浙教版九年级上册第四章《相似三角形》经典题型归纳与总结(word版无答案)

EB CAD G B CAFE OB C DA 浙教版数学九年级上册第四章相似三角形第三节 两个三角形相似的判定【课本相关知识点】 相似三角形的几个判定：1、 的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

【补充】：平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交，所构成的三角形也与原三角形相似2、有 角对应相等的两个三角形相似。

3、两边 ，且 的两个三角形相似。

4、三边 的两个三角形相似。

【典型例题】【题型一】判断两三角形是否相似（利用相似三角形的判定定理）现在我们再也不需要利用两个三角形相似的定义来判断它们相似，因为那样做太繁琐了。

1、在△ABC 与△A 1B 1C 1中，（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4；A 1B 1=24.5，B 1C 1=17.5，C 1A 1=28本题可以根据 的两个三角形相似来判定。

这两个三角形 （填相似或不相似）【题型二】利用相似三角形求线段的长度1、如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M 。

若DB=9，求BM 的长【题型三】利用相似三角形证明线段比例式或等积式1、如图，四边形ABCD 内接于圆O ，E 为BA ，CD 延长线的交点。

（1）求证：△EDA ∽△EBC（2）求证：AD ﹒CE=BC ﹒AE【题型四】利用相似三角形解决实际生活问题1、如图所示，已知零件的外径为a ，要求出它的厚度x ，需先求出内径AB ，但又不能直接量出AB ，现有一个交叉卡（两条直尺长AC ＝BD ）去量，若1OC OD OA OB n==，且量得CD ＝b ，求厚度x ．【题型五】相似三角形中的“存在性”问题1、如图所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于点F ，连接FC （AB ＞AE ） （1）△AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设ABk BC=，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似．若存在，证明你的结论并求出k 的值；若不存在，说明理由。

初三相似三角形知识点与经典题型知识点 1 相关相似形的看法(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 若是两个边数同样的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比率线段的相关看法（ 1）若是采用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是a mbn ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要一致。

的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比率线段，（ ）在四条线段a, b, c, d 中，若是a 和b 的比等于c 和d 2简称比率线段． 注：①比率线段是有次序的， 若是说 a 是 b, c, d 的第四比率项， 那么应得比率式为：bd ．②在比率式ac(a ： bcac ： d)中，a 、d 叫比率外项， b 、c 叫比率内项 , a 、c 叫比率前项， b 、d 叫比率后b d此时有 b 2项， d 叫第四比率项，若是 b=c ，即a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比率中项， ad 。

（ 3）黄金切割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比率中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中AC5 1 AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为：长＝短＝5 1ABAC 2全 长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比率的性质（ 注意性质立的条件：分母不能够为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项 )cd（ 2） 更比性质 ( 交换比率的内项或外项) ：ac d()c ，交换外项b db ad b．同时交换内外项)ca（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b dac（ 4）合、分比性质：a c ab cd ．b d bd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比率仍建立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：若是ac e m(bdfn 0) ，那么 acem a ．b d fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样能够减少未知数的个数，这种方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母可否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比率线段的相关定理1. 三角形中平行线分线段成比率定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比率 .A由 DE ∥ BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 ADAE DB ECADEAABACDE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边, 而且和其他两边订交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理： 若是一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比率式证平行线 .③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线经常做平行线, 但应依照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比率定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比率 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,B E可得AB DE AB DE BC EFBC EFAB BCCFBC EF或DF或或AC 或DE 等.AC AB DE DFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 若是在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。

