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八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
刚体平面运动习题第八章刚体平面运动的练习1.真或假(勾选正确和交叉错误)8-1。
刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。
()8-2。
平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。
()8-3。
平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。
()()()8-6。
瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。
()8-7。
刚体的平移也是一种平面运动。
()2。
填空(在横线上写出正确答案)8-8。
在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。
8-9。
平面图上任意两点的速度在上投影中相等。
8-10。
瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。
3.简短回答问题8-11。
确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。
AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d)8-12。
如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c)8-13。
下图中O1A和AC的速度分布是否正确？8-14。
当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13图8-148-15。
为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题8-16。
椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。
如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。
8-17。
半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。
角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。
yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO图8-178-18。
刚体的平面运动习题及解答已知：OA 的转速n=40r/min,OA=r=0.3 m求：图示瞬时，筛子BC 的速度。
解: A ，B 两点速度如图所示,图中ππω3460n 2==rad/s由速度投影定理得： 0B A cos60.v v = 解出筛子BC 平动的速度为：m/s513.2r 2 v 2v A B ===ω 254.0.==ωCD v D m/s已知：1m.0DE BD OA===,,m 31.0EF =s /rad 4OA =ω;求 EF 杆的角速度ω和滑块F 的速度F v 。
解: 各点速度分析如图所示, AB 杆为瞬时平动,故4.0.OA OA A B ===ωv v m/sBC 杆的速度瞬心为点D ，三角形DEC 绕D 点作定轴转动，得BB CE v B Dv .DE DC.DE v ===v由 FEE Fv v v +=解出462.0cos30v 0E F ==v m/s ，333.1EF FEEF ==v ω rad/s已知：滚子纯滚动，m12r R AB OA====,s /rad 2=ω求 图示瞬时点B 和点C 的速度与加速度。
解: 先作速度分析如图（a ）所示, C2.R A B ===ωv vm/s42rB B ===ωωv rad/s2.828.r 22.C ===ωωB PC v m/s取A 为基点，对B 点作加速度分析如图（a ）所示 有BAn BA A B n B a a a a a ++=+ττ大小：？r vB22R ω ？ 0R BA 2=ω 方向： 如图所示向AB 轴投影得 0a B =τ，故B 点加速度为8rvaa B2Bn B === 2s /m最后取B 为基点，对C 点作加速度分析如图（b ）所示，即CBCB n B C a a a a τ++=大小：？r vB2r B 2ωr rar BB ==τα方向： 如图所示 故C 点加速度为11.31aaa CB2n B2C =+=2s/m已知：r OA =,r 32AB = ，轨道半径2r B O 1=，OA 杆的角速度和角加速度为O ω和O α； 求： 图示瞬时滑块B 的加速度。
第8章 刚体平面运动概述和运动分解三、选择题1．( D )2． ( B )。
3． ( B )4． ( D )5．( C )6． ( C )7．( C )。
8． ( B )。
四、计算题8-1 如图8.30所示的两齿条以1v 和2v 同方向运动。
在两齿条间夹一齿轮，其半径为r ，求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
解：齿轮作平面运动，以B 为基点，分析A 点的速度。
由AB B A v v v +=作A 点的速度合成图如图所示。
由图可知21v v v v v B A AB -=-= 齿轮的角速度为rv v ABv AB O 221-==ω再以B 为基点，分析O 点的速度。
由OB B O v v v +=作O 点的速度合成图如图所示。
由图可知齿轮中心O 的速度2212v v r v v v v O OB B O +=+=+=ω8-2 曲柄OA = 17cm ，绕定轴O 转动的角速度1rads O A /ω=，已知AB = 12cm ，BD = 44cm ，BC = 15cm ，滑块C 、D 分别沿着铅垂与水平滑道运动，如图8.31所示瞬时OA 铅垂，求滑块C 与D 的速度。
图8.30 图8.31解：由A v 和D v 的速度方向，可知杆BD 作瞬时平动。
