第四章相似三角形题集

第4单元相似三角形（压轴题45道）一．选择题（共14小题）1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．32．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN ＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．3．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP ；③S △AOD ＝S 四边形OECF ；其中正确结论的个数（ ）A ．1B ．3C ．2D ．04．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE 、AF 于M 、N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②；③S 四边形CGNF ＝S △ABN ；④．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 分别是高和角平分线，已知△BEC 的面积是15，△CDE 的面积为3，则△ABC 的面积为（ ）A ．22.5或20B ．22.5C ．24或20D ．206．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的两点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ．下列结论：①AB 2＝BN •DM ；②AF 平分∠DFE ；③AM •AE ＝AN •AF ；④．其中正确的结论是（ ）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A．9B．12C．15D．188．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1B．C．1D．9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（）A．B．C．6D．1010．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A．6B．5C．D．11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（）A．2.5B．2.8C．3D．3.214．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝．16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．17．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ的最小值为．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为．19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为．20．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．21．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为．23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．25．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．三．解答题（共20小题）26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q 同时停止运动、设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x＝时，点R恰好在AB边上．（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．27．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）28．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．29．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO 上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，求点E的坐标；（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．31．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2＝OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．32．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．33．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B 出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．35．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．37．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE＝CF；①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．38．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8cm，CD＝4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），（1）求证：△BCF∽△CDE；（2）求t的取值范围；（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC＝∠BFC？39．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．41．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．42．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF 交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．43．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）如图①，若动点Q从点C出发，在对角线CA上以每秒3cm的速度向A 点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC上以每秒2cm的速度向点C匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜3），t取何值时，四边形ABPQ的面积最小？（2）如图②，若点Q在对角线CA上，CQ＝4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C停止．设点P运动了t秒，当t为何值时，以Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？44．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．45．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF，（1）若AD2＝BD•DC，①求证：∠BAC＝90°．②AB＝4，DC＝6，求EF．（2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF．。

浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（）平方米．A.3B.9C.12D.242、如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，过点作于点，再过点作分别交边，于点，.若，，则的长为A.14B.15C.D.3、如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（）A.1：2B.1：4C.2：1D.4：14、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC与E，已知AD=AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE=CE；②∠CAD=∠ABE；③AF=DF；④S△ABF =3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（）个．A.5B.4C.3D.25、如图①，在边长为的正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度与点的运动时间（秒）的函数图象如图②所示．当点运动秒时，的长是（）．A. B. C. D.6、如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O.则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④CH2＝HO•HD中，正确的有（）个.A.1B.2C.3D.47、如图，在△ABC 中，点E 是线段AC 上一点，AE∶CE＝1∶2，过点C 作CD∥AB 交BE 的延长线于点D，若△ABE 的面积等于 4，则△BCD 的面积等于（）A.8B.16C.24D.328、如图，△ABC与△DEF是位似图形，点A（﹣1，2）和点D（2，﹣4）是对应点，则△ABC内的点P（m，n）的对应点P′的坐标为（）A.（2m，2n）B.（﹣2m，﹣2n）C.（2m，﹣2n）D.（﹣2m，2n）9、如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO=1：2，那么下列式子正确的是（）A.BO：BC=1：2B.CD：AB=2：1C.CO：BC=1：2 D.AD：DO=3：110、如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A.1：2B.1：3C.2：1D.3：111、已知三个数为3，4，12，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（）A.1B.2C.3D.412、如下图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB 与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为（）A. B. C. D.13、△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是( )A.AB＝1，BC＝1.5，AC＝2，DE＝8，EF＝12，DF＝16B.AB＝，BC＝，AC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3 C.AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE ＝6，EF＝8，DF＝16 D.AB＝3，BC＝4，AC＝5，DE＝，EF＝2，DF＝14、如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD=6，DB=3，则的值为（）A. B. C. D.215、如图，在矩形ABCD中，AB＝12，P是AB上一点，将△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE 交PC于点F，则下列结论，其中正确的结论有（）①BP＝BF；②若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD＝25，且AE＜DE时，则DE＝16；④在③的条件下，可得sin∠PCB＝；⑤当BP＝9时，BE•EF＝108．