巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：

c0算子半群的定义c0算子半群是一个在某个（通常是巴拿赫）空间上的一种特殊的半群，它的成员是一类被称为c0算子的线性算子。

在数学领域中，半群是一种代数结构，它由一组元素以及一个二元运算组成，满足结合律。

c0算子半群的定义主要涉及到线性算子和一些额外的条件。

首先，我们需要明确什么是线性算子。

在函数空间的背景下，线性算子是一种将一个函数映射到另一个函数的数学对象。

它满足以下两个性质：线性和连续。

线性是指对于任意两个函数和标量，算子的作用保持加法和数乘的线性性质。

连续是指算子应保持函数之间的距离，即当函数序列收敛时，其映射后的函数序列也应收敛。

接下来，我们定义c0算子。

c0算子是一类在具有有限上界的函数空间上定义的线性算子。

这里的函数空间通常是巴拿赫空间，也就是一个完备的线性空间。

有限上界的条件保证了算子的作用不会使函数的值无穷大。

具体来说，对于一个定义在巴拿赫空间上的函数f，如果存在一个正数M，使得f的所有值都小于M，那么f就是一个有限上界的函数。

c0算子即对有限上界的函数定义的线性算子。

对于c0算子半群，我们还需要满足一些额外的条件。

其中一个条件是单位元的存在。

单位元是指存在一个特定的函数，使得算子将这个函数映射到自身，对其他函数的作用不改变它们的值。

另一个条件是半群性质：对于半群中的任意两个算子，它们的组合也是一个算子，并且满足结合律。

c0算子半群在数学中有广泛的应用。

它特别适用于描述一些动力系统的演化行为。

在动力系统中，我们通常考虑一些变量随时间的演化规律。

而c0算子半群提供了一种刻画这种演化规律的数学工具。

通过研究c0算子半群的性质，我们可以得到关于系统的稳定性、收敛行为和长期动力性质等重要信息。

总结起来，c0算子半群是一种在具有有限上界的函数空间上定义的满足线性和连续性条件的特殊线性算子的集合。

它满足半群的结合律和单位元存在的条件。

c0算子半群在动力系统理论中有重要的应用，用于描述变量随时间的演化规律，并研究系统的稳定性和动力性质。

§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。

定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。

（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。

若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。

v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。

如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。

和是的两个子空间，称为平凡子空间。

若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。

E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。

若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。

若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。

E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。

第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。

证明 必要性。

若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。

若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。

令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。

对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()kkv v v v v v f f t x t α===∑∑。

因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。

由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。

f 显然满足条件（1）和（2）。

证毕。

2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。

证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。

在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。

其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。

有界线性算子逐点收敛的极限未必有界1杜升华2我们知道，定义在一个Banach 空间上的有界线性算子序列逐点收敛的极限一定是有界线性算子，这是一致有界性原理（Banach-Steinhaus 定理）的简单推论。

但是，这对不完备的赋范线性空间来说一般是不对的。

下面给出一个反例：令，首先验证X 是线性空间。

任取，11{(,,,)|01..()as n n n X x x x l s t x O n εε==∈∃<<=→∞……}1(,,)n x x x =……1(,,,)n y y y =∈……X ，设1()n n x O ε=，2()nn y O ε=（），n →∞1201εε<≤<，任取,αβ∈R ，则2()nn n x y O αβε+=（），从而n →∞x y X αβ+∈。

采用的诱导范数使X 成为赋范线性空间。

1l 3定义为，其中:n T X X →12()(,2,,,0,,0,)n n T x x x nx =………1(,,)n x x x =……。

易见且(,)n T B X X ∈n T n =。

任取1(,,)n x x x X =∈……，设当时n N ≥||n n x C ε≤。

定义，则12()(,2,,,)n T x x x nx =……()),n n n nx nO O n ε==→∞，故。

由此定义了一个线性算子。

当时，()T x X ∈:T X X →n N ≥11()()||0,k n kk n k n T x T x kxCk n ε∞∞=+=+−=≤→→∑∑∞，即在范数意义下li 。

