专题13函数的图象-2021版跳出题海之高中数学必做黄金100题(解析版)

第9 题函数的单调性【2016 高考江苏卷】（本小题满分 14 分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成， 上部分的形状是正四棱锥P- A 1B 1C 1D 1 ，下部分的形状是正四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 (如图所示)，并要求正四棱柱的高 PQ 1 的四倍．（1）若 AB = 6m , PO 1 = 2m 则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为 6m ，则当 PO 1 为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2） PO 1 = 2 3【解析】（1）由 PO 1=2 知OO 1=4PO 1=8． 因为 A 1B 1=AB=6，所以正四棱锥 P-A 1B 1C 1D 1 的体积V = 1⋅ A B 2⋅ PO = 1⨯ 62 ⨯ 2 = 24(m 2 )柱31 1 13正四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的体积V = AB 2 ⋅OO = 62 ⨯8 = 288(m 3)柱1所以仓库的容积 V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）．(2)设 A 1B 1=a(m)，PO 1=h(m)，则 0<h<6，OO 1=4h ．连结 O 1B 1．因为在直角 ∆PO B 中， OB 2+ PO 2= PB 21 1111所以(2a )2 + h 2= 36 ，即 a 2 = 2(36 - h 2 ) 2于是仓库的容积，从而．令，得 或 （舍）．当时，，V 是单调增函数；当时，，V 是单调减函数．故 时，V 取得极大值，也是最大值． 因此，当 PO 1 = 2 3 时，仓库的容积最大．五．限时训练*提升素养1.【2020 年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数 f (x )在 (-∞, 0) 单调递减，且 f (2)=0，则满足 xf (x -1) ≥ 0的 x 的取值范围是A ． [-1,1] [3, +∞)B ．[-3, -1] [0,1]C ． [-1, 0] [1, +∞)D ． [-1, 0] [1, 3]【答案】D万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到 1 万元）？．【答案】（1） f (x ) = 1 x , (x ≥ 0) ，g (x ) = 5 x ， (x ≥ 0)44（2）当 A 产品投入 3．75 万元，B 产品投入 6．25 万元时，企业获得最大利润约为 4 万元【解析】（1）投资为 x 万元，A 产品的利润为 f (x ) 万元，B 产品的利润为 g (x ) 万元，由题设 f (x ) =k 1 ⋅ x ， g (x ) = k 2 ⋅ x ． 由图知 f (1) = 1∴ k = 1 ，又 g (4) = 5 ∴ k = 5 ，从而 f (x ) = 1 x , (x ≥ 0) ，g (x ) = 5x ，(x ≥ 0) 4 1 4 2 24 4 4（2）设 A 产品投入 x 万元，则 B 产品投入 10- x 万元，设企业的利润为 y 万元Y= f (x ) +g (10 - x ) = x + 5 10 - x ，（ 0 ≤ x ≤ 10 ），4 410 - t 2 5 1 5 2 255 令 10 - x = t ,则y = + t = - (t - ) + , (0 ≤ t ≤ 10 ), 当 t = ， y ≈ 4 ， 此时4 4 4 2 16 2 maxx = 10 - 25=3．75，∴ 当 A 产品投入 3．75 万元，B 产品投入 6．25 万元时，企业获得最大利润约为 4 万4元．。

第13题 函数的图象【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A B【2020年高考浙江】函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是考向2 图像与函数零点、方程的根以及函数图象的交点相结合【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．A ．()2ln x f x x =B ．()2ln x f x x= C ．()211f x x =- D ．()11f x x x=-【2017江西南昌二中高二下第一次阶段性测试】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=x(0<x<√3)，记点P的轨迹的长度为f(x)，则函数f(x)的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．1.（2020·湖北省高三）函数(22)sin x x y x -=-在[,]-ππ的图象大致为A ．B ．C ．D ．2.（2020湖南省邵阳市高二期末）已知函数()[)[]21,1,0cos ,0,12x x f x x x π⎧+∈-⎪=⎨∈⎪⎩，现给出下列四个函数及其对应的图象①(1)f x -图像 ； ②(1)f x -- ； ③()f x ； ④(||)f x .其中对应的图象正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③④D ．①③3.（2020江西省信丰月考）已知f （x ）214x =+cos x ，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．4.（2020宁夏吴忠市）记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-，设函数，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,36.（重庆市2021届高三考试）习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为2km的正三角形空地（记为ABC）规划为公园，并用一条垂直于BC边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主.如图，//BC x轴，小路记为直线()02x m m=<<，小路右侧为健身休闲区，其面积记为()f m，则函数()S f m=的图像大致为（）A．B．C．D．8.（福建省厦门2021届高三）如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x =D ．()22x y x x e -= 10.【2017浙江杭州高级中学高三2月模拟】如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A．B．C．D．。

