第三章 线性算子与线性泛函

线性泛函数知识点总结一、线性泛函数的基本概念1.1 线性泛函数的定义线性泛函数是指一个将向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的函数，且满足线性性质。

设V和W是两个向量空间，如果一个函数T:V→W满足以下两个条件：1) 对于任意的向量x,y∈V，有T(x+y)=T(x)+T(y)；2) 对于任意的向量x∈V和标量a，有T(ax)=aT(x)；则函数T被称为V到W的线性泛函数。

1.2 线性泛函数的例子下面我们举几个线性泛函数的例子，以便更好地理解这个概念。

例1：设V是实数域上的n维向量空间，W是实数域上的m维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有T(x)=(x1^2,x2^2,...,xn^2)∈W。

显然，函数T满足线性性质，因此它是一个线性泛函数。

例2：设V是实数域上的3维向量空间，W是实数域上的2维向量空间，定义一个函数T:V→W，使得对于任意的向量x=(x1,x2,x3)∈V，有T(x)=(x1+x2,x2+x3)∈W。

同样地，函数T也满足线性性质，因此它也是一个线性泛函数。

1.3 线性泛函数的表示线性泛函数可以用矩阵来表示。

设V和W分别是n维和m维向量空间，选择它们的一组基{e1,e2,...,en}和{f1,f2,...,fm}，则对于任意的向量x=(x1,x2,...,xn)∈V，有其在基{e1,e2,...,en}下的表达式为x=x1e1+x2e2+...+xnen，而对于任意的向量y=(y1,y2,...,ym)∈W，有其在基{f1,f2,...,fm}下的表达式为y=y1f1+y2f2+...+ymfm。

定义一个线性泛函数T:V→W，使得对于任意的向量x∈V，有T(x)=y∈W，则T的矩阵表示为一个m×n的矩阵A，其中A的第i列为T(ei)在基{f1,f2,...,fm}下的坐标表示，即A=[T(e1)|T(e2)|...|T(en)]。

线性泛函分析泛函分析的主要工作在于对积分方程而不是对变分法提供一个抽象的理论． 变分法领域里所需泛函的性质是相当特殊的，对一般的泛函并不成立．此外，这些泛函的非线性造成了困难，而这种困难对于包含在积分方程中的泛函和算子则是无关紧要的．在Schmidt ，Fischer ，Riesz 为积分方程解的理论作具体推广时，他们和其他一些人也同时开始了相应的抽象理论的研究．第一个试图建立线性泛函和算子的抽象理论的，是美国数学家E ．H ．Moore ，他从1906年开始这一工作． Moore 认识到，在有限多个未知数的线性方程的理论、无限多个未知数的无限多个线性方程的理论、以及线性积分方程的理论之间，有许多共同的地方．他因此着手建立一种称为“一般分析”(Generl Analysis)的抽象理论，它包含上述具体理论作为特殊情形．他用的是公理方法．我们将不叙述其细节，因为他的影响并不广，而且电没有获得很有效的方法．另外，他的符号语言很奇怪，使以后的人理解起来很困难．在建立线性泛函和算子的抽象理论的过程中，第一个有影响的步骤是由Erhard Sohmidt 和Frechet 在1907年采取的．Hilbert 在他的积分方程的工作中，曾经把一个函数看成是由它相应于某标准正交函数系的Fourier 系数给定的．这些系数以及在他的无穷多个变量的二次型理论中他所赋予这些x i 的值，都是使21n x ∑∞成为有限的序列{x n }．然而，Hilbort 并没有把这些序列看成空间中点的坐标，也没有用几何的语言，这一步是由Schmidt 和Frechet 采取的． 把每一个序列{x 。

