关于线性算子的收敛性

c0算子半群的定义c0算子半群是一个在某个（通常是巴拿赫）空间上的一种特殊的半群，它的成员是一类被称为c0算子的线性算子。

在数学领域中，半群是一种代数结构，它由一组元素以及一个二元运算组成，满足结合律。

c0算子半群的定义主要涉及到线性算子和一些额外的条件。

首先，我们需要明确什么是线性算子。

在函数空间的背景下，线性算子是一种将一个函数映射到另一个函数的数学对象。

它满足以下两个性质：线性和连续。

线性是指对于任意两个函数和标量，算子的作用保持加法和数乘的线性性质。

连续是指算子应保持函数之间的距离，即当函数序列收敛时，其映射后的函数序列也应收敛。

接下来，我们定义c0算子。

c0算子是一类在具有有限上界的函数空间上定义的线性算子。

这里的函数空间通常是巴拿赫空间，也就是一个完备的线性空间。

有限上界的条件保证了算子的作用不会使函数的值无穷大。

具体来说，对于一个定义在巴拿赫空间上的函数f，如果存在一个正数M，使得f的所有值都小于M，那么f就是一个有限上界的函数。

c0算子即对有限上界的函数定义的线性算子。

对于c0算子半群，我们还需要满足一些额外的条件。

其中一个条件是单位元的存在。

单位元是指存在一个特定的函数，使得算子将这个函数映射到自身，对其他函数的作用不改变它们的值。

另一个条件是半群性质：对于半群中的任意两个算子，它们的组合也是一个算子，并且满足结合律。

c0算子半群在数学中有广泛的应用。

它特别适用于描述一些动力系统的演化行为。

在动力系统中，我们通常考虑一些变量随时间的演化规律。

而c0算子半群提供了一种刻画这种演化规律的数学工具。

通过研究c0算子半群的性质，我们可以得到关于系统的稳定性、收敛行为和长期动力性质等重要信息。

总结起来，c0算子半群是一种在具有有限上界的函数空间上定义的满足线性和连续性条件的特殊线性算子的集合。

它满足半群的结合律和单位元存在的条件。

c0算子半群在动力系统理论中有重要的应用，用于描述变量随时间的演化规律，并研究系统的稳定性和动力性质。

第四章 习题课基本内容1．线性有界泛函:f D X ⊂→∧满足()()()f x y f x f y αβαβ+=+，线性． 若x D ∀∈，|()|||||f x M x ≤．——称f 有界． 2．线性有界泛函的范数 |()|||||sup||||x f x f x θ≠=． ||||1||||1||||sup |()|sup |()|x x f f x f x ≤===．共轭空间（Banach 空间）*()n n R R =，*()p q l l =，*([,])p q L a b L =，*H H =． 基本定理：①延括定理：G X ⊂是线性子空间，:f G X ⊂→∧是线性有界泛函，则*F X ∃∈，使（ⅰ）当x G ∈时，()()F x f x =； （ⅱ）||||||||X G F f =． ②两个推论：（Ⅰ）（Hahn —Banach 定理）设X l.n.s ，0x X ∀∈，0x θ≠，则*f X ∃∈，||||1f =，00()||||f x x =．（Ⅱ）设X l.n.s ，G X ⊂是线性子空间，0x X ∈，0(,)0d x G >，则*f X ∃∈，满足（ⅰ）x G ∀∈，()0f x =；（ⅱ）0()f x d =； （ⅲ）||||1f =． 3．线性有界算子1X ，2X ——l.n.s ，1D X ⊂线性子空间，2:T D X ⊂满足 ()()()T x y T x T y αβαβ+=+．4．线性有界算子，算子范数． 5．基本定理引理：（开映射原理）：若1X ，2X 是Banach 空间，12()T B X X ∈→，且2()R T X =，则T 为开映射．① 逆算子定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:T X X →满射，可逆的线性有界算子，则T 的逆算子1T -是有界算子．② 闭图像定理：设1X ，2X 都是Banach 空间，12:()T D T X X ⊂→是闭算子，其中()D T 是1X 的闭子空间，则T 是线性有界算子．③ 共鸣定理：设1X 是Banach 空间，2X 是l.n.s.