A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题(共10题，共计30分)16、已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB中点，点E是直线AC上一点，若以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE的长度为________．17、若，则________．18、如图，已知△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B1、C1，如果点B1，落在射线BD上，那么CC1的长度为 ________ ．19、如图，在矩形中，，E是CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接CF，若与的面积相等，则DE长为________.20、如图，直线AA1∥BB1∥CC1，如果， AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是________ ．21、如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，点E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF与△CDE相似，则BF的长是________．22、如图，AG：GD=4∶1， BD ：DC=2∶3，则AE∶EC的值为________．23、如图，在中，点E在边AD上，AE：AD＝2：3，BE与AC交于点F．若AC＝20，则AF的长为________．24、已知在△ABC和△DEF中，，且△DEF与△ABC的周长之差为，则△ABC的周长为________.25、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM= AB．若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、22.若＝＝≠0，求的值.27、如图，DE∥BC，EF∥CG，AD：AB=1：3，AE=3．（1）求EC的值；（2）求证：AD•AG=AF•AB．28、某校九（2）班学生在一次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm；乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900 cm；丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200 cm，影长为156 cm.请你根据以上信息，解答下列问题：（1）计算学校旗杆的高度.（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M，请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径.（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长，需要时可采用等式1562+2082=2602）29、理解与应用小明在学习相似三角形时,在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书,第37页遇到这样一道题：如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,联结CP.要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____________,或_________.请回答：（1）小明补充的条件是____________________,或_________________.（2）请你参考上面的图形和结论,探究、解答下面的问题：如图2,在△ABC中,∠A=60°,AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度数．30、如图，已知P是正△ABC外接圆的上的任一点，AP交BC于D．求证：PA2＝AC2+PB•PC．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、B5、B6、D7、C8、B9、B10、A11、A12、C13、A14、A15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。

相似三角形单元测试卷(含答案)第四章相似三角形单元测试卷一、选择题: 1.下列各组数中，成比例的是A．－6，－8，3，4 B．－7，－5，14，5 C．3，5，9，12 D．2，3，6，12 2.如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为A．23 B．33 C．43 D．63 3.如图，F是平行四边形ABCD对角线BD上的点，BF∶FD=1∶3，则BE∶EC= A. AFBECD1121 B. C. D. 2334 ADFBEGC 4.如图，△ABC中，DE ∥FG∥BC，且DE、FG将△ABC的面积三等分，若BC=12cm，则FG的长为A、8cm B、6cm C、46cm D、62cm 5.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于A. 2：5:25:25 D. 4:216.如图, 小正方形的边长均为1, 则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()7.如图，在□ABCD 中，E、F分别是AD、CD 边上的点，连接BE、AF，他们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有A．2对B．3对C．4对D．5对AD45°B 1 PC8.如图，在直角三角形ABC中,放置边长分别3,4,x的三个正方形，则x 的值为() A. 5 B. 6 C. 7 D. 129. 如果三条线段的长a、b、c满足5?1bc==，那么(a，b，c)叫做“黄金线段组\．黄2ab金线段组中的三条线段()．A．必构成锐角三角形B．必构成直角三角形C．必构成钝角三角形D．不能构成三角形10. 如图，等腰直角△ABC的直角边长为3，P为斜边BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=45°，则CD的长为A． 5 3 ?1 3C.32?1 3D. 35 二、填空题: C11.已知a＝4，b＝9，c是a、b的比例中项，则c ＝．BOD12. 如图，△ABC中，已知AB=4，AC=3。

第四章 图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明精选练习一、单选题1．（2022·全国·九年级课时练习）ABC V 和A B C ¢¢¢V 符合下列条件，其中使ABC V 与A B C ¢¢¢V 不相似的是（ ）A ．45A A ¢Ð=Ð=°，26B Ð=°，109B ¢Ð=°B ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，12A B ¢¢=，8A C ¢¢=，16B C ¢¢=C ．A B ¢Ð=Ð， 1.5AB =，1514AC =，32A B ¢¢=， 2.1B C ¢¢=D ．BC a =，AC b =，AB c =，B C ¢¢=A C ¢¢=A B ¢¢=【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．V斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（）2．（2022·全国·九年级课时练习）如图，CD是Rt ABCA．0对B．1对C．2对D．3对【答案】D【分析】直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的两个三角形与原三角形相似，由此即可解答.【详解】由题意得：△ADC∽△ACB；△ADC∽△CDB；△CDB∽△AC B．故选D．【点睛】本题解决的关键是熟知直角三角形斜边上的高线分原三角形所得到的了两个三角形与原三角形相似这一定理．3．（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题（1）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠A在∠A，则△ABC≌△A1B1C1；（2）若AB=A1B2，AC=A1C1，∠B=∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；（3）若∠A=∠A1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；（4）若AC：A1C1=CB：C1B1，∠C=∠C1，则△ABC∽△A1B1C1．其中真命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【分析】分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．【详解】解：（1）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，能用SAS定理判定△ABC≌△A1B1C1，故（1）正确；（2）若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，不能用ASS判定△ABC≌△A1B1C1，故（2）错误；（3）若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，能判定△ABC∽△A1B1C1，故（3）正确；（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．正确的个数有3个；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．4．（2021·黑龙江·肇源县第五中学八年级期中）如图，在ABC V 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：ACP B Ð=Ð①；APC ACB Ð=Ð②；2AC AP AB =×③；AB CP AP CB ×=×④，能满足APC V 与ACB V 相似的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】当ACP B Ð=Ð，A A Ð=ÐQ ，所以APC V ∽ACB V ,故条件①能判定相似，符合题意；当APC ACB Ð=Ð，A A Ð=ÐQ ，所以APC V ∽ACB V ，故条件②能判定相似，符合题意；当2AC AP AB =×，即AC ：AB AP =：AC ，因为A AÐ=Ð所以APC V ∽ACB V ，故条件③能判定相似，符合题意；当AB CP AP CB ×=×，即PC ：BC AP =：AB ，而PAC CAB Ð=Ð，所以条件④不能判断APC V 和ACB V 相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.5．下列各组图形必相似的是（ ）A ．任意两个等腰三角形B ．两边为1和2的直角三角形与两边为2和4的直角三角形C ．有两边对应成比例，且有一个角对应相等的两三角形D ．两边及其中一边上的中线对应成比例的两三角形【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理可分别判断各选项是否足以证明三角形相似，从而判断选项的正确性.【详解】A. 任意两个等腰三角形，各内角的值不确定，故无法证明三角形相似，故本选项错误;B.因为不能判定已知边2和4是直角边还是斜边，故无法判定三角形相似，故本选项错误；C. 两边对应成比例，必须夹角相等才能判定三角形相似，故本选项错误;D. 两边和一边的中线均对应成比例，即可以判定两三角形中对应成比例的边的夹角相等，即可判定三角形相似，故本选项正确.故本题选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定定理.熟练掌握相似三角形的判定定理，能根据相似三角形的判定定理判断是否满足判定条件是解决本题的关键.6．