第十二章 动量矩定理
一、填空题
1．如下（1）图所示，在提升重为Ｇ的物体Ａ时，可在半径为ｒ的鼓轮上作用一力偶Ｍ。
已知鼓轮对轴Ｏ的转动惯量为Ｉ，某瞬时鼓轮的角加速度为α，则该瞬时，系统对轴Ｏ的动量矩定理可写成______________。
2．如下（2）图所示，轮Ｂ由系杆ＡＢ带动在固定轮Ａ上无滑动滚动，两圆的半径分别为Ｒ，ｒ。
若轮Ｂ的质量为ｍ，系杆的角速度为ω，则轮Ｂ对固定轴Ａ的动量矩大小是_______________。
3．图（3）中匀质圆盘在光滑水平面上作直线平动，图（4）中匀质圆盘沿水平直线作无滑动滚动。
设两圆盘的质量皆为ｍ，半径皆为ｒ，轮心Ｏ速度皆为ｖ，则图示瞬时，它们各自对轮心Ｏ和对与地面接触点Ｄ的动量矩分别为：（3）ＬO ＝___________ ；ＬD ＝_____________________； （4）ＬO ＝_____________；ＬD ＝_____________________。
二、选择题
1．如下图（1）所示，已知两个匀质圆轮对转轴转动惯量分别为I Ａ，I Ｂ，半径分别为ＲＡ，ＲＢ，作用在Ａ轮上的转矩为Ｍ，则系统中Ａ轮角加速度的大小为（ ）。
2
2A 2
2B 2
A A
B A A 222A D
C I I M B A B
A B A B A A B B R I R I MR I M
R I R I MR +==+=+=αααα、；、；、；、 2．如下图（2）所示，两匀质细杆ＯＡ和ＢＣ的质量均为ｍ ＝ ８ｋｇ，长度均为ｌ ＝ ０．５ｍ，
固连成图所示的Ｔ字型构件，可绕通过点Ｏ的水平轴转动。
当杆ＯＡ处于图示水平位置时，该构件的角速度ω ＝ ４ｒａｄ／ｓ。
则该瞬时轴Ｏ处反力的铅垂分力ＮＯｙ的大小为（ ）。
Ａ．ＮＯ=２４．５Ｎ；Ｂ．ＮＯ=３２．３Ｎ；Ｃ．ＮＯ=７３．８Ｎ；Ｄ．ＮＯ=１５６．８Ｎ
3．如果把下图（3）中重为G A 的物体换为图（4）所示的力G A ，在这两种情况下，若把匀质滑轮的角加速度ε１和ε２的大小比较，则有（ ）。
A ． ε１ ＜ ε；
B ． ε１ ＞ ε；
C ． ε１ ＝ ε２
(1) (2) (3)
(4)
(1) (2) (3) (4)
三、计算题
1．轮子的质量m=100 kg，半径r=1 m，可以看成匀质圆盘（如图）。
当轮子以转速ｎ＝１２０ｒ／ｍｉｎ绕定轴Ｃ转动时，在杆Ａ点垂直地施加常力Ｐ，经过１０ｓ轮子停止。
设轮与闸块间的动摩擦系数ｆ＝０．１，试求力Ｐ的大小。
轴承摩擦和闸块的厚度都忽略不计。
答：P=270N
２．如图所示，鼓轮的质量ｍ１＝１８００ｋｇ，半径ｒ＝０．２５ｍ，对转轴Ｏ的转动惯量ＩＯ＝８５．３ｋｇ●ｍ2。
现在鼓轮上作用驱动转矩ＭＯ＝７．４３ｋＮ●ｍ2，来提升质量ｍ２＝２７００ｋｇ的物体Ａ。
试求物体Ａ上升的加速度，绳索的拉力以及轴承Ｏ的反力。
绳索的质量和轴承的摩擦都忽略不计。
答：(a=0.8 m/s2，T=28.6 kN，No=4 6.3 kN )
３．如图所示，物体Ｄ被装在转动惯量测定器的水平轴ＡＢ上，该轴上还固连着半径是ｒ的鼓轮Ｅ；缠在鼓轮上细绳的下端挂着质量为Ｍ的物体Ｃ。
已知物体Ｃ被无初速地释放后，经过时间τ秒落下的距离是ｈ；试求被测物体对转轴的转动惯量。
已知轴ＡＢ连同鼓轮对自身轴线的转动惯量是I 0。
物体Ｄ的质心在轴线
ＡＢ上，摩擦和空气阻力都忽略不计。
答：2