{|}i X i A ∈是一族12X X →的线性有界算子，则{|||||}i T i A ∈有界1x X ⇔∀∈，{|||||}i T x i A ∈有界．6．强收敛与弱收敛① l.n.s 中的点列的强、弱收敛．（ⅰ）若||||0n x x →→，称{}n x 强收敛于x ，记为n x x →； （ⅱ）若*f X ∀∈，|()()|0n f x f x -→，称*n x x →（弱收敛）． ② 有限维空间中，强弱收敛等价． ③ 弱收敛的判别（等价条件）*n x x →⇔（ⅰ）{||||}n X 有界；（ⅱ）**M X ∃⊂（稠密），使*f M ∀∈，0|()()|0n f x f x -→．④ 算子列的各种收敛性：（ⅰ）一致收敛：||||0n T T -→； （ⅱ）强收敛：||||0n T x Tx -→；（ⅲ）弱收敛：||()()||0n f T x f Tx -→，*2f X ∀∈，1x X ∈． 特别泛函列n f ：（ⅰ）强收敛：||||0n f f -→（对应一致收敛）；（ⅱ）弱*收敛：||()()||0n f x f x -→（对应算子列强收敛）．7．共轭算子设1X ，2X 是同一数域∧上的l.n.s.12()T B X X ∈→， ***21:T X X →，如果对任何1x X ∈，*2f X ∈，都有*()()()T f x f Tx = 或 *(,)(,)x T f Tx f =成立，就称*T 是T 的共轭算子（也称伴随算子）．共轭算子的范数：定理（共轭算子的范数）：设12()T B X X ∈→，*T 是T 的共轭算子，则*T 是**21X X →的线性有界算子，且有*||||||||T T =．定理（共轭算子的性质）： （1）**()aT aT =； （2）***2112()T T T T ⋅=⋅； （3）***1212()T T T T +=+；（4）12:I X X →,则***12:I X X →． 8．自共轭算子H 是Hilbert 空间，若,x y H ∀∈，(,)(,)Tx y x Ty =．T ——自共轭算子． Th ．（自共轭算子的充要条件）：H 是复的Hilbert 空间，T 为自共轭算子x H ⇔∀∈，(,)Tx x 为实数．性质：（1）特征值为实数；T 1X *1X *T 2X *2X（2）不同特征值的特征向量正交．投影算子：0Px x =.（0x x z =+，0x M ∈，z M ⊥∈）．举 例例1．设21,X X 是s n l ..，)(21X X T →∈，则T X X B T ⇔→∈)(21应某个内部非空的有界集为有界集。

关于概率赋范线性空间上的线性算子的一致收敛
在概率赋范线性空间上，线性算子收敛一致性甚至被认为是统计力学上的一个
重要理论基石。

线性算子收敛一致性定义为：使用概率赋范空间上的可积分函数序列来描述的线性算子的若干特征值随着函数数量不断增加，而这些特征值是有限的，表示它们会随着这些函数数量的不断增加而不变。

在现在这一阶段，研究者们正专注于实证研究，以验证由特定线性算子引起的概率赋范空间上的可积分函数序列的若干特征值的收敛性。

实证研究结果表明，对于多数具有线性结构的概率赋范空间上的可积分函数序
列而言，其特征值确实会随着函数数量的不断增加而不变，从而表明线性算子收敛一致性成立。

另一方面，为了使概率赋范线性空间上的线性算子收敛一致性成立，除了实证
研究，还需要开展多方面的理论分析研究，即深入分析和检验线性算子在此类空间上的内在收敛性。

这方面的研究牵涉到计算数学、概率论、线性空间理论等不同领域的知识，因此其复杂性较高，需要许多领域内的联合研究。

综上所述，概率赋范线性空间上的线性算子收敛一致性的理论研究至今尚未完
全站稳脚跟，而实证研究也仍处于初期阶段，后续的理论分析和实证验证工作肯定会极大的推动该课题的发展，为统计力学提供更多的支持。

线性有界算子序列的一致强(弱)收敛线性有界算子序列的一致强(弱)收敛，指的是在定义在线性变换空间上的有界算子序列\{T_n\}中，存在一个定义在这个空间里的数K，使得||T_n||\leqK，并且当n\rightarrow\infty时，T_{n}以足够快的速度向T趋近，其中||T_n||是这个序列的算子范数，T是这个空间的有界算子。