4．3 相似三角形1. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，若AB ＝3，A ′B ′＝1.2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是(B ) A. 25 B. 52 C. 57 D. 272．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，下列关于△ABC 与△A 2B 2C 2关系的结论正确的是(C )A ．全等B ．面积相等C ．相似D ．面积不相等3．已知△ABC ∽△DEF ，∠A ＝∠D ＝30°，∠B ＝50°，AC 与DF 是对应边，则∠F 等于(C )A ．50°B ．80°C ．100°D ．150°4．在平面直角坐标系中，已知点O (0，0)，A (0，2)，B (1，0)，点P 是反比例函数y ＝－1x图象上的一个动点，过点P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q .若以点O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OAB 相似，则符合条件的点P 共有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5. 已知△ABC 的各边之比为2∶5∶6，与其相似的另一个△A ′B ′C ′的最大边为18 cm ，那么△A ′B ′C ′的最小边为__6__cm.6. 已知△ACB 和△BDC 均为直角三角形，其中∠ACB ＝∠D ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，若两直角三角形相似，则BD 的长为14413或6013． 7．如图表示△AOB 和它缩小后得到的△COD ，它们的相似比为2∶1．,(第7题)) ,(第8题))8. 如图，点D 在AB 上，已知△ABC ∽△ACD ，AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，则AB 的长为__92__cm. 9．已知在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D ，E 分别在AB ，AC 上．如果以A ，D ，E 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，且相似比为13，求AD ，AE 的长．【解】 (1)如解图①.当△ADE ∽△ABC 时，有AD AB ＝AE AC ＝13， 即AD 8＝AE 6＝13，∴AD ＝83，AE ＝2. ,(第9题解))(2)如解图②.当△ADE ∽△ACB 时，有AE AB ＝AD AC ＝13， 即AE 8＝AD 6＝13，∴AE ＝83，AD ＝2.∴AD ，AE 的长分别是83，2或2，83.(第10题)10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AD ，DC 上，△ABE ∽△DEF.若AB ＝6，AE ＝6，DE ＝3，求EF 的长．【解】 ∵△ABE ∽△DEF ，∴AB DE ＝AE DF ，即63＝6DF，解得DF ＝3. ∵∠D ＝90°，∴EF ＝ED 2＋DF 2＝32＋32＝3 2.11. 已知△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的三边长分别为2cm ，3cm ，4cm ，△DEF 的一边长是8cm ，求△DEF 其余两边的长．【解】 设△DEF 其余两边的长分别为x (cm)，y (cm)，且x ＞y . 由△ABC ∽△DEF ，①当△DEF 的最大边为8 cm 时，有48＝3x ＝2y，得x ＝6，y ＝4. ②当△DEF 的最小边为8cm 时，有4x ＝3y ＝28，得x ＝16，y ＝12. ③当△DEF 的最大边或最小边均不为8cm 时，有4x ＝38＝2y ，得x ＝323，y ＝163. 综上所述，△DEF 其余两边分别是6cm 和4cm 或16cm 和12cm 或323 cm 和163cm. 12. 若△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，则△ABC 与△A 2B 2C 2是否也相似？请说明理由．【解】 相似．理由如下：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，∴∠A ＝∠A 1，∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 1， 且AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CA C 1A 1. 又∵△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2.∴∠A 1＝∠A 2，∠B 1＝∠B 2，∠C 1＝∠C 2，且A 1B 1A 2B 2＝B 1C 1B 2C 2＝C 1A 1C 2A 2. 设A 1B 1A 2B 2＝B 1C 1B 2C 2＝C 1A 1C 2A 2＝k ， ∴A 1B 1＝kA 2B 2，B 1C 1＝kB 2C 2，C 1A 1＝kC 2A 2.∴∠A ＝∠A 2，∠B ＝∠B 2，∠C ＝∠C 2， 且AB kA 2B 2＝BC kB 2C 2＝CA kC 2A 2，即AB A 2B 2＝BC B 2C 2＝CA C 2A 2. ∴△ABC 与△A 2B 2C 2的对应角相等，对应边成比例，∴△ABC ∽△A 2B 2C 2.13．如图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝30°，∠B ′＝60°，AB ＝4，AC ＝2 3，A ′C ′＝4 3，B ′C ′＝4.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.,(第13题)) 【解】在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝2 3，∴BC＝AB2－AC2＝2.在Rt△A′B′C′中，∵A′C′＝4 3，B′C′＝4，∴A′B′＝A′C′2＋B′C′2＝8.∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.同理，∠A′＝30°.∴∠A＝∠A′＝30°，∠B＝∠B′＝60°，∠C＝∠C′＝90°，ABA′B′＝ACA′C′＝BCB′C′＝12，∴△ABC∽△A′B′C′.初中数学试卷。

