九年级数学上册第四章相似三角形4.6相似多边形随堂练习含解析新版浙教版

相似三角形本章复习课种类之一 比率线段1．假如 mn ＝ ab ( m ， n ， a ， b 均不为 0) ，则以下比列式中错误的选项是 ( B)a nm nA. ＝b B. ＝bm a a mm bC. n ＝bD. a ＝ n2．[2016 ·河西区二模 ] 在设计人体雕像时， 使雕像的上部与下部的高度比等于下部与浑身的高度比可以增添视觉美感．按此比率， 假如雕像的高为2 m ，设它的下部的高度应设计为x (m)，则 x 满足的关系式为 ( A ) A ． (2 － x ) ∶ x ＝x ∶2B ． x ∶(2 － x ) ＝(2 － x ) ∶2C ． (1 － x ) ∶ x ＝x ∶1D ． (1 － x ) ∶ x ＝1∶ x种类之二 平行线分线段成比率定理3．[2016 ·锦州 ] 如图 4－ 1，在△ ABC 中， D 为 AC 上一点，且 CD 1 ，过点 D 作 DE ∥ BC 交AB＝AD 2 10于点 E ，连结 CE ，过点 D 作 DF ∥ CE 交 AB 于点 F . 若 AB ＝ 15，则 EF ＝ __ 3 __．图 4－1AD AE【解析】∵ DE ∥ BC ，∴＝，AC ABCD 1 AD2AE 2∵ ＝，∴＝ ，即＝ ，AD 2 AC 3 AB 3∵ AB ＝15，∴ AE ＝ 10，∵ DF ∥ CE ，AF ADAF220 ∴ ＝，即＝ ，解得 AF ＝，AE AC103320 10∴ EF ＝AE － AF ＝10－ 3 ＝ 3 .4．如图 4－ 2，直线 DE 交 AC ， AB 于点 D ， F ，交 CB 的延长线于点 E ，且 BE ∶ BC ＝2∶3， AD ＝ CD ，求 AF ∶ BF 的值．图4－2第4题答图解：如答图，过点D 作 DG ∥ AB 交 BC 于点 G .1∵ AD ＝CD ，∴ DG ＝ 2AB ， BG ＝ GC .∵ BE ∶BC ＝2∶3，∴ BE ∶BG ＝2∶ ＝4∶3，EB BF 4 BF42，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ 14 ＝ EGDG 7 AB 7∴ AF ∶BF ＝5∶2.种类之三 相似三角形的判断5．如图 4－ 3，P 是△ ABC 的边 AC 上一点，连结 BP ，以下条件中不可以判断△ ABP ∽△ ACB 的是( B )图 4－3AB ACAC BCA. ＝B.＝BPAP ABAB C ．∠ ABP ＝∠ CD ．∠ APB ＝∠ ABC6．如图 4－ 4，M 为线段 AB 的中点， AE 与 BD 交于点 C ，∠ DME ＝∠ A ＝∠ B ，且 DM 交 AC 于点F ， ME 交 BC 于点 G . 写出图中的全部相似三角形，并选择一对加以证明．图 4－4解：图中的相似三角形有△AMF ∽△ BGM ，△ DMG ∽△ DBM ，△ EMF ∽△ EAM .选择证明△ AMF ∽△ BGM .∵∠ AFM＝∠ DME＋∠ E，∠ DME＝∠ A＝∠ B，∴∠ AFM＝∠ DME＋∠ E＝∠ A＋∠ E＝∠ BMG，又∵∠ A＝∠ B，∴△ AMF∽△ BGM.7．[2017 ·红桥区模拟 ] 如图 4－5，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B＝ 90°，AB＝ 7，AD ＝ 9，BC＝ 12，在线段BC上任取一点E，连结DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F.图 4－5(1)若点 F 与 B重合，求 CE的长；(2)若点 F 在线段 AB上，且 AF＝ CE，求 CE的长．解： (1) 当F和B重合时，如答图①，∵EF⊥DE，∴ DE⊥ BC，∵∠ B＝90°，∴ AB⊥ BC，∴ AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形 ABED是平行四边形，∴AD＝EF＝9，∴ CE＝ BC－ EF＝12－9＝3；第 7 题答图①第7题答图②(2)如答图②，过 D作 DM⊥ BC于 M，∵∠ B＝90°，∴ AB⊥ BC，∴ DM∥AB，∵ AD∥BC，∴四边形ABMD是矩形，∴AD＝BM＝9， AB＝ DM＝7， CM＝12－9＝3，设 AF＝ CE＝ a，则 BF＝7－ a， EM＝ a－3， BE＝12－ a，∵∠ FED＝∠ B＝∠ DMB＝90°，∴∠ FEB＋∠ DEM＝90°，∠ BFE＋∠ FEB＝90°，∴∠ BFE＝∠ DEM，∵∠ B＝∠ DME，∴△ FBE∽△ EMD，BF BE7－a12－a∴＝，∴＝，EM DM a－37解得 a＝5或 a＝17，∵点 F在线段 AB上， AB＝7，∴ a＝17(舍去)，∴ CE＝5.种类之四圆中的相似8．[2017 ·宁波一模 ] 如图 4－ 6，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD订交于2点 E，且 DC＝ CE· CA.(1) 求证：BC＝CD；(2)分别延长 AB， DC交于点 P，若 PB＝ OB，CD＝2 2，求⊙ O的半径．图4－6第8题答图2解： (1) 证明：∵DC＝CE·CA，DC CA∴＝，而∠ ACD＝∠ DCE，CE DC∴△ CAD∽△ CDE，∴∠ CAD＝∠ CDE，∵∠ CAD＝∠ CBD，∴∠ CDB＝∠ CBD，∴ BC＝CD；(2)如答图，连结 OC，设⊙ O的半径为 r ，︵︵∵CD＝CB，∴ CD＝ CB，∴∠ BOC＝∠ BAD，PC PO 2r∴OC∥AD，∴ ＝＝＝2，CD OA r又∵ CD＝22，∴PC＝ 2CD＝ 42，∵∠ PCB＝∠ PAD，∠ CPB＝∠ APD，∴△ PCB∽△ PAD，∴PC PB 4 2r ＝，即3r＝，PA PD 6 2∴ r ＝4(负值舍去)，即⊙ O的半径为 4.种类之五相似三角形的性质9．[2017 ·永州 ] 如图 4－ 7，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠ B，AD＝1，AC ＝ 2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为 ( C )图 4－7A．1B．2C．3D．4【解析】∵∠ ACD＝∠ B，∠ A＝∠ A，S△ACD AD 2∴△ ACD∽△ ABC，∴＝，S△ABC AC1 12∴＝，S△ABC＝4，S△ABC2∴S△BCD＝ S△ABC－S△ACD＝4－1＝3.10．[2016 ·乐山 ] 如图 4－ 8，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且 DE∥ BC，若△ ADE 与△ ABC的周长之比为2∶3，AD＝ 4，则DB＝ __2__．图 4－8【解析】∵ DE∥ BC，∴△ ADE∽△ ABC，∵△ ADE与△ ABC的周长之比为2∶3，∴AD∶AB＝2∶3，∵ AD＝4，∴ AB＝6，∴DB＝AB－ AD＝2.种类之六相似三角形的应用11．如图 4－ 9 是一个常有铁夹的侧面表示图，，表示铁夹的两个面，C 是轴，⊥OA OB CD OA 于点 D，已知 DA＝15 mm， DO＝24 mm， DC＝10 mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，央求出 A，B 两点间的距离．图 4－9第11题答图解：作出表示图如答图，连结AB，同时连结OC并延长交 AB于点 E.∵夹子是轴对称图形，∴OE是对称轴，∴OE⊥AB， AE＝BE，∴∠ COD＝∠ AOE，∠ CDO＝∠ AEO＝90°，OC CD∴ Rt △OCD∽ Rt△OAE，∴＝.OA AE2222∵ OC＝ OD＋ DC＝24 ＋ 10 ＝ 26(mm)，∴26＝10，AE＝39×10＝15(mm)，24＋ 15 AE26∴AB＝2AE＝30(mm)．答： A， B 两点间的距离为30 mm.种类之七相似三角形的综合问题12．[2016 ·丽水改编] 如图 4－ 10，在矩形ABCD中，E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC ＝90°.(1)当 E 为 BC中点时，求证：△ BCF≌△ DEC；CD(2)当 BE＝2EC时，求的值．BC图 4－10解： (1)证明：∵在矩形ABCD中，∠ DCE＝90°， F 是 DE的中点，1∴CF＝2DE＝ EF，∴∠ FEC＝∠ FCE，∵∠ BFC＝90°， E 为 BC中点，∴EF＝EC，∴ CF＝ CE，∠BFC＝∠ DCE，在△ BCF和△ DEC中，CF＝ EC，∠FCB＝∠ CED，∴△ BCF≌△ DEC(ASA)；(2)设 CE＝ a，由 BE＝2CE，得 BE＝2a， BC＝3a，∵ CF是Rt△ DCE斜边上的中线，1∴CF＝2DE，∵∠ FEC＝∠ FCE，∠ BFC＝∠ DCE＝90°，∴△ BCF∽△ DEC，∴CF BC21ED3a，＝，即＝EC ED a ED解得2＝ 62.ED a由勾股定理，得DC＝22225a，DE－ EC＝6a－a＝∴CD5a5＝3a＝ .BC3种类之八位似图形13．[2017 ·兰州 ] 如图 4－ 11，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是点O，OE 3，＝OA 5则FG3＝__ __．BC5图 4－11【解析】∵四边形 ABCD与四边形 EFGH位似，∴△ OEF∽△ OAB，△ OFG∽△ OBC，OF OE3FG OF 3∴＝＝，∴＝＝ .OB OA5BC OB 5。

