高中数学二次函数试题

二次函数解析式习题及详解二次函数是高中数学中的重要内容之一、它的解析式可以用一般形式y = ax^2 + bx + c 表示，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

解析式中的x 是自变量，y 是因变量，表示二次函数的图像上的点的坐标。

下面我们来看一些关于二次函数解析式的习题及详解。

1.求解一元二次方程3x^2+4x-1=0的解。

解：这是一个一元二次方程，可以写成 3x^2 + 4x - 1 = 0。

按照二次方程求解的步骤，我们可以先计算出Δ（delta），再根据Δ 的值来分类讨论。

首先计算Δ = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 × 3 × (-1) = 16 + 12 = 28根据Δ的值可以得出以下结论：-当Δ>0时，方程有两个不相等的实数解。

-当Δ=0时，方程有两个相等的实数解。

-当Δ<0时，方程没有实数解，但有两个共轭复数解。

我们计算得到Δ=28>0，所以方程有两个不相等的实数解。

接下来，我们可以继续使用求根公式：x=(-b±√Δ)/2a来求解方程的解。

x1=(-4+√28)/(2×3)≈0.236x2=(-4-√28)/(2×3)≈-1.570。

所以方程3x^2+4x-1=0的解为x≈0.236和x≈-1.570。

2.求解二次函数y=x^2+4x-5的图像与x轴交点的坐标。

解：要求解二次函数与x轴交点的坐标，就是求解方程y=x^2+4x-5=0的解。

我们可以使用因式分解或者求根公式来解这个方程。

这里我们使用求根公式：将方程y=x^2+4x-5=0转化为一元二次方程的标准形式，即x^2+4x-5=y=0。

根据一元二次方程的求根公式x=(-b±√Δ)/2a，我们可以计算出方程的解。

a=1,b=4,c=-5；Δ = b^2 - 4ac = 16 + 20 = 36；x1=(-4+√36)/(2×1)=1x2=(-4-√36)/(2×1)=-5所以方程y=x^2+4x-5=0的解为x=1和x=-5因此，该二次函数图像与x轴交点的坐标为（1,0）和（-5,0）。

二次函数图像与性质练习题二次函数是高中数学中的一个重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

而对于学生来说，了解二次函数的图像和性质是非常重要的。

本文将通过一些练习题来帮助学生深入理解二次函数的图像和性质。

练习题一：给定函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 2，求解以下问题：1. 求函数 f(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 f(x) 的零点；3. 判断函数 f(x) 的开口方向和最值。

解答：1. 首先，我们知道二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求解。

将函数 f(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (-3/4, -23/8)。

对称轴方程为 x = -3/4。

2. 函数 f(x) 的零点即为方程 2x^2 + 3x - 2 = 0 的解。

通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = 1/2 和 x = -2。

3. 由于二次函数的系数 a 大于 0，所以函数的开口方向是向上的。

同时，由于顶点坐标的 y 值为 -23/8，所以函数的最值为最小值。

练习题二：给定函数 g(x) = -x^2 + 4x + 5，求解以下问题：1. 求函数 g(x) 的顶点坐标和对称轴方程；2. 求函数 g(x) 的零点；3. 判断函数 g(x) 的开口方向和最值。

解答：1. 同样地，我们可以通过公式 x = -b/2a 和 y = g(-b/2a) 来求解顶点坐标。

将函数 g(x) 的系数代入公式中，可以得出顶点坐标为 (2, 9)。

对称轴方程为 x = 2。

2. 函数 g(x) 的零点即为方程 -x^2 + 4x + 5 = 0 的解。

通过因式分解或者使用求根公式，可以得到零点为 x = -1 和 x = 5。

3. 由于二次函数的系数 a 小于 0，所以函数的开口方向是向下的。

同时，由于顶点坐标的 y 值为 9，所以函数的最值为最大值。

通过以上练习题，我们可以看到二次函数的图像和性质是与函数的系数相关的。

高中一年级数学二次函数练习题在高中一年级的数学学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。

为了帮助同学们更好地掌握这部分内容，下面为大家准备了一些二次函数的练习题。

一、选择题1、函数＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）的对称轴是（）A ＼（x ＝ 1\）B ＼（x ＝－1\）C ＼（y\）轴D ＼（x ＝ 2\）2、二次函数＼（y ＝ 2(x 3)＾2 ＋ 1\）的图像的顶点坐标是（）A ＼（（3, 1)＼）B ＼（（－3, 1)＼）C ＼（（3, －1)＼）D ＼（（－3, －1)＼）3、已知二次函数＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像经过点＼（（0, 3)＼），＼（（1, 0)＼），＼（（2, 5)＼），则这个二次函数的解析式是（）A ＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）B ＼（y ＝ x^2 ＋ 2x 3\）C ＼（y ＝x^2 ＋ 2x ＋ 3\） D ＼（y ＝ x^2 2x ＋ 3\）4、对于二次函数＼（y ＝－2(x ＋ 1)＾2 3\），下列说法正确的是（）A 图像开口向上B 图像的对称轴是＼（x ＝ 1\）C 当＼（x ＜－1\）时，＼（y\）随＼（x\）的增大而增大D 图像的顶点坐标是＼（（1, －3)＼）5、二次函数＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ＼（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c ＞ 0\）B ＼（a ＜ 0\），＼（b ＜ 0\），＼（c ＞ 0\）C ＼（a ＜ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c ＜ 0\）D ＼（a ＜ 0\），＼（b ＜ 0\），＼（c ＜ 0\）二、填空题1、二次函数＼（y ＝ 2x^2 4x ＋ 5\）的最小值是_____。

2、抛物线＼（y ＝－3(x 1)＾2 ＋ 5\）的开口方向是_____，顶点坐标是_____。

3、把二次函数＼（y ＝ x^2 2x 3\）化成＼（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）的形式是_____。

二次函数分类试题（竞赛要求）一、求解析式1、将二次函数22x y =进行平移，使得它的顶点在一次函数x y 4-=的图像上，且抛物线在x 轴上截得的线段长为2，则平移后的二次函数解析式是2、设二次函数c bx ax y ++=2满足条件1)1(,2)0(-==f f ，在x 轴上截得的线段长为22，则二次函数解析式是二、二次函数特征的理解3、设二次函数c bx ax y ++=2，当3=x 时取得最大值10，在x 轴上截得的线段长,4，则)1(f =4、已知点)1994,(),1994,(2211x P x P 在二次函数72++=bx ax y 图像上，则)(21x x f +=5、设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x y ++=2满足)()(b f a f =，求=)2(f6、已知定义在闭区间],0[a 上的函数322+-=x x y ，a 取何值时，函数最大值是3，且最小值为2。

三、根的分布问题方法（1）画图——列不等式——解不等式7、已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围。

8、已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。

9、若抛物线22++=ax x y 与连接两点)3,2(),1,0(N M 的线段（包括端点）有两个相异的交点，求a 得取值范围10、关于x 的二次方程02)13(722=--++-p p x p x 的两根βα,满足210<<<<βα，则实数p 的取值范围是方法（2）用分离参数解决根的存在问题11、若方程2230x x a ---=在区间[1,2]-上有解，则实数a 的取值范围是12、若方程230x ax --=在区间(1,2)内有解，则实数a 的取值范围是四、最值问题13、设二次函数c bx ax x f ++=2)(满足)3()4(,1)0(2a f a b f f -=->，求)(x f 得最小值。

高中数学-二次函数专项练习题一、填空题1、函数①y=x ＋；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=＋x 中是二次函数的有_______2、二次函数y=（m ＋1）x＋2x －1的图象开口向下，则m= ．3、函数的对称轴是_______，顶点坐标为_________，函数有最____值______。

将函数化为顶点式为_________________，函数图象与x 轴的交点坐标为__________________，与y 轴的交点坐标为________，当x____时，y 随x 增大而减小。

4、函数的对称轴是_________，顶点坐标为____________，函数有最____值______。

将函数化为一般式为_________________，函数图象与x 轴的交点坐标为______________，与x 轴两交点之间的距离是_____，与y 轴的交点坐标为________，当x_______时，y 随x 增大而增大。

5、函数的对称轴是_________，顶点坐标为_______，将函数化为一般式为________。

6、通过配方把写成的形式后，a=___，m=___，k=___。

7、抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ______8、抛物线与直线交于（1，），则抛物线的解析式_______________x 121x 22-m 122---=x x y ()2122++-=x y ()()313--=x x y 6422---=x x y ()k m x a y ++=22ax y =x y -=m9、若二次函数有最大值,且图象经过原点,则m=______。

