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q y 2y 2 σ y (1 )(1 ) . 2 h h
2
应力的量级
关于应力的量级: 当 l h 时, x ~l 同阶，y ~ h 同阶.
σx
l 2 第一项~ q ( ) 同阶,（与材力解同）; h 第二项 ~ q 同阶,（弹力的修正项）.
l ~ q ( ) 同阶,（与材力解同）. h
第三章 平面问题的直角坐标解答
多项式解答
位移分量的求出 简支梁受均布荷载 楔形体受重力和液体压力
1 多项式解答
按 Φ 求解
1. 当体力为常量，按应力函数 Φ 求解平面 应力问题时，Φ 应满足
4 Φ 0. ⑴ A内相容方程
(a)
⑵ S = S 上应力边界条件,
l
x
m yx s f x ,
2a b
o
2a
x
b
b
o
y b
x
2c
o
y
2c
x
y
逆解法
例3 设图中所示的矩形长梁，l >>h，试考
F 察应力函数 Φ 3 xy (3h 2 4 y 2 )能解决什么 2h
样的受力问题？ o
h/2 h/2
x ( l >>h)
y
l
xy
(b)
x
F
(c)
F
M＝Fl
问题提出
例4 梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩 /单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯 曲问题。
f y 1 g .
y
用半逆解法求解。 （1）用量纲分析法假设应力: （2）由应力~ Φ 关系式， Φ 应为x,y的三次式， （3） Φ 满足相容方程 4Φ 0 . （4）由 Φ 求应力， （5）考察边界条件——本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件:
水平截面上的应力分布如图所示。
应力比较
弹力与材力的解法比较: 弹力严格考虑并满足了A内的平衡微 分方程 ,几何方程和微分方程,以及S上的 所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣 维南原理,但只影响小边界附近的局部区 域 )。 材力在许多方面都作了近似处理,所 以得出的是近似解答。
例如：在材力中
几何条件中引用平截面假定 u, ε, σ x 沿 y 为直线分布； 平衡条件中，略去 σ y作用，没有考虑微分 体的平衡，只考虑 h d x b 的内力平衡；
x
y
例题5 矩形截面的柱体受到 顶部的集中力 2 F 和 力矩M的作用，不计 体力，试用应力函数 y
M
2F
o
b/2
45
பைடு நூலகம்
b/2
h q
3
q
Φ Ay Bxy Cxy Dy
2 3
求解其应力分量。
( h b , 1)
x
例题6
y
b 2
o
b 2
挡水墙的密 度为 1 ，厚度 为b,如图,水的密 度为 2 ，试求 应力分量。
b h
b
A y
( h b , 1)
例题4
图中矩形截面的简支梁上，作用有三 角形分布荷载。试用下列应力函数
Φ Ax y Bxy Cx y
3 3 5 3
Dxy Ex Fxy,
3 3
求解应力分量。
x q l
ql 6
h/2
ql 3
o
l
h/2
( h l , 1)
边界条件也没有严格考虑； 材力解往往不满足相容条件。
对于杆件，材力解法及解答具有足够 的精度; 对于非杆件，不能用材力解法求 解，应采用弹力解法求解。
4 楔形体受重力和液体压力
设有楔形体， 左面垂直，顶角为α， 下端无限长，受重 力及齐顶液体压力,
2 g
问题
o
α
x
n
1 g
2
α
fx 0,
FN
o
σx
τ xy
h/2
y dy
h/2
x
图 l 3-5
y
(l h , 1)
例题3 图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有
Fb 集中力F 和力矩 M 的作用，试用应力 2
函数 Φ Ax 3 Bx 2 , 求解图示问题的应力及
位移，设在A点的位移和转角均为零。
F Fb/2 O
x
2 g
1 g
x
第三章
重点归纳
本章学习重点及要求
本章是按应力求解平面问题的实际 应用。其中采用应力函数 Φ 作为基本未 知数进行求解，并以直角坐标来表示问 题的解答。在学习本章时，应重点掌握：
1. 按应力函数 Φ求 解时，Φ 必须满足的条件。 2. 逆解法和半逆解法。 3. 由应力求位移的方法。 4. 从简支梁受均布荷载的问题中，比较弹力 学和材料力学解法的异同。 在早期应用逆解法和半逆解法，曾经 得出许多平面问题的解答。但是对于有复 杂荷载和边界条件的工程实际问题，是
