2017_2018学年高考数学黄金30题专题02大题好拿分(基础版)理 Word版 含答案

2018年高考数学走出题海之黄金30题系列1．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π3【答案】B【解析】如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在Rt BCF △中2BF CF ==，4BC =，在Rt BCS △中，4CS =，所以BS =112π3，故选A ． 2.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k =_________. 【答案】23.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】2cos 4AB AC AB AC AB BAC AC ABAB AC=∠===故选D4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C ．223 D ．29 【答案】C5．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y+的最小值为（ ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．9 【答案】B 【解析】11sin cos tan 22ABC S AB AC A AB AC A A =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠△11tan 122AB AC A =∠=⨯=，即11122x y x y ++=⇒+=，那么()141442252518y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，故选B ． 6.已知函数，将其图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将函数图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的解析式为．由为奇函数可得，故，又，所以的最小值为．选B ．7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C8．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A. 1 B. 12C. 1-D. 2 【答案】A【解析】曲线212y x e =的导数为：y ′=x e ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=s e． 曲线y=alnx 的导数为：y ′=a x ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=as．曲线212y x e =与曲线y=alnx 在它们的公共点P （s ，t ）处具有公共切线， 可得s a e s =，并且t=212s e，t=alns ， 即221{,ln ,.122s ae s s s e s alns e=∴=∴==可得a=2 1.s e e e==故选A ．9.已知双曲线C ： 22221x y a b -= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ，P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =， 120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为b y x a =，设点Q 坐标为,(0)bm m m a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 则12,,,bm bm QF c m QF c m a a ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵120QF QF ⋅=，∴222222222,,0bm bm b m c m c m c m m c c a a a a ⎛⎫⎛⎫---⋅--=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴m a =．设()00,P x y ，由23QP PF =得，∴()00003,,bm x m y c x y a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，∴003344{ 3344c m c ax bm b y a ++====，∵点()00,P x y 在双曲线上，∴222233441c a b a b+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴226160c ac a +-=，∴26160e e +-=，解得2e =或8e =-，∴双曲线C 的离心率为2．选B ．10．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ）A ．1(,)9+∞ B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞【答案】C11．已知直线l 是曲线x y e =与曲线22x y e =-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x ex =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x e x =--- D. ()()222ln212x f x e x =---【答案】B【解析】：设直线l 与曲线xy e =切点为(),m n ， xy e =的导数为'xy e =， 22xy e =-的导数为2'2x y e =，曲线xy e =在(),m n 的切线的方程为()m my e ex m -=-，即()1m y e x m =-+，曲线22x y e =-在点(),a b 处的切线方程为()()2222a a y e e x a --=-，即()222122a a y e x e a =+--，可得()()222{1122m am a e e e m e a =-+=--，则2ln2m a =+，即()222ln2120a e a +--=，即有()()222ln212x f x e x =+--，故选B ．12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=【答案】C【解析】如下图，由题意可得c =F ′，由|OA |＝|OF |＝|OF′|知，∠AFF ′＝∠FAO ，∠OF′A＝∠OAF′，所以∠AFF′+∠OF′A＝∠FAO+∠OAF′，由∠AFF′+∠OF′A+∠FAO+∠OAF′＝180°知，∠FAO+∠OAF′＝90°，即AF⊥AF′．在Rt△AFF′中，由勾股定理，得'8AF==，由双曲线的定义，得|AF′|－|AF|＝2a＝8－4＝4，从而a＝2，得a2＝4，于是b2＝c2－a2＝16，所以双曲线的方程为221416x y-=．故选C．13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的错误！未找到引用源。

1．已知函数()2=3sin cos cos f x x x x +． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期． （Ⅱ）求()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）π（Ⅱ）最大值和最小值分别是32， 0． 试题解析：解：（Ⅰ） ()23sin cos cos f x x x x =+π1sin 262x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）∵ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴ππ5π2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ∴π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴()30,2f x ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，∴()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别是32， 0．点睛：三角函数的化简需要对三角函数的二倍角公式（降幂公式）、辅助角公式熟悉应用，三角函数的性质考察通常利用整体思想解题，然后通过()sin f x x =的原始性质进行解题，得到对应的解。

2．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， sin 2sin a A csinC asinC b B +=+.（1）求B ； （2）若5,212A b π==，求a 和 c . 【答案】(1) 4B π=.(2) 13a =+ 6c =试题解析： (1)由已知，根据正弦定理得2222a c ac b +=+.由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，故22222cos 222a cb ac B ac ac +-===，所以4B π=.（2）由512A π=，得26sin sin sin cos cos sin 646464A ππππππ+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭. 由4B π=，得()3C A B ππ=-+=，故sin 262213sin 4b A a B ===+ sin 326sin b C c B ===3．在等差数列{}n a 中， 13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数， 11b =，公比为q ，且2212b S +=， 22S q b =． （Ⅰ）求n a 与n b ． （Ⅱ）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）3n a n =， 13n n b -=（Ⅱ）()231n nT n =+试题解析：（Ⅰ）设等差数列公差为d ， 由题目列出各方程：2212b S +=即11212b q a a ++=，22S q b =即122a a qb +=， 得26{6q d q d+==+，解出3q =， 3d =，∴()113n a a d n n =+-=，1113n n n b b q --==．（Ⅱ）∵()12n n nS a a =+ ()332nn =+, 23322n n =+． ()21121333122n n c S n n n n ⎡⎤===⎢⎥+⎢⎥⎣⎦+ 21131n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭．211111132231n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭ 21131n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ 231n n =⨯+． 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*112n n S a n N +=∈ （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设()()*113log 1n n b S n N+=-∈，令12231111nn n Tb b b b b b +=+++，求n T 【答案】（1）123nn a ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（2）24n n T n =+【解析】试题分析：(1) 利用112n n S a += 得到相邻两项的关系，把问题转化为等比数列问题；(2) 利用裂项相消法求和.∴{}n a 是等比数列，且公比为n1n 121,a =a =2333⎛⎫∴⨯ ⎪⎝⎭首项，（2）由（1）及112n n S a +=得11111123n n n S a +++⎛⎫-== ⎪⎝⎭5．为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重，经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据分成以下5组，第一组[]45,50，第二组[]50,55，第三组[]55,60，第四组，第五组[]65,70，得到如图所示的频率分布直方图，现采用分层抽样的方法，从第3、4、5组中随机抽取6名学生做初检． （Ⅰ）求每组抽取的学生人数．（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率． 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1115P =． 【解析】试题分析：（1）由直方图得第3、4、5组的学生人数之比为3:2:1，根据分层抽样的方法知依次抽取3名学生， 2名学生， 1名学生；（2）通过穷举法，求得概率为1115。

