2018年高考数学黄金100题系列第05题含参数的简易逻辑问题理

2018年高考理科数学推理与证明100题（含答案解析）一、选择题（本题共30道小题，每小题0分，共0分）1.．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分别住在1、2、3、4、5号房间，现已知：（1）甲与乙不是邻居；（2）乙的房号比丁小；（3）丙住的房是双数；（4）甲的房号比戊大3．根据上述条件，丁住的房号是（）．A．2号B．3号C．4号D．5号2.用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根3.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”．该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为（）A．2017×22016B．2017×22014C．2016×22017D．2016×220184.定义为n个正数p1，p2，…p n的“均倒数”．若已知数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又，则=（ ）A ．B ．C ．D ．5.观察按下列顺序排序的等式：9×0+1=1，9×1+2=11，9×2+3=21，9×3+4=31，…，猜想第n （n ∈N *）个等式应为（ ）A ．9（n+1）+n=10n+9B ．9（n ﹣1）+n=10n ﹣9C ．9n+（n ﹣1）=10n ﹣1D ．9（n ﹣1）+（n ﹣1）=10n ﹣106.一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ）A ．81πB ．16πC ．D ．7.有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（ ） A ．（4，2，2，2） B ．（9，0，1，0）C ．（8，0，1，1）D ．（7，0，1，2） 8.用三段论推理：“任何实数的绝对值大于0，因为a 是实数，所以a 的绝对值大于0”，你认为这个推理（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的9.某计算器有两个数据输入口M 1，M 2一个数据输出口N ，当M 1，M 2分别输入正整数1时，输出口N 输出2，当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2时，N 的输出是n ；当M 1输入正整数m 1，M 2输入正整数m 2+1时，N 的输出是n+5；当M 1输入正整数m 1+1，MM 2输入正整数m 2时，N 的输出是n+4．则当M 1输入60，M 2输入50时，N 的输出是（ ） A ．494 B ．492 C ．485 D ．483 10.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d11.我们知道：在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，4，1）到直线x+2y+2z+3=0的距离为（）A．3 B．5 C．D．12.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC 三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）A． B．2 C．3 D．13.来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每天还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英14.70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩一个数学游戏.这个游戏十分简单：任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰？因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1.准确地说，是无法逃出--循环，永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按照这落入底部的421种运算，自然数27经过十步运算得到的数为 ( )A．142B．71 C．214 D．10715.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

2018年高考数学模拟试题好题100题含解析11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+ ,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++ ,由系数和1x yx y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=< ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =- 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+ ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况： （1）当2a ≥时，min AP =，则a （2）当2a <时，min AP ==1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x m x mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩，所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d =所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种．答案：140种61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者 C ．12r r + D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e +=2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x =+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by xa ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222c ⎛⎫⎛⎫+= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c=+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ． 解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2A C B C ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x xk k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++ 当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种．答案：55种121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ．答案：2141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++= ，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++= ，()()()()()212111f f f n n f n +++-=-- 两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =--- 所以()()111f n n f n n -=-+ 所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2．有 种． 答案：144种151． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b - 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b == ，则1a b λ+=设,a b θ= ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(n x 的展开式中第三项系数等于6，则n = ． 答案：12161． 函数()22f x x x=+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B 的元素构成的图形的面积是 ．