3-2b )＋2πb ＝（２π-8)b +12,l 关于b 的一次函数的一次项系数２π－8<０，故l 关于ｂ为单调减函数,因此，当b 取最大值时,l取得最小值,结合图形知,b 的最大值为32，代入上式得l 最小=(2π-8)×错误!+12＝3π. 11.5 [解析］ 依题意设二次函数的解析式为ｙ＝a (x －６)2+11,将点（4,７)代入，解得a =-１,所以y =－(ｘ-６）2＋11＝－x 2＋1２x -25,则年平均利润为错误!=错误!＝1２－x＋25ｘ≤1２－2错误!=２，当且仅当x =５时，年平均利润达到最大值. 1２.9 [解析] 设乘客每次乘坐出租车需付费用为f (x )元,由题意得,ｆ(x )＝错误!令ｆ(x ）=22.6,解得x ＝9.１3.0.6 ［解析] 由图可知,当t =0．1时，y ＝1,代入y ＝错误!错误!得a ＝０．1,所以y ＝错误!错误!.依题意得错误!错误!<０.25,即错误!错误!<错误!，解得t >0.6.１４．解:（1)因为y 与(x －０.4)成反比例,所以设y ＝错误!(k ≠０).把x ＝0. 65，ｙ＝０.８代入上式,得0．8＝k 0.６5-0.4,ｋ=0.2. 所以ｙ=错误!=错误!，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝错误!(０.55≤x ≤0．75)．（2）根据题意,得错误!·(x －0.3)=1×(0.8－０．3)×(1＋20%）.整理,得x ２-1．1x +０.3＝0,解得ｘ1＝0．5,x 2＝０.６.经检验ｘ1＝０.５，ｘ2=0.６都是所列方程的根.因为x 的取值范围是０.55～0．7５，故x =0.５不符合题意，应舍去．所以ｘ＝0.6.所以当电价调至0.6元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20％.15．解：(１)设矩形的另一边长为a m,则y =45x ＋18０（ｘ－2）＋1８0·2a =225ｘ＋３6０a -３6０,由已知xa ＝360,得ａ＝36０ｘ. 所以y =225x ＋错误!－360(x >0）.(２)∵x >0,∴22５x ＋错误!≥2错误!＝10 800.∴ｙ＝２2５x ＋3602x－3６0≥10 ４４0.当且仅当2２5ｘ＝错误!时，等号成立． 即当x =２4 m 时，修建围墙的总费用最小,最小总费用是10 440元.【难点突破】16．解:（１)当x ＝０时，t ＝0;当０<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号）， 所以t ＝错误!=错误!∈0,错误!,即ｔ的取值范围是0,错误!.(2）当ａ∈０，＼f (1，２)时,记g （t )=|ｔ-a ｜+２a ＋23， 则g (t )=错误!因为g (t ）在[0，ａ]上单调递减,在a ，＼f (１,2)上单调递增， 且g (0)＝３a +错误!,g 错误!＝ａ+错误!，g (0)-g ＼ｆ(1，２)=２a -错误!.故M (ａ)=错误!即M (a ）＝错误!所以当且仅当a ≤4９时,Ｍ(a )≤2. 故当0≤a ≤错误!时不超标,当错误!<a ≤错误!时超标．。

新高考数学复习考点知识与题型专题练习12 函数的应用一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．一个矩形的周长是20，矩形的长y 关于宽x 的函数解析式为（ ）（默认y >x ） A ．y ＝10－x (0<x <5) B ．y ＝10－2x (0<x <10) C ．y ＝20－x (0<x <5) D ．y ＝20－2x (0<x <10) 【答案】A【解析】由题意可知2y ＋2x ＝20，即y ＝10－x ，又10－x >x ，所以0<x <5. 所以函数解析式为()1005y x x =-<<. 故选：A2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）A ．310元B ．300元C ．390元D ．280元 【答案】B 【解析】依题意80013008000121y --=--，解得300y =.故选：B3．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，第一季度共获利42万元，已知二月份和三月份利润的月增长率相同.设二、三月份利润的月增长率为x ，则x 满足的方程为（ ） A ．210(1)42x += B ．21010(1)42x ++=C ．1010(1)10(12)42x x ++++=D ．21010(1)10(1)42x x ++++= 【答案】D【解析】二、三月份利润的月增长率为x ，则二月份获得利润为10(1)x ⋅+万元，三月份获得利润为210(1)x ⋅+万元， 依题意得：21010(1)10(1)42x x +⋅++⋅+=. 故选：D.4．某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（ ） A ．1180元B ．1230元C ．1250元D ．1152元 【答案】A【解析】由第③种方案可知，5003016.7÷≈，1730510⨯=，51080430-=， 4305100.84÷≈，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票30张： 30300.8720⨯⨯=(元)，再以第③种方案购买余下的18张：183080460⨯-=(元)，所以共需要7204601180+=(元). 故选：A.5．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系2010000.70.3vN v v d =++，其中0d 为安全距离，v 为车速()m /s .当安全距离0d 取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ） A ．135B ．149 C ．165D ．195 【答案】B【解析】由题意得，2010001000149300.70.30.70.3v N v v d v v==≈++++，当且仅当300.3v v=，即10v =时取“=”，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 故选：B6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（ ）m ．A ．400B ．12C ．20D ．30 【答案】C【解析】设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得404040x y -=，0<x <40， 解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)， 当x ＝20时，S max ＝400． 故选：C.7．一等腰三角形的周长是20，底边y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ） A ．()20210y x x =-≤B ．()20210y x x =-< C ．()202510y x x =-≤≤D ．()202510y x x =-<< 【答案】D【解析】依题意得220x y +=，所以202y x =-，由三边形三边关系可得20y xy <⎧⎨>⎩，即02022x x <-<，解得510x <<.因此，函数解析式为()202510y x x =-<<. 故选：D.8．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x （元）与月销售量y （件）满足函数关系式216008000y x x=+．为了获得最大利润，商品售价应为（ ） A ．80元B ．60元C ．50元D ．40元 【答案】D【解析】由题意可知，利润22160008001600008000()(10)800f x x x x x x ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭， 令1t x =，则2()1600008000800g t t t =-++．当且仅当140t =即40x =（元） 时利润最大． 故选：D.二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费：超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是（ ） A ．出租车行驶2km ，乘客需付费8元 B ．出租车行驶4km ，乘客需付费9.6元 C ．出租车行驶10km ，乘客需付费25.45元D ．某人乘出租车行驶5km 两次的费用超过他乘出租车行驶10km 一次的费用 E.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km 【答案】CDE【解析】解：在A 中，出租车行驶2km ，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A 错误；在B 中，出租车行驶4km ，乘客需付费81 2.15111.15+⨯+=元，B 错误；在C 中，出租车行驶10km ，乘客需付费()8 2.155 2.85108125.45+⨯+⨯-+=元，C 正确； 在D 中，乘出租车行驶5km ，乘客需付费82 2.15113.30+⨯+=元，乘坐两次需付费26.6元，26.625.45>，D 正确；在E 中，设出租车行驶xkm 时，付费y 元，由85 2.15119.722.65+⨯+=<知8x >，因此由()8 2.155 2.858122.6y x =+⨯+-+=，解得9x =，E 正确．故选：CDE ．10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 【答案】ABD【解析】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点． 故选：ABD ．11．某工厂八年来某种产品总产量y （即前x 年年产量之和）与时间x （年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ）A ．前三年中，总产量的增长速度越来越慢B ．前三年中，年产量的增长速度越来越慢C ．第三年后，这种产品停止生产D ．