中职数学函数的单调性教案

中等专业学校2023-2024-1教案函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因此这一节我们一起来研究函数的性质．3.3.1 函数的单调性一．情境导入请大家观察下图，这是某市某天气温y（℃）是时间y(时)的函数图像，记这个函数为y = f(x)．观察图像，当自变量x变化时，函数y = f(x)怎样变化? 如何用数学的语言来表示这个变化？由图可知：时间从4ℎ到14ℎ曲线呈上升趋势，说明气温随时间的增加而逐渐升高，也就是说当y∈ [4，14] 时，函数y = y(y)的值随自变量x 的增大而增大．时间从14ℎ到24ℎ曲线呈下降趋势，说明气温随时间的增加而逐渐降低，也就是说当y∈ [14，24] 时，函数y = y(y)的值随自变量x的增大而减小．由图可知：在给定区间[4，14]上，对于图像上的任意两点y1(y1, y1)，y2(y2, y2)，当y1＜y2时，都有y1＜y2，即，f(x1)＜f(x2)．在给定区间[14，24]上，对于图像上的任意两点y3(y3, y3)，y4(y4, y4)，当y3＜y4时，都有y3＞y4，即f(x3)＞f(x4)．二、新授从上述例子可抽象出如下定义：设函数y = y(y)的定义域为D，区间y⊆ y．（1）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1＜y2时，都有y(y1) ＜y(y2)，那么称函数y = y(y)在区间I上是增函数，区间I 称为函数y = y(y)的增区间．如图（1）所示．（2）如果对于区间y上的任意两点y1，y2，当y1€y2时，都有y(y1) Σ y(y2)，那么称函数y = y(y)在区间I上是减函数，区间I称为函数y = y(y)的减区间．如图（2）所示．如果函数y = y(y)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y = y(y)在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间．增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间．三、例题讲解例1 根据函数在R 上的图像，如图所示，写出其单调区间：解（1）由图（1）所示函数图像可知，函数y =y(y)的定义域为R，增区间为(—∞，0]，减区间为[0，+ ∞)．（2）由函数图像（2）可知，函数y = y(y)的定义域为(—∞，0) ∪ （0, +∞) ，增区间为(—∞，0)和（0, +∞)．探究与发现函数f (x)=1 的减区间能写成(—∞，0) ∪x（0, +∞)吗？例2 讨论函数y(y) = 2y + 1在(—∞，+ ∞）上的单调性．解任取y1, y2∈ (—∞，+ ∞）且y1＜y2，因为y(y1) —y(y2) = (2y1 + 1)－(2y2 + 1)=2y1— 2y2= 2(y1—y2)，由y1—y2＜0，所以y(y1) —y(y2)＜0,即y(y1) ＜y(y2)．。

3.3函数的单调性学案（2课时）1．理解函数的单调性的概念.2．能判断和证明简单函数的单调性.3．逐步树立数形结合的思想.二、教材分析【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】函数单调性的判断和证明.三、教学过程(一)复习回顾：1、函数的表示方法有哪些？2、做出函数y=2x+1和函数y=-2x+1的图像. ：(二)探究新课观察函数y=2x+1和函数y=-2x+1的图像，当自变量x在（-∞，+∞）上由小变大时，函数y=2x+1的值，而函数y=-2x+1的值。

1、函数的单调性的相关概念：（1）自变量的增量或改变量△x= ，函数值y的增量或改变量△y= ，增量可以是正数，也可以是负数。

（2）增函数的概念：（3）减函数的概念：（4）函数的单调性及单调区间的概念：（三）典例解析：例1、函数y=f（x）的定义域是【-5,5】，根据图像指出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上函数的单调性。

.例2、证明函数f（x）=2x+1在（-∞，+∞）上是增函数。

例3、证明函数f （x ）=x1在区间（-∞，0）上是减函数。

总结：证明函数单调性的步骤：取值→作商→变形→ 定号→下结论.（四）学生练习. 证明1()f x x x=+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.（五）拓展训练：1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. RD.不存在2. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ）A. 0k >B. 0k <C. 0b >D. 0b <3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =-B ．2y x= C ．||y x = D ．2y x =-4. 函数31y x =-+的单调性是 .5. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .。

