(优质)中职数学函数的单调性PPT课件

在[0, ) 上，任取 x1， x2 ，只要 x1 x2 ，就有 f ( x1 ) f ( x2 ) ．
问题：你能归纳以上两个函数单调性的刻画方法，给出函数 =
()在区间I上单调性的符号表述吗？
二、新课讲解
1、函数的单调性的定义:
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间 ⊆D:
• 思考1：根据图象，当自变量x的值增大时,相应函数值是如何变化的呢？
4
当x≤ 0时，y随x的增大而减小
当x≥0时，y随x的增大而增大
1
-2 -1
O
x
1 2
0.001和0.002差着
0.001，0.001和0却
差着一切。
二、新课讲解
• 以函数图像y=f(x)= 2 为例：
思考2：我们知道当x≤0时，y随x的增大而减小。那“x增大了”如何用符号语言
表示？“对应函数值y减小”又该如何表示？观察下表，你能给出具体描述吗？
x
...
-5
-4
-3
-2
-1
...
f(x)=x2
...
25
16
9
4
1
...
当x从-5增大到-4，函数值f(x)从25减小到16；当x从-4增大到-3，函数值f(x)从
16减小到9；当x从-3增大到-2，函数值f(x)从9减小到4；
即f (x1)<f (x2).这时,f (x)=kx+b是增函数.
②当k<0时,k(x1-x2)＞0.于是f (x1)-f (x2)>0,
即f (x1)>f (x2).这时,f (x)=kx+b是减函数.
变形
判号
定论
三、题目训练

如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性

温故而知新
f (x) x
f (1) __ f (1)
f (x) 1 x
f (x) x2
f (3) __ f (2) f (2011) __ f (2012)
挑战自我
对于函数 f (x) x 2 (x 0) x
若1 a ,则比较 f (1) __？__ f (a)
体会生活
体会生活
新课探究
课堂小结
1、函数 y f (x)的单调性。
2、如何判断函数的单调性。
1.取数:任取x1，x2∈A，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间A上的单调性.
3、思想方法：数形结合
时 少 直 观
作 两 边 飞
本 是 相 倚 依
一
体
当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ，那么， 就说函数在区间A上是减少的，有时也称函数 在区间A上是递减的。
大显身手
函数 y f (x)的图像如下图所示，能否说： 函数在 [1, 0) (0,1] 是递增的？
y
-1
O
1
x
在函数 y f (x)的定义域内的一个区子间集 A上,如果对于 任意两数 x1, x2 A，当 x1 x2时,都有 f (x1) f (x2) ， 那么，就说函数在区数间集 A上是增加的。
课外探究
1、根据函数的单调性，我们能够求出函数的值域吗？
2、我们有没有办法找到函数 y x 2 (x 0) 的单调
区间的分界点？
x
作业
A组：练习2，练习5
永切隔数形数焉数
远莫离形少缺能与

•
2、不要看书，要看老师的眼睛
•
只要老师不是在一味地读教材，那老师的“话”就不可能和你低头看着的教材上的“文字”一致。头脑聪明的学生，也许能做到既集中精神听老师的话，又集中精神看眼前书上的内容。可是实际上大部分的学生都做不到这一点。
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
4、如果一个函数不存在单调性，只需举一个反例即可.
例1：证明函数
在R上是增函数
f (x) 2x 1
分析析：：画画出出这这个个一一次次函函数数的的图图像像（（见见右右图图）），，直直观观上上很
容进意很义何易行义容进意看证. 易行义出 明看 证. 函 .同出 明数学函.同值们数学随可值们着以随可自根着以变据自根量图变据增像量图大理增像而解大理增每而解大一增每.步下大一证面.步下根明证面的据明根定几的据义何几定
证证则明明：：设 设xx11 ，，xx22是是任任意意两两个个不不相相等等的的实实数数，，且且xx11﹤﹤ xx22，，
则
例2：证明函数 减 函数。
f
(x)

1 x
，在定义域区间上分别是
总结：
• 1.一次函数 y=kx+b（k≠0） • 当k＞0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调增区间； • 当k＜0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调减区间．
2019/8/9
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谢谢欣赏！
2019/8/9
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1 、从左至右图象上升还 是下降 __下_降___?