1l m ()()n n T x T x →∞=但T 并不是有界线性算子。

事实上，设(0,,0,1,0,)k e =……为第k 分量为1、其余分量为0的向量，则，k e X ∈()k kT e k e =。

故(,)T B X X ∉。

有界线性算子理论中（同时也是线性泛函分析中）另两个最重要的定理是闭图像定理和有界逆定理。

banach逆算子定理证明-回复题目：证明Banach逆算子定理引言：Banach逆算子定理是泛函分析中的重要定理之一。

它建立了有界线性算子的逆的存在性和唯一性，为我们解决一类重要的算子问题提供了理论基础。

本文将以中括号内的内容为主题，详细讲述Banach逆算子定理的证明过程。

一、Banach空间和有界线性算子Banach空间是指一个完备的赋范线性空间，它的赋范是由范数来定义的。

有界线性算子是在两个Banach空间之间定义的线性映射，它保持了向量空间间的线性结构，而且满足一定的有界性条件。

二、范数的等价性在引入Banach逆算子定理之前，我们首先需要证明一个引理，即范数之间的等价性。

具体而言，对于任意一给定范数，我们要证明存在一系列常数，使得这些常数下确界的范数能够反映该范数的全部信息。

三、反常序列与闭算子性质在证明Banach逆算子定理时，我们需要引入反常序列和闭算子的概念。

反常序列是指一个序列在某个点处不收敛于该点的序列，而闭算子是指保持序列的收敛性的线性算子。

四、有界算子与闭算子等价性基于反常序列和闭算子的概念，我们可以证明有界算子与闭算子之间存在着等价性。

即有界算子的闭图像等价于闭算子的有界图像，而有界算子的定义域也等价于闭算子的定义域。

五、Banach逆算子定理的证明通过以上的引理和等价性的推论，我们可以开始证明Banach逆算子定理。

首先，我们需要证明一个重要的结论，即闭线性算子的图像和零空间的直和可以生成整个Banach空间。

接着，我们证明了闭算子的向上稠密性，即它的值域在定义域上稠密。

最后，我们通过构造逆算子来证明有界线性算子的逆的存在性和唯一性。

结论：通过以上的证明过程，我们最终证明了Banach逆算子定理，揭示了有界线性算子逆的存在和唯一性。

这个定理在泛函分析等领域有着广泛的应用，为我们解决一类重要的算子问题提供了有力的理论支持。

同时，这个证明过程也展示了泛函分析中一些重要概念和技巧的运用，进一步加深了我们对于Banach空间和有界线性算子的理解。

banach空间的四个基本定理
巴拿赫空间是函数空间中一个重要的概念，并且有四个基本定理与之相关。

这四个定理被称为巴拿赫空间的基本定理，它们分别是完备性定理、闭图像定理、开映射定理和逆定理。

1. 完备性定理：巴拿赫空间是一个完备的度量空间。

也就是说，任何一个柯西序列（Cauchy sequence）在巴拿赫空间中都有一个极限点。

这个定理保证了巴拿赫空间的内部结构是完整的，没有任何缺陷。

2. 闭图像定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个闭集。

这个定理说明了有界线性算子在巴拿赫空间中的性质，它保证了算子的连续性和稳定性。

3. 开映射定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的图像是一个开集。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的映射性质，即保持开集的映射。