首先要说的是，线性有界算子序列的一致强收敛，是指一个线性变换空间上的有界算子序列，它具有线性复叱性，并且有数K使得||T_n||\leqK，当n\rightarrow\infty时，T_n和T的定义范围趋于一致，这个过程使得T_n不断次级收敛到T（若T是收敛点，则T也收敛到T，而T_n不断增加，最终收敛到T），使得T_n等效于T，称为一致强收敛。

由于一致强收敛的定义具有线性复叱性，所以我们可以得出抽象的总结：T_n的一致强收敛类似于一致收敛，但是它不是以完全一致的方式，而是以不断次级的形式收敛的，最终收敛到某个点T，即T_n等于T，称为一致强收敛。

另外，线性有界算子序列的一致弱收敛是指在定义在线性变换空间上的有界算子序列中，存在一个定义在这个空间里的数K，使得||T_n||\leqK，而且当n\rightarrow\infty时，T_{n}不断向T靠近，但动态幅度很小，最终没有达到等同于T，也就是T_n不能真正等效于T，但它们之间的差异趋于零，称为一致弱收敛。

总之，线性有界算子序列的一致强(弱)收敛，指的是在定义在线性变换空间上的有界算子序列\{T_n\}中，存在一个定义在这个空间里的数K，使得||T_n||\leqK，并且当n\rightarrow\infty时，有一致强收敛和一致弱收敛，也就是说，T_n以不同的范围靠近T，使得T_n逐渐收敛到T，从而减少了两者之间的偏差，使其有效的趋近于T，最终达到稳定的状态。