第三年后，年产量保持不变【答案】AC【解析】由题中函数图像可知，在区间[0]3，上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确，由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误，在[38]，上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此C正确，D错误.故选：AC12．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216【答案】ACD【解析】根据题意，甲一共加工的时间为(120)(12820)120-+-=分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是6005120=，所以选项A正确，设D的坐标为(,0)t，在区间(128,)t和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB和CD的斜率相等，则有ABO CDB∠=∠，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得AOB CBD∠=∠，则AOB CBD∽，则有12128202020t-=-，解可得200t=；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600=3200个， 所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）2=80⨯个零件，所以选项B 错误； 当128x =时，(12820)2216y =-⨯=，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD三、填空题：本题共4小题．13．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元. 【答案】2250【解析】设彩电的原价为a 元，∴a (1＋40%)·80%－a ＝270，∴0.12a ＝270，解得a ＝2 250. ∴每台彩电的原价为2 250元. 故答案为：2250.14．现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N 粒.则红豆和白豆共有________粒. 【答案】58【解析】设红豆有x 粒，白豆有y 粒， 由第一轮结果可知：1042x y -=，整理可得：220x y =-； 由第二轮结果可知：2yx n =-，整理可得：22y x n =-； 当17n =时，由220234x y y x =-⎧⎨=-⎩得：883743x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当18n =时，由220236x y y x =-⎧⎨=-⎩得：923763x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）；当19n =时，由220238x y y x =-⎧⎨=-⎩得：3226x y =⎧⎨=⎩，322658x y ∴+=+=，即红豆和白豆共有58粒. 故答案为：58.15．已知函数()12,01,33,>1.22x x xf x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩若方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根12,x x ，且满足121223x x <<，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】解：因为()12,01,33,>1.22x x xf x x x ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩，函数图象如下所示：当01x <≤时，()12f x x x =+，由图可知当12x x =即x =时，函数取得最小值()min f x =()13f =，132f ⎛⎫=⎪⎝⎭当a >()()f x a a R =∈才有两个不同的实根，当3a ≤时，方程()()f x a a R =∈有两个不同的实根，即12x a x+=有两个解，即2210x ax -+=有两个根，此时1212x x =，不符题意，当3a >时，y a =分别与12y x x =+、3322y x =+有交点，设12x x <，则1210,12x x <<>由112123322x a x x a⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去a 得211213321022x x x x +--=，所以212114233x x x x =+-，因为121223x x <<，所以21114222333x x <+-<，解得1104x <<，或1112x <<，又因为1102x <<，所以1104x <<，由函数图象可知()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又1942f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以()19,2f x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故9,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16．某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法､合理的成年男子高个子系数k 关于身高()cm x 的函数关系式___________.【答案】()0,0160,1160,160190,301,190.x k x x x <≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩，(只要写出的函数满足在区间[]160,190上单调递增，且过点()160,0和()190,1即可.答案不唯一)【解析】由题意函数()k x 是[160,190]上的增函数，设()(0)k x ax b a =+>，[160,190]x ∈， 由16001901a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得130163a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以116()303k x x =-，所以()0,0160,1160,160190,301,190.x k x x x <≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩故答案为：()0,0160,1160,160190,301,190.x k x x x <≤⎧⎪⎪=-<<⎨⎪≥⎪⎩注：在[160,190]上设其他函数式也可以，只要是增函数，只有两个参数．如(0)ay b a x=->，2y ax b=+(0)a >等等．四、解答题：本题共4小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，*t N ∈，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当210t ≤<时，载客量会减少，减少的人数与(10)t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为()p t .（1）求()p t 的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为6()3360360p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩；（2）6分钟. 【解析】（1）由题意知21200(10),?210()?()1200,?1?020k t t p t t N t *⎧--≤<=∈⎨≤≤⎩，（k 为常数）， 因2(2)1200(102)120064560p k k =--=-=，则10k =，所以210200200,?210()()1200,1?020t t t p t t N t *⎧-++≤<=∈⎨≤≤⎩；（2）由6()3360360p t Q t -=-得26(10200200)3360360,?2103840360,1?020t t t t Q t t⎧-++--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩， 即)3684060(),210(3840360,1020t t t Q t N t t*⎧-+≤<⎪⎪=∈⎨⎪-≤≤⎪⎩， ①当210t ≤<时，3684060()8406012120Q t t=-+≤-⨯=，当且仅当6t =等号成立； ②当1020t ≤≤时，3840360Q t=-在[10，20]上递减，当10t =时Q 取最大值24， 由①②可知，当发车时间间隔为6t =分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元. 18．重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于成本的60%.经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合函数y kx b =+，且70x =时，30y =；60x =时，40y =.（1）求函数y kx b =+的解析式；（2）若该服装店获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）()1005080y x x =-+≤≤；（2）21505000W x x =-+-()5080x ≤≤，销售价定为每件75元时，可获得最大利润是625元.【解析】（1）因为()5050160%x ≤≤+ ，所以5080x ≤≤，由题意得：70306040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1100k b =-⎧⎨=⎩， 所以函数的解析式为：()1005080y x x =-+≤≤，（2）由题意知：利润为()()2501001505000W x x x x =--+=-+-()5080x ≤≤，因为()22150500075625W x x x =-+-=--+，所以当75x =时，W 取得最大值，最大值是625.