在(-∞, 0)
上单调递减
当 ∈ (0, +∞)时， ′ > 0
在(0, +∞)
上单调递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(3)

= 3
o

定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 3 2 ≥ 0
在R上单调
递增
探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(1)

定义域
导数正负
函数增减
∈
′ = 1 > 0
在R上单调
递增
=
o

探究二：观察下列4个函数的图像，探讨函
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(2)

= 2
o
定义域
导数正负
∈
′ = 2

函数增减
当 ∈(-∞, 0)时， ′ < 0
例2：已知导函数′ 的下列信息,试
画出函数 图像的大致形状：
当 < < 时，′ > ；
当 < ，或 > 时， ′ < ；
当 = ，或 = 时， ′ = .
课后作业
问题1：回顾函数单调性的定义，并思考能否从平均变化
率，瞬时变化率的代数表达式中找到函数单调性与导数正
数的单调性与导数的正负关系：
操作验证
(4)

定义域
1
=

o
导数正负
∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞)

′ = − −2 < 0

单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。

么参数的这个值应舍去;假设只有在个别点处有f'(x)=0,那么由
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往

在,和0 0上,的是增函数还是减函数？ y 9 8 7 6 5 4 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 2 3
x
解
y
1 x2
在
,0
上是增函数，在0,上是减函数.
探究
在函数y = f (x)的图象上任取两点 A(x1，y1)，B(x2, y2) ，记x = x2－x1，y = f (x2)－f (x1) = y2－y1．
案例讲解
例2 证明 f x 在3x 2 上是,增函数.
证明 设 x1，x2是任意两个不相等的实数，则 计算 x 和y
x x2 x1
计算 k y
y f x2 f x1 3x2 2 3x1 2 3x2 x1
x
k y 3 x2 x1 3 0
x x2 x1
当 k＞0时，函数在这个区 间上是增函数； 当 k＜0时，函数在这个区 间上是减函数．
函数的单调性是对 定义域内某个区间 而言的，离开了定 义域和相应区间就 谈不上单调性。
课堂练习
1.观察教材P64例1 y 的x函3 数图象，说出函数在
的是增函数还是减函数？
y 3 2
1
2 1 O 1 2 x 1
2 3
上,
解 y x3在,上是增函数.
课堂练习
2.观察教材P64例2 y 的 x函12 数图象，分别说出函数
证明 设x1, x2 是,0内的任意两个不相等的负实数，则
x x2 x1
y
f
x2
f
x1
3 x2
3 x1
3 x1 x2
x1x2
3 x2 x1
x1x2
k y 3 0 x x1x2
因此，f x 3 在区间 ,0上是减函数.

取值范围．
4．证明：
（1）函数() = − − 2在 −∞, +∞ 上是减函数．
（2）函数() = 2 2 + 1在 −∞, 0 上是减函数．
3.3.2
函数的奇偶性
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
大千世界，美无处不在．
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
3.3 函数的性质 ——奇偶性
例5 （2）图（2）给出了奇函数 = 在 0, +∞) 上的函数图像，
试将 = 的图像补充完整，并指出函数的单调区间．
（2）由于函数 = 是奇函数，所以它的
图像关于原点中心对称，因此它的图像如图
所示．函数 = 的增区间为 −∞, +∞ ．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
则称 = 是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数
具有奇偶性，其定义域一定关于原点中心对称．
3.3 函数的性质 ——奇偶性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
3.3 函数的性质
函数是描述客观事物运动变化规律的数学模型．了解了
函数的变化规律，也就基本把握了相应事物的变化规律，因
此这一节我们来研究函数的性质．
3.3 函数的性质
3.3.1
函数的单调性
3.3 函数的性质 ——单调性
情境导入 探索新知
例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
下图是某市某天气温（℃）是时间(时)的函数图像，
次函数，它们的定义域、值域、单调性、奇偶性等各是怎

课堂小结
通过本节课的学习，你的 主要收获有哪些？
小结：
1、如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值 x , x ，当 x x 时，都有f ( x ) f ( x ) ，那么就 说在这个区间上是增函数。
1 2 1 2 1 2
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值 x , x ，当 x x 时，都有 f ( x ) f ( x ) ，那么就说 在这个区间上是减函数。
函数的单调性
f ( x) 2 x 1
f ( x) 2 x 1
函数值随着自变量x 的增大而增大
函数值随着自变量x 的增大而减小
y x
2
y x
3பைடு நூலகம்
x 0 1 - 2 - … 1 2 y 0 1 1 4 4 …
x 0 1 - 2 - … 1 2 y 0 1 - 8 - … 1 8
1）图象在y轴右侧随着x 的增加，y的值在增加 2）图象在y轴左侧随着x 的增加，y的值在减小
注： （1）函数的单调性也叫函数的增减性
（2）函数的单调性是对定义域内的某个子区间而言 （3） x1 ,x2 的三个特征：任意性、有大小、同区间
注意：
1.增（减）函数都是对相应的区间而言的， 离开了区间就谈不上增（减）函数。 如：能不能不要区间，说某函数是增函数？或 2 说某函数是减函数？如说 y x 是增函数或减 函数。 2. 任意是指不能取特定值来判断函数是 增函数或减函数 3.都有是指只要 x1 x2时，f ( x1 )都必须大于 f ( x2 )
1 2 1 2 1 2
2、证明函数单调性的解题步骤 （1） 取值 （2） 作差变形 （3） 定号 （4） 判断
f ( x ) f ( x ) (3x 2) (3x 2) 3( x x ) 得x x 0 （3） 由x , x 即f ( x ) f ( x ) （4） 所以f ( x ) 3 x 2在R上是增函数