4. 逆定理：巴拿赫空间中的有界线性算子的逆算子也是有界的。

这个定理保证了有界线性算子在巴拿赫空间中的可逆性，即存在一个有界逆算子。

这四个基本定理是巴拿赫空间理论的基础，它们描述了巴拿赫空间的
一些重要性质。

这些定理不仅在函数空间中有广泛的应用，还在数学分析的其他领域中起到了重要的作用。

它们为我们研究函数空间中的问题提供了有力的工具和方法。

巴拿赫空间是函数分析中的重要概念，与算子理论密切相关。

本文将从巴拿赫空间的定义和性质入手，介绍巴拿赫空间在算子理论中的应用。

首先，我们来了解一下巴拿赫空间的概念。

巴拿赫空间是一种完备的赋范空间，它的一个重要特点是任何一个柯西序列都在该空间中收敛。

一个赋范空间被称为巴拿赫空间，是指其上的每一个柯西序列都能收敛于该空间中的某个元素。

巴拿赫空间的概念最早由斯蒂凡·巴拿赫在20世纪初引入，并由此奠定了函数分析的基础。

巴拿赫空间的特性使得它在算子理论中具有广泛的应用。

其中一项重要的应用是对于线性算子的定义域的描述。

对于给定的线性算子，它的定义域可以是一个巴拿赫空间。

定义域是指使得算子在该空间中有意义的所有元素的集合。

通过巴拿赫空间的完备性质，我们可以更好地描述和研究线性算子的性质和行为。

另外，巴拿赫空间还在算子理论中的算子收敛性和算子拓扑等方面发挥着重要作用。

在巴拿赫空间上，我们可以定义不同类型的算子拓扑，如弱拓扑和强拓扑。

这些拓扑给予了巴拿赫空间上的算子收敛的不同定义，从而更好地描述了算子在巴拿赫空间中的收敛性质。

通过对拓扑的分析，我们可以得到算子序列的极限行为和收敛性质，对于算子的研究和应用具有重要意义。

最后，巴拿赫空间在算子理论中的应用还体现在函数逼近和泛函分析方面。

巴拿赫空间上的函数逼近是指通过一系列基本元素（也称为基底）来逼近一个未知函数。

通过基底的选择和逼近方法的设计，我们可以得到对于需要逼近的函数足够接近的近似函数。

这对于实际问题的求解和函数的近似具有重要意义。

泛函分析是研究巴拿赫空间上的泛函的理论和方法。

泛函是一类对于函数或者函数序列的函数，通过泛函分析，我们可以研究泛函的性质和应用，为函数的分析和求解提供更多的工具和理论支持。

综上所述，巴拿赫空间在函数分析中具有重要的地位和作用。

它的完备性质使得其在算子理论中有广泛的应用，可以描述线性算子的定义域和收敛性质。

巴拿赫空间上的算子拓扑和收敛性研究对于算子的行为和性质具有重要意义。

第三章 有界线性算子一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。

称)(T D 是T 的定义域。

特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。

如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。

此外取算子范数作为空间中的范数。

定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。

定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。

2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。

在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。

此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。

由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。

在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。

事实上，设∈n A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。

如果)(∞→→n A A n，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n 1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n -ε<。

hilbert空间上线性有界算子关系式ab-
ba≠i的一个证明
空间上的线性有界算子是指在一个Hilbert空间上，用线
性方程组来定义的算子。

这种算子常常用来表达特定的空间性质，比如它可以用来描述空间中物体的运动规律，或者表达某种程度的不变量。

本文将讨论关系式AB-BA≠I这一结论，它
表明空间上线性有界算子AB和BA不等价，这也是Hilbert空间上线性有界算子的一个重要特性。

首先，我们来看看Hilbert空间上线性有界算子的定义。

Hilbert空间上的线性有界算子是指从Hilbert空间到自身的线
性算子，它的特征是它的范数是有限的。

也就是说，它的范数是一个有界的数字，表示它的力量是有限的。

另外，它还有一个特性，即它的力量是越来越大的，但总是有一个上限，即它的范数。

现在我们来看AB-BA≠I这个结论。

由于AB是一个线性
有界算子，因此它的范数是有限的，这意味着它的力量是有限的。

另外，BA也是一个线性有界算子，它的范数也是有限的，但是它的力量可能比AB大，因为它的范数可以比AB大。

因此，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

综上所述，AB-BA≠I是空间上线性有界算子的一个重要
性质。

它表明，AB和BA的力量是不同的，因此AB-BA≠I。

这也是Hilbert空间上线性有界算子的特性之
一，它可以帮助我们更好地理解和分析空间中的特性。

巴拿赫空间理论巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)⼀⼿创⽴的，数学分析中常巴拿赫空间⽤的许多空间都是巴拿赫空间及其推⼴，它们有许多重要的应⽤。

⼤多数巴拿赫空间是⽆穷维空间，可看成通常向量空间的⽆穷维推⼴。

编辑本段线性空间巴拿赫空间（Banach space）是⼀种赋有“长度”的线性空间﹐泛函分析研究的基本对象之⼀。

数学分析各个分⽀的发展为巴拿赫空间理论的诞⽣提供了许多丰富⽽⽣动的素材。

从外尔斯特拉斯﹐K.(T.W.)以来﹐⼈们久已⼗分关⼼闭区间[a﹐b ]上的连续函数以及它们的⼀致收敛性。

甚⾄在19世纪末﹐G.阿斯科利就得到[a﹐b ]上⼀族连续函数之列紧性的判断准则﹐后来⼗分成功地⽤于常微分⽅程和复变函数论中。

巴拿赫空间1909年⾥斯﹐F.(F.)给出[0﹐1]上连续线性泛函的表达式﹐这是分析学历史上的重⼤事件。

还有⼀个极重要的空间﹐那就是由所有在[0﹐1]上次可勒贝格求和的函数构成的空间(1<p <∞)。

在1910～1917年﹐⼈们研究它的种种初等性质﹔其上连续线性泛函的表⽰﹐则照亮了通往对偶理论的道路。

⼈们还把弗雷德霍姆积分⽅程理论推⼴到这种空间﹐并且引进全连巴拿赫空间续算⼦的概念。

当然还该想到希尔伯特空间。

正是基于这些具体的﹑⽣动的素材﹐巴拿赫﹐S.与维纳﹐N.相互独⽴地在1922年提出当今所谓巴拿赫空间的概念﹐并且在不到10年的时间内便发展成⼀部本⾝相当完美⽽⼜有着多⽅⾯应⽤的理论。