（2022·河北唐山·九年级期末）图中四个阴影的三角形中与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．（ΔABC 与△DEF 中，65A Ð=°，42B Ð=°，65D Ð=°，73F Ð=°，3AB =，5AC =，6BC =，6DE =，10DF =，12EF =，则△DEF 与△ABC ________【答案】相似【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可.【详解】∵65A Ð=°，42B Ð=°，∴∠C =180°-65°-42°=73°.∵65D Ð=°，73F Ð=°，∴∠A =∠D, ∠C =∠F,∴△DEF 与△ABC 相似.故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.8．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知，90ACB ADC Ð=Ð=o ，3BC =，4AC =，要使ABC ACD V V ∽，只要CD =________．9．如图所示，D ，E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE 与BC 不平行，当满足________条件时，有△ABC ∽△AE D ．10．（2022·全国·九年级课时练习）如图，8AB =，50A Ð=゜，''4A B =，''3A C =．当AC =________，'A Ð=________时，'''ABC A B C V V ∽．三、解答题11．（2022·全国·九年级课时练习）已知：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′．求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′．【答案】证明见解析【分析】在△ABC 的边AB 上截取AD =A ′B ′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，可证△ADE ∽△ABC ；再证△ADE ≌△A ′B ′C ′即可．【详解】证明：在△ABC 的边AB 上截取AD =A ′B ′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE =∠B ，△ADE ∽△AB C ．∵∠A =∠A ′，∠ADE =∠B =∠B ′，AD =A ′B ′，∴△ADE ≌△A ′B ′C ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的证明，解题关键是通过作辅助线，构建全等三角形进行证明．12．（2021·全国·九年级课时练习）已知：如图，在ABC V 和A B C ¢¢¢V 中，,AB AC A A A B A C Ð=Т=¢¢¢¢．求证：ABC A B C ¢¢¢∽△△．一、填空题1．（2018·上海第二工业大学附属龚路中学九年级阶段练习）ABC D 中，10AB =，6AC =，点D 在AC 上，且3AD =，若要在AB 上找一个点E ，使ADE D 与ABC D 相似，则AE =__．2．已知△ABC 和△DEF 中．点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应．且∠A ＝70°时，∠B ＝34°，∠D ＝70°，则当∠F ＝_____时，△ABC ∽△DEF ．【答案】76°【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【详解】∵△ABC 和△DEF 中．点A 、B 、C 分别与点D 、E 、F 相对应．且∠A =70°时，∠B =34°，∠D =70°，∴∠B =∠E =34°，∴∠C =∠F =76°，故答案为76°【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．3．（2022·山东烟台·八年级期末）如图，在ABCD Y 中，点E 在AB 上，CE BD ，交于点F ，若:4:3AE BE =，且2BF =，则DF =_________．4．如图，在△AB C中，点P在AB上，下列四个条件中：①∠ACP=∠B；②∠APC=∠ACB；③AC2=AP•AB；④AB•CP=AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件有______________.【答案】①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【详解】①、当∠ACP=∠B，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴①符合题意；②、当∠APC=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB，∴②符合题意；③、当AC2=AP•AB，即AC：AB=AP：AC，∵∠A=∠A∴△APC∽△ACB，∴③符合题意；④、∵当AB•CP=AP•CB，即PC：BC=AP：AB，而∠PAC=∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④不符合题意；故答案为①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．5．如图所示，在△AB C中，AB＝8cm，BC＝16 cm.点P从点A出发沿AB向点B以2 cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4 cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则_____________秒钟后△PBQ与△ABC相似？情况讨论，避免漏解而导致出错．二、解答题6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，123Ð=Ð=Ð，求证：ABC D 与ADE D 相似.【答案】证明见解析【分析】两个三角形的若是有两组角相等，那么这两个三角形是相似三角形．根据题意可分别求出两组角相等，从而知道△ABC 与△ADE 相似．【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC =∠2+∠DAC ，即∠BAC =∠DAE ，又∵在△AHE 和△DH C 中，∠2=∠3，∠AHE =∠DHC∴∠C =∠E ，在△ABC 和△ADE 中∵∠E =∠C ，∠BAC =∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE ．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，两个三角形的两组角对应相等，那么这两个个三角形互为相似三角形．7．（2022·甘肃酒泉·九年级期末）如图，在△AB C 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似？试说明理由．8．如图已知，在△AB C中，CD⊥AB，BE⊥AC，BE交CD于点O，求证：△ABE∽△OCE.【答案】证明见解析.【分析】要证明△ABE∽△OCE，需先找对证明两三角形相似的条件，根据已知条件找出即可证明.【详解】Q CD⊥AB，BE⊥AC，\∠AEB＝∠ADC＝90°.又∠A＝∠A，\∠ABE＝∠OCE.又Q∠AEB＝∠OEC，\△ABE∽△OCE.【点睛】此题重点考察学生对证明两三角形相似的理解，熟练两三角形相似的证明方法是解题的关键.。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC =　cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有　　．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。

浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是（）A.1B.C.2D.42、如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）A. B. C. D.3、如图，在平行四边形中，F为BC中点，延长AD至E，连结EF交DC 于点G，若，则（）A.1：2B.1：3C.1：4D.2：94、如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个5、已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）A.18cmB.5cmC.6cmD.±6cm6、如图，已知点A、B分别是反比例函数y= （x＞0），y= （x＜0）的图象上的点，且，∠AOB=90°，则的值为（）A.4B.C.2D.7、下列条件，不能判定△ABC与△DEF相似的是（）A.∠C=∠F=90°，∠A=55°，∠D=35°B.∠C=∠F=90°，AB=10，BC=6，DE=15，EF=9C.∠C=∠F=90°，D.∠B=∠E=90°，=8、如图，平行四边形ABCD中，点E为AD边中点，连接AC、BE交于点，若的面积为关于的一元二次方程的解，则的面积为（）．A.4B.5C.6D.79、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米且垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（）A.（6+ ）米B.12米C.（4﹣2 ）米D.10米10、如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为(﹣3，2)，则点C的坐标为( )A.(3，﹣2)B.(6，﹣4)C.(4，﹣6)D.(6，4)11、如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC 交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有（）①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；②I到△ABC三个顶点的距离相等；③∠BIC=90°+ ∠BAC；④线段DI是线段DE与DA的比例中项；⑤点D是△BIC的外心．A.1个B.2个C.3个D.4个12、如图，已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件中不能确定△ACP与△ABC相似的是（）A.∠ACP=∠BB.∠APC='∠ACB'C.AC 2=AP·ABD.13、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP=1，AB=4，则BC：AC等于（）A. B. C. D.14、如右图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱的高为0.3米，踏板长为1.6米，支撑点到踏脚的距离为0.6米，原来捣头点着地,现在踏脚着地，则捣头点上升了（）A.1.2米B.1米C.0.8米D.1.5米15、生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为（）A.1.24米B.1.38米C.1.42米D.1.62米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3cm，AD=6cm，点E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且EF=2BE，则S△AFC =________cm2.17、如图，B、C、D依次为一直线上4个点，BC=3，△BCE为等边三角形，⊙O 过A、D、E三点，且∠AOD=120°.设AB=x，CD=y，则y与x的函数关系式为________.18、如图，已知Rt ABC中，AC=b，BC=a，D1是斜边AB的中点，过D1作D 1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D 5，…，Dn，分别记BD1E1，BD2E2，BD3E3，…，BDnEn的面积为S1， S2， S3，…Sn．则（1）=________，（2）Sn=________．19、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是________．