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——高斯相似多边形知识讲解1.相似多边形(1)对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．(2)相似多边形的对应边的比叫做相似比．2.相似多边形的性质相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方．典型例题例1：已知矩形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.求证：四边形ABCD⊥四边形EBFO.同步练习一、选择题1.在下列几个命题中，正确的有()⊥四条边相等的四边形都相似；⊥四个角都相等的四边形都相似；⊥三条边相等的三角形都相似；⊥所有的正十二边形都相似．A．1个B．2个C．3个D．4个2.将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是()A．新三角形与原三角形相似B．新矩形与原矩形相似C．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都相似D．新三角形与原三角形，新矩形与原矩形都不相似3.（2019秋•嘉兴期末）下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似D．所有平行四边形都相似4.如图，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推．若各种开本的矩形都相似，那么ABMN等于()A．0.618 B．22C． 2 D．25.已知四边形ABCD⊥四边形A′B′C′D′，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长分别为24、36，则它们对角线AC与A′C′的比为（）A. 2：3B. 3：2C. 4：9D. 9：46.（2019•武侯区校级模拟）两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积（）A．9cm2B．16cm2C．56cm2D．24cm27.（2020春•广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（）A．2：1B．4：1C．√2：1D．1：28.（2019秋•甘井子区期中）如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（）A．⊥D＝81°B．⊥F＝83°C．⊥G＝78°D．⊥H＝91°9.（2019秋•巴州区校级期中）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．1080元C．720元D．2160元10.如图，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，给出下列结论：⊥⊥AME＝108°；⊥五边形PFQNM⊥五边形ABCDE；⊥AN2＝AM•AD，其中正确的是（）A．⊥⊥B．⊥⊥C．⊥⊥D．⊥⊥⊥二、填空题1.四边形ABCD⊥四边形A1B1C1D1，它们的面积比为9⊥4，四边形ABCD的周长是24，则四边形A1B1C1D1的周长为____．2.把一个长方形按如图2的方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为____．3.如图，已知矩形ABCD中，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将⊥ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝____．4.（2019秋•耒阳市期末）若如图所示的两个四边形相似，则⊥α的度数是．5.（2019春•张店区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE＝BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为．三、解答题1.如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F．求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．2.两个相似多边形的一对对应边的边长．分别是15cm和12cm．（1）它们的周长相差24cm，求这两个多边形的周长；（2）它们的面积相差270cm2，求这两个多边形的面积．3.（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt⊥ABC中，⊥ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若⊥BPQ与⊥ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．4.（2019秋•雁塔区校级月考）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在⊥ABC中，⊥A＝40°，⊥B＝60°，当⊥BCD＝40°时，CD为⊥ABC的完美分割线；（2）如图2，⊥ABC中，AC＝2，BC=√2，CD是⊥ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．5.【核心素养题】如图，在矩形ABCD中，AB＝16，BC＝12，顺次连结各边中点，得菱形A1B1C1D1；再顺次连结菱形A1B1C1D1的各边中点，得矩形A2B2C2D2；再顺次连结矩形A2B2C2D2的各边中点，得菱形A3B3C3D3；…；这样继续下去．求图中的四边形A8B8C8D8的周长和四边形A9B9C9D9的面积．。

九年级数学上4.6相似多边形同步导学练（浙教版附答案）4.6 相似多边形对应边成比例并且对应角相等的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．1.如果两个相似多边形面积的比为1∶5，那么它们的相似比为(D).A.1∶25B.1∶5C.1∶2.5D.1∶ 2.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是(A). A. B. C. D. 3.下列说法中，错误的是(C). A.等边三角形都相似 B.等腰直角三角形都相似 C.矩形都相似 D.正方形都相似 4.如图所示的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，分裂的小细胞与原图形相似，则相似比为(C). A.1∶4 B.1∶3 C.1∶2 D.1∶ （第4题）（第5题） 5.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F上，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD等于(B). A. B. C. D.2 6.如图所示，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似，已知∠A=120°，∠B=85°，∠C1=75°，AB=10，A1B1=16，CD=18，则∠D1= 80° ，C1D1= 28.8 ，它们的相似比为5∶8 ．（第6题）（第7题）（第8题） 7.如图所示，在周长为9cm的四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，且AC=BD=3cm，顺次连结OA，OB，OC，OD的中点得四边形A1B1C1D1，顺次连结OA1，OB1，OC1，OD1的中点得四边形A2B2C2D2……依此作下去，得四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的周长为 cm，面积为 cm2.（用含n的代数式表示） 8.如图所示，菱形ABCD的周长为12，∠DAB=60°，对角线AC上有两点E和F（点E在点F的左侧），若要使四边形DEBF与菱形ABCD相似，则AE的长为 . （第9题） 9.如图所示，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连结EB，GD．（1）求证：EB=GD．（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【答案】(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD.∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB.∴∠EAB=∠GAD.∵AE= AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD.∴EB=GD. (2)如答图所示，连结BD交AC于点P，则BP⊥AC. （第9题答图）∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°.∴BP=AB=1，AP==.∵AE=AG=，∴EP=2.∴EB==.∴GD=. 10.如图所示，矩形ABCD的面积是72，点E在BC上，点F在DC上，且DF=AB，BE=AD，则矩形ECFG的面积是(C). A.9 B.12 C.18 D.24 （第10题）（第11题） 11.如图所示，一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到.矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，则等于(B). A. B. C. D.2 12.