专题3.7 函数的图象1．（2021·全国高三专题练习（文））已知图①中的图象是函数()y f x =的图象，则图②中的图象对应的函数可能是（ ）A ．(||)y f x =B ．|()|y f x =C ．(||)y f x =-D ．(||)y f x =--【答案】C【解析】根据函数图象的翻折变换，结合题中条件，即可直接得出结果.【详解】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数()y f x =的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的，∴图②中的图象对应的函数可能是(||)y f x =-.故选：C.2．（2021·浙江高三专题练习）函数()lg 1y x =-的图象是（ ）A ．B．练基础C ．D ．【答案】C【解析】将函数lg y x =的图象进行变换可得出函数()lg 1y x =-的图象，由此可得出合适的选项.【详解】将函数lg y x =的图象先向右平移1个单位长度，可得到函数()lg 1y x =-的图象，再将所得函数图象位于x 轴下方的图象关于x 轴翻折，位于x 轴上方图象不变，可得到函数()lg 1y x =-的图象.故合乎条件的图象为选项C 中的图象.故选：C.3．（2021·全国高三专题练习（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来研究函数图象的特征．若函数()y fx =在区间[],a b 上的图象如图，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断出函数是偶函数，根据偶函数的图像特征可得选项．【详解】函数()y f x =是偶函数，所以它的图象是由()y f x =把0x ≥的图象保留，再关于y 轴对称得到的．结合选项可知选项D 正确，故选：D ．4．（2021·全国高三专题练习（文））函数()5x f x x x e =-⋅的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()20f >和()20f -<可排除ACD ，从而得到选项.【详解】由()()2223222160f e e =-=->，可排除AD ；由()()2223222160f e e ---=-+=-<，可排除C ；故选：B.5．（2021·陕西高三三模（理））函数x y b a =⋅与()log a y bx =的图像在同一坐标系中可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，以及特殊点函数值的范围逐一判断可得选项．【详解】令()x f x b a =×，()()log a g x bx =，对于A 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，所以log >0a b ，而()1log 0a g b =<，所以矛盾，故A 不正确；对于B 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，而()1log >0a g b =，所以矛盾，故B 不正确；对于C 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()001f b a b ⋅=<=，所以log 0a b <，又()1log 0a g b =<，故C 正确；对于D 选项：由()x f x b a =×得>1a ，且()00>1f b a b ==⋅，而()()log a g x bx =中01a <<，所以矛盾，故D 不正确；故选：C ．6．（2021·宁夏吴忠市·高三其他模拟（文））已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】先求出函数的定义域.A ：根据函数图象关于直线对称的性质进行判断即可；B ：根据函数图象关于点对称的性质进行判断即可；C ：根据对数的运算性质，结合对数型函数的单调性进行判断即可；D ：结合C 的分析进行判断即可.【详解】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A7．（2021·安徽高三二模（理））函数()n x f x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n n x x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.8．（2021·浙江高三专题练习）已知函数f (x )＝1331,,log 1x x x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩则函数y ＝f (1－x )的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由()f x 得到()1f x -的解析式，根据函数的特殊点和正负判断即可.【详解】因为函数()f x 133,1log ,1x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以函数()1f x -()1133,0log 1,0x x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，当x ＝0时，y ＝f (1)＝3，即y ＝f (1－x )的图象过点(0，3)，排除A ；当x ＝－2时，y ＝f (3)＝－1，即y ＝f (1－x )的图象过点(－2，－1)，排除B ；当0x <时，()1311,(1)log 10x f x x ->-=-<，排除C ，故选：D ．9.【多选题】（2021·浙江高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =．关于下列法正确的是（ ）A ．浮萍每月的增长率为2B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积不超过280mD ．若浮萍蔓延到22m 、24m 、28m 所经过的时间分别是1t 、2t 、3t ，则2132t t t =+【答案】AD【解析】根据图象过点求出函数解析式，根据四个选项利用解析式进行计算可得答案.【详解】由图象可知，函数图象过点(1,3)，所以3a =，所以函数解析式为3t y =，所以浮萍每月的增长率为13323233t t tt t +-⨯==，故选项A 正确；浮萍第一个月增加的面积为10332-=平方米，第二个月增加的面积为21336-=平方米，故选项B 不正确；第四个月时，浮萍面积为438180=>平方米，故C 不正确；由题意得132t =，234t =，338t =，所以13log 2t =，23log 4t =，33log 8t =，所以2133333332log 2log 8log (28)log 16log 42log 42t t t +=+=⨯====，故D 正确.故选：AD10．（2020·全国高一单元测试）函数()2x f x =和()3g x x =的图象如图所示，设两函数的图象交于点11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x <．（1）请指出图中曲线1C ，2C 分别对应的函数；（2）结合函数图象，比较(3)f ，(3)g ，(2020)f ，(2020)g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）(2020)(2020)(3)(3)f g g f >>>．