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弹性力学第三章

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弹性力学第三章

弹性力学第三章

of a rectangular plate in pure shear. P37
Fig.3.1.1(b)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
Hale Waihona Puke 11D. =bxy , X=0, Y=0
• 满足相容方程 4 =0
• 由下式求出应力分量 x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
Chapter 3 solution of plane problems in rectangular coordinates
第三章 平面问题直角坐标解答
3.1 solution by polynomials 3.1 多项式解答
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
1
Review: Inverse method 逆解法
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
9
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
10
D. =bxy , X=0, Y=0
• It satisfies the compatibility equation 4 =0
• find the stress components by x=2/y2=0 y= 2/x2=0 xy=-2/xy=-b
u/x =My/(EI) u=Mxy/(EI)+f(y) v/y = -My/(EI) v= -My2/(2EI)+g(x) u/y+v/x=0 -df(y)/dy=dg(x)/dx+Mx/(EI)
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学 第三章
18
Separation of variables 分离变量
• Select satisfying the compatibility equation 设定 ，并 满足相容方程 4 =0 (2.12.11)

弹性力学课件第三章应变理论

弹性力学课件第三章应变理论
有限元法的实现需要借助计算机编程，利用有限 元分析软件进行建模、求解和后处理。
有限差分法
01
有限差分法是一种基于离散化的数值分析方法，通过将连续的时间或 空间离散化为有限个差分，建立差分方程进行求解。
02
在弹性力学中，有限差分法常用于求解波动问题和热传导问题等偏微 分方程。
03
有限差分法的优点在于简单直观，易于编程实现，特别适合处理规则 区域的问题。
应变分析在断裂力学中的应用对于评估材料的安全性和可靠性具有重要意义，特别是在 航空航天、石油化工和核能等领域的高强度材料中尤为重要。
流体力学中的应变分析
01
流体力学是研究流体运动规律和流体与固体相互作用的一门学科。 在流体力学中，应变分析是研究流体流动状态和流体机械性能的 基础。
02
应变分析在流体力学中主要关注流体在不同压力、温度和 剪切力等条件下的流动行为。通过测量流体的应变响应， 可以评估流体的流动特性和机械性能，为流体机械的设计 和优化提供依据。
应变理论在处理大变形和塑性变形时存在困难，需要 引入更复杂的模型和理论。
应变理论在处理多相材料和复合材料时，难以准确描 述材料的复杂行为。
应变理论的新发展
发展了高阶应变理论，以更准确地描述材料的复杂 变形行为。
引入了有限变形理论，对应变和应力进行更全面的 描述。
结合数值计算方法，如有限元法，对应变进行数值 模拟和分析。
弹性力学课件第三章应变理论
目
CONTENCT
录
• 应变理论概述 • 应变理论基础 • 应变分析方法 • 应变理论应用 • 应变理论发展前景
01
应变理论概述
应变定义与测量
应变定义
物体在外力作用下发生的形状和尺寸 的相对变化。

弹性力学_第三章 应变

弹性力学_第三章 应变
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
x m xy xz eij yx y m yz zy z m zx 应变偏张量
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
1 2
xy y 1 2 zy
1 2 1 2
xz yz z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n） 斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
q N 1 11 12 q N 2 21 22 q N 3 31 32
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。 弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
w u x z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
几何方程是用位移导数表示应变，应变描述一点的变 形，但还不足以完全描述弹性单元体的位移变化，因为没 有考虑单元体位置的改变，即单元体的刚体位移。
应变张量
应变分量 x 、 y 、 z 、 xy 、 yz 、 zx 满足张量的性 质，构成一个二阶应变张量。 以 xi 记 x，y，z ; 以 ui 记 u，v，w

弹性力学-第三章-应变状态分析

弹性力学-第三章-应变状态分析

第三章应变状态分析位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义多连域的变形协调一、内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。

因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。

由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。

对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。

因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。

这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。

当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。

应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。

假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。

这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。

在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。

二、重点1、应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2、几何方程与刚体转动；3、应变状态分析和应变分量转轴公式；4、应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5、变形协调方程与位移边界条件。

