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初中数学中最值问题解法的探讨

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初中数学中最值问题解法的探讨

【摘 要】 仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，也是初中数学中比较常见的题目。而此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵 ，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。我通过多年教学经验的积累，总结出最值问题的常用方法有“配方法、运用一次函数的性质、运用二次函数性质、运用基本不等式”。本文举例介绍初中数学中有关最值问题的一些常用的方法和运用，仅供参考。

【关键词】 初中数学 最值问题 配方法 一次函数性质 二次函数性质 基本不等式

求最值问题是一类常见的题型，这类问题没有固定的公式，需要结合图形集体分析后，灵活的运用各种数学思想、方法和解题技巧才能顺利的走出“最值”的问题，找到解题的途径。而且仔细斟酌多年中考试题不难发现最值问题是历来各地中考关注的热点，此类题目的灵活性较强，有着极为丰富的内涵，它涉及的知识面广，综合性强，解法颇具有技巧性。纵观近几年的数学中考试卷，“最值”问题不仅出现在解答题中，而且在填空、选择题中也多有涉及，可以说“最值”问题成为了的初中数学学习的热门内容。为了让学生尽量减少在此类题目的失分率，我认为很有必要研究一下初中数学中最值问题的基本解法和对其的灵活运用。本文通过我多年教学经验的积累总结，举例介绍出最值问题的一些常用的方法，仅供参考。

１ 运用配方法来求解最值问题

配方法是中学数学解题中一种重要的方法，通常用于解一元二次方程及其演变而来的题型。再求最值问题中也有着广泛的应用，而学生却经常忘记或者忽视这种方法。在求最值问题时，通过配方，将代数式变形成“完全平方式”的形式，最后利用完全平方式在实数范围内具有非负性确定最值。下面通过一道中考题目来进行分析。

例题１：若实数ａ，ｂ满足ａ＋２ｂ＝１则２ａ2－７ｂ2的最小值是多少？

分析：一般求最值问题都把二个字母转化成一个字母在利用配方法化成完全平方式，进而求最值。此题也不例外，先运用代入法将字母ａ的位置用１－２ｂ来表示，然后再把关于字母ｂ的代数式配方，最后利用完全平方式的非负性求最值。解题过程如下：

解：∵ ａ＋２ｂ＝１∴ ａ＝１－２ｂ∴ ２ａ２－７ｂ２＝２（１－２ｂ）

２－７＝２（１－４ｂ＋４ｂ２）－７ｂ２ ＝ ｂ２－８ｂ＋２＝（ｂ－４）２－１４

∵（ｂ－４）２≥０∴（ｂ－４）２－１４≥－１４

即２ａ２－７ｂ２的最小值为－１４

此题现在时用含ｂ的代数式表示ａ，也可以用含ａ的代数式表示ｂ，同样可以得到答案。这类运用配方法求最值是比较简单的类型，大多数应用与选择或者是填空题。此外本题还可以综合运用消元法和二次函数的性质求代数式的最值。从学生的角度出发，还是第一种方法容易理解和接受。所以我们教师在授课和作业布置上应尽量组织题组类型题训练，这样可以使学生受到专题式训练，避免题海战术的大海捞针的学习方法。

２ 运用一次函数的性质

纵观几年的中考试题不难发现，一次函数在中学数学求最值中的地位是不容忽视的。一般情况下都是涉及到实际问题中的“最值问题”，比如“支出最少”、“产值最多”、“利润最大”等问题。这类题往往以实际问题中得到必要的信息，对相关信息综合与分析，得到相应的函数模型来解决，解题关键是正确建立函数关系式。同时，解决这类问题时还要根据已知条件确定自变量的取值范围（要符合题意），在利用一次函数的性质和自变量的取值范围去分析最值，作出决策。

例题２：某工厂计划为震区生产两种型号的学生桌椅５００套，以解决１２５０名学生的学习问题，一套Ａ型桌椅（一桌两椅）需木料，一套Ｂ型桌椅（一桌三椅）需木料０．５立方米，工厂现有库存木料３０２立方米。