如图所示，连结正五边形的各条对角线AD，AC，BE，BD，CE，有下列结论：①∠AME=108°；②五边形PFQNM∽五边形ABCDE；③AN2=AM ・AD.其中正确的是(D). A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ （第12题）（第13题） 13.一块矩形绸布的宽AB=a（m），长AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，若使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，则a的值为 . 14.如图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°.取AB的中点A1，连结A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连结D1C1，如图2所示.取A1B的中点A2，连结A2C1，再分别取A2C1，BC1的中点D2，C2，连结D2C2，如图3所示……如此进行下去，则线段DnCn 的长度为 . 图1 图2 图3 （第14题） 15.如图所示，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD=12，AB=6，设AB与A′B′，BC与B′C′，CD与C′D′，DA与D′A′之间的距离分别为a，b，c，d. （1）当a=b=c=d=2时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD吗？为什么？（2）若矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，则a，b，c，d应满足怎样的等量关系？请说明理由. （第15题）【答案】(1)不相似.理由如下：∵，∴ .∴矩形A′B′C′D′与矩形ABCD不相似. (2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即= 可得a+c=2b+2d.∴当a+c=2b+2d时，矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD.16.【葫芦岛】如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，CD=1，连结AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再连结AC1，以对角线AC1为边作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1……按此规律继续下去，则矩形ABnCnCn-1的面积为 5n2的面积为 . （第16题）（第17题） 17.【成都】已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为 (3n-1,0) .18.数学学习小组在学过相似图形的知识这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去.如我们可以定义：长和宽之比相等的矩形是相似矩形；相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方等.请你参与这个学习小组，一同探索这类问题. （1）写出判定菱形相似的一种判定方法．（2）如图所示，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE．（3）若AC=，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．（第18题）【答案】(1)若两个菱形有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似. (2)∵AD∥A′E∥FC，AB∥A′F∥EC，∴四边形A′FCE为平行四边形，△CEA′∽△CDA, △CFA′∽△CBA.∴.∵AD=AB,∴EA′=FA′.∴四边形A′FCE为菱形.∵∠EA′F=∠DAB,∴菱形A′FCE∽菱形ABCD. (3)∵菱形ABCD∽菱形A′FCE，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，∴菱形ABC与菱形A′FCE的面积比为2∶1.∴对应边之比为∶1，即AC∶A′C=∶1.∵AC=，∴A′C=1.∴AA′=-1.。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．如果2a =5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．a b =25B ．a 5=2b C ．a 2=b 5D ．a 5=b 22．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，AC =6，DE =3，EF =2，则AB 的长为（ ）A ．3B ．125C ．165D ．1853．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA >PB ，若AB =2，则PA 的长度是（ ）A ．5−1B ．3−5C ．25−4D ．14．如图， 在▱ABCD 中， E 是边AB 上一点， 连结AC ，DE 相交于点F ． 若AE EB =23，则 AF CF 等于（ ）A ．13B ．23C ．25D ．355．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）A ．B ．C．D．6．△ABC和△DEF是两个等边三角形，AB=2,DE=4，则△ABC与△DEF的面积比是( ) A．1：2B．1：4C．1：8D．1:27．如图，在△ABC中，BC=6,AC=8,∠C=90°，以B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则AE的长度为( )A．52B．103C．3D．228．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段O A1上，若OA:A A1=1:2，则△ABC和△A1B1C1的周长之比为（ ）A．1:2B．2:1C．1:3D．3:19．如图，在△ABC中，D为线段AC上一点，点E在AC的延长线上，过点D作DF∥AB交BC于点F，连结BE,EF，若A C2+D E2=A E2，则△BEF与△DCF的面积比为（ ）A．1:2B．1:3C．2:3D．2:510．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是（ ）A ．4B ．154C ．3D ．114二、填空题11．如图，AC 、BD 交于点O ，连接AB 、CD ，若要使△AOB ∽△COD ，可以添加条件 ．(只需写出一个条件即可)12．已知△ABC ∽△DEF ，且AB:DE =1:3，△ABC 与△DEF 的周长比是 ．13．如图，在这架小提琴中，点C 是线段AB 的黄金分割点（BC >AC ）．若AB =60cm ，则BC =　cm ．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3 6 ，BC ＝12，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将△AEF 沿EF 折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是 ．16．如图，正方形ABCD 中，BF =FG =CG ，BE =2AE ，CE 交DF 、DG 于M 、N 两点，有下列结论：①DF ⊥EC ；②S △MFC =59S 四边形MFBE ；③DM ：MF =2：1；④MN NC =913．其中，正确的有　　．三、解答题17．（1）已知线段a =2，b =6，求线段a ，b 的比例中项线段c 的长．（2）已知x ：y =3：2，求2x−yx的值．18．如图，已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，AD BD =32，求DE BC 的值．19．如图，AD 、BC 相交于点P ，连接AC 、BD ，且∠1=∠2，AC =6，CP =4，DP =2，求BD 的长．20． 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边上一点，∠EAB =∠EBC ．（1）求证：△ABE∽△BEC ；（2）若AB=4，DE=3，求BE的长．21．如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB=BC，AC=12，BD=16．（1）求证：四边形ABCD时菱形；（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若∠M=12∠BAC，求MNOM．22．如图，AB∥CD，且AB=2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．