函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。

(3) 举例说明函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。

(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。

(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。

1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。

教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。

(3) 举例说明函数单调性性质的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。

(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。

(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。

(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。

(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。

第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。

教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。

(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。

教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。

(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。

教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。

(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。

《函数单调性教案》一、教学目标：1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。

2. 学会利用单调性判断函数的性质，如极值、最值等。

3. 能够运用单调性解决实际问题，如求函数的极值、最值等。

二、教学内容：1. 函数单调性的概念及单调增、单调减的定义。

2. 单调性的判断方法及应用。

3. 实际问题中的单调性应用。

三、教学重点与难点：1. 函数单调性的概念及判断方法。

2. 单调性在实际问题中的应用。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解函数单调性的概念、判断方法及应用。

2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。

3. 互动教学法：提问、讨论，激发学生的思考。

五、教学过程：1. 导入：复习函数的概念，引导学生思考函数的性质。

2. 讲解：讲解函数单调性的概念，引导学生理解单调增、单调减的定义。

3. 举例：分析具体函数的单调性，让学生学会判断。

4. 练习：布置练习题，让学生巩固单调性的判断方法。

5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用单调性解决问题。

6. 总结：回顾本节课的内容，强调单调性的重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解和掌握程度。

2. 练习题：收集学生练习题的答案，评估学生对单调性判断方法的掌握。

3. 案例分析：评估学生在实际问题中运用单调性的能力。

七、教学拓展：1. 引导学生思考函数单调性在实际生活中的应用，如经济学中的需求曲线、供给曲线等。

2. 介绍函数单调性在数学其他领域的应用，如微分、积分等。

八、教学资源：1. 教材：提供相关教材，为学生提供系统性的学习材料。

2. 课件：制作课件，辅助教学，提高课堂效果。

3. 练习题：准备练习题，巩固所学内容。

4. 实际问题案例：收集实际问题案例，用于教学实践。

九、教学建议：1. 注重概念的理解：在教学过程中，要强调函数单调性概念的理解，让学生明白单调性是什么。

函数的单调性教案一、条件分析1．学情分析函数的单调性是函数这个章节的第三节课，通过前二节课的情景教学，学生对函数的恐惧感有所降低,所以，在进行教学设计的时候，我们仍然坚持情景教学，从学生身边熟悉的事物入手做到由浅入深，循序渐进。

2.教材分析教材充分利用函数图像，让学生通过观察图像获得对函数基本性质的直观认识，将抽象的知识直观化,充分体现了树形结合的思想。

二、三维目标知识与技能目标A层：1.理解函数单调性的概念；2。

掌握判别函数单调性的图像观察法；3。

掌握判别函数单调性的推理证明法；4。

知道函数的单调区间；B层：1.理解函数单调性的概念；2。

掌握判别函数单调性的图像观察法;3.掌握判别函数单调性的推理证明法；4。

知道函数的单调区间；C层：1.理解函数单调性的概念；2.掌握判别函数单调性的图像观察法;过程与方法目标通过创设情境，让学生观察、合作、探究函数图像的性质，直观感受函数的单调性；通过讲授让学生掌握判别函数单调性的证明方法；通过练习加强对新知识的巩固。

情感态度和价值观目标通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力；通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程三、教学重点函数单调性的概念、判断及证明四、教学难点根据定义证明函数的单调性五、主要参考资料：中等职业教育课程教材数学基础模块（上）、学生学习指导用书、教学参考书。

六、教学进程： 情景导入：礼拜天，同学们就会去青青百货买东西。

那么我们从学校门口去青青百货的这段路程中，是上坡还是下坡呢？那我们把这段路程的简图画在平面直角坐标系中是什么样子呢？同学们仔细观察图形,从左往右图像呈什么变化趋势? （1）图像观察法像这种函数图像从左往右呈上升趋势的函数我们称为增函数（函数值逐渐增加的函数）。

3.3 函数的单调性一．学习目标1、理解函数单调性的概念，会根据函数的图像判断函数的单调性；2、能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性。