①有多少种生产方案？

②现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套Ａ型桌椅的生产成本为１００元，运费２元；每套Ｂ型桌椅的生产成本为１２０元，运费４元，求总费用ｙ（元）与生产Ａ型桌椅ｘ（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。（总费用＝生产成本＋运费）

分析：第一小题中生产桌椅的总数量要能解决学生的学习，即座位不少于１２５０个，又总共所有的木材不能超过３０２立方米，根据这两个条件列出不等式组求解。第二小题先写出总费用与桌椅数量之间的函数关系式，再运用一次函数的性质并结合自变量的取值范围确定费用的最少方案。

解：设生产Ａ型桌椅ｘ套，则生产Ｂ型桌椅（５００－ｘ）套，依题意得。

①０．５ｘ＋０．７×（５００－ｘ）≤３０２

２ｘ＋３ｘ（５００－ｘ）≥１２５０

解得：２４０≤ｘ≤２５０

∵ ｘ为整数，∴有１１种生产方案。

②ｙ＝（１００＋２）ｘ＋（１２０＋４）（５００－ｘ）＝－２２＋６２００

∵ ｋ＝－２２＜０ ∴ ｙ随ｘ的增大而减小，

∴当ｘ＝２５０时，ｙ有最小值

∴当生产Ａ型桌椅２５０套，Ｂ型桌椅２５０套时，总费用最少，此时最少费用为ｙ＝－２２×２５０＋６２０００＝５６５００

此题型应考虑原料有多余。

即Ａ，Ｂ两种型号的学生桌椅所需木料不能超过３０２立方米，生产出的桌椅数不能少于１２５０名学生的使用数。

一般运用一次函数求最值问题取材都源于生活，体现了数学学习的应用价值。让学生充分体会数学源于生活又服务于生活的道理。那么老师在讲解和练习此类题型时，要让学生归纳出这种类型题的解题一般思路和步骤，这样让学生感到学的轻松，做的愉快。从例题中不难归纳出其基本思路是：①理解问题；②分析问题中的变量和常量；③列出函数解析式；④根据函数的性质结合自变量的取值范围求出最值；⑤检验结果的合理性，写出最后答案。这里凸显了“构造”的重要性。

３ 运用二次函数的性质

运用二次函数求最值的方法是在求最值问题中应用的最多。但是它的灵活性高，技巧性强，涉及面广，同时这种方法中还渗透着分类讨论、数形结合等数学思想，所以这种方法要学生对其的感悟比较高。掌握了这种类型题的解法，对学生的数学思维、方法整合等方面都提高了一个档次。利用二次函数可以求线段长度的最值、图形周长的最值、图形面积的最值、存在性问题的最值等等。下面我以一道面积的问题来进行分析。

例题３：平面直角坐标系中，四边形ＯＡＢＣ为矩形，点Ａ、Ｂ的坐标分别为（６，０），（６，８）。动点Ｍ、Ｎ分别从Ｏ、Ｂ同时出发，以每秒１个单位的速度运动。其中，点Ｍ沿ＯＡ向终点Ａ运动，点Ｎ沿ＢＣ向终点Ｃ运动。过点Ｎ作ＮＰ⊥ＢＣ，交ＡＣ于Ｐ，连结ＭＰ。已知动点运动了ｔ秒。