第37卷第4期2009年8月福州大学学报(自然科学版)Journa l o f F uz hou U n i versity(N a t ura l Sc i ence Ed iti on)V o.l37No.4A ug.2009文章编号:1000-2243(2009)04-0457-05树鞅鞅变换与V ilenk i n系统收敛性何统军(福州大学数学与计算机科学学院,福建福州350108)摘要:通过V ilenkin系统构造了一类X-空间值树鞅,并研究了这类X-值树鞅鞅变换极大算子与V ilenk i n系统的F our i er-V ilenkin级数部分和的联系.用这类X-值树鞅鞅变换极大算子不等式证明:如果X是UM D空间,f I L p(X),1<p<],那么函数f的F our i e r-V il enk i n级数部分和Sn(f)以L p(X)-范数和几乎处处收敛于函数f.关键词:树鞅;变换;V ilenkin系统;UM D空间中图分类号:O211.3文献标识码:ATree m artingale transfor m s and convergence of V ilenkin syste mHE Tong-jun(Coll ege o fM athem ati cs and Co m puter Science,Fuzhou U ni v ers it y,F uz hou,F uji an350108,Ch i na) Abstract:B ased on the V ilenk i n syste m,a c lass of X-va l u ed treem artingales are firstly constructed.Secondly,so m e re lati o ns bet w een t h e m ax i m al operator o f t h e class of X-va l u ed tree m arti n ga l e trans-for m s and the V ilenk i n syste m are obta i n ed.Fina lly,by using the m ax i m al operator i n equa lity of t h isc l a ss o f X-val u ed tree m arti n ga le transfor m s,it is proved that if X is a UMD space and f I L p X,1<p<],then the X-va l u ed Fouri e r-V ilenk i n series su m of t h e f u ncti o n f are convergent to f i n L p(X)-nor m and are convergent a.e.to f.Keywords:tree m arti n ga les;m arti n gale transfor m s;V ilenkin syste m;UMD space1预备知识有关V ilenk i n系统的详细理论参阅文献[1,2].设m=(m k,k I N)是一列不小于2的整数,Z mk 表示第m k个离散循环群.Z mk能够被集合{0,1,,,m k-1}所表示,这里群操作是关于模m k加法且每个子集合是开集.群Z mk上的测度定义是每个单元素集的测度是1/m k(k I N).通过循环群,定义所谓V ilenkin群G m是这些Z mk 的完备直积,即G mk=x]k=0Z mk.因此,G m是一个H aar测度为1的紧阿贝尔群,它的元素具有下面形式(x k,k I N)且x k I=Z mk(k I N).G m上的群操作(用+表示)是对应坐标相加(逆操作用-表示),群G m上的测度(用L表示)和拓扑是乘积测度和乘积拓扑,故而G m是一个紧阿贝尔群.如果sup n I N m n<],那么称G m是有界V il e n-k i n群;如果产生的序列m不是有界的,那么G m是无界V ilenkin群.群G m的领域基如下给出:对任意x I G m,n I N/{0},I0(x)=G m,I n(x)={y=(y k,k I N)I G m B y k=x k,k[n}群G m上的区间集合被表示为I={I n(x)B n I N,x I G m}.I n(t)的H aar测度是M n,定义幂M n(n I N)如下:M0=1,M n=0n-1j=0M j(n I N-{0})每个自然数n能够唯一地表示为:n=E]j=0n j M j(0[n j<m j,n j I Z m j,j I N)收稿日期:2008-12-09作者简介:何统军(1977-),男,博士,讲师.基金项目:国家自然科学(国际合作)基金资助项目(60740430664);福州大学科技发展青年基金资助项目(826584)福州大学学报(自然科学版)第37卷这里仅有有限数目n j 不是零.由此产生的Rade m acher 函数定义如下:C n =exp (2P ix n /m n )(x =(x 0,x 1,,)I G m ,n I N ,i =1)现在,可以定义所谓V ilenk i n 系统(7n ,n I N ),7n =0]k=0C nj k 是第n 个V ilenkin 函数.当m n =2时,V ilen -k i n 系统就是著名W alsh-Paley 系统.每个7n 是群G m 的一个特征.V ilenk i n 群里每个元素x =(x 0,x 1,,)I G m 都与区间[0,1)的数x =E]k=0x kM -1k+1相一致.在这种一致下,群G m 上的H aar 测度可取区间[0,1)上的Lebesgue 测度.