2018年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二 新题精选1．（三角函数与函数周期相结合的创新题）设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π-=-，当0x π-<≤时， ()0f x =，则20183f π⎛⎫=⎪⎝⎭___________. 【答案】32【解析】∵()()sin f x f x x π-=-∴()()sin f x f x x π=-+，则()()()()sin sin f x f x x f x x ππ+=++=-. ∴()()()sin sin f x f x x x f x πππ+=-+-=-，即()()2f x f x π+=. ∴函数()f x 的周期为2π ∴2018222672sin 33333f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵0x π-<≤时， ()0f x = ∴2018230sin 33f ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故答案为3. 2．（概率与程序框图相结合的创新题）已知为集合中三个不同的数，通过如图所示算法框图给出的算法输出一个整数，则输出的数的概率是__________．【答案】3．（幂函数与线性规划相结合的创新题）若幂函数的图象上存在点，其坐标满足约束条件则实数的最大值为__________．【答案】2 【解析】作出不等式组满足的平面区域（如图中阴影所示），由函数为幂函数，可知，∴，∴.作出函数的图象可知，该图象与直线交于点，当该点在可行域内时，图象上存在符合条件的点，即，故实数m 的最大值为2.故答案为：24．（等比数列与体积、表面积相结合的创新题）已知轴截面边长分别是2和1的矩形的圆柱体积最大时其全面积为S ，等比数列{}n a ，且68a a S +=，则8468(2)a a a a ++的值为 ．【答案】216π5．（向量、解三角形与基本不等式相结合的创新题）在中，角所对的边分别为若对任意,不等式恒成立，则的最大值为___________.【答案】 【解析】6．（三角函数与基本不等式相结合的创新题）四边形ABCD 中， 2AB =1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________． 10【解析】 设BD b =,222222121131112sin 11sin cos cos 22424S S A C A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯+⨯⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭42321013416b b -+=-22512322416b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-, 当2510,22b b ==时,取得最大值,故填102.7．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出 ．（填写正确的序号）① 性别与喜欢理科无关； ②女生中喜欢理科的比为80%；③ 男生比女生喜欢理科的可能性大些； ④男生不喜欢理科的比为6O% 【答案】③8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式 (为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知, 3ie π表示的复数的模为 ． 【答案】1【解析】313cossin3322ie i i πππ⋅=+=+，所以22313122ie π⋅⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 9．（函数与含绝对值不等式相结合的创新题）设函数满足则=__________．【答案】 【解析】即10．（新定义函数与解不等式相结合的创新题）是不超过的最大整数，则方程满足的所有实数解是___________．【答案】或11．（向量与三角函数相结合的创新题）已知1sin ,sin ,sin ,,222a x x b x ωωω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 其中0ω>,若函数()12f x a b =⋅-rr 在区间(),2ππ内没有零点,则ω的取值范围是 ．【答案】][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】()()2111cos 111sin sin sin sin cos 2222222x f x x x x x x ωωωωωω-=+-=+-=- 2sin 24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12．（解三角形与向量相结合的创新题）在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c O 是ABC ∆外接圆的圆心,若2cos 2B c b α=-,且cos cos sin sin B C AB AC mAO C B+=u u ur u u u r u u u r ,则m 的值是 ． 【答案】2【解析】因为2cos 2a B c b =-，由余弦定理得222222a c b a c b ac +-⋅=-，整理得2222b c a bc +-=，所以2222cos 2b c a A bc +-==，即4A π=，因为O 是ABC ∆的外心，则对于平面内任意点P ，均有：cos cos cos 2sin sin 2sin sin 2sin sin A B C PO PA PB PC B C A C A B =++u u u ru u u r u u u r u u u r ，令P 与A 重合，及4A π=得2cos cos 2sin sin 2sin 2sin B C AO AB AC AB AC C B C B ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵cos cos sin sin B C AB AC mAO C B+=u u u r u u u r u u u r ，∴2m =． 13．(向量与不等式结合的创新题)已知(0,0)OA aOB bOC a b =+>>u u u r u u u r u u u r，且,,A B C 三点在同一条直线上，则11a b+的最小值为__________． 【答案】414．（函数与新定义的创新题）若对于任意一组实数(),x y 都有唯一一个实数z 与之对应，我们把z 称为变量,x y 的函数，即(),z f x y =，其中,x y 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数()()2229,4f m n m n m n ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭，则此函数的最小值为__________．【答案】22122-【解析】因为点()2,4m m - 在圆224x y += 上,点9,n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 在曲线9y x= 上,所以本题转化为求圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间的最小值,如下图，作直线y x = 与它们的图象在第一象限交于A,B 两点，显然圆224x y +=与曲线9y x=的图象都关于直线y x =对称，所以AB 就是圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间距离的最小值,求出()()2,23,3AB ,所以()()222323222122AB =-+-=-,所以()()2229,422122f m n m n m n ⎛⎫=-+--=- ⎪⎝⎭ .点睛: 本题主要考查了新定义下的距离公式, 涉及的考点有参数方程化为普通方程,两点间距离公式,考查了学生的阅读理解能力和转化能力,属于中档题.15．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．【答案】4516．（平面向量与椭圆的创新题），分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则__________．【答案】【解析】椭圆中a =6，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a =12，,可得B 为AF 1的中点， ,可得C 为AF 2的中点，由中位线定理可得|OB |= |AF 2|， |OC |= |AF 1|， 即有= (|AF 1|+|AF 2|)=a =6.点睛：一般地，解决与到焦点的距离有关问题时，首先应考虑用定义来解决．椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a ，c 的关系．17．（数列与不等式的创新题）已知数列{}n a 中， ()*112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]2,2a ∈-，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则t 的取值范围为__________．【答案】][(),22,-∞-⋃+∞点睛：本题将数列的列项求和与不等式恒成立问题有机地加以整合，旨在考查数列通项递推关系，列项法求和，不等式恒成立等有关知识和方法．解答本题的关键是建立不等式组，求解时借助一次函数的图像建立不等式组()()222020{{2020F t tF t t-≥--≥⇒≥+-≥，最后通过解不等式组使得问题巧妙获解．18．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．【答案】【解析】设，则，，故多边形的面积；阴影部分为两个对称的三角形，其中，故阴影部分的面积，故所求概率.19．（三角函数与绝对值相结合的创新题） 函数，对于且（）， 记，则的最大值等于____． 【答案】16 【解析】所以。

专题04 大题好拿分（提升版）理1．设函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ (Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C ，若2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求 AB AC ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(Ⅱ)6.试题解析：(Ⅰ)()112sin cos 2sin23222222f x x x sinx cosx x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈. ()f x 的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅱ) sin 232A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()0,A π∈，所以3A π=.()412b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）[)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6.令也可以这样转化： 1r a b c =⇔++=代入222b c b c bc ⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭； ()412b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）； [)16,2AB AC bc ⋅=∈+∞，当且仅当b c =时， AB AC ⋅的最小值为6. 2．设向量()()()sin ,cos ,sin ,3cos ,3cos ,3sin a x x b x x c x x =-=-=，函数()()f x a c b =+⋅.（1）求()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； （2）已知0,0,0w k ϕπ，先将()y f x =的图象向右平移ϕ个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1w，纵坐标不变，然后再把得到的图象向上平移k 个单位长度，得到()y g x =的图象，已知()y g x =的部分图象如图所示，求k g w ϕ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】（1）[]4,1--；（2）2.试题解析:（1）因为()()f x a c b =+⋅ ()()sin ,cos sin ,3cos x x x x b x x =-⋅=-()()()sin sin cos 3cos x x x x x x =-+⋅++⋅-22sin cos 3cos cos x x x x x x =---2cos222sin 226x x x x π⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭，因为,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以[]2sin 224,16x π⎛⎫-+-∈-- ⎪⎝⎭.所以332sin 12cos 128233k g g w ϕππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，函数sin y A x ωϕ=+（） 的图象变换规律等问题．其中（2）解题的关键是根据图像得到sin22sin 413x πϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭3．已知数列{}n a 满足14a =， ()1*1324N n n n a a n n -+=+-∈. （1）是否能找到一个定义在*N 的函数()12n f n A B n C -=⋅+⋅+（A B C 、、是常数）使得数列(){}naf n -是公比为3的等比数列，若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，说明理由；（2）记123n n S a a a a =++++，若不等式23n n S n p ->⨯对任意*N n ∈都成立，求实数p 的取值范围.【答案】（1）1123221n n n --⨯-++；（2）73,81⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）由11324n n n a a n -+=+-可得()()11324n n f n n -+-=-，结合()()()113222n f n f n A Bn B C -+-=-⋅-+-，对应项系数相等列不等式组求解即可；（2）先利用分组求和法求得2322nnn S n n =-++，化简23nn S n p ->⨯可得32222133n n n n nn np -+-<=-，∴()()1131n n a f n a f -⎡⎤-=-=⎣⎦ ()1134223n n ---=⨯，∴()112323n n n a f n --=⨯+=⨯ 1221n n --++.（2）()2121333n n S -=++++- ()()11223521n n -⎡⎤++++++++⎣⎦2322n n n n =-++ ∴2322n nn S n n -=-+，由23nn S n p ->⨯，得32222133n n n n nn np -+-<=-.设3223n n n nnb -+=， 则()111221113n n n n n b b +++-+-=--+ ()11222122242333nn n n n n n n n ++----+==， 当4n ≥时， ()110111211n n n n C C ----=+≥+ 221111n n n n n C C C -----++++≥ ()221221n n n +-=>-∴4n ≥时， 1n n b b +>.容易验证，当13n ≤≤时， 1n n b b +≤，∴()4min 7381n p b b ==， ∴p 的取值范围为73,81⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 4．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=， 416S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =， 111n n n n b b a a ++-=⋅.①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数m ， n（m n ≠），使得2b ， m b ， n b 成等差数列？若存在，求出m ， n 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 21n a n =-;(2) ①3221n n b n -=-；②存在正整数3m =， 8n =，使得2b ， m b ， n b 成等差数列.试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． 由2315a a =， 416S =，得()()111215,{ 4616,a d a d a d ++=+=解得11,{ 2,a d ==或17,{ 2,a d ==-（舍去）．所以21n a n =-．