20、如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是________（填一个即可）.21、如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则Sn=________（用含n的式子表示）．22、如图，在菱形中，是的中点，连接，，将沿直线翻折，使得点落在上的点处，连接并延长交于点，则的值为________.23、如果，∠C=∠F=90°，AB=5，BC=3，DE=15，则DF=________．24、若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点(MP＜NP),则MP的长为________.25、如图，已知△ABC、△DCE、△FEG、△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG、GI在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI，交FG于点Q，则QI=________三、解答题(共5题，共计25分)26、已知x：y：z=2：3：4，求的值．27、如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5．（1）如图（1），若点P是的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是的中点，求PA的长．28、周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C. A共线.已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.29、已知：= = ，x﹣y+z=6，求：代数式3x﹣2y+z的值．30、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点坐标；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点坐标；（3）如果点D（a，b）在线段AB上，请直接写出经过（2）的变化后点D的对应点D2的坐标．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、B4、B5、C6、C7、D9、A10、B11、D12、D13、B14、C15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、28、29、30、。

1九年级上第四章相似三角形题精选 1． 已 知x 3  ，那么下列等式中，不一定正确的是（ y 2）x 3  x y 5A ． x+y=5B ． 2x=3yC．x y 5  y 2D．2 ． （ 2012 •凉 山 州 ） 已 知 A,2 3B,3 2C,9 4b 5 a b 的值是（  ，则 a 13 ab 4 D, 92x  y 的值是（ zy）3 ． 若 x ： y=1 ： 3 ， 2y=3z ， 则 A ． -5 B,-）10 D． 5 3 c b a    k ，那么 k 的值为（ 4． 如 果 ab ac bcC, A ． -1 B,10 3）1 1 C,2 或 -1 D, 或 -1 2 2 5 ． （ 2013 •上 海 ） 如 图 ， 已 知 在 △ ABC 中 ， 点 D 、 E 、 F 分 别 是 边 AB 、 AC 、 BC 上 的 点 ， DE ∥ BC ， EF ∥ AB ， 且 AD ： DB=3 ： 5 ， 那 么 CF ： CB 等 于 （ ） A． 5： 8 B． 3： 8 C． 3： 5 D． 2： 5(5) (6^) 6 ． 如 图 ， 点 F 是 ▱ ABCD 的 边 CD 上 一 点 ， 直 线 BF 交 AD 的 延 长 线 与 点 E ， 则 下 列结论错误的是（ ） ED DF DE EF BC BF BF BC  , C,  , D,   , B, A, BC FB DE BE BE AE AE AB 7 ．（ 2007 •襄 阳 ）如 图 ，直 线 l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 ，另 两 条 直 线 分 别 交 l 1 、 l 2 、 l 3 于 点 A 、 B 、 C 及 点 D 、 E 、 F ， 且 AB=3 ， DE=4 ， EF=2 ， 则 （ ） A ． BC ： DE=1 ： 2 B ． BC ： DE=2 ： 3 C ． BC • DE=8 D ． BC • DE=6128, 如 图 ， DE 是 △ ABC 的 中 位 线 ， F 是 DE 的 中 点 ， BF 的 延 长 线 交 AC 于 点 H ，则 HE ： AH 等 于 （ ） A． 1： 1 B． 1： 2 C． 2： 1 D． 3： 29． 9, 下 列 四 组 图 形 中 ， 一 定 相 似 的 是 （ ） A． 正 方 形 与 矩 形 B． 正 方 形 与 菱 形 C． 菱 形 与 菱 形 D． 正 五 边 形 与 正 五 边 形 10 ． 如 图 所 示 ， 一 般 书 本 的 纸 张 是 在 原 纸 张 多 次 对 开 得 到 ． 矩 形 ABCD 沿 EF 对 开 后 ，再 把 矩 形 EFCD 沿 MN 对 开 ，依 此 类 推 ．若 各 种 开 本 的 矩 形 都 相 似 ，那 么AB 等于（ AD） A ． 0.618B,2 2C, 2D． 211 ． （ 2009 •济 宁 ） 如 图 ， 在 长 为 8cm 、 宽 为 4cm 的 矩 形 中 ， 截 去 一 个 矩 形 ， 使 得 留 下 的 矩 形（ 图 中 阴 影 部 分 ）与 原 矩 形 相 似 ，则 留 下 矩 形 的 面 积 是（ A ． 2cm2）B ． 4cm2C ． 8cm2D ． 16cm212 ．（ 2014 •南 京 ）若 △ ABC ∽ △ A ′ B ′ C ′ ，相 似 比 为 1 ： 2 ，则 △ ABC 与 △ A ′ B′ C′ 的 面 积 的 比 为 （ ） A． 1： 2 B． 2： 1 C． 1： 4 D． 4： 1 13 ．（ 2009 •长 春 ）如 图 ，在 矩 形 ABCD 中 ，点 E 、F 分 别 在 边 AD 、DC 上 ，△ ABE ∽ △ DEF ， AB=6 ， AE=9 ， DE=2 ， 则 EF 的 长 为 _______2314 ．将 三 角 形 纸 片（ △ ABC ）按 如 图 所 示 的 方 式 折 叠 ，使 点 B 落 在 边 AC 上 ，记 为 点 B ′ ，折 痕 为 EF ．已 知 AB=AC=3 ， BC=4 ，若 以 点 B ′ 、 F 、 C 为 顶 点 的 三 角 形 与 △ ABC 相 似 ， 那 么 BF 的 长 度 是 _________15 ． （ 2014 •娄 底 ） 如 图 ， 小 明 用 长 为 3m 的 竹 竿 CD 做 测 量 工 具 ， 测 量 学 校 旗 杆 AB 的 高 度 ， 移 动 竹 竿 ， 使 竹 竿 与 旗 杆 的 距 离 DB=12m ， 则 旗 杆 AB 的 高 为 ________16 ． （ 2014 •牡 丹 江 ） 在 同 一 时 刻 两 根 木 竿 在 太 阳 光 下 的 影 子 如 图 所 示 ， 其 中 木 竿 AB=2m ， 它 的 影 子 BC=1.6m ， 木 竿 PQ 的 影 子 有 一 部 分 落 在 了 墙 上 ， PM=1.2m ， MN=0.8m ， 则 木 竿 PQ 的 长 度 为 ________m ．17, △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 是 位 似 图 形 ， 且 △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 的 位 似 比 是 1 ： 2 ， 已 知 △ ABC 的 面 积 是 3 ， 则 △ A ′ B ′ C ′ 的 面 积 是 _________ 18 ． （ 2014 •荆 州 ） 如 图 ， 正 方 形 OABC 与 正 方 形 ODEF 是 位 似 图 形 ， 点 O 为 位 似 中 心 ，相 似 比 为 1 ： 2 ，点 A 的 坐 标 为（ 0 ，1 ），则 点 E 的 坐 标 是 __________3419 （ 2014 •长 春 ） 如 图 ， 在 边 长 为 3 的 菱 形 ABCD 中 ， 点 E 在 边 CD 上 ， 点 F 为 BE 延 长 线 与 AD 延 长 线 的 交 点 ． 若 DE=1 ， 则 DF 的 长 为 ________ 20, （ 2013 •天 津 ） 如 图 ， 在 边 长 为 9 的 正 三 角 形 ABC 中 ， BD=3 ， ∠ ADE=60 ° 则 AE 的 长 为 ________(19)(20)21 ．（ 2014 •重 庆 ）如 图 ，在 边 长 为 6 2 的 正 方 形 ABCD 中 ， E 是 AB 边 上 一 点 ， G 是 AD 延 长 线 上 一 点 ， BE=DG ， 连 接 EG ， CF ⊥ EG 交 EG 于 点 H ， 交 AD 于 点 F ， 连 接 CE ， BH ． 若 BH=8 ， 则 FG=_________22 ． 如 图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ C=90 °， CD ⊥ AB 于 D ， 且 AD ： BD=9 ： 4 ， 则 AC ： BC 的 值 为 （ ） A． 9： 4 B． 9： 2 C． 3： 4 D． 3： 223 ． 如 图 ， 雨 后 初 晴 ， 一 个 学 生 在 运 动 场 上 玩 耍 ， 在 他 前 面 2m 远 处 有 一 块 小 积 水 ，他 看 到 了 旗 杆 的 倒 影 ．若 旗 杆 底 端 到 积 水 处 的 距 离 为 40m ，该 生 的 眼 部 高 度 为 1.5m, 则 AB=________(23) 24 ．如 图 ，在 △ ABC 中 ， AB=14cm ， ADE 的 面 积 为 _____(24)AD 5  ， DE ∥ BC ， CD ⊥ AB ， CD=12cm ，则 △ BD 9 ， 周 长 为 ______451 ． （ 2013 •泰 安 ） 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， AC 平 分 ∠ DAB ， ∠ ADC= ∠ ACB=90 °， E 为 AB 的 中 点 ， （ 1 ） 求 证 ： AC 2 =AB • AD ； （ 2 ） 求 证 ： CE ∥ AD ； （ 3 ） 若 AD=4 ， AB=6 ， 求AC 的值 AF2 ． （ 2014 •荔 城 区 二 模 ） 如 图 ， 点 P 是 菱 形 ABCD 的 对 角 线 BD 上 一 点 ， 连 接 CP 并 延 长 ， 交 AD于 E ， 交 BA 的 延 长 线 点 F ． 问 ： （ 1 ） 图 中 △ APD 与 哪 个 三 角 形 全 等 ？ 并 说 明 理 由 ； （ 2 ） 求 证 ： △ APE ∽ △ FPA ； （ 3 ） 猜 想 ： 线 段 PC ， PE ， PF 之 间 存 在 什 么 关 系 ？ 并 说 明 理 由 ．567 ． （ 2014 •常 德 一 模 ） 如 图 ． 在 △ ABC 中 ， BC ＞ AC ， 点 D 在 BC 上 ， 且 DC=AC ， ∠ ACB 的 平 分 线 CF 交 AD 于 点 F ， 点 E 是 AB 的 中 点 ， 连 接 EF ． （ 1 ） 求 证 ： EF ∥ BC ； （ 2 ） 若 四 边 形 BDFE 的 面 积 为 6 ， 求 △ ABD 的 面 积 ．8 ．（ 2014 •南 通 ） 如 图 ， 点 E 是 菱 形 ABCD 对 角 线 CA 的 延 长 线 上 任 意 一 点 ，以 线 段 AE 为 边 作 一 个 菱 形 AEFG ， 且 菱 形 AEFG ∽ 菱 形 ABCD ， 连 接 EC ， GD ． （ 1 ） 求 证 ： EB=GD ； （ 2 ） 若 ∠ DAB=60 °， AB=2 ， AG=3 ，求GD 的 长 ．9 ． （ 2014 •南 平 ） 如 图 ， 已 知 △ ABC 中 ， 点 D 在 AC 上 且 ∠ ABD= ∠ C ， 求 证 ： AB 2 =AD • AC ．6710 ．（ 2014 •南 宁 ） 如 图 ， AB ∥ FC ， D 是 AB 上 一 点 ， DF 交 AC 于 点 E ， DE=FE ， 分 别 延 长 FD 和 CB 交 于 点 G． （ 1 ） 求 证 ： △ ADE ≌ △ CFE ； （ 2 ） 若 GB=2 ， BC=4 ， BD=1 ， 求 AB 的 长 ．