10、函数y=x 2-4x+1的图象经过＿＿＿＿＿象限. 11、函数y =x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是__________________12、已知二次函数，则当 时，其最大值为0．13、抛物线过第二、三、四象限，则 0，bc 0．14、抛物线在轴上截得的线段长度是15、二次函数y =－x 2，当x 1<x 2<0时，y 1与y 2的大小为______.16、如图所示的抛物线：当x =_____时，y =0；当y<0时，x 的取值范围是___________；当y >0时，x 的取值范围是___________；当x =_____时，y 有最大值是_____.17、若二次函数y =x 2－2x +c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于______ 18、函数 y ＝(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大。

二次函数通关15 题（含答案）1.南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为2捄万元，市场调研表明：当销售价为2当万元时，平均每周能售出8 辆，而当销售价每降低0.捄万元时，平均每周能多售出4 辆．如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润= 销售价- 进货价）（1）求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为Z 万元，试写出Z 与x 之间的函数关系式；（3）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大?最大利润是多少?2.已知二次函数y = x2 + tx +t -2 ．（1）求证：不论t 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点．（2）设t ᦙ 0 ，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为13 时，求出此二次函数的解析式．（3）若此二次函数图象与x 轴交于A交于两点，在函数图象上是否存在点p ，使得△PAB 的面积为 3 13 ，若存在求出p 点坐标，若不存在请说明理由．23.若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1:y1=-2x2+4x+2与C2:y2=-x2+t x+a为“友好抛物线”．（1）求抛物线C2 的表达式；（2）点A 是抛物线C2 上在第一象限的动点，过A 作A㔠上 x 轴，㔠为垂足，求A㔠 + O㔠的最大值；（3）设抛物线C2 的顶点为C，点于的坐标为-1交4 ，问在C2 的对称轴上是否存在点M，使线段M于绕点M 逆时针旋转当0o 得到线段M于'，且点于' 恰好落在抛物线C2 上?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，二次函数y = tx2 + tx +c 的图象经过点A - 1交0 ，于 4交0 ，C -2交- 3 ，直线于C 与y 轴交于点D，E 为二次函数图象上任一点．上，距离点p 为 2（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点E 在直线于C 的上方，过点E 分别作于C 和y 轴的垂线，交直线于C 于不同的两点F，G（F 在G 的左侧），求!:! EFG 的周长的最大值；（3）是否存在点E，使得!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形，如果存在，求点E 的坐标；如果不存在，请说明理由．5.已知，t，a是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且l t lᦙl a l，抛物线y=x2+tx + c 的图象过点A t交0 ，于 0交a ，如图所示．（1）求这个抛物线的表达式；（2）点p 是直线于C 上的一个动点（点p 不与点于和点C 重合），过点p 作x 轴的垂线，交抛物线于点M，点㔠在直线于C!:! pM㔠的面积为S，求出S 与t 之间的函数关系式．个单位长度，设点p 的横坐标为t，6.如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A 1交1 ，且与直线y = x - 2 交于于，C 两点，且A于上于C．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN 上 x 轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N 为顶点的三角形与!:! A于C 相似?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴，y轴相交于A，于两点，点C的坐标是8交4 ，连接AC，于C．（1）求过O，A，C 三点的抛物线的表达式，并判断!:! A于C 的形状；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8.如图，已知抛物线y = 1 x + tx + c 经过!:! A于C 的三个顶点，其中点A 0交1 ，点于-当交10 ，3AC∥x 轴，点p 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点p 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点㔠，使得以C，p，㔠为顶点的三角形与!:! A于C 相似，若存在，求出点㔠的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图1，抛物线y=-3x-22+a与x轴交于点A t-2交0和于2t+3交0（点A 在点于的捄左侧），与y 轴交于点C，连接于C．（1）求t，a的值；（2）如图2，点M，p 分别为线段于C 和线段O于上的动点，连接pM，pC，是否存在这样的点p，使!:! pCM 为等腰三角形、!:! pM于为直角三角形同时成立?若存在，求出点p 的坐标；若不存在，请说明理由．10.在平面直角坐标系中，平行四边形A于OC 如图放置，点A，C 的坐标分别是0交4 交- 1交0 ，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转当0o，得到平行四边形A'于'OC'．（1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的表达式；（2）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，!:! AMA' 的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M 的坐标．11.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+10与x轴、y轴相交于A，于两点，点C的坐标是8交4 ，连接AC，于C．（1）求过O，A，C 三点的抛物线的表达式，并判断!:! A于C 的形状；（2）动点p 从点O 出发，沿O于以每秒2 个单位长度的速度向点于运动；同时，动点㔠从点于出发，沿于C 以每秒1 个单位长度的速度向点C 运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．设运动时间为t s，当t 为何值时，pA = 㔠A?12.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = tx2 + tx 经过两点A -1交1 ，于 2交2 ，过点于作于C∥x 轴，交抛物线于点C，交y 轴于点D．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C 的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得!:! 于CM 的面积为7，求出点M 的坐标；2（3）连接OA，O于，OC，AC，在坐标平面内，求使得!:! AOC 与!:! O于N 相似（边OA 与边O于对应）的点N 的坐标．13.如图，在矩形A于CD 中，A于 = 6 cm，于C = 8 cm，对角线AC，于D 交于点O．点p 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cmfs；同时，点㔠从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cmfs；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接pO 并延长，交于C 于点E，过点㔠作㔠F∥AC，交于D 于点F．设运动时间t s 0 ᦙ t ᦙ 6 ，解合下列问题：（1）当t 为何值时，!:! AOp 是等腰三角形；（2）设五边形OEC㔠F 的面积为S cm2 试确定S 与t 的函数关系式．k t 1 图象上，并与x 轴相交于A，于两点，且始终与y 14.已知圆p 的圆心在反比例函数y = kx轴相切于定点C 0交1 ．（1）求经过A，于，C 三点的二次函数图象的解析式；（2）若二次函数图象的顶点为D，问当k 为何值时，四边形AD于p 为菱形．15.如图，抛物线y = tx2 - 捄tx + 4 经过!:! A于C 的三个顶点，已知于C∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC = 于C．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，于，C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点p 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在!:! pA于是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点p 坐标；不存在，请说明理由．x 1 - x 2 2 132答案1. （1） y = 2当 - 2捄 - x. y =- x + 4 0 ::; x ::; 4（2） Z = 8 + x 0．捄X 4 = 8x + 8 - x + 4 （3） . Z =- 8x 2 + 24x + 32 =- 8 x -3 2 2 + 捄0 . 当 x = 3 时， Z 2= 捄0 . 当定价为 2当 - 1.捄 = 27.捄 万元时，有最大利润，最大利润为 50 万元． 或：当 x =- t 2t =- 24 2X -8 = 1.捄Z = 4t c -t 2 = 4X -8 X 32-242 = 捄0 最大值 4t4X -8 . 当定价为 2当 - 1.捄 = 27.捄 万元时，有最大利润，最大利润为 捄0 万元．2. （1） 因为 /1 = t 2 - 4 t - 2 = t - 2 2 + 4 t 0所以不论 t 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点．（2） 设 x 1交x 2 是 y = x 2 + t x + t - 2 = 0 的两个根，则 x 1 + x 2 =- t 交x 1 · x 2 = t - 2交 因两交点的距 离是 13交 所以 lx 1 - x 2l = = ． 即：x 1 - x 2 2 = 13变形为： x 1 + x 2 2 - 4x 1 · x 2 = 13所以： - t 2 - 4 t - 2 = 13整理得： t - 捄 t + 1 = 0解方程得： t = 捄 或 - 1又因为： t ᦙ 0所以： t =- 1所以：此二次函数的解析式为 y = x 2 - x - 3（3） 设点 p 的坐标为 x 0交y 0 ，因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 13交 所以： A 于 = 所以： S !:!pA 于 = 1 A 于 · ly 0l = 所以： 13ly 0l = 13 2 2即： ly 0l = 3交 则 y 0 =士 3当 y 0 = 3 时， x 02 - x 0 - 3 = 3交 即 x 0 - 3 x 0 + 2 = 0解此方程得： x 0 =- 2 或 3当 y 0 =- 3 时， x 02 - x 0 - 3 =- 3交 即 x 0 x 0 - 1 = 0解此方程得： x 0 = 0 或 1综上所述，所以存在这样的 p 点， p 点坐标是 ( - 2交3)交(3交3)交(0交 - 3) 或 (1交 - 3)3. （1） : y 1 =- 2x 2 + 4x + 2 =- 2 x - 1 2 + 4，. 