所以利润W 与销售单价x 之间的关系式为21505000W x x =-+-()5080x ≤≤，销售价定为每件75元时，可获得最大利润是625元.19．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/时）是关于车流密度x （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米，造成阻塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时，研究表明，当20200x <≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）()()f x x v x =⋅可以达到最大？并求出最大值.（结果精确到1辆/时）【答案】（1）60020()1(200)202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，，；（2）100x =，最大值为3333. 【解析】（1）由题意得，当020x ≤≤时，()60v x =，当20200x <≤时，设()v x ax b =+，由已知得20002060a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故函数60020()1(200)202003x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，，； （2）依题意得，60020()1(200)202003x x f x x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，，， 当[]0,20x ∈时，()f x 为增函数，此时，()01200f x ≤≤，当(20,200]x ∈时，21110000()(200)(100)333f x x x x =-=--+， 最大值为10000(100)12003f =>， ∴当100x =时，()f x 的最大值为1000033333≈. 20．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格()P x （元）与时间x （天）的函数关系近似满足()1k P x x=+（k 为正常数）.该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10（1）求k 的值;（2）给出以下二种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式;（3）求该商品的日销售收入()()130,f x x x N +≤≤∈（元）的最小值.【答案】（1）1k =；（2）()()12525130,Q x x x x N +=--≤≤∈；（3）最小值为121元.【解析】（1）依题意知第10天该商品的日销售收入为(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =. （2）由题中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故只能选②()25Q x a x b =-+.(10)110Q =，(20)120Q =，可得1025=1102025=120a b a b ⎧-+⎪⎨-+⎪⎩，解得：=1=125a b -⎧⎨⎩ ∴()()12525130,Q x x x x N +=--≤≤∈ （3）由（2）知()12525Q x x =--100,125,,150,2530,,x x x N x x x N +++≤<∈⎧=⎨-≤≤∈⎩∴()()()f x P x Q x =⋅100101,125,,150149,2530,.x x x N x x x x N x++⎧++≤<∈⎪⎪=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩当125x ≤<时，100y x x=+在区间[]1,10上是单调递减的，在区间[10,25)上是单调递增， 所以当10x =时，()f x 取得最小值，且min ()121f x =;当2530x ≤≤时，150y x x=-是单调递减的，所以当30x =时，()f x 取得最小值，且min ()124f x =. 综上所述，当10x =时，()f x 取得最小值，且min ()121f x =.故该商品的日销售收入()f x 的最小值为121元.。

第12课函数模型及其应用1．利用函数图像刻画实际问题(1)(2015北京，5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．图12－2描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )图12－2A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案：D解析：汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此选项A显然不对；选项B，应是甲车耗油最少；选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10千米/升，故消耗8升汽油；由图可知，当速度小于80千米/小时，丙车的燃油效率高于乙车，因此用丙车更省油，故选D. 2．函数模型的实际应用a．一次函数模型(2)(2015北京，5分)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升) 加油时累计里程(千米)2015年5月1日12 350002015年5月15日48 35600注：在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A．6升B．8升C．10升D．12升答案：B解析：由题意知，2015年5月1日至2015年5月15日的耗油量为48升，行驶的路程为35600－35000＝600(千米)．设行驶的路程为x千米，耗油量为y升，则y与x之间的函数关系式为y＝kx(x>0)，∴每千米的平均耗油量为k ＝y x＝48600＝0.08(升/千米)，∴该车每100千米平均耗油量为0.08×100＝8(升)． b ．二次函数模型(3)(2018河南濮阳期末，5分)辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x 天 4 10 36 市场价y 元905190根据上表数据，y(元)与上市时间x(天)的变化关系：①y ＝ax ＋b ；②y ＝ax 2＋bx ＋c ；③log b y a x =.利用你选取的函数，求：辽宁号航母纪念章市场价最低时，上市________天，最低价格为________元． 答案：20 26解析：根据题意知，随着x 的增加，y 的值先减后增，而所给的三个函数中，y ＝ax ＋b 和log b y a x =显然都是单调函数，不满足题意，∴所选函数为y ＝ax 2＋bx ＋c.把(4，90)，(10，51)，(36，90)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧a·42＋4b ＋c ＝90，a·102＋10b ＋c ＝51，a·362＋36b ＋c ＝90，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－10，c ＝126，∴y ＝14x 2－10x ＋126＝14(x －20)2＋26，∴当x ＝20时，y 有最小值，y min ＝26.故辽宁号航母纪念章市场价最低时，上市20天，最低价格为26元． c ．指数函数模型(4)(2018北京海淀期中，5分)某商品的价格在近四年中不断波动，前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格相比较，变化情况是( ) A ．不增不减 B ．约增1.4% C ．约减9.2%D ．约减7.8% 答案：D解析：设该商品原价为a ，最后一年的价格为a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝0.9216a ，所以（1－0.9216）a a ×100%＝0.0784aa×100%＝7.84%，即比原来减少了7.84%.故选D. (5)(2018北京大兴一模,5分)恩格尔系数n ＝食品消费支出总额消费支出总额×100%，国际上常用恩格尔系数n 来衡量一个地区家庭的富裕程度．某地区家庭2018年底恩格尔系数n 为50%，刚达到小康，预计从2019年起该地区家庭每年消费支出总额增加10%，食品消费支出总额增加5%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数n 满足30%<n ≤40%达到富裕水平至少经过( )(参考数据：lg0.6≈－0.22，lg0.8≈－0.09，lg21≈1.32，lg22≈1.34) A ．4年 B ．5年 C ．11年 D ．12年 答案：B解析：设该地区2018年底的食品消费支出总额为a ，则消费支出总额为2a.设x 年后达到富裕水平，则(10.05)2(10.1)x x a n a +=+×100%＝12×2122x ⎛⎫ ⎪⎝⎭×100%，∴30%<12×2122x ⎛⎫ ⎪⎝⎭×100%≤40%，即0.6<2122x⎛⎫ ⎪⎝⎭≤0.8，两边同取对数得lg0.6<x(lg21－lg22)≤lg0.8，即lg0.8lg21－lg22≤x<lg0.6lg21－lg22，而lg0.8lg21－lg22≈4.5，lg0.6lg21－lg22≈11，故最少需要5年．d ．对数函数模型(6)(经典题，12分)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过5万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(Ⅰ)若建立函数模型y ＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (Ⅱ)现有两个奖励函数模型：①y ＝120x ＋1；②2log 2y x =-.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．