11 ．（ 2014 •乐 山 ） 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC 、 BD 交 于 点 O ． M 为 AD 中 点 ， 连 接 CM 交 BD 于 点 N ， 且 ON=1 ． （ 1 ） 求 BD 的 长 ； （ 2 ） 若 △ DCN 的 面 积 为 2 ， 求 四 边 形 ABNM 的 面 积 ．7812 ．（ 2014 •柳 州 ） 如 图 ， 正 方 形 ABCD 的 边 长 为 1 ， AB 边 上 有 一 动 点 P ， 连 接 PD ， 线 段 PD 绕 点 P 顺 时 针 旋 转 90 °后 ，得 到 线 段 PE ，且 PE 交 BC 于 F ，连 接 DF ，过 点 E 作 EQ ⊥ AB 的 延 长 线 于 点 Q． （ 1 ） 求 线 段 PQ 的 长 ； （ 2 ） 问 ： 点 P 在 何 处 时 ， △ PFD ∽ △ BFP ， 并 说 明 理 由 ．13 ．（ 2011 •兰 州 ） 已 知 ： 如 图 所 示 的 一 张 矩 形 纸 片 ABCD （ AD ＞ AB ） ， 将 纸 片 折 叠 一 次 ， 使 点 A 与 点 C 重 合 ， 再 展 开 ， 折 痕 EF 交 AD 边 于 点 E ， 交 BC 边 于 点 F ， 分 别 连 接 AF 和 CE ． （ 1 ） 求 证 ： 四 边 形 AFCE 是 菱 形 ； （ 2 ） 若 AE=10cm ， △ ABF 的 面 积 为 24cm 2 ， 求 △ ABF 的 周 长 ； （ 3 ） 在 线 段 AC 上 是 否 存 在 一 点 P ， 使 得 2AE 2 =AC • AP ？ 若 存 在 ， 请 说 明 点 P 的 位 置 ， 并 予 以 证 明；若不存在，请说明理由．89第四单元图形相似测试题 一 ， 选 择 题 （ 3X10=30 分 ） 1 ．如 图 ，平 行 四 边 形 ABCD 中 ，过 点 B 的 直 线 与 对 角 线 AC 、边 AD 分 别 交 于 点 E 和 F ． 过 点 E 作 EG∥ BC， 交 AB 于 G ， 则 图 中 相 似 三 角 形 有 （ ） A． 4 对 B． 5 对 C． 6 对 D． 7 对2． 如 果 一 个 三 角 形 能 够 分 成 两 个 与 原 三 角 形 都 相 似 的 三 角 形 ， 我 们 把 这 样 的 三角形称为孪生三角形，那么孪生三角形是（ ） A． 不 存 在 C． 直 角 三 角 形 B． 等 腰 三 角 形 D． 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形 3 ． 两 个 相 似 多 边 形 的 面 积 比 是 9 ： 16 ， 其 中 小 多 边 形 的 周 长 为 36cm ， 则 较 大 多边形的周长为（ ） A ． 48cm B ． 54cm C ． 56cm D ． 64cm 4． 如 图 ， 每 个 小 正 方 形 边 长 均 为 1， 则 下 列 图 中 的 三 角 形 （ 阴 影 部 分 ） 与 左 图 中 △ ABC 相 似 的 是 （ ）A．B．C．D．5． 如图， 在 等 边 △ ABC 中 ， D 为 BC 边 上 一 点 ， E 为 AC 边 上 一 点 ， 且 ∠ ADE=60°， BD=3 ， CE=2 ， 则 △ ABC 的 边 长 为 （ ）A． 9B ． 12 C ． 15 D ． 18） D． 3： 2 B． 2： 3 ） C． 2： 56 ． 若 （ m+n ） ： n=5 ： 2 ， 则 m ： n 的 值 是 （ A． 5： 2 比为（7 ， 如 图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB=90 °， ∠ A=30 °， CD ⊥ AB 于 点 D ． 则 △ BCD 与 △ ABC 的 周 长 之910A． 1： 2B． 1： 3C． 1： 4D． 1： 58 ． 如 图 ， ∠ A=∠ B=90°， AB=7 ， AD=2 ， BC=3 ， 如 果 边 AB 上 的 点 P 使 得 以 P ， A， D 为 顶 点 的 三 角 形 和 以 P， B， C 为 顶 点 的 三 角 形 相 似 ， 则 这 样 的 P 点 共 有 几个（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 49 ， 如 图 ， 在 ▱ ABCD 中 ， E 、 F 分 别 是 AD 、 CD 边 上 的 点 ， 连 接 BE 、 AF ， 他 们 相 交 于 G ， 延 长 BE 交 CD 的 延 长 线 于 点 H ， 则 图 中 的 相 似 三 角 形 共 有 （ ） A． 2 对 B． 3 对 C． 4 对 D． 5 对10 ． 如 图 ， 已 知 △ ABC 的 面 积 是 12 ， BC=6 ， 点 E 、 I 分 别 在 边 AB 、 AC 上 ， 在 BC 边 上 依 次 做 了 n 个 全 等 的 小 正 方 形 DEFG ， GFMN ， … ， KHIJ ， 则 每 个 小 正 方 形 的 边 长 为 （ ）A，12 11B，12 2n  3C，12 5D，12 2n  3二、填空题11 ． （ 2011 •娄 底 模 拟 ） 如 图 ： △ ABC 中 ， D ， E 分 别 在 AB 、 AC 上 ， 且 DE 与 BC 不 平 行 ， 请 填 上 一 个 适 当 的 条 件 ， 可 得 △ ADE ∽ △ ABC ． ___________(11)高 度 h 为 ______ 13 ． 将 一 副 三 角 尺 如 图 所 示 叠 放 在 一 起 ， 则(12)12 ． 如 图 ， 小 明 在 打 网 球 时 ， 使 球 恰 好 能 打 过 网 ， 而 且 落 在 离 网 4 米 的 位 置 上 ， 则 球 拍 击 球 的BE 的 值 是 _______ EC(13)(14)101114 ． 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， E 在 DC 上 ， 若 DE ： EC=1 ： 2 ， 则 BF ： BE=_______ 15 ．如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 四 边 形 OABC 是 边 长 为 2 的 正 方 形 ， 顶 点 A 、 C 分 别 在 x ， y 轴 的 正 半 轴 上 ．点 Q 在 对 角 线 OB 上 ，且 QO=OC ，连 接 CQ 并 延 长 CQ 交 边 AB 于 点 P ．则 点 P 的 坐 标 为 __________16 ． 如 图 ， 已 知 点 P 是 不 等 边 △ ABC 的 边 BC 上 的 一 点 ， 点 D 在 边 AB 或 AC 上 ， 若 由 点 P 、 D 截 得 的 小 三 角 形 与 △ ABC 相 似 ， 那 么 D 点 的 位 置 最 多 有 _______ 处 17 ．如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 延 长 DC 到 F ， 连 接 AF ， 交 BC 于 点 G ， 交 BD 于 点 E ， 图 中 相 似 的 三 角 形 有 _____ 对（ 17 ）(18)(19)18 ． 如 图 ， Rt △ ABC 中 ， AC ⊥ BC ， CD ⊥ AB 于 D ， AC=8 ， BC=6 ， 则 AD=_______ 19 ． 如 图 ， AD=DF=FB ， DE ∥ FG ∥ BC ， 且 把 △ ABC 分 成 面 积 为 S 1 、 S 2 、 S 3 的 三 部 分 ， 则 S 1 ： S 2 ： S 3 =_____________ 20 ． 如图， 两 个 有 公 共 直 角 的 Rt △ ABC 和 Rt △ ABD 的 斜 边 交 于 点 E ， EF ⊥ AB ， 垂 足 为 F， 若 AC=4cm ， BD=12cm ， 则 EF 的 长 为 _________21, 如 图 ， 路 灯 距 地 面 8 米 ， 身 高 1.6 米 的 小 明 从 距 离 灯 的 底 部 （ 点 O ） 20 米 的 点 A 处 ， 沿 OA 所 在 的 直 线 行 走 14 米 到 点 B 时 ， 人 影 的 长 度 减 小 ______ 米 22 ． 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， M 、 N 为 AB 的 三 等 分 点 ， DM 、 DN 分 别 交 AC 于 P 、 Q 两 点 ， 则 AP ： PC=_______,AQ ： QC=_______.111223, 四 边 形 ABCD 是 菱 形 ，对 角 线 AC=8cm ，BD=6cm ，DH⊥ AB 于 点 H ，且 DH 与 AC 交 于 G， 则 GH= （ ） 28 21 28 25 A． B. C D. 25 20 15 21 24, 如 图 ，菱 形 ABCD 中 ，点 M ，N 在 AC 上 ，ME⊥ AD，NF⊥ AB．若 NF=NM=2 ，ME=3 ， 则 AN= （ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6(23)(24)23 ．（ 2010 •茂 名 ） 如 图 ， 已 知 OA ⊥ OB ， OA=4 ， OB=3 ， 以 AB 为 边 作 矩 形 ABCD ， 使 AD=a ， 过 点 D 作 DE 垂 直 OA 的 延 长 线 交 于 点 E ． （ 1 ） 证 明 ： △ OAB ∽ △ EDA ； （ 2 ） 当 a 为 何 值 时 ， △ OAB 与 △ EDA 全 等 ？ 请 说 明 理 由 ， 并 求 出 此 时 点 C 到 OE 的 距 离 ．24 ． （ 2010 •杭 州 ） 如 图 ， AB=3AC ， BD=3AE ， 又 BD ∥ AC ， 点 B ， A ， E 在 同 一 条 直 线 上 ． （ 1 ） 求 证 ： △ ABD ∽ △ CAE ； （ 2 ） 如 果 AC=BD ， AD= 22 BD ， 设BD=a ， 求 BC 的 长 ．121325 ． （ 2013 •衢 州 ） 【 提 出 问 题 】 （ 1 ） 如 图 1 ， 在 等 边 △ ABC 中 ， 点 M 是 BC 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 B 、 C ） ， 连 结 AM ， 以 AM 为 边 作 等 边 △ AMN ， 连 结 CN ． 求 证 ： ∠ ABC= ∠ ACN ． 【类比探究】 （ 2 ）如 图 2 ，在 等 边 △ ABC 中 ，点 M 是 BC 延 长 线 上 的 任 意 一 点（ 不 含 端 点 C ），其 它 条 件 不 变 ， （ 1 ） 中 结 论 ∠ ABC= ∠ ACN 还 成 立 吗 ？ 请 说 明 理 由 ． 【拓展延伸】 （ 3 ） 如 图 3 ， 在 等 腰 △ ABC 中 ， BA=BC ， 点 M 是 BC 上 的 任 意 一 点 （ 不 含 端 点 B 、 C ） ， 连 结 AM ， 以 AM 为 边 作 等 腰 △ AMN ， 使 顶 角 ∠ AMN= ∠ ABC ． 连 结 CN ． 试 探 究 ∠ ABC 与 ∠ ACN 的 数 量 关 系 ， 并 说明理由．26 ．（ 2011 •河 北 ） 如 图 ， 在 6 × 8 网 格 图 中 ， 每 个 小 正 方 形 边 长 均 为 1 ， 点 0 和 △ ABC 的 顶 点 均1314为小正方形的顶点． 1：（ 1） 以 O 为位似中心， 在 网 络 图 中 作 △ A′ B′ C′ ， 使 △ A ′ B ′ C ′ 和 △ ABC 位 似 ， 且位似比为 2； （ 2 ） 连 接 （ 1 ） 中 的 AA ′ ， 求 四 边 形 AA ′ C ′ C 的 周 长 ． （ 结 果 保 留 根 号 ）相似三角形性质练习题 1, 已 知 △ ABC∽ △ DEF， 若 对 应 边 AB ： DE=1 ： 2 ， 则 它 们 的 周 长 比 等 于 （ A． 1： 2 B． 1： 4 C． 2： 1 D． 4： 1为（ ） B ． 14cm 2 C ． 16cm 2 D ． 18cm 2 ））2 ． 两 相 似 三 角 形 的 最 短 边 分 别 是 5cm 和 3cm ， 它 们 的 面 积 之 差 为 32cm 2 ， 那 么 小 三 角 形 的 面 积A ． 