第12章动量矩定理

J z m
2 z
回转半径的几何意义是：假想地将物体的质量集中到一 点处，并保持物体对轴的转动惯量不变，则该点到轴的距离 就等于回转半径的长度。
12.1 质点和质点系的动量矩 三、平行移轴定理
定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积，即
d d n d M O (mi vi ) M O (mi vi ) LO d t i 1 dt i 1 d t
于是得
n d (e) LO M O ( Fi ) dt i 1
n
质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。
12.2 动量矩定理
质点对某固 定轴的动量矩对 时间的一阶导数 等于质点所受的 力对同一轴的矩
12.2 动量矩定理 二、质点系的动量矩定理
设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e) 和内力Fi(i) 。由质点的动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi (e) ) M O ( Fi (i) ) dt
12.1 质点和质点系的动量矩 一、简单形状刚体的转动惯量
1. 均质细杆 设均质细杆长 l，质量为m， 取微段 dx, 则
z
x x dx l z1
l 2
O
m dm dx l l m 1 2 2 J z d x x ml 0 l 3
C
x
dx
x
J z1
l 2 l 2
m 1 2 2 d x x ml l 12
O
l
A
l
A
2l
B
O
B
2l
12.1 质点和质点系的动量矩
例4 求对轴O的转动惯量 圆盘对过其质心轴的转动惯量：
1 mR 2 2 杆对过点O的轴的转动惯量，用平行移轴定理求得： Jc
JO2
1 2 2 mR ml R 2
O
J O J O1 J O 2
l
mg
C
1 2 1 2 2 J O ml mR m l R 3 2
2R
mg
12.2 动量矩定理 一、质点的动量矩定理
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对某定点的动量矩对时间的一阶 导数，等于作用力对同一点的矩。
12.2 动量矩定理
将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴 的动量矩的关系代入，得
d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv ) M y ( F ) dt d M z (mv ) M z ( F ) dt
F
这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定 轴转动的运动。
12.1 质点和质点系的动量矩
1 质点的动量矩
质点 Q 的动量对于点 O 的矩，定义为质点对于 点O的动量矩，是矢量
MO(mv)
z
A
Mz(mv)
mv

Q
A
MO (mv ) r mv
质点动量 mv 在 oxy 平 面内的投影 ( mv ) xy 对于点 O 的矩，定义为质点动量对于 z 轴的矩，简称对于 z 轴的动 量矩
质点系对某点 O的动量矩等于各质点对同一点 O的动量矩的 矢量和。 LO MO (mv )
质点系对某轴 z 的动量矩等于各质点对同一 z 轴的动量矩的 代数和。 Lz M z (mv ) 质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的 z 轴上的投影，等 于质点系对该轴的动量矩。 [ LO ]z Lz
在应用质点系的动量矩定理时，取投影式
d (e) Lx M x ( Fi ) dt d (e) Ly M y ( Fi ) dt d (e) Lz M z ( Fi ) dt
质点系对某 固定轴的动量矩 对时间的导数， 等于作用于质点 系的外力对于同 一轴的矩的代数 和。
12.2 动量矩定理 三、 动量矩守恒定理 1. 质点动量矩守恒定律
12.1 质点和质点系的动量矩 例1 均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有 一绳，绳下端吊一重物 A 。若圆盘对转 轴 O 的转动惯量为 J ，半径为 r ，角速度 为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘 间无相对滑动，求系统对轴 O的动量矩。 A 解： LO L块 L盘 m vr J
2 2
这样的方程共有n个，相加后得
n n d (e) (i) M ( m v ) M ( F ) M ( F O i i O i O i ) i 1 d t i 1 i 1 n
由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项
M
i 1
n
O
( Fi ) 0
(i)
12.2 动量矩定理 上式左端为
12.1 质点和质点系的动量矩
3 平动刚体的动量矩
刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个 质点计算其动量矩。 对点的：
LO MO (mv ) (mi ri ) vC MO (mvC )
Lz M z (mvC )
对轴的：
12.1 质点和质点系的动量矩
y
dr
r
R
Jz r d m
2
R
0
1 2 r 2 r d r mR 2
2
x
12.1 质点和质点系的动量矩 二、回转半径(惯性半径)
在工程上常用回转半径来计算刚体的转动惯量，其定义 为
z
Jz m
对于几何形状相同的均质物体，其回转半径相同。 如果已知回转半径，则物体的转动惯量为
12.3 刚体绕定轴转动的转动微分方程
设刚体绕定轴 z 以角速度w 转动，则 Lz＝ Jzw。 刚体受到主动力和轴承约 束反力，如不计摩擦，则由质 点系动量矩定理得
z
FN1
F1