对每个非负整数n,定义区间I n (0)=G m 且对j =0,1,,,M n -1,n I N -{0}.I n (j)=x =(x 0,x 1,,)I G m B En-1k=0x kM -1k =j /M n(1)由于{I n (0)}]n=0是一列G m 上的子群,它在原点构成了一个领域基,且对每个j ,{I n (j)}Mn n =0是群G m 里的互不相交紧集的集合且G m =G Mn n =0I n (j).特别地,给定一个x I G m 和n IN ,存在唯一0<j<M n 使得x I I n (j ),用I n (x )代表这个区间.群G m 的子集E 的H aar 测度用m (E )表示.注意到群G m 与区间[0,1)相一致,区间I n (j)对应于区间[j M -1n ,(j +1)M -1n ).对0[j<M n 和n I N 有m (I n (j))=M -1n .设F n 是由{r 0,r 1,,,r n-1}生成的R -代数,那么容易明白:F n =R [j M -1n ,(j +1)M -1n )B 0[j<M n(2)(F n ,n I N )是一族非降子R -代数[2].设Banach 空间X 具有相对于测度空间(8,F,L )的Radon -N ikody m 性质,空间L 1(X )是由所有满足fL 1(X )=Q 1fXd L <]的强可测函数f B [0,1)y X 组成的函数空间.现在,介绍V ilenk i n 系统与单指标鞅之间的一些主要联系[3].1)如果f =(f k ,k I N )是单指标鞅,那么f ^(n )=li m k y ]E (f k 7n ),n I N .如果f I L 1(X ),那么当k y ]时以范数有E k f y f.因此,f ^(n)=li m k y ]Q10(E kf)7n d L .2)Sch i p p ,S i m on 等[2]证明了函数f I L 1(X )的V ilenkin-Fourier 级数部分和是关于R -代数的单指标鞅.设f n =S M n (f ),则:f(n)=S M n (f)=EM n -1k=0f ^(k )7k (x )=M nQ I n (x)f (x )d L =Enf (x )(3)3)对任意n I N ,如果n k <N,那么R -代数序列是正规的,即f n+1(x )=M n +1Q I n+1(x)fn+2(x )d L [Nf n (x )(4)关于树鞅的知识见文献[3-7],UMD 空间及UM D 空间值单指标鞅变换知识见文献[8-10].定义1[7]如果一族线性算子P =(P t,t I T )对所有函数f I L 1(X )和t I T 都满足条件:¹P t +(P tf )=P tf ;ºP t (P tf )=0;»对每个F t -可测函数N 有P t(N f )=N P tf ;¼P tfX[RE tfX,这里常数R 独立于t 和f.那么这族算子P 被称为树鞅鞅差算子.定义2[7]如果f =(f t ,t I T )是X -值树鞅,那么这个X -值树鞅变换被定义如下:P s f =Et [r <sP r(d r ,f ) (t I T,s I T t )这个X -值树鞅变换的极大算子定义如下:P t f =sup s I T tP s fX, P f =sup t I T P t f引理1[7]设X 是一个UMD 空间且f =(f t ,t I T )I L p(X )是X -值树鞅,1<p <].¹如果f =(f t ,t I T )是可控的,那么存在一个常数C p 使(P t f,t I T )M p ][C pfL p (X );º如果f =(f t ,t IT )是正规的,那么上述不等式同样成立.引理2[7]设1<p [q <],X 是一个UMD 空间且X -值树鞅f =(f t ,t I T )I L p(X ),则有¹如果f =(f t ,t I T )是可控的,那么存在常数C 使得º如果f =(f t ,t I T )是正#458#第4期何统军:树鞅鞅变换与V ilenk i n 系统收敛性规的,那么上述不等式同样成立.2 V ilenki n 系统与U M D 空间值树鞅鞅变换的联系现在,研究V ilenkin 系统生成特殊树鞅的问题.首先引入指标集:I =[k M n ,(k +1)M n)H N B k ,n I N当n =0时,显然有:I 0=[k M 0,(k +1)M 0)H N Bk I N=[k ,k+1)H N B k I N=N指标集I 里元素的序关系t 是集合间的包含关系,也就是说,如果I 1,I 2I I 且I 1A I 2,那么I 1t I 2.显然,序关系t 是一个偏序关系.下面证明指标集I 是树集[5-7].引理3 指标集I 是一个关于偏序关系t 的树集.证明 设I =[k M n ,(k +1)M n )H N (k I N ),则I 1=[k 1M n 1,(k 1+1)M n 1)H N ,I 2=[k 2M n 2,(k +1)M n 2)H N (k 1,k 2I N )(5)则I 包含有限个子集合,这是因为I 的势I 是M n .易知,如果I A I 1,I A I 2,那么I 1A I 2或者I 2A I 1,即I 1t I 2,或者I 2t I 1.否则I 1t /I 2 或者 I 2t /I 1(6)不失一般性,可假设M n 1<M n 2那么M n 2M n 1(如果M n 1=M n 2那么I 1=I 2或者I 1H I 2=<),可从式(5)和式(6)推导出:k 1<k 2(M n 2/M n 1)<k 1+1 或者 k 1<(k 2+1)(M n 2/M n 1)<k 1+1矛盾.因此,对每个元素I I I ,集合I c ={I cI I B I c t I }是有限的,集合I I ={I cI I B I t I c }是可线性化的.这就证明了I 是一个树集T.