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弹性力学-第三章 应变分析

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弹性力学_第三章_应变状态分析

弹性力学_第三章_应变状态分析

第三章应变状态分析知识点位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。

因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。

由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。

对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。

因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。

这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。

当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。

应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。

假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。

这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。

在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。

二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。

§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位臵将发生变化，就是产生位移。

这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。

变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。

弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。

由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。

弹性力学_第三章应变.ppt

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v
B"
B
u u dx x
线素AB的转角为： BB tg AB
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
AB、AD的正应变 x 、 y ：
C'
D" D '
D C
dy
u
A
A'

B'
v v dx x
v
B"
B
u u dx x
dx 0 图 2-5
x
线素AB的正应变为： u (u dx)u u x x dx x 同理，AD的正应变为： v (v dy) v v y y dy y

§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。

弹性力学课件第三章应变理论

弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。

弹性力学_第三章 应变

弹性力学_第三章 应变

§3-1 变形与应变概念
z A R u r A'
y x
u(x、y、z) = rx Rx v(x、y、z) = ry Ry w(x、y、z) = rz Rz
由于外部因素作 用（荷载或温度改 变等）引起物体内 部各质点位置的改 变称位移。 物体内任意一点 的位移，用它在x、 y、z三个坐标轴上 的投影u、v、w来 表示。以沿坐标轴 正方向的为正。
x
A dx 0
图 2-5
v u xy x y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况
u x x
v y y
v u xy x y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
变形的度量——应变
外力作用下，物体各点发生位移，但是某点位移的大 小并不能确定该处应力的大小，它与物体的整体约束有关。
应变反映局部各点相对位置的变化，与应力直接相关，变
形体力学中弹性力学对这种关系作了最为简化的假设，在 各向同性线弹性的条件下，弹性常数只有两个。 1、正应变 2、切应变
x
xy
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。

第三章：弹性力学-应变分析

第三章：弹性力学-应变分析



o
x
2 2
略去高阶项
s s 2( sxsx s ys y )
根据
s s 2( sxsx s ys y )
2
2
s x
s y
u u sx sy x y
v v sx s y x y
sxsx sysy 0
u v u v sx x sx y s y sy x sx y s y 0
u 2 u v v 2 sx sx s y s y 0 x y y x
由于 sx 、sy 的任意性，
u v 0 x y
u v 0 y x
同理，当在oyz和oxz平面讨论时，可得
u w w v w 0 0 z x y z z
' 0
另外，由
s sx sx s sy sy
' x
' y
可知，矢量s’相对s的变化量为
sx = s sx
' x
' ' ( x ' x ) ( x x ) ( x ' x ) ( x = = 0 0 0 x0 )
' ' y0 ) s y = s 'y s y = ( y' y0 ) ( y y0 ) = ( y' y) ( y0
对应于刚体转动的相对位 移张量，必为反对称张量。 任何一个二阶张量都可以唯 一分解成一个对称张量和一 个反对称张量 纯变形
ui , j u j ,i
反对称部分
ui, j
1 1 (u i , j u j , i ) (u i , j u j , i ) 2 2