编辑本段Banach空间完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。

是⽤波兰数学家巴拿赫(Stefan Banach ）的名字命名的。

巴拿赫空间巴拿赫的主要贡献是引进了线性赋范空间概念，建⽴了其上的线性算⼦理论，证明了作为泛函分析基础的三个定理，哈恩--巴拿赫延拓定理，巴拿赫--斯坦豪斯定理即共鸣之定理、闭图像定理。

这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应⽤上都有重要价值。

课程论文课程现代分析基础学生姓名学号院系专业指导教师二Ｏ一五年十二月四日目录1 绪论 (1)2 Banach空间基本概念 (1)2.1拟范数定义及例子 (1)2.2 Banach空间 (2)2.3 Banach空间中线性变换及其性质 (3)3 一致有界定理及其推论 (4)3.1问题 (4)3.2基本概念 (4)3.3一致有界定理及其推论 (5)3.4一致有界性定理及其推论的应用 (6)4 Hahn-Banach定理与凸集分离定理 (7)4.1实线性空间上的Hahn-Banach定理 (7)4.2复线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.3赋范线性空间上的Hahn-Banach定理 (8)4.4有关Hahn-Banach定理的一些推论 (9)4.5 Hahn-Banach定理的几何形式：凸集分离定理 (9)5 Banach空间中开映射、闭图像定理以及逆算子定理 (9)5.1开映射定理 (10)5.2逆算子定理 (11)5.3闭图像定理 (12)6 总结 (14)参考文献 (16)Banach空间及其相关定理南京理工大学自动化学院，江苏南京摘要：本文的主要是介绍了Banach空间以及其相关定理。

首先，本文讲了Banach空间产生的背景以及应用领域。

然后本文介绍了Banach空间的基本概念及其相关性质。

最后本文开始从一致有界定理开始，将Banach空间中Hahn-Banach定理、开映射、闭图像以及逆算子定理这几个重要定理逐一做出介绍并给出相应定理的证明。

关键词：Banach空间；一致有界定理；Hahn-Banach定理；开映射、闭图像、逆算子定理1 绪论巴拿赫空间（Banach space）是一种赋有“长度”的线性空间，泛函分析研究的基本对象之一。

数学分析各个分支的发展为巴拿赫空间理论的诞生提供了许多丰富而生动的素材。

从魏尔斯特拉斯，K.(T.W.)以来，人们久已十分关心闭区间[a，b]上的连续函数以及它们的一致收敛性。

2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
科研热词 推荐指数 banach空间 3 逼近紧 1 迫近性 1 统计测度 1 统计收敛 1 算子代数 1 渐近拟伪压缩型映象 1 渐近半压缩映象 1 次微分 1 最佳逼近解 1 最佳逼近紧 1 强增生映象 1 度量广义逆 1 带误差的修改的ishikawa迭代序列1 可加映射 1 半紧 1 具随机性误差的隐迭代序列 1 中心化子 1 不适定线性算子方程 1 不适定算子广义逆 1 不动点. 1 一致连续 1 φ -强增生映象 1 ishikawa迭代序列 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
科研热词 解析函数 复合算子 加权dirichlet空间 非方常数 点态凸性模 标准算子代数 最速下降法 最优控制 无界广义逆 推广的roper-suffridge算子.mr(2000)主题分 拓扑可补 强收敛 广义逆扰动分析 广义φ -增生算子 外逆 可加映射 可修复系统 凸性模 内逆 中心化子 下半弱连续 α 次的殆β 型螺形映射 loewner链 banach空间 32a30 30c45
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Hale Waihona Puke 2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
2011年 科研热词 推荐指数 非线性遍历定理 1 非常值多项式 1 逼近紧性 1 近可凹性 1 近严格凸性 1 谱 1 解析核 1 渐近非扩张型映射 1 渐近非扩张型半群 1 渐近φ -伪压缩映像 1 殆轨道 1 有界线性算子 1 度量投影算子 1 广义(ω 1)性质 1 广义(ω )性质 1 带误差修改的mann迭代 1 带误差修改的ishikawa迭代 1 巴拿赫空间 1 单值延拓性质 1 半群 1 任意banach空间 1 上半连续 1 一致lipschitz映像 1 opial条件 1 kk性质 1 banach空间 1