3、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力二．预习案（一）.自学引导观察函数x x f =)(，2)(x x f =的图象从左至右看函数图象的变化规律:(1).x x f =)(的图象是_________的， 2)(x x f =的图象在y 轴左侧是______的，2)(x x f =的图象在y 轴右侧是_______的.(2) x x f =)(在),(+∞-∞上，)(x f 随着x 的增大而___________;(3) 2)(x x f =在]0,(-∞ 上，)(x f 随着x 的增大而_______;2)(x x f =在),0(+∞上，)(x f 随着x 的增大而________.归纳总结一、单调性※ 增函数、减函数的定义在函数)(x f y = 的图象上任取两点A (x 1，y 1), B (x 2，y 2),记△x= △y= 这里△x 表示自变量的增量或改变量，△y 表示函数值的增量或改变量.1. 增减函数定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为I ： x y 0 xy 0 x x f =)( 2)(x x f =如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个 自变量的值21,x x ，当时，则称)(x f 在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ； 当 时，则称)(x f 在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个2.函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是 或 ，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间：例1.下列说法正确的是 （ ）A.定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在不相等),(,21b a x x ∈，当0>∆∆x y 时，那么)(x f 在),(b a 上为增函数B.定义在),(b a 上的函数)(x f ，若有无穷多对不相等),(,21b a x x ∈，当0>∆∆x y 时，那么)(x f 在),(b a 上为增函数C.若函数)(x f 在区间1I 上为减函数，在区间2I 上也为减函数，那么)(x f 在区间21I I ⋃上就一定是减函数D.若函数)(x f 在区间I 上是增函数，且)()(21x f x f <，),(21I x x ∈，则21x x <. 讨论：设任意不相等[]b a x x ,,21∈，（1）若12x x <时，12()()f x f x <，则)(x f 在[]b a ,上是增函数吗？（2）若12x x <时，)()(21x f x f >，则)(x f 在[]b a ,上是减函数吗？（二）.预习自测1.下列函数中,在)0,(-∞上不是增函数的是( )A.x y 3=B.2x y -=C.x y =D.xy 1-= 2.对于函数)(x f y =，在定义域内有两个值21,x x ，且21x x <，使)()(21x f x f <成立，则)(x f y = （ ）A.一定是增函数B.一定是减函数C.可能是常数函数D.单调性不能确定3．已知函数)(x f 在（－2，3）上是减函数，则有（ ）A.)0()1(f f <-B.)2()0(f f <C.)0()1(f f <D.)1()1(f f <-4.如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：三．探究案1.探究一：利用图像求下列函数的单调区间并指出在其单调区间上是增函数还是减函数：（1）12-=x y （2）4)1(2-=-x y （3）xy 1= (4)x y =2.探究二：求证：1)(3+=x x f 在R 上是增函数。

3.2 函数的基本性质——单调性
【教学目标】
1、知识目标：
（1）理解函数的单调性的概念；
（2）会借助于函数图像讨论函数的单调性；
（3）熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性。

2、能力目标：通过概念的教学，培养学生观察、比较、分析、概括的逻辑思
维能力，使学生体验数学的一般思维方法，提高分析问题、解
决问题的能力。

3、德育目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证
的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，
从感性到理性的认知过程．
【教学重点】
函数的单调性定义。

【教学难点】
利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

【教学方法】
讲授法、讨论法、谈话法、分析法、举例法、演示法。

【教具准备】
多媒体课件
【课时安排】
两课时（90分钟）
【教学过程】
从上图可以看到，有些时候该股票的价格
随着时间推移在上涨，即时间增加股票价格也
增加；有时该股票的价格随着时间推移在下跌，
即时间增加股票价格反而减小．
1()f x 2()
f x )
(x f y =1()
x 2()x )(x f y =。

《函数的单调性》组内公开课教案巩固知识尝试应用例 1 小明从家里出发，去学校取书，顺路将自行车送还王伟同学．小明骑了30分钟自行车，到王伟家送还自行车后，又步行10分钟到学校取书，最后乘公交车经过20分钟回到家．这段时间内，小明离开家的距离与时间的关系如图所示．根据图像说出这个函数的单调区间，以及在函数在各单调区间上的单调性．教师引导学生独立完成并对学生的回答，及时鼓励并适时点评.教师倡导学生积极思考，从不同角度解决本题，体会难易差别.通过观察图像变化特征确定函数的单调区间，培养学生知识的正确运用知识解决问题的能力.应用知识强化练习1.已知函数图像如下图所示．（1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性；（2）写出函数的定义域和值域．先让学生回答，然后老师再给予指导和说明.通过巩固训练及时巩固对所学知识.归纳总结理论升华函数单调性的判定方法第一种方法图像法：借助于函数的图像来判定．让学生总结判断方法及实施办法.通过归纳解题方法，提高认识，加深对知识应用理解.收获盘点要求从我掌握的知识和我学到的方法和思想两个方面谈自己的收获1.新知识2.数学思想和方法在教师引导提问的基础上，让学生自己进行归纳总结，教师加以补充.从知识梳理、方法归纳、思想提炼三个方面进行点拨，使得知识结构板块化，网络化.让学生具有完整的认知结构.布置作业1.书面作业：甲组：课本52页习题3.2A组第1题乙组：课本48页练习3.2.1第1题另加一问写出该函数最大值和最小值。