【解析】（1）根据指数函数和一次函数的函数性质解题；（2）结合函数的单调性及增长快慢进行比较.【详解】（1）1C 对应的函数为()3g x x =，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）(0)1f = ，(0)0g =，(0)(0)f g ∴>，又(1)2f = ，(1)3g =，(1)(1)f g ∴<，()10,1x ∴∈；(3)8f = ，(3)9g =，(3)(3)f g ∴<，又(4)16f = ，(4)12g =，(4)(4)f g ∴>，()23,4x ∴∈．当2x x >时，()()f x g x >，(2020)(2020)f g ∴>．(2020)(2020)(3)(3)f g g f ∴>>>．1．（2021·湖南株洲市·高三二模）若函数()2()mx f x e n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0,01m n ><<B ．0,1m n >>C ．0,01m n <<<D ．0,1m n <>【答案】B 练提升【解析】令()0f x =得到1ln x n m=，再根据函数图象与x 轴的交点和函数的单调性判断.【详解】令()0f x =得mx e n =，即ln mx n =，解得1ln x n m=，由图象知1l 0n x mn =>，当0m >时，1n >，当0m <时，01n <<，故排除AD ，当0m <时，易知mx y e =是减函数，当x →+∞时，0y →，()2f x n →，故排除C故选：B2．（2021·甘肃高三二模（理））关于函数()ln |1|ln |1|f x x x =++-有下列结论，正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称C ．函数()f x 的最小值为0D ．函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞【答案】D 【解析】A.由函数的奇偶性判断；B.利用特殊值判断；C.利用对数函数的值域求解判断；D.利用复合函数的单调性判断.【详解】2()ln |1|ln |1|ln |1|f x x x x =++-=-，由1010x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩，解得1x ≠±，所以函数的定义域为{}|1x x ≠±，因为()ln |1|ln |1|ln |1|ln |1|()f x x x x x f x -=-++--=++-=,所以函数为偶函数，故A 错误. 因为(0)ln |1|0,(3)ln 8f f =-==，所以(0)(3)f f ≠，故B 错误；因为 ()2|1|0,x -∈+∞，所以()f x ∈R ，故C 错误；令2|1|t x =-，如图所示：，t 在(),1,[0,1)-∞-上递减，在()(1,0],1,-+∞上递增，又ln y t =在()0,∞+递增，所以函数()f x 的增区间为(1,0)-，(1,)+∞，故D 正确；故选：D3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））函数ln xy x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】求出函数ln xy x=的定义域，利用导数分析函数的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数ln xy x =，则有0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以，函数ln xy x=的定义域为()()0,11,+∞ ，排除AB 选项；对函数ln x y x=求导得()2ln 1ln x y x -'=.当01x <<或1x e <<时，0y '<；当x e >时，0y '>.所以，函数ln xy x=的单调递减区间为()0,1、()1,e ，单调递增区间为(),e +∞，当01x <<时，0ln xy x =<，当1x >时，0ln x y x=>，排除D 选项.故选：C.4．（2021·海原县第一中学高三二模（文））函数2xx xy e+=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】利用导数可求得2xx xy e+=的单调性，由此排除AB ；根据0x >时，0y >可排除C ，由此得到结果.【详解】由题意得：()()222211x xxxx e x x e x x y e e +-+-++'==，令0y '=，解得：1x =，2x =∴当x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭时，0y '<；当x ∈时，0y '>；2x x x y e +∴=在⎛-∞ ⎝，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减，在上单调递增，可排除AB ；当0x >时，0y >恒成立，可排除C.故选：D.5．（2021·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为2x xe e y -+=的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析函数2x xe e y -+=的奇偶性与最小值，由此可得出合适的选项.【详解】令()e e 2x x f x -+=，则该函数的定义域为R ，()()2x xe ef x f x -+-==，所以，函数()e e 2x xf x -+=为偶函数，排除B 选项.由基本不等式可得()112f x ≥⨯=，当且仅当0x =时，等号成立，所以，函数()f x 的最小值为()()min 01f x f ==，排除AD 选项.故选：C.6．（2021·浙江高三月考）函数()3log 01a y x ax a =-<<的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解析】先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，构造函数，求函数的导数，利用是的导数和极值符号进行判断即可.【详解】根据题意，()3log a f x x ax =-，必有30x ax -≠，则0x ≠且x ≠，即函数的定义域为{|0x x ≠且x ≠，()()()()33log log a a x a x x f f x ax x ---=--==，则函数3log a y x ax =-为偶函数，排除D ，设()3g x x ax =-，其导数()23g x x a '=-，由()0g x '=得x =，当x >时，()0g x '>，()g x 为增函数，而()f x 为减函数，排除C ，在区间⎛ ⎝上，()0g x '<，则()g x在区间⎛ ⎝上为减函数，在区间⎫+∞⎪⎪⎭上，()0g x '>，则()g x在区间⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数，0g=，则()g x存在极小值3g a =-=，此时()g x存在极大值()0,1，此时()0f x >，排除A ，故选：B.7.（2019·北京高三高考模拟（文））当x∈[0，1]时，下列关于函数y=的图象与图象交点个数说法正确的是（ ）A ．