（2）①因为11b a =， 111n n n n b b a a ++-=⋅，所以111b a ==，()()1111111212122121n n n n b b a a n n n n ++⎛⎫-===- ⎪-+-+⎝⎭， 即2111123b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，…， 111122321n n b b n n -⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，（ 2n ≥）累加得1111122121n n b b n n -⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭，所以111321212121n n n n b b n n n ---=+=+=---， 11b =也符合上式，故3221n n b n -=-， *n N ∈． ②假设存在正整数m 、n （m n ≠），使得2b ， m b ， n b 成等差数列，则22n m b b b +=． 又243b =， 323121242n n b n n -==---， 31242m b m =--， 所以4313242n ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭ 312242m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，即11121642m n =+--， 化简得： 7221n m n -=+ 971n =-+， 当13n +=，即2n =时， 2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时， 3m =符合题意．所以存在正整数3m =， 8n =，使得2b ， m b ， n b 成等差数列．5．为了增强高考与高中学习的关联度，考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成.保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会.计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科.（1）某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择； （2）甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级不参加第二次考试，达不到二级参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）15（2）见解析（2）因为甲乙丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数X 服从二项分布()9,0.2B ，所以分布列为E X=⨯=.所以X的数序期望()90.2 1.86．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降︒）价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C20,25，需求量为300瓶；如有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】（1）分布列为：（2）300．【解析】试题分析：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）当200n ≤时， ()642400Y n n =-=≤， ()400E Y ≤；当200300n <≤时， ()max 520E Y =；当300500n <≤时， ()max 520E Y =；当500n ≥时， ()max 440E Y ≤．从而得到当300n =时， ()E Y 最大值为520元．试题解析：(1）易知需求量可取200，300,500，()21612003035P X +===⨯， ()3623003035P X ===⨯， ()257425003035P X ++===⨯， 则分布列为：综上所述，当300n =时，取到最大值为520．7．某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：1221ˆni i i n ii x y nxy bx nx==-=-∑∑， ˆˆay bx =-， 4221194i i x-==∑， 421211945i i i x y --==∑）（1）1~6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为 6.5y x a =+，求a 的值，并估计y 的预报值.（2）现准备勘探新井()71,25，若通过1，3，5，7号并计算出的ˆb， ˆa 的值（ˆb ， ˆa 精确到0.01）相比于（1）中的b ， a ，值之差不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井()61,y ，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？（3）设出油量与勘探深度的比值k 不低于20的勘探井称为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探优质井数X 的分布列与数学期望.【答案】（1）17.5a =， y 的预报值为24；（2）使用位置最接近的已有旧井()61,24；（3）83EX =，分布列见解析.（3）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4，P （X=k ）=44246k kC C C -，可得X 的分布列及其数学期望．解：（1）因为5x =， 50y =.回归直线必过样本中心点(),x y ，则50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=.故回归直线方程为 6.517.5y x =+，当1x =时， 6.517.524y =+=，即y 的预报值为24.（2）因为4x =， 46.25y =，4221194i i x-==∑， 421211945i i i x y --==∑，所以421211422211ˆ44i i i i i x yxybxx --=-=-=-∑∑ 29454446.256.839444-⨯⨯=≈-⨯，46.25 6.83418.ˆ93ˆay bx =-=-⨯=，即ˆ 6.83b =， ˆ18.93a =， 6.5b =， 17.5a =.ˆ5%b b b -≈， ˆ8%a a a-≈，均不超过10%，因此使用位置最接近的已有旧井()61,24. （3）由题意，1，3，5，6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，所以勘察优质井数X 的可能取值为2，3，4，()224246225C C P X C ===， ()3142468315C C P X C ===， ()4042461415C C P X C ===.2818234515153EX =⨯+⨯+⨯= 8．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，已知AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ==， 12BB =， 160BCC ∠=.（1）求证： 1BC ⊥平面ABC ；（2）E 是棱1CC 上的一点，若二面角1A B E B --的正弦值为12，求线段CE 的长. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)2或3.【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥BC 1，在△CBC 1中，由余弦定理求解B 1C ，然后证明BC⊥BC 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C 1B⊥平面ABC ．（Ⅱ）通过AB ，BC ，BC 1两两垂直．以B 为原点，BC ，BA ，BC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出平面AB 1E 的一个法向量，平面的一个法向量通过向量的数量积，推出λ的方程，求解即可．()Ⅱ由()Ⅰ可以知道AB ， BC ， 1BC ，两两垂直，以B 为原点BC ， BA ， 1BC ，所在直线为x ， y ，z 轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0B ， ()0,1,0A ， ()1,0,0C ，(1C ，(1B -，(1CC -，(11,AB --.令1CE CC λ=，∴()1,AE AC CE λ=+=--，()CE λ=-.设平面1AB E 的一个法向量为(),,n x y z =， ()1•10{ •0n AE x y z n AB x y λ=--+==--+=， 令3z =，则332x λλ-=-， 32y λ=-，∴333,22n λλλ-⎛= --⎝， AB ⊥平面11BB C C ，∴BA 是平面1B EB 的一个法向量， 3cos ,n BA =，两边平方并化简得22530λλ-+=，所以1λ=或32. ∴12CE CC ==或1332CE CC ==.点睛：本题考查面面垂直，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题。

2018年高考数学走出题海之黄金30题系列母题1【集合运算】（2017北京卷理1）若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A ⋂B = A. {x |–2<x <–1} B. {x |–2<x <3} C. {x |–1<x <1} D. {x |1<x <3} 【答案】A【解析】试题分析：利用数轴可知{}|2 1 A B x x ⋂=-<<-，故选A. 母题2【充分条件和必要条件】（2017天津卷5）设R θ∈，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A.母题3【函数的性质】（2016山东卷理12）已知当[]0,1x ∈ 时，函数()21y mx =- 的图象与y m = 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A. ][()0,1⋃+∞ B. ][()0,13,⋃+∞C. [()⋃+∞ D. [()3,⋃+∞ 【答案】B母题4【函数的图象】（2016乙卷理7）函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为（ ）.A. B. C. D.【答案】D 分析 对于函数图像识别题一般是利用函数性质排除不符合条件的选项.母题5【三角形函数的图象和性质】（2016全国乙理12）已知函数π()sin()0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭…，π4x =-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π1836⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ）.A.11B.9C.7D.5 【答案】B【解析】 依题意，可得()π2124T k =⋅+，k ∈N ，且5ππ36182T -…，即π6T …. 故2112k +…，k ∈N ，即112k …，k ∈N .当5k =时，2π11T =.又ππ2π3π5π184114436<-=<，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上不单调.当4k =时，2π9T =，且π2πππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭. 又ππ5ππ5π,49361836⎛⎫-=∉ ⎪⎝⎭，因此()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值为9.故选B. 母题6【平面向量数量积】（2016天津理7）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）.A. 58-B.18C.14D.118【答案】B【解析】 由题意作图，如图所示.则()AF BC AE EF BC ⋅=+⋅=111cos60448AC BC ⋅==.故选B. FEDCBA母题7【内切球】（2016全国丙理10）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）.A.4πB.9π2C.6πD.32π3【答案】B【解析】 如图所示，假设在直三棱柱111ABC ABC -中，有一个球与平面11ABB A ，平面11BCC B，平11AAC C 面相切，其俯视图如图所示.设其球的半径为1r ，则16822,11(6810)22ABC ABC S r C ⨯⨯===⨯++△△且123r AA =…，得32r ….因此，直三棱柱内球的半径最大值为32，则33max4439πππ3322V r ⎛⎫===⎪⎝⎭.故选B.母题8【平面与平面平行的判定】(2016全国乙理11)平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ，α∥平面11CB D ，α平面=ABCD m ，α平面11=ABB A n ，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）.B ACC 1B 1A 1CBAA.2B.2C. 3D.13【答案】AABCDA 1B 1C 1D 1EFD 1C 1B 1A 1DCBA母题9【直线和双曲线位置关系】（2017天津卷理6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A. 22144x y -=B. 22188x y -=C. 22148x y -=D. 22184x y -= 【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B.母题10【直线和抛物线位置关系】（2016四川理8）设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为( ).23 C.2 D.1母题11【程序框图】（2016山东卷理7）执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的x 的值为7,第二次输入的x 的值为9,则第一次、第二次输出的a 的值分别为( )A. 0,0B. 1,1C. 0,1D. 1,0 【答案】D【解析】第一次227,27,3,37,1x b a === ；第二次229,29,3,39,0x b a =<===，选D.母题12【排列和组合】（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）. A.24 B.18 C.12 D.9【答案】B【解析】 从→E F 的最短路径有6种走法，从→F →G 的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法.故选B ．母题13【几何概型】（2017全国卷1理8）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A.14 B. π8 C. 12 D. π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为221()228aa ππ⨯⨯=，选B. 