（1）求证：△FDM∽△FBM；（2）若F是BC的中点，BD=18，求BM的长；（3）若AD=BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP⋅BP=BF⋅CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且OB=OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点M，使∠ABC=∠BCM，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由；（3）若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A、B、D的圆与DF交于E点，求△ABE的面积．答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】B11．【答案】∠A=∠C(答案不唯一)12．【答案】1:313．【答案】(305−30)14．【答案】9415．【答案】21516．【答案】①④17．【答案】（1）解：∵线段a=2，b=6，线段c是线段a、b的比例中项，∴c2=ab=12，∴c=23（负值舍去）；（2）解：∵x：y=3：2，∴可设x=3k，y=2k(k≠0)，∴2x−yx=6k−2k3k=43．18．【答案】3519．【答案】BD=320．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，∴AB//CD，∴∠EBA=∠BEC，又∵∠EAB=∠EBC，∴△ABE∽△BEC．（2）解：∵四边形ABCD 平行四边形，∴AB =DC =4，∵DE =3，∴CE =1，∵△ABE∽△BEC ，∴AB EB =EBEC，∴AB ⋅CE =B E 2=4×1=4，∴BE =2．21．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD 中，OA=OC ，OB=OD∴ 四边形ABCD 是平行四边形 ∵ AB=BC∴ 平行四边形ABCD 是菱形。

九年级数学上册第四章《相似三角形》练习题-浙教版（含答案）一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.如图，ABC △与DEF △位似，点O 为位似中心，相似比为2:3.若ABC △的周长为4，则DEF △的周长是( ) A.4B.6C.9D.162.若ABC ∆∽DEF ∆，6BC =，4EF =，则ACDF=( ) A.49B.94C.23D.323．两个相似三角形的面积之比为1：4，较小的三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ） A ．16 B ．8C ．2D ．14．设32yx =，则y x y x 523+-的值为（ ）A ．113B ．199 C ．193 D ．167 5.如图，矩形EFGH 的四个顶点分别在菱形ABCD 的四条边上，BE BF =．将AEH △，CFG △分别沿边EH ，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116时，则EB AE 为（ ） A ．53B ．2C ．25D ．356.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点（位于AB 下方），CD 交AB 于点E ，若∠BDC ＝45°，BC ＝62 ，CE ＝2DE ，则CE 的长为（ ） A ．22B ．24C ．53D ．547.如图平行四边形ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使4:3:=AE AD ，连结EF 交DC 于点G ，则=∆∆CPG DEG S S :（ ） A ．2∶3B ．4∶9C ．9∶4D ．3∶28.如图，在四边形ABCD 中，以AB 为直径的O 恰好经过点C ，AC ，DO 交于点E ，已知AC 平分BAD ∠，90ADC ∠=︒，:25CD BC =:CE AE 的值为（ ）A ．2:5B ．4:5C ．5:22D ．5:89.由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD 如图所示．过点D 作DF 的垂线交小正方形对角线EF 的延长线于点G ，连结CG ，延长BE 交CG 于点H ．若AE ＝2BE ，则BHCG的值为（ ） A ．23 B ．2C ．7103 D ．553 10.将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中90A ∠=︒，9AB =，7BC =，6CD =，2AD =，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是( ) A.252B.454C.10D.354二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.如图，线段AB 两个端点的坐标分别为()12,12A ，()4,16B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ，则端点D 的坐标为12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥EF ∥BC ，且AE ：EB ＝2：3，CD ＝15，则FC ＝ 13．如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有______________14．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，平移的距离为_____________ 15．如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B 停止，动点E 从点C 出发到点A 停止，点D 运动的速度为1cm/s ，点E 运动的速度为2cm/s ，如果两点同时开始运动，那么以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为_______________16.如图，四边形ABCD 是正方形，点E 在边AD 上，BEF △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，EF ，BF 分别交CD 于点M ，N ，过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点G .连接DF ，请完成下列问题：（1）FDG ∠=_______°；（2）若1DE =，22DF =，则MN =________.三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题6分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB ，AC 上的点，∠AED ＝∠B ，△ABC 用平分线AF 交DE 于点G ，交BC 于点F ．（1）求证：△AED ∽△ABC ．（2）设23AD AC，求AG AF的值．18.（本题8分）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ．M 为AD 中点，连接CM 交BD 于点N ．（1）求DN ：BN 的值；（2）若△OCN 的面积为2，求四边形AONM 的面积．19（本题8分）如图，在ABC △中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，14DE BC =.（1）若8AB =，求线段AD 的长.（2）若ADE △的面积为1，求平行四边形BFED 的面积.20.（本题10分）如图，锐角三角形ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线AG 交⊙O 于点G ，交BC 边于点F ，连接BG ．（1）求证：△ABG ∽△AFC ．（2）已知AB ＝a ，AC ＝AF ＝b ，求线段FG 的长（用含a ，b的代数式表示）．（3）已知点E 在线段AF 上（不与点A ，点F 重合），点D 在线段AE 上（不与点A ，点E 重合），∠ABD ＝∠CBE ，求证：BG 2＝GE •GD ．21.（本题10分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AC 上一点，射线BE 与CD 的延长线交于点P ，与边AD 交于点F ，连接FC ．（1）若∠ABF ＝∠ACF ，求证：CE 2＝EF •EP ； （2）若点D 是CP 中点，BE ＝32，求EF 的长．22（本题12分）．如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm /s ，点Q 运动的速度是2cm /s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；（3）作QR ∥BA 交AC 于点R ，连接PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ．23（本题12分）如图，已知抛物线24y ax ax =-交x 轴于点A ，与直线12y x =交于点B （非原点），过点B 作BC ∥x 轴交抛物线于点C ，6BC =．（1）求a 的值．（2）若P 是线段BC 上一点，过点P 作x 轴的垂线分别交直线OB 与抛物线于E ，F ．求线段EF 的最大值．（3）若P 是射线BC 上一点，作点F 关于直线BC 的对称点G ，连结PG ，BG ．是否存在BPG ∆与PBE ∆相似，若不存在请说明理由，若存在请求出点G 的坐标．参考答案一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.答案：B解析：由两个位似图形的周长比等于位似比可知，23ABC DEF C C =△△， 334622DEF ABC C C ∴==⨯=△△.