第四章 4.6 相似三角形 相似多边形

第四章相似图形6.探索三角形相似的条件（二）一、学生知识状况分析学生知识技能基础：学生的知识技能基础：学生在七年级下册第五章《三角形》里，已学习过三角形的基础知识掌握了基本的概念；在本章前面几节课中，又学习了线段的比，黄金分割，形状相同的图形，相似多边形，相似三角形，并理解了它们的概念；现已具有了初步的平面图形知识，本节课是要在以前学习的基础上加深相似三角形部分的知识。

本节知识的难点在于对两个相似三角形相似上的判定，本节课需要在上一节课的基础上增加“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两条判定定理，在教学方法上建议采用学生自主探索、分组讨论、总结，教师参与讨论并最后点评总结的方法。

学生活动经验基础：学生在上节课学习的基础上，进一步探索相似三角形的条件，已经有一定的探索经验；因此，本课时对学生来说，难度不是很大，关键是老师要用正确的方法，启发学生进行探索，做到师生互动，教师参加学生讨论并充分调动学生的学习积极性。

使学生能充分的理解和掌握三角形的相似的判定方法，并能结合本节知识点，进行一些问题的解决，以巩固所学知识的运用。

二、教学任务分析在复习上一节课所学的判定方法的基础上进一步学习三角形相似的条件，增加“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”这两条判定定理，并对所学的各种三角形相似的判定方法进行梳理；使学生能掌握和综合利用相似三角形的判定条件和性质来判定两个三角形的相似，让学生结合实际再次体会数学中的几何图形在生活中广泛存在并起到重要的作用；在教学中再辅以适量的练习使学生对所学的知识加深印象和增加解决问题的能力。

教学内容：三角形相似的条件（2）教学目标：1、知识与技能：理解并掌握三角形相似的判定定理：“三边对应成比例的两个三角形相似”及“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”。

2、过程与方法：以问题的形式引入，创设一个有利于学生动手和探究的情景，师生互动，从而达到掌握相似三角形判定的方法的目的。

数学科第四单元第10周教案教研组长签字：___ 备课组长签字：执教老师：（图2）一、课前预习初中生辅导第四章第七节课前预习二、复习巩固：1.什么样的两个三角形相似？（学生回答）2.相似三角形有什么特性？相似三角形的相等，成比例。

三、探究新知第一环节：探究相似三角形对应高的比.内容：探究活动一：（投影片）在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的△ABC，以1：2的比例建造了模型房梁△A/B/C/，CD和C/D/分别是它们的立柱。

（1）写出△ABC与△A/B/C/的对应边之间的关系，对应角之间的关系。

（2）△ACD与△A/C/D/相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比。

（3）如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁立柱有多高？（4）据此，你有什么猜想？第二环节：探究相似三角形对应高线的比，对应中线的比、对应角平分线的比（一般化）提出问题:已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,它们对应高的比是多少，对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论。

分组活动：1.小组内分工，一些探究对应高的比，一些探究对应角平分线的比，一些探究对应中线的比；3.小组内交流小结；4.全班交流：学生板书或者教师板书。

5.小结：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。

内容：探究活动二：（投影片）（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流。

（对于问题（1）、（2）让学生在小组内分工证明，然后小组内交流，全班交流板演。

）形成结论：相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比.第三环节：学以致用（相似三角形的性质的应用）四、巩固练习课本107、108页随堂练习1、2.要求：类比探究，小组合作，至少证明其中一个结论.五、课堂小结师生共同交流六、布置作业习题4.11板书设计一、课前预习初中生辅导上的课前预习二、情景导入（投影）问题：（1）大家注意观察这两个直角三角形，你能判断这两个三角形相似吗？（学生发言）（2）这连个三角形的相似比是。

引入简单的概念相似多边形和相似三角形相似多边形和相似三角形是几何学中的常见概念，它们在解决实际问题和计算几何中起到了重要的作用。

本文将对相似多边形和相似三角形的概念及相关性质进行介绍，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。