母题14【复数的运算及概念】（2017全国理2）已知R a ∈， i是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（ ）A. 1或1-【答案】A【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.母题15【导数的几何意义】（2016甲卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，则b = .【答案】1ln 2-母题16【二项式定理】（2017浙江卷理）已知多项式()31x + ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则4a =________________， 5a =________. 【答案】 16 4【解析】由二项式展开式可得通项公式为： 22323222r r m m m r m m r m C x C x C C x --+⋅=⋅⋅⋅，分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=，取r m =，可得25124a =⨯=．母题17【直线和圆】（2016全国丙理16）已知直线:30l mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D两点，若AB =，则CD =__________________.【解析】解法一：根据直线与圆相交弦长公式有AB ==223r d -=，又212r =，得3d =.因此圆心()0,0O 到直线l：30mx y m ++=的距离3d ==，解得m = 因此直线l的方程为y x =+所以直线l 的倾斜角为30.如图所示，过点C 作CE BD ⊥于点E ，则4cos30cos303CE AB CD ====. 母题18【线性规划】（2017全国卷1理）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32zx y =-的最小值为 . 【答案】-5【解析】如图所示，不等式组表示的可行域为ABC ∆易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---直线32z x y =-在x 轴上的截距越小，z 就越小，所以，当直线直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值，所以z 取得最小值为3(1)215⨯--⨯=- 母题19【平面向量坐标运算】（2017新课标3理13）已知向量()()2,3,3,a b m =-=，且a ⊥b ，则m =_______. 【答案】2【解析】由题意可得2330,m -⨯+=解得2m =.母题20【等比数列通项公式和性质】（2016全国乙理15）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 . 【答案】64解法一：由1n a …，得4112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭…，得4n …，且41a =.故当3n =或4时，12n a a a 取得最大值，即()321121231234max11164222n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.解法二：()()211720121221211822n n n n n n nn a a a a q--+++++-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=.母题21【立体几何与空间向量】【2014高考北京理第17题】如图，正方体MADE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱FD ，PC 分别交于G ，H .（1）求证：FG AB //；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.母题22【解三角形】（2017全国卷3理17）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且ADAC,求△ABD 的面积．【解析】（1）由已知得tanA=π2A=3在 △ABC 中，由余弦定理得2222844cos+2-24=03c 6c c c c c π=+-=-，即解得（舍去），=4 （2）有题设可得ππ∠∠=∠-∠==，所以26CAD BAD BAC CAD故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为π=1sin 26112AB AD AC AD 又△ABC的面积为⨯⨯∠=∆142sin 2BAC ABD 母题23【等差数列通项公式和数列求和】（2016全国甲理17）n S 为等差数列{}n a的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（1）求1b ，11b ，101b ；（2）求数列{}n b 的前1000项和．【解析】 （1）设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，所以44a =，所以4113a a d -==，所以1(1)n a a n d n =+-=． 所以[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101lg lg1012b a ===． （2）当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，； 当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，；当lg 3n a =时，1000n =． 所以1000121000=T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg =a a a ++⋅⋅⋅+091902900311893⨯+⨯+⨯+⨯=．母题24【数列递推公式和数列求和】（2016山东理18）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+ （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+求数列n C 的前n 项和n T . 【解析】 （1）由题意知当2n …时，165n n n a S S n -=-=+，当1n =时，1111a S ==，所以()*65n a n n =+∈N .设数列{}n b 的公差为d，由112223a b b a b b ⎧⎨⎩=+=+，即111121723b db d=+⎧⎨=+⎩，解得14b =，3d =，所以()*31n b n n =+∈N .（2）由（1）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+，又123n n T c c c c =+++⋅⋅⋅+， 得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得：234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=224(21)3[4(1)2]3221n n n n n ++-⨯+-+⨯=-⋅-，所以232n n T n +=⋅.母题25【空间向量与立体几何】（2016全国乙理18）如图所示，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，2AF FD =，90AFD ∠=，且二面角D AF E --与二面角C BE F --都是60．FEDC B（1）求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．由（1）知D F E ∠为二面角D AF E --的平面角，故60DFE ∠=︒，则2DF =，DG 可得(140)A ，，，(340)B -，，，(300)E -，，，(00D .由已知，ABEF ，所以AB平面EFDC .又平面ABCD 平面EFDC CD =，故ABCD ，CDEF .由BEAF ，可得BE ⊥平面EFDC ，所以CEF ∠为二面角C BE F --的平面角，母题26【离散型随机变量的分布列和期望】（2016全国卷3理19）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

专题03 小题好拿分（提升版）理1．设集合{|231}A x x =-≥，集合{|B x y ==，则A B ⋂= ( ) A. ()2,5 B. []2,5 C. (]2,5 D. [)2,5 【答案】D【解析】集合{|231}{|2}A x x x x =≥=≥﹣，集合{|B x y == {|50}{|5}x x x x ==﹣＞＜，则 {|25}[25A B x x ⋂=≤=＜，）．故选：D ． 点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错． 2．下列说法错误的是（ ）A. “函数()f x 为奇函数”是“()00f =”的充分不必要条件B. 已知A B C 、、不共线，若0PA PB PC ++=则P 是△ABC 的重心C. 命题“0x R ∃∈， 0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈， sin 1x <”D. 命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3πα≠” 【答案】A3．不等式组{34y xy x x y ≤≥+≥的解集记为D ，命题():,p x y D ∀∈， 25x y +≥，命题():,q x y D ∃∈，22x y -<，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ⌝B. qC. ()p q ∨⌝D. ()p q ⌝∨ 【答案】C【解析】D 为可行域，如图，其中()()2,2,3,1A B ,因为直线2z x y =+ 过点B 时取最小值5，所以命题p 为真；因为直线2z x y =- 过点A 时取最小值3，所以命题q 为假；因此()p q ∨⌝ 为真，选C.4．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 3 B. 32ln2+ C. 223e - D. e 【答案】A【解析】如图所示，曲边四边形OABC 的面积为()11121212ln 12ln ln11232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．5．已知()f x 是定义域为()0,+∞的单调函数，若对任意的()0,x ∈+∞，都有()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，且方程()3f x a -=在区间(]0,3上有两解，则实数a 的取值范围是（ ）3A. 01a <≤B. 1a <C. 01a <<D. 1a ≥ 【答案】A由方程()3f x a -=在区间(]0,3上有两解，则13log x a =在区间(]0,3上有两解，设()13log g x x =，作出函数()g x 在(]0,3上的图象，如图所示，结合图象，可得方程()3f x a -=在区间(]0,3上有两解， 实数a 满足01a <≤，故选A.点睛：本题考查了对数函数的运算性质及对数函数的图象与性质的综合应用，综合性强，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理进行等价转化，本题的解答中根据()13log 4f f x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，等价转换求得函数()f x 的解析式是解答的关键.6．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()223f x f x '+>， ()11f =，则不等式()11230x f x e --+>的解集为（ ）A. ()1,+∞B. ()2,+∞C. (),1-∞D. (),2-∞【答案】A点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

2018年全国高考数学模拟考试考前必做基础30题（解析版）1．已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D2．已知全集是实数集，右边的韦恩图表示集合与的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为，由题，所以，故选择D．3．若变量满足约束条件，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最小值．由解得，故点．∴．故选B．4．已知函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D5．在平面直角坐标系中，已知双曲线：，过的左顶点引的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积（）A． B． C． D．【答案】C6．已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，则在上是增函数，且当]时，，∵，∴的周期为2．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据三视图可画出该空间几何体，如下图所示．其中，，，所以外接球的直径为，所以该多面体的外接球的表面积为8．如图，分别以为圆心，正方形的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方形的面积为，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为故所求的概率为9．将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A．11．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为( )A. -2B. -1C.D.【答案】B【解析】若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，符合题意；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；若输入，则执行循环得结束循环，输出，与题意输出的矛盾；综上选B. 12．已知向量，且，则等于__________．【答案】13．在正项等比数列中，是的两个根，则__________．【答案】【解析】因为为等比数列，所以，又，所以，填．14．已知，其中是实数，虚数单位，那么__________．【答案】【解析】，根据复数相等的充要条件可知，.15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为，乙班数据的中位数为，那么的位置应填__________，的位置应填__________．【答案】 3 8【解析】甲班平均数，解得；乙班共6个数据，中位数应为，解得.16．若的展开式中的系数为80，则_______.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值．详解：二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为，由题意得，解得．17．