Fn
d ( J z ) M z ( F ) dt d M z (F ) 或 Jz dt J z M z (F )

O
r
mv
m r J (m r J )
LO的转向沿逆时针方向。
12.1 质点和质点系的动量矩
5 平面运动刚体的动量矩
平面运动刚体对垂直与其质量对称平面内任一 固定轴的动量矩为：
Lz M z mvC JC
即：其对z轴的动量矩等于刚体随质心作平移时的动 量对该轴的动量矩，与其绕过质心的轴作定轴转动 时对该轴的动量矩之和。
x
q
O
r
y
Q
12.1 质点和质点系的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的 动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动量矩。
[ MO (mv)]z M z (mv)
方向：M z (mv ) 是代数量，它的正负可以通过右手定则判
断；即：手心握转动轴（坐标轴），四指的指向为质点动量的 方向，大拇指指向为该动量矩的方向，若方向与坐标轴正向相 同为正、相反为负。 或：从坐标轴正向看去，逆时针为正、顺时针为负。 在国际单位制中，动量矩的单位是 kg· m2/s。
(2)－(1)得
(1) (2)
J 2 J1 m(b2 a2 )
12.1 质点和质点系的动量矩
例3 均质直角折杆尺寸如图，其质量为3m， 求其对轴O的转动惯量。
解：
O
l
2l
JO JOA J AB
A
2l
B
1 2 1 2 2 ml (2m)(2l ) (2m)( 2l ) 3 12 5ml 2
12.4* 质点系相对于质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩定理
d LC (e) M C ( Fi ) dt
质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力对质心的主矩。
12.5* 刚体的平面运动微分方程 设作用在刚体上的外力可向质 心所在平面简化为一平面力系，由 质心运动定理和相对质心的动量矩 定理得 maC F (e) d ( J C ) J C M C ( F (e) ) dt 上式也可写成
O


12.2 动量矩定理
例5 一绳跨过定滑轮，其一端吊有质量为 m 的重物A，另 一端有一质量为m的人以速度u 相对细绳向上爬。若滑轮半 径为r，质量不计，并且开始时系统静止，求人的速度。 FOy 解：以系统为研究对象，受力如图。 由于∑MO(F (e))＝0，且系统初始静止，所以LO＝0。 O
4 定轴转动刚体对转动轴的动量矩
2 Lz M z (mi vi ) mi vi ri mi ri
令 Jz＝Σmiri2 称为刚体对 z 轴的转动惯 量, 于是得
z

ri Mi
mi vi
Lz J z
即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体 对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。
J z J zC md
2
由定理可知：刚体对于所有平行轴的转动惯量， 过质心轴的转动惯量最小。
12.1 质点和质点系的动量矩
例2 如图所示，已知均质杆的质量为m，对 z1 轴的转动惯量 为J1，求杆对z2 的转动惯量J2 。
解：由 J z J zC md ，得
2
z1
a
z b C
z2
J1 J zC ma2 J 2 J zC mb2
设重物 A上升的速度为 v ，则人的绝对速度 v a u va u v 的大小为
va
FOx u A mg mg
u u LO mva r mvr 0 v va LO m(u v)r mvr 0 2 2