当时，有两个交点B ．当时，没有交点C ．当时，有且只有一个交点D ．当时，有两个交点【答案】B2(1)mx -y =[]m 0,1∈(]m 1,2∈(]m 2,3∈()m 3,∞∈+设f （x ）=，g （x ），其中x∈[0，1]A ．若m=0，则与在[0，1]上只有一个交点，故A 错误．B ．当m∈（1，2）时，即当m∈（1，2]时，函数y=的图象与x∈[0，1]无交点，故B 正确，C ．当m∈（2，3]时，，时，此时无交点，即C 不一定正确．D ．当m∈（3，+∞）时，g （0）＞1，此时f （1）＞g （1），此时两个函数图象只有一个交点，故D 错误，故选：B ．8.（2021·浙江高三专题练习）若关于x 的不等式34log 2xax -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】转化为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果.2(1)mx -()1f x =()g x =(1,1)111()(0)1,()(0)1()()2f x f g x g f x g x m<<∴≤=≥=>∴<2(1)mx -y =2111()(1)(1),()(1)32f x f mg x g m <<∴≤=-≤=2(1)m >-()()f x g x <由题意知关于x 的不等式34log 2xa x -≤在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，函数342xy =-的图象不在log a y x =的图象的上方，由图可知0111log 22a a <<⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114a ≤<.故选：A9.对、，记，函数．（1）求，．（2）写出函数的解析式，并作出图像．（3）若关于的方程有且仅有个不等的解，求实数的取值范围．（只需写出结论）【答案】见解析．【解析】解：（1）∵，函数，∴，．a b ∈R {},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥{}2()max ||,24()f x x x x x =--+∈R (0)f (4)f -()fx x ()f x m =3m {},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩≥{}2()max ||,24f x x x x =--+{}(0)max 0,44f =={}(4)max 4,44f -=-=（2）（3）或10．（2021·全国高一课时练习）函数()2xf x =和()()30g x x x =≥的图象，如图所示．设两函数的图象交于点()11A x y ，，()22B x y ，，且12x x <．（1）请指出示意图中曲线1C ，2C 分别对应哪一个函数；（2）结合函数图象，比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小．【答案】（1）1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =；（2）()()()()2015201588f g g f >>>．【解析】（1）根据图象可得结果；（2）通过计算可知1282015x x <<<，再结合题中的图象和()g x 在()0+∞，上的单调性，可比较()8f ，()8g ，()2015f ，()2015g 的大小.【详解】5m =m =（1）由图可知，1C 的图象过原点，所以1C 对应的函数为()()30g x xx =≥，2C 对应的函数为()2x f x =．（2）因为11g =（），12f =（），28g =（），24f =（），()9729g =，()9512f =，()101000g =，()101024f =，所以11f g >（）（），22f g <（）（），()()99f g <，()()1010f g >．所以112x <<，2910x <<．所以1282015x x <<<．从题中图象上知，当12x x x <<时，()()f x g x <；当2x x >时，()()f x g x >，且()g x 在()0+∞，上是增函数，所以()()()()2015201588f g g f >>>．1. （2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2019年高考全国Ⅲ卷理）函数在的图像大致为（）3222x xx y -=+[]6,6-练真题A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又排除选项D ；，排除选项A ，故选B ．3.（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根32()22x x x y f x -==+332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++()f x 34424(4)0,22f -⨯=>+36626(6)722f -⨯=≈+即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.4.（2019年高考全国Ⅱ卷理）设函数的定义域为R ，满足，且当时，()f x (1) 2 ()f x f x +=(0,1]x ∈．若对任意，都有，则m 的取值范围是A ．B ． C ． D ．【答案】B【解析】∵，．∵时，；∴时，，；∴时，，，如图：当时，由解得，，若对任意，都有，则.则m 的取值范围是.故选B.5.（2017·天津高考真题（文））已知函数f (x )=|x|+2,x <1x +2x ,x ≥1．设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥|x 2+a |在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[―2,2]B ．[―23,2]C ．[―2,23]D ．[―23,23]【答案】A ()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(1) 2 ()f x f x +=()2(1)f x f x ∴=-(0,1]x ∈1()(1)[,0]4f x x x =-∈-(1,2]x ∈1(0,1]x -∈1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦(2,3]x ∈1(1,2]x -∈()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-(2,3]x ∈84(2)(3)9x x --=-173x =283x =(,]x m ∈-∞8()9f x ≥-73m ≤7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】满足题意时f (x )的图象恒不在函数y =|x 2+a |下方，当a =23时，函数图象如图所示，排除C,D 选项；当a =―23时，函数图象如图所示，排除B 选项，本题选择A 选项.6.（2018·全国高考真题（文））设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，【答案】D【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .。