§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:知识点由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。

这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。

变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。

弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。

由于是小变形问题，单元变形可以投影于坐标平面分析。

弹性力学-第三章 应变分析

弹性力学-第三章 应变分析

(3.9)
α xy
% dr2
% dr1
dr2
α yx
dr1
x
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
由式(3.12)得 由式(3.12)得dr1和dr2间直角的减小量为 (3.12)
∆ϕ = 22ε ij nm j j = 2ε 12 = 2ε xy ∆ϕ = ε ij ni i m
上式表示剪应变是角度变化的一半 图中: 图中:
% dr 2 = dr 2 + 2dr ⋅ G ⋅ dr = (1 + 2n ⋅ G ⋅ n)dr 2
第三章 应变分析 §3-2
变形状态和应变张量
只讨论小变形问题,忽略高阶项 只讨论小变形问题 忽略高阶项 式(3.6) 为 其中
∇u ⋅ u∇
(3.7)
% dr 2 = (1 + 2n ⋅ ε ⋅ n)dr 2
ε x 1 γ ε ij = 2 yx 1 γ zx 2
εy
1 γ zy 2
对称张量 张量的剪切应变分量 ≠ 实际的剪切应变
第三章 应变分析 §3-3
应变张量的进一步解释
应变与位移的关系（几何方程） 点的位移是u(x+dx，y)、 应变与位移的关系（几何方程） A点的位移是 点的位移是 ， 、 v(x+dx，y)， ， ，
分别为Y 分别为Y和Z方向的正应变 如图, 如图, 设n为x轴向的单位基矢量即n=e1 轴向的单位基矢量即n=e n1 = 1, n2 = 0, n3 = 0 设m为y轴向的单位基矢量即m=e2 轴向的单位基矢量即m=e O m1 = 0, m2 = 1, m3 = 0
y
ε nn = εijni⋅ ε ⋅ n11 =ε ijxni n j ε = n nj = ε = ε

弹性力学__徐芝纶版第三章

弹性力学__徐芝纶版第三章


4 f
y4
0
4 f 0
一、逆解法和半逆解法 （一）逆解法的基本步骤：
取满足相容方程的 f
求出应力分量 x , y , xy
根据边界条件求出面力
考察能解决什么问题
§3-1 逆解法与半逆解法 多项式解答
（二）半逆解法的基本步骤：
根据问题的特 点设出部分应 力分量
是 结束
否
求出应力函数 f
x
§3-3 位移分量的求出
0 u0 v0 0
y
z
u P x Eh
P x
v P y
Eh
习题
[1]写出边界条件。 解：
x x0,xb g( y h1)
0 xy x0,xb y y0 gh1, xy y0 0
y


P
hE
xy 0
u P x Eh
v P
y Eh
u v 0 y x
u

P Eh
x

f1y
v


P
Eh
y

f2 x
代入第三式得： df1 y df2 x 0
dy
dx
移项得： df1 y df2 x
u yh2 0
v yh2 0
hx1
g
b
h2
bb
y 22
FN gbh1
b
下边的等效应力边界条件： 0 y yh2 dx gbh1
b
0
xy
dx 0
y h2
b 0
y
y h2

弹性力学第三章


x
M I
y
端部较远处误差较小。
(3) 当 l 远大于 h 时，误差较小；反之误差较大。
你现在浏览的是第九页，共38页
4. 四次多项式
（1） ax4 bx3 y cx2 y2 dxy3 ey4
（2）
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程
4
x4
24a
4
2 xy4 8c
4
y 4
24e
代入式（f），有
不转动）
u0 0,
M 2EI
l2
l
v0
0,
M l 0
EI
可求得：
u0 0,
v0
Ml 2 2EI
,
u M (l x) y,
Ml
EI v M (l x)2 M
y2
EI
2EI
2EI
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u M (l x) y
EI
(3-4)
h/2
y0
y0
y0
将其代入(f)式，有
u0 0 v0 0
Ml 2 2EI
l
v0
0
Ml
2EI
将其代回(f)式，有
u M (x l )y
EI 2
(3-3)
v M (l x)x M y2
2EI
2EI
梁的挠曲线方程：
v M (l x)x y0 2EI
—— 与材力中结果相同
你现在浏览的是第十七页，共38页
M EI
常数
说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率 相同。即
1
2v x 2
M EI
—— 材料力学中挠曲线微分方程
你现在浏览的是第十六页，共38页