抛物线 C 1 的顶点坐标为 1交4 ． 1313最大 2: 抛物线C1 与C2 顶点相同，. -t-1X2=1，-1+t+a=4，解得t = 2，a = 3．.抛物线C2的表达式为y2=-x2+2x+3．（2）设点A 的坐标为t交-t2 + 2t + 3 ，则A㔠=-t2+2t+3，O㔠=t，. A㔠+O㔠=-t2+2t+3+t=-t2+3t+3=-t-32+ 21 .4. 当t = 3 时，A㔠 + O㔠有最大值，最大值为21．2 4（3）如图，连接于C，过点于' 作于'D 上 CM，垂直为D．: 于- 1交4 ，C 1交4 ，抛物线的对称轴为x = 1，. 于C 上 CM，于C = 2．: L于M于' = 当0o，. L于MC + L于'MD = 当0o．: 于'D 上 MC，. LM于'D + L于'MD = 当0o，. LM于'D = L于MC．在!:! 于CM 和!:! MD于' 中，L于MC = LM于'D交L于CM = LMD于'交于M = M于'交. !:! 于CM≌!:! MD于'．. 于C = MD，CM = D于'．设点M 的坐标为1交t ，则D于' = CM = 4 - t，MD = 于C = 2．. 点于' 的坐标为t - 3交t - 2 ．. - t - 3 2 + 2 t - 3 + 3 = t - 2．整理得t2 - 7t - 10 = 0，解得t = 2，或t = 捄．当t = 2 时，M 的坐标为1交2 ；当t = 捄时，M 的坐标为1交捄．综上所述，当点M 的坐标为1交2 或1交捄时，于' 恰好落在抛物线C2 上．4. （1）:二次函数y = tx2 + tx + c 的图象经过点A -1交0 ，于 4交0 ，C -2交-3 ，t - t + c = 0交. 16t + 4t + c = 0交4t-2t+c=-3.t=-1交2解得t = 3 交2c = 2.则这个二次函数的表达式为y=-1x2+3x+2．2 2（2）设于C 所在直线的表达式为y = kx + a，把于 4交0 ，C -2交-3 代入，得4k + a = 0 交-2k+a=-3.k = 1 交解得 2a=-2.则直线于C 的表达式为y = 1 x - 2．2当x=0时，y=1x-2=-2，即D0交-2．2在Rt !:! O于D 中，OD = 2，于O = 4，. 于D = OD2 + O于2 = 2 捄．设点E x交-1 x2 + 3 x + 2 ，点G x0交1 x0 -2 ，2 2 2: EG 上 y 轴，. - 1 x2 + 3 x + 2 = 1 x0 - 2，2 2 2.x0=-x2+3x+8，.E G=x0-x=-x2+2x+8．: EG 上 y 轴，. EG∥x 轴，. LEGF = LO于D．又: LEFG = LDO于 = 当0o，. !:! EFG∽!:! DO于，. EF = FG = EG，DO O于D于. EF = 捄EG，FG = 2 捄EG，捄捄.!:!E F G的周长=E F+F G+E G= 捄EG + 2 捄EG + EG捄捄= 3 捄+ 1 - x2 + 2x + 8捄= 3 捄+ 1 - x - 1 2 + 当 .捄即当x = 1 时，!:! EFG 的周长最大，最大值是27 捄+ 当．捄（3）假设存在点E，使!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．连接AD，则AD = 捄．由（2）知，A于 = 捄，于D = 2 捄．. AD2 + 于D2 = A于2，. !:! A于D 是以于D 为直角边的直角三角形．设直线A D的表达式为y=t x+p，代入点A，D坐标，得-t + p = 0交p=-2.解得t=-2交p=-2.则直线A D的表达式为y=-2x-2．y=-2x-2交联立y=-1x2+3x+2.2 2解得x1=-1交或x2=8交y1=0交y2=-18..当点E 的坐标为-1交0 或8交-18 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．当直线A D向上平移q个单位，使y=-2x-2+q恰好经过点于．则0=-2X4-2+q．解得q = 10．.经过点于且恰好与于D垂直的直线表达式为y=-2x+8．y=-2x+8交联立y=-1x2+3x+2.2 2解得x3 = 3交或x4 = 4交y3 = 2交y4 = 0..当点E 的坐标为3交2 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形；当点E 的坐标为4交0 时，与点于重合，不能构成三角形，故舍去．综上所述，点E 的坐标为- 1交0 或8交- 18 或3交2 时，!:! ED于是以于D 为直角边的直角三角形．5.（1）解方程x2+4x+3=0，得x1=-1，x2=-3．因为t，a是方程x2+4x+3=0的两根，且l t lᦙl a l，所以t=-1，a=-3．把点A -1交0 ，于 0交-3 代入y = x2 + tx + c，得1 -t + c = 0交c=-3交解得t=-2交c=-3.所以这个抛物线的表达式为y = x2 - 2x - 3．（2）由于 0交-3 ，C 3交0 ，得直线于C 的表达为y = x -3．所以设点p 的坐标为t交t -3 ．因为pM 上 x 轴，点M 在抛物线上，所以点M 的坐标为t交t2 -2t -3 ．如图，过点㔠作㔠F 上 pM 于点F，则!:! p㔠F 为等腰直角三角形．因为p㔠 = 2，所以㔠F = 1．如上图，当点p 在点M 上方时，即0 ᦙt ᦙ3．p M=t-3-t2-2t-3=-t2+3t，所以S=1p M·㔠F=1-t2+3t=-1t2+3t．2 2 2 2如图，当点p 在点M 下方时，即t ᦙ 0 或t t 3．pM = t2 - 2t - 3 - t - 3 = t2 - 3t，所以S = 1 pM ·㔠F = 1 t2 - 3t = 1 t2 - 3 t．2 2 2 2- 1 t2 + 3 t交0 ᦙ t ᦙ 3综上所述，S = 21 t2 -22 ．3 t交t ᦙ 0 或t t 3 26. （1）因为顶点A 的坐标为1交1 ，所以设抛物线的表达式为y = t x -1 2 + 1．因为抛物线过原点，所以0 = t 0 -1 2 + 1，解得t=-1．所以抛物线的表达式为y=-x-12+1，即y=-x2+2x．令y=-x2+2x=x-2，解得x=2或x=-1．当x = 2 时，y = 2 -2 = 0，即于 2交0 ．当 x =- 1 时，y =- 1 - 2 =- 3，即 C - 1交 - 3 ． （2） 假设存在满足条件的点 N ，设 N x 交0 ， 则 M x 交 - x 2 + 2x ， 所以 ON = lxl ，MN = l - x 2 + 2xl ． 由 A 1交1 ，于 2交0 ，C - 1交 - 3 ， 得 A 于 = 2，于C = 3 2． 所以 A 于 上 于C ，MN 上 x 轴于点 N ， 所以 LA 于C = LMNO = 当0o ， 所以当 !:! MNO ∽ !:! A 于C 时，有 MN = ON，即l -x 2+2x l = l x l ．A 于于C2 3 2整理，得 lxl · l - x + 2l = 1 lxl ．3当 x = 0 时，M ，O ，N 不能构成三角形，故 x -= 0． 所以 l - x + 2l = 1，解得 x = 捄或 x = 7．3 33此时点 N 的坐标为 捄 交0 或 7交0 ． 33当 !:! ONM ∽ !:! A 于C 时，有 MN= ON，即l -x 2+2x l = l x l ．于C A 于3 22 整理，得 lxl · l - x + 2l = 3lxl ． 因为 x -= 0，所以 l - x + 2l = 3，解得 x = 捄 或 x =- 1．此时点 N 的坐标为 - 1交0 或 捄交0 ．综上所述，存在满足条件的 N 点，其坐标为 捄交0 或 7交0 或 - 1交0 或 捄交0 ．337. （1） 在直线 y =- 2x + 10 上，令 y = 0，得 x = 捄；令 x = 0，得 y = 10．即 A 捄交0 ，于 0交10 ．: 点 A 捄交0 ，C 8交4 ，O 0交0 在抛物线 y = tx 2 + tx + c 上， c = 0交. 2捄t + 捄t + c = 0 交 64t + 8t + c = 4.t = 1 交6解得 t =- 捄 交6c = 0.. 抛物线的表达式为 y = 1 x 2 - 捄x ．66: AC 2 = 8 - 捄 2 + 42= 2捄，于C 2 = 82 + 10 - 4 2 = 100，A 于2 = 捄2 + 102 = 12捄， . AC 2 + 于C 2 = A 于2， . !:! A 于C 是直角三角形．（2） : 抛物线与 x 轴交于 O 0交0 ，A 捄交0 的两点， . 对称轴为 x =0+捄 = 捄．22捄 1 当 2 捄 1 当2设存在点 M ，使以 A ，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形，设 M 捄交y ．2. AM 2 = 捄 -捄2 + y 2 = 2捄+ y 2，A 于2 = 12捄，于M 2 =4 + 10 - y 2 =2 捄 + y 2 - 20y + 100，4①当 AM = A 于 时，则 AM 2= A 于2， 即2捄 + y 2 = 12捄．4解得 y 1 = 捄 1当，y 2 =-捄 1当．22此时点 M 的坐标为 捄 交捄 1当或 捄交 - ． 222②当 于M = A 于 时，则 于M 2 = A 于2， 即2捄 + y 2 - 20y + 100 = 12捄．4解得 y 1 = 10 + 捄 1当，y 2 = 10 -捄 1当．2此时点 M 的坐标为 捄交10 22或 捄 交 10 - ．2③当 AM = 于M 时，则 AM 2= 于M 2， 即2捄 + y 2 =2捄+ y 2 - 20y + 100．44解得 y = 捄．此时点 M 的坐标为 捄 交捄 ，恰好是点 A 于 的中点，不能构成三角形，故舍去．2综上所述，存在点 M 使以 A ，于，M 为顶点的三角形是等腰三角形，此时点 M 的坐标为 捄 交捄 1当或捄 交 - 2或 捄 交10 222 捄交 10 -28. （1） 把点 A 0交1 ，于 - 当交10 的坐标代入 y = 1 x 2 + tx + c ，得 3c = 1交 1X - 当 2 - 当t + c = 10.3解得 t = 2交c = 1.. 抛物线的表达式为 y = 1x 2 + 2x + 1．3（2） 设 AC 与抛物线对称轴 交于点 F ， 由 y = 1x 2 + 2x + 1 =1 x + 32 - 2，得顶点 p 的坐标是 - 3交 - 2 ．3 3此时 pF = y F - y p = 3，CF = x F - x C = 3． 则在 Rt !:! CFp 中，pF = CF ， . LpCF = 4捄o ． 同理可求 LEAF = 4捄o ， . LpCF = LEAF ．. 在直线 AC 上存在满足条件的点 㔠，使得以 C ，p ，㔠 为顶点的三角形与 !:! A 于C 相似． : A 0交1 ，于 - 当交10 ，p - 3交 - 2 ， . C - 6交1 ，. A 于 = 当 2，AC = 6，Cp = 3 2． ①如图，捄 2捄 1 当 2 捄 1 当 2捄 1 当 2223 3 34 捄0 0当 !:! Cp 㔠1∽ !:! A 于C 时，设 㔠1 t 1交1 ，则 C 㔠1 = Cp ．即 t 1+6 = 3 2．当 2解得 t 1 =- 4．②如图，当 !:! C 㔠2p ∽ !:! A 于C 时，设 㔠2 t 2交1 ，则 C 㔠2 = Cp ．即 t 2+6 = 3 2．A 当 2 6解得 t 2 = 3．综上所述，存在点 㔠，使得以 C ，p ，㔠 为顶点的三角形与 !:! A 于C 相似，此时点 㔠 的坐标为 - 4交1 或 3交1 ．