故选B.2.答案：D解析：~ABC DEF △△， BC ACEF DF∴=， 6BC =，4EF =，6342AC DF ∴==. 故选择：D3.答案：B解析：设另一个三角形的周长为x ，则 4：x ＝41， 解得：x ＝8．故另一个三角形的周长为8， 故选：B ．4.答案：C 解析：∵32y x = ∴y x 32=，∴19331953425322323523==+-=+⨯-⨯=+-y y y y y y y y yy y x y x ． 故选：C ．5.答案：D解析：设重叠的菱形边长为x ，BE =BF =y ，由矩形和菱形的对称性以及折叠的性质得：四边形AHME 、四边形BENF 是菱形， ∴AE =EM ，EN =BE =y ，EM =x +y ，∵当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD 面积的116，且两个菱形相似， ∴AB =4MN =4x ， ∴AE =AB -BE =4x -y ， ∴4x -y =x +y ， 解得：x =23y ，∴AE =53y ，∴5533yAE EB y ==， ∴35BE AE =， 故选：D ．6.答案：D解析：连接CO ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，连接AD ，∵∠BDC ＝45°， ∴∠CAO ＝∠CDB ＝45°， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°， ∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°， ∵BC ＝62， ∴AB ＝ 2BC ＝12， ∵OA ＝OB ， ∴CO ⊥AB ，∴∠COA ＝∠DGE ＝90°， ∵∠DEG ＝∠CEO ， ∴△DGE ∽△COE ， ∴CDDGOE GE CE DE ===21， ∵CE ＝2DE ，设GE ＝x ，则OE ＝2x ，DG ＝3， ∴AG ＝6﹣3x ，BG ＝6＋3x ， ∵∠ADB ＝∠AGD ＝90°， ∠DAG ＝∠BAD ， ∴△AGD ∽△ADB ， ∴DG 2＝AG •BG ，∴9＝（6﹣3x ）（6＋3x ）， ∵x ＞0， ∴x ＝3， ∴OE ＝23 ，在Rt △OCE 中，由勾股定理得：CE ＝34361222=+=+OC OE ，故答案为：D ．7.答案：B解析：∵4:3:=AE AD ∴设x AE x AD 4,3==， ∴x x x AD AE DE =-=-=34， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴x AD BC BC AD 3,//==，∵点F 是BC 的中点，xBC CF 2321==∴BC AD //FCG EDG CFG DEG ∠=∠∠=∠∴,∴△DEG ∽△CFG,942322=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴∆∆x x CF DE S S CFGDEG故答案为：B ．8.答案：D解析：如图所示，连接OC ∵AB 是圆的直径， ∴∠ACB =∠ADC =90°， ∵AC 平分∠BAD ，∴∠DAC =∠CAB ，∠DAB =2∠CAB ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴5CD AC ADBC AB AC==， ∴25AC AB =， ∴225BC AB AC AB =-=，455AD AC AB == ∴255CD AB ==，又∵∠BOC =2∠CAB ， ∴∠BOC =∠DAB ， ∴AD ∥OC ， ∴△OCE ∽△DAE ，∴152485AB CE OC AE DA AB ===，故选D ．9.答案：C解析：如图，过点G 作GT ⊥CF 交CF 的延长线于T ，设BH 交CF 于M ，AE 交DF 于N ．设BE ＝AN ＝CM ＝DF ＝a ，则AE ＝BM ＝CF ＝DN ＝2a ， ∴EN ＝EM ＝MF ＝FN ＝a ， ∵四边形ENFM 是正方形，∴∠EFH ＝∠TFG ＝45°，∠NFE ＝∠DFG ＝45°， ∵GT ⊥TF ，DF ⊥DG ，∴∠TGF ＝∠TFG ＝∠DFG ＝∠DGF ＝45°， ∴TG ＝FT ＝DF ＝DG ＝a ， ∴CT ＝3a ，CG ＝()a a a 10322=+，∵MH ∥TG ， ∴△CMH ∽△CTG ， ∴CM ：CT ＝MH ：TG ＝1：3， ∴MH ＝a 31， ∴BH ＝a a a 37312=+， ∴71033710==a a BH CG ，故选：C ．10.答案：A 解析：如图1所示，由已知可得，~DFE ECB △△， 则DF FE DEEC CB EB==， 设DF x =，CE y =， 则9672x yy x+==+， 解得274214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2145644DE CD CE ∴=+=+=，故选项B 不符合题意； 2735244EB DF AD =+=+=，故选项D 不符合题意； 如图2所示，由已知可得，DCF FEB △△， 则DC CF DF FE EB FB==， 设FC m =，FD n =， 则6927m nn m ==++， 解得810m n =⎧⎨=⎩，10FD ∴=，故选项C 不符合题意； 8614BF FC BC =+=+=，如图3所示：此时两个直角三角形的斜边长为6和7； 故选A.二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11.答案：（8，2）解析：∵线段AB 端点B 的坐标分别为B （16，4），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的21后得到线段CD ， ∴端点D 的横坐标和纵坐标都变为B 点的一半，∴端点D 的坐标为：（8，2）．故答案是：（8，2）．12.答案：9解析：∵AD ∥BC ∥EF ，AE ：EB ＝2：3，∴32==EB AE FC DF ， ∴35=FC DC ， ∵CD ＝15，∴FC ＝9．故答案为：9．13.答案：三条解析：过点M 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．因此，∵截得的三角形与△ABC 相似，∴过点M 作AB 的垂线，或作AC 的垂线，或作BC 的垂线，所得三角形满足题意∴过点M 作直线l 共有三条．15.答案：4解：如图，设正方形D ′C ′O ′E ′是正方形OCDE 沿x 轴向右平移后的正方形，∵顶点A ，B 的坐标分别为（-2，6）和（7，0），∴AC =6，OC =2，OB =7，∴BC =9，∵四边形OCDE 是正方形，∴DE =OC =OE =2，∴O ′E ′=O ′C ′=2，∵E ′O ′⊥BC ，∴∠BO ′E ′=∠BCA =90°，∴E ′O ′∥AC ，∴△BO ′E ′∽△BCA ， ∴E O BO AC BC ='''， ∴269BO '=， ∴BO ′=3，∴OO ′=7-3=4，15.答案：3s 或4.8s ．解析：设以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为s t ， 根据题意得：cm AD t = ，2cm CE t = ，则()122cm AE t =- ，当ADE ABC ，即AD AE AB AC = 时， ∴122612t t -=，解得：3t = ； 当ADE ACB ，即AD AE AC AB = 时， ∴122126t t -=，解得： 4.8t = ， 综上所述，以点A ，D ，E 为顶点的三角形与ABC 相似时的运动时间为3s 或4.8s ．16.答案：045 1526 解析：（1）90A BEF G ∠=∠=∠=︒，BE EF =，易证ABE GEF ≅△△，EG AB AD ∴==，GF AE =，DG AE GF ∴==，DFG ∴△是等腰直角三角形，45FDG ∴∠=︒.（2）由（1）可知DFG △是等腰直角三角形.又22DF =，2DG GF ∴==，123CD BC AB EG ED DG ∴====+=+=.如图，分别延长GF ，BC ，两线交于点H ，则//CD GH ，3GH CD ==，2CH DG ==，EDM EGF ∴△△，BNC BFH △△，MD ED GF EG ∴=，NC BC FH BH=， 即123MD =，33232NC =-+， 23MD ∴=，35NC =， 232633515MN CD MD NC ∴=--=--=.三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.解析：（1）∵∠AED ＝∠B ，∠BAC ＝∠DAE ，∴△AED ∽△ABC ；（2）∵△AED ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠ACB ，∵AF 平分∠BAC ，∴∠DAG ＝∠CAF ，∴△ADG ∽△ACF ， ∴2=3AG AD AF AC =．18.解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴∠MDN ＝∠CBN ，又∵∠BNC ＝∠DNM ，∴△MND ∽△CNB ，∴BNDN BC DM =， ∵M 为AD 的中点， ∴BC AD DM 2121==， ∴DN ：BN ＝1：2；（2）连接OM ，∵△MND ∽△CNB ，DN ：BN ＝1：2；∴MN ：CN ＝1：2，∴MC ：CN ＝3：2，∴S △OCM ：S △OCN ＝3：2，∵S △OCN ＝2，∴S △OCM ＝3，∴S △ACM ＝2S △OCM ＝6，∴S 四边形AONM ＝S △ACM ﹣S △OCN ＝6﹣2＝4．