纯弯曲问题的讨论： 1. 弯应力 σ x与材力相同。 u M x 故在任一 2. 铅直线的转角 y EI 截面x 处，平面截面假设成立。
1 2v M 3.纵向纤维的曲率 2 (常曲率)， x EI
同材力。
故在纯弯曲情况下，弹力解与材力解相同。
思考题
弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材 料力学的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此是否可以说在纯弯曲情况下 材料力学中的平截面假设成立？
(e )
逆解法
从而得出，在面力(e)作用下的解
答，就是上述 Φ 和应力。
逆解法没有针对性，但可以积累基
本解答。
逆解法
例1 一次式 Φ =ax+by+c,对应于无体力， 无面力，无应力状态。 故应力函数中加减一次式，不影响应力。 2 例2 二次式 Φ ax2 bxy cy，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。
3 简支梁受均布荷载
。 简支梁 2l h 1 ，受均布荷载 q 及两端 支撑反力 ql 。
问题
q
ql
o
h/2
x
ql
h/2
l
y
l
半逆解法
按半逆解法求解。 ⑴ 假设应力分量。
⑵ 由应力分量推出应力函数的形式。 ⑶ 将 Φ 代入相容方程，求解 Φ : ⑷ 由 Φ 求应力。 对称性条件─由于结构和荷载对称于
σx
σy
yx
楔形体解答的应用:
作为重力坝的参考解答,
分缝重力坝接近于平面应力问题，
在坝体中部的应力，接近于楔形体的解答。
重力坝规范规定的解法
——材料力学解法（重力法）。
重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。
例题1
已知
2 2 2 2 2
( a ) Φ Ay ( a x ) Bxy C ( x y ); (b) Φ Ax Bx y Cx y Dxy Ey ,
xy 为 y轴，∴ Φ, σ x , σ y 应为 x 的偶函数， x的奇函数，故 E F G 0 。
主要边界
⑸ 考察边界条件。
主要边界
次要边界
y h / 2,
x=l 上 ,
应力
最后应力解答为：
6q 2 2 y y 3 σ x 3 (l x ) y q ( 4 2 ) h h h 5 2 y y 3 M y q ( 4 2 ), I h h 5 6q h 2 2 FS S xy 3 x ( y ) , 4 bI h
m
y
l xy s f y .
(b )
⑶ 多连体中的位移单值条件。
(c)
对于单连体，(c)通常是自然满足的。 只须满足(a),(b)。 由 Φ 求应力的公式是
2 Φ σ x 2 f x x, y
σy Φ f y y, 2 x 2 τ xy Φ . xy
2
(d )
逆解法
2 .逆解法 ── 先满足(a),再满足(b)。 步骤:
⑴ 先找出满足 4Φ 0的解Φ; ⑵ 代入(d), 求出 σ x , σ y , xy ; ⑶ 在给定边界形状S下，由式(b)反推出 各边界上的面力，
f x (lσ x mτ xy ) s , f y (mσ y lτ xy ) s .
4 3 2 2 2 4
试问它们能否作为平面问题的应力函数？
例题2
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力 和力矩的作用，体力可以不计， l h 如图， 试用应力函数 Φ Axy By 2 Cy 3 Dxy 3求解 应力分量。
M
Fs
Φ Axy By 2 Cy 3 Dxy 3
2 位移分量的求出
问题提出
在按应力求解中，若已得出应力，如何 求出位移？ 以纯弯曲问题为例，已知
σ x M y, I
σ y xy 0,
试求解其位移。
归纳：从应力求位移的步骤： 1. 由物理方程求出形变；
2.代入几何方程，积分求 u , v ；
3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量
u 0 , v0 , 。
xy
σ y ~ q 同阶, （材力中不计）.
应力比较
应力与材力解比较:
l 2 l q ( ) 最主要量级 ,和次要量级 q , 在材力 h h
中均已反映,且与弹力相同。 最小量级 ~
q, 在材力中没有:
M 当 l h 时, 仅占主项 y 的1/15 ( 6 %) , I
当 l h 时, q 量级的值很小,可以不计。
o
M
h/2 h/2
M
x
y
l
( l >>h)