9. （1） 因为抛物线的对称轴是 x = 2， 所以 t - 2 + 2t + 3 = 4，解得 t = 1．所以 A - 1交0 ，于 捄交0 ． 把 A - 1交0 代入抛物线表达式， 得 - 3捄 当 + a = 0，解得 a =- 当．所以 t = 1，a =- 当．（2） 假设点 p 存在，设点 p x 0交0 0 ᦙ x 0 ᦙ 捄 ， ①当点 p 为 !:! pM 于 的直角顶点时，CM = Mp ． 因为 Mp ∥OC ， 所以 Mp= p 于，CM= Op，OC O 于 C 于 O 于 所以 Mp = 3 捄捄 - x 0 ，CM = 34 x 0．则 捄 - x 0 = 34x 0，解得 x 0 =3 34-当．捄捄捄所以 p3 34-当 交0 ．捄②当点 M 为 !:! pM 于 的直角顶点时，则 CM = Mp ． 因为 !:! pM 于∽ !:! CO 于，所以 pM = 于M = p 于，CO O 于 于C 所以 pM = 334 捄 - x ，于M = 捄34 捄 - x 0 ， 所以 CM =- 捄 - x = 当+捄x 0． 3434则 3 捄- x = 当+捄x0，34 34解得x = 3．4所以p 3 交0 ．4综上所述，满足条件的点p的坐标为334-当交0或捄3 交0 ．410.（1）:平行四边形A于OC 绕点O 顺时针旋转当0o，得到平行四边形A'于'OC，A 0交4 ，C -1交0 ，. A' 4交0 ，于 1交4 ．设抛物线的表达式为y = tx2 + tx + c t -= 0 ，又抛物线过点C，A，A'，t - t + c = 0交. c = 4 交16t + 4t + c = 0.t=-1交解得t = 3交c = 4..抛物线的表达式为y=-x2+3x+4．（2）如图，连接AA'，设点M 的位置如图所示，过点M 作x 轴的垂线交AA' 于点N，连接MA，MA'，: 点M 是第一象限内抛物线上的一动点，.设点M x交-x2 + 3x + 4 ，其中0 ᦙ x ᦙ 4．设直线AA'的表达式为y=k x+t，则0 + t = 4交4k + t = 0.解得k=-1交t = 4..直线AA'的表达式为y=-x+4．: MN 上 x 轴，. 点M，N 的横坐标相同，. 点N x交- x + 4 ，.M N=-x2+3x+4--x+4=-x2+4x，3. S !:!AMA' = S !:!AMN + S !:!A'MN- 0 - x 2 + 4x +- x - x 2 + 4x=- 2x 2 + 8x=- 2 x - 2 2 + 8交. 当 x = 2 时，!:! AMA' 的面积最大，最大面积是 8． 当 x = 2 时，y =- 22 + 3 X 2 + 4 = 6，即 M 2交6 ．11. （1） 在直线 y =- 2x + 10 上，令 y = 0，得 x = 捄；令 x = 0，得 y = 10，即 A 捄交0 ，于 0交10 ，因为点 A 捄交0 ，C 8交4 ，O 0交0 在抛物线 y = tx 2 + tx + c 上， c = 0交所以 2捄t + 捄t + c = 0交 64t + 8t + c = 4交 t = 1交6解得 t =- 捄 交6 c = 0.所以抛物线的表达式为 y = 1 x 2 - 捄x ．66因为 AC 2 = 8 - 捄 2 + 42= 2捄， 于 C 2 = 82 + 10 - 4 2 = 100， A 于2 = 捄2 + 102 = 12捄， 所以 AC 2 + 于C 2 = A 于2， 所以 !:! A 于C 是直角三角形．（2） 设运动时间为 t s 时，Op = 2t ，于㔠 = t ， 则 C 㔠 = 10 - t ．因为当点 p 运动到端点时，t =O 于 = 捄，2当 t = 捄 时，于㔠 = 捄 ᦙ 10， 所以 t 的取值范围是 0 ::; t ::; 捄． 在 Rt !:! AOp 和 Rt !:! AC 㔠 中， pA 2 = OA 2 + Op 2 = 2捄 + 4t 2，㔠A 2 = 㔠C 2 + AG 2 = 2捄 + 10 - t 2 = t 2 - 20t + 12捄． 因为 pA = 㔠A ， 所以 pA 2 = 㔠A 2． 即 t 2 - 20t + 12捄 = 2捄 + 4t 2． 解得 t 1 =- 10（舍去），t 1 = 10． 即运动时间为10 s 时，pA = 㔠A ．312. （1） 把 A - 1交1 交于 2交2 代入 y = tx 2 + tx 中得：1 = t - t 交2 = 4t + 2t.解得4所求函数表达式为t = 2 交3 . t =- 1 .3y = 2 x 2 - 1x. : 于C ∥x3 3轴，设 C 点坐标为 x 0交2 ，. 2 x 2 - 1x 0 = 2，3 03解得x =- 3或x= 2交由题意知 x 0 ᦙ 0，. x 0 =- 3，即 C - 3交2 ．222（2） 设 !:! 于CM 的边 于C 上的高为 h ， : 于C = 7，2 . S !:! 于 CM = 1X 7X h = 7，222. h = 2，点 M 即为抛物线上到 于C 的距离为 2 的点， . 点 M 的纵坐标为 0 或 4， 令 y = 2 x 2 - 1x = 4 ，解得33x = 1 + 当 7 交 x = 1 - 当 7 交 . M 1 + 当7 交4，M 1- 当7 交4 ，41 42 43 4综上所述，点 M 的坐标为 0交0 ， 1+ 当7 交4 ，1- 当7 交444（3） : A - 1交1 ，于 2交2 ，C - 1 交2 ，D 0交2 ，2. 易求得 O 于 = 2 2，OA = 2，OC = 捄，LAOD = L 于OD = 4捄o ，tanLCOD = 1，24①如图（1），当 !:! AOC ≌ !:! 于ON 时，AO= OC，LAOC = L 于ON ，于OON. ON = 2OC = 捄，过点N 作NE 上 x 轴于点E，: LCOD = 4捄o - LAOC = 4捄o - L于ON = LNOE，. 在Rt !:! NOE 中，tanLNOE = tanLCOD = 1，4. OE = 4，NE = 3，. 点N 的坐标为4交3 ，同理可得，点N 的坐标也可以3交4 ．②如图2，当!:! A O C∽!:!O t N时，AO =O C，L A O C=L O于N，O于于N.于N = 2OC = 捄，过点于作于G 上 x 轴于点G，过点N 作x 轴的平行线交于G 的延长线于点F，. Nt 上于F，: LCOD = 4捄o - LAOC = 4捄o - LO于N = LN于F，. 在Rt !:! 于FN 中，tanLN于F = tanLCOD = 1，4. NF = 3，于F = 4，.易求得点N 的坐标为-1交-2 ，同理可得，点N 的坐标也可以-2交-1 ．综上所述，点N 的坐标为3交4 ，4交3 ，-2交-1 ，-1交-2 ．13.（1）因为在矩形A于CD 中，A于 = 6 cm，于C = 8 c m，所以AC = 10 cm．①当Ap = pO 时，如图，过点p 作pM 上 AO，所以AM = 1 AO = 捄．2 2因为LpMA = LADC = 当 0o，LpAM = LCAD，所以!:! ApM∽!:! ACD，所以Ap = AM，AC AD所以Ap = t = 2捄．8②当Ap = AO 时，t =捄．因为0 ᦙ t ᦙ 6，所以t = 2捄或t = 捄均符合题意，8所以当t = 2捄或t = 捄时，!:! AOp 是等腰三角形．8（2）如图，过点E作E t上A C于点t，过点㔠作㔠M上A C于点M，过点D作D N上A C于点N，交㔠F 于点G．因为四边形A于CD 是矩形，所以AD∥于C，所以LpAO = LECO．因为点O 是对角线AC 的中点，所以AO = CO．又因为LAOp = LCOE，所以!:! AOp≌!:! COE，所以CE = Ap = t．因为!:!C E t∽!:! A于C，所以Et = CE，A于AC所以Et = 3t．捄因为S!:!ADC = 1 AD · DC = 1 DN · AC，2 2所以DN = AD·CD = 24．AC 捄因为㔠M∥DN，所以!:! C㔠M∽!:! CDN，所以㔠M=C㔠，即㔠M=6-t．DN CD24 6捄所以㔠M=24-4t，捄所以D G=24-24-4t=4t．捄捄捄因为F㔠∥AC，所以!:! DF㔠∽!:! DOC，所以 F 㔠 = DG ， OC DN所以 F 㔠 = 捄t， 6 所以S = S !:!OEC + S !:!OCD - S !:!DF 㔠 = 1 OC · Et + 1 OC · DN - 1 DG · F 㔠 2 2 2 =- 1 t 2 + 3 t + 12. 3 2 即 S 与 t 的函数关系式为 S =- 1 t 2 + 3 t + 12． 3 214. （1）连接 p C ，p A ，p 于，过 p 点作 p t 上 x 轴，垂足为 t ．: ⊙ p 与 y 轴相切于点 C 0交1 ，. pC 上 y 轴．: p 点在反比例函数 y = k的图象上， x . p 点坐标为 k 交1 ，. pA = pC = k ． 在 R t !:! A p t 中，A t = . O A = O t - A t = k - k 2 - 1，. A k - k 2 - 1 交 0 ．= k 2 - 1，因为 p t 上 A 于，由垂径定理可知，p t 垂直平分 A 于，即. 于 k + k 2 - 1交0 ．O 于 = O A + 2A t= k - k 2 - 1 + 2 = k + k 2 - 1， 故过 A ，于 两点的抛物线的对称轴为 pt 所在的直线解析式为 x = k ． 可设该抛物线解析式为 y = t x - k 2 + h ．又抛物线过 C 0交1 ，于 k + k 2 - 1交0 ，得：tk 2 + h = 1交2 t k +k 2 - 1 - k + h = 0.解得 t = 1，h = 1 - k 2．p A 2 - p t 2 k 2 -1Ap 2 - A N 2 1 1当当 21 1 . 抛物线解析式为 y = x - k2 + 1 - k 2．（2）由（1）知抛物线顶点 D 坐标为 k 交1 - k 2 ，则 D t = k 2 -1．若四边形 A D 于p 为菱形，则必有 p t = D t ．: pt = 1，. k 2 - 1 = 1．又 : k t 1，. k = 2．当 k 取 2 时，pD 与 A 于 互相垂直平分，此时四边形 AD 于p 为菱形．15. （1） 抛物线的对称轴 x =- -捄t= 捄． 2t 2（2） A - 3交0 ，于 捄交4 ，C 0交4 ． 把点 A 坐标代入 y = t x 2 - 捄t x + 4 中，解得 t =- 1．6. y =- 1 x 2 + 捄 x + 4． 6 6 （3） 存在符合条件的点 p 共有 3 个．以下分三类情形探索． 设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ，与 C 于 交于 M ．过点 于 作 于㔠 上 x 轴于 㔠，易得 于㔠 = 4，A 㔠 = 8，AN = 捄.捄，于M = 捄 2 ① 以 A 于 为腰且顶角为 LA 的 !:! pA 于 有 1 个：!:! p 1A 于，如图所示．. Ap 2 = A 于2 = A 㔠2 + 于㔠2 = 82 + 42 = 80.在 Rt !:! ANp 1 中，p 1N = = = 1 当 当 . 2. p 捄 交 - ． 2 ② 以 A 于 为腰且顶角为 L 于 的 !:! pA 于 有 1 个：!:! p 2A 于，如图所示． 80 - 捄.捄280 - 2捄4 2. 于p 2 = A 于2 = A 㔠2 + 于㔠2 = 82 + 42 = 80. 在 Rt !:! 于Mp 2 中，Mp 2 = = = 2 当 捄 . 2 . p 2 捄 交8- 2当捄 ． 2 2③ 以 A 于 为底，顶角为 Lp 的 !:! pA 于 有 1 个，即 !:! p 3A 于，如图所示． 画 A 于 的垂直平分线交抛物线对称轴于 p 3，此时平分线必过等腰 !:! A 于C 的顶点C ． 过点 p 3 作 p 3K 垂直 y 轴，垂足为 K ，连接 p 3C ，显然 Rt !:! p 3CK ∽Rt !:! 于A 㔠． . p 3K = 于 㔠 = 1．CK A 㔠 2 : p 3K = 2.捄，. CK = 捄，于是 OK = 1，. p 3 2.捄交 - 1 ．于p 2 - 于M 2 2。