弹性力学第3章(徐芝纶第五版)


最主要量级q( l )2 h
,和次要量级 q l h
, 在材力
中均已反映,且与弹力相同。
最小量级 ~ q, 在材力中没有:
当lh
时,
仅占主项
M I
y
的1/15
( 6 %) ,
当 l 时h , 量级q 的值很小,可以不计。
弹力与材力的解法比较:
应力比较
弹力严格考虑并满足了A内的平衡微分 方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的所有 边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南 原理,但只影响小边界附近的局部区域)。
4 楔形体受重力和液体压力 问题
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
fx 0, f y 1g.
o
α 2g
y
x
n
α
2
1g
用半逆解法求解。
（1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~Φ关系式，Φ应为x,y的三次式，
（3）Φ 满足相容方程 4Φ 0.
（4）由 Φ求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
o
M
y
h/2
h/2
x
M
l
( l >>h)
半逆解法
3.半逆解法 步骤：
⑴ 假设应力的函数形式 （根据受力情况， 边界条件等）；
⑵ 由应力(d)式，推测 的Φ 函数形式；
⑶ 代入 4Φ，解0 出 ； Φ
半逆解法
⑷ 由式（d），求出应力；
⑸ 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）. 如能满足，则为正确解答；否则修改假 设，重新求解。
为b,如图,水的密
度为 2 ，试求

弹性力学第3章—应变


Siui, j S j = 0
S是任意线段，因此上式成立的条件是S各分量的系数为零，即
ui , j + u j ,i = 0
因此刚体位移所对应的相对位移张量是反对称张量，反之亦成立
3.1 变形与应变的概念
应变张量的物理意义:
1.拉压应变（线应变）
应变张量反映了物体的变形，因此变形导致的线段矢量 变化量为
3.3 主应变、应变偏量及其不变量
主应变与主方向：
3 2 ′ε n ′ε n − I 3 ′ =0 εn − I1 − I2
上述方程的三个实根即为主应变 ε1 , ε 2 , ε 3 ，进一步可以求 得主方向，以及剪应变的三个极值。
γ 1 = ± (ε 2 − ε 3 )
γ 2 = ± (ε1 − ε 3 )
1 1 ui , j = ( ui , j + u j ,i ) + ( ui , j − u j ,i ) 2 2
即
ui , j = ε ij + ωij
对称部分称为应变张量，反映物体的变形
1 ε ij = ( ui , j + u j ,i ) 2 反对称部分称为转动张量，反映物体的刚体位移
1 ωij = ( ui , j − u j ,i ) 2
3.1 变形与应变的概念
微线段的刚体位移:
刚体位移时，矢量在位移前后的长度（模）相等
S′ =
(Si + δSi )(Si + δSi ) =
δSi = ui , j S j
Si Si = S
化简并略去高阶小量后得到 2SiδSi = 0 联合右式 得到 展开后，即为
2 2 2 2 2 2 2 u1,1S12 + u2,2 S2 + u3,3S3 + ( u1,2 + u2,1 ) S12 S2 + ( u2,3 + u3,2 ) S2 S3 + ( u3,1 + u1,3 ) S3 S1 = 0

弹性力学(徐芝纶)第三章习题答案

第三章1、解：由题意可知：简支梁所受体力为F g ρ=，所以0,x y f f g ρ==应力函数为：232325432()()2106x A BAy By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky Φ=++++++--++从而得应力分量：()2232223222262(62)22622(32)(32)x x y y xy x f x Ay B x Ey F Ay By Hy Ky f y Ay By Cy D gyxx Ay By C Ey Fy G σσρτ∂Φ=-=+++--++∂∂Φ=-=+++-∂=-++-++ （a ）考虑对称性，,x y σσ为x 的偶函数，xy τ为x 的奇函数。