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1E F F C +最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC + 最小．其最小值就是2EC ．连接212,A C B C ，计算可得2121AC B C AB ，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++= ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-3181． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1F Q 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P 为1F Q 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c c c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠= ，所以2e = 解法三：设(),,0Q a m b m m >，则()1,Q F c a mb m =---，()2,QF c am bm =--由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭所以22b b a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB == ，0OA OB =，()()20OC OA OC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01n a C +12n a C +33n a C + +1nn n a C += ．答案：23n n +201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠= ，PQ =点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y Cx y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=- 设()21:(42)21BC l x y m m m =--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=- 所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞ 2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的； 当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150241． 已知集合(){}2,|21A x y y xbx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧 MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧 MPN 上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ ABO 与 ODE）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。

第01题 集合的性质与运算I ．题源探究·黄金母题 【例1】已知集合{}{}|37,|210,A x x B x x =≤<=<< 求()R C AB ，()RC A B ，()R C A B ，()R A C B .【解析】甴已知利用数轴易得()[)210,37A B A B ==，，， (][)(),210,R C A B ∴=-∞+∞， ()[)(),37,R C A B ∴=-∞+∞，()[)(][),37,,,210,R R C A C B =-∞+∞=-∞+∞，()[)()2,37,10R C A B ∴=，(][)[)(),23,710,R A C B =-∞+∞.精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第14页A 组第10题【母题评析】本题以不等式为载体，考查集合的运算问题.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】借助数轴为工具，利用集合各类运算的方法直接求解，但需要注意区间方向以及区间端点值的验证，确保准确无误！II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津，理1】设集合{}1,2,6,A ={}{}2,4,15B C x x ==∈-≤≤R ，则()A B C = A ．{2} B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，，,选B. 【例3】【2017高考山东，理1】设函数y =义域A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ,则AB =A ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,1-D ．[)2,1- 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、并、补运算.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系.【难点中心】对集合运问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题.故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.III ．理论基础·解题原理考点一 集合的基本概念 1．元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；（2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和；（3）集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图. 2．常见数集及其表示符号自然数集用N 表示，正整数集用*N 或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示.考点二 集合间的基本关系（1）子集：对任意的x A ∈，都有x B ∈，则A B ⊆（或B A ⊇）；（2）真子集：若集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则A B （或B A ）； （3）性质：A A A A B B C A C ∅⊆⊆⊆⊆⇒⊆,,,； （4）集合相等：若A B ⊆，且B A ⊆，则A B =. 考点三 集合的并、交、补运算： {A B x x ={AB x x ={U A x x =∈补集．（4）集合的运算性质： ① ,A B A B A A B A A B =⇔⊆=⇔⊆； ② ,A A A A =∅=∅； ③ A A A A A =∅=,；④ (C )U U U U AC A A C A U C A A =∅==,,.IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系.【技能方法】解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，先化简集合，常借助数轴求交集.求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.【易错指导】（1）在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如A B ⊆（B ≠∅），则有A =∅和A ≠∅两种可能；（2）在子集个数问题上，要注意∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合是其本身的子集，在列举时千万不要忘记；（3）在用数轴法判断集合间的关系时，其端点值能否取到，一定要注意用回代检验的方法确定.如果两个集合的端点值相同，则这两个集合是否能取到端点值往往决定这两个集合之间的关系.V ．举一反三·触类旁通 考向1 集合关系的判断【例4】【2016河北石家庄质检二，理1】设集合{}1,1M =-，{}2|6N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ）A. N M ⊆B. N M =∅C.M N ⊆D. M N R =【答案】C【解析】{}23x x N =-<<，所以M ⊆N ，N M =M ，M N =N ，故选C.考向2 根据集合关系求参数的值或范围【例5】【2017高考课标II ，理2】设集合{}{}21,2,4,40A B x x x m ==-+=。