答案：(Ⅰ)奖励函数模型y ＝f(x)满足的条件是： ⅰ.当x ∈[10，100]时，f(x)是增函数； ⅱ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤5恒成立； ⅲ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤x5恒成立(Ⅱ)函数模型①不符合，函数模型②符合 解：(Ⅰ)奖励函数模型y ＝f(x)满足的条件是： ⅰ.当x ∈[10，100]时，f(x)是增函数；(1分) ⅱ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤5恒成立；(2分) ⅲ.当x ∈[10，100]时，0<f(x)≤x5恒成立．(3分)(Ⅱ)对于函数模型y ＝120x ＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件ⅰ；当x ＝80时，y ＝5，因此当x>80时，y>5，不满足条件ⅱ，故该函数模型不符合公司要求．(6分) 对于函数模型2log 2y x =-，它在[10，100]上是增函数，满足条件ⅰ；当x ＝100时，y max ＝21og 20l 0y =-＝22log 5<5，即f(x)≤5恒成立，满足条件ⅱ；设h(x)＝2log 2x -－15x ，则h′(x)＝2log e x－15， ∵x ∈[10，100]，∴1100≤1x ≤110，∴h′(x)≤2log e 10－15<210－15＝0，∴h(x)在[10，100]上是减函数，∴h(x)≤h(10)＝2log 104-<0，即f(x)≤x5恒成立，满足条件ⅲ，∴该函数模型符合公司要求．(11分)综上，函数模型2log 2y x =-符合公司要求．(12分)e ．对勾函数模型(7)(2018江苏扬州期末，16分)共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润．某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车．该公司取得了在10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入16×106元．设在每个省投放共享汽车的市的数量相同(假设每个省的市的数量足够多)，每个市都投放1000辆共享汽车．由于各个市的多种因素的差异，在第n 个市的每辆共享汽车的管理成本为(kn ＋1000)元(其中k 为常数)．经测算，若每个省在5个市投放共享汽车，则该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用为1920元．(本题中不考虑共享汽车本身的费用)注：综合管理费用＝前期一次性投入的费用＋所有共享汽车的管理费用，平均综合管理费用＝综合管理费用÷共享汽车总数． (Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)要使该公司每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，则每个省有几个市投放共享汽车？此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为多少元？ 答案：(Ⅰ)200 (Ⅱ)4个市，1900元解：(Ⅰ) 每个省在5个市投放共享汽车，则所有共享汽车为10×1000×5辆，所有共享汽车管理费用总和为[(k ＋1000)＋(2k ＋1000)＋(3k ＋1000)＋(4k ＋1000)＋(5k ＋1000)]×1000×10＝(15k ＋5000)×10000＝(3k ＋1000)×50000，(4分)所以16×106＋（3k ＋1000）×5×10410×1000×5＝1920，解得k ＝200.(7分)(Ⅱ)设在每个省有n(n ∈N *)个市投放共享汽车，每辆共享汽车的平均综合管理费用为f(n)，由题设可知f(n)＝110×1000×n×{16×106＋[(200＋1000)＋(400＋1000)＋…＋(200n ＋1000)]×1000×10}＝1600＋200n （n ＋1）2＋1000nn ＝100n ＋1600n ＋1100≥2100n ·1600n＋1100＝1900，(13分)当且仅当100n ＝1600n，即n ＝4时，等号成立．(15分)答：每个省有4个市投放共享汽车时，每辆共享汽车的平均综合管理费用最低，此时每辆共享汽车的平均综合管理费用为1900元．(16分) f ．分段函数模型(8)(2018陕西西安期中，12分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x ，120≤x<144，12x 2－200x ＋80000，144≤x ≤500，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(Ⅰ)当x ∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润，如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 答案：(Ⅰ)不获利，5000元 (Ⅱ)400吨解：(Ⅰ)当x ∈[200，300]时，设该项目获利为f(x)元，则f(x)＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋400x －80000＝－12(x －400)2，(3分)所以当x ∈[200，300]时，f(x)<0，因此该项目不会获利． 当x ＝300时，f(x)取得最大值，为－5000，所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．(5分) (Ⅱ)设二氧化碳每吨的平均处理成本为g(x)元，则g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5040x x，120≤x<144，12x 2－200x ＋80000x，144≤x ≤500，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5040，120≤x<144，12x ＋80000x －200，144≤x ≤500.(7分)①当x ∈[120，144)时，g(x)＝13x 2－80x ＋5040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，g(x)取得最小值240.(9分) ②当x ∈[144，500]时，g(x)＝12x ＋80000x －200≥212x ·80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时，g(x)取得最小值200.(11分)因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．(12分) g ．其他函数模型(9)(2018河南焦作期中，12分)某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t 百万元，可增加销售额约为(－t 2＋7t)百万元．(Ⅰ)若该公司一年的广告费至多为4百万元，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？ (Ⅱ)现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(1≤x≤5)百万元，可增加的销售额约为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋4lnx 百万元．请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大．(注：收益＝销售额－投放，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入) 答案：(Ⅰ)3百万元 (Ⅱ)4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销解：(Ⅰ)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)＝(－t 2＋7t)－t ＝－t 2＋6t ＝－(t －3)2＋9(0≤t ≤4)，(3分)所以当t ＝3时，f(t)取得最大值，最大值为9.即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大．(5分)(Ⅱ)若用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(5－x)百万元，设由此增加的收益为g(x)百万元，则g(x)＝12x 2＋4lnx ＋[－(5－x)2＋7(5－x)]－5＝－12x 2＋3x ＋4lnx ＋5(1≤x ≤5)，(8分)所以2434(4)(1)()3x x x x g x x x x x'---+=-++=-=-(1≤x ≤5)． 令g′(x)＝0，解得x ＝4或x ＝－1(舍去)． 当1<x ＜4时，g′(x)＞0，g(x)是增函数； 当4＜x<5时，g′(x)＜0，g(x)是减函数．(11分) 所以当x ＝4时，g(x)取到最大值．即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大．(12分)随堂普查练121．(经典题，5分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )答案：A解析：由切线的几何意义知，对路程s 求导，切线的斜率表示的是速度．由题意，一开始加速行驶，也就是切线斜率越来越大；然后是匀速行驶，此时切线斜率保持不变；最后是减速行驶到停车，对应的切线斜率越来越小，直到斜率为0，因此对应的图像应该为A.2．(经典题，5分)王先生购买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：(注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位)网络 月租费 本地话费 长途话费 甲：联通130 12元 0.36元/分 0.06元/秒 乙：移动“神州行”无0.60元/分0.07元/秒)的长途电话才合算．A ．300秒B ．400秒C ．500秒D ．