于是得：0E F G ===。

下面考虑上下两边的边界条件：22()0,()0y hxy h y y στ=±=±==，代入（a ），得： 3208422h h h hA B C D g ρ+++-= 3208422h h h hA B C D g ρ-+-++= 23()04h x A hB C -++=即2304h A hB C ++=23()04h x A hB C --+=即2304h A hB C -+=以上四式联立得：223,0,,22g g gA B C D h h ρρρ=-===- 代入（a ），并注意0E F G ===得：2322322264+6223226+2x y xy g g x y y Hy K h h g g gy y gy h h g g xy xh ρρσρρρσρρρτ=-++=-+--= （b ）现在考虑左右两个边的边界条件，由于对称性，只需考虑一边，例如右边，也就是x l =，用多项式求解，只能要求x σ在这部分边界上合成为平衡力系，也就是要求：2-2()0,h h x x l dy σ==⎰2-2()0h h x x l ydy σ==⎰。

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1. 一次多项式 polynomial of first degree
（ 1）
( x, y) ax by c
其中： a、b、c 为待定系数。
（2） 检验φ(x,y) 是否满足双调和方程：
4 4 4 4 2 2 2 4 0 x x y y
4
显然φ(x,y) 满足双调和方程，因而可作为应力函数。
§3-1 多项式解答(Solutions by Polynomials)
适用性： 由一些直线边界构成的弹性体。 目的： 考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y) ，能解决什么样的 力学问题。 ——逆解法 Inverse method
1. 一次多项式 polynomial of first degree
（1）形变分量
由前节可知，其应力分量为：
M y
x
1
h
y 0 xy 0
My M x y 3 I h / 12


(a)
1 My My xy 0 x y E I E I
(b)
（2）位移分量
将式（b）代入几何方程得：
平面应力情况下的物理方程：
x 1 ( x y)
x EI
率相同。即
2v M 2 x EI 1
—— 材料力学中挠曲线微分方程
2. 位移边界条件的利用
（1）两端简支
其边界条件：
u x 0 0 v x 0 0 v x l 0
y 0 y 0
y 0
M u xy y u0 EI (f) M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
（ 4）
问题：
按应力求解平面问题，其基本未知量为： 求出形变分量、位移分量？
x
, y , xy
，如何由
§3-2 位移分量的求出Determination of displacements
以纯弯曲梁为例，说明如何由
x , y , xy 求出形变分量、位移分量？
M
l
1. 形变分量与位移分量
4
多项式次数 n 越高，则系数间需满足的条件越多。 （ 2） （ 3） 一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加 上或减去一个一次多项式，对应力无影响。
二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式， 对应于线性分布应力。
用多项式构造应力函数φ(x,y) 的方法 —— 逆解法（只能解决简单直 线应力边界问题）。
2 x 2 2cx 2 6dxy 12ey 2 y 2 y 2 2cy 2 6bxy 12ax 2 x 2 2 2 3 bx 4 cxy 3 dy xy xy
—— 应力分量为 x、y 的二次函数。
（ 4）
特例：
整理得：
M x f 2( x) f1( y ) EI
（仅为 x 的函数） （仅为 y 的函数） 要使上式成立，须有 (c)
f1( y)
M x f 2( x) EI
式中：ω为常数。
(e)
将式（c）前两式积分，得：
积分上式，得
M u xy f1 ( y ) (d) EI M 2 v y f 2 ( x) 2 EI 式中： f1 ( y), f 2 ( x) 为待定函数。
M min 3dh
h 2
y 0, xy 0
1
M x
x l : x 6dy, xy 0
可见： 常数 d 与弯矩 M 的关系： 由梁端部的边界条件： (1)
max 3dh
y
dy 3 —— 对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。
h 2