已知是单位向量，且与夹角为60°，则等于__________．【答案】3【解析】18．函数的最大值为，它的最小正周期为.（1）求函数的解析式；（2）若，求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由已知最小正周期为，所以，解得.因为的最大值为，所以，所以的解析式为.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，20．已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．（1）求圆心的直角坐标；（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为，∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.21．某钢厂打算租用，两种型号的火车车皮运输900吨钢材，，两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且型车皮不多于型车皮7个，分别用，表示租用，两种车皮的个数.（Ⅰ）用，列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用，两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）分别租用、两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万. 【解析】（Ⅰ）由已知，满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱中，，分别为棱与的中点，，为线段上的动点，其中，更靠近，且.（1）证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）（2）解：取的中点，的中点，则，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设，则，易知是平面的一个法向量，∴，解得.∴，，，，∴，∴异面直线与所成角的余弦值为.23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有张印有“一等奖”的卡片，张印有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖元，抽中“二等奖”获奖元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记表示“小张恰好抽奖次停止活动”，求的值；（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取张卡片.①记表示“小王参加抽奖活动中奖”，求的值；②设表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）（2）①②由题意可知可取的值为，，，，则；；因此的分布列为的数学期望是24．如图所示的几何体是由以等边三角形为底面的棱柱被平面所截而得，已知平面为的中点,面．(1)求的长；(2)求证：面面；(3)求平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）取的中点，连接,则为梯形的中位线，又,所以所以四点共面,因为面，且面面所以所以四边形为平行四边形，所以（2）由题意可知平面面；又且平面所以面，因为所以面又面，所以面面；.设平面的法向量为，由得所以所以，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面相交所成锐角二面角的余弦值．25．如图1，四边形中，，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．（1）证明：平面平面；（2）若为中点，求二面角的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为且，可得为等腰直角三角形，则，又，且平面，，故平面，又平面，所以平面平面.（Ⅱ）以为原点，以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过点作平面的垂线，垂足为，根据对称性，显然点在轴上，设.由题设条件可得下列坐标：，，，，，.，，由于，所以，解得，则点坐标为.由于，，设平面的法向量，由及得26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为（为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为，求观众与乐队的互动指数之和的概率分布及数学期望.【答案】(1) (2)【解析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为，则（2）由题意可得：.,.27．四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面,60°, ,是中点,点在侧棱上.（Ⅰ）求证:;（Ⅱ）是否存在,使平面平面？若存在,求出,若不存在,说明理由.（Ⅲ）是否存在,使平面？若存在,求出.若不存在,说明理由.【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,因为侧面底面,且平面底面,所以底面.以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.则,因为为中点,所以.所以,所以平面的法向量为.因为,设平面的法向量为,则,即.令,则,即.所以.由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.（Ⅲ）设由（Ⅱ）可知.设,则,又因为,所以,即.所以在平面中,,所以平面的法向量为,又因为平面,所以,即,解得.所以当时,平面28．如图，是直角斜边上一点，．（I）若，求角的大小；（II）若，且，求的长．【答案】（I）；（II）2.29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列为：的数学期望.30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点).【答案】（1）；（2）．由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为，∴的面积为.21页。

2017年高考数学走出题海之黄金30题系列1．（三角函数与抛物线相结合的创新题）若角终边上的点在抛物线的准线上，则（）A. B. C. D.【答案】A2．（辗转相除法与程序框图相结合的创新题）程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“MOD”表示除以的余数），若输入的，分别为72，15，则输出的=（）A. 12B. 3C. 15D. 45【答案】B【解析】辗转相除法求的是最大公约数，的最大公约数为.3．（双曲线与二次函数相结合的创新题）当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A. B. C. D.【答案】B4．（等比数列与定积分相结合的创新题）已知等比数列，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由定积分的几何意义，表示圆在第一象限的部分与坐标轴所围成的扇形的面积，即=4 ，所以 .又因为为等比数列，所以.故选D.5．（推理的创新题）富华中学的一个文学兴趣小组中，三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究，并且他们选择的名家各不相同．三位同学一起来找图书管理员刘老师，让刘老师猜猜他们三人各自的研究对象．刘老师猜了三句话：“①张博源研究的是莎士比亚；②刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹；③高家铭自然不会研究莎士比亚．”很可惜，刘老师的这种猜法，只猜对了一句，据此可以推知张博源、高家铭和刘雨恒分别研究的是（）A. 曹雪芹、莎士比亚、雨果B. 雨果、莎士比亚、曹雪芹C. 莎士比亚、雨果、曹雪芹D. 曹雪芹、雨果、莎士比亚【答案】A【解析】假设“张博源研究的是莎士比亚”正确，那么“高家铭自然不会研究莎士比亚”也是正确的，这不符合“刘老师只猜对了一个”这一条件，所以假设错误；假设“高家铭自然不会研究莎士比亚”正确，故①不正确即张博源研究的不是莎士比亚，②不正确即刘雨恒研究的肯定是曹雪芹．这样的话莎士比亚没人研究了，所以此假设错误；前两次假设都是错误的，那么“刘雨恒研究的肯定不是曹雪芹”就是老师猜对了的那个，那么其他两句话是猜错的，即高家铭自然研究莎士比亚，那么张博源只能研究曹雪芹，刘雨恒研究雨果；故顺序为曹雪芹、莎士比亚、雨果，故选A.6．（统计与数列相结合的创新题）一个样本，3，5，7的平均数是，且，分别是数列{}()2*2n n N -∈的第2项和第4项，则这个样本的方差是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 【答案】C7．（等高条形图的创新题）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（ ）A. 性别与喜欢理科无关B. 女生中喜欢理科的比为80%C. 男生比女生喜欢理科的可能性大些D. 男生不喜欢理科的比为6O% 【答案】C【解析】从图中看，男生中喜欢理科的人多，喜欢理科的与性别有关；男生比女生喜欢理科的可能性大些；女生中喜欢理科的只有20%；男生中不喜欢理科的有40%．故选C ．8．（复数的新定义的创新题）欧拉公式 (为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知( )A. B. 1 C.D.【答案】B9．（导数与不等式相结合的创新题）已知函数的导函数为，且，不等式的解集为，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以待求不等式可化为，构造函数，因为不等式的解集为，所以在上，，所以函数在上单调递减，故在单调递增，，所以的解集为，故选D. *网10．（线性规划的创新题）某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一条之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果产品的利润为300元/吨，产品的利润为200元/吨，则该颜料公司一天之内可获得的最大利润为（）A. 14000元 B. 16000元 C. 18000元 D.20000元 【答案】A【解析】依题意，将题中数据统计如下表所示：设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依据题意得目标函数为，约束条件为欲求目标函数的最大值，先画出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当移动该直线过点时，取得最大值，则也取得最大值（也可通过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品40吨，产品10吨时，才可获得最大利润，为14000元.选A.11．sin,sin a b ωω⎛⎛== 0ω>,1a b ⋅-在区间(),2ππ内没有零点,则ω的取值范围是( )【答案】D函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点,则周期2T π≥，1ω≤， (),2x ππ∈时，k Z ∈，（k Z ∈），因为01ω<≤，当0k =时，1k =-时，D ． 12．（解三角形与向量相结合的创新题）在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c O 是ABC ∆外接圆的圆心,cos B CAB AC mAO +=,则m 的值是( )【答案】C13．（三视图的创新题）在一个半球中，挖出一个体积最大的长方体，挖后几何体的俯视图如图，则下列正视图正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】C14．（三棱锥与球相结合的创新题）已知点A,B,C,D 均为球O 的表面上若三棱锥D-ABC 则球O 的表面积为( ) A. 36π B. 16π C. 12π【答案】B【解析】由条可得120BAC ︒∠=， ，又由可得ABC∆的外接圆的半径为因为三棱锥D-ABC 所以点D 到平面ABC 的最大距离为3.设球的半径为R ,解得R =2，所以球O 的表面积为24πR 16π=，故选B.15．（茎叶图与概率相结合的创新题）如图,茎叶图表示的是甲,乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污染,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )【答案】C16．（直线与二项式相结合的创新题）若直线30ax y +-=与220x y-+=垂直，则二项式展开式中3x 的系数为________. 【答案】80-【解析】由题()21a -⨯=-，得， ，展开式通项为1r =时， 3x 的系数为145280C -⋅=-. 17．（正态分布与圆相结合的创新题）若随机变量服从正态分布()2,N μσ，()0.6826P μσξμσ-<<+=， (22)0.9544P μσξμσ-<<+=，设()21,N ξσ~，且()30.1587P ξ≥=，在平面直角坐标系xOy 中，若圆222x y σ+=上有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数的取值范围是__________．【答案】()1313-，【解析】611-=-， 13σ+=，因此2σ=，由题意，圆心(0，0)到直线的距离d 满足01d ≤<． 212d =，即()1313c ∈-，． 18．（几何概型的创新题）折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形为正方形，为线段的中点，四边形与四边形也是正方形，连接，则向多边形中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．【答案】【解析】设，则，，故多边形的面积；阴影部分为两个对称的三角形，其中，故阴影部分的面积，故所求概率.19．（抛物线与定积分相结合的创新题）抛物线22(0)y px p =>与过焦点且垂直于对称轴的直线所围成的封闭图形面积是,则p =__________． 【答案】20．的体积为__________．【解析】由题意可知,该三棱锥为正三棱锥ABCSDO ⋅,则)ABC 1,3ABD BCD ACD SSSS+++=21．（等差数列与定积分相结合的创新题）已知等差数列{}n a 中， 570sin a a xdx π+=⎰，则468a a a ++=_____.【答案】322．（函数的零点与三角函数相结合的创新题）已知非零常数α是函数tan y x x =+的一个零点，则()()211cos2αα++的值为__________． 【答案】 【解析】由题意tan αα=-，则()()()2222211cos 2tan 12cos 2sin 2cos 2αααααα++=+⋅=+=． 23．（函数的性质与数列相结合的创新题）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足， n S 为数列{}n a 的前项和，且2n n S a n =+，则()()56f a f a +=__________．【答案】3【解析】 ∵()()f x f x -=-，又∵∴()f x 是以3为周期的周期函数.