022Mr I h Mgr I --=τ
４．如图所示，匀质滚子质量是Ｍ，半径是ｒ，对中心轴的回转半径是 ρ 。
滚子轴颈的半径是r 0，轴颈上绕着绳子，绳端作用着与水平面成角α的常力Ｐ，设滚子沿水平面作无滑动的滚动；试求滚子质心的加速度，以及保证滚动而不滑动的条件。
答：()(
)2
2
0cos Pr r
M r r a +-=ρα，滚而不滑条件：()
()()
2
2
2sin cos r
P Mg rr P f +-+≥
ρ
ααρ
５．如图所示，匀质杆ＡＢ长ｌ，质量是Ｍ。
杆的一端系在绳索ＢＤ上，另一端搁在光滑水平面上。
当绳沿铅直而杆静止时杆对水平面的倾角 φ ＝ ４５°。
现在绳索突然断掉，求在刚断后的瞬时杆端Ａ的约束反力。
（ 答：Mg Mg N A 5
2
cos 212
=+=
ϕ ）
６．如图所示，匀质圆柱体的质量是ｍ，在其中部绕有细绳，绳的上端Ｂ固定不动。
现在把圆柱体由静止释放，试求下落高度ｈ时，质心的速度、加速度以及绳索的拉力Ｓ。
（答：gh v 3
32=
，3
2g
a =
，3mg S = ）
７．如图所示，管子做成半径是ｒ的铅直圆环，对圆环直径的转动惯量是J ，以角速度ω绕定轴AC 自由
转动。
在管子内最高点Ａ放一质量是ｍ的小球。
由于微小扰动使小球离开点Ａ而沿管下落，试求当小球到达点Ｂ和Ｃ时，圆环的角速度以及小球的绝对速度。
摩擦不计。
（ 答：2
mr
J J B +=
ω
ω ）
8．匀质杆ＡＢ和ＣＤ，质量均为ｍ，长度都为ｌ，垂直的固接成Ｔ字型，且Ｄ为ＡＢ杆的中点，置于铅垂平面内，该Ｔ字杆可绕光滑固定轴Ｏ转动，如图所示。
开始时系统静止，ＯＤ杆铅垂。
在一力偶M=20Mgl 的常值力偶作用下转动。
求ＯＤ杆至水平位置时，（１）ＯＤ杆角速度和角加速度；（２）支座Ｏ处的反力。
答：mg N OX 18-=；()ππ
3401792-+=mg
mg N OY
9．如图所示，跨过定滑轮Ｄ的细绳，一端缠绕在匀质圆柱体Ａ上，另一端系在光滑水平面上的物块Ｂ上。
已知圆柱Ａ的半径是ｒ，质量是ｍ１，物块Ｂ的质量ｍ２。
试求物块Ｂ的加速度ａＢ、圆柱质心Ｃ的加速度ａ
Ｃ以及绳索的拉力Ｓ。
滑轮和细绳的质量，以及轴承摩擦都忽略不计。
（ 答：g m m m a B 2113+=
，g m m m m a C 212132++=，g m m m m S 2
12
13+= ）
10．如图所示不可伸长的细绳绕过半径为Ｒ的定滑轮Ａ，两端分别系与半径为ｒ的轮子Ｂ和刚度系数为ｃ的弹簧。
轮子Ａ，Ｂ可看作质量分别为ｍ１，ｍ２的匀质圆盘，轮子Ｂ沿倾角为α的固定斜面作纯滚动，绳子与滑轮间无相对滑动。
假设在弹簧无变形时将系统由静止释放，试求轮子Ｂ中心Ｃ沿斜面下移距离ｓ时，轮心的加速度以及斜面与轮子Ｂ间的摩擦力（绳子重量，轴承Ｏ摩擦不计）。
（ 答：()2123sin 2m m cs g m a C +-=
α，()
2
1223sin m m cs g m m F +-=α ）
11．如图所示，跨过定滑轮Ｂ的绳索，两端分别系在滚Ａ的中心和物块Ｃ上。
滚子Ａ和定滑轮Ｂ都是半径ｒ是的匀质圆盘，各重Ｇ；物块Ｃ重Ｇ１。
滚子沿倾角是α的斜面向下作纯滚动。
绳的倾斜段与斜面平行，绳与轮Ｂ不打滑，不计绳重和轴承摩擦。
试求：（１）滚子Ａ的质心加速度；（２）绳索ＡＢ段的拉力；（３）轴承Ｏ的反力。