弹性力学_3-应变分析

弹性力学_3-应变分析

相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况， 相对位移张量反映了一点相对位移的总体情况，既包含 了因刚体位移产生的相对位移， 了因刚体位移产生的相对位移，又包含了因变形位移产生的 相对位移； 相对位移； 相对位移张量一般为非对称张量。 相对位移张量一般为非对称张量。
二. 转动张量
设 PA = ds , PA1 = ds1 1 若为刚体位移， 若为刚体位移，则 ds = ds1
z A
r u′ r u
A1
(ds)2 = (dx1)2 + (dx2 )2 + (dx3 )2 = dxi dxi (ds1)2 = (dxi +δui )(dxi +δui ) ≈ dxi dxi + 2δuidxi
∴ δui dxi = 0 ⇒ dxui, j dxj = 0 i
展开
x O
P
P1 y
1. 体积应变 由正交三线元可构成一微元体， 由正交三线元可构成一微元体， 考察变形前后微元体体积的变化。 考察变形前后微元体体积的变化。 变形前微元体体积 变形后微元体边长
x P z
t dz
dy s
r
O
dx
y
1 1 ∂w ∂v ε23 = ε32 = γ yz = + 2 2 ∂y ∂z
∂w ε33 = εz = ∂z
应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 应变张量分量与工程应变的原始定义完全相同， 工程切应变是角应变分量的2 但工程切应变是角应变分量的2倍，故一点应变状态可 由应变张量描述 几何方程可表示为
∂u3 ∂u1 ∂u2 dx1dx1 + dx2dx2 + dx3dx3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂u3 ∂u1 ∂u1 ∂u2 ∂u2 ∂u3 +( + )dx1dx2 + ( + )dx2dx3 + ( + )dx3dx1 = 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 ∂x2 ∂x1 ∂x3

弹性力学 复习资料(全) 同济大学


第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
第八章 平面问题的极坐标解答
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
4
同济大学 弹性力学复习资料
1150899 陈力畅
第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
第六章

西南交通大学杨帆XXXSB弹性力学第三章


平面应力问题的几何方程和位移

空间几何方程
w u w v w zx 0 zy 0 z ( x, y ) x z y z z u v v u x ( x, y ) y ( x, y ) xy ( x, y ) x y x y
平面应力问题的应力

板面的力学边界条件
t z : 2
Tx 0 Ty 0 Tz 0
zx 0 zy 0 z 0

因为板很薄，假设：板面的零应力在板内部也为零，非零 应力沿板厚不变化 t t zx zy z 0
2 z 2 :
x x ( x, y ), y y ( x, y ), xy xy ( x, y )
x
w 0 x w u zx 0 x z w v yz 0 y z
z

独立位移和应变 u ( x, y ), v( x, y ), x ( x, y ), y ( x, y ), xy ( x, y ) 独立几何方程
平面应变问题的物理方程和应力
2
1 2 独立物理方程 x E
xy 2(1 ) xy xy E
平面应变问题的平衡方程
x ( x, y ) yx ( x, y ) zx 2 u ( x, y ) Fx x y z t 2 xy ( x, y ) y ( x, y ) zy 2 v ( x, y ) Fy x y z t 2 xz yz z ( x, y ) 2w Fz 2 x y z t
平面应变问题的位移、应变和几何方程

所有横截面都是对称平面 对称面的法向位移为零 w 0

弹性力学-第三章 应力张量 应变张量-1


上述方程为
的齐次线性方程组， 且常数项都为
零。因为：
，故
不能同时为零，
所以方程组的系数行列式应为零，即
将行列式展开，得到求解主应力 的三次方程，称为 应力张量 的特征方程。
式中
设特征方程的三个根为 展开后有
比较上两式，有
，则 （特征方程）
对一个给定的应力状态，其主应力的大小和方向是确定的，
球形张量应力（静水应力）作用下，物体只产生各向 相同的线应变而无剪应变。对应物体的体积改变，而形状 不变。
应力偏量代表各面正应力中偏离静水应力的量，是正应力 之和为零的应力状态。该应力状态下，物体的体积不改变 而形状改变。
静水压力实验研究表明，在均匀受力情况下，即使应力达到 很大值，材料也不产生塑性变形。 故：应力球形张量不产生材料的塑性变形； 应力偏量是产生塑性变形的真正原因。
对应于经过主轴之一，而平分其他两主轴夹角（与主平面成45°）的 平面，
设
，最大剪应力为：
（2）两主应力相等，设 由第二式，得
方程的解为
表示通过oz轴的平面，该组平面上，剪应力为零。
表示任一个与圆锥面相切的微分面。在该组 面上剪应力取最大值。
（3）三个主应力相等
空间任一方向都为主方向，即任一平面都是主平面， 剪应力均为零。
应力偏量也是一种应力状态，同样存在着不变量。
用
表示。
式中：
问：是否存在一特定的斜截面，其上应力矢量T与截 面法线同向。即T为该截面上的正应力 ，
而剪应力为零。
设斜截面法线方向余弦为： 应力矢量T在坐标轴上的投影为：
由斜面应力(Cauchy)公式
故 或 将上式展开
当斜面法线方向满足上述方程时，该斜面上只有正应 力，没有剪应力，称该平面为主平面；主平面上的正 应力称为主应力；主应力方向（即主平面法线方向） 称为主方向。