600秒 答案：B解析：设王先生打长途电话的时间为x 秒，则打本地电话的时间为5x 秒，∴0.06x ＋0.36·5x60＋12≤0.07x＋0.6·5x60，解得x ≥400. 故选B.3．(2018安徽颍上月考，5分)某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件(卖不出去的商品可退还厂家)，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，销售价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( ) A ．90元B ．190元 C ．100元D ．110元 答案：B解析：设销售价提高x 元，获得的利润为y 元，由题意得y ＝(100＋x －80)(1000－5x)＝－5x 2＋900x ＋20000＝－5(x －90)2＋60500(0≤x ≤200，xN)．故当x ＝90时，y 取得最大值，此时售价为每件190元．故选B.4．(2018北京顺义一模，5分)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C )满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0°C 的保鲜时间是192小时，在14℃的保鲜时间是48小时，则该食品在21°C 的保鲜时间是________小时． 答案：24解析：由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln192. 又∵48＝e 14k ＋b＝e14k ＋ln192＝192e 14k ＝192(e 7k )2，∴112274811e19242k⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设该食品在21°C 的保鲜时间是t 小时， 则t ＝e21k ＋ln192＝192e 21k＝192(e 7k )3＝192×312⎛⎫⎪⎝⎭＝24.5．(2019改编，5分)某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元；销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为4log y a x b =+，某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元． 答案：1024解析：依题意得44log 81, log 644,a b a b +=⎧⎨+=⎩即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴422log 2log 2y x x =-=-. 当y ＝8，即2log 2x -＝8时，x ＝1024. 故他的销售额应为1024万元．6．(2018北京丰台二模，5分)甲、乙两地相距500km ，一辆运输汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v 不能超过120km/h.已知运输汽车每小时运输成本为29360250v ⎛⎫+⎪⎝⎭元，则全程运输成本y 与速度v 的函数关系是y ＝________，当运输汽车的行驶速度为________km/h 时，全程运输成本最小． 答案：1000018(0120)v v v ⎛⎫+< ⎪⎝⎭… 100 解析：运输汽车从甲地到乙地所用的时间为500v (0＜v ≤120)，则全程运输成本y ＝500v ·⎝ ⎛⎭⎪⎫9250v 2＋360＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋10000v (0＜v ≤120)， 而v ＋10000v≥2v ·10000v ＝200，当且仅当v ＝10000v，即v ＝100时取等号，故当运输汽车的行驶速度为100km/h 时，全程运输成本最小．7．(2018山东烟台期末，12分)某公司为提高员工的综合素质，聘请专业机构对员工进行专业技术培训，其中培训机构费用成本为12000元．公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算：若公司参加培训的员工人数不超过30人时，每人的培训费用为850元；若公司参加培训的员工人数多于30人，则给予优惠，每多一人，每人的培训费用减少10元．已知该公司最多有60位员工可参加培训，设参加培训的员工人数为x(x>0，xN *)人，每位员工的培训费用为y 元，培训机构的利润为Q 元． (Ⅰ)写出y 与x 之间的函数关系式；(Ⅱ)当公司参加培训的员工为多少人时，培训机构可获得最大利润？并求最大利润．答案：(Ⅰ)**850,130,N 115010,3060,,Nx x y x x x ⎧∈=⎨-<∈⎩剟„ (Ⅱ)57或58人，最大利润为21060元 解：(Ⅰ)当1≤x ≤30且xN *时，y ＝850；当30<x ≤60且xN *时，y ＝850－10(x －30)＝1150－10x.∴y 与x 之间的函数关系式为**850,130,N 115010,300,N ,6.x x y x x x ⎧∈=⎨-<∈⎩剟„(5分) (Ⅱ)当1≤x ≤30且xN *时，Q ＝850x －12000，函数单调递增，∴当x ＝30时，Q 取得最大值，Q max ＝850×30－12000＝13500(元)；(8分)当30<x ≤60且xN *时，Q ＝(1150－10x)x －12000＝－10x 2＋1150x －12000，其函数图像为抛物线且开口向下，对称轴为x ＝1152＝57.5，∴当x ＝57或58时，Q 取得最大值，Q max ＝21060(元)．(11分)∵13500<21060，∴当x ＝57或58时，Q max ＝21060元，即当公司参加培训的员工为57或58人时，培训机构所获利润最大，最大利润为21060元．(12分) 8．(2018湖北宜昌期末，12分)已知某品牌手机公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且24006,040,()740040000,40.x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩„(Ⅰ)写出年利润f(x)(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．答案：(Ⅰ)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x>40(Ⅱ)32万部，最大利润为6104万美元 解：(Ⅰ)由“利润＝销售收入－成本”可得，当0＜x ≤40时，f(x)＝xR(x)－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40； 当x ＞40时，f(x)＝xR(x)－(16x ＋40)＝－40000x －16x ＋7360，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x>40.(5分)(Ⅱ)当0＜x ≤40时，f(x)＝－6x 2＋384x －40＝－6(x －32)2＋6104，∴x ＝32时，f(x)max ＝f(32)＝6104(万美元)；(8分)当x ＞40时，f(x)＝－40000x－16x ＋7360≤－240000x ·16x＋7360＝5760，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50时，f(x)max ＝f(50)＝5760(万美元)．(11分) ∵5760＜6104，∴当x ＝32时，f(x)max ＝6104万美元，即当年产量为32万部时所获利润最大，最大利润为6104万美元．(12分)9．(经典题，12分)某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图12－6所示，其中图1(一条折线)、图2(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图3是每件样品的销售利润与上市时间的关系．图12－6(Ⅰ)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t 的关系；(Ⅱ)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．答案：(Ⅰ)f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30＜t ≤40，g(t)＝－320t 2＋6t(0≤t ≤40)(Ⅱ)有可能，是上市后的第30天解：(Ⅰ)图1是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(30，60)两点，第二条线段经过(30，60)，(40，0)两点，由待定系数法，得f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40.(2分)图2是一个二次函数的部分图像，图像经过(0，0)，(20，60)，(40，0)三点，易得g(t)＝－320t 2＋6t(0≤t ≤40)．(4分)(Ⅱ)有可能．图3是两条线段，第一条线段经过(0，0)，(20，60)，第二条线段经过(20，60)，(40，60)，故每件样品的销售利润h(t)与上市时间t 的关系为h(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40，故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t 的关系为222338,020203()608,203020360240,3040.20t t t t F t t t t t t ⎧⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<⎪ ⎪⎝⎭⎩，，剟„„(6分)当0≤t ≤20时，F(t)＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，∴F′(t)＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0，∴F(t)在[0，20]上是增函数，∴F(t)在[0，20]上的最大值为F(20)＝6000<6300；(8分)当20<t ≤30时，F(t)＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ， 令F(t)＝6300，得3t 2－160t ＋2100＝0， 解得t ＝703(舍去)或t ＝30；(10分)当30<t ≤40时，F(t)＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240， 由F(t)在(30，40]上是减函数，得F(t)<F(30)＝6300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6300万元，是上市后的第30天．