从而可知B v 方向水平向左。
C 点的速度方向垂直向下。
BD 作瞬时平动，可知滑块D 的速度为 )/(17171s cm OA v v OA A D =⨯=⋅==ω 杆BC 作平面运动，上速度投影定理，有)90cos(cos o ϕϕ-=C B v v根据图示的结构，经过数学计算，可知6778.040157cos ==ϕ，7352.0sin =ϕ，代入上式，可得)/(6.15sin cos sin cos s cm v v v A B C ===ϕϕϕϕ8-3 曲柄OA 绕定轴O 转动的角速度25rad s O A ./ω=，OA = 28cm ，AB = 75cm ，BC = 15cm ，r = 10cm ，轮子沿水平面滚动而不滑动。
第八章 刚体的平面运动习题解[习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。
如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。
解：椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为：t r r x C 0cos cos ωϕ== t r r y C 0sin sin ωϕ==t 0ωϕ-=（顺时针转为负）。
[习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。
如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：αω=dtd dt d αω=1C t +=αω100C +⨯=α 01=Ct αω=t dt d αωϕ== tdt d αϕ=2221C t +=αϕ220210C +⨯=α02=C221t αϕ=2cos )(cos )(2t r R r R x A αϕ+=+= 2sin)(sin )(2t r R r R y A αϕ+=+=A A r t r R OA v ωαω=⋅+=⋅=)(t rrR A αω⋅+=t rrR dt d A αϕ⋅+= dt t rrR d A ⋅⋅+=αϕ 322C t r r R A +⋅⋅+=αϕ32020C rrR +⨯⋅+=α 03=C22t rrR A αϕ⋅+=故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：2cos )(2t r R x A α+= 2sin)(2t r R y A α+=22t rrR A αϕ⋅+=[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。
已知：如图所示，CB AC =，→A v ，→B v求证：)(21→→→+=B A C v v v证明：→1v→→→→→⋅+=+=AB A BA A B AB v v v v ω)(21)(2121→→→→→→→→→→+=-+=⋅+=+=B A A B A AB A CAA C v v v v v AB v v v v ω 。
本题得证。
[习题8-4] 两平行条沿相同的方向运动，速度大小不同：ｖ1＝６ｍ／ｓ， ｖ２＝２ｍ／ｓ。
齿条之间夹有一半径ｒ＝０.5ｍ的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心Ｏ的速度。
解：运动分析如图所示。
其中，I 为速度瞬心。
15.0262=--o v )/(424210s m v =+⨯=（齿轮中心O 的速度，方向如图所示。
） 2661-=AI )(5.1m AI =齿轮的角速度为：)/(45.161s rad AI v ===ω [习题8-5] 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管，设ＢＥ∥ＣＤ，轮轴的转速ｎ＝１０ｒ／ｍｉｎ，ｒ＝５０ｍｍ，Ｒ＝１５０ｍｍ，试求圆管上升的速度。
解：)/(047.1601014.32602s rad n =⨯⨯==πω )/(05.157047.1150s mm R v E =⨯==ω（向上）→Ev Dx)/(35.52047.150s mm r v D =⨯==ω（向下）钢管作平面运动，其中心的速度（习题8－3结论）为：)/(35.52)35.5205.157(210s mm v =-=（方向：向上。
） [习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。
已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。
试求Ｃ点的速度。
解：→→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→→= Cx v =0 0=Cx v→→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→→=0030cos 30cos cy A v v -=)/(200s mm v v A cy =-=s mm v v cy C /200-==（方向沿着负y 轴方向）[习题8-7] 题8-６中若ｖＢ与ＢＣ的夹角为６０°，其它条件相同，试求Ｃ点的速度。
→Bv xx解：运动分析如图所示。
→→→+=CB B C v v v BC C BC B v v ][][→→= Cx B v v =060cos)/(505.0100s mm v Cx =⨯=→→→+=CA A C v v v AC C AC A v v ][][→→=00060cos 30cos 30cos cx cy A v v v +-=5.050866.0866.0200⨯+⨯-=⨯cy v 25866.02.173+⨯-=cy v)/(13.171866.02.17325s mm v cy -=-=)/(29.178)13.171(502222s mm v v v cy cx c =-+=+=071.7329.17850arccos arccos===c cx v v α[习题8-8] 杆ＯＢ以ω＝２ｒａｄ／ｓ的匀角速度绕Ｏ转动，并带动杆ＡＤ；杆ＡＤ上的Ａ点沿水平轴Ｏｘ运动, Ｃ点沿铅垂轴Ｏｙ运动。
已知ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ＝ＤＣ＝１２０ｍｍ，求当φ＝４５°时杆上Ｄ点的速度。