《弹塑性力学》第三章 应变分析

ij 分量之间必须满足一定的条件（方程），才 能由几何方程积分求出单值连续的位移场ui、
ij的分量必须满足的方程称为变形协调方程
或相容方程。
2021/7/9
22
§3-5 变形协调条件（相容条件）
变形协调方程共有六个，可由几何方程直 接导出。即：
2x22112x12222x221x21
11
u1 x1
2021/7/9
33
问题？
P x1
x2
23
5
§3-2 应变张量和转动张量
应变张量和转动张量是描述一点变形 和刚体转动的两个非常重要的物理量，本 节将讨论一下它们与位移之间关系，在讨 论之前，先介绍一下相对位移矢量和张量.
2021/7/9
6
§3-2 应变张量和转动张量
2.1 相对位移矢量和相对位移张量
PQ 平 移P'Q'' 伸 长 ＋ P 转 'Q 动 '
djxejdr——(b)
将（b）式代入（a）式，得
2021/7/9
8
§3-2 应变张量和转动张量
duui,jeiejdr
根据商法则 duUdr
令
U u i,je iej U ie jiej
为一个二阶张量——相对位移张量
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9
§3-2 应变张量和转动张量
2.2 应变张量和转动张量
相对位移张量 ui,j 包含了变形和刚体转动， 为了将两者分开，对 ui,j 进行整理，张量分成 对称和反对称张量之和。
U ij u i,j1 2 (u i,j u j,i) 1 2 (u i,j u j,i)
或 Uijui,j ijij
2021/7/9
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d~r dr ndr
dr%2
(dr
ndr)2
(1 2n
2 n
)dr
2
(1 2n )dr2
第三章 应变分析 §3-2 变形状态和应变张量
n n ε n ijninj
(3.9)
已知张量ε,就可求出任意方向微线段的相对伸长
B,两无穷短线段间夹角的变化
P点,矢径 r
~r
A点,矢径 r+dr1
则
dr%1 dr%2 (dr1 u dr1) (dr2 u dr2 )
=dr1 dr2 dr2 u dr1 dr1 u dr2 (u dr1) (u dr2)
=dr1 dr2 dr1 (u u) dr2 dr1 (u u) dr2
=dr1 dr2 2dr1 G dr2
§3-2 变形状态和应变张量
如果在某一点处,任意无穷短线段的长度变化能确定, 任意两条不同方向无穷短线段间夹角的变化能确定, 则这一点的变形状态也就能完全确定
A,无穷短线段 长度的变化
P点,矢径 r A点,矢径 r+dr
A dr Pu
u du A
dr方向的单位矢量 n niei
dr ndr
PA
~r d~r1
A
B点,矢径 r+dr2
B
~r d~r2
A
B P点位移
u
dr1 dr2 dr1 dr2
A点位移 B点位移
u u dr1 u u dr2
P
P
图3.3
dr%1 dr1 u dr1
dr%2 dr2 u dr2
(b)
第三章 应变分析 §3-2 变形状态和应变张量
第三章 应变分析 §3-2 变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 uu
式(3.6) 为
其中
dr%2 (1 2n ε n)dr2
1 2
(u
u)
(3.7) (3.8a)
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
几何方程
(3.8b)
εn表示n方向的无穷短线段的相对伸长即正应变
n
dr% dr dr
第三章 应变分析 §3-2 变形状态和应变张量
(1 1)(1 2 ) cos% cos 2nG m
利用小变形,并记 ~ 及下式
(3.10)
cos% cos( ) cos cos sin sin sin cos
(3.10)变为