}看成一个点，函数就被表现为无穷维空间的点．Sohmidt 不仅把实数而且把复数引入序列{x 0}中．这样的空间从此以后被称为Hilbort 空间．我们的叙述 按照Schmidt 的工作．Schmidt 的函数空间的元素是复数的无穷序列z ＝{z n }，使得.21∞∑∞=＜zp p Schmidt 引入记号;211⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∞=-p p p z z 来表示z ；z 后来就称为z 的范数(norm)．按照Hilbert ，Sehmidt 用记号).,(,),(1-∞==∑z z z 所以z 表示z p p pωω(现在通用的记号是把)),(1p p p z 定义义z -∞=∑ωω．空间中两个元素z 和ω称为正交的，当且仅当.0,=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ωz Schmidt ；接着证明了广义的Pythagoras 定理：如果z 1， z 2， …，z n 是空间的n 个两两正交的元素，则由∑==n p p z 1ω知 .212p n p z ∑==ω由此可推出n 个两两正交的元素是线性无关的．Schrnidt 在他的一般空间中还得到了Bessel 不等式：如果{z n }是标准正交元素的无穷序列，即ωδ而z z pq q p ,),(=-是任何一个元素，那末21,(-∞=∑p p z ω≤.2ω 此外，还证明了范数的Schwarz 不等式和三角不等式．元素序列{z n }称为强收敛于z ，如果z z n -趋向于0，而每个强Cauehy 序列，即每个使q p z z -趋于0 (当p ，q 趋于0时)的序列，可以证明都收敛于某一元素z ，从而序列空间是完备的．这是一条非常重要的性质．Schmidt 接着引进了(强)闭子空间的概念．他的空间H 的一个子集A 称为闭子空间，如果在刚才定义的收敛的意义下它是闭子集，并且是代数封闭的，后者意指，如果ω1与ω2是A 的元素，那末2211ωωa a +也是A 的元素，其中a 1，a 2是任何复数．可以证明这样的闭子空间是存在的，这只需取任何一个线性无关的元素列{z n }，并取{z n }中元素的所有有限线性组合．全体这些元素的闭包就是一个代数封闭的子空间．现在，设A 是任一固定的闭子空间．Schmidt 首先证明，如果z 是空间的任一元素，则存在唯一的元素ω1和ω2，使得z ＝ω1+ω2，其中ω1属于A ， ω2和A 正交，后者是指ω2和A 的每个元素正交(这个结果，今天称为投影定理；ω1就是z 在A 中的投影)进一步，,min 2z y -=ω 其中y 是A 的变动元素，而且极小值只在21.ωω时达到y =称为z 和A 之间的距离．在1907年，Schmidt 和Frechet 同时注意到，平方可和(Lebesgue 可积) 函数的空间有一种几何，完全类似于序列的Hilbert 空间． 这个类似性的阐明是在几个月之后，当时Riesz 运用在Lebesgue 平方可积函数与平方可和实数列之间建立一一对应的Riesz-Fischer'定理指出，在平方可和函数的集合L 2中能够定义一种距离，用它就能建立这个函数空间的一种几何． L 2中，定义在区间[a ， b]上的任何两个平方可积函数之间的距离这个概念，事实上也是Frechet 定义的，他把它定义为(1) ⎰-b a dx x g x f ,)]()([2其中积分应理解为Lebesgue 意义下的；并且两个函数只在一个0测集上不同时就认为是相等的．距离的平方也称为这两个函数的平均平方偏差．f 和g 的内积定义为⎰=ba dx x g x f g f )()(),(． 使(f ，g) = 0的两个函数f 与g 称为是正交的．Schwarz 不等式 dx x g x f ba )()(⎰≤dx g dx fb a b a ⎰⎰22以及对平方可和序列空间成立的其他性质，都适用于函数空间．特别是，这类平方可和函数形成一个完备的空间．这样，平方可和函数的空间，同这些函数相应于某一固定的完备标准正交函数系的Fourier 系数所构成的平方可和序列的空间，可以认为是相同的．在提到抽象函数空间时，我们应重提一下Riesz 引入的空间L p (1<p<∞)．这些空间对度量pb a p dx f f f f d 12121),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰ 也是完备的．虽然我们很快就要考察抽象空间领域中的其他成就，但下一发展涉及泛函和算子．在刚才引述的对空间L 2的函数引进了距离的1907年的文章中，以及在同年的其他文章中， Frechet 证明了，对于定义在L 2的每一个连续线性泛函U(f)，存在L 2中唯一的一个u(x)，使得对L 2的每个f 都有⎰=ba dx x u x f f U .)()()( 这推广了Hadamard 1903年得到的一个结果．1909年Riesz 推广了这个结果，用Stieltjes 积分表示U(f)，也就是⎰=ba x du x f f U ).()()(Riesz 自己还把这个结果推广到满足下面条件的线性泛函A:对L p 中所有的f)(f A ≤p ba p dx x f M /1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰其中M 只依赖于A ．这样，存在L q 中的一个函数a(x)，在允许相差一个积分为0的函数的意义下是唯一的，使得对L p 中所有的f(2) ⎰=b a dx x f x a f U .)()()( 这个结果称为Riesz 表示定理。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