10cm 23 ． 已 知 △ ABC 与 △ DEF 相 似 且 面 积 比 为 4 ： 1 ， 则 △ ABC 与 △ DEF 的 对 应 边 上 的 高 之 比 为 （ A． 4： 1 B． 1： 4 C ． 16 ： 1 D． 2： 14 ． △ ABC ∽ △ A 1 B 1 C 1 ， 且 相 似 比 为 的相似比为（ ）2 5 ， △ A 1 B 1 C 1 ∽ △ A 2 B 2 C 2 ， 且 相 似 比 为 ， 则 △ ABC 与 △ A 2 B 2 C 2 3 4A,5 6B,6 5C,5 6 或 6 5D，5 185 ．己 知 两 个 相 似 三 角 形 周 长 的 比 为 3 ：2 ，其 中 较 小 的 三 角 形 面 积 为 12 ，则 较 大的三角形的面积是（ ） A ． 27 B ． 24 C ． 18 D ． 166 ． 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， 过 B 作 BE ⊥ CD ， 垂 足 为 点 E ， 连 接 AE ， F 为 AE 上 一 点 ，且 ∠ BFE= ∠ C ． （ 1 ） 求 证 ： △ ABF ∽ △ EAD ； （ 2 ） 若 AB=4 ， ∠ BAE=30 °， 求 AE 的 长 ； （ 3 ） 在 （ 1 ） （ 2 ） 的 条 件 下 ， 若 AD=3 ， 求 BF 的 长 ． （ 计 算 结 果 可 含 根 号 ）14157 ， 已 知 ， 如 图 ， 在 Rt △ ABC 中 ， ∠ ACB=90 °， AD 平 分 ∠ CAB 交 BC 于 点 D ， 过 点 C 作 CE ⊥ AD ， 垂 足 为 E ， CE 的 延 长 线 交 AB 于 点 F ， 过 点 E 作 EG ∥ BC 交 AB 于 点 G ， AE • AD=16 ，AB ＝ 4 5（ 1 ） 求 AC 的 长 ； （ 2 ） 求 EG 的 长 ．8 ．如 图 是 一 个 常 见 铁 夹 的 侧 面 示 意 图 ， OA ， OB 表 示 铁 夹 的 两 个 面 ， C 是 轴 ， CD ⊥ OA 于 点 D ， 已 知 DA=15mm ， DO=24mm ， DC=10mm ， 我 们 知 道 铁 夹 的 侧 面 是 轴 对 称 图 形 ， 请 求 出 A 、 B 两 点 间 的 距 离．15169 ．如 图 所 示 是 重 叠 的 两 个 直 角 三 角 形 ．将 其 中 一 个 直 角 三 角 形 沿 BC 方 向 平 移 得 到 △ DEF ．如 果 AB=8cm ， BE=4cm ， DH=3cm ， 则 图 中 阴 影 部 分 面 积 _________10 ． 如 图 ， 量 具 ABC 是 用 来 测 量 试 管 口 直 径 的 ， AB 的 长 为 10cm ， AC 被 分 为 60 等 份 ． 如 果 试 管 口 DE 正 好 对 着 量 具 上 20 等 份 处 （ DE ∥ AB ） ， 那 么 试 管 口 直 径 DE 是 ________11 ． 如 图 ， 这 是 圆 桌 正 上 方 的 灯 泡 （ 看 作 一 个 点 ） 发 出 的 光 线 照 射 到 桌 面 后 在 地 面 上 形 成 （ 圆 形 ） 的 示 意 图 ． 已 知 桌 面 直 径 为 1.2 米 ， 桌 面 离 地 面 1 米 ． 若 灯 泡 离 地 面 3 米 ， 则 地 面 上 阴 影 部分的面积为（ A ． 0.36 π 米2） B ． 0.81 π 米2C． 2π 米2D ． 3.24 π 米212 ．如 图 ，□ ABCD 中 ， E 为 AD 的 中 点 ．已 知 △ DEF 的 面 积 为 S ，则 △ DCF 的 面1617积为（ ） A ． S B ． 2S C ． 3S D ． 4S13 ． 如 图 ， ▱ ABCD 中 ， AE ： EB=2 ： 3 ， DE 交 AC 于 F ． （ 1 ） 求 △ AEF 与 △ CDF 周 长 之 比 ； （ 2 ） 如 果 △ CDF 的 面 积 为 20cm 2 ， 求 △ AEF 的 面 积 ．14, 如 图 ， E ， G ， F ， H 分 别 是 矩 形 ABCD 四 条 边 上 的 点 ， EF ⊥ GH ， 若 AB=2 ， BC=3 ， 则 EF ： GH=_____15 ． 如 图 ， △ ABC 与 △ A ′ B ′ C ′ 是 位 似 图 形 ， 点 O 是 位 似 中 心 ， 若 OA=2AA ′ ， S △ A B C =8则 S △ A′B′C′ = ______16 ． 如 图 ， △ ABC 中 ， ∠ ACB=90 °， CD ⊥ AB 于 点 D ， 若 AD=6 ， BD=2 ， 则 BC 的 长 是 _______171818。

第四章相似三角形单元测试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．有同一三角形地块的甲，乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一块的三角形面积比是（）A．25：1 B．5：1 C．D．2．如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形（不包括全等）共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．4．下列命题中，错误的命题是（）A．所有的等边三角形都是彼此相似的三角形B．所有的矩形都是彼此相似的四边形C．所有的等腰直角三角形都是彼此相似的三角形D．有两组对应边成比例的直角三角形相似5．如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A．8 B．8.8 C．9.8 D．106．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC 面积的比值是（）A．B．C．D．7．如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC=AD：AB=4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（）A．甲、乙不相似B．甲、丁不相似C．丙、乙相似D．丙、丁相似8．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB=AB，连PC，作CE⊥CP交AP 的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2=4CF•CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．若，则=．12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是．13．已知三条线段的长分别是4cm ，5cm 和10cm ，则再加一条 cm 的线段，才能使这四条线段成比例．14．如图，五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为，若五边形ABCDE 的面积为18cm 2，周长为21cm ，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 cm 2，周长为 cm ．15．已知，如图，P 为△ABC 中线AD 上一点，AP ：PD=2：1，延长BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，EF 交AD 于点Q ．（1）PQ=EQ ；（2）FP ：PC=EC ：AE ；（3）FQ ：BD=PQ ：PD ；（4）S △FPQ ：S △DCP =S PEF ：S △PBC ．上述结论中，正确的有 ．16．如图，直线l 截▱ABCD 的边AB ，BC 和对角线BD 于P ，Q ，M ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且PB=3PA ，CQ ：BQ=1：2，则BM ：BO= ．17．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3，CD=8，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 并延长交直线AB 于点F ，若=2，则= ．18．如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的相似比是．19．如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为．20．已知△ABC中，AB=AC=m，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB 于B4，则线段B3B4的长度为（用含有m的代数式表示）三．解答题（共7小题，满分50分）21．（6分）如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．22．（6分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？23．（6分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率=×100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．24．（6分）如图所示，直角三角板ABC放置于直角坐标系中，已知点B（0，2），点A（4，5），点C在第四象限，∠A=60°，∠C=30°，BC边与x轴交于点D．（1）求AB的长度；（2）求点C的坐标．25．（6分）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．26．（8分）如图，P是正方形ABCD边BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD中点．（1）求证：△ADQ∽△QCP．（2）试问：AQ与PQ有什么关系（位置与数量）？27．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．设点D运动的时间为t秒．（1）如图1，过点D作DH⊥AB于H，当t为何值时，△ADH≌△ABC，并求出此时DE的长度；（2）如图2，过点B作射线BP∥AC，过点E作EF⊥AC交射线BP于F，G是EF 中点，连接DG．当△DEG与△ACB相似时，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：根据面积比是比例尺的平方比，得它们的面积比即是比例尺的平方比，那么甲地图与乙地图表示这一块的三角形面积比是（）2：（）2=25：1，故选A．2．解：∵△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°∵∠ADC=∠ADE，∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△EDA△EDA∽△EAB△ADC∽△EAB，但在一定条件下△ADC≌△EAB，故舍去∴共有2对．故选：B．3．解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．4．解：A、正确，因为等边三角形内角都是60°，必有两角对应相等，所以它们相似；B、错误，因为等腰直角三角形两锐角都是45°，必有两角对应相等，所以它们相似；C、正确，因为直角三角形中两组对应边成比例，可能SAS，可能HL，所以它们相似；D、正确，符合HL定理．故选：B．5．解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5﹣x，在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP===4.8，∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．故选：C．6．解：设AB=x，BC=y．∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵CD是角平分线，∴∠BCD=∠ACD=36°．∴AD=CD=BC=y，∴BD=x﹣y．∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，∴△DBC∽△ABC．∴．即，x2﹣xy﹣y2=0，x=y（负值舍去）．则=．