对任意元素I I I ,相应R -代数F I 是由属于(M n )的V ilenk i n 系统生成[2,3].因此,(F I ,I I I )可线性化.如果f I L 1(X ),定义一族算子:P I f =Ej I If ^(j )7j(I I I )(7)引理4表明(P I ,I II )是一族投影,并且F I ,P I ;I II 是一个树基(文献[3]B 142).引理4 如果(P I ,I I I )是一族如式(7)的算子,那么(P I ,I I I )是一族投影,且(F I ,P I ;I )I I 是一个树基.进一步,如果f I L 1(X ),那么(E I f,I II )是一族树鞅.证明 从式(3)和式(7)可推导出:P I f =Ej I [kM n ,(k+1)M n )[Q10f 7j d L ]7j =EM n-1i=0[Q1(f 7k M n)7i d L ]7kM n 7i =7k M n E n (f 7k M n )(8)式中:I =[k M n ,(k +1)M n )N H I I ,并且注意到了F n =F I 和7j =1,j I I .如果I 1和I 2是不可比较元素,那么从式(7)可推出P I 1P I 2=P I 2P I 1=0.这就意味着(F 1,P I ,I I I )是一个树基,即对任意(f I L 1(X ),E I f,I I I )是一族树鞅.注释:由于E I f,I I I 是一族树鞅,所以文献[5-7]中的一些关于树鞅的不等式对由V ilenkin 系统生成的树鞅(E I f,I I I )而言都是成立的.本文将研究文献[7]中树鞅鞅变换极大算子不等式证明UMD 空间值V ilenk i n 系统的收敛性.引理5 如果S *f,P f 分别是f I L 1(X )的有界V ilenki n -Fouri e 级数的部分和S n f 的极大函数且P f 是树鞅f =(E I f,I I I )的鞅变换极大算子,那么S *f [P f.证明 任意自然数n I N 都有扩张:n =E ]k =0n k Mk(0[n k <m k )定义集合I r (n )=[n (r),n (r )+M r ),n(r )=E ]k=rn kMk(r I N ),则n 被某个I r (n )所包含.由于0[n k <m k ,所以#459#福州大学学报(自然科学版)第37卷n -n(r)=E r-1k=0n kMk,E r -1k =0n kFk-1j=0m j /F r-1j=0m j <E r -1k =0m kFk-1j=0m j /F r-1j=0m j=Er-1k=01/F r-1j=k+1m j =Er-1k=01/2r -(k+1)也就是说,n -n (r)=Er-1k =0n k M k <M r .另一方面,注意到式(1),易知I r (n)=I r (n ~)意味着n(r+1)=n(r +1).因此,对任意I I I ,能定义一个算子:P I=P I r(n )=E[n (r+1),n (r))=J I I ,|J |=M rP J (9)式(9)表明存在n r 个被加数.下面验证如果V ilenkin 系统是有界的,那么这族算子满足定义1的所有条件.1)对I 1,I 2I I ,不失一般性,设I 1,I 2分别为如式(5),且I 1t I 2,那么能够推导出:I 1[I 2,故而,M n 1[M n 2.而且F I 1A F I 2(10)可从式(8),式(9)和式(10)推导出:P I 2(P I1f)=E[n (r +1)1,n (r)1)=J I I ,|J |=M n 1,j I J7j E n 2(P I 1f 7j )=E[n (r+1)1,n (r)1)=J I I ,|J |=M n 1,j I J7j E n 1(f 7j )=E[n (r +1)1,n (r)1)=J I I ,|J |=M n1P J f =P I1f2)注意到V ilenki n 系统(7j ,j I N )的正交性,用与上述相同方法可以推P I (P If )=0.3)从式(8)和式(9)可推导出:P If =E[n (r +1),n (r)1)=J I I ,|J|=M n ,j I J7j E n (f 7j )(11)由于R -代数F I 是由属于(M n )的V ilenkin 系统生成F M n 所定义,所以易知对任意F I -可测函数N ,从式(10)可以得到P I (N P If )=N P I (P If ).4)如果V ilenk i n 系统(7j ,j I N )有界,那么不等式(4)成立.用式(11)和Jesen 不等式可推出:P If2X=E[n (r=1),n (r))=J I I ,|J |=M n ,E n (f )2X[CE I f2X这表明(P I ,I II )是一族满足定义1所有条件的线性算子.再由式(11)可以推导出:P I r(n)[d I r (n )f ]=n r d I r (n)f这里d I r (n )f 是由V ilenkin 系统(7j ,j I N )生成的树鞅(E I f,I II )的第n 项差.由于[0,n )=G]r=0[n(r +1),n(r)),这就意味着S n f =E]r=0Ek I [n (r +1),n (r))f 7k =E]r =0P I r (n)f =E{n}[IP I(d I f )这里(d I f,I I I )是树鞅f =(E I f,I I I )的鞅差.因此,任意函数f I L 1(X )的V ilenk i n -Fourier 级数部分和S n (f)的极大函数能被树鞅f 的鞅变换极大算子估计,即S *(f)=sup n INS n (f)X[P f3 U M D 空间值V ilenkin 系统的收敛性基于B anach 空间值鞅H ardy 空间和B MO 空间对偶关系及Bourga i n 的结论[8],W eisz[11]证明了如果X是UM D 空间,f I L p(X ),1<p<],V ilenk i n 系统(7j ,j I N )是有界的,那么函数f 的V ilenk i n -Fourier 级数部分和S n (f )是几乎处处收敛于f.