(12分)课后提分练11-12 函数与方程、函数模型及其应用A 组(巩固提升)1．(2018陕西商洛模拟，5分)函数f(x)＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(3，4)B ．(2，e)C ．(1，2)D ．(0，1) 答案：C解析：∵f(x)＝ln(x ＋1)－2x在(0，＋∞)上单调递增且连续，且f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，∴f(1)·f(2)<0，∴函数f(x)的零点所在的大致区间是(1，2)．2．(2018湖南期末，5分)关于x 的方程cos π2x －lg|x|＝0的实根个数为( )A ．6B ．8C ．10D ．12 答案：C解析：由cos π2x －lg|x|＝0得cos π2x ＝lg|x|.显然y ＝cos π2x ，y ＝lg|x|都是偶函数，故只需讨论x>0时的情况．画出x>0时两个函数的图像，如图．结合图像可知x>0时有5个交点，故总共有10个交点，即方程的实根个数为10.3．(2018北京西城二模，5分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2x，x ≤1，12x ＋a ，x>1，其中a ∈R.如果函数f(x)恰有两个零点，那么a 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12解析：令g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，12x ，x>1，则f(x)＝g(x)＋a.令f(x)＝0，得g(x)＝－a.作出g(x)的图像，如图．函数f(x)恰有两个零点⇔函数g(x)的图像与直线y ＝－a 有两个交点．由图可知12<－a ≤2，解得－2≤a<－12.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12. 4．(经典题，5分)函数f(x)的定义域为[－1，1]，图像如图11－1(1)所示，函数g(x)的定义域为[－2，2]，图像如图11－1(2)所示，方程f(g(x))＝0有m 个实数根，方程g(f(x))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )图11－1A ．14B ．12C ．10D ．8 答案：A解析：由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1. 由题图2可知，当g(x)＝－1时，x ＝－1或x ＝1；当g(x)＝0时， x ＝－1.5或x ＝1.5或x ＝0；当g(x)＝1时，x ＝2或x ＝－2，∴m ＝7. 由题图2可知，若g(f(x))＝0，则f(x)＝－1.5或f(x)＝1.5或f(x)＝0.由题图1可知，f(x)＝1.5与f(x)＝－1.5各有2个实数根；f(x)＝0有3个实数根，∴n ＝7.故m ＋n ＝14.5．(2018湖南名校联考，5分)已知函数f(x)＝222,12log (1),1,x x x x ⎧+⎪⎨⎪->⎩…则函数F(x)＝f(f(x))－2f(x)－32的零点个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：A解析：设t ＝f(x)，令F(x)＝0，则f(t)－2t －32＝0，∴f(t)＝2t ＋32，分别作出函数y ＝f(x)和y ＝2x ＋32的图像，如图所示．由图可得两函数图像有两个交点，设交点横坐标为t 1，t 2(t 1<t 2)，则t 1＝0，1＜t 2＜2.∵f(x)＝t 1＝0有1个实根，f(x)＝t 2(1＜t 2＜2)有3个不等实根，∴函数F(x)的零点个数为4.6．(经典题，5分)已知函数f(x)＝||2x－2＋b 的两个零点分别为x 1，x 2(x 1>x 2)，下列结论正确的是( )A ．1<x 1<2，x 1＋x 2<2B ．1<x 1<2，x 1＋x 2<1C ．x 1>1，x 1＋x 2<2D ．x 1>1，x 1＋x 2<1 答案：A解析：函数f(x)＝|2x－2|＋b 有两个零点，即函数y ＝|2x－2|与y ＝－b 的图像有两个交点，交点的横坐标就是x 1，x 2(x 1>x 2)．在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝－b 的图像，如图所示，由图像可知1<x 1<2.∵x 1≠x 2，∴1222220x x-+-=，即12124222xxx x +=+>∴1224x x +<，∴x 1＋x 2<2.7．(2018山东济南一模，5分)设x 1，x 2分别是函数f(x)＝x －a -x和g(x)＝log a x x －1的零点(其中a>1)，则124x x +的取值范围是( )A ．[4，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(5，＋∞) 答案：D解析：令f(x)＝x －a -x＝0，g(x)＝log a x x －1＝0，所以当x>0时，1x ＝a x ，log a x ＝1x .分别作出函数y ＝1x，y ＝a x，y ＝log a x 的图像，如图．设交点A 111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，B 221,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0<1x <1，2x >1. ∵y ＝a x，y ＝log a x 的图像关于直线y ＝x 对称，y ＝1x 的图像也关于直线y ＝x 对称，∴点A ，B 关于直线y＝x 对称．∵点A 111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭关于直线y ＝x 对称的点是111,x x ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111x x =，∴121144x x x x +=+.令y ＝x ＋4x (0<x<1)，由对勾函数的性质得y>5，故124x x +的取值范围是(5，＋∞)．8．(经典题，5分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，0≤x ≤1，f （x －1）＋m ，x>1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)＝a 有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x 在区间[0，2n ](n ∈N *)上所有零点的和为________．答案：2n-1＋22n-1解析：∵函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（0≤x ≤1），f （x －1）＋m （x>1）在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a ≥0，方程f(x)＝a 有且只有一个实数解，∴函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1（0≤x ≤1），f （x －1）＋m （x>1）在定义域[0，＋∞)上单调递增，且图像连续，21－1＝f(1－1)＋m ，即1＝20－1＋m ，∴m ＝1.画出函数f(x)的图像，如图所示．由图可知，函数f(x)的图像与直线y ＝x 的交点的横坐标分别为0，1，2，3，…，∴函数g(x)＝f(x)－x 在区间[0，2n](n ∈N *)上所有零点分别为0，1，2，3， (2)， ∴所有零点的和为2n（1＋2n）2＝2n-1＋22n-1，n ∈N *.9．(经典题，5分)已知函数f(x)＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a<b<c ，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)·f(1)>0；②f(0)·f(1)<0；③f(0)·f(3)>0；④f(0)·f(3)<0. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案：C解析：由题意可知f(x)有3个零点，设g(x)＝x 3－6x 2＋9x ＝ x(x －3)2，则f(x)＝g(x)－abc ，g′(x)＝3x 2－12x ＋9＝3(x 2－4x ＋3)＝ 3(x －3)(x －1)，令g′(x)＝0，得x ＝3或1，所以g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，画出函数g(x)的图像，要使f(x)有3个零点，需将g(x)的图像向下平移至如图所示位置．由图像可知，f(0)·f(1)<0且f(0)·f(3)>0.故②③正确．10.(经典题，5分)向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时间t 变化的函数h ＝f(t)的图像如图12－1所示，则杯子的形状是( )答案：A解析：从题图看出，在时间段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，且在[0，t 1]内上升慢，在[t 1，t 2]内上升快，故选A.11.6.(2019改编，5分)英国经济学家马尔萨斯在1798年提出了自然状态下的人口增长模型为：y ＝0y e rt，其中t 表示经过的时间(单位：年)，0y 表示t ＝0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率．若某国的人口年平均增长率为2%，该国2019年人口数量为m ，则( )年后，该国的人口翻一番(即2倍)．