5(4)定积分的几何应用

2πa x
Vy =
= π ∫ a ( t − sin t ) ⋅ a sin tdt − π ∫ a 2 ( t − sin t ) 2⋅ a sin tdt
2 2
π
∫0 π x
(A)
2a(B)
2
2
( y )dy − ∫ π x 1 ( y )dy
2
2a(B)
x = x1( y) πa o O
A
0(O)
a b
dx 的 y
f ( x)dx
a
dA
y = f ( x)
O
x x+ dx
• •
b
5
x
定积分的几何应用
二、求平面图形的面积
回忆 定积分a f ( x )dx 的几何意义 的几何意义: ∫
若在[a , b]内f ( x ) > 0, 则∫a f ( x )dx的值
b
b
等于介于 y = f ( x ), x = a , x = b与x轴之间
圆柱
圆锥
圆台
18
定积分的几何应用
(1) 如果旋转体是由连续曲线 y = f ( x ), 直线 x = a , x = b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体 体积为多少 轴旋转一周而成的立体,体积为多少 体积为多少? 采用元素法 取积分变量为x, 取积分变量为 x ∈ [a , b], 在[a , b]上任取小区间 O [ x , x + dx ], 取以dx 为底的
dA = [ f ( y) − g( y)]dy
x
A = ∫ [ f ( y) − g( y)]dy
c
d
10
定积分的几何应用
(5) 设所给曲线由参数方程给出:
x = ϕ (t ) , t介于α , β 之间 y = ψ (t ) 且ϕ (t ),ψ (t )在 [α , β ] ( 或 [ β , α ]) 上有连续导数,
∆I ≈ f ( x)dx. 记为:
(3) 以 dI
dI = f ( x)dx.
为被积表达式在 [ a, b ] 上作定积分, b b 得: I = ∫ dI = ∫ f ( x)dx
a a
4
定积分的几何应用
曲边梯形面积的积 .
元素法
设曲边梯形由 y = f ( x )、直线 x = a、x = b
y
体积元素
dV = π [ϕ( y)] dy 旋转体的体积
2
d
c
O
x = ϕ ( y)
V = ∫ π[ϕ( y)]2 dy
c
d
x
21
定积分的几何应用
例7 求由 y = sin x, y = cos x ( ≥ 0 ) 和y轴所围成图形绕x轴旋转而成的 旋转体的体积.
π π
V = π ∫ cos xdx − π ∫ sin xdx
= 5π a .
2
23
定积分的几何应用
绕 y轴旋转的旋转体体积 轴 可看作平面图OABC 与OBC 可看作平面图 分别绕 y轴旋转构成的旋转 轴 体的体积之差. 体的体积之差
x = a ( t − sin t ) 摆线 y = a(1 − cos t )
y
2aC
B x = x2 ( y)
f ( x )dx 是所求量 I 的微分 dI = f ( x)dx≈ ∆Ii . 于是, 于是 称 dI = f ( x )dx 为量 I 的 微元或元素. 微元或元素.