一、相似多边形的概念及性质相似多边形是指具有相同形状但大小可以不同的多边形。

它们的对应角相等，对应边成比例。

具体来说，如果两个多边形的对应角相等且对应边成比例，则它们是相似多边形。

相似多边形有以下性质：1. 相似多边形的对应边比值相等，即边长比例相等。

2. 相似多边形的对应角度相等。

3. 相似多边形的各对应边和角度之间成等比例关系。

我们可以利用相似多边形的性质进行求解。

例如，在计算尺寸不方便测量的物体的长度时，可以利用相似三角形或相似多边形的性质，通过测量一些已知尺寸，结合比例关系来求解未知尺寸。

二、相似三角形的概念及性质相似三角形是指具有相同形状但大小可以不同的三角形。

它们的对应角相等，对应边成比例。

与相似多边形类似，如果两个三角形的三个内角相等且对应边成比例，则它们是相似三角形。

相似三角形有以下性质：1. 相似三角形的对应边比值相等，即边长比例相等。

2. 相似三角形的对应角度相等。

3. 相似三角形的各对应边和角度之间成等比例关系。

相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在地图上测量两地的实际距离时，可以利用相似三角形的性质，通过测量地图上两地的距离和测量的比例尺来求解实际距离。

三、相似多边形和相似三角形的重要性相似多边形和相似三角形在数学中具有重要的地位和作用。

它们不仅帮助我们理解几何形状之间的关系，还为解决实际问题提供了有效的工具。

在数学中，相似多边形和相似三角形是解决几何证明问题的基础。

通过运用它们的性质和定理，我们可以更简洁地证明一些几何定理，从而推动几何学的发展。

在实际应用方面，相似多边形和相似三角形在建筑、地理测量、工程设计、图像处理等领域有着广泛的应用。

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d cb a =4、比例外项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：c da b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ．5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ΛΛ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ΛΛ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