丙组：课堂学习的例题12.课后思考作业：丙组：根据一次函数y=kx+b(k≠0)的图像分析其单调性教师分层布置作业，要求学生独立完成，反馈学生对知识方法掌握的情况基于本节课内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成.。

中职数学基础模块上册（人教版）教案：函数的单调性3.1.3 函数的单调性【教学目标】1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法．2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点．【教学重点】函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性．【教学难点】利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性．【教学方法】这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入从常见的美丽的建筑物图片入手，让学生感知数学的美，激发学生的学习兴趣．师：播放动画，师生共同欣赏后，引导学生观察部分曲线的变化趋势，引入课题．联系实际，激发兴趣．新1．课件展示下列函数图象师：提出问题，引导观察思考：1．观察图象的变化趋势怎样？2．你能看出当自变量增大或减少时函数值如何变化吗？生：观察动画，从图象直观感知函数的单调性．课新课2．增函数与减函数的定义：增函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着增大(减少)．减函数：在给定的区间上自变量增大(减少)时，函数值也随着减少(增大)．3．例1给出函数y＝f (x)的图象，如图所示，根据图象指出这个函数在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解函数y＝f (x)在区间[－1，0]，[2，3]上是减函数；在区间[0，1]，[3，4]上是增函数．4．练习1(1) 观察教材P64 例1的函数图象，说出函数在(－∞，＋∞)上是增函数还是减函数；(2) 观察教材P65 例2的函数图象，分别说出函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数还是减函数．5．设y＝f (x)，在给定的区间上，它的图象如图．在此图象上任取两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，记思考回答．教师引导学生归纳增函数与减函数的定义．学生观察图象完成此题，掌握用图象来判断函数单调性的方法．教师强调，在说明函数单调性时，要指出明确的区间．学生回答，教师点评．教师带领学生结合增函数图象分析如何利用函数的解析式来判断一个函通过观察函数图象直接给出增函数、减函数的定义，符合学生的特点，容易被学生接受．从观察直观图象入手，加深对单调性定义的理解，掌握用图象法判定函数单调性的方法，使学过的知识及时得到应用．通过练习1，让学生进一步掌握利用函数的图象来判断函数单调性的方法，从而提高学生的读图能力，并与前面学过的知识结合，对学过的函数有更新的认识．将增函数、减函数定义中的定性新课∆x＝x2－x1，∆y＝y2－y1．6．例2 证明函数f (x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．证明设x1，x2是任意两个不相等的实数，则∆x＝x2－x1∆y＝f (x2)－f (x1)＝(3 x2＋2)－(3 x1＋2)＝3(x2－x1)，∆y∆x＝3(x2－x1)x2－x1＞0．因此，函数 f (x)＝3 x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数．7．总结由函数的解析式判数是增函数．学生类比分析如何利用函数的解析式来判断一个函数是减函数．教师指出利用函数图象判断单调性的局限性，引导学生从函数解析式入手证明单调性的思路与步骤．教师讲解例题2，板书详细的解题过程．教师引导学生总结解题步骤，可简记为：说明转化为定量分析．从而给出利用函数解析式来判断函数单调性的方法．启发学生思考，完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华．在板书例题的过程中，突出解题思路与步骤．通过例题解答，加深对函数单调性定义的理解，并自然而然地将定义运用到判定函数单调性中，理论与实践相辅相成．突出重点，深化证明步骤，分解难点．新课定函数单调性的步骤：S1 计算∆x和∆y；S2 计算k＝∆y∆x．当k＞0时，函数在这个区间上是增函数；当k＜0时，函数在这个区间上是减函数．8．例3证明函数f (x)＝1x在区间(0，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是任意两个不相等的正实数．因为∆x＝x2－x1，∆y＝f(x2)－f(x1)＝1x2－1x1＝2121xxxx-＝－2112xxxx-＝－21xxx∆．又因为x1 x2＞0，所以∆y∆x＝－211xx＜0．因此，函数 f (x)＝x1在区间(0，＋∞)上是减函数．9．练习2证明函数 f (x)＝3x在区间(－∞，0)上是减函数．一设、二求、三判定．学生讨论并试解例题．老师点拨、解答学生疑难．学生模仿练习．通过学生讨论、老师点拨，顺利帮助学生判断∆y∆x的正负．巩固用函数解析式来判定单调性的思路和步骤．巩固理解，形成技能．小结1. 函数单调性的定义；2. 判定函数单调性的方法．学生阅读课本P66～68，畅谈本节课的收获．老师引导梳理，总结本节课的知识点．梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．作业教材P 69，练习A组第2题；练习B组第1、2题．巩固拓展．。