可编辑修改精选全文完整版《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质E BD DB C(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

相似三角形要点一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）： b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

二、有关知识点：1.相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：类型斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SASSSS AAS （ASA ） HL 相似三角形的判定 两边对应成比例夹角相等 三边对应成比例 两角对应相等一条直角边与斜边对应成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。

(2)相似三角形的对应边成比例。

(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

(4)相似三角形的周长比等于相似比。

(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2三、注意1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ X ”型。

相似三角形的判定（一）知识点1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例：知识点2：平行三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的线段成比例；知识点3：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.（1）A型：如图1，ED∥BC，则△ADE∽△ABC.（2）8字型：（或漏斗型）如图2，ED∥BC，则△ADE∽△ACB.（3）A型线簇型：如图3，ED∥BC，则DF：FE=BM：MC；DF：FG：GE=BM：MN：MC（4）8字型（或漏斗型）线簇型如图4，AB平行CD，则AE：EB=CM：MD; AF：FE：EB=CN：NM：MD（5）三角形内接矩形：如图5，四边形DEFG为矩形，AN⊥BC与点N，则AM：AN=DE：BC;若四边形ABCD是正方形，则有1BG+1CG=1GF（6）三平行型：如图6，已知AB∥EF∥CD，1AB+1CD=1EF；1S△ABC+1S△BCD=1S△BCF图4图5图6图1图2图3【课堂巩固提升】1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，P 是线段DE 边上的任意一点（不与点D ，E 重合），连接AP 并延长交BC 于点Q .若BQ =5，CQ =4，DE =6，则DP =2. 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段DO 上，OE ：DE =3：2，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC3. 如图，点D ,G 分别在△ABC 的边AC ，AB 上，AD ：CD =2：3，BG =4AG .延长GD 与BC 的延长线交于点F ，作AE ∥BC 交DG 延长线于点E ，则BC ：BF4.如图，在△ABC 中，在BC 边上取一点P ，使得BP ：PC =2：5，点Q 是AC 的中点，AP ，BQ 相交于点R ，则AR ：RP5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是线段AD 上的一点，AF ：FD =1：5，连接CF ， 并延长交AB 于点E ，则AE ：EB6. 如图，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，则AF ：AE7. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，AD ⊥BC 于点D ，点E 在线段AD 上且DE =2AE ，连接BE 并延长交AC 于点F ，则线段AF 的长为第2题第3题第1题8.如图，在△ABC中，中线AD与角平分线BE交于点G，且AD⊥BE，AD=BE=10，则AC9.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，AD=EC，BD=1，AE=4，BC=5，则DE=10.如图，在△ABC中，点D在AB上，AD=3BD，作DE∥BC，交AC于点E，点M在线段DE上，DM：EM=3：2，CM交AB于点N，则BD：ND11.如图，AD是△ABC的中线，点E在线段AD上，AE=3DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：AC12.如图，在RT△ABC中有一正方形DEFG，点D在斜边AC上，EF在边AB上，连接AB 并延长，分别交DE，BC于点M，N，AB=4，BC=3，EF=1则BN=13.如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，AB=10，EF=4，则CD=第16题第17题图 第18题图14. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥PC 于点D ，已知PC =6，PB =3，则PD15.如图，在△ABC 中，底边BC 上的两点E ，F 把BC 分成三等分，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别交BM 于G ，H 两点，则BG ：GH ：HM16.如图，已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AC 交BD 于点O ，过点O 作EF ∥CD 交AB 于点E ，交CD 于点F ，EF =10，则1AB + 1CD =17.如图，已知P 为△ABC 的中位线MN 上的任意一点，BP ，CP 的延长线分别交对边AC ，AB 于点D ，E ，则AD DC + AE AB =18.如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，AD 是角平分线，AE 是中线，作BF ⊥AD 于点G ，交AE于点F ，交AC 于点M ，EG 延长线交AB 于点H ，则AH BH =19.AD 是△ABC 的角平分线，AB =8，AC =6，当∠BAC =120°，AD = ，当∠BAC =90°，AD = ，当∠BAC =60°，AD =20.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 到点F ，使CF =12BC ,连接FE 并延长交AB 于点M ，若BC =a ，则△FMB 的周长为21.如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 分别交AC ，BC 于点D 、E ，过点E 作⊙O 的切线EF 交AC 于点F ，连接BD .求证：EF 是△CDB 的中位线.22.在△ABC 中，直线DN 平行于中线AF 交AB 于点D ，，交CA 延长线于点E ，交边BC于点N .求证：AD AB = AE AC23.正方形ABCD 中，以AB 为边向外作等边△ABE ，连接DE 交AC 于点F ，交AB 于点G ，连接BF . 求证：(1)AF +BF =EF(2) 1AF +1BF =1GF24.如图，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD的对角线AC，BD的交点，连接DG，DG⊥BD，正方形ABCD的边长为5，线段AD与线段OC相交于点M，AM=1，求正方形OEFG的边长.。