第二十八讲相似三角形相似多边形4.3、4.6相似三角形相似多边形【学习目标】1、掌握相似图形、相似三角形的性质及应用；2、掌握相似多边形的性质及应用。

【基础知识】一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.【考点剖析】例1．如果一个三角形保持形状不变，但面积扩大为原来的4倍，那么这个三角形的边长扩大为原来的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍【答案】A【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，从而得到答案．【解析】由题意知：这两个三角形的面积之比等于4:1，则它们的相似比为2：1，因此边长扩大到原来的2倍，故选：A.例2．若两个相似三角形对应高之比为31∶，则它们的周长之比为（ ） A ．91∶ B ．61∶C ．31∶D ．13∶ 【答案】C 【解析】∵两个相似三角形对应高的比是3：1， ∴它们的相似比是3：1， ∴它们的周长比是3：1． 故选C. 【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的对应高的比等于相似比与相似三角形的周长比等于相似比定理的应用．例3．若，，，则'C ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．70°D ．110°【答案】A 【解析】因为，所以'C C ∠=∠.因为，，所以30C ∠=︒，所以'30C ∠=︒. 故选A. 【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等，是关键.例4．如果ABC DEF ∆∆∽，A 、B 分别对应D 、E ，且，那么下列等式一定成立的是（ ）A ．:1:2BC DE =B ．ABC ∆的面积：DEF ∆的面积1:2= C ．A ∠的度数：D ∠的度数1:2= D ．ABC ∆的周长：DEF ∆的周长1:2=【答案】D 【分析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等. 【解析】根据相似三角形性质可得：A ：BC 和DE 不是对应边，故错；B ：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，故错；D ：周长比等于相似比，故正确. 故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.例5．如图，已知点D 、E 分别在ABC 边AB 、AC 上，//DE BC ，BD ＝2AD ，那么:DBEEBCS S等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．2:3【答案】B 【分析】根据BD=2AD ，求出AD ：AB 的值，在根据相似三角形的性质求得DE ：BC ，最后再根据面积之比即可求解． 【解析】 解：∵BD=2AD ， ∴AD ：AB=1：3， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴DE ：BC=1：3．∵△DBE 和△EBC 的高相同，设这个高为h ，∴112132DBEEBCDE hDE SSBC BC h ⋅===⋅： 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．例6．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）A ．各有一个角是100°的两个等腰三角形B ．各有一个角是90°的两个等腰三角形C．各有一个角是60°的两个等腰三角形D．各有一个角是50°的两个等腰三角形【答案】D【分析】根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解．【解析】A、各有一个角是100°的两个等腰三角形，100°的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似；B、两个等腰直角三角形，对应边的比相等，锐角都是45°，相等，所以一定相似；C、各有一个角是60°的两个等腰三角形，是等边三角形，有两对对应角相等，所以一定相似；D、各有一个角是50°的两个等腰三角形，可能是顶角为50°，也可能底角为50°，所以对应角不一定相等，所以不一定不相似；故选：D．【点睛】本题考查了相似图形的判断，严格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．例7．已知△ABC的三边长分别为6,7.5,9,△DEF的一边长为4,若△DEF与△ABC相似,则△DEF的另两边长可能为()A．2,3 B．4,5 C．5,6 D．6,7【答案】C【解析】①若边长为4的边与边长为6的边相对应，则另两边为7.5×46=5和9×46=6；②若边长为4的边与边长为7.5的边相对应，则另两边为和；③若边长为4的边与边长为9的边相对应，则另两边为486=93和．故三角形框架的两边长可以是：5和6或和或83和．故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的三边对应成比例，解答时注意分类讨论思想的运用.例8．将一张矩形纸片对折后裁下，得到两张大小完全一样的矩形纸片，已知它们都与原来的矩形相似，那么原来矩形长与宽的比为（）A．2:1 B．2:1 C．3:1 D．3:1【答案】B【分析】先设出原矩形的长和宽，可根据对折表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解．【解析】解：设原矩形长2a，宽b，则对折后的矩形的长为b，宽为a，∵对折后的矩形与原矩形相似，∴b=b2aa，∴，∴，∴222=b12a．故选B．【点睛】此题主要考查了相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形对应边成比例．例9．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m，则5m为（）A．1 B．C5D．5【答案】C【解析】解：根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可以先求出5m=不合题意，舍去，所以5m55故选：C 【点睛】本题考查相似多边形的性质．例10．下列说法正确的有（）．①形状差不多的两个图形相似；②国旗上的大五角星与小五角星是相似的；③大小不等的两个六边形的形状可能相似；④放大镜下看到的图形与原来的图形的相似．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据相似图形的定义，对各项进行分析即可得出答案.【解析】①形状相同的两个图形是相似图形，形状差不多的两个图形，不是相似图形，故①说法错误；②国旗上的大五角星与小五角星，形状相同，是相似图形，故②说法正确；③当大小不等两个六边形的对应角相等，对应边成比例式时，这两个六边形相似，故③说法正确；④放大镜下看到的图形与原来的图形形状相同，是相似图形，故④说法正确；②③④说法正确，故选C.【点睛】本题考查相似图形的定义，具有相同形状的图形是相似图形，熟记并理解定义是解决本题的关键.例11．下列多边形一定相似的是（）A．两个平行四边形B．两个矩形C．两个菱形D．两个正方形【答案】D【分析】利用相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，逐一分析各选项可得答案．【解析】解：两个平行四边形，既不满足对应边成比例，也不满足对应角相等，所以A错误，两个矩形，满足对应角相等，但不满足对应边成比例，所以B错误，两个菱形，满足对应边成比例，但不满足对应角相等，所以C错误，两个正方形，既满足对应边成比例，也满足对应角相等，所以D正确，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的定义与判定，掌握定义法判定多边形相似是解题的关键．例12．如图，正五边形FGHMN 与正五边形相似，若，则下列结论正确的是（ ）A ．23DE MN =B ．32DE MN =C ．32A F ∠=∠D ．