①Ｐ点的坐标为（，）；（用含ｘ的代数式表示）

②试求三角形ＭＰＡ面积的最大值，并求此时ｘ的值。

分析：①Ｐ点的横坐标易求得为ｘ＝６－ｔ，纵坐标可以利用△ＣＮＰ∽△ＣＡＢ中的比例关系求出ＮＰ，再通过ＮＱ－ＮＰ求得。

②ＭＡ＝６－ｔ，由（１）可知ＰＱ＝■ｔ，因此根据三角形面积公式Ｓ＝■ＭＡ·ＰＱ构造出二次函数则可解得ｔ的值。

解：①（６－ｔ，■ｔ）

②延长ＮＰ交ｘ轴与点Ｑ，则有ＰＱ⊥ＱＡ

∴Ｓ＝■ ＭＡ·ＰＱ

＝０．５（６－ｔ）·（■ｔ）

＝－■ｔ２＋４ｔ （０≤ｔ≤６）

故当ｔ＝３时Ｓ有最大值为６。

二次函数不单单在这方面有着很重要的应用，在几何动态型最值问题中的应用更为广泛，将几何图形放在平面直角坐标系下，把代数知识和几何知识有机结合起来，是比较具有挑战性的中考压轴题。在求解时应当将几何图形的最值问题转化成二次函数的最值问题，这样问题相对来说可以变得思路清晰。

４ 运用基本不等式ａ＋ｂ≥２■（ａ、ｂ均为正实数）

例题４：

阅读理解：对于任意正实数ａ、ｂ，∵（■-■）2≥０，∴ ａ-2■+ｂ≥０，

∴ ａ+ｂ≥2■，只有当ａ＝ｂ时，等号成立。

结论：在ａ+ｂ≥2■（ａ、ｂ均为正实数）中，若ａｂ为定值ｐ，则ａ＋ｂ≥2■，只有当ａ＝ｂ时，ａ＋ｂ有最小值2■。

根据上述内容，回答下列问题：

探索应用：如图２，已知Ａ（－３，０），Ｂ（０，－４），Ｐ为双曲线ｙ=■（ｘ＞０）上的任意一点，过点Ｐ作ＰＣ⊥ｘ轴于点Ｃ，ＰＤ⊥ｙ轴于点Ｄ，求四边形ＡＢＣＤ面积的最小值，并说明此时四边形ＡＢＣＤ的形状。

分析：本题首先考察学生的阅读理解能力，获取新知识后，接着又考查应用新知解决新问题的能力。解决本题的有两个关键：一是用点Ｐ的坐标表示出四

边形ＡＢＣＤ的面积；二是对基本不等式的理解和运用。

像这种利用基本不等式求最值的问题是初、高中知识衔接点为背景设计的探究性问题。这类题目也是学生存在问题比较大的题目，它要求学生的基本功底好，解题思路清晰，对知识点的掌握就有连贯性和逻辑性。这时我们老师要教给学生方法，认真阅读，仔细推敲，由“形”思“式”，善于联想，才能达到目的。

综上就是我对求最值问题的常用解法的基本想法，是否能够让学生从中获取收获还有待于推敲，不过最值问题是学生一直面对的比较困惑的问题，这类题目在中考中涉及的范围越来越广，有解答题演变到选择题、填空题都有它的应用。所以老师和学生一起找到解决此类问题的方法和对策是刻不容缓的。我们要把它的灵活性大、知识体系覆盖面大、数学思想方法运用得多等多种因素结合一体，真真正正的从本质去解决问题，挖掘问题的根源所在，这样才能使学生走出“最值问题”的困惑。

参考文献

１ 谢志明.初中数学中常见的最值问题［Ｊ］.数理化解题研究（初中版），２００７（０２）

２ 陆桂云.最值问题及其解法研究［Ｊ］．中学数学教学，２００６（Ｓ１）

３ 李迎春.关于最值问题的几种解法［Ｊ］． 青海教育，２００６（Ｚ１）

４ 陈立等.一个最值问题的简解[J].中学生数学， 2007(05)