4．5 相似三角形的性质及其应用1．两个相似三角形的对应高线之比为1∶2，那么它们的对应中线之比为(A)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶82．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则△ABC与△DEF对应角平分线之比为(B) A．2∶1 B．1∶2C．1∶4 D．4∶1(第3题)3．如图，已知点D是△ABC的重心，则下列结论不正确的是(B)A．AD＝2DEB．AE＝2DEC．BE＝CED．AE＝3DE4．如果两个相似三角形的对应角平分线之比是2∶3，那么它们的对应高线之比是2∶3．5. 已知两个相似三角形的相似比是1∶4，那么它们的对应高线之比是__1∶4__．6. 若两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别为70°和60°，则另一个三角形的最大内角和最小内角分别是70°，50°．7. 若一个三角形三边之比为3∶5∶7，一个与之相似的三角形最长边的长为21 cm，则其余两边长的和为24cm.8．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由点B出发沿BA方向向终点A匀速运动，速度为1 cm/s；同时点Q由点A出发沿AC方向向终点C匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ，设点P，Q运动的时间为t(s)(0＜t＜2)，当以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似时，求t的值．(第8题)【解】 在Rt△ACB 中， ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.由题意，得BP ＝t ，AQ ＝2t ，∴AP ＝5－t . ∵∠A ＝∠A ，∴分两种情况： ①若△APQ ∽△ABC, 则AQ AC ＝AP AB ，即2t 4＝5－t 5， 解得t ＝107.②若△AQP ∽△ABC ， 则AQ AB ＝AP AC ，即2t 5＝5－t 4， 解得t ＝2513.∴当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似时，t 的值为107或2513.9．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，则DF ＝10或15． 【解】 ∵∠A ＝∠E ，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6，EF ＝12，△ABC 与△DEF 相似， ∴EF AB ＝DF CB 或BC DF ＝AC EF， 即124＝DF 5或5DF ＝612， 解得DF ＝15或10.(第10题)10．如图，点G 是等边△ABC 的重心，过点G 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点D ，E ，点M 在BC 边上．如果以点B ，D ，M 为顶点的三角形与以点C ，E ，M 为顶点的三角形相似(但不全等)，那么S △BDM ∶S △CEM2或2【解】 ∵点G 是等边△ABC 的重心，DE ∥BC ， ∴AB ＝BC ＝AC ，∠B ＝∠C ＝60°，BD AB ＝CE AC ＝13， ∴BD ＝13AB ，CE ＝13AC ，∴BD ＝CE .当△BDM ∽△CME 时， 则有BD CM ＝BMCE.设BD ＝a ，CM ＝x ，则CE ＝a ，BC ＝3a ，BM ＝3a －x .∴a x ＝3a －x a ，解得x ＝3±52a . 当CM ＝3－52a 时，BM ＝3＋52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7＋3 52.当CM ＝3＋52a 时，BM ＝3－52a ，∴S △BDM ∶S △CEM ＝BM ∶CM ＝7－3 52.当△BDM ∽△CEM 时， 则有BD CE ＝BM CM ＝DMEM＝1，此时△BDM ≌△CEM ，与题意不符．综上所述，S △BDM ∶S △CEM ＝7＋3 52或7－3 52.11．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，AB ＝8.(1)求线段GC 的长；(2)过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于点M ，交BC 于点N ，求MN 的长．,(第11题))【解】 (1)延长CG 交AB 于点D. ∵点G 是△ABC 的重心， ∴CD 为AB 边上的中线，CG ＝23CD.又∵∠C＝90°，∴CD ＝12AB ＝4，∴CG ＝23CD ＝83.(2)∵MN ∥AB ， ∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN AB ＝MC AC . 