sin (1 2 ) cos 2n ε m 2ijnimj (3.11)
故有
1
u x
J (x%, y%, z%) (x, y, y)
v x
w
x
u y
1
v y
w y
u z
0 v
z
1 ui,i ui, j 的高阶项
1
w z
(3.2)
由数学分析可知 xi xi (~x , ~y, ~z )
(3.3)
单值性说明V中的两个不同点不会变成 V~中的一个点
第三章 应变分析 §3-2 变形状态和应变张量
2
ij
1 2 (ui, j
二阶对称张量
u j,i )
ij
ji
正应变分量 11 x , 22 y ,33 z
剪应变分量 12 xy, 23 yz,31 zx
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
展开
x
u x
,
y
v y
,
z
w z
,
xy
1 2
( u y
v ) x
yz
关系式 dr udr dr udr
引入二阶对称张量G
G
1 2
(u
u
u
u)
Gij
1 2
(ui,
j
u j,i
uk,iuk, j )
则式(a)为
(a)
(3.5a) (3.5b)
dr%2 dr2 2dr G dr (1 2nG n)dr2 (3.6)
dr的长度变化完全由张量G确定。 G被称为Lagrange （拉格朗日）应变张量。在分析大变形问题时，会用到 Lagrange应变张量。
(c)
单位矢量 n,m
A
B
dr1, dr2 相对伸长
A
B
1, 2
dr1 dr2 dr1 dr2 dr%1 dr%2 dr%1dr%2 cos% (1 1)(1 2 )dr1dr2 cos%,
P
P
dr1 dr2 dr1dr2 cos, dr1 ndr1, dr2 mdr2
图3.3
将上式代入(C)
r
r
O
或 ~xi xi ui (3.1b)
图3.1 u, v, w 表示u的分量
第三章 应变分析 §3-1 位移场
u1 u, u2 v, u3 w
u是定义在V中的一个矢量场,即位移场.由连续性假定
~xi (x, y, z), ui (x, y, z) 必须是单值连续函数
假定ui有连续的三阶偏导数,由小变形假定 ui, j 1
弹性力学 主讲 邹祖军 第三章 应变分析
第二章 应变分析
§3-1 位移场 §3-2 变形状态和应变张量 §3-3 应变张量的进一步解释 §3-4 微元体的刚体转动 §3-5 主应变 §3-6 体积应变 §3-7 微小球体的变形 §3-8 应变协调方程 §3-9 球应变张量和偏应变张量
第三章 应变分析 §3-1 位移场
若dr1和dr2垂直 90
2ijnim j
(3.12)
张量包含了变形的全部信息,称为Cauchy应变张量
1 2
(u
u)Leabharlann (3.8a)ij1 2
(ui
,
j
u j,i )
几何方程
(3.8b)
第三章 应变分析 §3-3 应变张量的进一步解释
§3-3 应变张量的进一步解释
由下式可知
1 (u u)
P~A~
dr dr du
dr% dr du dr (u)dr (3.4)
P
图3.2 dr%2 dr%dr% (dr udr)(dr udr)
第三章 应变分析 §3-2 变形状态和应变张量
dr dr 2dr (u) dr (u dr) (u dr)
dr2 dr (u u) dr dr (u u) dr
§3-1 位移场
刚体位移:若物体各点发生位移后,仍保持各点间的初始 相对距离,那么物体实际上只发生了刚体移动和转动.
变形:若物体各点发生位移后, 改变了各点间的初始相对 距离,那么物体除发生刚体位移外,形状也产生了变化.
如图,物体内P点的位置可用向径表示
P~
r~rx~xieiei i
V
Vu
P
P
P点到 P~ 点的位移u u uiei 则: ~r r u (3.1a)
1 2
( v z
w) y
(3.13)
zx
1 (w 2 x
u ) z
第三章 应变分析 §3-3 应变张量的进一步解释