(注：ln2≈0.7)A ．25B ．30C ．35D ．40 答案：C解析：记2019年为起始年，即0y ＝m ，经过t 年后，人口翻一番，则2100e 2t m m ，∴t ＝50ln2≈50×0.7＝35，故选C.12.(2018北京延庆一模，5分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t ，P)，点(t ，P)落在如图12－2所示的两条线段上．该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示，且Q 与t 满足一次函数关系，那么在这30天中，第( )天日交易额最大．图12－2第t 天 4 10 16 22 Q(万股)36302418A ．10B ．15C ．20D ．25 答案：B解析：由图像可知，当0≤t<20时，图像过点(0，2)，(20，6)，故P ＝15t ＋2；当20≤t ≤30时，图像过点(20，6)，(30，5)，故P ＝－110t ＋8.故P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0≤t<20，－110t ＋8，20≤t ≤30.由题意可设Q ＝kt ＋m ，把(4，36)，(10，30)代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧36＝4k ＋m ，30＝10k ＋m ，解得k ＝－1，m ＝40，∴Q ＝40－t.设日交易额为f(t)，则f(t)＝P·Q＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2（－t ＋40），0≤t<20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8（－t ＋40），20≤t ≤30，即f(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t 2＋6t ＋80，0≤t<20，110t 2－12t ＋320，20≤t ≤30.当0≤t<20时，f(t)＝－15t 2＋6t ＋80＝－15(t －15)2＋125，∴f(t)max ＝f(15)＝125；当20≤t ≤30时，f(t)＝110t 2－12t ＋320＝110(t －60)2－40，∴f(t)max ＝f(20)＝120.综上，第15日的交易额最大，为125万元．B 组(冲刺满分)13.(2018安徽一模，5分)已知函数f(x)＝exx －kx(e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围是( )A ．(0，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24C ．(0，e) D ．(0，＋∞) 答案：B解析：∵函数f(x)＝e xx －kx 有且只有一个零点，∴方程e xx －kx ＝0只有一根，又∵x ≠0，∴k ＝exx 2.设g(x)＝e xx 2，则g′(x)＝e x（x －2）x3. 令g′(x)＝0，解得x ＝2，当x>2或x<0时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当0<x<2时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴当x ＝2时，g(x)的极小值g(2)＝e24，且当x<0时，g(x)∈(0，＋∞)，画出函数g(x)的图像如图，∴要使k ＝e x x 2只有一根，由图像可知，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24.14.(经典题，12分)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m(1≤m ≤4且mR)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中10,06,4()4,68.2x xf x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪-⎪⎩…剟(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值． 答案：(Ⅰ)203小时 (Ⅱ)65解：(Ⅰ)∵m ＝3，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧304＋x，0≤x ＜6，12－3x2，6≤x ≤8.(2分)当0≤x ＜6时，由304＋x≥2，解得x ≤11，∴0≤x ＜6；当6≤x ≤8时，由12－3x 2≥2，解得x ≤203，∴6≤x ≤203，∴0≤x ≤203.(5分)故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达203小时．(6分)(Ⅱ)(法一)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 2＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋（x －6）＝8－x ＋10m x －2.∵8－x ＋10m x －2≥2对6≤x ≤8恒成立，即m ≥x 2－8x ＋1210对6≤x ≤8恒成立，∴m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－8x ＋1210max(6≤x ≤8)．(9分)令g(x)＝x 2－8x ＋1210，则函数2(4)4()10x g x --=在[6，8]上是单调递增函数，∴当x ＝8时，函数g(x)＝x 2－8x ＋1210取得最大值65，∴m ≥65，即m 的最小值为65.(12分)(法二)当6≤x ≤8时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 2＋m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤104＋（x －6）＝8－x ＋10m x －2. 注意到1y ＝8－x 及y 2＝10m x －2(1≤m ≤4且mR)均在x [6，8]上单调递减，∴y ＝8－x ＋10m x －2在x [6，8]上单调递减，(9分)∴y ≥8－8＋10m 8－2＝5m 3.由5m 3≥2，得m ≥65，∴m 的最小值为65.(12分)。

《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用》专题一、相关知识点1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：4.图像变换的相关结论(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图像平移的规律：“左加右减，上加下减”．(2)y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念以及五点法作图“五点法”画图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上五个关键点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 1．函数y ＝13sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π4的振幅为__________，周期为________，初相为________． 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4 B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8 D ．2，12π，－π83．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )4．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．5．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 求它的振幅、周期、初相；并用“五点法”作出它在一个周期内的图像．6．已知函数f (x )＝4cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期；(2)画出f (x )在[0，π]上的图象．7．已知函数f (x )＝12sin ωx ＋32cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π.①求ω的值，并画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像；8．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心． (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间；(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (1)请用“五点法”画出函数f (x )在一个周期上的图像； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值； (3)写出f (x )的单调递增区间．题型二 三角函数图象的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)中，参数A ，ω，φ，k 的变化引起图象的变换： (1)A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换； (2)ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；(3)φ的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．1．将函数y ＝2sin2x ＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π32．