高一上学期函数专题：函数的图像学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．2．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图所示，单位圆上一定点A与坐标原点重合．若单位圆从原点出发沿x轴正向滚动一周，则A点形成的轨迹为（）A．B．C．D．5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数()f x 在(),0-∞上单调递增，且满足()12f -=-，则关于x 的不等式()2sin f x x xπ<+的解集为（ ）． A ．()(),11,-∞-+∞B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),10,1-∞-⋃D ．()()1,00,1-7．已知定义在R 上的函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=,若方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1111,,3443⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)3.54，B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)55.5，9．函数()218x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．10．设函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ ） A ．(16,32) B ．(18,34) C ．(17,35) D ．(6,7)二、多选题11．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是 A ．122x x += B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12x x >三、填空题12．设方程24x x +=的根为m ，方程2log 4x x +=的根为n ，则m n +=________；参考答案1．A 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 2．A 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、3．A 【分析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断． 【详解】A 、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A 不对；B 、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B 正确；C 、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C 正确；D 、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D 正确． 故选A ． 【点睛】本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h 和时间t 之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想． 4．A 【分析】分析当单位圆向x 轴正向滚动π个单位长度时A 的纵坐标，由此判断出A 点形成的轨迹. 【详解】如图所示，记,,B C D 为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，因为圆的周长为2π，所以2AB BC CD AD π====，且圆上点的纵坐标最大值为2，当圆逆时针滚动π单位长度时，此时,A C 的相对位置互换，所以A 的纵坐标为2，排除BCD ， 故选：A.关键点点睛：解答本题的关键是通过特殊位置（向右滚动π个单位长度）分析对应A 点的纵坐标，通过排除法判断出轨迹. 5．B 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 6．C 【分析】令()()2g x f x x=-，利用奇偶性定义可知()g x 为奇函数，并可确定()g x 在(),0-∞，()0,∞+上单调递增，由()10g -=知()10g =，结合55sin 22g π⎛⎫< ⎪⎝⎭不成立可确定()g x 与sin y x =π大致图象，由图象可确定解集. 【详解】()f x 为()(),00,-∞⋃+∞上的奇函数，()()f x f x ∴-=-， 令()()2g x f x x =-，则()()()()22g x f x f x g x x x-=-+=-+=-，()g x ∴为()(),00,-∞⋃+∞上奇函数；()f x 在(),0-∞上单调递增，2y x=-在(),0-∞上单调递增，()g x ∴在(),0-∞上单调递增，由奇函数性质知：()g x 在()0,∞+上单调递增；()12f -=-，()()1120g f ∴-=-+=，则()10g =，又()()51122f f f ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，当52x =时，2459sin sin525x x ππ+=+=， ∴当52x =时，()2sin f x x x π<+不成立，即55sin 22g π⎛⎫< ⎪⎝⎭不成立，由此可在坐标系中画出()g x 与sin y x =π大致图象如下图所示：由图象可知：当()(),10,1x ∈-∞-时，()sin g x x π<，即当()(),10,1x ∈-∞-时，()2sin f x x xπ<+. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式的求解，解题关键是能够通过构造函数的方式，结合奇偶性和单调性的知识确定函数的大致图象，利用数形结合的方式求得结果.7．C 【分析】由()()2f x f x +=可得函数周期为2，结合函数在[]1,1-上的解析式，利用周期作出()f x 的函数图象,根据()y f x =和2y kx =+图象交点个数判断k 的范围. 【详解】方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根， 等价于()y f x =和2y kx =+图象有三个不同交点， 因为()()2f x f x +=,所以()f x 的周期为2，由函数()[)[)222,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，利用周期性作出()f x 的函数图象，如图所示: 不妨设0,k >当直线2y kx =+过()()3,1,1,1--时，k 的值分别为13与1，由图可知，113k <<时直线2y kx =+与()f x 的图象有三个交点，113k ∴<<时, 方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根, 同理,若0k <,可得113k -<<-时，方程()20f x kx --=有三个不相等的实数根,所以实数k 的取值范围是111,,133⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C.【点睛】本题主要考查函数的周期与函数图象的应用，考查了函数零点与方程根的关系，同时考查了转化思想与数形结合思想的应用，属于难题. 函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点.8．A 【分析】由()()20f x f x -+=得出函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称以及函数()y f x =的周期为2，由函数()y f x =为奇函数得出()00f =，并由周期性得出()2f = ()40f =，然后作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象，列举前10个交点的横坐标，结合第11个交点的横坐标得出实数m 的取值范围． 【详解】由()()20f x f x -+=可知函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 且()()()2f x f x f x -=-=-，所以，()()2f x f x +=， 所以，函数()y f x =的周期为2，由于函数()y f x =为奇函数，则()00f =，则()()240f f ==， 作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示：211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-、12-、0、12、1、32、2、52、3、72，第11个交点的横坐标为4， 因此，实数m 的取值范围是[)3.5,4，故选A ．【点睛】本题考查方程的根与函数的零点个数问题，一般这类问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在画函数的图象时，要注意函数的奇偶性、对称性、周期性对函数图象的影响，属于难题．9．B【分析】根据函数的定义域以及单调性求解.【详解】由题意得，()f x 的定义域为R ，排除C,D ；当2x ≥-时，()218x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵1018<<，∴()f x 在[)2,-+∞上单调递减，排除A ， 故选B.【点睛】 本题考查了已知函数表达式，识别函数图象，涉及了函数的定义域以及指数函数的单调性；从函数的定义域可以判断函数图象的“左右”位置，以及是否有断点；单调性可以判断函数的变化趋势.10．B【分析】画出函数()f x 的图象，不妨令a b c <<，则222a b +=．结合图象可得45c <<，从而可得结果．【详解】画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221a b -=-，则222a b +=．结合图象可得45c <<，故16232c <<．∴1822234a b c <++<．故选：B ．【点睛】数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 11．ABC【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.【详解】函数x y e =与ln y x =互为反函数，则x y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B，122x x e e e ≥=+=，因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与x y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2x f x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭， 故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln ln x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤，由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误；故选：ABC【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.12．4【详解】由题意，方程24x x +=的根为m ，方程2log 4x x +=的根为n ，24m m ∴+=……①，24n log n += …… ②由①得24m m =-，24m log m ∴=-（ ）令4t m =- ，代入上式得24t log t -=24t log t ∴+= 与②式比较得t n =于是44m n m n -=∴+= 故答案为4．【点睛】本题主要考查方程的根，即为相应函数图象交点的横坐标，解题的关键是利用设而不求的思想，充分利用题设条件得到m n +的值.。

