中职数学函数的单调性教案

中等专业学校2023-2024-1教案函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因此这一节我们一起来研究函数的性质．3.3.1 函数的单调性一．情境导入请大家观察下图，这是某市某天气温y（℃）是时间y(时)的函数图像，记这个函数为y = f(x)．观察图像，当自变量x变化时，函数y = f(x)怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？由图可知：时间从4ℎ到14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就是说当y∈ [4，14] 时，函数y = y(y)的值随自变量x 的增大而增大．时间从14ℎ到24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也就是说当y∈ [14，24] 时，函数y = y(y)的值随自变量x的增大而减小．由图可知：在给定区间[4，14]上，对于图像上的任意两点y1(y1, y1)，y2(y2, y2)，当y1＜y2时，都有y1＜y2，即，f(x1)＜f(x2)．在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两点y3(y3, y3)，y4(y4, y4)，当y3＜y4时，都有y3＞y4，即f(x3)＞f(x4)．二、新授从上述例子可抽象出如下定义：设函数y = y(y)的定义域为D，区间y⊆ y．（1）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1＜y2时，都有y(y1) ＜y(y2)，那么称函数y = y(y)在区间I上是增函数，区间I 称为函数y = y(y)的增区间．如图（1）所示．（2）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1€y2时，都有y(y1) Σ y(y2)，那么称函数y = y(y)在区间I上是减函数，区间I称为函数y = y(y)的减区间．如图（2）所示．如果函数y = y(y)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y = y(y)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．三、例题讲解例1 根据函数在R 上的图像，如图所示，写出其单调区间：解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数y =y(y)的定义域为R，增区间为(—∞，0]，减区间为[0，+ ∞)．（2）由函数图像（2）可知，函数y = y(y)的定义域为(—∞，0) ∪ （0, +∞) ，增区间为(—∞，0)和（0, +∞)．探究与发现函数f (x)=1 的减区间能写成(—∞，0) ∪x（0, +∞)吗？例2 讨论函数y(y) = 2y + 1在(—∞，+ ∞）上的单调性．解任取y1, y2∈ (—∞，+ ∞）且y1＜y2，因为y(y1) —y(y2) = (2y1 + 1)－(2y2 + 1)=2y1— 2y2= 2(y1—y2)，由y1—y2＜0，所以y(y1) —y(y2)＜0,即y(y1) ＜y(y2)．。

3.3函数的单调性学案（2课时）1．理解函数的单调性的概念.2．能判断和证明简单函数的单调性.3．逐步树立数形结合的思想.二、教材分析【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】函数单调性的判断和证明.三、教学过程(一)复习回顾：1、函数的表示方法有哪些？2、做出函数y=2x+1和函数y=-2x+1的图像. ：(二)探究新课观察函数y=2x+1和函数y=-2x+1的图像，当自变量x在（-∞，+∞）上由小变大时，函数y=2x+1的值，而函数y=-2x+1的值。

1、函数的单调性的相关概念：（1）自变量的增量或改变量△x= ，函数值y的增量或改变量△y= ，增量可以是正数，也可以是负数。

（2）增函数的概念：（3）减函数的概念：（4）函数的单调性及单调区间的概念：（三）典例解析：例1、函数y=f（x）的定义域是【-5,5】，根据图像指出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上函数的单调性。

.例2、证明函数f（x）=2x+1在（-∞，+∞）上是增函数。

例3、证明函数f （x ）=x1在区间（-∞，0）上是减函数。

总结：证明函数单调性的步骤：取值→作商→变形→ 定号→下结论.（四）学生练习. 证明1()f x x x=+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.（五）拓展训练：1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. RD.不存在2. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ）A. 0k >B. 0k <C. 0b >D. 0b <3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =-B ．2y x= C ．||y x = D ．2y x =-4. 函数31y x =-+的单调性是 .5. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .。

函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。

(3) 举例说明函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。

(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。

1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。

教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。

(3) 举例说明函数单调性性质的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。

(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。

教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。

(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。

(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。

《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。

3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。

二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。

2. 单调性的判断方法及应用。

3. 实际问题中的单调性应用。

三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。

2. 单调性在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。

3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。

五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。

2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。

3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。

5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。

6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。

2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。

3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。

七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。

2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。

八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。

2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。

3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。

4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。

九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。

函数的单调性教案一、条件分析1．学情分析函数的单调性是函数这个章节的第三节课，通过前二节课的情景教学，学生对函数的恐惧感有所降低,所以，在进行教学设计的时候，我们仍然坚持情景教学，从学生身边熟悉的事物入手做到由浅入深，循序渐进。

2.教材分析教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基本性质的直观认识，将抽象的知识直观化,充分体现了树形结合的思想。

