中职数学函数的单调性18页PPT

（1）取值: （在所给区间上任意设两
个实数 x1 , x2且x1 x2 .）
（2）作差 变形:（作差
f ( x1 ) f ( x2 ) ，然后变形，
常通过“因式分解”、“通分”、“配
方”等手段将差式变形） （3）定号: （判断的 f ( x1 ) f ( x2 ) 符号）
（4）结论: （作出单调性的结论）
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，D称为f(x)的单调增区间. 减函数，D称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
y3 y2 y1 0 x1 x2 x3 xn
x
函数单调性的定义. y
f(x2) f(x1)
y
f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I. 如果对于属于定义域I内某个区间D上 如果对于属于定义域I内某个区间D上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x1,x2，
2 ② 证明函数 f ( x) x 2 x 3 在区间(-∞, 1]上是增函数.
back
xபைடு நூலகம்
问题2：
（1）对于函数y= f(x) ，若在区间 D上，
当x＝1时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区 间 D上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗?
y
3 1
0
1
2
x
（2）对于函数y= f(x) ，若在区间 D上， 当x＝1, 2, 3, 4, 时, 相应地 y＝1, 3, 4, 5， 能说在区间 D 上函数值y 随自变量x 的 增大而增大吗？

增函数
减函数
设函数y=f(x) 在区间(a,b) 内有意义． 对于任意的 x1，x2∈ (a,b) 当x1<x2时
有f(x1)<f(x2)成立． 把函数叫做区间 (a,b)内的增函数 区间(a,b)叫做函 数的增区间．
有f(x1)>f(x2)成立． 把函数叫做区间 (a,b)内的减函数 区间(a,b)叫做函 数的减区间．
2、过程与方法目标 ：
03
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，树立正确的数学学习观
3、情感态度与价值观 ：
四、教法学法
教学方法：根据教学内容、教学目标和学生 的认知水平，本节课主要采用任务驱动法、引导发现法的教学方法
学习方法： 合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨 类比学习：引导学生通过举一反三自主推导得出概念 探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知（如 例题的处理）
五、教学过程
15分钟
问题探索，形成概念
4分钟
归纳小结，提高认识
16分钟
例题精讲、深化概念
创设情境、引入课题 理性认识 感性认识 40分钟 5分钟
1.创设情境、引入概念
思考：1）在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？ 2）在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？ 3）在14点到24点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？
一、教学内容
教学的重点和难点 教学重点：函数单调性的概念，判断 函数的单调性。 教学难点：根据定义证明函数的单调性。
二、基本学情
1、基础知识：
学生在初中已学习了一些简单的函数，对函数的单调性也有一些简单的认识。
2、认知水平与能力：
一年级学生抽象思维能力还比较弱，直观操作能力稍强，但已初步具有数形结合思维能力，能在教师的引导下解决稍复杂的抽象问题。

如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性

应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
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on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
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函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。

取值范围．
4．证明：
（1）函数() = − − 2在 −∞, +∞ 上是减函数．
（2）函数() = 2 2 + 1在 −∞, 0 上是减函数．
3.3.2
函数的奇偶性
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
大千世界，美无处不在．
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
3.3 函数的性质 ——奇偶性
例5 （2）图（2）给出了奇函数 = 在 0, +∞) 上的函数图像，
试将 = 的图像补充完整，并指出函数的单调区间．
（2）由于函数 = 是奇函数，所以它的
图像关于原点中心对称，因此它的图像如图
所示．函数 = 的增区间为 −∞, +∞ ．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
则称 = 是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数
具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
3.3 函数的性质
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了
函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因
此这一节我们来研究函数的性质．
3.3 函数的性质
3.3.1
函数的单调性
3.3 函数的性质 ——单调性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
下图是某市某天气温（℃）是时间(时)的函数图像，
次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎

导数与函数单调性
01
02
03
导数大于0
函数在对应区间内单调递 增
导数小于0
函数在对应区间内单调递 减
导数等于0
函数可能存在拐点或不可 导点
复合函数的单调性
同增异减
内外层函数单调性相同，则复合 函数单调递增；内外层函数单调 性不同，则复合函数单调递减。
注意拐点
复合函数在拐点处可能改变单调 性。
常见函数的单调性
函数单调性课件
目录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的应用 • 函数单调性的实例分析 • 函数单调性的综合练习
01
函数单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的 增减性。如果函数在某个区间内单调 递增，那么对于该区间内的任意两个 数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时 ，有$f(x_1) < f(x_2)$；反之，如果 函数在某个区间内单调递减，那么对 于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$，当$x_1 < x_2$时，有 $f(x_1) > f(x_2)$。
03
函数单调性的应用
利用单调性证明不等式
总结词
单调性是证明不等式的一种有效工具 ，通过比较函数在不同区间的增减性 ，可以推导出不等式的正确性。
详细描述
利用单调性证明不等式的基本思路是 ，首先确定函数在指定区间上的单调 性，然后根据单调性定义，比较函数 值的大小，从而证明不等式。
利用单调性求函数的极值
VS
单调性是函数的一种固有属性，与函 数的定义域和值域无关，只与函数的 增减性有关。
单调增函数和单调减函数
01
单调增函数是指函数在某个区间 内单调递增的函数。对于任意两 个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，有$f(x_1) < f(x_2)$。

数学
基础模块（下册）
第三单元 函数
3.3.1函数的单调性
人民教育出版社
第三单元 函数 3.3.1函数的单调性
学习目标
知识目标 理解函数的单调性，理解增函数、减函数、单调区间的概念
能力目标
学生运用自主探讨、合作学习，掌握判断函数单调性的方法，研究函数的性 质，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力；
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
分析理解 观察图3-8，函数 y=x 和 y=-x 的定义域是 R．当自
变量 x 的值逐渐增大时，图3-8（1）中，函数图像从左到 右是上升的，函数值y随着自变量 x 的增大而增大．图3-8 （2）中，函数图像从左到右是下降的，函数值y随着自变 量x的增大而减小．
创设情境，生成问题 在活初动中1，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
观察思考 在初中，我们曾经利用函数图像探究函数值y随着自变
量x的增大而增大（或减小）的变化规律．仔细观察图3-8 的函数图像，随着自变量 x 的增大，函数 y 的变化趋势分 别是怎样的？
例如，图 3-8 中函数 y=x 是R上的增函数，区间（∞，+∞）是函数 y=x 的增区间；函数 y=-x 是 R 上的减 函数，区间（-∞，+∞）是函数 y=-x 的减区间；函数 y=x2 在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞)上 是增函数，区间（-∞，0）和（0，+∞）分别是函数y=x2 的减区间、增区间．
抽象概括 （2）如果对任意 x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有 f(x1)
＞f(x2)，那么就称函数 f(x) 在区间 A 上单调递减，如 图3-10所示．特别地，当函数 f(x) 在它的定义域上单 调递减时，我们就称它是减函数．

y
y
f(x2) f(x1)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2
x
O
函数y=f(x)的定义域为A,区间IA.
在区间 I 上任取 x1, x2。
x1<x2
f(x1 ) < f(x2 )； x1<x2
x1
x2
x
f (x1 ) > f(x2 )，
函数f(x)区间 I 上是单调增函
数，I称为f(x)的单调 增 区间.
x2 )
x1
(2x1
x2 ,
1) (2x2
x1 x2
1)
0
2(x1
x2 )
—
—作差
f (x1) f (x2 ) 0 即f (x1) f (x2 ) — —论证结果
则函数 f (x) 2x 1在区间(, )
是增函数.
— —写出结论
证明函数单调性一般步骤：
⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意 值，且x1< x 2 (或x1 >x 2）；
30 19.71
20 7.56
10 4.67
2001 2002 2003 2004 年份
常宁市日平均出生人数统计表
人数 （人）
45
42
36
35
25
20 17
15
2000 2001 2002 2003 年份
上升
y y x 1
o
x
y
o
下降
y
y x 1
局部上升或下降 yy x2源自oxo函数x
f x 1
⑵作差：作差f(x1)－f(x2)，并将此差式变形 （要注意变形到能判断整个差式符号为止）；