19.解析：（1）由题意，得//DE BC ，所以ADE ABC ∽△△， 所以14AD DE AB BC ==. 因为8AB =，所以2AD =.（2）设ABC △的面积为S ，ADE △的面积为1S ，CEF △的面积为2S . 因为14AD AB =, 所以21116S AD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 因为11S =,所以16S =.因为34CE CA =, 所以同理可得29S =，所以平行四边形BFED 的面积126S S S =--=.20.解析：（1）证明：∵AG 平分∠BAC ，∴∠BAG ＝∠FAC ，又∵∠G ＝∠C ，∴△ABG ∽△AFC ；（2）由（1）知，△ABG ∽△AFC ，∴ACAG AF AB =， ∵AC ＝AF ＝b ，∴AB ＝AG ＝a ，∴FG ＝AG ﹣AF ＝a ﹣b ；（3）∵∠CAG ＝∠CBG ，∠BAG ＝∠CAG ，∴∠BAG ＝∠CBG ，∵∠ABD ＝∠CBE ，∴∠BDG ＝∠BAG +∠ABD ＝∠CBG +∠CBE ＝∠EBG ，又∵∠DGB ＝∠BGE ，∴△DGB ∽△BGE ， ∴GE BG BG GD =， ∴GD GE BG ⨯=2．21.解析：（1）∵平行四边形ABCD ，射线BE 与CD 的延长线交于点P ， ∴AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠P ，∵∠ABF ＝∠ACF ，∴∠ACF ＝∠P ，∵∠CEF ＝∠PEC ，∴△CEF ∽△PEC ，∴CEEF PE CE =， 即CE 2＝EF •PE ；（2））∵平行四边形ABCD ，射线BE 与CD 的延长线交于点P ， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，AD ∥BC ，∴∠ABF ＝∠P ，∵∠AEB ＝∠CEP ，∴△BEA ∽△PEC ，∴CPAB PE BE =， ∵点D 是CP 的中点， ∴CP ＝2CD ＝2AB ，点F 是BP 的中点，∴2132=PE解得：34=PE ，∴PF ＝21BP ＝21（BE +PE ）＝33 ∴EF ＝PE ﹣PF ＝322.解析：（1）△BPQ 是等边三角形当t ＝2时AP ＝2×1＝2，BQ ＝2×2＝4∴BP ＝AB ﹣AP ＝6﹣2＝4∴BQ ＝BP又∵∠B ＝60°∴△BPQ 是等边三角形；（2）过Q 作QE ⊥AB ，垂足为E在Rt △BEQ 中，∠BQE ＝90°﹣∠B ＝30°，QB ＝2t ， ∴BE ＝t ，QE ＝3t 由AP ＝t ，得PB ＝6﹣t∴S △BPQ ＝21×BP ×QE ＝21（6﹣t ）×3t ＝t t 33232+- ∴t t s 33232+-=； （3）∵QR ∥BA∴∠QRC ＝∠A ＝60°，∠RQC ＝∠B ＝60°∴△QRC 是等边三角形∴QR ＝RC ＝QC ＝6﹣2t∵BE ＝BQ •cos60°＝21×2t ＝t ∴EP ＝AB ﹣AP ﹣BE ＝6﹣t ﹣t ＝6﹣2t∴EP ∥QR ，EP ＝QR∴四边形EPRQ 是平行四边形∴PR ＝EQ ＝3t又∵∠PEQ ＝90°，∴∠APR ＝∠PRQ ＝90°∵△APR ∽△PRQ ， ∴AP PR PR QR =， ∴t t tt 3326=- 解得t ＝56 ∴当t ＝56时，△APR ∽△PRQ ．23.解析：（1）抛物线24y ax ax =-，令120,0,4y x x === ， 抛物线对称轴为422a x a-=-= ， ∵B 点在抛物线上，且BC =6，∴B 点横坐标为6252+= ， ∵B 点在直线12y x =上， ∴代入B 点横坐标求得52y =，即55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 将55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入24y ax ax =-，得：525202a a =-，解得12a = ； （2）由（1）知12a =，所以抛物线为2122y x x =- ， ∵P 是线段BC 上一点，PF x ⊥轴，∴E 、F 的横坐标15x -≤≤ ， 设EF 的最大值为M ，E 、F 横坐标相同，则22111522222M x x x x x ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭，为开口向下的抛物线，有最大值，2215404252214842ac b M a ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-⨯，∴EF 的最大值为258； （3）存在， 如图：EF 交x 轴于点M∵//BC x 轴，∴OEM BEP ， ∵BEP GBP ， ∴OEM GBP ， ∴OM EM GP BP= ， ∵P 在射线BC 上且可形成△GPB ，55,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设P 点横坐标为x ，∴P 点横坐标5x < ,∴5PB x =- ，G 点、E 点、F 点横坐标都为x ， ∵E 在直线12y x =上， ∴1,2OM x EM x == ， ∵G 为点F 关于直线BC 的对称点，且F 在抛物线2122y x x =-上， ∴21,22F x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 即2122MF x x =- ， ∴215222PF x x =-+ ， ∴215222PG x x =-+ ， ∴OM EM GP BP ==212155222x x xx x =--+ 解得：123,5x x == ，∵5x <，∴取3x = ， ∴2152422PG x x =-+= ， ∴G 点纵坐标为513422+= ，∴133,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭．。

浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，若BC∥DE，则下面比例式不能成立的是（）A. B. C. D.2、如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（）A.3B.4C.6D.83、如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（）A.△ADC∽△CFBB.AD＝DFC. ＝D. ＝4、如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A. B. C. D.5、已知2x=3y，则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.6、如图，直线，若，，，则的长为（）A. B.10C.3D.7、如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )A.∠B＝∠DACB.∠BAC＝∠ADCC. AC2＝DC·BCD. AD2＝BD·BC8、如图，边长为2的正方形ABCD中，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G，点H在边BC上，BH=DF，连接AH、FH，FH与AC交于点M，以下结论：①FH=2BH；②AC⊥FH；③S=1；④CE= AF；⑤=FG•DG，其中正确结论△ACF的个数为（）A.2B.3C.4D.59、如图，在中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列式子一定正确的是（）A. B. C. D.10、在▱ABCD中，E为BD上一点，在连结AE并延长交BC于F点，且BD=4BE，△BEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A.12B.24C.13D.2611、两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差为12cm，那么小三角形的周长为（）A.14cmB.16cmC.18cmD.30cm12、如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF=90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OGE∽△FGC；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的;④DF2+BE2=OG·OC。