泛函分析试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在泛函分析中，下列哪个概念不是线性空间的公理之一？A. 封闭性B. 加法结合律C. 交换律D. 分配律答案：A2. 一个线性泛函在定义域内是连续的，那么它在定义域内也是：A. 有界的B. 无界的C. 可微的D. 可导的答案：A3. 紧算子一定是：A. 有界算子B. 单射算子C. 满射算子D. 可逆算子答案：A4. 希尔伯特空间中，下列哪个性质不是正交性的定义？A. 正交向量的长度不为零B. 正交向量的内积为零C. 正交向量的数量可以是无限的D. 正交向量在同一个空间中答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述什么是巴拿赫空间，并给出一个例子。

答案：巴拿赫空间是完备的赋范线性空间，即在该空间中，任何柯西序列都收敛于该空间中的一个点。

一个典型的例子是所有连续函数构成的空间，赋予最大范数。

2. 什么是紧算子？请解释其性质。

答案：紧算子是定义在巴拿赫空间上的有界线性算子，其值域是原空间的一个闭子空间，并且是可分的。

紧算子的一个重要性质是它们将单位球面映射到一个相对紧集。

三、计算题（每题20分，共40分）1. 设线性算子A在希尔伯特空间H上定义，且满足A^*A = I，证明A是单射的。

答案：设x, y属于H，且Ax = Ay，那么A^*(Ax) = A^*(Ay)，即x = y。

因此，A是单射的。

2. 给定线性泛函f在希尔伯特空间H上定义，且满足f(x) = <x, y>，其中y是H中的一个固定向量。

证明f是连续的。

答案：由于f(x) = <x, y>，根据内积的性质，|f(x)| ≤ ||x||||y||，其中||y||是y的范数。

因此，f在H上是连续的。

四、论述题（每题20分，共20分）1. 论述希尔伯特空间中正交投影算子的性质。

答案：希尔伯特空间中的正交投影算子P具有以下性质：- P是线性的。

- P是自伴的，即P^* = P。

3. 逆算子概念与性质 定义5 (逆算子) 设有算子T: XY, 如果存在算子S: YX, 使得
ST=Ix, TS=Iy 则称S为T的逆算子，记作S=T-1.
注： 1) 若S是T的逆算子，则对xX, 有
T S X Y X T S x Tx S (Tx) I x x x
对于T-1, 开集的原象是开集
T-1是连续算子T-1是有界线性算子。
二、闭图像定理
1. 算子的图像与闭图像定理 定义7 (线性赋范空间的积空间) 设X, Y都是线性赋范空间, 在集合 X×Y={(x,y)|xX, yY} 中定义线性运算 k1(x1, x2)+k2(x2, y2)=(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2);
范数 ||(x,y)||=||x||X+||y||Y
则X×Y也是线性赋范空间，称XY为X与Y的积空间。 注： 若X与Y都是Banach空间，则XY也是Banach空间。
定义8 (算子的图像) 设X, Y都是线性赋范空间, DX是线性子空
间，T:DY是线性算子，则称集合GT={(x,Tx)|xD}XY 为算子T的图像。 注： GT是 XY的线性子空间。事实上
三、共鸣定理(一致有界定理)
在许多数学问题中，经常出现的不只是单个的线性有界算子， 而是一族线性有界算子，并需要讨论这一族线性有界算子在什 么条件下一致有界？关于这一问题巴拿赫—斯坦因豪斯 (Banach-Steinhaus) 给出了一个非常漂亮的结果，即共鸣定理。 引理1（奥斯古得（Osgood）定理）设X是巴拿赫空间， gn:
u x0 r0 x r0 , Tnu Tn x0 r0Tn x
1 Tn x Tnu Tn x0 r0 1 1 2M Tn x Tnu Tn x0 Tnu Tn x0 r0 r0 r0 2M Tn sup Tn x , n 1, 2, r0 x 1

泛函分析考试试卷、选择题。

1、下列说法不正确的是( ) A 、 n 维欧式空间R n 是可分空间 B 、全体有理数集为 R n 的可数稠密子集 C 、广是不可分空间 D 、若X 为不可数集则离散度量空间 X 是可分的答案：D2、设T 是度量空间(X,d )到度量空间(Y , d ~)的映射，那么T 在x °?X 连续的充要条件是() A 、 当 X n ^X 0 (n is)时，必有 Tx n ^Tx o (n 宀① B 、 当 X n f X o (n fg) o f Tx n (n fg) C 、 当 x o f X n (n fg)时，必有 TX n f Tx o (n fg) D 、 当 X n f X o (n f 0)时，必有 TX n f Tx o (n f 0) 答案：D3、在度量空间中有()A 、 柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列B 、 柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列C 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列D 、 柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列 答案：C4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是( )A 、 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间B 、 L p [a , b] (p 》)是巴拿赫空间C 、 空间l P 是巴拿赫空间D 、 赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间 答案：D5、 下列对共轭算子性质描述错误的是( )A 、(A+B)*=A*+B*; C 、当 X=Y 时,(AB)*=B*A*答案：B 、填空题1、度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上的连续映射的充要条件为Y 中的任意开集 M 为_______________ O答案：原像T -1M 是X 中的开集2、设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子，则 T 为有界算子的充要条件是T 是X 上的 。

