23,24第12章 动量矩定理(第20-22讲)

第20 讲教案动量矩定理O L r mv =⨯∑ 、刚体动量矩的计算：平动 O C C L r mv =⨯ 定轴转动 z z L J ω= 平面运动 O C C C L r mv L =⨯+对定点的动量矩定理： ()O M F动量矩度量质点在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。

．质点系的动量矩动量矩： 动量矩： ⑴平动刚体 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。

⑵定轴转动刚体 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度()O M m m =⨯v r v ()()z O xy M m M m =v v )()O zm ⎡⎤=⎣⎦v M v ()O O i i i i i m m ==⨯∑∑L M v r v ()zz i i O z L M m ⎡⎤==⎣⎦∑v L ()O O C C CL m mv r mv ==⨯()z z C L m mv =2()z z i i i i L m m m r ω==⋅∑v例 滑轮A ：m 1，R 1，R 1=2R 2，J 1 滑轮B ：m 2，R 2，J 2 ；物体C ：m 3 求系统对O 轴的动量矩。

解：OC OB OA O L L L L ++=2332222211)(R v m R v m J J +++=ωω11222321ωωR R v v === 3232222221)(v R m m R J R J L O +++=§12-2质系动量矩定理1. 质点动量矩定理质点M 的动量对于O 点的矩，定义为质点对于O 点的动量矩，即 v r v M m m O ⨯=)( 质点对于O 点的动量矩为矢量，它垂直于矢径r 与动量m v 所形成的平面，指向按右手法则确定，其大小为mvd OMD m O ==∆2)(v M将式（12-1）对时间求一次导数，有)()()(F M F r v r v r v M O O m dtdm dt d m dt d =⨯=⨯+⨯=得)()(F M v M O O m dtd=质点的动量矩定理——质点对固定点O 的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩。

例 已知m ，l ，t =0时ϕ= ϕ0，从静止 开始释放。

求单摆的运动规律。

解：对象：小球 受力如图空间时是矢量，平面时是代数量。

由牛顿第二定律，分析介绍动量矩定理。

体会由动量矩定理代入初始条件注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致. )()()O O F M T M mg mgl =+=-OM l ⊥= , ϕ2()O M mv ml l ml ϕϕ==()()O O dM mv M F dt=2()sin ,sin 0d g ml mgl dt l ϕϕϕϕ=-+= ,ϕ≈2g l=02=+ϕωϕn 00(0,,0)t ϕϕϕ===⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∑=∑=∑=)()()()()()(e z z e y y e x x M dt dL M dt dL M dtdL F F F 式中∑==n i i i x x m M L 1)(v ，∑==n i i i y y m M L 1)(v ，∑==ni i i z z m M L 1)(v 分别表示质系中各点动量对于x ，y ，z 轴动量矩的代数和。

（2）内力不能改变质系的动量矩，只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化。

在特殊情况下外力系对O 点的主矩为零，则质系对O 点的动量矩为一常矢量，即==O e OL M ,0)(常矢量 或外力系对某轴力矩的代数和为零，则质系对该轴的动量矩为一常数，例如0)()(=∑e x M F ，x L =常数如质点在有心力F 作用下的运动，如图 (a)所示，此时0=O M ，所以=⨯=v r L m O 常矢量，即L O 的大小和方向不变，所以质点动量矩守恒。

给出已知条件，由学员分析动量矩守恒定律。

①L O 方向不变，即质点在r 与m v 组成的平面内运动，且此平面在空间的方位不变；②L O 大小不变，即==∆=⨯mvd OAB m 2v r 常数，如图 (b)所示，得=θ2mr 常数，=θ 221r 常数。

θ 221r 为矢径在单位时间内扫过的面积，称为面积速度。

所以在有心力作用下质点的面积速度不变。

例1已知:解:对象：整个系统 受力：如图 运动：v =r ωα举例体会动量矩守恒。

求。

; ; αr P P P B A >rP P r P r P M B A B A e O)()(-=-=A B O O P PL v r v r J g gω=⋅+⋅+)2( , 2122PP P g r L r g P J B A O O ++==ω得代入将由动量矩定理：例2 已知：mA=mB ，初始静止。

问：A 向上爬时，B 将如何运动？运动的速度多大？（轮重不计）解：对象：整个系统受力如图系统动量矩守恒运动：A ↑、B ↑，v A=v Ar-v e ， v B=v er P P P P P g r dt d B A B A )()]2([2-=++ω/2A B A B P P d g dt r P P P ωα-∴==⋅++()()0e O m F =∑()0A eB e m v v r m v r --=2A B ev v v v ===A 与B 向上的绝对速度是一样的，均为v /2。

例 3 提升装置中，轮A 、B 的重量分别为P 1 、 P 2 ,半径分别为r 1 、 r 2 , 视为均质圆盘; 物体C 的重量为P 3 ; 轮A 上作用常力矩M 1 。