高中函数图像考试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的图像是一个：A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 正弦曲线答案：B2. 函数 \( y = |x| \) 的图像在 \( x = 0 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：A3. 函数 \( y = \sin(x) \) 的图像是：A. 线性的B. 周期性的C. 单调的D. 常数的答案：B二、填空题4. 如果函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处取得极值，那么\( f'(a) \) 等于 _______ 。

答案：05. 函数 \( y = x^3 \) 的图像是关于 \( x \) 轴的 _______ 对称。

答案：不三、简答题6. 解释函数 \( y = \ln(x) \) 的图像为什么在 \( x = 0 \) 处没有定义。

答案：函数 \( y = \ln(x) \) 是自然对数函数，其定义域为\( x > 0 \)。

当 \( x = 0 \) 时，没有实数可以作为对数的底数，因为对数函数的底数不能为1，也不能为负数或0。

因此，\( x = 0 \) 处没有定义。

7. 描述函数 \( y = 1/x \) 的图像在第一象限和第三象限的行为。

答案：函数 \( y = 1/x \) 的图像在第一象限和第三象限都是递减的。

当 \( x \) 增大时，\( y \) 减小；当 \( x \) 减小时，\( y \) 增大。

这是因为当 \( x \) 的值增加时，其倒数 \( 1/x \) 的值会减少，反之亦然。

四、计算题8. 给定函数 \( f(x) = 2x^2 + 3x - 5 \)，求导数 \( f'(x) \) 并找到函数的极值点。

答案：导数 \( f'(x) = 4x + 3 \)。

令 \( f'(x) = 0 \) 解得\( x = -3/4 \)。

考向12 函数的图象【2022·全国·高考真题（理）】函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.【2022·全国·高考真题（文）】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设()321x xf x x -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.1.函数图象的画法(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象． 2.图象变换法若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.识图的三种常用方法（1）．抓住函数的性质，定性分析：①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． （2）．抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． （3）．根据实际背景、图形判断函数图象的方法：①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)．(1)若()()f m x f m x +=-恒成立，则()y f x =的图像关于直线x m =对称.(2)设函数()y f x =定义在实数集上，则函数()y f x m =-与()y f m x =-(0)m >的图象关于直线x m =对称.(3)若()()f a x f b x +=-，对任意x ∈R 恒成立，则()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称. (4)函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称. (5)函数()y f x =与函数(2)y f a x =-的图象关于直线x a =对称. (6)函数()y f x =与函数2(2)y b f a x =--的图象关于点()a b ，中心对称. (7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数.二、函数图像作法 1.直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.2.图像的变换 （1）平移变换①函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向左平移a 个单位得到的； ②函数()(0)y f x a a =->的图像是把函数()y f x =的图像沿x 轴向右平移a 个单位得到的； ③函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()(0)y f x a a =+>的图像是把函数()y f x =的图像沿y 轴向下平移a 个单位得到的； （2）对称变换①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于y 轴对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于x 轴对称；函数()y f x =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点(0,0)对称； ②若函数()f x 的图像关于直线x a =对称，则对定义域内的任意x 都有()()f a x f a x -=+或()(2)f x f a x =-（实质上是图像上关于直线x a =对称的两点连线的中点横坐标为a ，即()()2a x a x a -++=为常数）； 若函数()f x 的图像关于点(,)a b 对称，则对定义域内的任意x 都有()2(2)()2()f x b f a x f a x b f a x =---=-+或③()y f x =的图像是将函数()f x 的图像保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折上来得到的（如图（a ）和图（b ））所示④()y f x =的图像是将函数()f x 的图像只保留y 轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y 轴对称得到函数()y f x =左边的图像即函数()y f x =是一个偶函数（如图（c ）所示）.注：()f x 的图像先保留()f x 原来在x 轴上方的图像，做出x 轴下方的图像关于x 轴对称图形，然后擦去x 轴下方的图像得到；而()f x 的图像是先保留()f x 在y 轴右方的图像，擦去y 轴左方的图像，然后做出y 轴右方的图像关于y 轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.⑤函数1()y f x -=与()y f x =的图像关于y x =对称. （3）伸缩变换①()(0)y Af x A =>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍得到.②()(0)y f x ωω=>的图像，可将()y f x =的图像上的每一点的横坐标伸长(01)ω<<或缩短(1)ω>到原来的1ω倍得到.1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））函数sin cos yx x x 在[]π,π-上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，奇偶性和特值点等性质来判断图像. 【详解】易知f (x )是偶函数，排除B ，C 项；当0πx ≤≤时，sin 0x ≥，所以sin cos 0y x x x =≥，排除A 项. 故选：D2．（2022·青海·模拟预测（理））已知函数()f x 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()ln sin f x x x =+B ．()ln cos f x x x =-C ．()ln cos f x x x =+D ．()ln sin f x x x =-【答案】B 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断A,D;利用特殊值可判断C;结合三角函数性质以及函数的奇偶性，可判断B. 【详解】对于A ，()ln sin ,0f x x x x =+≠，()ln sin ()f x x x f x -=--≠，即()ln sin ,0f x x x x =+≠不是偶函数，不符合题意；对于C, ()ln cos ,0f x x x x =+≠，()πln πcos π=ln π11f =+-<，不符合题意； 对于D ，()ln sin ,0f x x x x =-≠，()ln sin ()f x x x f x -=-+≠，不符合题意； 对于B ，()ln cos ,0f x x x x =-≠，()ln cos ()f x x x f x -=--=， 故()f x 为偶函数，结合函数cos y x =的性质，可知B 符合题意， 故选:B3．（2022·浙江·三模）函数1sin 22x xxy -+=+在区间[,]-ππ上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】直接由特殊点通过排除法求解即可. 【详解】 当0x =时，12y =，排除C 选项；当2x π=-时，0y =，排除B 、D 选项.故选：A.4．（2022·四川泸州·模拟预测（文））如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为.T 若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数()h f t =的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】根据时间和h 的对应关系分别进行排除即可． 【详解】函数()h f t =是关于t 的减函数，故排除C ，D ，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B ， 故选B ． 