浙教版九年级上册数学第4章相似三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，则下列结论成立的是（）A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA2、如图，点O是边长为4 的等边△ABC的内心，将△OBC绕点O逆时针旋转30°得到△OB1C1， B1C1交BC于点D，B1C1交AC于点E，则DE＝（）A.2B.4C.2D.6﹣23、如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是（）A.两个三角形是位似图形B.点A是两个三角形的位似中心C.AE︰AD是位似比D. 点B与点E、点C与点D是对应位似点4、将一副直角三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（）．A. B. C. D.5、如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA=4，OA′=8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为（）A.1：2B.1：4C.2：1D.4：16、浙江省庆元县与著名的武夷山风景区之间的直线距离约为105公里，在一张比例尺为1：2000000的旅游图上，它们之间的距离大约相当于（）.A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度7、如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，E，F在AD上，BE与CF 相交于点G，若AB=7，BC=10，则△EFG与△BCG的面积之比为（）A.4：25B.49：100C.7：10D.2：58、如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（）A.x=yB.3x=2yC.x=1，y=2D.x=3，y=29、如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD:AB=1:3，则△ADE与△ABC的面积之比是( )A.1:3B.1:4C.1:9D.1:1610、如图，△ABC中，DE∥AB，则下列式子中错误的是（）A. B. C. D.11、若3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（）A. B. C. D.12、△ABC与△DEF相似，且相似比是，则△DEF与△ABC的相似比是（）A. B. C. D.13、如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个三角形的面积比为（）A.2：3B. ：C.4：9D.9：414、如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A. B. C.D.15、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米 , CA=1米, 则树的高度为（）A.4.5米B.6米C.3米D.4米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，CE是▱ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四边形AFOE：S△COD＝2：3．其中正确的结论有________．（填写所有正确结论的序号）17、已知正方形ABCD的面积为9cm2，正方形EFGH的面积为16cm2，则两个正方形边长的相似比为________18、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且线段CD与AD之比为1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F，那么线段EF与EB之比等于________。

相似证明中的基本模型A 字形图①A 字型，结论：AD AE DE AB AC BC ==，图②反A 字型，结论：AE AD DEAC AB BC== 图③双A 字型，结论：DF BG EF GC =，图④内含正方形A 字形，结论AH a aAH BC-=（a 为正方形边长）IH G FED CB AGFEDC BAEDCB A ED C BA图① 图② 图③ 图④8字型图①8字型，结论：AO BO AB OD CO CD ==，图②反8字型，结论：AO BO AB CO DO CD==、四点共圆 图③双8字型，结论：AE DF BE CF=，图④A 8字型，结论：111AB CD EF += 图⑤，结论：EF EG =、AED BEC ABE CDE S S S S ⋅=⋅△△△△EFD C BA F ED C BAOD C BAODC BAGFED CB A图① 图② 图③ 图④ 图⑤一线三等角型结论：出现两个相似三角形HE DC B AE DC BAEDCBAC60°F E DCB AFED CB A图① 图② 图③ 图④角分线定理与射影定理图①内角分线型，结论：AB BD AC DC =，图②外角分线型，结论：AB BDAC CD= 图③斜射影定理型，结论：2AB BD BC =⋅，图④射影定理型，结论：1、2AC AD AB =⋅，2、2CD AD BD =⋅，3、2BC BD BA =⋅D C BD BCAEDB AD B A梅涅劳斯型常用辅助线G FEDCBAGFEDCBA G E DC B ADEFCBA四、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题． 常用的面积法基本模型如下：如图：1212ABC ACDBC AHS BCS CD CD AH ⋅⋅==⋅⋅△△． 图1：“山字”型H DC B A如图：1212ABC BCDBC AHS AH AO S DG OD BC DG ⋅⋅===⋅⋅△△． 图2：“田字”型G HODCBA如图：ABD ABD AED ACE AED ACE S S S AB AD AB ADS S S AE AC AE AC⋅=⋅=⋅=⋅△△△△△△．图3：“燕尾”型CDEB A考点一：相似三角形【例1】 如图，D 、E 是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，且AD AC ⋅=AE AB ⋅，求证：ADE B ∠=∠.EDCBA【答案】∵AD AC AE AB ⋅=⋅ ∴AD ABAE AC=∵DAE BAC ∠=∠∴DAE ∆∽BAC ∆∴ADE B ∠=∠ 【例2】 如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC ∆的面积是BDE ∆面积的4倍，6AC =，求DE 的长.ED CB A【答案】∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠ ∴ABD ∆∽CBE ∆∴BE BCBD AB=∵EBD CBA ∠=∠ ∴BED ∆∽BCA ∆∴11322DEDE AC AC===⇒== 【例3】 如图，ABC △中，60ABC ∠=︒，点P 是ABC △内一点，使得APB BPC CPA ∠=∠=∠，86PA PC ==，，则PB =________．PCBA【解析】120APB BPC ∠=∠=︒，60BAP ABP ABC ABP CBP ∠=︒-∠=∠-∠=∠，故ABP BCP △∽△，2PB PA PC =⋅．【例4】 如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠．HGFED CB A【答案】45︒ 【解析】连接DF 、CG ，则45EDF EBF DFB ∠=∠+∠=︒，若DFB EBG ∠=∠，则EBF EBG ∠+∠可求，问题的关键是证明BCG FDB △∽△．考点二：相似三角形与边的比例☞考点说明：可运用相似三角形模型，常用A 字形与8字形【例5】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ， 求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA MPED C BA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴CM PC BD PB =， ∵CM AB ∥，∴CEM AED ∆∆∽， ∴CM AD CE AE =， ∵BD CE =， ∴CM CM CE BD =， ∴PC AD PB AE=， ∴AD BP AE CP ⋅=⋅【例6】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE= PEDCBA4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥，∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BD CP CM =， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BD CP CE= 【例7】 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F .求证：3EF DE =.F NMED CBAK HF N MG ED CBA【答案】过M ，N 分别作AC 的平行线交AB 于H ，G 两点，NH 交AM 于K ，∵BM MN NC ==， ∴BG GH HA ==，易知12HK GM =，12GM HN =，∴14HK HN =，即13HK KN =，又∵DF HN ∥， ∴13DE HK EF KN ==，即3EF DE =. 考点三：相似三角形与内接矩形☞考点说明：内接矩形问题是相似三角形中比较典型的问题，考查了相似三角形对应高的比等于相似比【例1】 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案。