∵数列{}n a 满足11a =-，且112,21,n n n n S a n S a n --=+=+-，两式相减整理得(){}11211n n n a a a --=-- 是以为公比的等比数列， ()11112,21n n n n a a a --=-⨯=-+，∴5631,63a a =-=-.∴()()()()()()()()56316320223f a f a f f f f f f +=-+-=+==--=,故答案为.24．（双曲线与圆相结合的创新题）点P 在双曲线右焦点分别为1F 、2F ，直线1PF 与以坐标原点O 为圆心、为半径的圆相切于点A ，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则该双曲线的渐近线的斜率为__________．25．（独立性检验与分布列相结合的创新题）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．（参考公式：，其中n a b c d =+++）【答案】（1）0.005a =；（2）有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（3）期望为3．试题解析：(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知()20.0200.0300.040101a +++⨯=，故0.005a =.(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下假设“晋级成功”与性别无关，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．，，，，，故X的分布列为26．（函数与导数的创新题）已知函数（1）求函数的极值；（2）当时，过原点分别做曲线与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：.【答案】（1）函数有极大值，无极小值.（2）(2) 设出切线方程，构造函数，分段讨论函数的性质可得. 试题解析：解：（1）①若时，所以函数在单调递增，故无极大值和极小值②若，由得，所以.函数单调递增，，函数单调递减故函数有极大值，无极小值.（2）设切线的方程为，切点为，则，，所以，，则．由题意知，切线的斜率为，的方程为．设与曲线的切点为，则，所以，．又因为，消去和后，整理得令，则，所以在上单调递减，在上单调递增．又为的一个零点，所以27．（解三角形的创新题）在中，分别是内角的对边，且. （1）求角的大小；（2）若，且，求的面积.【答案】（1）;(2).【解析】试题分析：（1）余弦定理，结合已知条件求的大小，得到角，（2）根据两角差的正弦公式以及化简等式，得到，结合（1）的结果再计算面积. 试题解析：（1）把整理得，，由余弦定理有，∴. (2)中，，即，故， 由已知可得，∴，整理得.28．（圆锥曲线的创新题）已知点(),P x y 满足条件（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）直线与圆O ： 221x y +=相切，与曲线C 相较于A ， B 两点，若4OA OB ⋅=-直线的斜率.【答案】（Ⅱ）当l x ⊥轴时，l ： 1x=±， 代入曲线C这时·1OA OB =-⨯ 所以直线斜率存在．设()11A x y ，， ()22B x y ，， 直线l 的方程为y kx m =+，由直线l 与圆O ： 221x y +=相切()22222{34841203412y kx m k x kmx m x y =+∴⇒+++-=+=，． ∵直线与曲线相交，()()()22228434412144960km k m k ∴∆=-+-=+>成立，1212·OA OB x x y y ∴=+()()2212121k x x km x x m =++++29．（立体几何的创新题）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥， AB CD ， PC ⊥底面ABCD ， 224AB AD CD ===， 2PC a =， E 是PB 的中点．（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E --的余弦值为，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2试题解析：（Ⅰ）PC ⊥ 平面,ABCD AC ⊂平面,ABCD AC PC ∴⊥因为4,2AB AD CD ===,所以222AC BC AB +=,所以AC BC ⊥,又BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC .因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC ．（Ⅱ）如图，以点C 为原点， ,,DA CD CP 分别为轴、y 轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,2,2,0C A B -.设()0,0,2(0)P a a >，则()1,1,E a -()()()2,2,0,0,0,2,1,1,CA CP a CE a ===-取()1,1,0m =-，则0,m CA m CP m ⋅=⋅=为面PAC 法向量．即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为30．（数列的创新题）已知数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件及等差数列的定义求解；（2）运用列项相消法求解： 试题解析：解：（1）∵，∵，∴，，∴，∴，∵，∴.。

年高考数学走出题海之黄金题系列.设全集U R =，集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，则集合()U C A B =（ ）．(],2-∞ ．(],1-∞ ．()2,+∞ ．[)2,+∞ 【答案】 【解析】试题分析：∵集合{}02x x A =<≤，{}1x x B =<，∴(,2]AB =-∞，∴()(2,)U C A B =+∞..命题“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是( ) . 12sin ,≤∈∀x R x . 12sin ,>∉∀x R x . 12sin ,0≤∈∃x R x . 12sin ,0>∉∃x R x【答案】【解析】先改写量词，再对结论进行否定，故“12sin ,>∈∀x R x ”的否定是“12sin ,0≤∈∃x R x ”.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x =+，则(1)f -=（）2-（） （）（）【答案】 【解析】试题分析：由已知2)1()1(-=-=-f f.函数()1f x x =-的定义域是（ ）．()0,2 ．[]0,2 ．()()0,11,2 ．[)(]0,11,2【答案】 【解析】试题分析：由22010x x x ⎧-≥⎨-≠⎩，解得021x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故01x ≤<，或12x <≤，∴函数()f x 的定义域为[)(]0,11,2..设0.14a =，3log 0.1b =，0.10.5c =，则（ ）．a b c >> ．a c b >> ．b a c >> ．b c a >> 【答案】 【解析】试题分析：设函数4xy =，3log y x =，0.5xy =， 由指数函数、对数函数的性质可知1a >，0b <，01c <<．.曲线323y x x =-+在点1x =处的切线方程为 ． 【答案】310x y --= 【解析】试题分析：∵2'36y x x =-+，∴1'|363x y ==-+=，切点（，），∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=．.下列图象中，可能是函数x xx xe e y e e ---=+图象的是【答案】【解析】0)0(=f ，所以排除选项；12111222+-=+-=x x x e e e y 在定义域上为增函数，所以选..在△中,已知3C π=,4b =,△的面积为则c （ ☆ ）. 【答案】 【解析】试题分析：232232s i n 21=⇒=⨯==a a C ab S ，由余弦定理得12cos 2222=-+=C ab b ac ，故32=c.已知函数()sin(2))f x x ϕϕπ=+<（的图象向左平移6π个单位后得到()cos(2)6g x x π=+的图象，则ϕ的值为（ ） .23π-.3π- .3π.23π 【答案】. 【解析】试题分析：由题意得()=sin[2()]6g x x πϕ++，又∵2()cos(2)=sin(2)63g x x x ππ=++， ∴2+=233k ππϕπ+，即=23k πϕπ+，k Z ∈，∵ϕπ<，∴=3πϕ，故选..已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = .【解析】试题分析：∵(1,3)a =-，(1,)b t =，∴2(3,32)a b t -=--，∵(2)a b a -⊥， ∴(2)0a b a -∙=，即(1)(3)3(32)0t -⨯-+-=，即2t =，∴(1,2)b =，∴2||12b =+=.如图，在平行四边形中，为的中点， 与交于点，AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ．【答案】34【解析】 试题分析：2121122()()()()()()3333333MA MB MD DA DB BD DA DB AD AB DA AB AD ⋅=+⋅=+⋅=-+⋅-22212242221()()333399996AD AB AB AD AD AB AB AD AB AD =--⋅-=--⋅=-⋅=-,AB AD ⋅=34.设等比数列{}n a 中，前项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++= （）578 （）558 （）18 （）18- 【答案】 【解析】试题分析：因{}n a 为等比数列，故69363,,S S S S S --也成等比数列，所以()⇒-=-)(693236S S S S S8169=-S S.已知，满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的倍，则a 的值是（ ）.34.14.211【答案】.若过点()2P --的直线与圆224x y +=有公共点，则该直线的倾斜角的取值范围是（ ） . 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】 【解析】试题分析：设直线l过点()2P --，直线l 的倾斜角为α，当2πα≠时，直线l 的斜率tan k α=，则直线l 的方程可写成：(2y k x +=+即：20kx y -+-=，由直线l 与圆224x y +=2≤，(80k k ⇔≤，解得00tan 0,k ααπ≤≤≤≤≤<，03πα∴≤≤，故选．.已知0a ≠,直线(2)40ax b y +++=与直线(2)30ax b y +--=互相垂直，则ab 的最大值为． ． ．【答案】 【解析】试题分析：由直线垂直可得()()2220a b b ++-=，变形可得224a b +=，由基本不等式可得2242a b ab =+≥，∴2ab ≤，当且仅当a b ==..圆＋＋－＋＝截直线＋＋＝所得弦的长度为，则实数 ▲ ． 【答案】； 【解析】试题分析：圆的标准方程为(＋)＋(－)＝－，＝－，则圆心(－，)到直线＋＋＝的距离为=由＋＝－，得＝－..已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△1PF Q 的周长为（ ）．3 ． ．3．【答案】 【解析】试题分析：因为2c ===，所以()2F 2,0，因为点P 的横坐标为2，所以Q x P ⊥轴，由22213y -=，解得y =Q P =，因为点P 、Q 在双曲线C上，所以12F F P -P =，12QFQF -=1122F QF F QF Q P +=P +=P ==，所以△1PF Q 的周长为11F QF Q P ++P ==，故选． .设斜率为22的直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 交于不同的两点,P Q ，若点,P Q在x 轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是【解析】试题分析：根据题意可知：22,,,b b P c Q c a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2PQ k =即：22b ac =再结合：222c a b =+，解得ca=. .已知n m ,是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是 .若,,//αγαβγβ⊥⊥则 .若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则 .若//,//,//m n m n αα则 .若//,,,//m n m n αβαβ⊥⊥则 【答案】. 【解析】试题分析：用反例来说明：对于选项，在正方体1111D C B A ABCD -中，设=α平面11A ADD ，=β平面11A ABB ，=γ平面ABCD ，而AB =⋂βγ，并不满足γ∥β，所以选项不正确；对于选项，在正方体1111D C B A ABCD -中，设=α平面11A ADD ，=β平面11A ABB ，1AA m =，1BB n =，此时也不满足α∥β，所以选项不正确；对于选项，1BB m =，1AA n =，=α平面11A ADD ，此时α⊂n ，所以选项不正确；对于选项，因为m ∥n ，α⊥m ，所以α⊥n ，又因为β⊥n ，所以α∥β，所以选项正确..如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为 . 37π. 35π . 33π. 31π【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是由一个倒立的圆锥和一个半球组合而成，其中半球和圆锥的底面半径都为，圆锥的母线长为，则几何体的表面积为πππππ33151822=+=+=Rl R S ..有名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是 () () ()()【答案】B 【解析】试题分析：名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻，只需乙、丙分别在甲的两边相邻位置，可采用“捆绑法”解决，但乙、丙可以换位置，12233=A . . 10)1)(1(x x -+ 展开式中3x 的系数为．【答案】. 【解析】试题分析：因为10)1(x -的展开式的通项为：r r r x C T )(101-=+，当第一项取1时，此时10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为10)1(x -的展开式的3x 的系数即3103310)1(C C -=-；当第二项取x 时，此时10)1)(1(x x -+展开式中3x 的系数为10)1(x -的展开式的2x 的系数即2102210)1(C C =-；所以所求式子中展开式中3x 的系数为.故应填..如果执行如图的程序框图，那么输出的值是 .. .12. 