第四章三角形

斜 梁
斜 梁
直
梁
1.你能从中找出四个不同的三角形吗？ 2.与你的同伴交流各自找到的三角形。 3.这些三角形有什么共同的特点？
你能回答吗
1.这些三角形有什么共同的特点？ 三角形有三条边、三个内角 、三个
A
F D
A C B
G
E
B 顶点、三条线段首尾顺次相接。 2.什么叫做三角形？ 由不在同一直线上的三条线段首尾 顺次相接所组成的图形叫做三角形。 3.如何表示三角形？ 三角形可用符号“△”表示，如右 图
解：取长度为2cm的木棒时，由于2+5=7 < 8，出现了两边之和小于
第三边的情况，所以它们不能摆成三角形。
取长度为13cm的木棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边 的情况，所以它们也不能摆成三角形。
你能取一根木 棒，与原来的 两根木棒摆成 三角形吗？
.B
人 行 横 道
为什么经常有 行人斜穿马路 而不走人行横 道
5cm,
11cm
2.现有长度分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm的五条线段， 从其中选三条线段为边可以构成 3 个的不同的三角形。
3.如果三角形的两边长分别是2和4，且第三边是奇数， 那么第三边长为 3或5 。若第三边为偶数，那么 三角形的周长 10 。
4.已知一个三角形的三边a=7,b=3,第三边c是一个正整数， 5 种， 满足这些条件的三角形共有 当c= 9 时，所作出的三角形的周长最长。 5.一个等腰三角形的两边长分别为25和12，则第三边长 为 25 。
若△ABC的三边为a，b，c，则化简 a+b-c – b-a-c 的结果是（ ）.
(A) 2a-2b
(C) 2b-2c
(B) 2a+2b+2c
(D) 2a-2c
动动脑
某地有四个汽车停车场，位于如图所示的四边形 ABCD的四个顶点，现在要建立一个汽车维修站，你 能利用“三角形任意两边之和大于第三边”在四边 形ABCD的内部找一点P，使点P到A，B，C，D四点的 距离之和最小吗？
本课概要
三角形的“角平分线”、“中线”的概念与性质。
在三角形中，一个内角的 平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的 线段 叫三角形的角平分线。 B
A 1 2
在三角形中， 连接一个顶点与它对边中点的线段， 叫做这个三角形的中线(median). 三角形的三条中线交于一点. B
D ∠ 1= ∠ 2 图5−10
1.已知∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角， ∠A＝ 70°，∠C＝30 °， ∠B＝（ 80 ° ） 2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐 （ 20 ° ）度。 3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C= （ 50 ° ） 4.如果△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5，此 三角形按角分类应为 （ 直角三角形 ）。
C
A 折痕AD即为三角形的∠A的角平分线。
B
三形的角平分线的定义
在三角形中，一个内角 的平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的 线段叫三角形的角平分线。
以前所学的“角平分 线”是一条射线， “三角形的角平分线” 还是射线 吗?
B
A 1 2
D ∠ 1= ∠ 2 图5−10
C
“三角形的角平分线”是一条线段
.A
1.三角形任意两边之和大于第三边 2.两点之间的所有连线中，线段最短
1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成 三角形吗？实际摆一摆，验证你的结论。 （1）（3）
（1）3cm, 4cm, 5cm ; (2)8cm, 7cm, 15cm
(3) 13cm, 12cm, 20cm;
(4)5cm,
三角形的角平分线的性质
做一做 每人在纸张上分别画一个锐角三角形、钝 角三角形和直角三角形。 (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系? 将你的结果与同伴进行交流.
三角形的三条角平分线交于一点.
• 已知ΔABC（如图），画中线AD 和角平分线BE。
如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠B、 ∠C的平 A 分线，求证： ∠BPC= 90˚ + 1 ∠A。 2 证明： ∵BP、CP分别是∠B、 ∠C 的平分线(已知) P 2 1 ∴∠1= 1 ∠ABC B C 2 1 ∠ACB （角平分线定义） ∠ 2= 2
a
c
b
a
(2)a=_____
b=_____
b
c
a
c
(3)a=_____
b=_____
b
(1)a=_____
b=_____
计算每个三角形的任意两边之差，并与第 三边比较，你能得到什么结论？
c=_____
c=_____
c=_____
三角形任意两边之差小于第三边
有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的 木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒 呢？动手摆一摆。
C
ABC 4.三角形记作：△ 三角形的边可以怎么表示？ 如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可 表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示c
注意:
1.表示三角形时，字母没有先后顺序； 2.如下图，我们把BC(或a）叫做 A的对边，把AB（ 或c），AC（或b） 分别叫做 A的邻边.