这里将利用UMD 值树鞅鞅变换极大算子不等式证明函数f 的V ilenkin-Fourier 级数部分和S n (f )不仅是几乎处处收敛于f ,而且是以范数收敛于f .进一步,如果V ilenkin 系统(7j ,j I N )是无界的,我们扩展W e isz[11]的结果到无界缺项函数f.引理6[12]设Y 是L p(X )的闭子集,Y 0在集合Y 中稠密,且对1[p <],U 和U n (n I N )是从Y到L p(X )的线性算子,使得对每个f I Y 0有Uf =li m n y ]U n f a .e ..如果sup y >0yP (U *f >y )1p [(f I L p(X ))#460#第4期何统军:树鞅鞅变换与V ilenk i n 系统收敛性这里U *f =sup n INU n fX,那么对每个f I Y,Uf =li m n y ]U n f a .e ..定理1 设X -值V il e nkin 系统(7j ,j I N )是有界的,f I L p(X )及1<p <].如果X 是一个UMD 空间,那么sup y>0yP (S *f >y )1p [C pfL p (X ),而且对f I L p(X )有S n f y f a .e .当n y ].证明 一方面,从式(4)可知,如果V ilenkin 系统有界,那么随机基(F I ,I I I )是正规的,再从式(2)易知X -值树鞅(P I ,I I I )关于随机基(F I ,I I I )可料.另一方面,对任意函数f I L 1(X ),很容易证明X -值树鞅(P I f,I II )也是可控的.事实上,通过观察可知:P I f =E I =J I I ,|J |=M r-1P J f式I =M r ,被加数的数目是M r-1且有界.因此,P I fX[EI =J I I ,|J |=M r-1P J fX意味着X -值树鞅(P I f,I I I )有可控性.令U n =S n ,Y =L p(X ),Y 0表示V ilenkin 多项式集合.众所周知,Y 0在L p(X )中稠密.对S n ,L p(X ),Y 0应用引理1,引理5和引理6,即可获得定理1.定理2 设X -值V il e nkin 系统(7j ,j I N )是有界的,f I L p(X )及1<p <].如果X 是一个UMD 空间,那么S n fL p (X )[C p fL p (X ),而且对f I L p(X )有S n f y f a .e .当n y ].证明 可直接由引理2得到.如果f I L 1(X )是缺项函数,则由任意V ilenk i n 系统(7j ,j I N )生成的X -值树鞅(P I f,I I I )可控(文献[3]B 161).通过对(S n f,n I N )分别应用引理1和引理2,并结合引理5能分别获得:定理3 设X -值V ilenki n 系统(7j ,j I N )是任意的,缺项函数f I L p(X )及1<p <].如果X 是一个UM D 空间,那么sup y >0yP (S *f >y )1p [C p f L p (X ),而且对缺项函数f I L p(X )有S n f y f a .e .当n y ].定理4 设X -值V ilenk i n 系统(7j ,j I N )是任意的,缺项函数f I L p(X )及1<p <].如果X 是一个UMD 空间,那么S n fL p (X )[C p fL p (X ),而且对缺项函数f I L p(X )有S n f y f a .e .当n y ].参考文献:[1]G t G.On (C ,1)summ ab ilit y for V ilenki n-li ke syste m s[J].Stud i a M a t h ,2001,144:101-120.[2]Schipp F,W adeW R,S i m on P ,et al .W a l sh ser ies :an i ntroducti on to dyadic har m on ic analysis[M ].N e w Y o rk :A dam H il g -e r ,1990.[3]W e isz F .M arti nga l e H ardy spaces and the ir app licati ons i n Fourier analysis[M ].B erli n :L ecture N otes i n M athema ti cs ,1994.[4]F ri d li S ,Sch i pp F.T ree-m arti ng ales[C]//P roc 5th P annonian Sym p on M ath Sta t .V isegr d :[s .n .],1985:53-63.[5]H e T J ,H ou Y L.So m e i nequa lities fo r tree ma rti nga les[J].A c taM a t he m aticae A pp licatae S i n i ca :Eng lish Ser i es ,2005,21:671-682.[6]何统军.树鞅的收敛性[J].应用数学,2008,21:395-398.[7]H e T J ,Shen Y.M ax i m a l opera tors 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