∴△DBC的面积与△ABC面积的比值是=．故选：C．7．解：∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC，∴===，∴甲与丁相似，故选项B错误，∵当=，AM=EP，∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，∵=，=，DM=PF，∴当=，MP=AE，∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，故选：A．8．解：①如图：正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5=∠G，∴EC=EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G，∴∠3=∠4，∴EC=EF，从而得出EG=EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠DFA，∵AB=BP，∴∠1=∠BPA，∵∠DPF=∠APB，∵EF=CE，∴∠3=∠4，∴∠4=∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA=∠DCP，∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，∴AD=DE，∴③正确，②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴=，即CE2=CF•CD，∵∠3=∠4，∴CE=EF，∵E为FG的中点．∴FG=2CE，即CE=FG，∴=CF•CD，即FG2=4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴==，∴=，∴=，即CF=DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．9．解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，∴B′在对角线AC上，∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，∴B′C=﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=﹣1，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（﹣1）=2﹣，∴OD=1﹣OC=﹣1∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+﹣1+﹣1=2．故选：A．10．解：过点O分别作OF⊥AB于F，OE⊥BC于E∵∠POQ=∠EOF=90°∴∠NOF=∠MOE∵∠NFO=∠MEO=90°∴△NOF∽△MOE∴=∵AB=4，AD=6，BM=x，AN=y∴NF=2﹣y，ME=3﹣x，OF=3，OE=2∴=∴y=x﹣（＜x＜6）故选：C．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．解：由题意，设x=2k，y=3k，z=4k，∴原式==．故答案为12．解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当，∴△AED∽△ABC，故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．13．解：设所加的线段是x，则得到：=或或，解得：x=或x=8或2．14．解：五边形A′B′C′D′E′的面积=18×=8cm2；五边形A′B′C′D′E′的周长=21×=14cm．15．解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，∵AD是中线，∴BD=CD，∴四边形BPCM是平行四边形，∴BP∥MC，CP∥BM，即PE∥MC，PF∥BM，∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，∴AF：AB=AE：AC，∴EF∥BC；∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，∴FQ：BD=EQ：CD，∴FQ=EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；∵△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；∵△PFQ∽△PCD，∴FQ：CD=PQ：PD，∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；∵EF∥BC，∴S△FPQ ：S△DCP=（）2，S△PEF：S△PBC=（）2，∴S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．故（4）正确．故答案为：（3）（4）．16．解：作PE∥AC交BD于E，作QF∥AC交BD于F．设OA=OC=a，OB=b．则有===，===，∴QF=a，PE=a，BE=b，OE=b，BF=b，EF=b，∵PE∥QF，∴==，∴FM=×b=b，∴BM=MF+FB=b，∴BM：BC=12：17，故答案为12：17．17．解：如图1：∵AB=3，=2，∴AF=2，BF=1，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==；如图2：∵AB=3，=2，∴AF=6，BF=3，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==．故答案为：或．18．解：设每一个小正方形的边长为1，则AB=2，A1B1=∴AB：A1B1=2：∴相似比为：2：．19．解：连接E 、F 两点， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等， ∴S △EFC =S △BCF ， ∴S △EFQ =S △BCQ ， 同理：S △EFD =S △ADF ， ∴S △EFP =S △ADP ，∵S △APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2， ∴S 四边形EPFQ =30cm 2，故阴影部分的面积为30cm 2．20．解：∵AB=AC=m ，∠ABC=72°，BB 1平分∠ABC 交AC 于B 1， ∴∠B 2BB 1=∠B 1BC=∠ABC=36°，∠C=∠ABC=72°， ∴∠BB 1C=72°=∠C ， ∵B 1B 2∥BC ，∴∠B 2B 1B=∠B 1BC=36°， ∴BB 2=B 1B 2，BB 1=BC ， ∵∠A=∠ABB 1=36°， ∴AB 1=BB 1， ∴设AB 2=x ，则AB 1=AB 2=BC=AB ﹣BB 2=x ，BB 2=B 1B 2=m ﹣x ， ∵=，∴，解得：x=m，∴B1B2=BB2=m，∴AB2=m，同理：B2B4=B3B4，B1B2=AB4=AB3，设B3B4=y，∵，则可得：，解得：y=m﹣2m．故答案为：m﹣2m．三．解答题（共7小题，满分50分）21．解：（1）AC=BF．证明如下：如图1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴=，①∵FE∥AC，∴=，②由①②可得，=，∵BE=CD，∴BF=AC；（2）如图2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°=∠ADP，∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，∵PE∥AC，∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，∴CP=CE，∵BE=CD，∴BC=DP，∵∠ABC=90°，∠D=30°，∴BC=CD，∴DP=CD，即P为CD的中点，又∵PF∥AC，∴F是AD的中点，∴FP是△ADC的中位线，∴FP=AC，∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC，∴FP=AB=2，∵DP=CP=BC，CP=CE，∴BC=CE，即C为BE的中点，又∵EF∥AC，∴A为FB的中点，∴AC是△BEF的中位线，∴EF=2AC=4AB=8，∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．22．解：由题意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河宽BD是13.6米．23．解：发现：（1）小明的这个发现正确．理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC=BC=，AB=2∴AC2+BC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴AB为该圆的直径．解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM=∠CBN．又∵∠BCN+∠CBN=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠BCA=90°，∴AB为该圆的直径．（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，∴∠AED=∠EFH，∵∠ADE=∠EHF=90°，∴△ADE≌△EHF（ASA），∴AD=EH=1．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴BC=8，=16．∴S△ACB∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%；探究：（3）过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，设AP=a，∵PQ∥EK，易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，∴AP：AQ=QK：EK=1：2，∴AQ=2a，PQ=a，∴EQ=5a，∵EC：ED=QE：QK，∴EC=a，则PG=5a+a=a，GL=a，∴GH=a，∵，解得：GB=a，∴AB=a，AC=a，=×AB×AC=a2，∴S△ABCS展开图面积=6×5a2=30a2，∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=49.86%．24．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A（4，5），B（0，2），∴AE=4，BE=5﹣2=3，由勾股定理得：=5；（2）在Rt△ABC中，∵∠A=60°，AB=5，∴BC=AB tan 60°=5，过C作CF⊥y轴于点F，则∠BFC=∠AEB=90°∵∠CBF+∠ABE=90°，∠CBF+∠BCF=90°∴∠BCF=∠ABE，∴△BFC∽△AEB，∴，即，∴，∵OF=BF﹣OB=∴点C的坐标为（，）．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=EB，∴四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC；（2）解：∵四边形ABEF为菱形；∴BE=AB=6，∵四边形ABCD∽四边形CEFD，∴，即，解得：BC=3±3（负值舍去），∴BC=3+3．26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠C=∠D=90°；又∵Q是CD中点，∴CQ=DQ=AD；∵BP=3PC，∴CP=AD，∴==，又∵∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP；（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：由（1）知，△ADQ∽△QCP，==，则===，AQ=2PQ；∵△ADQ∽△QCP，∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，∴AQ⊥QP．27．解：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴BA===10，∵当△ADH≌△ABC时，AB=AD，AC=AH，∵动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，∴5t=10，即t=2；AE=AC+CE=6+3t=6+6=12，DE=AE﹣AD=12﹣10=2；（2）∵EF=BC=8，G是EF的中点，∴GE=4．当AD＜AE（即t＜3）时，DE=AE﹣AD=6+3t﹣5t=6﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴=或=，∴t=或t=，当AD＞AE（即t＞3）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（6+3t）=2t﹣6，若△DEG与△ACB相似，则或，∴=或=，解得t=或t=．综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．。