高中数学练习题附带解析二次函数的性质与变形【高中数学练习题附带解析：二次函数的性质与变形】一、基础知识梳理1. 二次函数的定义：在笛卡尔坐标系中，自变量 x 的平方可写成形如 y=ax²+bx+c 的函数称为二次函数，其中 a、b、c 是常数且a≠0。

2. 二次函数的图像特征：- 当 a>0 时，二次函数的图像开口向上，顶点为最小值点；- 当 a<0 时，二次函数的图像开口向下，顶点为最大值点。

二、基本习题1. 已知二次函数 y=ax²+2x+3，求该函数的顶点坐标以及开口方向。

解析：根据题目已知条件可知 a=1，b=2，c=3。

通过求顶点坐标和判断 a 的正负来确定开口方向。

- 顶点坐标：x=-b/2a=-2/(2×1)=-1，代入函数得到 y=(1)(-1)²+2(-1)+3=4，故顶点坐标为 (-1,4)。

- 开口方向：a=1>0，因此二次函数的图像开口向上。

2. 已知二次函数的函数图像如下图所示，求该函数的解析式。

解析：根据题目给出的函数图像可知，图像开口向上，且图像经过点（-1,0）、（1,0），因此该函数的解析式为 y=a(x+1)(x-1)。

接下来我们需要求解 a 的值，可通过给定的点（3,8）求得。

将 x=3，y=8 代入函数得到 8=a(3+1)(3-1)→8=8a，解得 a=1。

所以该函数的解析式为 y=(x+1)(x-1)。

三、进阶习题1. 已知二次函数的函数图像经过点（1,3），且在 x 轴上有两个不等的实根，求该函数的解析式。

解析：已知图像经过点（1,3），代入函数得到3=a(1)²+b(1)+c→3=a+b+c。

又已知该函数有两个不等的实根，即判别式Δ=b²-4ac>0。

将 x=0 代入函数可得到 c=3-a-b。

将Δ>0 代入Δ=b²-4ac>0 可得到 b²-4a(3-a-b)>0，化简后得到 b²+(4a-12)a+4a-9>0。

高一数学复习考点题型专题讲解 第9讲 二次函数与一元二次方程不等式一、单选题1．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是（ ）A ．{}21x x -<<B ．{|2x x <-或1}x >C ．{}21x x -≤≤D ．{|2x x ≤-或1}x ≥ 【答案】A【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集. 【解析】由二次函数图象知：20ax bx c ++>有21x -<<. 故选：A2．已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{}14a a -≤≤B ．{}14a a -<< C ．{4a a ≥或}1a ≤-D ．{}41a a -≤≤ 【答案】A【分析】由题意知22430x x a a -+-≤在R 上有解，等价于0∆≥，解不等式即可求实数a 的取值范围.【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解， 即22430x x a a -+-≤在R 上有解，只需2243y x x a a =-+-的图象与x 轴有公共点， 所以()()224430a a ∆=--⨯-≥，即2340a a --≤，所以()()410a a -+≤， 解得：14a -≤≤，所以实数a 的取值范围是{}14a a -≤≤， 故选：A.3．设x ∈R ，则“(1)(2)0x x -+≥”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解析】(1)(2)0x x -+≥，则2x -≤或1≥x ，不满足21x -<，如2x =-，不充分，21x -<时，13x <<，满足(1)(2)0x x -+≥，必要性满足．应为必要不充分条件． 故选：B ．4．不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{2|a a <-或2}a ≥B ．{}22a a -<<C ．{}22a a -<≤D ．{}2a a <【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解集，讨论2a =、2a <结合判别式求a 的范围.【解析】因为不等式()()222240a x a x -+--≥的解集为∅，所以不等式()()222240a x a x -+--<的解集为R ．当20a -=，即2a =时，40-<，符合题意．当20a -<，即2a <时，()()2224420a a ⎡⎤∆=-+⨯⨯-<⎣⎦，解得22a -<<． 综上，实数a 的取值范围是{}22a a -<≤． 故选：C5．关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭， C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭， 【答案】C【分析】由题知210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立，进而分0m =和0m ≠两种情况讨论求解即可.【解析】解：因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立， 所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立， 所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立． 当0m ≠时，由题意，得2Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <， 综上，m 的取值范围为(]0-∞，． 故选：C6．若存在x 使得21y x mx =-+-有正值，则m 的取值范围是（ ） A ．2m <-或2m >B ．22m -<<C ．2m ≠±D ．13m << 【答案】A【分析】根据二次函数的图象，结合判别式，即可求解. 【解析】21y x mx =-+-是开口向下的抛物线，若存在x 使0y >，则()()24110m ∆=-⨯-⨯->，解得：2m >或2m <-.故选：A7．已知22280x ax a --≤（0a >）的解集为A ，且{}11x x A -<<⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭B ．14a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭C ．1142aa ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1142a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【答案】A【分析】根据题意，先求出集合A ，再根据包含关系，即可求解.【解析】由()()2228240x ax a x a x a --=+-≤且0a >，得2280ax a x -≤-（0a >）的解集{}24A x a x a =-≤≤．因为{}11x x A -<<⊆，所以2141a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得12a ≥．故选：A ．8．若对任意实数0,0x y >>，不等式()x a x y +恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A1C 1D【答案】D【分析】分离变量将问题转化为a ≥0,0x y >>恒成立，进而求出(0)t t >及1(1)t m m +=>，然后通过基本不等式求得答案. 【解析】由题意可得，a ≥0,0x y >>1x=+(0)t t >2111t t x+=++，再设1(1)t m m +=>，则22111(1)1t m t m x+===++-+212222m m m m m =-++-12≤==，当且仅当21m m ==时取得“=”.所以a ≥a故选：D.9．已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为() A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+ C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3) 【答案】C【分析】把不等式看作是关于a 的一元一次不等式，然后构造函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，由不等式在[1-，1]上恒成立，得到(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，求解关于a 的不等式组得x 得取值范围．【解析】解：令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩， 整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >．x \的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．10．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ）A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】()2222βαααββ=+-⋅+，利用韦达定理可得答案.【解析】关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根，()()222141440∴∆=--⨯⨯-=-+⎡⎤⎣⎦m m m m …， 解得：1m …，关于x 的方程()22210x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，2(1)m αβ∴+=--，2m m αβ⋅=-，()()()22222221212αβαβαβ∴+=+-⋅=----=⎡⎤⎣⎦m m m ，即2340m m --=，解得：1m =-或4(m =舍去). 故选：A.11．已知方程2(2)50x m x m +-+-=有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(5,4)(4,)--+∞B ．(5,)-+∞ C ．(5,4)--D ．(4,2)(4,)--+∞ 【答案】C【分析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-，根据二次方程根的分布可得式子()Δ022220m f >⎧⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩，计算即可.【解析】令()2(2)5m f x m x x =+-+-由题可知：()()()()2Δ02450442222242250520m m m m m m m m m m f >⎧⎧--⨯->><-⎧⎪⎪-⎪⎪>⇒<-⇒<-⎨⎨⎨⎪⎪⎪+-⨯+->>-⎩>⎩⎪⎩或 则54m -<<-，即(5,4)m ∈-- 故选：C12．已知不等式220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<，若对于任意{}|10x x x ∈-≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．{}|2t t ≤B ．{}|2t t ≤-C ．{}|4t t ≤-D ．{}|4t t ≤ 【答案】B【分析】先根据220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<可得b ，c 的值，然后不等式224x bx c t -+++≤恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.【解析】由题意得1-和3是关于x 的方程220x bx c -++=的两个实数根，则201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，则222246x bx c x x -++=-++，由224x bx c t -+++≤得2242t x x ≤--，当10x -≤≤时，()2min2422xx --=-，故2t ≤-.故选：B.二、多选题13．下列结论错误的是（ ）A ．若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2+bx +c >0的解集为RB ．不等式ax 2+bx +c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ=b 2-4ac ≤0C ．若关于x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则a ≤-14D ．不等式1x>1的解集为x <1 【答案】ABD【分析】根据不等式性质对选项一一判断即可． 【解析】A 选项中，只有a >0时才成立； B 选项当a =b =0，c ≤0时也成立；C 选项x 的不等式ax 2+x -1≤0的解集为R ，则0,140a a <∆=+≤，得a ≤-14，正确； D 选项1x>1的解集为01x <<． 故选：ABD14．关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为{}12x x x x <<，且2115x x -=，则=a （ ）A ．52-B ．154-C ．52D ．152【答案】AC【分析】由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，利用韦达定理可求得12x x +，12x x ，再根据()()222112124x x x x x x -=+-即可得出答案.【解析】解：由题意知1x ，2x 是方程22280x ax a --=的两根，所以122x x a +=，2128x x a =-， 则()()22222211212443236x x x x x x a a a -=+-=+=. 又2115x x -=，所以236225a =，所以52a =±. 故选：AC.15．已知关于x 的一元二次方程(3a 2+4)x 2-18ax +15=0有两个实根x 1，x 2，则下列结论正确的有（ ）A．a ≥a ≤．121165a x x += C．12x x -=．12212155ax x x ax x x -=-- 【答案】ABD【分析】利用判别式和韦达定理可判断各选项中的等式或不等式是否成立，从而可得正确的选项.【解析】因为()223418150a x ax +-+=有两个不等式的实根，所以()2232460340a a ∆=-⨯+>，故253a ≥，所以a ≥a ≤故A 正确.