答案：连续算子。

3、若T 为复内积空间X 上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切答案：(Tx , x ) =04、有界线性算子T 的共轭算子T 地是有界线性算子，并且答案：=5、设｛f n ｝是巴拿赫空间X 上的一列泛函，如果｛f n ｝在X 的每点X 处有界，那么｛f n ｝ ______ 。

泛函分析知识总结泛函分析知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R （有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ?x=y（非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x、y之间的度量或距离（matric或distance），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

3.4 线性算子的基本定理汉恩-巴拿赫延拓定理、逆算子定理、闭图像定理以及共鸣定理是泛函分析的四大基石，证明具有一定的技巧，应用非常广泛．前面已经学习了Hahn-Banach 定理，知道一般的线性赋范空间X 中存在足够多的线性连续泛函，从而使共轭空间的研究才有意义．本节探讨其它三个重要的定理．汉恩-巴拿赫延拓定理(The Hahn-Banach Theorem)定理 设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=．其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．3.4.1 逆算子定理(The Inverse Mapping Theorem)在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义3.4.1 逆算子(广义上)设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义3.4.2 正则算子设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ⊂→满足 (1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．注1 ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质3.4.1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理3.4.1逆算子定理设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例 3.4.1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)证明 设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有112Ix x M x =≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有1212I xx M'x -=≤．故范数1⋅和2⋅等价．□3.4.2 闭图像定理(The Closed Graph Theorem)学习微积分时，我们知道闭区间[,]a b 上的函数()y f x =图形是xoy 平面上的一条曲线，即为2R 中的一个点集(){(,)(),[,]}G f x y y f x x a b ==∈，特别当()[,]f x C a b ∈，这个点集()G f 为2R 中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上．定义3.4.3 线性赋范空间的乘积设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，考虑直积集{(,),}X Y x y x X y Y ⨯=∈∈，1122(,),(,)x y x y X Y ∀∈⨯，α∀∈K ，在X Y ⨯上定义加法和数乘，11221212(,)(,)(,)x y x y x x y y +=++，1111(,)(,)x y x y ααα=那么X Y ⨯构成线性空间．设,x X y Y ∈∈，其范数分别为,x y ，于是在X Y ⨯上可定义范数1(,)()p pppx y x y =+(1)p ≤<+∞，(,)max(,)x y x y ∞=最常用的是1(,)x y x y =+，12222(,)()x y x y =+，(,)max(,)x y x y ∞=，可证明这些范数都是X Y ⨯上的等价范数．此时称X Y ⨯为X 和Y 的乘积空间．注2 通过上述范数的定义可知乘积空间X Y ⨯是线性赋范空间，于是在X Y ⨯中就有了开集、闭集、列紧集、收敛列、完备性等概念和相应的结论．例如点列{(,)}n n x y X Y ⊂⨯收敛于00(,)x y 当且仅当0000(,)(,)(,)0n n n n x y x y x x y y -=--→．同时易证00(,)(,)n n x y x y →⇔00,n n x x y y →→，可见若F X Y ⊂⨯，F 闭集的的充要条件为：(,)n n n A x y F ∀=∈，若(,)n A A x y →=，即n x x →，n y y →，则有A F ∈．