方法 简化步骤
3
定积分的几何应用
简化步骤 这种简化了的建立积分式的方法称为 (1) 由具体情况选取一个变量,如 x ,为积分变量, 并确定它的变化区间 [ a, b ] 元素法或微元法. 元素法或微元法. (2)在[a, b]上任取一小区间[ x, x + dx], 求出这一小区间上的部分量的近似值,即
O 变量代换 2πa= a( x 0
2
V x = ∫ πy 2 ( x )dx
0 2π
2πa
t − sin t )
2πa x
= π ∫ a (1 − cos t ) ⋅ a (1 − cos t )dt
2
0
= πa
3
∫
2π
0
3
(1 − 3 cos t + 3 cos 2 t − cos 3 t )dt
(4) 由曲线 x = f ( y ), x = g( y ) ( f ( y) ≥ g( y)) 和直线 y = c , y = d 所围成的区域的 面积A. 面积 选y为积分变量, y ∈ [ c, d ] y
x = g( y ) y + dy y c O
d
A
x = f ( y)
它对应的面积元素dA为 它对应的面积元素 为
dA = [ f ( x) − g( x)]⋅ dx
A = ∫ [ f ( x) − g( x)]dx
a
b
O a
y = g( x )
x x + dx b
x
7
定积分的几何应用
(2) 如果 f ( x ), g ( x ) 的相对位置不定,则
y y = f (x)
y = g(x)
A = ∫ f ( x) − g ( x) dx
y
y = f (x)
a
x x + dx
b
x
小曲边梯形绕 小曲边梯形绕 x 轴旋转而 成的薄片的 体积元素 dV =π [ f ( x)]2dx
旋转体的体积 V = bπ[ f ( x)]2 dx ∫
a
19
定积分的几何应用
dV = π[ f ( x)] dx
2
例6 求y = x 2 在[0,1]上绕x轴旋转形成的体积 . 取积分变量为x, 解 取积分变量为 x ∈ [0,1] y 体积元素
=a
2
r = a(1 + cosθ )
O
2
x
∫
π
0
(1 + 2 cos θ + cos θ )dθ
2
1 3 = 3 πa 2 = a θ + 2 sinθ + sin 2θ 4 2 0 2
2
15
π
定积分的几何应用
例4 求由圆 r = 2 sin θ 和双纽线
r = cos 2θ
2
β1 α
[r(θ )]2dθ . 2
θ =α θ
x
14
定积分的几何应用
例3 求心形线
A= ∫ α r = a (1 + cos θ ), ( a > 0 )
y
β
1 [r(θ )]2 dθ 2
所围成图形的面积. 利用对称性 对称性知 解 利用对称性知
1 2 π A = 2 ⋅ a ∫ (1 + cosθ )2 dθ 2 0
曲边梯形的面积.
启示 一般曲线围成区域的面积也可以 用定积分线均假定是连续曲线
6
定积分的几何应用
1.直角坐标系中图形的面积 . (1) 设在区间[a , b]上, 曲线 y = f ( x )位于曲线 y = g ( x )的上方 ,即 f ( x) ≥ g( x),求这两条曲线 及直线x = a , x = b 所围成的区域的 面积 面积A. y x ∈ [ a, b ] 选x为积分变量, y = f ( x) ∀ [ x, x + dx] ⊂ [ a, b ] , 它对应 面积元素dA为 的面积元素 为 A
2 2
2
所围成图形的面积. 注意: : 求封闭曲线所围成图形的面积时, ,
1. 先分析对称性; 2. 找与坐标轴的交点; 3. 利用极坐标.
17
定积分的几何应用
三、求空间立体的体 积
1. 旋转体的体积 旋转体 由一个平面图形绕 这平面内一条直线 旋转一周而成的立体． 这直线叫做旋转轴 旋转轴． 旋转一周而成的立体． 这直线叫做旋转轴．
13
定积分的几何应用
2.极坐标下平面图形的面积 由极坐标方程 r = r (θ ) 给出的平面曲线 和射线
θ = α ,θ = β (α < β )
θ + dθ
曲 边 扇 形
O
θ =β
r = r (θ )
dθ
所围成的面积A. 所围成的面积A. 1 [r(θ )]2dθ dA = 面积
2
曲
形的面积
A= ∫
4 0 2 4 0 2
=
π
2
注意:
V ≠π∫
π
4 0
( cos x − sin x )
2
dx
22
定积分的几何应用
例8
的一拱 求摆线 x = a ( t − sin t ), y = a(1 − cos t )
所围成的图形分别绕x轴 轴旋转而成的 与y=0所围成的图形分别绕 轴、y轴旋转而成的 所围成的图形分别绕 y 旋转体的体积. 旋转体的体积 解 绕 x轴旋转的旋转体体积 轴
(6)一般情况下 由曲线围成的有界区域 总可以 一般情况下,由曲线围成的有界区域 由曲线围成的有界区域, 分成若干块上面讨论过的那两种区域,只要分别 分成若干块上面讨论过的那两种区域 只要分别 算出每块的面积再相加即可. 算出每块的面积再相加即可 (1) • ••
• •
•
•
•
•
(2)
•
(1) (2)
与x轴围成 . (1) x 积 , x ∈ [ a, b ] (2) [a, b]上 小区间[ x, x + dx],
面 积 元 素
这个小区间上所对应的小曲边梯形面积 这个小区间上所对应的小曲边梯形面积 f(x)、 、 小 (3) 形面积, 形面积 dA = f ( x)dx