1-【答案】 【解析】试题分析：第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，第一次循环0,2==k s ，故应选..若复数z 与23i +互为共轭复数，则复数z 的模||z ＝( ).．．5 ．7 ． 13 【答案】 【解析】试题分析：复数bi a +与bi a -互为共轭复数，则复数i z 32-=，进而复数z 的模||z ＝.133-222=+）（.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ．【答案】4π⎫⎪⎭.已知()f x =⋅a b ，其中(2cos ,2)x x =a ，(cos ,1)x =b ，R x ∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在△中，角，，所对的边分别为，，，()1f A =-，a =，且向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，求边长和的值．【答案】（Ⅰ）(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）3,2b c ==【解析】试题分析：（Ⅰ）由向量数量积定义及三角变换公式可得2()2c 3s i n 21c o s 23s i n 212c o s (2)3f x x x x π==+-=++)32c o s (2π++x ，令2223k x k ππππ++≤≤可得63k x k ππππ-+≤≤，故()f x 的单调递减区间为(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭⇒3A π=，利用余弦定理可得()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=，又(3,s B =m 与(2,sin )C =n 共线⇒2s i n 3B C =⇒23b c =，从而解得3,2b c == 试题解析：（Ⅰ）由题意知2()2cos 21cos2212cos(2)3f x x x x x x π==+=++，∵cos y x =在区间[2,2]k k πππ+(∈)上单调递减， ∴令2223k x k ππππ++≤≤，得63k x k ππππ-+≤≤，∴()f x 的单调递减区间(),63Z k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（Ⅱ）∵()12cos 213f A A π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，∴cos 213A π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又72333A πππ<+<，∴23A ππ+=，即3A π=，∵a =()22222cos 37a b c bc A b c bc =+-=+-=． 因为向量(3,sin )B =m 与(2,sin )C =n 共线，所以2sin 3sin B C =， 由正弦定理得23b c =，∴3,2b c ==．.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取名同学（男女），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在～分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在～分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率.（）现从选择做几何题的名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX ． 下面临界值表仅供参考：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++. 【答案】（）有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（）18；（）X 的分布列为：，1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=.试题解析：（）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，……分∴根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；……分（）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为5768x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩(如图所示)，……分设事件A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为x y >，……分∴由几何概型11112()228P A ⨯⨯==⨯，即乙比甲先解答完的概率为18；……分（）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种，恰有一人被抽到有1126=12C C ⋅种；两人都被抽到有221C =种，……分∴X 可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==，123(1)287P X ===，1(2)28P X == X 的分布列为：，……分 ∴1512110+1+22828282EX =⨯⨯⨯=. .……分x.已知{}n a 是一个单调递增的等差数列，且满足2421a a =,1510a a +=，数列{}n c 的前n 项和为1n n S a =+()N n *∈，数列{}n b 满足2n n n b c =.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和.【答案】(Ⅰ) 21(*)N n a n n =-∈；(Ⅱ) 24(12)2412n n n T +⨯-==--试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,则依题知0d >. 由315210a a a =+=,又可得35a =.由2421a a =,得(5)(5)21d d -+=,可得2d =.所以1321a a d =-=.可得21(*)N n a n n =-∈ ……………………分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得12n n S a n =+=当2n ≥时,122(1)2n n n c S S n n -=-=--=当1n =时,112c S ==满足上式，所以2(*)N n c n =∈所以12222n n n n n b c +==⨯=，即12n n b +=,因为211222n n n n b b +++==，14b =所以数列{}n b 是首项为4,公比为2的等比数列.所以前n 项和24(12)2412n n n T +⨯-==-- ………………………分 .如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 与侧面11CBB C 都是菱形，011160ACC CC B ∠=∠=，2AC =.（Ⅰ）求证：11AB CC ⊥；（Ⅱ）若1AB =11C AB A --的余弦值.【答案】（）证明详见解析；（）. 【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：连，，则△和△皆为正三角形． 取中点，连，，则⊥，⊥，则⊥平面，则⊥． …分，所以⊥．如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，则(，－，)，)，()，…分设平面的法向量为＝(，，)， 因为1(3,0,AB =，(0,1,AC =-，所以11111100010x y z x y z +⨯=⨯-⨯=⎪⎩，取＝()．…分设平面的法向量为＝(，，)， 因为1(3,0,AB =，1(0,2,0)AA =，所以222111000200x y z x y z +⨯=⨯+⨯+⨯=⎪⎩，取＝(，，)．…分则cos ,||||5m n m n m n ∙<>===⨯，因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为．…分.已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x (Ⅰ)求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；(Ⅱ)求函数)(x f 单调递增区间；(Ⅲ)若存在]1,1[,21-∈x x ,使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数),求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1y =;（Ⅱ）(0,)∞+；（Ⅲ）1(0,][e,)ea ∈∞+. 【解析】试题解析：解：（Ⅰ）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+,所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+,(0)0f '=,又因为(0)1f =,所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y = ……分 (Ⅱ)由⑴,()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 令a a x x h xln )1(2)(-+=，则0ln 2)('2≥+=a a x h x所以当0,1a a >≠时, ()f x '在R 上是增函数…………………分 又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+ 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+…………………分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-,使得12()()e 1f x f x --≥成立, 而当[1,1]x ∈-时,12max min ()()()()f x f x f x f x --≤, 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可. …………………分 又因为x ,()f x ',()f x 的变化情况如下表所示:所以()f x 在[1,0]-上是减函数,在[0,1]上是增函数,所以当[1,1]x ∈-时,()f x 的最小值()()min 01f x f ==,()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值 因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a--=--=--+++,令1()2ln (0)g a a a a a =-->,因为22121()1(1)0g a a a a '=-=->+, 所以1()2ln g a a a a=--在()0,a ∈+∞上是增函数.而(1)0g =,故当1a >时,()0g a >,即(1)(1)f f >-; 当01a <<时,()0g a <,即(1)(1)f f <-.所以,当1a >时,(1)(0)e 1f f --≥,即ln e 1a a --≥,函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数,解得e a ≥………………分当01a <<时,(1)(0)e 1f f ---≥,即1ln e 1a a +-≥,函数1ln y a a=+在(0,1)a ∈上是减函数,解得10ea <≤.………………分综上可知,所求a 的取值范围为1(0,][e,)ea ∈∞+………………分.。

2017年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二 创新题1.（新定义的创新题）为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设原信息为123a a a ，传输信息为11232h a a a h ，其中112h a a =⊕， 213h h a =⊕， ⊕运算规则为： 000⊕=， 011⊕=， 101⊕=， 110⊕=.例如：原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ） A. 01100 B. 11010 C. 10110 D. 11000 【答案】D2.（二项式的创新题）已知，，若，则在的展开式中，含项的系数为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】令，则根据二项式定理，得：的通项公式为，令，得，故项的系数为，故选3．（复数的创新题）设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）A. 10B. -10C.D.【解析】由题意，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，由，所以，所以，故选B.4．（函数零点的创新题）已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：原问题可转化为与的图象交点问题，注意到二者都关于点对称，作图象交点情况一目了然.详解：设，因为和的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，因为,当，即时，，当，即时，，所以在上单调递增，在上单调递减，根据对称性可知在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，又因为关于点对称，且，同一坐标系中作出与的图象，由图象可知所有零点之和为.故选：C5．（立体几何的创新题）《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有一个刍甍，如图，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，若这个刍甍的体积为，则的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】分析：结合几何体的性质首先将几何体分成一个棱柱和一个棱柱，据此求得E到平面ABCD的距离为2，且点E，F在平画ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点，结合勾股定理可得的长为3.详解：取CD，AB的中点分别为M，N，连接FM，FN，MN，则多面体分割为棱柱与棱锥部分，设E到平面ABCD的距离为h，则×4×h×2+×4×2×h，解得h=2.依题意可知，点E，F在平画ABCD内的射影恰好是DN与CN的中点，又.本题选择C选项.6．（排列组合的创新题）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】A7．（直线与圆的创新题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻面系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知，点满足，则直线被点的轨迹截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:先设,再代入化简得到点M的轨迹，再联立轨迹与直线x=4得弦长.