同理，可证△CMG ∽△CAD ， ∴MC AC ＝CG CD ， ∴MN AB ＝CG CD ＝23， ∴MN ＝23AB ＝163.(第12题)12．已知△ABC(如图所示)． (1)在图中作出△ABC 的重心O ；(2)设BC ，AC ，AB 边的中点分别为M ，N ，G ，度量OM 和OA ，ON 与OB ，OG 与OC ，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间有何关系，并证明．【解】 (1)用尺规作图作出△ABC 三边的中线AM ，BN ，CG ，设它们的交点为O ，则O 为△ABC 的重心(作图略)．(2)通过度量发现：OA ＝2OM ，OB ＝2ON ，OC ＝2OG.猜想：三角形的重心到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．(第12题解)证明：如解图所示，分别取OB ，OC 的中点K ，H ，连结KH ，HN ，NG ，GK ，如解图． ∵G ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴GN 平行且等于12BC ，同理，KH 平行且等于12BC ，∴GN 平行且等于KH.∴四边形KHNG 是平行四边形， ∴OK ＝ON. ∵BK ＝OK ， ∴OB ＝2ON.同理，OA ＝2OM ，OC ＝2OG.13．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：(1)若O 是△ABC 的重心(如图①)，连结AO 并延长交BC 于点D ，求证：AO AD ＝23；(2)若AD 是△ABC 的一条中线(如图②)，O 是AD 上一点，且满足AO AD ＝23，那么O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若O 是△ABC 的重心，过点O 的一条直线分别与AB ，AC 交于点G ，H(均不与△ABC 的顶点重合)(如图③)，S 四边形BCHG ，S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，求S 四边形BCHGS △AGH的最大值．(第13题)(第13题解①)【解】 (1)连结CO 并延长，交AB 于点E ，如解图①. ∵点O 是△ABC 的重心，∴CE 是AB 边上的中线，点E 是AB 的中点． ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AC ，且DE ＝12AC.∴△AOC ∽△DOE ， ∴AO DO ＝ACDE＝2，∴AO ＝2DO.(第13题解②)∵AD ＝AO ＋DO ＝3DO ， ∴AO AD ＝23. (2)点O 是△ABC 的重心．证明如下：过点C 作△ABC 的中线CE 交AB 于点E ，交AD 于点Q ，则点Q 为△ABC 的重心，如解图②.由(1)知AQ AD ＝23，又∵AO AD ＝23，∴点Q 与点O 重合， ∴点O 是△ABC 的重心．(第13题解③)(3)连结DG ，如解图③. 设S △GOD ＝S.由(1)知AO AD ＝23，即OA ＝2OD ，∴S △AOG ＝2S ，S △AGD ＝S △GOD ＋S △AGO ＝3S. 不妨设AG ＝1，BG ＝x. ∵S △BGD S △AGD ＝x1，S △AGD ＝3S ， ∴S △BGD ＝3xS.∴S △ABD ＝S △AGD ＋S △BGD ＝3S ＋3xS ＝(3x ＋3)S ， ∴S △ABC ＝2S △ABD ＝(6x ＋6)S.设OH ＝k·OG，由S △AGO ＝2S ，得S △AOH ＝2kS ， ∴S △AGH ＝S △AGO ＋S △AOH ＝(2k ＋2)S.∴S 四边形BCHG ＝S △ABC －S △AGH ＝(6x ＋6)S －(2k ＋2)S ＝(6x －2k ＋4)S. ∴S 四边形BCHG S △AGH ＝（6x －2k ＋4）S （2k ＋2）S ＝3x －k ＋2k ＋1.① 过点O 作OF∥BC 交AC 于点F ，过点G 作GE∥BC 交AC 于点E ，如解图③，则OF∥GE. ∵O F∥BC， ∴OF CD ＝AO AD ＝23， ∴OF ＝23CD ＝13BC.∵GE ∥BC ，∴GE BC ＝AG AB ＝1x ＋1， ∴GE ＝BCx ＋1；∴OF GE ＝13BC BC x ＋1＝x ＋13. ∵OF ∥GE ， ∴OH GH ＝OF GE ＝x ＋13， ∴OH OG ＝OH GH －OH ＝x ＋12－x， ∴k ＝x ＋12－x.将k ＝x ＋12－x代入①式，得S 四边形BCHG S △AGH ＝3x －k ＋2k ＋1＝3x －x ＋12－x ＋2x ＋12－x＋1＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54， ∴当x ＝12(即BG ＝12AG)时，S 四边形BCHG S △AGH 有最大值，最大值为54.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