求物体C 上升的加速度。

解 对象：轮受力如图 运动：转动 对O 1轴的动量矩：对O 1轴的外力矩：由动量矩定理对象：轮B 及物C受力：如图 运动：转动对O2轴的动量矩： θ112111112O O P L J r gωω==111()O MF M Tr =-∑2111111(1)2d P r M Tr dt g ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭22322222O P P L r vr g gω=+练习1水平杆AB 长为a 2，可绕铅垂轴z 转动，其两端各用铰链与长为l 的杆AC 及BD 相连，杆端各联结重为P 的小球C 和D 。

起初两小球用细线相连，使杆AC 与BD 均为铅垂，系统绕z 轴的角速度为0ω。

如某瞬时此细线拉断后，杆AC 与BD 各与铅垂线成α角，如图。

不计各杆重量，求这时系统的角速度。

解：系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对z 轴之矩都等于零。

所以系统对z 轴的动量矩守恒，即0)()(=∑e z M F ，z L =常数。

开始时系统的动量矩为020122ωωa g Pa a g P L z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 细线拉断后的动量矩为 ωα22)sin (2l a gPL z += 由 21z z l L =，有 ωαω202)sin (22l a gPa g P += 由此求出细线拉断后的角速度022)sin (ωαωl a a += 显然 0ωω<。

1．花样滑冰运动员在光滑的冰面上，可做出许多优美的动作。

读者试分析运动员绕铅垂轴角速度的变化。

2．两人A 、B 同时爬绳，设两人质量相同，不计绳重及摩擦。

试讨论下面几种情形（1）A 以绝对速度v 爬绳，B 不爬，问B 的绝对速度为多少？ （2）开始时两人静止在同一高度，而后两人分别以相对于绳子的速度u A ，u B 同时爬绳，问谁先到达顶点？（3）*（2）中绳子移动的速度为多少？ （4）象这样的爬绳比赛能比出谁的力气大吗？练习2水涡轮以等角速度ω绕通过O 点的铅垂轴z 转动，求水流作用于涡轮的转动力矩。

解：取两叶片间的水流为研究对象。

作用于质系上的的外力有重力和叶片的约束力，重力平行于z 轴，对转动轴之矩为零。

所以外力主矩为叶片对水流的约束力对z 轴之矩z M 。

计算dt 时间间隔内动量矩的增量dL 。

设t 瞬时占据ABCD 的水流，经过dt 时间间隔后，运动至占据abcd ，设流动是稳定的，则ABCD abcd z L L dL -=第21 讲教案第21讲定轴转动微分方程理论力学教案第12章 定轴转动微分方程§12-3刚体绕定轴转动微分方程定轴转动刚体，若任意瞬时的角速度为ω，则刚体对于固定轴z轴的动量矩为22i i i i i i i z r m r m v m r L ∑=⋅∑=∑=ωω式中 2i i z r m J ∑= 称为刚体对z 轴的转动惯量，它是描述刚体的质量对z 轴分布状态的一个物理量，是刚体转动惯性的度量。

代入后得 ωz z J L =即，刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积。

作用于刚体上的外力有主动力及轴承约束力，受力如图12-5所示。

应用质系对z 轴的动量矩方程∑=)(F z zM dtdL 有 )(F z z M J dtd∑=ω 式中 ϕϕω ==dt d 得)(22F z z M dtd J ∑=ϕ或 )(F z z M J ∑=ϕ此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。

εϕ=22dtd 为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式可写为)(F z z M J ∑=ε作为例题，由学员分析得到刚体定轴转动微分方程。

由刚体转动微分方程解释转动惯量的物理意义。

强调刚体转动微分方程的适用范围。

cos (Omgbt J T 分别是0ϕ=§12-4刚体对轴的转动惯量由上节知，转动惯量是刚体转动惯性的度量，其表达式为 2i i z r m J ∑=如果刚体的质量是连续分布的，则上式可写为积分形式 ⎰=mz dm r J 2在工程中，常将转动惯量表示为2z z m J ρ= 式中m 为刚体的质量，z ρ称为回转半径，单位为m 或cm 。

回转半径的物理意义为：若将物体的质量集中在以z ρ为半径、Oz 为对称轴的细圆环上，则转动惯量不变。

1．简单形状的均质刚体转动惯量的计算（1）长为l ，质量为m 的均质细长杆，如图（a ）所示，对于过质心C 且与杆的轴线相垂直的z 轴的转动惯量为⎰-==2222121l l z ml dx x l m J回转半径为 l l m J z z 2887.063===ρ 如图（b ）所示，对于过杆端A 且与z 轴平行的z 1轴的转动惯量为⎰==lz ml dx x l m J 022131强调其物理意义和计算方法，及实验测量。

解释回转半径的物理意义，再由学员讨论。

回转半径 l l z 5774.0331==ρ（2）半径为R ，质量为m 的均质薄圆盘，如图所示，对于过中心O 与圆盘平面相垂直的z 轴的转动惯量。

图中所示圆环的质量为rdr R m dm ππ22=rdr R m 22=，此圆环对于z 轴的转动惯量为dr r Rmdm r 3222=，于是整个圆盘对于z 轴的转动惯量为⎰==R z mR dr r R m J 0232212回转半径 R R z 7071.022==ρ 读者试计算均质圆柱体对于纵向中心轴的转动惯量。