【点睛】本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．5．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在下列四个图形中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】 【分析】根据,,0a b 的关系与各图形一个个检验即可判断． 【详解】当0a b >>时，A 正确；当0b a >>时，B 正确； 当0a b >>时，D 正确；当0b a >>时，无此选项． 故选：ABD ．1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））函数()2222x xx xf x -+=+的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案. 【详解】函数的定义域为R ，因为()()2222x xx xf x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．故选：B ．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()f x 图象如图所示，那么该函数可能为（ ）A ．ln ()||xf x x =B ．()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩C ．()()1(0)e 1e (0)xx x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩D ．ln ||()x f x x=【答案】D 【解析】 【分析】根据所给函数的图象，利用排除法分析ABC 即可得解. 【详解】由图象可知，函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象关于原点对称，函数是奇函数， 1x >时()0f x >， 据此，ln ()||xf x x =定义域不符合，排除A; 若 ()()22ln (0)ln (0)x x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨-⎪<⎪⎩，则1x >时，()0f x <，不符合图象，故排除B ；若()()1(0)e 1e (0)x x x x f x x x -⎧>⎪=⎨⎪+<⎩，则当x 趋向于0+时，1()e x x f x -=趋向于1-，当x 趋向于0-时，()(1)e xf x x =+趋向于1，不符合图象，故排除C; 故选：D3．（2022·湖北·模拟预测）函数()[]()0,1y f x x =∈对任意()10,1a ∈，由()()*1n n a f a n +=∈N 得到的数列{}n a 均是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】由题可得()n n f a a >，进而可得函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，即得. 【详解】由题可知()()*1n n a f a n +=∈N ，1n n a a +>，∴()n n f a a >，故函数()f x 满足()f x x >，即函数()f x 的图像在直线y x =的图像上方，故排除BCD. 故选：A.4．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知函数()2ln1(),cos x x f x a R x a+=∈+的图像如图所示，则实数a 的值可能是（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域分析即可 【详解】由题意，2210x x x x x x +->-=-≥，故210x x +->，分子一定有意义.又根据图象可得，当23x π=时分式无意义，故此时分母为0，故2cos 03a π+=，即102a -+=，12a =故选：C5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）A ．112x y -=-B ．112xy =-- C ．12x y -=- D ．21xy =--【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.【详解】解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12x y -=-单调递减，故排除C 项.故选：A.6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））函数sin 22cos x xy x=-的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 设()sin 22cos x x f x x =-，分析函数()f x 的定义域、奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 设()sin 22cos x xf x x=-，则对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则()()()()sin 2sin 22cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，所以函数()f x 是偶函数，排除B 、D ．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈，则sin 20x >，所以()0f x >，排除C ．故选：A ．7．（2022·浙江·模拟预测）如图所示的是函数()y f x =的图像，则函数()f x 可能是（ ）A ．sin y x x =B ．cos y x x =C ．sin cos y x x x x =+D ．sin cos y x x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】由图象确定函数的性质，验证各选项是否符合要求即可. 【详解】由图可知：()f x 是非奇非偶函数，且在y 轴右侧，先正后负．若()sin f x x x =，则()()()sin sin f x x x x x -=--=，所以函数sin y x x =为偶函数， 与条件矛盾，A 错，若()cos f x x x =，则()()()cos cos f x x x x x -=--=-，所以函数cos y x x =为奇函数，与条件矛盾，B 错，若()sin cos f x x x x x =-，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()2sin 04f x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，与所给函数图象不一致，D 错，若()sin cos f x x x x x =+，则()2sin 4f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当304x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，又2()44f ππ=， ()04f π-=，所以函数sin cos y x x x x =+为非奇非偶函数，与所给函数图象基本一致，故选：C ．8．（2022·福建省福州第一中学三模）已知函数()()2()ln 1cos 3f x x x x ϕ=++⋅+.则当[0,]ϕπ∈时，()f x 的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】首先设()()2ln 1g x x x =+，得到()g x 为奇函数，再分别令0,,2πϕπ=，依次判断选项即可.【点睛】设()(2ln 1g x x x =+，定义域为R ，()()((()2222ln 1ln 1ln 10g x g x x x x x x x +-=++-+=+-=， 所以()()g x g x -=-，()g x 为奇函数.当0ϕ=时，cos3y x =为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以选项B 可能. 当ϕπ=时，()cos 3cos3y x x π=+=-为偶函数，(2()ln 1cos3f x x x x =-+⋅为奇函数.()0062f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以选项A 可能. 当2ϕπ=时，cos 3sin 32y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为偶函数，(2()ln 1sin3f x x x x =-+⋅为偶函数.因为()20033f f f ππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，018f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，，所以选项C 可能. 故选：D9．（2022·吉林·三模（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()xh x x=A ．④②①③B ．②④①③C ．②④③①D ．④②③①【答案】A 【解析】 【分析】先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值． 【详解】()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠2e ()0xh x x=>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则30π4x <<()f x 在30,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3π432()(π)e 542f x f ≤=>①对应的为第三个函数 故选：A ．10．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）图象为如图的函数可能是（ ）A ．