23A F ∠=∠【答案】B 【分析】根据相似多边形的定义：各边对应成比例,各角对应相等的多边形叫做相似多边形，逐一分析即可． 【解析】解：因为相似多边形的对应角相等，对应边成比例， 所以,:2:3A F DE MN ∠=∠=，故可排除C 和D 所以32DE MN =．故排除A 故选B ． 【点睛】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．例13．如图，矩形ABCD ∽矩形FAHG ，连结BD ，延长GH 分别交BD 、BC 于点I 、J ，延长CD 、FG 交于点E ，一定能求出BIJ ∆面积的条件是（ ）A ．矩形ABJH 和矩形HJCD 的面积之差B ．矩形ABJH 和矩形HDEG 的面积之差C ．矩形ABCD 和矩形AHGF 的面积之差 D ．矩形FBJG 和矩形GJCE 的面积之差 【答案】B 【分析】根据相似多边形的性质得到AF AH AB BC =，即AF·BC=AB·AH ①．然后根据IJ ∥CD 可得，，再结合AF AHAB BC=以及矩形中的边相等可以得出IJ=AF=DE ．最后根据S △BIJ =12BJ·IJ=12BJ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC·AF-12DH·DE ②，结合①②可得出结论． 【解析】解：∵矩形ABCD ∽矩形FAHG ， ，∴AF·BC=AB·AH ，又IJ∥CD，∴，又DC=AB，BJ=AH，∴，∴IJ=AF=DE．S△BIJ=12BJ·IJ=12BJ·DE=12(BC-DH)·DE=12BC·AF-12DH·DE=12AB·AH-12DH·DE=12(S矩形ABJH -S矩形HDEG)．∴能求出△BIJ面积的条件是知道矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差．故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质等知识，正确的识别图形及运用相关性质是解题的关键．例14．如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC 和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分；如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为（）A．116B．164C．1128D．1256【答案】D【分析】先分别求出第一个正六角星形AFBDCE与第二个边长之比，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，找出规律即可解答．【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分别是△ABC和△DEF各边中点，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE的面积为1，∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面积为14，同理可得，第二个六角形的面积为：，第三个六角形的面积为：，第四个六角形的面积为：，故选D．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质及三角形中位线定理，解答此题的关键是熟知相似多边形面积的比等于相似比的平方．【过关检测】一、单选题1．下列语句中的图形必成相似形的是( )A．只有一个角为30°的等腰三角形B．邻边之比为2的两个平行四边形C．底角为40°的两个等腰梯形D．有一个角为40°的两个等腰梯形【答案】A【解析】根据相似图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．解：A、只有一个角为30°的等腰三角形，30°的角必定是顶角，所以，底角也一定相等，三角形相似，故本选项正确；B、邻边之比为2，夹角不一定相等，两平行四边形不一定相似，故本选项错误；C、底角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误；D、有一个角为40°的等腰梯形，角对应相等，边不一定对应成比例，两等腰梯形不一定相似，故本选项错误．故选：A．【点睛】本题考查相似图形的定义，解题的关键是熟记相似多边形的定义和性质.2．如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为( )A．2：1 B．4：1 C．21：D．1：2【答案】A【解析】设原矩形的长为x，宽为y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．解：设原矩形ABCD 的长为x ，宽为y ， ∴小矩形的长为y ，宽为， ∵小矩形与原矩形相似，4xyy x∴=， ∴x ：y=2：1 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键． 3．下列图形中不一定是相似图形的是( ) A ．两个等边三角形 B ．两个等腰直角三角形 C ．两个正方形 D ．两个长方形【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似来分析解答本题. 【解析】等边三角形的三个内角都是60︒，所以任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故A 选项错误；等腰直角三角形的三个内角分别为454590︒︒︒、、，所以任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故B 选项错误；正方形可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，故任意两个正方形也相似，故C 选项错误；任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，所以任意两个长方形不一定相似，故正确答案为D 选项. 【点睛】本题主要考察相似三角形的定义和判定定理以及正方形相似和长方形相似的判定方法. 4．下列说法不正确的是（ ）A ．含30角的直角三角形与含60角的直角三角形是相似的B ．所有的矩形是相似的C．所有边数相等的正多边形是相似的D．所有的等边三角形都是相似的【答案】B【解析】A. 含30角的直角三角形可知另一个锐角为60°，与含60角的直角三角形是相似的，故不符合题意；B. 若一个矩形的长与宽的比为2：1，另一个矩形的长与宽的比为3：1，则这两个矩形就不相似，故B选项符合题意；C. 所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意；D. 所有的等边三角形都是相似的，正确，故不符合题意，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形与相似多边形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键.5．下列各组图形中不一定相似的有（）①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤两个直角三角形；⑥两个等腰直角三角形．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】①两个矩形，对应角相等，但边的比不一定相等，故不一定相似；②两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；③两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；④两个等边三角形，角都是60°，故相似；⑤两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；⑥两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．所以共有①③⑤3个不一定相似，故选B．6．一个多边形的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6 B．8 C．12 D．