定义3.4.4 闭算子设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若T 的图像(){(,),()}G T x y y Tx x D T ==∈是乘积空间X Y ⨯的闭子集，则称T 为闭线性算子，简称闭算子．引理3.4.1 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，T ：()G X Y ⊂→是线性算子，那么T 为闭线性算子⇔()n x D T ∀∈，当n x x X →∈，n Tx y Y →∈时，必有()x D T ∈且Tx y =．证明 ⇒如果T 为闭线性算子，那么当()n x D T ∈，n x x X →∈，n Tx y Y →∈时，显然有{(,)}()⊂n n x Tx G T ，而且在乘积空间X Y ⨯中有(,)(,)n n x Tx x y →，由于()G T 是X Y ⨯中的闭集，故(,)()x y G T ∈，即()x D T ∈，Tx y =．⇐(,)()n n x Tx G T ∀∈，当(,)(,)n n x Tx x y →时，显然有n x x →，n Tx y →，由条件知()x D T ∈且Tx y =．于是(,)(,)()x y x Tx G T =∈，即()G T 中的每一收敛点列的极限都在()G T 中，所以()G T 是闭集，即T 为闭线性算子．□注3 对于线性算子而言，已有三个主要的概念：连续性、有界性和闭性，其中连续性和有界性等价，因此，需要研究“线性有界算子”与“闭线性算子”之间的关系．定理3.4.2 设T ：()()D T X Y ⊂→是线性有界算子，如果()D T 是X 的闭线性子空间，那么T 为闭线性算子．证明 设()n x D T ∈且有n x x X →∈，n Tx y Y →∈．因为()D T 是X 的闭线性子空间，所以()x D T ∈；又因为T 有界，即连续算子，所以lim lim n n n n y Tx T x Tx →∞→∞===故根据上述引理可得T 为闭线性算子．□注4 当()D T X =时，若T ：X Y →是线性有界算子，则由定理知T 为闭算子． 定理3.4.3 闭图像定理设X 和Y 都是Banach 空间，T ：()()D T X Y ⊂→是闭线性算子，()D T 是X 的闭线性子空间，那么T 为线性连续算子．证明 略．推论3.4.1 设X 和Y 都是Banach 空间，()T X Y ∈→，那么T 为线性有界算子⇔T 为闭算子．例3.4.2 设[0,1]X C =，(1)(){()[0,1]}[0,1]D T x X x't C C =∈∈=，定义微分算子D ：()D T X→如下：()x D T ∀∈，()dx x t dt=D ，则D 是闭算子，但是D 无界的． 证明 由第三节例3.3.3后的反例知：令()()[0,1]n t a n x t e C --=∈，可得()[,]max 1n t a n t a b x e --∈==；n x n =→∞D知T 是无界的．下证T 是闭算子．设()n x D T ∈，且n x x →，n Tx y →．因为在[0,1]C 中的收敛是函数列的一致收敛，由()()()'n n x t Tx t y t =→，即()'n x t 在[0,1]C 上一致收敛()y t ，所以有0()lim ()tt 'n n y d x d ττττ→∞=⎰⎰0lim ()t'n n x d ττ→∞=⎰lim[()(0)]n n n x t x →∞=-()(0)x t x =-即0()(0)()tx t x y d ττ=+⎰，从而()()x t D T ∈ ，且()()Tx x't y t ==，根据上述引理3.4.1(闭算子的等价条件)知，T 是闭算子．□例3.4.2说明算子的闭性不蕴含有界，下面的例子则说明有界也不蕴含闭性．例 3.4.3 设[,]X C a b =，()[,]D T P a b =是[,]a b 上的实系数多项式函数的全体，再令:()[,]T D T C a b →是恒等算子，那么T 是线性有界算子，但T 不是闭算子．证明 因为()x D T ∀∈，Tx x =，所以显然有T 是线性有界算子．令()sin ()x t t X D T =∈-，由于()[,]D T P a b =在X 中稠密，所以存在点列{}()n x D T ⊂，使得()n x x n →→∞，即n n Tx x x =→，但是(,)(sin ,sin )()x Tx t t G T =∉，故T 不是闭算子．□3.4.3 共鸣定理(The Banach-Steinhaus Theorem)在许多数学问题中，常常会遇到一族算子的有界问题，而不是仅仅考虑某一个算子的有界问题，即需要讨论这一族线性有界算子在什么条件下一致有界？要回答这一问题，涉及到如下在理论和应用上大都十分重要的定理——共鸣定理．定义3.4.5 一致有界设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，()F B X Y ⊂→，如果{ }T T F ∈是有界集，则称算子族F 为一致有界．定理3.4.4 共鸣定理设X 是Banach 空间，Y 是线性赋范空间，算子族()F B X Y ⊂→，那么{ }T T F ∈是有界集(F 一致有界)⇔x X ∀∈，{ }Tx T F ∈为有界集．证明 (1) 必要性⇒ 因为{ }T T F ∈是有界集，所以存在0M >，T F ∀∈，有T M ≤，于是x X ∀∈，不妨设x a =，那么Tx T x M x M a ≤≤≤⋅因此{ }Tx T F ∈为有界集．(2) 充分性⇐x X ∀∈，定义sup FT Fx x Tx ∈+ ，显然F ⋅是X 上的范数且比⋅强，下面证明(,)F X ⋅完备．