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高中数学中最值问题的解法

高中数学中最值问题的解法

高中数学中最值问题的解法　龙老奇　（湖南省花垣县边城高级中学湖南湘西４１６４００）　最值问题是高中数学的重要问题，是高考的常考题、必考　题。最值问题类型繁多，在很多情况下可归结为求函数的最值。　函数的最大值和最小值，统称为函数的最值。函数不一定有最　大值和最小值，有的只有最小值，有的只有最大值，有的二者　皆有，有的二者皆无。函数类型多种多样，对应的解法也多种　多样，如配方法，换元法，不等式法，单调性法、图像法、判　别式法等等。下面，就最值问题的这些常见解法作番梳理。　一、配方法——二次函数（或可化为二次函数）的最值问　题的解法。设二次函数为Ｙ＝　＋　＋ｃ（口≠０），配方，得　ｙ＝　＋　４ａｃ　－ｂ２（ａ　ｏ）’　（１）若　ｏ，则当　—一　时，有１，：—４ａｃ—－ｂ２，无最大值；　一２ａ　４口　（２）若口＜０，则当一６时，有ｖ　：—４ａｃ—－ｂ２，无最小　一　ａ　一　４口　Ｚ　．ｔ“　值。　需要强调的是：这里，自变量　Ｒ。要特别注意　的取值　范围是　的子区间的情况。　例１、　求），＝２　一３ｅ４　在区间卜１’ｏ】内的最值。　解：Ｙ＝一３（２　、　＋４ｅ２　，令ｔ＝　，得　．ｙ：一３ｔ２＋４ｔ＝－３（ｆ一　＋　４　又由一１≤ｘ≤Ｏ，得　ｆ－＜１　２　当ｆ＝鲁时，有　＝４，；　当ｆ：　时，Ｙ＝三；当ｔ＝１时，Ｙ＝ｌ　２　４　’．‘三＞１　．‘．　ｌｎｉｎ：１　４　．・．函数的最大值为兰，最小值为１。　３　例２、若　．Ｙ∈Ｒ，１￣ｔ　３ｘ　＋２ｙ　一６ｘ＝０，求　＋Ｙ　的　最大值。　错解：由３ｘ　＋２ｙ　一６ｘ＝０，有　：（２ｘ－ｘ２），从而　＋　２＝Ｘ２＋　（　～　ｚ）：一吉（　一３）　＋导，　．・．当Ｘ＝３时，　＋），　取得最大值为　。　错在认为　的取值范围是Ｒ。其实Ｘ的取值范围还受到等　式３　＋２ｙ　一６ｘ＝０的影响。正解如下：　解：由３ｘ　＋２ｙ　一６ｘ＝Ｏ，有　：　（２Ｘ－－Ｘ２）　由　（２　一　）＝Ｙ　０，得０　２，　・・’ｘ　＋　。＝　＋　２ｘ－ｘ２）　一　－３）２＋　９，且该函数在　【ｏ，２】上是增函数　．・．当　＝２时，有（　＋ｙ　）～－－４。　二、换元法—　百过换元，把复杂的目标函数的最值问题　化为简单而熟悉的初等函数的最值问题。用此法时．首先要针　对不ｌ司类型题目灵活恰当地设人新自变量，其次必须把新自变　量的取值范围（常常是求初等函数的值域）正确求出来。　譬如在例１中，设２　＝ｔ，得ｖ：一３ｔ２＋４ｆ　≤ｔ　１１，这就　２　把原函数的自变量　换成了新自变量ｔ，从而把原函数变为我　们熟悉的二次函数，求出指数函数ｔ＝２　，Ｘ∈卜ｌ，０】的值域　１］，就得到新自变量　的取值范围，问题转化为我们熟悉的　求二次函数Ｊ，＝一３ｔ　＋４ｔ（１　ｆ≤１）的最值问题。　又如，求函数Ｙ：　一２—２历的值域时，可设ｆ：历，　得　＝ｔ　＋１，又由ｔ：√　一１，得ｔ　０，从而变为求函数　Ｙ＝ｔ　一２ｔ＋３（ｔ　０１的值域。　例３、求函数Ｙ＝ｓｉｎｘ＋ＣＯＳＸ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域。　解：设ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，贝Ⅱｔ　：１＋２ｓｉｎ　ｃ。ｓｘ，得　ｓｉｎ　ｃｏ８ｘ：　，从而　２　＝＋堕＝一１　２＋ｔ－－　＝　（＋ｌｔ　ｔ　ｔ　ｔ　１）　一１２　２　２　２　ｙ＝＋——＝一　一Ｉ）‘一　、　，　由ｆ＝ｓｉｎｘ＋￣ＯＳＸ＝　ｓｉｎ（ｘ＋　，￣－４ｉ＿＜ｔ＿＜４ｉ　当ｔ＝－Ｉ时，有　一１，当ｆ＝√　时，有　一＝　＋　・・・函数的值域为『　＋　１。　三、不等式法一一主要用均值不等式　旦　√　或　２　口６　ｆ　１ｚ（当且仅当ａ＝ｂ时等号成立）来求最值。此法要　２　点是：一正，二定，三等。“一正”即ａ，ｂ是正数。“二定”，　意即要求和ａ＋ｂ的最小值，则积ａｂ要为定值；而要求积ａｂ　的最大值，则和ａ＋ｂ要为定值。“三等”意即当且仅当ａ＝ｂ　时函数才能取得相应的最值。　例４、求函数１，：　＋　一（ｘ＞１）的值域。　—ｌ　解：’．‘　＞１　．・．ｘ－１＞０　．’．Ｙ＝　一１＋—．１＿＋Ｉ　２Ｊ（ｘ—１）・——　一＋ｌ＝（当且仅当　ｘ一１　Ｔ　一１　一１：　ｌ－即Ｘ＝２时等号成立）　—１　．・．函数值域为（３，＋　１。　例５、求函数　的最大值。　解：函数的定义域为（０，６）　‘．‘　＞０．６一　＞０　－。・　＝　厕≤　．—ｘ＋　６－ｘ＝１，（　当且仅当　＝６一　即　ｊ　ｊ　＝３时等号成立）　．・．当ｘ＝３时，函数取得最大值为１。　四、单调性法——『＿若函数，（　）在【口，６】上是增函数，则有　当代青年２０１５ｉ０９　