10【答案】B解：设这个多边形的最短边是x，∵两个多边形相似，则，解得x=8故选B【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．7．手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，如图，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不一定成比例，故D选项符合要求；故选：D．【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即形状相同，大小不一定相同的图形叫做相似形．全等形是相似形的一个特例．8．下列说法正确的个数有（）个①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据相似图形的概念以及相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各小题分析判断即可得解．【解析】解：①凡正方形都相似，正确；②等腰三角形两腰相等，对应成比例，但顶角不一定相等，所以不一定相似，故本小题错误；③凡等腰直角三角形都相似，正确；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为2：3，故本小题错误；所以，说法正确的有①③共2个．故选：B ．【点睛】本题考查了相似图形的概念和相似的性质，掌握相似的性质是解题的关键.9．一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为30，则这个多边形的最短边长为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．14【答案】B根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】解：设这个多边形的最短边长为x ，∵两个多边形相似，，解得，x=10，故选：B ．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．10．如图矩形ABCD 中，AD AB >，且1AB =，在BC 上取一点E ，沿AE 将ABE △向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若矩形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD =（ ）A B ． C D 1【答案】A【解析】解：∵沿AE 将△ABE 向上翻折，使B 点落在AD 上的F 点，∴AB=AF=1，∴四边形ABEF 是正方形，设AD=x ，则FD=x-1，EF=1，∵矩形EFDC 与矩形ABCD 相似，∴∴解得：112x +=212x -=（舍），经检验：112x+= 故选：A【点睛】 本题主要考查的是折叠问题和相似多边形的性质，根据矩形EFDC 和矩形ABCD 相似列出比例式是解题的关键．二、填空题11．矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，若矩形ABFE ∽矩形BCDA ，且AD =2，则AB =_____．【解析】【分析】由于矩形ABCD 与矩形ABFE 是相似的矩形，利用对应边成比例即可求出结果．【解析】解：如图，由矩形ABCD 且AD =2，可知BC=AD =2，∵E 、F 分别是AD 、BC 的中点，∴112AE AD ==， ∵矩形ABFE ∽矩形BCDA ，∴，即12AB AB=，∴AB =，【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，根据对应边成比例列出比例式是解题关键．12．两个相似多边形的周长的比为2：3，较大多边形的面积为245cm ，则较小多边形的面积为______2cm ．【答案】20【解析】解：∵两个相似多边形的周长为2：3，∴相似比为：2：3，∵面积之比等于相似比的平方，∴，∴，∴20S =较小多边形．故答案为20．【点睛】本题考查了相似形的性质，掌握相似形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可． 13．如图，四边形ABCD 四边形A B C D ''''，若65,82,110B C A '∠=︒∠=︒∠=︒，则D ∠=________．【答案】103【解析】∵四边形ABCD 四边形A B C D ''''，．，，故答案为：103．【点睛】本题主要考查相似多边形的性质及四边形内角和，掌握相似多边形的性质及四边形内角和是解题的关键． 14．如图，,E F 分别为ABCD 的边,AD BC 的中点，且ABFE 与ADCB 相似，则_______．【答案】【解析】解：E 为ABCD 的边AD 的中点，1122AE AD BC ∴==． ABFE 与ADCB 相似，，221,2BC AB ∴= 2212AB BC ∴=．2AB BC ∴==． 故答案为：．【点睛】此题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的定义是解决此题的关键．15．北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现, 太和殿,中和殿, 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD （北至保和殿, 南至太和门,西至弘义阁, 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH 为相似形, 若比较宫院与台基之间的比例关系, 可以发现接近于9:5, 取“九五至尊”之意． 根据测量数据, 三大殿台基的宽(EF )为40丈, 请你估算三大殿宫院的宽(AB )为_________丈．【答案】72【解析】设三大殿宫院的宽为x 丈，由题意得：x ：40=9：5，解得：x =72．故答案为：72．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解答本题的关键．16．四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似图形，点,,,A B C D 分别与',',','A B C D 对应，已知3BC =，2.4CD =，''2B C =，那么''C D 的长是__________．【答案】1.6【解析】∵四边形ABCD ∽四边形A'B'C'D'，∴CD ：C′D′=BC ：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B'C′=2，∴C′D′=1.6，故答案为：1.6．【点睛】本题考查相似图形，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．17．如图，四边形ABCD 和四边形1111D C B A 相似，已知，，175C ∠=︒，10AB =，1116A B =，18CD =，则1D ∠=______，11C D =______．【答案】80︒【解析】∵四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，∴∠A 1=∠A=120°，∠B 1=∠B=85°，∠C 1=∠C=75°，∴∠D 1=360°-∠A-∠B-∠C=80°， ，解得11144C D =5故答案为：80°，.【点睛】本题考查相似多边形的性质，找准对应角与对应边是关键.18．如图，正方形EFGH 的四个顶点分别在正方形ABCD 的四条边上，若正方形EFGH 与正方形ABCD 的相似比为，则（AE BE <）的值为_____.【答案】12 【解析】解：在正方形EFGH 与正方形ABCD 中，∠A=∠B=90°，EF=EH ，∠FEH=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠AHE=∠BEF ，∴△AEH ≌△BFE （AAS ），∴BE=AH ，∵EH AB =令，AB=3k ，在直角三角形AEH 中，设AE=a ，AH=AB-AE=3k a -，由勾股定理，得222AE AH EH +=，即222(3))a k a +-=，解得：a k =或2a k =，∵AE BE <，∴AE k =，∴2BE k =，∴； 故答案为：12. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE和BE的长度.19．如图，一块长3m、宽1.5m的矩形黑板，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的两矩形___________（填“是”或“不是”）相似矩形.【答案】不是.【解析】解：3m=300cm，1.5m=150cm∴大矩形的长为：300＋7.5×2=315cm，宽为：150＋7.5×2=165cm∵∴两矩形不相似故答案为：不是.【点睛】此题考查的是相似图形的判定，掌握相似图形的定义是解决此题的关键.20．现有大小相同的正方形纸片20张，小亮用其中2张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用张___________正方形纸片（不得把每个正方形纸片剪开).【答案】8【解析】∵拼一个它形状相同但比它大的长方形，长宽至少是原来的2倍，原长方形由1×2个正方形组成，∴大的长方形至少为2×4个正方形组成，∴至少需要8个正方形纸片故答案为：8.【点睛】本题考查相似多边形的性质，掌握相似多边形对应边成比例是解题的关键.三、解答题21．如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；（2）这样的直线可以作多少条？【答案】见解析【解析】（1）相似．理由如下：因为EF 将矩形ABCD 分成面积相等的两部分，所以可设AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝x ． 于是有11()?()?22x AF a b x b AF a +=-+-， 所以x ＋AF ＝b －x ＋b －AF ，即AF ＝b －x ．又EC ＝b －x ，所以AF ＝EC ．在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，所以DF ＝BE ，∠AFE ＝∠FEC ，∠DFE ＝∠BEF ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°．所以在四边形ABEF 与四边形CDFE 中，有∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝∠D ＝90°，∠AFE ＝∠FEC ，∠BEF ＝∠DFE ，，所以四边形ABEF 与四边形CDFE 相似，相似比为1．（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形1111D C B A 是矩形ABCD 的“减半”矩形． 请你解决下列问题：（1）当矩形的长和宽分别为1，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．（2）边长为a 的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析．【解析】【分析】（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x 、y ，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．【解析】解：（1）存在假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x ，y ，则，由①，得：4y x =-，③把③代入②，得27402x x -+=，解得122x =+，222x =-．所以“减半”矩形长和宽分别为2+2 （2）不存在 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为12时，面积比必定是14， 所以正方形不存在“减半”正方形．【点睛】 本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．23．设四边形ABCD 与四边形1111D C B A 是相似的图形，且与1A 、B 与1B 、C 与1C 是对应点，已知12,18AB BC ==，，求四边形1111D C B A 的周长．【答案】38【解析】【分析】四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A 1B 1C 1D 1的其它边的长，就可求得周长．【解析】解：∵四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，∴，又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A 1B 1=8，∴1111111218189===8B C C D D A ， ∴B 1C 1=12，C 1D 1=12，D 1A 1=6，∴四边形A 1B 1C 1D 1的周长=8+12+12+6=38．【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等．24．如图，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''相似，6AB =，60B C ∠=∠=︒，4A B ''=，12B C ''=，8C D ''=，150A '∠=︒．（1）求BC 、CD 的长度；（2）求D ∠、D '∠的大小；（3）若AD =ABCD 和四边形A B C D ''''的周长的比．【答案】（1）18BC =，12CD =；（2）90D ∠=︒，90D '∠=︒；（3）3:2【解析】（1）根据相似多边形对应边成比例列出比例式，代入数据即可求解；（2）根据相似多边形对应角相等和四边形内角和即可求解；（3）根据相似多边形的周长比等于对应边之比即可得出答案.【解析】（1）∵四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，∴即，即．∴18BC =，12CD =．（2）∵四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''，∴150A A '∠=∠=︒．∵60B C ∠=∠=︒，∴90D ∠=︒，即90D '∠=︒．（3）∵∴四边形ABCD 和四边形A B C D ''''的周长的比=3:2．【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟记对应边成比例，对应角相等，周长比等于相似比是解决本题的关键.25．如图，A n 系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A 1纸对裁后可以得到两张A 2纸，A 2纸对裁后可以得到两张A 3纸，…，A n 纸对裁后可以得到两张A n+1纸．（1）填空：A 1纸面积是A 2纸面积的几倍，A 2纸周长是A 4纸周长的几倍；（2）根据A n 系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比； （3）设A 1纸张的重量为a 克，试求出A 8纸张的重量．（用含a 的代数式表示）【答案】（1）2，2；（21；（3）A 8纸张的重量是（12）7a 克．【解析】【分析】（1）根据A 1纸对裁后可以得到两张A 2纸即可得出A 1纸面积是A 2纸面积2倍；设A 2纸的长为a ，宽为b ，则A 2纸周长=2（a+b ），则A 3纸的长是b ，宽是2a ， A 4纸的长是2a ， 宽是2b ， A 4纸的长周长=2（2a +2b ）=a+b ，由此可得出结论；（2）设A 1纸的长和宽分别是m 、n ，则A 2纸的长和宽分别为n ，12m ，求出m n 的值即可； （3）A 1纸张的重量为a 克，A 2纸是A 1纸面积的一半得出A 2纸的重量，同理可得出A 3纸的重量，找出规律即可得出结论．【解析】解：（1）∵A 1纸对裁后可以得到两张A 2纸，∴A 1纸面积是A 2纸面积2倍；∵设A 2纸的长为a ，宽为b ，则A 2纸周长=2（a+b ），则A 3纸的长是b ，宽是2a ，A 4纸的长是2a ，宽是2b ，A 4纸的长周长=2（2a +2b ）=a+b ， ∴A 2纸周长是A 4纸周长的2倍．故答案为：2，2；（2）∵设A 1纸的长和宽分别是m 、n ，则A 2纸的长和宽分别为n ，12m ，。