由韦达定理可得1212221815,3434a x x x x a a +==++，所以12121211186155x x a a x x x x ++===，故B 正确.12x x -==，故C 错误. 因为121165a x x +=，所以1212556x x ax x +=，故112122555x ax x ax x x -=-， 若10x =，则()22340180150a a +-⨯+=即150=，矛盾，故10x ≠.若1210ax x x -=，则210ax -=，故21x a =，即223418150a a +-+=， 故22343a a +=，矛盾.所以12212155ax x x ax x x -=--，故D 成立.故选：ABD.【点睛】本题考查一元二次方程的有解问题，此类问题一般利用判别式和韦达定理来处理，本题属于中档题.16．已知集合{}20,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下列选项中结论正确的是（ ） A ．224a b -≤ B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x x x x <<，则120x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为{}12x x x x <<，且124x x -=，则1c = 【答案】AB【分析】由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，再利用基本不等式和不等式的性质，即可求解.【解析】解：由题意，方程20(0)x ax b a ++=>有且只有一个根，所以240a b ∆=-=，即240a b =>，对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然2(2)0b -≥，所以A 选项正确；对B ：21144a b b b +=+≥，故B 选项正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，所以120x x b =-<，所以C 选项错误； 对D ：因为不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=， 则方程20x ax b c ++-=的两根为12,x x ，所以124x x =====-， 所以4c =，故D 选项错误. 故选：AB.17．已知关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤，下列结论正确的是( )A ．当1a b <<时，不等式23344a x x b ≤-+≤的解集为∅B ．当2a =时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集可以为{|}xc xd ≤≤的形式 C ．不等式23344a x x b ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么43b = D ．不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好为{|}x a x b ≤≤，那么4b a -= 【答案】AD【分析】A ：分析函数23()344f x x x =-+的最值与a ，b 进行比较即可；B ：在同一直角坐标系中，作出函数23344y x x =-+的图象以及直线y a =和直线y b =，由图象分析，即可判断选项BCD ：利用23()(2)14f x x =-+的图象与对应不等式的关系解答即可； 【解析】解：设23()344f x x x =-+，x ∈R ，则23()(2)14f x x =-+；对于A ：∵()1f x …，∴当1a b <<时，不等式23344a x xb -+剟的解集为∅，所以A 正确；对于B ：在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象及直线y ＝a 和y ＝b ，如图所示：由图知，当a ＝2时，不等式23344a x xb ≤-+≤的解集为{}{}A C D B xx x x x x x x ≤≤⋃≤≤∣∣的形式，故B 错误；对于CD ：由()f x 的图象知，若不等式的解集为连续不间断的区间，则1a …，且1b >；若解集为[a ，]b ，则f (a )f =(b )b =，且2b …， 因为23()(2)14f x x =-+，所以f (b )23(2)14b b =-+=，解得4b =或43b =，因为2b …，所以4b =，所以0a =，所以4b a -=， 所以C 错误、D 正确． 故选：AD18．早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理：任何一元n ()*n N ∈次复系数多项式方程()0f x =至少有一个复数根请借助代数基本定理解决下面问题：设实系数一元四次方程4320ax bx cx dx e ++++=(0)a ≠，在复数集C 内的根为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（ ）A ．1234bx x x x a+++=-B ．123124134234c x x x x x x x x x x x x a+++=- C ．1234e x x x x a=D ．121314232434d x x x x x x x x x x x x a+++++= 【答案】AC【分析】由2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，并展开右式即可判断各选项的正误.【解析】由题设知：2341243()()()()a x x ax bx cx dx e x x x x x x ---++-++=，∴2212432123434[()][()]a x x x x ax bx cx dx x x x x x e x x x -+++++=+-++， ∴432ax bx cx dx e ++++=43212341213231424341231241342341234[()()()]a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++++++++-++++，∴1234b x x x x a +++=-，121323142434c x x x x x x x x x x x x a +++++=，123124134234d x x x x x x x x x x x x a+++=-，1234ex x x x a=. 故选：AC三、填空题19．若方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是__________．【答案】{m |m ≥9或m ≤1}【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【解析】由方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数解， ∴Δ＝(m －3)2－4m ≥0， 即m 2－10m ＋9≥0， ∴(m －9)(m －1)≥0， ∴m ≥9或m ≤1.故答案为：{m |m ≥9或m ≤1}20．若“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，则实数m 的取值范围是______． 【答案】{}6m m ≥【分析】根据题意，结合不等式恒成立，分别表示出a 的范围，在结合充分条件的集合方法，即可处理.【解析】∵()2110x a x +-+>对x ∈R 恒成立，∴()2Δ140a =--<，解得13a -<<．又2204mmx ax ++>对x ∈R 恒成立，当0m ≤时不可能恒成立， ∴220Δ40m a m >⎧⎨=-<⎩，解得22m ma -<<． ∵“对于一切实数x ，()2110x a x +-+>”是“对于一切实数x ，2204mmx ax ++>”的充分条件，∴12320mmm ⎧-≤-⎪⎪⎪≥⎨⎪>⎪⎪⎩，解得6m ≥．故答案为：{}6m m ≥.21．若存在实数[]1,2x ∈满足22x a x >-，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(),8-∞【分析】先分离参数将不等式化为()22max a x x <+，再结合二次函数求最值即可.【解析】解：由题意可得，存在实数[]1,2x ∈时，22a x x <+令()22f x x x =+， []1,2x ∈即()max a f x <()22f x x x =+，对称轴为：212x =-=- 所以()22f x x x =+在[]1,2x ∈单调递增故()()222228max f x f ==+⨯=即8a <所以实数a 的取值范围为：(),8-∞ 故答案为：(),8-∞22．命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集；命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R ．若命题甲、乙中有且只有一个是真命题，则实数k 的取值范围是______． 【答案】()[)3,01,5-【分析】按照命题甲为真，命题乙为真，得到对应的k 的取值范围，然后由命题甲、乙中有且只有一个是真命题，分为甲真乙假和甲假乙真两种情况进行讨论，得到答案.【解析】命题甲：集合{}2210,R M x kx kx x =-+=∈为空集，即方程2210kx kx -+=没有实数解，当0k =时，方程变为10=，故无解，符合题意 当0k ≠时，2440k k ∆=-<，即01k <<， 综上命题甲为真，则01k ≤<.命题乙：关于x 的不等式()2140x k x +-+>的解集为R则()21160k ∆=--<，解得35k -<<， 所以命题乙为真，则35k -<<，因为命题甲、乙中有且只有一个是真命题， 所以当甲真乙假时，得013,k 5k k ≤<⎧⎨≤-≥⎩或，此时k ∈∅，当甲假乙真时，得0135k k k <≥⎧⎨-<<⎩或，即()[)3,01,5k ∈-综上所述，k 的取值范围为()[)3,01,5-.【点睛】本题考查复合命题的真假，二次函数的性质和分类讨论的思想，属于中档题. 23．研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2－bx ＋a ＞0”，有如下解法：由ax 2－bx ＋c ＞0⇒a －b 1x ⎛⎫⎪⎝⎭＋c 21()x ＞0.令y ＝1x，则y ∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.类比上述解法，已知关于x 的不等式k x a +＋x b x c ++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)，则关于x 的不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为________．【答案】111,,1232⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】根据题意，将1x -替换x 可得所求的方程，并且可知1x-∈(－2，－1)∪(2，3)，从而求出x 的解集.【解析】关于x 的不等式kx a +＋x b x c++＜0的解集为(－2，－1)∪(2，3)， 用－1x 替换x ，不等式可以化为1k a x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋11b x cx ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝1kx ax -＋11bx cx --＜0，因为－1x∈(－2，－1)∪(2，3)，所以12＜x ＜1或－12＜x ＜－13， 即不等式1kx ax -＋11bx cx --＜0的解集为11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为： 11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭∪1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查整体代换的思想，理解题意，将方程问题和不等式问题进行转化是解题的关键，本题属于中档题.24．已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【解析】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()22222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即a b - 所以22a b a b+-的最小值为故答案为：四、解答题25．利用函数与不等式的关系，若不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2，求不等式20cx bx a -+>的解集．【答案】11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据题意可得1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则可得3,2b a c a =-=，代入不等式即可求出.【解析】因为不等式20ax bx c ++>的解集为()1,2， 所以1和2是方程20ax bx c ++=的两个根，且0a <，则1212b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，所以3,2b a c a =-=，不等式20cx bx a -+>化为2230ax ax a ++>， 即22310x x ++<，解得112x -<<-，所以不等式的解集为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.26．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】(1)(0,4) (2)()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞【分析】（1）不等式整理成标准的一元二次不等式，由判别式∆<0可得参数范围； （2）不等式换成以m 为主元，为一次不等式，这样只要0m =和4m =时不等式都成立即可得x 的范围． （1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立 则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<， 即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)． （2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值； (2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0． 