A
P1
B P C
D
1. 通过本节课的学习，你有些什么收获和感想？
2. 你还有无疑问
三角形的“中线”
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 ，叫做这个三角形的中线(median). A 如图5−1l，AE是BC边上的中线.
议一议
(1) 在纸上画出一个锐角三角形， B 并画出它的三条中线. 它们有怎样的位置关系? 与同伴进行交流.
∵ ∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°
∴ ∠BCA+∠A+∠B= 180°
猜一猜
（１）下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的 呢？试着说明理由．
(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角?将所 得结果与(1)的结果进行比较.
认真看课本P83想一想以前的内容，时间3分钟。 思考下列问题 1、三角形按角怎么分？ 2、什么叫锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形? 3、直角三角形怎样表示？ 4、直角三角形的两个锐角有什么关系？
1
B
2
C
D
如果只撕下一个角,你能用学过的知识拼凑并 解释“三角形的三个内角和是180˚”吗？
1 1 a 3 2 b
4
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180˚
证法一 法一
A
已知：△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180°
E
证明：在△A B C的外部以C A 为 边作∠A C E =∠A. 延长B C至D 。
2.如图，在三角形ABC中,BD是角平分线， BE是中线，如果AC=10cm,则 AE=____cm,如果∠ABC=60°，则 ∠ABD=______
3.如图在三角形ABC中，AD平分 ∠BAC,DE∥AC交AB于E点，若 ∠BAC=40°，则 ∠EDA=______
A
E B C D
4.能把三角形的面积平分的是三角 形的______ 5.如图AD是△ABC的BC边上的中线， DE是△ADC的AC边上的中线，若 △ABC面积等于4，则△ADE的面积 等于_________ 。
(2) 钝角三角形和直角三角形的三条中线 也有同样的位置关系吗? E BE=EC 图5−11 C
三角形的三条中线的性质
三角形的三条中线交于一点. 这点称为三角形的重心
做一做
A
在一张薄纸上任意画一个 三角形，你能设法画出它的一 个内角的平分线吗?
你能通过折纸的方法得到它吗? B 用圆规画最简便。
在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它的 一个角对折，使其两边重合。 C D
c
A
B
AB+AC
BC
AB+BC
AC+BC
AC
AB
(2)在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样 的关系?
议一议
A
C B
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选 择A—B路线，而不选择A—C—B路线，难道小狗也懂 数学？
三角形任意两边之和大于第三边
做一做
分别量出下面三个三角形的三边长度，并填空。
1、 ①如图所示，以AB为边 的三角形有△ABC △ABD、△ABE ②如图所示，以∠E为 内角的三角形有 △ADE △ACE、△ABE ③图中有 6 个三角形. 分别是 △ABC、△ABD、 △ABE、 △ACD、 △ACE、 △ADE
§4.1认识三角形（一）
1.三角形内角和定理:
三角形的内角和等于180°。
A D
C O E B
∵ ∠BPC +∠1 + ∠2 =180˚ ( 三角形内角和定理 ) ∠A +∠ABC +∠ACB=180˚ ( 三角形内角和定理 ) ∴∠BPC=180˚−(∠1 +∠2 ) 1 = 90˚ + ∠ A. 1 2 =180˚− 2 (∠ABC +∠ACB ) 1 =180˚−2 (180−∠A )
A
B
C
• 1. AD是ΔABC的角平分线（如图）， 2； 那么∠BAC= ∠BAD
• 2. AE是ΔABC的中线（如图），那么 1 BE = ___BC 。 2
A A
B
D
C
B
E
C
课内训练 1.如图在△ABC中∠ACE=∠BCE,BD=CD, 则AD是三角形_____的_____线，CE是三 角形_____的______线。