最新最新浙教版初中九年级《数学》上册第四章复习知识点考点重难点要点综合归类整理复习梳理汇总汇编精品复习资料精品精编精选超级完整版完美版打印版4. 相似三角形4.1. 比例线段比例有如下基本性质：()0,,,a 都不为d c b a bc ad dc b =⇔=两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。

四条线段a,b,c,d 中，如果a 和b 的比等于c 与d 的比，即dc b =a ，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段。

如果三个数a,b,c 满足比例式()c b b cb b ::a a ==或，那么b 就叫做a,c 的比例中项。

cb b a ac b =⇔=2如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP>PB ，且ABAP AP PB =，那么称线段AB 被点P 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP 与整条线段AB 的比叫做黄金比。

4.2. 由平行线截得的比例线段两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。

4.3. 相似三角形相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

4.4. 两个三角形相似的判定平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

有两个角对应相等的两个三角形相似。

两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。

三边对应成比例的两个三角形相似。

4.5. 相似三角形的性质及其应用三角形的三条中线相交于一点。

三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。

初三数学?相似三角形?知识大纲( 孟老师归纳 )一：比率的性质及平行线分线段成比率定理〔一〕相关看法： 1. 两条线段的比：两条线段的比就是两条a mb n线段长度的比在同一长度单位下两条线段a，b 的长度分别为 m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n；其中a叫做比的前项，b叫做比的后项2：比率尺 = 图上距离／实质距离3：成比率线段：在四条线段 a，b，c，d 中，若是其中两条线段的比等于别的两条线段的比，那么这四条线段叫做成比率线段，简称比率线段，记作：b da c〔或 a：b=c：d〕①线段 a，d 叫做比率外项，线段b，c 叫做比率内项，②线段 a 叫首项， d 叫 a，b，c 的第四比率项。

③比率中项 : 假设a b即b2 a c那么 b是 a c 的比率中项.b c,,〔二〕比率式的性质1. 比率的根本性质 : ac ad bc b d2.合比：假设a c，a b c d或a cb d b d b a d c等比：假设ac e⋯⋯m k〔假设 bd f⋯⋯n 0〕3.b d f nac e⋯⋯m a m k⋯⋯b d f n b n4、黄金切割：页脚内容和 BC 的比率中项，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中 AC= 5 1，2( 三) 平行线分线段成比率定理1. 平行线分线段成比率定理 : 三条平行线截两条直线 , 所得的对应线段成比率 .如图：当 AD ∥BE ∥CF 时，都可获取= . = ，= ，语言描述以下：= ， = ， = .〔4〕上述结论也适合以下情况的图形：图〔 2〕图〔 3〕 图〔 4〕图〔 5〕2. 推论 : 平行于三角形一边的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 .DEl 1 DEAl 1AADEl 2A l 2DEl 3l 3B CBCBCB CA 型X 型由 DE∥BC可得：ADAE或 BD EC或AD AE . DB ECAD EAAB AC3.推论的逆定理：若是一条直线截三角形的两边 ( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：假设=.=，=，那么AD∥BE∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法, 即：利用比率式证平行线 . 4.定理 : 平行于三角形的一边 , 而且和其他两边订交的直线 , 所截的三．角形的三边与原三角形三边对应成比率 .．．．．．．．．．．．二：相似三角形：〔一〕：定义：1：对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相似三角形。