中职数学教案——函数单调性1. 引言函数是数学中一种重要的概念，它描述了自变量与因变量之间的关系。

而函数的单调性则是描述了函数在定义域上的变化规律。

了解函数的单调性对于中职数学学习来说是非常重要的。

在本教案中，我们将重点讲解函数的单调性，包括函数的递增性和递减性，并通过实际例子和练习来加深理解。

2. 函数的单调性及相关概念2.1 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) < f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是递增的。

2.2 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是递减的。

2.3 严格递增和严格递减如果对于定义域内的任意两个不相等的实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) < f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是严格递增的。

类似地，如果对于定义域内的任意两个不相等的实数 x1 和 x2 （x1 < x2），都有 f(x1) > f(x2)，那么函数 f(x) 在其定义域上是严格递减的。

2.4 单调函数和非单调函数如果函数 f(x) 在其定义域上是递增或递减的，那么它是一个单调函数。

如果在函数的定义域上即既存在递增又存在递减的情况，那么它是一个非单调函数。

3. 函数单调性的判定方法3.1 导数的方法对于一元函数而言，可以通过求导函数来判断函数的单调性。

当导数f’(x) 大于 0 时，函数 f(x) 在该点上是递增的；当导数f’(x) 小于 0 时，函数 f(x) 在该点上是递减的。

3.2 一阶差分的方法对于离散函数而言，可以通过计算相邻两个函数值的差分来判断函数的单调性。

当函数值的差分大于 0 时，函数是递增的；当函数值的差分小于 0 时，函数是递减的。

“函数的单调性”教案一、教学目标1. 理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法。

2. 能够运用函数单调性解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对函数知识的兴趣。

二、教学内容1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 函数单调性的定义与性质2. 判断函数单调性的方法3. 函数单调性在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探究函数单调性的定义与性质。

2. 通过例题讲解，让学生掌握判断函数单调性的方法。

3. 结合实际问题，培养学生运用函数单调性解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的单调性。

2. 讲解函数单调性的定义与性质：详细讲解函数单调性的概念，引导学生理解并掌握函数单调性的性质。

3. 判断函数单调性的方法：讲解如何判断函数的单调性，引导学生通过实例分析来掌握判断方法。

4. 运用函数单调性解决实际问题：给出实际问题，引导学生运用函数单调性进行解决，培养学生的应用能力。

5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调函数单调性的重要性。

6. 布置作业：设计具有针对性的作业，巩固学生对函数单调性的理解和掌握。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数单调性的理解程度，及时发现并解决学生在学习过程中遇到的困惑。

2. 作业批改：重点关注学生对函数单调性概念的掌握和判断方法的运用，及时给予反馈和指导。

3. 课堂练习：设计一些具有代表性的练习题，让学生在课堂上独立完成，检验学生对函数单调性的掌握情况。

七、教学拓展1. 引导学生思考函数单调性与其他数学概念的联系，如导数、极限等。

2. 介绍函数单调性在实际应用中的重要作用，如经济学、物理学等领域。

3. 鼓励学生进行课外阅读，了解函数单调性的更多相关知识，提高学生的知识面。

八、教学反思1. 反思教学过程中的优点和不足，总结经验教训，为今后的教学提供参考。

（完整版）中职数学教案——函数的单调性3.2 函数的基本性质——单调性教学⽬标】1 、知识⽬标：（1）理解函数的单调性的概念；（2）会借助于函数图像讨论函数的单调性；（3）熟练应⽤定义判断函数在某区间上的的单调性。

2、能⼒⽬标：通过概念的教学，培养学⽣观察、⽐较、分析、概括的逻辑思维能⼒，使学⽣体验数学的⼀般思维⽅法，提⾼分析问题、解决问题的能⼒。

通过知识的探究过程培养学⽣细⼼观察、认真分析、严谨论证3、德育⽬标：的良好思维习惯，让学⽣经历从具体到抽象，从特殊到⼀般，从感性到理性的认知过程．教学重点】函数的单调性定义。

教学难点】利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

教学⽅法】讲授法、讨论法、谈话法、分析法、举例法、演⽰法教具准备】多媒体课件课时安排】两课时（90 分钟）环节时间⽬的⽅法12 分钟直观认识函数的单调性分析：①函数fg x 2的图像始终沿x轴正⽅向逐渐上升，即：在（⼀X, + %）上，y随x的增⼤⽽增⼤。