相似三角形尊敬的各位评委老师，上午好！我是来应聘小学数学的5号考生。

今天，我说课的题目是：《相似三角形》。

下面我将从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计这六个方面进行我的说课。

下面开始我的说课。

一、说教材《相似三角形》是北师大版初中数学八年级下册第四章第五节课的教学内容。

本节课主要介绍了相似三角形的定义及应用这一概念解决一些实际问题。

本节课是在学生学习了相似多边形，知道了相似多边形的本质特征的基础上进行教学的，并为下一步学习相似三角形的判断定理做感性的准备，因此本节课具有承上启下的作用。

根据对教材地位和作用的分析，在新课改理念的指导下，我对这个课时确定了如下三维目标：知识与技能目标：了解两个三角形相似的概念，学会利用相似三角形解决一些实际问题，并在实际应用中加深对相似三角形的认识和理解。

过程与方法目标：在相似三角形概念的学习过程中，引导学生对问题观察、分析等，养成良好的思维习惯，并在应用的过程中进行对比学习，渗透类比的思想方法。

情感、态度与价值观目标：通过本节课的课的学习，学生体验数学学习活动中探索与创造的乐趣。

根据本节教材的地位和作用以及课改中明确要求学生了解两个三角形相似的概念和利用这个概念解决一些实际问题，因此本节课的教学重点是相似三角形的概念和初步应用，相似三角形概念中的对应边对应角理解起来还是有一些难度的，因此这是这节课的教学难点。

二、说学情分析学生的学习数学的基本情况，对于把握教材和教学具有重要指导意义。

因此在教学之前我来分析一下学情。

八年级学生还处于形象思维阶段，他们乐于尝试、探索、思考，好奇心和求知欲较强。

对于相似图形的概念有了一定的积累，初步具有比较、理解的能力，但是对于三角形相似概念中的对应关系的抽象能力还不够强，因此，在授课中我会注意这方面的问题，帮助学生建立相关知识体系。

三、说教法在新课改理念的指导下，教学中应关注学生交流能力的培养及探究问题的意识。

根据初中学生的心理特征及本节的内容特点，这节课我主要采用小组探究法和启发教学法，这两种教法的应用能够很好的引导学生探索知识，加快形成完整的认知结构，提高学生这方面知识的应用能力。