详解:设,则,整理得,与直线联立得,∴弦长为.故选A.8．（函数与导数的创新题）设函数的图象在点处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是( )A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：求出函数的导数，得到切线的斜率的函数的解析式，然后判断函数的图象即可．详解：由可得：即，函数是奇函数，排除选项B，D；当时，，排除选项C．故选：A ．9．（平面向量的创新题）记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得：化简得点轨迹，则转化为圆上点与的距离故选10．（函数与导数的创新题）已知函数()()210{ 21(0)xxx f x e x x x +≥=++<，若函数()()1y f f x a =--有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (]11123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，，B. (]1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，，C. [)1111233e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，， D. (]21123e ⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭，， 【答案】B【解析】分析：该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图像的走向，找出函数的极值，从而结合图像完成任务. 详解： ()()10ff x a --=，即()()1f f x a -=，结合函数解析式，可以求得方程()1f x =的根为2x =-或0x =，从而得到()2f x a -=-和()0f x a -=一共有三个根，即()(),2f x a f x a ==-共有三个根，当0x ≥时， ()1x xf x e=+， ()21'x x x x e xe x f x e e --==，从而可以确定函数()f x 在(),1-∞-上是减函数，在()1,1-上是增函数，在()1,+∞上是减函数，且()()110,11f f e-==+，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于20{ 111a a e -<<<+或20{ 11a a e -==+或20{ 01a a -=<≤或021{ 11a a e<-≤>+或121{ 11a e a e-=+>+，解得111a e <<+或23a <≤或13a e =+，所以所求a 的范围是(]111,12,33e e ⎛⎫⎧⎫+⋃⋃+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，故选B.11．（平面向量的创新题）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下,对任意的()(),,,,a m n b p q ==令a ⊙,b mq np =-下列说法错误的是A. 若a 与b 共线,则令a ⊙0b =B. a ⊙b = b ⊙aC. 对任意的R λ∈有()a λ⊙b = λ（ a ⊙)bD. (a ⊙2)b ()222a bab +⋅=【答案】B12. （分布列的创新题）随机变量的分布列如下：-1 0 1其中，，成等差数列，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，，成等差数列，，.则的最大值为 .本题选择A 选项.13．（不等式的创新题）设实数0,0x y >>且满足x y k +=，则使不等式21122k x y x y k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立的k 的最大值为______________________ 【答案】max 225k =+ 【解析】不妨设x y ≥，令,,,02km x m t y m t t m ==+=-≤<，则原不等式化为2422211141m m m t m t m t m t m t m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+≥+⇒≥ ⎪⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，由422241025m m m m--≤⇒≤+， 2225k m ∴=≤+． 14．（椭圆的创新题）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】分析：先利用椭圆和直线均关于原点对称得到点关于原点对称，再利用椭圆的定义求出，再利用点到直线的距离公式求的取值范围，进而求出离心率的取值范围．详解：设椭圆的左焦点为，连接、，因为点关于原点对称，所以，则，即，设，因为点到直线的距离不小于，所以，即，即，即， 即椭圆离心率的取值范围是．15．（指数、对数、不等式的创新题）若使得10101017n -⎛⎫< ⎪⎝⎭成立的最小整数44n =，则使得4171010m⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的最小整数m =__________． 【答案】18 【解析】分析：解指数不等式10101017n-⎛⎫< ⎪⎝⎭，可利用取对数的方法求解，再由题意估计出17lg 10的范围，同样用取对数的方法解不等式17410m⎛⎫> ⎪⎝⎭得417lg 10m >，由刚才的10lg 17的范围，得出417lg 10的范围，从而可得要求的最小整数m . 详解：由10101017n-⎛⎫< ⎪⎝⎭得10lg 1017n <-，∴1044lg 1017<-， 1043lg 1017>-，即101710lg 441043<<， 1724176171010lg 10<<，即4171817lg 10<<，由17410m⎛⎫> ⎪⎝⎭得17lg 410m >， 417lg 10m >，∴18m ≥，即最小整数m 为18， 故答案为18.16．（立体几何的创新题）已知二面角的大小为，点，点在 内的正投影为点，过点作，垂足为点，点，点，且四边形满足.若四面体的四个顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________．【答案】17．（抛物线的创新题）已知F 是抛物线C ： 212x y =的焦点， P 是C 上一点，直线FP 交直线3y =-于点Q .若2PQ FP =，则PQ =__________． 【答案】8【解析】如图，记直线3y =-与y 轴的交点为N ，过点P 作PM QN ⊥与M ，因为,2PM PF PQ FP ==，所以2PQ PM =，所以PQM 30∠=︒，又因为FN 6=,所以FQ 12=，故2PQ 83FQ ==. 故答案为：8.18．（三角函数的创新题）已知函数的图像向左平移个单位长度后关于原点对称，则的值等于__________．【答案】1【解析】分析：先利用图象变换得到变化后的解析式，再利用诱导公式和函数的奇偶性得出，再代值进行求解． 详解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，因为的图象关于原点对称， 所以，，即，，又，则，即，则．19．（分段函数的创新题）设函数()22,1,{21,1cos x x f x x x π≤=->，若()()()()|2f x f x l f x f x l ++-+-+ |2(0)l ≥>对任意实数x 都成立，则l 的最小值为__________. 【答案】23【解析】画出函数()f x 图像如下图，根据上面图像可知()f x 为偶函数，因为对任意x R ∈都有()()()()22f x f x l f x f x l ++-+-+≥ 恒成立，不妨令2l x =-，则转化为 222222l l l l f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+--≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为22l l f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以转化为112l f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭对0l >恒成立，即22l f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭或02l f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（舍）对0l >恒成立， 结合图像分析可知min 23l CD ==. 20．（解三角形的创新题）在中，点在边上，平分，是边上的中点，，，，则_______.【答案】【解析】分析：根据向量的数量积概念可得，由正弦定理可得，根据两次运用余弦定理可得，继而可得结论. 详解：如图所示，∵平分，∴，又∵，∴，即，∴由正弦定理可得，设，由余弦定理得，，又∵，∴，即，解得（舍负），可得，故答案为.21．（平面向量的创新题）在平行四边形ABCD 中， 2AB =， 1AD =， 60BAD ∠=︒， E 为CD 的中点，若F 是线段BC 上一动点，则AF FE ⋅的取值范围是________【答案】512⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，【解析】分析：设()01BF BC λλ=≤≤，用,AB AD 表示出题中所涉及的向量，得出AF FE ⋅关于λ的函数，根据λ的范围，结合二次函数的性质求得结果.详解：根据题意，设()01BF BC λλ=≤≤，则()()AF FE AB BF FC CE ⋅=+⋅+()()112AB AD AD AB λλ⎡⎤=+⋅--⎢⎥⎣⎦()()22111122AB AD AD AB AB AD λλλλ=-⋅+---⋅2212122λλλλλλ=-+---=--- 21324λ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质，可知当1λ=时取得最小值52-，当0λ=时取得最大值1-，故答案是5,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 22．（线性规划的创新题）已知实数满足不等式组则目标函数的最大值与最小值之和为__________．【答案】【解析】令t=2x,则x=,原可行域等价于,作出可行域如图所示,经计算得的几何意义是点P(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,当点P与点C重合时,d取最大值;d的最小值为点O到直线AB:t-y-1=0的距离,故,所以的最大值与最小值之和为,故填.23．（二项式的创新题）若的展开式中的系数为80，则_______.【答案】24．（数列、等差数列的创新题）已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第__________项最小．【答案】4【解析】分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得数列满足利用累加求和方法即可得出．可得，利用不等式的性质即可得出．详解：由题时，化为时，，解得∴数列a1=1，a2=2的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为2，．进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．数列满足时，时也成立．则数列中第4项最小．即答案为4.25．（二项式定理、新定义的创新题）设，为的展开式的各项系数之和，，，表示不超过实数的最大整数.则的最小值为___________.【答案】【解析】利用赋值法，令可得：，，利用数学归纳法证明：，当时，成立，假设当时不等式成立，即，当时：据此可知命题成立，则，，，故，的几何意义为点到点的距离，如图所示，最小值即到的距离，由点到直线距离公式可得的最小值为.26.（解三角形的创新题）已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.详解：（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，27．（立体几何的创新题）如图，在中，，是的中点，是线段上的一点，且，，将沿折起使得二面角是直二面角．（l）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（l）由勾股定理可得，结合是的中点可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，利用向量垂直数量积为零，列方程求出平面的一个法向量，由空间向量夹角余弦公式求出直线与平面所成角的正弦值，进而可得结果.详解：(1)因为，所以又，，所以又因为所以是的斜边上的中线，所以是的中线，所以是的中点，又因为是的中位线，所以又因为平面，平面，所以平面.（2）据题设分析知，两两互相垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为，且分别是的中点，所以，所以有点，所以，设平面的一个法向量为，则即，所以令，则设直线与平面所成角的大小为，则.又，所以，所以.故直线与平面所成角的正切值为.28．（圆锥曲线的创新题）已知抛物线的焦点为，的三个顶点都在抛物线上，且.（1）证明:两点的纵坐标之积为定值；（2）设，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】分析：（1）设，，由题，∴，由此可证明为定值；详解：（1）设，，∵，∴∴，∴.（2）方法一，，，故的取值范围是.方法二由得四边形为平行四边形，故，故的取值范围是.29．（圆锥曲线的创新题）已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值. 【答案】(1) 离心率;(2) ,.【解析】分析：(1)由得，化为，从而可得结果；(2) (i)由(1)可设圆的方程可写，设直线AB的方程为，联立，结合点B为线段AE的中点可得，，从而可得结果；(ii)由(i)可知当时，得，由已知得，求出外接圆方程与直线的方程，联立可得结果.详解：(1)由得，从而整理，得，故离心率(2) 解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②w由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得，将代入②中，解得.解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程消去，解得解出(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故30．（数列的创新题）已知数列，，，设，其中表示不大于的最大整数.设，数列的前项和为.求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由于，结合题意猜想：.由数学归纳法易正明该结论，据此可得.试题解析：（Ⅰ）猜想：.用数学归纳法证明如下：（i）当时，，结论成立；（ii）假设时结论成立，即，则，∴，则时，结论成立.（iii）由（i）（ii）可得，对任意，成立.∴.（Ⅱ）易求得，，，于是，，，，∴，，，，∵，所以.∴.∵，有，∴，∴.又，而，∴.综上，当时，.。