联系生活 加深理解
找出生活语言所隐含 的“单调性”
例：薄利多销
学生举例情况： 姜是老的辣； 海拔高，压强小; 山越高，温度越低； 人小鬼大； The more ，the better； 等。
“创新杯”教师教学设计和说课大赛
联系生活 加深理解
根据函数图象判断单调性：
人数（保人）持量（百分数）
市市场场需供求给量量DS（（件k）g）
赢家，好开心，好有成就感！” “数学的课堂也可以这么的有趣
和吸引人”
“创新杯”教师教学设计和说课大赛
布置作业，强化训练
一、必做题:
1、分析反比例函数
y
k x
(k单调0) 性的变化规律 .
2、已知函数 y f 在(x) 上为R 增函数，比较： f (4), 的f (大0),小f (.7)
3、已知函数 y f 在(x) 上R为减函数，比较： f (2), f的(大2),小f .(0)
按要求对函数图像和相关 信息进行处理的技能；
应用单调性知识解决与生 活相关问题的能力.
体验生活中的数学，享受 学习的过程.
“创新杯”教师教学设计和说课大赛
重点与难点
重点
函数单调性的 判断及应用
难点
关键
函数单调性概 念的形成
用生活实例，让 学生切实感受数 学与生活的紧密 联系，将抽象的 知识具体化
“创新杯”教师教学设计和说课大赛
巩固知识 适当延展
【练习2】 1. 已知函数图像如下图所示 ： （书本练习P48） （1）根据图像说出函数的单调区间以及函数在各单调区间内的单调性． （2）写出函数的定义域和值域．
【练习2】 2. 宝山钢铁股份有限公司（简称“宝钢” ）的每股收益三季报点线图如 图所示，请说出该公司在哪几年的三季度每股收益是增加的，在哪几年是减少的？

数学
基础模块（下册）
第三单元 函数
3.3.1函数的单调性
人民教育出版社
第三单元 函数 3.3.1函数的单调性
学习目标
知识目标 理解函数的单调性，理解增函数、减函数、单调区间的概念
能力目标
学生运用自主探讨、合作学习，掌握判断函数单调性的方法，研究函数的性 质，提高其发现问题、分析问题及解决问题能力；
调动思维，探究新知 在活初动中2，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
分析理解 观察图3-8，函数 y=x 和 y=-x 的定义域是 R．当自
变量 x 的值逐渐增大时，图3-8（1）中，函数图像从左到 右是上升的，函数值y随着自变量 x 的增大而增大．图3-8 （2）中，函数图像从左到右是下降的，函数值y随着自变 量x的增大而减小．
创设情境，生成问题 在活初动中1，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
观察思考 在初中，我们曾经利用函数图像探究函数值y随着自变
量x的增大而增大（或减小）的变化规律．仔细观察图3-8 的函数图像，随着自变量 x 的增大，函数 y 的变化趋势分 别是怎样的？
例如，图 3-8 中函数 y=x 是R上的增函数，区间（∞，+∞）是函数 y=x 的增区间；函数 y=-x 是 R 上的减 函数，区间（-∞，+∞）是函数 y=-x 的减区间；函数 y=x2 在区间（-∞，0）上是减函数，在区间（0，+∞)上 是增函数，区间（-∞，0）和（0，+∞）分别是函数y=x2 的减区间、增区间．
抽象概括 （2）如果对任意 x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有 f(x1)
＞f(x2)，那么就称函数 f(x) 在区间 A 上单调递减，如 图3-10所示．特别地，当函数 f(x) 在它的定义域上单 调递减时，我们就称它是减函数．

y
y f(x)
f (x 2 ) f (x1 )
OO
x1
x2 x
类比增函数的定义，请你给减函数下一个 定义？
减函数:
一般地，设函数y＝f(x)的定 义域为A，区间M A.如果取区 间M中的任意两个值x1 ，x2，
改变量 x= x2 - x1﹥0， 则当 y = f(x2)- f(x1)﹤0时，
下课
则
例2：证明函数 f (x) 1 ，在定义域区间上分别是减
函数。
x
总结：
1.一次函数 y=kx+b（k≠0） 当k＞0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调
增区间； 当k＜0时，（-∞，+∞）是这个函数的单调
减区间．
.反比例函数
y k (k 0) x
当k＞0时,（-∞，0）和（0，+∞） 都是这个函数的单调减区间；
函数的单调性
画出下列函数的图象，观察其变化规律
f(x) = x
1、从左至右图象上升还是 下降 _上__升_?
2、在区间 _(_-_∞__,+__∞_上) ， 随着x的增大，f(x)的值随 着 _增__大___ ．
f(x)=-2x+1
y 3
2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1
x
-2
-3
当k＜0时,（-∞，0）和（0，+∞) 都是这个函数的单调增区间
二次函数 y=ax2 bx c(a 0)

当a>0时，(,

b) 2a
是这个函数的单调减区间，
是它的( b单,调) 增区间；
2a

当a<0时，(,