(2)

h 2 h 2
（3） 对应的应力分量：
2 x 2 Xx 0 Xx Xx y
2 y 2 Yy 0 Yy Yy x
2 xy 0 xy
结论1：
若体力：X = Y =0，则有：
x y xy 0
（1） 一次多项式对应于无体力和无应力状态； 在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。 （ 2）
4
4 24e 4 y
4 0
得
24a 8c 24e 0 3a c 3e 0
可见，对于函数：
ax 4 bx3 y cx 2 y 2 dxy3 ey 4
其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：
3a c 3e 0
（3） 应力分量：
0
横截面保持平面
—— 材力中“平面保持平面”的假设成立。
（ 2）
将下式中的第二式对 x 求二阶导数：

M u xy y u0 EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI 1 2v M 2 常数 说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲
x y dy M
12 M x 3 y h
h 2 h x 2 h 2 h 2
dy 0
6dy dy M
2

h 2 h 2
6dy dy 0
Байду номын сангаас
M x 3 y (h / 12)
2M d 3 h M (或d 3 ) h 2
M x y I
可见：此结果与材力中结果相同， 说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。
二次多项式对应于均匀应力分布。
y
xy b
例：
试求图示板的应力函数。
0
x y
0
x
0
y
( x, y )
0
2
y2
( x, y) 0 xy
3. 三次多项式 polynomial of second degree
（ 1） （ 2）
ax3 bx 2 y cxy2 dy 3
其中: a、b、c 、d 为待定系数。
检验φ(x,y) 是否满足双调和方程，显然有
4 4 4 0, 4 0, 2 2 0 4 x y x y
（3） 由式（2-26）计算应力分量：
4 0
(假定：X =Y = 0)
(可作为应力函数 )
x 2 2cx 6dy y
h/2 h/2
u x l 0, v x l 0
y 0 y 0
v x
x l y 0
0
（中点不动）
代入式（f），有
（该点水平轴线在 端部不转动）
M 2 l l v0 0, u0 0, 2 EI
可求得：
Ml EI M M M 2 2 u (l x) y, v (l x) y 2 EI 2 EI EI
（2）位移分量
M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
讨论：
（ 1）
M
l
M y
x
1
h
式中：u0、v0、ω 由位移边界条件确定。
u M u M 当 x = x = 常数 0 x0 常数 x y x x0 EI y EI u —— u 关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。 y u M x0 常数 说明： 同一截面上的各铅垂 |x x y x x0 EI 线段转角相同。
将式 (d) 代入 (c) 中第三式，得：
M 2 f 2 ( x) x x v0 EI
将上式代入式（d），得
f1 ( y) y u0
M x f1( y ) f 2( x) 0 EI
M u xy y u0 (f) EI M 2 M 2 v y x x v0 2 EI 2 EI
2
2 y 2 2by 6ax x
2 xy 2bx 2cy xy
结论3：
三次齐次多项式对应于线性应力分布。
例：
取 dy 3 , ( X Y 0) 可算得：
x 6dy y 0 xy 0
h y : 2
l
l
图示梁对应的边界条件：
Ml 2 , u0 0, v0 2 EI
M l 0 EI
M u (l x) y EI
M M 2 2 v (l x) y 2 EI 2 EI
(3-4)
h/2 h/2
挠曲线方程：
说明： （1） 求位移的过程：
M v | y 0 (l x) 2 与材料力学中结果相同 2 EI
E y 1 ( y x) E xy xy
G
将式（a）代入得：
My u 1 x x E I My v y y E I xy u v 0 y x
(c)
（2）位移分量
u 1 My x x E I v My y y E I u v xy 0 y x
ax ey
4
4
（须满足：a + e =0）
y 12ax 2 x 12ey 2
xy 0
总结：
（ 1）
（多项式应力函数 的性质） 多项式次数 n < 4 时，则系数可以任意选取，总可满足 多项式次数
0 。 n ≥ 4 时，则系数须满足一定条件，才能满足 4 0。
（a）将应力分量代入物理方程
1 x ( x y) E
（ 3）
4 0
(可作为应力函数 )
由式（2-26）计算应力分量： (假定：X =Y = 0 ; a >0 , b >0, c >0)