期末复习：浙教版九年级数学学上册第四章相似三角形一、单选题（共10题；共30分）1.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：162.如图，在△ABC中，点D，E分AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A. 3B. 4C. 6D. 83.△ABC和△DEF相似，且相似比为，那么它们的周长比是（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ，下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ．其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45.若把△ABC的各边扩大到原的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（）A. △ABC∽△A′B′C′B. △ABC与△A′B′C′的相似比为14C. △ABC与△A′B′C′的对应角相等D. △ABC与△A′B′C′的相似比为136.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：167.如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB 的长为( )米A. 3．85B. 4．00C. 4．4D. 4．50．8.两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是，那么较大的多边形的面积是（）A. 44.8B. 42C. 52D. 549.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）A. 10米B. 9.6米C. 6.4米D. 4.8米10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=√2DG；⑤S△BEC：S△BGC＝√3+1。

《相似三角形的性质》练习一、选择题(本大题共10小题)1.两个相似三角形的面积比为1：4，则它们的相似比为（）A.1：4B.1：2C.1：16D.无法确定2.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（）A. B. C. D.3.如图所示，△ABC中，DE∥BC，若=，则下列结论中错误的是（）A.=B.=C.=D.=4.如图，在△ABC中，DE∥BC，如果DE=2，BC=5，那么的值是（）A. B. C. D.5.如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点P，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=（）A. B. C. D.第3题第4题第5题第6题6.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=6，AD=4，则该四边形的面积为（）A.9B.12C.8D.87.如图，在△ABC中，AC=10，AB=8，直线l分别与AB，AC交于M，N两点，且l∥BC，若S△AMN：S△ABC=4：9，则AM+AN的长为（）A.10B.12C.14D.168.阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE（如图所示），已知亮区到窗口下的墙角的距离EC=8.7米，窗口高AB=1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A.4米B.3.8米C.3.6米D.3.4米9.如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF的长为（）A. B. C. D.第7题第8题第9题10.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A.3：2：1B.5：3：1C.25：12：5D.51：24：10二、填空题(本大题共5小题，共15.0分)11.已知一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，则较小三角形与较大三角形的相似比k= ______ ．12.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，点D在边AB上，∠ACB=∠ADC，则AD的长为______ ．13.如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD=4，DB=3，BC=9，则DE的长为______ ．14.如图，△ABC的面积为4cm2，D为AC的中点，则图中两块阴影部分的面积和为______ cm2．15.如图，已知△ABC中，DE∥BC，连接BE，△ADE的面积是△BDE面积的，则S△ADE：S△ABC= ______ ．第12题第13题第14题第15题三、解答题(本大题共5小题，共40.0分)16.如图，在R t△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．17.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．18.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件PQMN，使正方形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．求这个正方形零件PQMN面积S．19.已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为6和8，如图所示，分别采用（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由．20.从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．《相似三角形的性质》练习参考答案一、选择题：1. B解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，∴它们的相似比为1：2，故选：B．2. A解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选：A．3. C解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，==，故A正确，∴==，∵=，∴===，=，=，故B、D正确．故选C．4.B解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，∴；故选：B．5.A解：∵AB∥CD，∴，△APB∽△DPC，∴AB：CD=AP：DP=AP：（AD-AP），即4：7=AP：（10-AP），∴AP=．故选A．6. A解：∵CA是∠BCD的平分线，∴∠1=∠2，∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵AD=4，∴CD=AD=4，过点D作DE⊥AC于E，则AE=CE=AC，∵∠1=∠2，∠BAC=∠DEC，∴△ABC∽△EDC，∴=，即=，∴BC=8，在R t△ ABC中，AC===2，∴DE===3，∴四边形的面积为：AB•AC+AC•DE=×6×2+×2×3=9．故选A．7. B解：∵l∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，==，∴=，∴，∵AC=10，AB=8，∴，∴AM+AN=12，故选B．8.A解：连接AE、BD，∵光是沿直线传播的，∴AE∥BD，∴△BCD∽△ACE，∴=即=解得：BC=4．故选A．9. B解：∵AB∥DE，∴△CDE∽△CAB，∵AD=5，CD=3，DE=4，∴AC=CD+AD=8，∴，∴AB=；又CF为AB边上的中线，∴F为AB的中点．∴BF==．故选B．10.D解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3-）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．二、填空题：11.解：∵一个三角形的三边长分别为6，8和10，与其相似的一个三角形的最短边长为18，∴较小三角形与较大三角形的相似比k==．故答案为：．12. 解：∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC，∴△ACB∽△ADC，∴=，∵AB=10，AC=8，∴=，则AD=6.4，故答案为：6.413. 解：∵AD=4，DB=3，∴AB=AD+DB=7，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，则DE=．故答案为：．14. 解：连结BD，如图，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴AE：BAB=AD：AC，∵D为AC的中点，∴AC=2AD，∴AB=2AE，即AE=BE，∴S△ADE=S△BDE，同理可得S△CDF=S△BDF，∴两块阴影部分的面积和=S△ABC=×4=2（cm2）．故答案为2．15. 解：∵△ADE的面积是△BDE面积的，∴=，∴=，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=（）2=，故答案为：1：9．三、解答题：16.证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD•BD=2×4=8，∴CD=2．17.（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，∴∠ADF=∠C，∵=，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴=，又∵=，∴=，∴=1．18.解：PN与AD交于点E，如图，设MN=xmm，易得四边形MNED为矩形，则ED=MN=x，∴AE=AD-ED=80-x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴=，即=，∴PN=（80-x），∵PN=MN，∴（80-x）=x，解得x=48．故正方形零件PQMN面积S为：48×48=2304（mm2）．答：正方形零件PQMN面积S是2304mm2．19.解：图1中，设DE=CD=EF=CF=x，∵DE∥BC，∴，∴，∴x=，图2中，作CM⊥AB垂足为M交DE于N．设正方形DEFG边长为y．在RT△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB==10，CM==4.8，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴，∴，∴y=．∵x＞y，∴图1中正方形面积大，故图1的剪法较为合理．20.解：（1）如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或114°．（3）由已知AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴（）2=x（x+2），∵x＞0，∴x=-1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=-．。