二、三维目标知识与技能目标A层：1.理解函数单调性的概念；2。

掌握判别函数单调性的图像观察法；3。

掌握判别函数单调性的推理证明法；4。

知道函数的单调区间；B层：1.理解函数单调性的概念；2。

掌握判别函数单调性的图像观察法;3.掌握判别函数单调性的推理证明法；4。

知道函数的单调区间；C层：1.理解函数单调性的概念；2.掌握判别函数单调性的图像观察法;过程与方法目标通过创设情境，让学生观察、合作、探究函数图像的性质，直观感受函数的单调性；通过讲授让学生掌握判别函数单调性的证明方法；通过练习加强对新知识的巩固。

情感态度和价值观目标通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程三、教学重点函数单调性的概念、判断及证明四、教学难点根据定义证明函数的单调性五、主要参考资料：中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。

六、教学进程： 情景导入：礼拜天，同学们就会去青青百货买东西。

那么我们从学校门口去青青百货的这段路程中，是上坡还是下坡呢？那我们把这段路程的简图画在平面直角坐标系中是什么样子呢？同学们仔细观察图形,从左往右图像呈什么变化趋势? （1）图像观察法像这种函数图像从左往右呈上升趋势的函数我们称为增函数（函数值逐渐增加的函数）。

3.3 函数的单调性一．学习目标1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。

3、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力二．预习案（一）.自学引导观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律:(1).x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的.(2) x x f =)(在),(+∞-∞上，)(x f 随着x 的增大而___________;(3) 2)(x x f =在]0,(-∞ 上，)(x f 随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，)(x f 随着x 的增大而________.归纳总结一、单调性※ 增函数、减函数的定义在函数)(x f y = 的图象上任取两点A (x 1，y 1), B (x 2，y 2),记△x= △y= 这里△x 表示自变量的增量或改变量，△y 表示函数值的增量或改变量.1. 增减函数定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ： x y 0 xy 0 x x f =)( 2)(x x f =如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个 自变量的值21,x x ，当时，则称)(x f 在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ； 当 时，则称)(x f 在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个2.函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是 或 ，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：例1.下列说法正确的是 （ ）A.定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在不相等),(,21b a x x ∈，当0>∆∆x y 时，那么)(x f 在),(b a 上为增函数B.定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对不相等),(,21b a x x ∈，当0>∆∆x y 时，那么)(x f 在),(b a 上为增函数C.若函数)(x f 在区间1I 上为减函数，在区间2I 上也为减函数，那么)(x f 在区间21I I ⋃上就一定是减函数D.若函数)(x f 在区间I 上是增函数，且)()(21x f x f <，),(21I x x ∈，则21x x <. 讨论：设任意不相等[]b a x x ,,21∈，（1）若12x x <时，12()()f x f x <，则)(x f 在[]b a ,上是增函数吗？（2）若12x x <时，)()(21x f x f >，则)(x f 在[]b a ,上是减函数吗？（二）.预习自测1.下列函数中,在)0,(-∞上不是增函数的是( )A.x y 3=B.2x y -=C.x y =D.xy 1-= 2.对于函数)(x f y =，在定义域内有两个值21,x x ，且21x x <，使)()(21x f x f <成立，则)(x f y = （ ）A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定3．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）A.)0()1(f f <-B.)2()0(f f <C.)0()1(f f <D.)1()1(f f <-4.如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：三．探究案1.探究一：利用图像求下列函数的单调区间并指出在其单调区间上是增函数还是减函数：（1）12-=x y （2）4)1(2-=-x y （3）xy 1= (4)x y =2.探究二：求证：1)(3+=x x f 在R 上是增函数。

3.2 函数的基本性质——单调性
【教学目标】
1、知识目标：
（1）理解函数的单调性的概念；
（2）会借助于函数图像讨论函数的单调性；
（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。

2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思
维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解
决问题的能力。

3、德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证
的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，
从感性到理性的认知过程．
【教学重点】
函数的单调性定义。

【教学难点】
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

【教学方法】
讲授法、讨论法、谈话法、分析法、举例法、演示法。

【教具准备】
多媒体课件
【课时安排】
两课时（90分钟）
【教学过程】
从上图可以看到，有些时候该股票的价格
随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也
增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，
即时间增加股票价格反而减小．
1()f x 2()
f x )
(x f y =1()
x 2()x )(x f y =。