数学的泛函分析方法泛函分析是数学中的一个分支领域，它研究的是函数空间及其上的线性算子等数学结构。

在数学的各个领域中，泛函分析方法都得到了广泛的应用，包括数论、微分方程、偏微分方程、概率论等等。

本文将介绍数学的泛函分析方法及其在不同领域中的应用。

一、泛函分析的基本概念和原理泛函分析的基本概念包括函数空间、线性算子、内积、范数等。

函数空间是泛函分析的重要概念之一，它是一组具有一定性质的函数的集合。

常见的函数空间有无穷可微函数空间、有界函数空间、连续函数空间等。

线性算子则是函数之间的映射，它保持线性性质。

内积是一个函数空间上的二元运算，它满足线性性、对称性和正定性。

范数是函数空间上的一种度量，它衡量函数的大小和距离。

泛函分析的原理主要包括函数的连续性、可微性、积分等性质。

连续性是泛函分析的基本性质之一，它描述了函数在某一区间上的变化情况。

可微性是指函数在某一点附近存在导数，它描述了函数的变化速率。

积分是泛函分析中常用的计算工具，它描述了函数在某一区间上的总体情况。

二、泛函分析在数论中的应用泛函分析在数论中的应用主要体现在数论函数的性质研究、数论方程的解法等方面。

数论函数是研究整数性质的函数，如欧拉函数、狄利克雷级数等。

泛函分析方法可以用来研究这些数论函数的性质，如连续性、可微性等。

此外，泛函分析方法还可以用来解决一些数论方程，如椭圆曲线方程、费马方程等。

三、泛函分析在微分方程中的应用泛函分析在微分方程中的应用是非常广泛的，它主要体现在解析解的存在性和唯一性、解的稳定性等方面。

微分方程是描述变化的数学模型，而泛函分析方法可以用来证明微分方程的解的存在性和唯一性，以及解的稳定性。

此外，泛函分析方法还可以用来研究微分方程的数值解法，如有限元法、有限差分法等。

四、泛函分析在偏微分方程中的应用泛函分析在偏微分方程中的应用同样是非常广泛的，它主要体现在偏微分方程的解的存在性和唯一性、解的稳定性等方面。

偏微分方程是描述空间变化的数学模型，而泛函分析方法可以用来证明偏微分方程的解的存在性和唯一性，以及解的稳定性。

第三章 有界线性算子一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。

称)(T D 是T 的定义域。

特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。

如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。

此外取算子范数作为空间中的范数。

定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。

定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。

2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。

在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。

此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。

由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。

在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。

事实上，设∈nA A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。

如果)(∞→→n A A n ，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n-ε<。

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。

定义： 假设一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。

容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。

命题2 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：〔1〕任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。

特别，(0)0T =与()R T TX =〔值域〕是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间〔称为T 的核或零空间〕。

〔2〕假设向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；假设A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。

〔3〕T 是单射(){0}N T ⇔=。

说明：假设0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；假设(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子〔或相似变换，假设0α≠〕，记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。

对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。

假设,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈假设:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。

实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。

容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT RT +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。