②函数f（X）X 2的图像始终沿X轴正⽅向逐渐下降，即：在（⼀X, + X）上, y随X的增⼤⽽减⼩。

③函数f（x> X2的图像在y轴左侧逐渐下降，在y轴右侧逐渐上升，即：在（⼀X，0 ［上，y随X的增⼤⽽减⼩。

在［0, + X）上, y随X的增⼤⽽增⼤。

2④函数f （X）的图像在y轴左侧逐渐下X降，在y轴右侧也逐渐下降。

即：在（⼀X, 0）上, y随X的增⼤⽽减⼩。

在（0, + X）上, y随X的增⼤⽽减⼩。

⼩结：类似地，函数值随着⾃变量的增⼤⽽增⼤（或减⼩）的性质就是函数的单调性。

课件⽰图代表发⾔引导归纳演⽰法培养学⽣数学语⾔的表达能⼒分别出⽰图像，逐⼀分析函数图象的逐渐上升、下降⽤动画演⽰，增加直观性，便于学环节时间⽬的⽅法思考：某函数图像如下量变化的规律吗？，能说出其函数值随⾃变结论：难以确定分界点的确切位置. ⼩组讨论课件⽰图通过实例使学⽣体会到⽤定⽤函数图象判断函数单调性虽然⽐较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进⾏研究。

函数的单调性教案一、教学目标：1. 理解单调性的概念，能判断简单函数的单调性。

2. 掌握单调性的证明方法，能运用单调性解决实际问题。

3. 理解单调性在数学分析中的重要性，培养学生的逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 单调性的定义与性质2. 单调性的判断方法3. 单调性的证明方法4. 单调性在实际问题中的应用5. 单调性的进一步探讨三、教学重点与难点：1. 单调性的定义与性质2. 单调性的判断方法3. 单调性的证明方法四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解单调性的定义、性质、判断方法和证明方法。

2. 利用实例分析，让学生直观地理解单调性。

3. 引导学生运用单调性解决实际问题，培养学生的应用能力。

4. 开展小组讨论，激发学生的思考与创新。

五、教学过程：1. 导入：回顾函数的基本概念，引导学生思考函数的性质。

2. 新课讲解：（1）介绍单调性的定义与性质，通过示例让学生理解单调递增和单调递减的概念。

（2）讲解单调性的判断方法，引导学生学会如何判断函数的单调性。

（3）教授单调性的证明方法，让学生掌握如何证明函数的单调性。

3. 实例分析：分析实际问题，运用单调性解决问题。

4. 小组讨论：让学生围绕单调性展开讨论，分享自己的观点和心得。

5. 总结与拓展：回顾本节课的内容，布置课后作业，引导学生进一步探讨单调性的相关问题。

六、课后作业：（1）f(x) = x²（2）f(x) = -x（1）f(x) = x³（2）f(x) = x + 13. 运用单调性解决实际问题：（1）已知函数f(x) = x²4x + 3，求函数的最大值。

（2）已知函数f(x) = 2x 3，求函数在区间[1, +∞）上的最小值。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习积极性。

2. 课后作业：检查学生的作业完成情况，评价学生对单调性的理解和掌握程度。

3. 小组讨论：评价学生在讨论中的表现，包括思考问题、分享观点和合作意识等方面。

《函数的单调性》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 掌握函数单调性的概念和基本性质。

2. 能够根据函数图像判断函数的单调性。

3. 学会运用函数单调性解决实际问题。

二、教学重难点教学重点：掌握函数单调性的概念和判断方法。

教学难点：理解函数单调性的本质，能够正确运用。

三、教学准备1. 准备教学PPT，包含各种函数的图像。

2. 准备一些实际问题，用于引导学生运用函数单调性解决。

3. 让学生提前预习，自行绘制一些常见函数的图像。

四、教学过程：本节课是函数的单调性的第一课时，主要教学目标是让学生理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性方法，能利用函数单调性解决一些简单的实际问题。

教学过程的设计要遵循学生的认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从直观到严谨。

具体如下：1. 创设情境，导入新课通过设计气温变化、弹簧的伸长和应力的变化等实例，引导学生观察分析，发现其中的变化规律。

从而引出函数单调性的概念和符号表示。

设计意图：通过实例引导学生发现变化规律，为后续学习做好铺垫。

2. 自主探究，理解概念让学生阅读课本相关内容，思考以下问题：(1) 函数单调性的概念是什么？(2) 判断函数单调性有哪些方法？(3) 如何用符号表示函数单调性？学生通过阅读课本和小组讨论，尝试总结出函数单调性的概念、判断函数单调性的方法以及符号表示。