《函数的单调性》组内公开课教案巩固知识尝试应用例 1 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如图所示．根据图像说出这个函数的单调区间，以及在函数在各单调区间上的单调性．教师引导学生独立完成并对学生的回答，及时鼓励并适时点评.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.通过观察图像变化特征确定函数的单调区间，培养学生知识的正确运用知识解决问题的能力.应用知识强化练习1.已知函数图像如下图所示．（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域．先让学生回答，然后老师再给予指导和说明.通过巩固训练及时巩固对所学知识.归纳总结理论升华函数单调性的判定方法第一种方法图像法：借助于函数的图像来判定．让学生总结判断方法及实施办法.通过归纳解题方法，提高认识，加深对知识应用理解.收获盘点要求从我掌握的知识和我学到的方法和思想两个方面谈自己的收获1.新知识2.数学思想和方法在教师引导提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.从知识梳理、方法归纳、思想提炼三个方面进行点拨，使得知识结构板块化，网络化.让学生具有完整的认知结构.布置作业1.书面作业：甲组：课本52页习题3.2A组第1题乙组：课本48页练习3.2.1第1题另加一问写出该函数最大值和最小值。

丙组：课堂学习的例题12.课后思考作业：丙组：根据一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性教师分层布置作业，要求学生独立完成，反馈学生对知识方法掌握的情况基于本节课内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成.。

中职数学基础模块上册（人教版）教案：函数的单调性3.1.3 函数的单调性【教学目标】1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法．2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性．【教学难点】利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．【教学方法】这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入从常见的美丽的建筑物图片入手，让学生感知数学的美，激发学生的学习兴趣．师：播放动画，师生共同欣赏后，引导学生观察部分曲线的变化趋势，引入课题．联系实际，激发兴趣．新1．课件展示下列函数图象师：提出问题，引导观察思考：1．观察图象的变化趋势怎样？2．你能看出当自变量增大或减少时函数值如何变化吗？生：观察动画，从图象直观感知函数的单调性．课新课2．增函数与减函数的定义：增函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着增大(减少)．减函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着减少(增大)．3．例1给出函数y＝f (x)的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解函数y＝f (x)在区间[－1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．4．练习1(1) 观察教材P64 例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数；(2) 观察教材P65 例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．5．设y＝f (x)，在给定的区间上，它的图象如图．在此图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记思考回答．教师引导学生归纳增函数与减函数的定义．学生观察图象完成此题，掌握用图象来判断函数单调性的方法．教师强调，在说明函数单调性时，要指出明确的区间．学生回答，教师点评．教师带领学生结合增函数图象分析如何利用函数的解析式来判断一个函通过观察函数图象直接给出增函数、减函数的定义，符合学生的特点，容易被学生接受．从观察直观图象入手，加深对单调性定义的理解，掌握用图象法判定函数单调性的方法，使学过的知识及时得到应用．通过练习1，让学生进一步掌握利用函数的图象来判断函数单调性的方法，从而提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的函数有更新的认识．将增函数、减函数定义中的定性新课∆x＝x2－x1，∆y＝y2－y1．6．例2 证明函数f (x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明设x1，x2是任意两个不相等的实数，则∆x＝x2－x1∆y＝f (x2)－f (x1)＝(3 x2＋2)－(3 x1＋2)＝3(x2－x1)，∆y∆x＝3(x2－x1)x2－x1＞0．因此，函数 f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．7．总结由函数的解析式判数是增函数．学生类比分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是减函数．教师指出利用函数图象判断单调性的局限性，引导学生从函数解析式入手证明单调性的思路与步骤．教师讲解例题2，板书详细的解题过程．教师引导学生总结解题步骤，可简记为：说明转化为定量分析．从而给出利用函数解析式来判断函数单调性的方法．启发学生思考，完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．通过例题解答，加深对函数单调性定义的理解，并自然而然地将定义运用到判定函数单调性中，理论与实践相辅相成．突出重点，深化证明步骤，分解难点．新课定函数单调性的步骤：S1 计算∆x和∆y；S2 计算k＝∆y∆x．当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．8．例3证明函数f (x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是任意两个不相等的正实数．因为∆x＝x2－x1，∆y＝f(x2)－f(x1)＝1x2－1x1＝2121xxxx-＝－2112xxxx-＝－21xxx∆．又因为x1 x2＞0，所以∆y∆x＝－211xx＜0．因此，函数 f (x)＝x1在区间(0，＋∞)上是减函数．9．练习2证明函数 f (x)＝3x在区间(－∞，0)上是减函数．一设、二求、三判定．学生讨论并试解例题．老师点拨、解答学生疑难．学生模仿练习．通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生判断∆y∆x的正负．巩固用函数解析式来判定单调性的思路和步骤．巩固理解，形成技能．小结1. 函数单调性的定义；2. 判定函数单调性的方法．学生阅读课本P66～68，畅谈本节课的收获．老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P 69，练习A组第2题；练习B组第1、2题．巩固拓展．。