初中数学最值问题的解法

初中数学最值问题的解法

２０１２－ｆ－第４４期考试周刊　

初中数学最值问题的解法　

赵秀琴　

（嘉峪关市实验中学，甘肃嘉峪关７３５１００）　

摘要：最值型数学问题不论是在近几年的竞赛还是中　

考当中都经常出现，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体　现数学的人文价值和社会价值．有利于考查学生的分析、猜　

想、建模和综合应用等方面的能力。　

关键词：初中数学最值问题解法　

最值型数学问题不论是在近几年的竞赛还是中考当中都经　

常出现，这类问题贴近生活、贴近社会，有利于体现数学的人文价　

值和社会价值，有利于考查学生的分析、猜想、建模和综合应用等　方面的能力．下面就数学中常见的最值问题和解法介绍如下．　

一、平面几何的最值问题　

平面几何的最值问题是一类常见的题型，它涉及的知识　面广，综合性强．解答有一定的难度。下面介绍一种利用“轴对　

称”巧解最值问题的方法，举例说明．　

例１：Ａ、Ｂ两点在直线Ｌ的同侧，在直线Ｌ上取一点Ｐ．使ＰＡ＋　

ＰＢ最，Ｊ、．　

分析：在直线Ｌ上任取一点Ｐ　，连接ＡＰ　，ＢＰ　，在ＡＡＢＰ中，　ＡＰ　＋ＢＰ　＞ＡＢ，如果ＡＰ　＋ＢＰ　ＡＢ，则Ｐ　必在线段ＡＢ上，而线段　

ＡＢ与直线Ｌ无交点．所以这种思路错误．取点Ａ关于直线Ｌ的对　

称点Ａ　，￣ｔＪＡｐ　＝ＡＰ，在△Ａ　ＢＰ中，Ａ　Ｐ　＋Ｂ　Ｐ　＞Ａ　Ｂ，当Ｐ　移到Ａ　Ｂ　与直线Ｌ的交点处Ｐ点时ＰＡ　＋Ｂ　Ｐ　＝Ａ　Ｂ．所以这时ＰＡ＋ＰＢ最小．　

二、利用函数的性质求最值问题　

１．一次函数、反比例函数性质的应用　

一次函数和反比例函数在它们的定义域内都没有最值，　

但在实际应用问题当中，自变量在一定范围内取值时，由函数　

的增减性知函数有最值．　

例２：学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张　需８元（包括空白光盘费）；若学校自刻，除租用一台刻录机需　