【答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2 (2)见解析【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可； （2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可. (1)由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b aa a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；(2)当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0， 即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭， 当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-； 当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.28．已知不等式234ax x b -+>的解集为()(),12,-∞⋃+∞ (1)求a ，b 的值；(2)解不等式()2220ax ac x c -++<.【答案】(1)1a =，6b = (2)答案见解析【分析】（1）依题意可得1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，利用韦达定理得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得原不等式可化为()(2)0x c x --<，再对参数c 分类讨论，即可得解； (1)解：因为不等式234ax x b -+>的解集为{|1x x <或}2x >， 所以1x =或2x =是方程2340ax x b -+-=的根，根据韦达定理312412ab a⎧=+⎪⎪⎨-⎪=⨯⎪⎩，解得1a =，6b = (2)解：由（1）可知不等式化为()2220x c x c -++<，即()(2)0x c x --<当2>c 时，不等式的解集为{}2x x c <<， 当2c =时，不等式的解集为∅， 当2c <时，不等式的解集为{}2x c x <<29．(1)若关于x 的不等式2210kx kx +-<的解集为312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数k 的值； (2)若当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解，求实数k 的取值范围． 【答案】(1)13k =(2)1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可求解； （2）原问题等价于2max12k x x ⎛⎫<⎪+⎝⎭，[]1,2x ∈，然后利用二次函数的性质即可求解.(1)解：因为2210kx kx +-<的解集是312x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，所以32-，1是关于x 的方程2210kx kx +-=的两个根， 所以221110k k ⨯+⨯-=，解得13k =； (2)解：因为当12x ≤≤时，关于x 的方程2210kx kx +-<有解， 所以当12x ≤≤时，212k x x <+有解，即2max12k x x ⎛⎫< ⎪+⎝⎭因为二次函数22y x x =+在[]1,2上单调递增，所以()22min 22113x x +=⨯+=，所以2max 1132x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭， 所以13k <，所以实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．30．（1）若对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于13x ≤≤，215mx mx m --<-+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}40m m -<≤；（2）67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据题意，分0m =和0m ≠两种情况讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解；（2）将215mx mx m --<-+恒成立，转化为261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【解析】（1）当0m =时，不等式10-<恒成立；当0m ≠时，要使得对于一切实数x ，210mx mx --<恒成立，则满足240m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得40m -<<， 综上可得，实数m 的取值范围为{}40m m -<≤．（2）由不等式215mx mx m --<-+，可得()2160m x x -+-<，因为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以261m x x <-+对13x ≤≤恒成立，令()21,[1,3]g x x x x =-+∈，可得()22131()24g x x x x =-+=-+，当3x =时，可得()max 7g x =，所以26617x x ≥-+，所以67m <，所以实数m 的取值范围为67m m ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．31．在x ∃∈R ①，2220x x a ++-=，②存在集合{24}A x x =<<，非空集合{}3B x a x a =<<，使得A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：求解实数a ，使得命题{}:12p x x x ∀∈≤≤，20x a -≥，命题q ：______都是真命题． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案不唯一，具体见解析【分析】若选条件①由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．若选条件②由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立，求出a 的范围，通过命题q 为真，求出a 的范围，然后列出不等式组求解即可．【解析】若选条件①，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为12{|}x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤，所以1a ≤．由命题q 为真，则方程2220x x a ++-=有解． 所以()4420a ∆=--≥，所以1a ≥．又因为,p q 都为真命题，所以11a a ≤⎧⎨≥⎩，所以1a =．所以实数a 的值为1．若选条件②，由命题p 为真，可得20x a -≥在12x ≤≤上恒成立． 因为{}12x x x ∈≤≤，所以214x ≤≤．所以1a ≤．由命题q 为真，可得4a ≥或32a ≤，因为非空集合{|3}B x a x a =<<，所以必有0a >， 所以203a <≤或4a ≥，又因为,p q 都为真命题，所以12043a a a ≤⎧⎪⎨<≤≥⎪⎩或，解得203a <≤． 所以实数a 的取值范围是2|03a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭．32．已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为M ．(1)若()2,5M =，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；(2)若M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(][),25,-∞⋃+∞(2)()3,1,2a ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，得到25x <<，再根据两个不等式的关系求解；（2）将不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为()()21230x a x a --+-< ，再根据M 中的一个元素是0，将x =0代入求解.(1)解：因为()2,5M =是不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集，所以25x <<，不等式()22237320x a x a a -----+≤，即为()22237320x a x a a +-++-≥，所以2x ≤或5x ≥，所以不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集是(][),25,-∞⋃+∞；(2)不等式()22237320x a x a a +-++-<转化为： ()()21230x a x a --+-< ，因为M 中的一个元素是0， 所以()()1230a a +->， 解得1a <-或 32a >， 所以实数a 的取值范围是 ()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.33．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a （0a >）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（x +∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m ，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)75人 (2)存在，7【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解； （2）由条件可得2125x m ≥+，100325xm x ≤++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解. (1)依题意可得调整后研发人员人数为100x -，年人均投入为()14%x a +万元， 则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦，(0a >) 解得075x ≤≤，又4575x ≤≤，x +∈N ，所以调整后的技术人员的人数最多75人； (2)假设存在实数m 满足条件.由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得2125x m ≥+. 由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325xm x ≤++， 故有2100132525x x m x +≤≤++，因为10033725x x ++≥=，当且仅当50x =时等号成立，所以7m ≤，又因为4575x ≤≤，x +∈N ，所以当75x =时，2+125x取得最大值7，所以7m ≥， 77m ∴≤≤，即存在这样的m 满足条件，其范围为{}7.34．已知关于x 的不等式()2211x m x ->-.(1)若对任意实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[]2,2m ∈-，不等式恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(1)不存在(2)⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式的性质可得0m <且∆<0，解不等式即可； （2）更换主元，将m 看成自变量，转化成一次不等式恒成立问题，得到答案. (1)原不等式等价于2210mx x m -+-<，若对于任意实数x 恒成立，当且仅当0m <且()4410m m ∆=--<，即2010m m m <⎧⎨-+<⎩，此不等式组的解集为∅， 所以不存在实数m ，使不等式对任意实数x 恒成立. (2)设()()2121y x m x =---，当[]2,2m ∈-时，()()2121y x m x =---可看作关于m 的一次函数，其图象是线段，所以若对于[]2,2m ∈-，0y <恒成立，则当2m =或2m =-时，0y <恒成立，即2222102230x x x x ⎧--<⎨--+<⎩①②，由①x <<，由②，得x 或x >x <<所以实数x 的取值范围是⎝⎭. 35．（1）若关于x 的不等式23x ax a ->-的解集为R ，求实数a 的取值范围；（2）设0x y >>，且2xy =，若不等式220x ax y ay -++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()6,2-；（2）(],4-∞.【分析】（1）根据题意得到()2430a a ∆=+-<，解得答案.（2）化简得到22x y a x y +≤-，根据题意得到()224x y x y x y x y+=-+--，利用均值不等式得到答案.【解析】（1）由题意知关于x 的不等式230x ax a --+>的解集为R ，所以()2430a a ∆=+-<，即24120a a +-<，所以62a -<<，即实数a 的取值范围是()6,2-．（2）由题意知不等式220x ax y ay -++≥恒成立，即 ()22x y a x y +≥-恒成立．因为0x y >>，22x y a x y +≤-，因为()()222244x y xy x yx y x y x y x y-++==-+≥---当且仅当4x y x y -=-，即1x =1y =- 所以实数a 的取值范围是(],4-∞．()f x a ≥ 有解，则max ()f x a ≥。