教师对学生的回答进行点评和补充。

设计意图：通过自主探究，培养学生的阅读理解能力和归纳总结能力。

3. 合作交流，应用概念让学生完成课本上的相关练习，教师点评。

然后设计一些实际问题，让学生运用所学的函数单调性的概念和符号表示进行解答。

例如：(1) 判断函数在区间上的单调性；(2) 证明函数在区间上是单调减函数；(3) 求函数在区间上的最值。

学生小组合作交流，共同解决问题。

教师巡回指导，并对学生的解答进行点评。

设计意图：通过练习和实际问题，让学生进一步理解函数单调性的概念和符号表示，掌握判断函数单调性的方法，提高解决实际问题的能力。

微课教学设计主讲教师指导教师学校名称课程名称函数单调性的应用《函数单调性的应用》微课教学设计方案正确判断函数的单调性）1.区间的书写2.单调性的概念增函数：在给定的区间上，函数值与自变量同时增大或者同时减小（增减同向）。

给定的区间就是该函数的增区间。

减函数：在给定的区间上，函数值与自变量反向增大或者反向减小（增减反向）。

给定的区间就是该函数的减区间。

不等式和区间，学生进行对应连线）2.单调性的概念（教师读，学生听）巩固区间书写知识点和单调性的概念问题导入法，复习旧知，为新知学习打基础问题引入观察函数2xy 的图像教师：引出问题学生：观察函数图像，并回2分钟回答问题：函数值是如何随着自变量的变化而变化的？答问题用问答法了解学生对于函数单调性概念的掌握程度新知识写出下图的单调区间单增区间：](0,-∞单间区间：[)∞+，0教师：边讲边写单调区间学生：听讲领会用讲授法让学生掌握用图象法判定函数单调性的方法5分钟新知识巩固例1：下图是函数()x fy=，x∈[-1, 8]上的图像，根据图像回答下列问题。

（1）当x 取何值时，函数教师：第一问，引导学生观察图像，并回答问题；第20分钟值最大，最大值是多少？当x 取何值时，函数值最小，最小值是多少？(2)说明该函数的单调区间及在每一个区间上的单调性。

解：(1)由图可知, 当x=2时, 函数值最大, 最大值是3；当x=6时, 函数值最小, 最小值是-3。

(2)函数()x fy=的单调区间有[-1, 2], [2, 6], [6, 8]。

函数()x fy=在区间[-1, 2]和[6, 8]上都是增函数, 在区间[2, 6]上是减函数.板书给出应用模板：在区间上，函数是函数，区间是函数的区间。

随堂练习：二问，运用区间知识重点讲解正确书写单调区间，并给出应用模板。

学生：先观察函数图像升降情况，回答第一问；通江，领会掌握区间书写方法。

用讲授法让学生掌握图像法判断函数单调性的方法。

3.3函数的单调性学案（2课时）1．理解函数的单调性的概念.2．能判断和证明简单函数的单调性.3．逐步树立数形结合的思想.二、教材分析【教学重点】函数单调性的概念.【教学难点】函数单调性的判断和证明.三、教学过程(一)复习回顾：1、函数的表示方法有哪些？2、做出函数y=2x+1和函数y=-2x+1的图像.：(二)探究新课观察函数y=2x+1和函数y=-2x+1的图像，当自变量x在（-∞，+∞）上由小变大时，函数y=2x+1的值，而函数y=-2x+1的值。

1、函数的单调性的相关概念：（1）自变量的增量或改变量△x= ，函数值y 的增量或改变量 △y= ，增量可以是正数，也可以是负数。

（2）增函数的概念：（3）减函数的概念：（4）函数的单调性及单调区间的概念：（三）典例解析：例1、函数y=f （x ）的定义域是【-5,5】，根据图像指出函数的单调区间，并指出在每一个单调区间上函数的单调性。