如果s u p ()0m nm n m n FT Fx x x x T x x ∈-=-+-→(,)m n →∞，由X 是Banach 空间知存在x X ∈，使得0n x x -→()n →∞．又因为0ε∀>，N ∃∈N ，使得只要,m n N ≥，便有sup m n T FTx Tx ε∈-<．从而T F ∀∈有n n m m Tx Tx Tx Tx Tx Tx -=-+-n m m Tx Tx T x x ≤-+-0→()n →∞．因此得sup ()0n n T Fx x T x x ∈-+-→()n →∞，即0n Fx x-→，可见(,)F X ⋅完备．根据等价范数定理知范数F ⋅和⋅等价，从而存在0M >，使得x X ∀∈有sup sup FT FT FTx x Tx xM x ∈∈≤+=≤于是可得T F ∀∈有T M ≤．□注5 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理)，由共鸣定理知，当F 不一致有界时，即sup{ }T T F ∈=∞，则存在0x X ∈，使得0sup{ }Tx T F ∈=∞，称0x 为算子族F 的共鸣点．例3.4.4 设无穷矩阵111212122212j j i i ij a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭满足21ij i a ∞=<∞∑，1,2,3,j = ，并对任何212(,,,,)i x x x x l =∈ 有Tx xA =11121212221212(,,,,)j j i i i ij a a a a a a x x x a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12(,,,,)i y y y = 2y l =∈其中1j i ij i y x a ∞==∑，1,2,j = ，证明算子T 是线性连续算子．证明 显然22()T l l ∈→是线性算子，又知2l 是Banach 空间，所以由闭图像定理知，算子T 连续等价于T 是闭算子．设2{}n x l ⊂，()n x x n →→∞，2n Tx y l →∈，下面证明y Tx =．记12(,,,,)i x x x x = ；00012(,,,,)j Tx y y y = ；12(,,,,)j y y y y = ；12(,,,,)n nn n i x x x x = ；12(,,,,)n n n n j Tx y y y = ．由n Tx y →知，对每一个j 而言，有1221()nn jj jj j y y y y ∞=-≤-∑0→ (n →∞)另一方面对每一个j 有01()n n jji i ij i y y xx a ∞=-=-∑1()n i i ij i x x a ∞=≤-∑11222211()()n ij ii i i a x x ∞∞==≤-∑∑1221()ij n i a x x ∞==-∑0→ (n →∞)所以0j j y y =，即y Tx =．由闭算子的等价条件知T 是闭线性算子．□例3.4.5 (Fourier 级数的发散问题) 存在一个周期为2π的实值连续函数，它的Fourier 级数在0t =点发散.证明 记周期是2π的实值连续函数全体为2C π，对于2f C π∈，f 导出的Fourier 级数为：011(cos sin )2n n n a a nt b nt ∞=++∑，其中 1()cos d n a f t nt t πππ-=⎰ (0,1,2,n = )；1()sin d n b f t nt t πππ-=⎰ (1,2,3,n = ).当0t =时，级数为0112n n a a ∞=+∑，前1n +项部分和为01111()()[12cos ]d 22nnn n n n S f a a f t nt t πππ-===+=+∑∑⎰记1()12cos nn n K t nt ==+∑，计算可得1sin()2()sin 2n n tK t t +=(计算略)，于是 1()()()d 2n nS f f t Kt t πππ-=⎰．下面证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 发散．显然2:n S C π→R 是线性泛函．又因为[,]1()max {()}()d 2n nt S f f t Kt t πππππ-∈-≤⋅⎰n M f ≤⋅其中1()d 2n nM Kt t πππ-=⎰，所以n S 是2C π上的线性连续泛函．可证明n S 的范数为1()d 2n n nS M Kt t πππ-==⎰(证明略)．由于2C π是Banach 空间，为了证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 无界，根据共鸣定理，只需证{}n S 无界．因为1sin()12d 12sin 2n n t S t t πππ-+=⎰202sin(21)d sin n s s s ππ+=⎰ (2t s =) (1)22(21)02(21)sin(21)2d k nn k k n n ss sπππ++=++≥∑⎰(1)2202sin 2d k nk k u u uπππ+==∑⎰((21)u n s =+)(1)220222sin d (1)k nk k u u k ππππ+=≥+∑⎰(1)2220241sin d 1k nk k u u k πππ+==+∑⎰ 2220041sin d 1nk u u k ππ==+∑⎰22411nk k π==+∑→∞所以{}n S 无界．□。