二次函数的练习题及答案二次函数是高中数学中的重要内容，也是考试中常考的知识点之一。

掌握好二次函数的相关概念和解题方法，对于提高数学成绩和解决实际问题都有很大的帮助。

本文将通过一些练习题和答案的形式，帮助读者巩固和加深对二次函数的理解。

1. 练习题一：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（1，4）和（2，1），求a、b、c的值。

解法：根据已知条件，将点（1，4）和（2，1）带入二次函数的方程，得到两个方程：a +b +c = 44a + 2b + c = 1解这个方程组，可以得到a、b、c的值。

2. 练习题二：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且交点的横坐标分别为2和5，求a、b、c的值。

解法：根据已知条件，可以得到两个方程：4a + 2b + c = 025a + 5b + c = 0同样地，解这个方程组，可以得到a、b、c的值。

3. 练习题三：已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像经过点（-1，0），且在点（2，3）处的切线斜率为4，求a、b、c的值。

解法：根据已知条件，可以得到两个方程：a -b +c = 04a + 2b + c = 3同样地，解这个方程组，可以得到a、b、c的值。

通过以上几个练习题，我们可以看到，解二次函数的题目，关键在于将已知条件转化为方程，然后通过解方程组得到未知数的值。

这是一个基本的解题思路，需要我们熟练掌握。

除了解题方法，我们还可以通过一些图像来加深对二次函数的理解。

例如，我们可以画出二次函数y = x^2 + x - 2的图像，观察图像的开口方向、顶点位置以及与x轴的交点等特征。

这样可以帮助我们更好地理解二次函数的性质和特点。

此外，二次函数还有一些重要的应用，例如在物理学中，二次函数可以用来描述自由落体运动的轨迹；在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。

通过了解这些应用，我们可以将抽象的数学知识与实际问题联系起来，提高数学的应用能力。