.例2、证明函数f （x ）=2x+1在（-∞，+∞）上是增函数。

例3、证明函数f （x ）=x1在区间（-∞，0）上是减函数。

总结：证明函数单调性的步骤：取值→作商→变形→ 定号→下结论.（四）学生练习. 证明1()f x x x=+的(0,1)上是减函数，在[1,)+∞是增函数.（五）拓展训练：1. 函数2()2f x x x =-的单调增区间是（ ）A. (,1]-∞B. [1,)+∞C. RD.不存在2. 如果函数()f x kx b =+在R 上单调递减，则（ ）A. 0k >B. 0k <C. 0b >D. 0b <3. 在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A ．2y x =-B ．2y x=C ．||y x =D ．2y x =- 4. 函数31y x =-+的单调性是 .5. 函数()|2|f x x =-的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .28.2.2 应用举例第1课时与视角有关的解直角三角形应用题1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题.2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.阅读教材P74-75页，自学“例3”与“例4”，复习与圆的切线相关的知识，弄清仰角与俯角的概念.自学反馈独立完成后小组内展示学习成果①某人从A看B的仰角为15°，则从B看A的俯角为 .②什么叫圆的切线？它有什么性质？③弧长的计算公式是什么？④P89练习题1-2题.把求线段的长转化成解直角三角形的知识，构造直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.活动1 小组讨论例1 如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10 m，∠A=26°，求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长.(精确到0.01 m)解:∵tanA=BC AC,∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44(m).∵cosA=AC AB,∴AB=ACcosA=526cos≈5.56(m).答:中柱BC约长2.44 m,上弦AB约长5.56 m.这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形，同一个问题可以用不同的关系式来解.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如图，某飞机于空中处探测到目标C，此时飞行高度AC=1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=16°31′,求飞机A到指挥台B的距离.(精确到1 m)2.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5 m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少m.(精确到0.1 m)这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题，另外，要注意理解有关的名词术语.第2小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.活动1 小组讨论例2 如图，两建筑物的水平距离为32.6 m，从点A测得点D的俯角α为35°12′，测得点C俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.(精确到0.1 m)解:过点D作DE⊥AB于点E,则∠ACB=β=43°24′,∠ADE=α=35°12′,DE=BC=32.6 m.在Rt△ABC中,∵tan∠ACB=AB BC,∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83(m).在Rt△ADE中,∵tan∠ADE=AE DE,∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00(m).∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8(m).答:两个建筑物的高分别约为30.8 m,7.8 m.关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化成几何问题解决.活动2 跟踪训练(小组讨论完成并展示学习成果)如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R 处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43°，1s后，火箭到达B点，此时测得BR 的距离是6.13 km ，仰角为45.54°,这个火箭从A 到B 的平均速度是多少(精确到0.01 km/s)?速度=路程÷时间，本题中只需求出路程AB ，即可求出速度.无论是高度还是速度，都转化成解直角三角形.活动3 课堂小结1.本节学习的数学知识:利用解直角三角形解决实际问题.2.本节学习的数学方法:数形结合、数学建模的思想.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①15°②略 ③360n ︒︒·2πr ④7.7 m 334.2 m【合作探究1】活动2 跟踪训练1.4 221 m2.6.0 m【合作探究2】活动2 跟踪训练0.28 km/s高一年级化学学科学案微粒之间的相互作用力第三课时【学习目标】1.认识分子间作用力的概念；2.用分子间作用力解释常见事实。

《函数单调性教案》教案章节：一、函数单调性的概念教学目标：1. 了解函数单调性的概念；2. 学会判断函数的单调性；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。

教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数的单调性；2. 给出函数单调性的定义，解释单调递增和单调递减的概念；3. 讲解函数单调性的判断方法，引导学生进行判断；4. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。

教案章节：二、函数单调性的判断方法教学目标：1. 学会判断函数的单调性；2. 掌握函数单调性的判断方法；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。

教学内容：1. 回顾函数单调性的概念；2. 讲解函数单调性的判断方法；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 复习函数单调性的概念，引导学生回顾上一节课的内容；2. 讲解函数单调性的判断方法，如导数法、图像法等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如最优化问题、经济问题等；4. 练习判断函数的单调性，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。

教案章节：三、函数单调性与最优化问题教学目标：1. 了解函数单调性与最优化问题的关系；2. 学会应用函数单调性解决最优化问题；3. 能够应用函数单调性解决实际问题。

教学内容：1. 引入函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用。

教学步骤：1. 引入实例，引导学生思考函数单调性与最优化问题的关系；2. 讲解函数单调性在解决最优化问题中的应用，如求函数的最大值、最小值等；3. 举例说明函数单调性在实际问题中的应用，如成本最小化问题、收益最大化问题等；4. 练习解决最优化问题，让学生巩固所学知识；5. 总结本节课的重点内容，布置作业。