解：)/(2402120smmOBvB=⨯=⋅=ω)/(2120240sradOBvIBvBBAD====ω22135cos2CDICCDICID⋅-+=2212021202120)2120(22⨯⨯⨯++=)(33.2685120mm==)/(66.5636233.268smmIDvADD=⨯=⋅=ω[习题8-9] 图示一曲柄机构，曲柄ＯＡ可绕Ｏ轴转动，带动杆ＡＣ在套管Ｂ内滑动，套管Ｂ及与其刚连的ＢＤ杆又可绕通过Ｂ铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：ＯＡ＝ＢＤ＝３００ｍｍ，ＯＢ＝４００ｍｍ，当ＯＡ转至铅直位置时，其角速度ω０＝２ｒａｄ／ｓ，试求Ｄ点的速度。
解：解：BD杆与AC杆的角速度相同，即：ACBDωω=，确定了ACω，问题便可解决。
AC杆作平面运动。
OA与BD作定轴转动。
如图1所示，I为AC杆此时的速度瞬心，图中'Bv为AC杆上此瞬时与铰B重合的'B的速度。
AIAIABABOA500500300cos====α)(32500mmAI=→Bv )/(60023000s rad OA v A =⨯=⋅=ω)/(72.03/2500600s rad AI v A BD AC ====ωω )/(21672.0300s mm BD v BD D =⨯=⋅=ω[习题8-10] 图示一传动机构,当ＯＡ往复摇摆时可使圆轮绕Ｏ１轴转动。
设ＯＡ＝１５０ｍｍ，Ｏ１Ｂ＝１００ｍｍ，在图示位置，ω＝２ｒａｄ／ｓ，试求圆轮转动的角速度。
解：OA 作定轴转动，AB 作平面运动。
圆轮作定轴转动。
)/(3002150s mm OA v A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→=)/(8.259866.030030cos 0s mm v v A B =⨯==)/(6.2)/(598.21008.25911s rad s rad B O v B O ≈===ω [习题8-11] 在瓦特行星传动机构中，杆Ｏ１Ａ绕Ｏ１轴转动，并借杆ＡＢ带动曲柄ＯＢ，而曲柄ＯB 活动地装置在Ｏ轴上。
在Ｏ轴上装有齿轮Ⅰ；齿轮Ⅱ的轴安装在杆ＡＢ的Ｂ端。
已知：mm r r 330021==， Ｏ１Ａ＝７５０ｍｍ，ＡＢ＝１５００ｍｍ，又杆Ｏ１Ａ的角速度ωＯ１＝６ｒａｄ／ｓ，求当α＝６０°与β＝９０°时，曲柄ＯＢ及轮Ⅰ的角速度。
v A解：O 1A 作定轴转动，AB 作平面运动。
圆轮O 及OB 作定轴转动。
)/(4500675011s mm A O v O A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→=)/(3897866.0450030cos 0s mm v v A B =⨯==)/(75.33300232250s rad OB v B OB =⨯==ω )(30005.0150030sin mm AB AI ===)/(5.130004500s rad AI v A AB ===ω 两轮啮合点（OB 的中点）的速度：)/(6.31175.1)732.1300866.03000()BI (2s mm r v AB nhd =⨯⨯-⨯=⋅ω－＝)/(6732.13006.31171s rad r v nhd I =⨯==ω [习题8-12] 活塞Ｃ由绕固定轴Ｏ′转动的齿扇带动齿条而上下运动。
在题8-１２附图所示位置，曲柄ＯＡ的角速度ω０＝３ｒａｄ／ｓ，已知ｒ＝２００ｍｍ，ａ＝１００ｍｍ，ｂ＝２００ｍｍ，求活塞Ｃ的速度。
'O 'ω解：)/(60032000s rad OA v A =⨯=⋅=ω→→→+=BA A B v v v AB A AB B v v ][][→→= 60030cos 0==A B v v)/(84.692866.0600s mm v B ==)/(464.320084.692's rad b v B B O ===ω )/(4.346464.3100's mm a v v B O C =⨯==ω＝啮合点 （活塞的速度，方向向上）[习题8-13] 在图示机构中，杆ＯＣ可绕Ｏ转动。
套筒ＡＢ可沿ＯＣ杆滑动。
与套筒ＡＢ的Ａ端相铰连的滑块可在水平直槽内滑动。
已知ω＝２ｒａｄ／ｓ，ｂ＝２００ｍｍ，套筒长ＡＢ＝２００ｍｍ，求φ＝３０°时套筒Ｂ端的速度。
解： 动点：A 点。
动系：固连于AC 杆的坐标系。
静系：固连于地面的坐标系。
相对运动：A 对于AC 的运动。
→vv .0F牵连运动：AC 杆上与A 相重点相对于地面的运动。
绝对运动：A 相对于地面的运动。
→→→+=r e A v v v)/(4622866.0200230cos 0s mm b OA v e =⨯=⨯=⋅=ω)/(533866.046230cos 0s mm v v e A === →→→+=BA A B v v v)/(4002200s mm AB v BA =⨯=⋅=ω022150cos 2BA A BA A B v v v v v -+=866.0400533240053322⨯⨯⨯++=)/(902s mm ≈[习题8-14] 图示矩形板BDHF 用两根长0.15m 的连杆悬挂，已知图示瞬时连杆AB 的角速度为4rad/s ，其方向为顺时针。
试求：(1)板的角速度；(2)板中心G 的速度；(3)板上F 点的速度；(4)找出板中速度等于或小于0.15m/s 的点。
解：(1)求板的角速度)/(32.0415.0s rad BI AB BI v AB B =⨯=⋅=ωω＝板 (2)求板中心G 的速度)(1732.030cos 2.00m IJ ==G)(0482.0215.01732.0m IG =-= )/(0.144630.0482s m IG v G ＝＝板⨯⋅=ω(3)求板上F 点的速度)(1243.0)1732.025.0(1.022m IF =-+=)/(0.37330.1243s m IF v F ＝＝板⨯⋅=ω(4)求板中速度等于或小于0.15m/s 的点15.0≤⋅=板ωx v x)(05.03/15.0m x =≤板中速度等于或小于0.15m/s 的点在以瞬心I 为圆心，半径为m 05.0的圆内：圆周上速度为s m /15.0，圆内速度小于s m /15.0。