相似多边形、相似三角形判定一、相似多边形1．相似多边形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．三、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．四、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证A B C D E F △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．五、相似证明中的基本模型六、.黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BCABAC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中618.0215≈-=AB ACA BC【例1】 三角形三边之比为357∶∶，与它相似的三角形最长边是21cm ，另两边之各是 （ ） A ．15cm B ． 18cm C ． 21cm D ． 24cm【巩固】ABC △的三边长分别为2、10、3，'''A B C △的两边长分别为1和5，若ABC △与'''A B C △相似，则'''A B C △的第三条边长 ．【拓展】已知ABC △的三边长分别为20cm 、50cm 、60cm ，现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与ABC △相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：cm ）分别为 多少？【例2】 已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM)，则下列各式中不正确的是( )A.AM ∶BM=AB ∶AMB.AM=215-ABC.BM=215-ABD.AM ≈0.618AB【例3】 著名的斐波那契数列指的是数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和．该数列有很多性质，“相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比=0.6180339887…”是其中的一个性质．请经过探究，猜测该数列中的第2010项与2011项的比值与黄金分割比的大小关系为（ ）A 、大于B 、等于C 、小于D 、无法确定【例4】 如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形.在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图1)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.角角角判定法【例5】如图，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．【巩固】如图，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．【例6】在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．（1）试说明△AMD∽△EMB；（2）求FNNE的值．【巩固】已知，如图：CE 是Rt △ABC 的斜边上的高，在CE 的延长线上任取一点P ，连结AP 自B,作BG ⊥AP 于G 交CP 于D ，求证：2CE DE PE =∙【例7】 如图所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的一点，EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证：△ADE ∽△BEF ．（2）若AE ：EB=1：2，求DE ：EF 的比值．【巩固】如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，求证：AB 2=AE•BF．【例8】如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF,且DE和DF分别交AB、AC于点E、F，则AF：AD=BE：BD吗？说明理由边角边判定法【例9】已知△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，若∠BDE+∠BCE=180°那么，△DCF∽△BEF? 为什么？【巩固】如图,点C,D都在线段AB上,△PCD是等边三角形.（1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB（2）当△ACP∽△PDB时求∠APB的度数。

第四章 图形的相似一．成比例线段1.线段的比※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成nm B A =. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段.※注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致.（2）比例的基本性质:若dc b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果dc b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论.二.平行线分线段成比例※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图1，1l //2l //3l ，则EFBC DE AB =.推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例.定理推论：①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例.②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.三.黄金分割如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果ACBC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.≈-=215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=四．相似多边形一般地,形状相同的图形称为相似图形.1.概念：对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质：相似多边形的对应角相等、对应边成比例；周长等于相似比；面积比等于相似比的平方.（3）判定：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似.（两个条件缺一不可）五．三角形的相似（“∽”不需分类讨论，“相似”需分类讨论）1.探索三角形相似的条件※相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例,且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例；a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.2.相似三角形的判定定理的证明3.利用相似三角形测高（3种方法）（1）利用太阳光线平行运用方法1:可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.（2）利用标杆运用方法2：观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.（3）利用反射运用方法3：光线的入射角等于反射角.4.相似三角形的性质 （1）对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.（3）性质：①相似三角形对应角相等，对应边成比例；②相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；④相似三角形面积的比等于相似比的平方.※5.图形的位似：→位似图形的概念：如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.→位似图形的性质：（1）位似图形是相似图形，具备相似图形的所有性质；（2）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中的对应线段平行（或在一条直线上）.→位似图形的画法：（1）画出基本图形； （2）选取位似中心；（3）根据条件确定对应点，并描出对应点；（4）顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形.例题：如图，已知△ABC 和点O.以O 为位似中心，求作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长扩大到原来的两倍.注意：给出基本图形和位似中心，可以做两个图形与原图形位似，分别在位似中心同侧和异侧各有一个，在具体的题中需根据实际情况作图.→位似变换与坐标在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k.例如：点A(x,y)的对应点为A ´，则A ´点的坐标可以这样确定xA ´=xA ×k ，yA ´=yA ×k 即A ´（kx,ky ）或xA ´=xA ×(-k)，yA ´=yA ×(-k) 即A ´（-kx,-ky ） 例题：在平面直角坐标系中, 四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O 为位似中心,相似比为21的位似图形.题：△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，点A的对应点A′的坐标为____________总结：至此，我们学过的图形变换有：平移，轴对称，旋转，位似.（1）平移：上下移：横坐标不变，纵坐标随之平移左右移：纵坐标不变，横坐标随之平移（2）轴对称:关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数（3）旋转:绕原点旋转180度（中心对称）：横坐标、纵坐标都互为相反数（4）位似:以原点为位似中心，相似比为k的位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.。