4.6 相似多边形1.以下多边形中，一定相似的是〔 D 〕A.两个平行四边形B.两个菱形C.两个矩形D.两个正方形2.两个相似多边形的一组对应边分别是3cm 和 4.5cm ，假如它们的面积之和是78cm2，那么较大的多边形的面积是〔 D 〕2 2 2 23.如下图的三个矩形中，相似的是〔 B 〕A.甲与乙B.乙与丙C.甲与丙D.甲、乙、丙都相似4.如下图的两个四边形相似，那么∠α等于〔A 〕°°°°5.如下图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE=1，AB=4，那么AD 等于〔 A 〕6.以下说法中，正确的选项是(C)A．所有的等腰三角形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的正六边形都相似D．所有的等腰梯形都相似111，那么边长缩小为原来的(B)7．把一个多边形改成和它相似的多边形，假如面积缩小为原来的31 3A.3B. 3C. 3D．38．四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似，且点A 与A1，B 与B1，C 与C1 是对应点，AB＝12，BC＝18，CD＝18，AD＝9，A1B1＝8，那么四边形A1B1C1D1 的周长为38．9．两个相似多边形的一组对应边分别为3 cm 和 cm，假如它们的面积之和为130 cm2，那么较小的那个多边形的面积是40cm2.10．如图，在一个长8 cm，宽4 cm 的矩形中截去一个矩形(阴影局部)，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为8cm2.11.假设两个相似多边形的面积比是16∶25，那么它们的相似比等于4∶5 .12.一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，那么它的最大边长为20 cm.第 1 页13.如下图，将一根铁丝分成两段，分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是1∶4，其中小五边形的边长为〔x2-4〕cm，大五边形的边长为〔x2+2x〕cm〔其中x＞0〕.求这根铁丝的总长.【解析】∵两个五边形相似，面积比是1∶4，∴相似比为1∶2.由题意得2〔x2-4〕=x2+2x，整理得x2-2x-8=0，解得x1=4，x2=-2〔舍去〕.∴铁丝长为12×5+24×5=180〔cm〕.14.如下图，矩形ABCD 能分成三个全等的小矩形，且每个小矩形都与矩形ABCD 相似，AD=1，求AB 的长.【解析】∵三个小矩形全等，∴DE=DC.∵每个小矩形都与矩形ABCD 相似，∴= ，即AB2=1，解得AB= ．∴AB 的长为．15.如下图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的间隔都相等，那么两个图形不相似的一组是〔 B 〕A. B. C. D.16.一个矩形ABCD 的较短边长为2.〔1〕如图1 所示，假如沿较长边对折后得到的矩形与原矩形相似，那么矩形ABCD 的另一边长为2 .〔2〕如图2 所示，矩形ABCD 的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF 后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，那么余下的矩形EFDC 的面积为 2 .图1 图2【解析】〔1〕设它的另一边长为 2x ，那么 AM=DM=x.∵矩形 ABNM 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 x=. ∴矩形 ABCD 的另一边长为 2. 〔2〕设 DF=a.∵余下的矩形 EFDC 与矩形 ADCB 相似， ∴= ，即=，解得 DF=1.∴矩形 EFDC 的面积为 2×1=2.17.如下图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，取 BC 边中点 E ，作 ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形 EDAF ，它的面积记做 S1.取 BE 中点 E1，作 E 1D 1∥FB ，E1F1∥EF ，得到四边形 E1D1FF1，它的面积记做 S2，照此规律作下去，那么 S 2021= 〔 〕2021 .【解析】∵∠C=90°，AC=BC=2，∴S =1×2×2=2. ∵点 E 为 BC 的点，ED ∥AB ，∴=〔 〕2= 1 1，∴S =1.∴S △CDE =2.同理可得 S △BEF =21 ∵E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，E 1 为 BE 中点，1 ∴四边形 E 1D 1FF 1 与四边形 EDAF 相似，相似比为 .∴=〔 〕2= .∴S 2= .. 同理可得 S 3=〔〕2. 由此规律可得 S 2021=〔〕2021．18.如下图，矩形 ABCD 的长 AB=30，宽 BC=20.〔1〕如图 1 所示，假设矩形 ABCD 内四周有宽为 1 的方形区域，图中所形成的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′ 相似吗？请说明理由.〔2〕如图 2 所示，当 x 为多少时，图中的两个矩形 ABCD 与 A ′B ′C ′D ′相似？图1 图2【解析】〔1〕不相似.理由：∵AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，而≠，∴矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′不相似.〔2〕假设矩形ABCD 与A′B′C′D′相似，那么=，∴①= 或②=，解①得，解②得x=9．∴当x=1.5 或9 时，图中的两个矩形ABCD 与A′B′C′D′相似.19.如下图，矩形AGFE∽矩形ABCD，AE，AD 分别为它们的最短边，点F 在AB 上，且3AE=2AD.〔1〕矩形ABCD 的面积为450cm2，求矩形AEFG 的面积.〔2〕求证：∠1=∠2.【解析】〔1〕∵3AE=2AD，∴= .∵矩形AGFE∽矩形ABCD∴相似比为= .∴面积的比为..∵矩形ABCD 的面积为450cm2，∴四边形AEFG 的面积为200cm2.〔2〕∵矩形AGFE∽矩形ABCD，∴∠DAB=∠EAG=90°，AE∶AD=AG∶AB.∴∠DAE+∠EAF=∠GAB+∠EAF.∴∠DAE=∠GAB.∵AE∶AD=AG∶AB，∴△ADE∽△ABG.∴∠1=∠2.20.菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1 相交于点O，以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1 所在直线为x 轴，y 轴，建立如下图的直角坐标系，以B1D1 为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2 为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2 为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2……按此规律继续作下去，在x 轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，那么点A n 的坐标为(3n－1，0)．【解】∵菱形A1B1C1D1 的边长为2，∠A1B1C1＝60°，∴∠A1B1O＝30°，∴OA1＝1，OB1＝3，∴点A1(1，0)．∵菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴∠B1C2D1＝∠A1B1C1＝60°，∴∠B1A2O＝30°，∴OA2＝3OB1＝3，∴点A2(3，0)．同理可得点A3(9，0)，A4(27，0)……∴点A n(3n－1，0)．21．过去有甲、乙两个庄主，甲庄主的土地面积大约是乙庄主的4 倍，土地的形状都接近正方形．有一天两个庄主打赌，乙庄主说：“我骑马绕自己的土地跑一周要 h，绕你的土地跑一周 h 足够．〞甲庄主不信，说：“假如你3.5 h 能跑回来，我这个庄园给你；假如你3.5 h 跑不回来，那么你的庄园归我．〞乙庄主说：“一言为定．〞然后就催马而去．你认为谁是成功者？【解】把两个庄园看做是相似多边形，面积之比约为4∶1，所以其相似比为2∶1，所以周长之比为2∶1，即甲庄主的庄园周长大约是乙庄主的庄园周长的2 倍，绕甲庄主的庄园的土地跑一周只要×2＝3(h)就差不多了．而3 h<3.5 h，所以乙庄主是成功者．22.在长为3、宽为1 的大矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行.〔1〕按如图1 所示放置时，两个小矩形的周长和〔两个小矩形重叠的边要重复计算〕为163〔2〕怎样放置才能使两个小矩形的周长和最大？在图2 中画出图形，其最大值为88/9. 图1 图2【解析】〔1〕设小矩形的宽为x.∵小矩形与大矩形相似，∴= ，解得x= .∴两个小矩形周长和为2×2〔1+ 〕= .〔2〕两个矩形的放置方式有如下几种:①如答图1 所示，两个小矩形都“竖放〞，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形边长分别为1 和，周长和的最大值为.图1②两个小矩形都“横放〞，有如下两种情况，如答图2，图3 所示.图2图3这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2〔a+3a〕+2［1-a+3〔1-a〕］=8.③两个小矩形一个“横放〞，一个“竖放〞，如答图4 所示.这时两个小矩形的周长和的最大值为: 2×(1+ )+2×图4〔第16 题答图〕∴如答图4 所示为所求，此时最大值为。