I ．题源探究·黄金母题例1 求函数)34(log )(5.0-=x x f 的定义域. 【解析】要使式子有意义，则0)34(log 5.0≥-x ， 即1log 0)34(log 5.05.0=≥-x ，根据对数函数的单调性，则1340≤-<x ， 解得143≤<x ， 所以函数)(x f 的定义域为]1,43(.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】函数y义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-， 【例3】【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第74页习题2.2 A 组第7题【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域.【命题意图】本类题通常主要考查函数定义域的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与特殊函数的图像与性质、值域、解不等式、集合运算有联系. 【难点中心】对求函数定义域问题，首项要确定使函数式子有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），其次利用有关不等式性质和相关函数的性质解不等式（组），注意：①函数解析式含有几个式子，这几个式子都必须有意义，其交集即为函数的定义域；②解不等式时要等价变形；③抽象函数的定义域是难点.本题是简单函数定义域的求法，是基础题.III ．理论基础·解题原理考点一 函数定义域的概念1．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； 考点二 常见函数的定义域1.一次函数b kx y +=的定义域为R ；2.二次函数c bx ax y ++=2的定义域为R ； 3.指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）定义域为R ；4.对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的定义域为),0(+∞；（1）当Z m ∈，n 为奇数且0>mn 时，定义域为R ； （2）当m 为奇数n 为偶数且0>mn 时，定义域为),0[+∞； （3)当*Z m ∈，n 为奇数且0<mn 时，定义域为),0()0,(+∞⋃-∞； （4）当m 是奇数，n 为偶数且0<mn 时，定义域为),0(+∞； 6.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =定义域都为R ；考点三 函数定义域的求法 1.已知函数解析式，求定义域紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念。

2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．806．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】分析：先解含绝对值不等式得集合A，再根据数轴求集合交集.详解：因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限. 详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下： 第一次：不成立； 第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解. 详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.5. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.6. 设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】分析：先对模平方，将等价转化为0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：，因为a，b均为单位向量，所以a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7. 在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），则根据几何意义得d的最大值为OA+1. 详解：P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.点睛：与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．8. 设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2，1）C. 当且仅当a<0时，（2，1）D. 当且仅当时，（2，1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则A. B. C. D.2.A. B. C. D.3. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是学￥科￥网...学￥科￥网...A. AB. BC. CD. D4. 若，则A. B. C. D.5. 的展开式中的系数为6. 直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A. B.C. D.7. 函数的图像大致为A. AB. BC. CD. D8. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.39.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D. 10. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B.C.D.11. 设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为12. 设，，则A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，．若，则________．14. 曲线在点处的切线的斜率为，则________．15. 函数在的零点个数为________．16. 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．18. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填入下面的列联表：超过不超过（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：，19. 如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．21. 已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．23. [选修4—5：不等式选讲]设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．。

第5题 含参数的简易逻辑问题I ．题源探究·黄金母题【例1】下列各题中，那些p 是q 的充要条件？（节选） （1）p ：0b =，q ：函数()2f x ax bx c =++是偶函数； 【解析】,p q ⇔∴p 是q 的充要条件．精彩解读【试题来源】人教A 版选修1-1第11页例3． 【母题评析】本题考查充要条件的判断，容易题．【思路方法】直接应用定义进行判断． II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【解析】当1a b ==时，有()21i 2i +=，即充分性成立．当()2i 2i a b +=时，有222i 2i a b ab -+=，得220,1,a b ab ⎧-=⎨=⎩解得1a b ==或1a b ==-，即必要性不成立，故选A ． 【例3】【2014 福建理数】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“ABC △的面积为12”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 【解析】当1k =时，:1l y x =+，由题意不妨令()1,0A -，()0,1B ，则111122AOB S =⨯⨯=△，所以充分性成立；当1k =-时，:1l y x =-+，也有12AOB S =△，所以必要性不成立．【命题意图】本类题通常主要考查充分条件与必要条件的判定．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．