１２０元外，每张还需成本４元（包括空白光盘费）．刻录这批电脑　光盘。到电脑公司刻录费用省还是自刻费用省？请说明理由．　

分析：这里刻录光盘的张数不知道，所需费用随光盘张数　

初中数学竞赛中最值问题求法应用举例[1]

初中数学竞赛中最值问题求法应用举例[1]

最值问题求法

例题（1）、若实数a ，b ，c 满足a2 + b2 + c2 = 9，则代数式 （a － b）2 +

（b —c）2 +（c － a）2的最大值是 （ ）

A．27 B、 18 C、15 D、 12

例题（2）、如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N +

1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （ ）

A、 1 B、 2 C、 3 D、 4

例题（3）、设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。

例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2－ab＋b2的最小值和最大值的和是———————— 。

例题5、若a、b满足3a＋5∣b∣= 7 ，则S = 2a－3∣b∣的最大值为------------------- ，最小值为-------------------- 。

（二）、直接运用a2＋b2 ≥ 2ab ( a＋b≥ 2ab )性质求最值。

例题（6）、若X > 0，则函数Y = 3X＋31X＋21XX的最小值。

例题（7）、已知 a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d = 4 ，a2＋b2＋c2＋d2 =316 ，求a的最小值与最大值。

（三）、用一元二次方程根的判别式Δ=b2－4ac（结合韦达定理）求最值。

例题（8）、已知实数a、b、c满足a＋b＋c = 2 ，abc = 4 ，○1求a、b、c中最大者的最小值 ；○2求∣a∣＋∣b∣＋∣c∣的最小值。

例题（9）、求函数Y =

12156322XXXX的最小值。

（四）、用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。

例题（10）、abcde是一个五位自然数，其中a，b，c，d，e为阿拉伯数字，且a

例题（11）、求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X－3│＋…＋│X－2003│的最小值。○2，求代数式│X－1│＋│X－2│＋│X-3│＋…＋│X-2004│的最小值。

中考数学复习指导：探讨中考数学最值问题的解题思路与策略

中考数学复习指导：探讨中考数学最值问题的解题思路与策略

探讨中考数学最值问题的解题思路与策略

本文以一道中考题为例，与各位共同探讨最值问题的解题思路与策略.

一、注重分析，讲究方法

最值问题是初中数学中的难点之一我们在分析解答时要特别注重分析已知条件，紧扣已有的知识经验，力求做到思路清晰，水到渠成.

【试题呈现】

已知点D与点(8,0)A，(0,6)B，(,)Caa是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为

【分析】

1、由动点(,)Caa推导得到定直线yx.(“点动成线”)

感悟1: 动点(,21)Qaa推导得到定直线21yx.

感悟2: 动点(1,21)Qaa推导得到定直线23yx

2、由定直线yx推导得到定角度45.(一次函数k系数为士1时，可能出现45

特殊角)

感悟3: 由定直线33yxm推导得到定角度30或60.

3、已知两个顶点如何作平行四边形?

情形一: 如图1，两顶点的连线段作为平行四边形的边，使点B落在直线yx上的

点C处，点A落在点D处，连结CD，易得10AB，所以10CD.

情形二: 如图2，两顶点的连线段作为平行四边形的对角线，在直线yx上，取点C.

如何确定点D?方法一是平移线段BC，使点C与点A重合，得线段AD;方法二是连结线段AB，取线段AB中点E;连结CE并延长一倍至点D，连结AD、BD.

【解答】

方法一如图3，要使得CD的长最小，只要CE长最小.点E是定点，点C是直线yx上的动点，所以，当CE直线yx时，CE长最短. 作EH直线yx于H点，易得45,7EGCEG，则722EH，所以CD长的最小值为72.

方法二 如图4，作EH直线yx于H点.设直线EH的解析式为yxb，把4,3xy代入yxb，得到直线EH的解析式为1yx，与直线yx的交点H坐标为11(,)22.