为了得到函数y ＝3sin 2x ＋1的图像，只需将y ＝3sin x 的图像上的所有点( )A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度3．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，可以将函数y ＝2sin 2x 的图像( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 25．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的12，纵坐标保持不变，再把图像向右平移π6个单位长度，则所得图像的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π66．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像，只需把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －4π3的图像( ) A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度7．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( ) A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度得到C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π8个单位长度得到 D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π4个单位长度得到8．将函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后得到函数F (x )的图象，则下列说法中正确的是( )A ．F (x )是奇函数，最小值是－2B ．F (x )是偶函数，最小值是－2C ．F (x )是奇函数，最小值是－2D ．F (x )是偶函数，最小值是－29．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( )A.4π9B.2π9C.π6D.π311．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ6(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到B ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到C ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到D ．可由函数g (x )＝cos 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到12．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( ) A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增加的 B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上是减少的 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上是增加的 D ．在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上是减少的13．将函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数f (x )的图象重合，则ω＝( )A ．9B ．6C ．4D ．814．定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14B.54C.74D.3415．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移m (m >0)个单位长度，所得函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A ．5π12B ．π3C ．π12D ．7π1216．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在它的某一个周期内的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤5π12，11π12.将 y ＝f (x )的图象先向左平移π4个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12 (纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值．17．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．题型三 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ：常用的方法有代入法和五点法．①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点是在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－3 B.33C ．1 D.32．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )图象向右平移16个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝56B ．x ＝13C ．x ＝12 D ．x ＝03．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π3 B.π3 C ．－π6 D.π64．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z5．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )A ．1 B.32 C.12 D.346．若函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，则ω和φ的值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π67．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为( )A ．y ＝－cos 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π68．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，x ∈R ，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式为f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，若x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A ．12B ．22C ．32 D ．110．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向左平移π12个单位长度C ．向右平移π6个单位长度D ．向右平移π12个单位长度11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ，B 两点间距离为5，则ω＋φ＝________.12．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图像如图，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( )A ．－23B ．－12C ．23D ．1213．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π2414．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝⎛⎭⎫2，－12，则函数f (x )＝____________.15．（理科）已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝52，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式是( )A ．g (x )＝2cos π3xB ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋2π3C ．g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π3D ．g (x )＝－2cos π3x16．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.17．(理科)已知函数f (x )＝A sin ( π3x ＋φ )⎝⎛⎭⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.2418．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g (x )＝f (x )－cos 2x ，讨论函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性．题型四 三角函数模型的简单应用1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ( A >0，ω>0，|φ|<π2 )的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．2．如图，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)求这一天的最大用电量及最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式．。