【难点中心】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件；若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件；若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件．【例4】【2014四川理数】以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -．例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈．现有如下命题：①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉；④若函数()()2ln 21xf x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈．其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号） 【解析】依题意可直接判定①正确；令()(]()2,1x f x x =∈-∞，显然存在正数2，使得()f x 的值域(][]0,22,2⊆-，但()f x 无最小值，②错误；假设()()f x g x B +∈，则存在正数M ，使得当x 在其公共定义域内取值时，有()()f x g x M +…，则()()f x M g x -…，又因为()g x B ∈，则存在正数1M ，使()[]11,g x M M ∈-，所以()1g x M -…，即()1M g x M M -+…，所以()1f x M M +…，与()f x A ∈矛盾，③正确；当0a =时，()211,122x f x x ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦，即()f x B ∈，当0a ≠时，因为()ln 2y a x =+的值域为(),-∞+∞，而211,122x x ⎡⎤∈-⎢⎥+⎣⎦，此时()f x 无最大值，故0a =，④正确．III ．理论基础·解题原理考点一 与充分条件、必要条件有关的参数问题充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若p 则q ”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系，尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理． 考点二 与逻辑联接词有关的参数问题逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题． 考点三 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的．考点四 与全称量词、特称量词有关的参数问题全称量词“∀”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“∃”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与命题（特别是含有逻辑联结词的复合命题）真假的判断、充分条件与必要条件的判断以及全称命题、特称命题等联系紧密．【技能方法】解决与简易逻辑问题有关的参数问题，需要正确理解充分条件和必要条件的定义，弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论【易错指导】（1）参数的边界值即是否取等号，容易出错；（2）判断充分条件和必要条件时，容易将方向弄错． V ．举一反三·触类旁通考向1 与充分条件、必要条件有关的参数问题【例1】【2018安徽滁州高三9月联合质检】“1a >-”是“函数()223f x x ax =+-在区间()1,+∞上单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【例2】【2017湖南邵阳第二次联考】“1m >”是“函数()3x m f x +=-在区间[)1,+∞无零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若函数()3x m f x +=-在区间[)1,+∞无零点，则1313122m m m +>⇒+>⇒> 故选A ．【例3】【2017黑龙江哈尔滨第三中学高三二模】对于常数,m n ，“关于x 的方程20x mx n -+=有两个正根” 是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】D【解析】依题意，两个正根即2121240{00m n x x m x x n ∆=-≥+=>=>，令5m n ==，此时方程有两个正根，但是方程22551x y +=不是椭圆．反之，令1,12m n ==，方程2212x y +=是椭圆，但是21102x x -+=没有实数根．综上所述，应选既不充分也不必要条件． 【例4】【2017江苏无锡模拟】若a R ∈，则复数3iia z -= 在复平面内对应的点在第三象限是0a ≥的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】∵33aiz a i i-==--，∴由题设可得00a a -⇒，因此不充分；反之，当00a a >⇒-<，则复数3z a i =--对应的点在第三象限，是必要条件，故应选答案B ．【例5】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ．【答案】[－2，5] 【解析】【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 【跟踪练习】1．【2017湖北七市（州）3月联考】已知圆．设条件，条件圆上至多有个点到直线的距离为，则是的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】∵圆心到定直线的距离为，若半径，如上图，则恰有三个点到定直线的距离都是1．由于，故圆上最多有两个点到直线的距离为1；反之也成立，应选答案C ．2．【2017高三百校联盟】已知，，若的一个充分不必要条件是 ，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A3．已知:44;:(2)(3)0p a x a q x x -<<+-->，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[-1，6]【解析】∵⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件．又∵:23q x <<，∴42,43a a -≤+≤，解得：16a -≤≤ ．考向2 与逻辑联接词有关的参数问题【例6】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点联考】已知命题000:,0,x p x R e mx ∃∈-=2:,10,q x R mx mx ∀∈++>若()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是A ．()(),04,-∞⋃+∞B ．[]0,4C ．[)0,e D ．()0,e 【答案】C【解析】由()p q ∨⌝为假命题可得p 假q 真，若p 为假，则xe mx =无解，可得0m e ≤<；若q 为真则04m ≤<，∴答案为C ．【例7】【2017四川资阳4月模拟】设命题p ：函数()()2lg 21f x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时， 1x a x +>恒成立，如果命题“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】()12，；【解析】解：由题意可知，命题,p q 均为真命题，p 为真命题时： ()2{240a a >∆=--< ，解得： 1a > ， q 为真命题时： ()1f x x x=+在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]1,2 上单调递增， min 11121x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故：2a <，综上可得，实数a 的取值范围是：()1,2． 【例8】【2017贵州校级联考】已知函数()()21ln 11f x x x =+-+，命题p ：实数x 满足不等式()()121f x f x +>-；命题q ：实数x 满足不等式()210x m x m -++≤，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】()02，【例9】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳第二十中学联考】已知命题指数函数在上单调递减，命题关于的方程的两个实根均大于3．若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围． 【答案】．【解析】试题分析：根据指数函数的单调性求出命题p 为真命题时a 的范围，利用二次方程的实根分布求出命题q 为真命题时a 的范围；据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系将“p 或q 为真，p 且q 为假”转化为p ， q 的真假，列出不等式组解得． 试题解析：若p 真，则在R 上单调递减，∴0＜2a-6＜1，∴3＜a ＜．若q 真，令f （x ）=x2-3ax+2a2+1，则应满足，又由已知“或”为真，“且”为假；应有p 真q 假，或者p 假q 真．①若p 真q 假，则， a 无解．②若p 假q 真，则．综上①②知实数的取值范围为．考点：１．复合命题的真假与简单命题真假的关系；２．二次方程实根分布．【例10】【2018安徽滁州9月联考】已知()2:0,,2ln p x x e x m ∃∈+∞-≤； :q 函数221y x mx =-+有两个零点．(1)若p q ∨为假命题，求实数m 的取值范围；(2)若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）[)1,0-；（2）()[],10,1-∞-⋃．()22222e x e f x x x x='-=-，令()0f x '=，解得x =()22ln f x x e x =-在(上单调递减，在)+∞上单调递增，故()min 0f x f==，故0m ≥．若q 为真，则2440m =->， 1m >或 1m <-．(1)若p q ∨为假命题，则,p q 均为假命题，实数m 的取值范围为[)1,0-． (2)若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，则,p q 一真一假． 若p 真q 假，则实数m 满足0{11m m ≥-≤≤，即01m ≤≤；若p 假q 真，则实数m 满足0{11m m m <><-或，即1m <-．综上所述，实数m 的取值范围为()[],10,1-∞-⋃． 【例11】设命题p ：函数2()lg()16af x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：39x x a -<对一切的实数x 恒成立，如果命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．【分析】首先分别将命题,p q 翻译成实数a 的取值范围，若命题“p 且q ”为假命题，则,p q 至少有一个假，分类讨论．【解析】20:2104a p a a >⎧⎪⇒>⎨=-<⎪⎩，21111:()39(3)2444x x x q g x a =-=--+≥⇒>． “p 且q ”为假命题，∴p ，q 至少有一假:（1）若p 真q 假，则2a >且1,4a a ≤∈∅； （2）若p 假q 真，则2a ≤且11,244a a ><≤；（3）若p 假q 假，则2a ≤且11,44a a ≤≤，2a ∴≤．【点评】复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，故先分别将简单命题翻译，根据其真假关系，转化为集合间的运算． 【跟踪练习】已知命题:p 函数()222f x x ax a =++的值域为[)0,+∞，命题:q 方程()()120ax ax -+=在[]1,1-上有解，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．考向3 与全称命题、特称命题真假有关的参数问题【例12】【2017吉林三模】函数()f x 的定义域为D ，对给定的正数k ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：①()f x 在[],a b 内是单调函数；②()f x 在[],a b 上的值域为[],ka kb ，则称区间[],a b 为()y f x =的k 级“理想区间”．下列结论错误的是 A ．函数()2f x x =（x R ∈）存在1级“理想区间”B ．函数()()xf x e x R =∈不存在2级“理想区间”C ．函数()()2401xf x x x =≥+存在3级“理想区间” D ．函数()tan ,,22f x x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭不存在4级“理想区间” 【答案】D【解析】易知[]0,1是()2f x x =的一级“理想区间”．A 正确；设()2xg x e x =-， ()'2x g x e =-，当ln2x <时， ()'0g x <，当ln2x >时， ()'0g x >，因此()()min ln222ln20g x g ==->，即()0g x =无零点，因此()x f x e =不存在2级“理想区间”，B 正确；由()24301x h x x x =-=+，得0x =或x =则⎡⎢⎣⎦是()241x f x x =+的一个3组“理想区间”，C 正确；借助正切函数图象知tan y x =与4y x =在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内有三个交点，因此()tan ,22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有4级“理想区间”，D 错误，故选D ． 【例13】【江苏省如东高级中学2017届高三上学期第二次学情调研】若命题“x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[]13-，【点评】已知命题为假命题，则其否定是真命题，故将该题转化为恒成立问题处理．【跟踪练习】已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，使4x ＋2x·m ＋1＝0”．若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是______________．【答案】(－∞，－2]考向4 与全称量词、特称量词有关的参数问题【例14】【2017北京西城区二模】函数．若存在，使得，则k 的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】将函数的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象， 函数是R 上的单调递增函数，则 也是R 上的单调递增函数，则满足题意时：只需当 时 成立，分类讨论：当时： ，解得： ，此时： ， 当 时： ，解得：，此时： ，综合以上两种情况可得k 的取值范围是． 点睛：无论参数出现在什么类型 的题目中，只要根据解题要求，即参数的存在对解题造成了怎样的阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，使问题得到解决．但需要注意一点，不能形成定势思维：有参数就一定要分类讨论．【例15】【2018江苏横林高级中学模拟】若命题“t R ∃∈， 20t a -<”是真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】()0,+∞【解析】2a t >，由于20t ≥，命题“t R ∃∈，20t a -<”是真命题，则0a >，实数a 的取值范围是()0,+∞．【例16】【2017湖北省黄冈模拟】若命题“2000,20x R x x m ∃∈-+≤”是假命题，则m 的取值范围是__________．【答案】()1,+∞【解析】∵命题“2000,20x R x x m ∃∈-+≤”是假命题，∴2R,20x x x m ∀∈-+<为真命题 ，即440,1m m ∆=-<> ，故答案为()1,+∞．【例17】【2017江苏盐城三模】若命题“t R ∃∈，220t t a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】(],1-∞-【解析】2,20t R t t a ∀∈--≥ 为真命题，∴440 1.a a ∆=+≤⇒≤-【例18】已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为_______________．【分析】若命题“p 且q ”是真命题，则命题,p q 都是真命题，首先将命题,p q 对应的参数范围求出来，求交集即可．【点评】命题p 是恒成立问题，命题q 是有解问题．【例19】【泰州中学2017届高三上学期期中考试】已知命题2:,20p x R x x a ∃∈++≤是真命题，则实数a 的取值范围是_________．【答案】1a ≤【解析】由题设方程022=++a x x 有解，故044≥-a ，即1≤a ，故应填答案1a ≤．【跟踪练习】已知函数2()2f x x x =-，()2g x ax =+(a>0)，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得f(x 1)= g(x 2)，则实数a 的取值范围是___________________． 【答案】]3,35(。