()sin(cos )f x x =B ．()sin(sin )f x x =C ．()cos(sin )f x x =D ．()cos(cos )f x x =【答案】A 【解析】 【分析】从特殊的函数(0)f 为最大值排除两个选项，再由余弦函数性质确定函数值的正负排除一个选项后得正确结论． 【详解】因为(0)f 为最大值，排除BD ；又因为cos(sin )0x >，排除C ． 故选：A ．11．（2022·浙江·模拟预测）已知函数()f x 的部分图像如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．22cos ()ln 2cos xf x x x +=+-B ．32cos ()ln 2cos xf x x x+=-C ．32sin ()ln 2sin xf x x x+=+-D ．22sin ()ln2sin xf x x x+=-【答案】B 【解析】 【分析】观察图象确定函数的性质，结合函数的性质和特殊点的取值判断各选项. 【详解】观察函数图象可得该函数图象关于原点对称，所以函数()f x 为奇函数，由图象可得(2)0f <，对于函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-，因为()()()222cos 2cos ()lnln ()2cos 2cos x xf x x x f x x x+-+-=-+=+=---，所以函数22cos ()ln2cos xf x x x+=+-为偶函数，A 错，对于函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-，()32sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-+=-+， 所以函数32sin ()ln2sin x f x x x+=+-为奇函数，又32sin 2(2)2ln02sin 2f +=+>-，与图象不符，故C 错误， 对于函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-，()22sin ()ln()2sin x f x x f x x --=-=-+， 所以函数22sin ()ln2sin x f x x x+=-为奇函数，又22sin 2(2)2ln02sin 2f +=>-，与图象不符，故D 错误， 对于函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-，因为()32cos ()ln()2cos x f x x f x x +-=-=--， 所以函数32cos ()ln2cos x f x x x+=-为奇函数，且32cos 2(2)2ln02cos 2f +=<-，与图象基本相符，B 正确， 故选：B.12．（2022·四川眉山·三模（理））四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（ ） A ．类似递增的双曲线 B ．类似递增的对数曲线 C ．类似递减的指数曲线 D ．是一条S 形曲线【答案】A 【解析】 【分析】 依题意可得1311y x -=++，()0x >，整理得341y x -=++，()0x >，再根据函数的变换规则判断可得； 【详解】解：依题意可得拟合函数为1311y x -=++，()0x >， 即()31333 114111x x y x x x +--=+=+=++++，()0x >， 由3y x -=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >， 因为3y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线； 故选：A13．（2022·江西赣州·二模（理））已知函数()f x 的图象的一部分如下左图，则如下右图的函数图象所对应的函数解析式（ ）A ．(21)y f x =-B ．412x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．(12)y f x =-D ．142x y f -⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】分三步进行图像变换①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 【详解】12()()(1)(12)x x x x x xy f x y f x y f x y f x →-→-→=→=-→=-→=-①②③①关于y 轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半 故选：C.14．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调性即可求解. 【详解】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称， 所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.15．（2022·全国·高三专题练习）如图，正△ABC 的边长为2，点D 为边AB 的中点，点P 沿着边AC ，CB 运动到点B ，记∠ADP ＝x ．函数f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合图形，分析区间（0，2π）和（2π，π）上f （x ）的符号，再分析f （x ）的对称性，排除BCD ，即可得答案．【详解】根据题意，f （x ）＝|PB |2﹣|P A |2，∠ADP ＝x ．在区间（0，2π）上，P 在边AC 上，|PB |＞|P A |，则f （x ）＞0，排除C ； 在区间（2π，π）上，P 在边BC 上，|PB |＜|P A |，则f （x ）＜0，排除B ， 又由当x 1+x 2＝π时，有f （x 1）＝﹣f （x 2），f （x ）的图象关于点（2π，0）对称，排除D ， 故选：A16．（2022·全国·高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水时间t 的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径r ，高H ，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式即可判断得解.【详解】设圆锥PO 底面圆半径r ，高H ，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点O '，水面半径AO x '=，此时水面高度PO h '=，如图：由垂直于圆锥轴的截面性质知，x h r H =，即r x h H=⋅，则注入水的体积为2223211()333r r V x h h h h H H πππ==⋅⋅=⋅， 令水匀速注入的速度为v ，则注水时间为t 时的水的体积为V vt =， 于是得2223333222333r H vt H v h vt h h t H r r πππ⋅=⇒=⇒ 而,,r H v 2323H v r π是常数， 所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是23323H v h t r π=203r H t v π≤≤，223323103H v h t r π-'=>，函数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，A 选项的图象与其图象大致一样，B ，C ，D 三个选项与其图象都不同.故选：A1．（2022·全国·高考真题（理））函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 则()()()()()33cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-， 所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C. 故选：A.2．（2022·全国·高考真题（文））如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x x y x -+=+B ．321x x y x -=+C ．22cos 1x x y x =+D ．22sin 1x y x =+ 【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设()321x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<， 所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A. 3．（2021·天津·高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.4．（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+- B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ； 对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭， 当4x π=时，22120221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.5．（2020·天津·高考真题）函数241x y x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．6．（2020·浙江·高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7．（2019·浙江·高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．9．（2017·全国·高考真题（文））函数y ＝1＋x ＋2sin x x 的部分图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.【详解】当x ＝1时，y ＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A 、C ；当x →＋∞时，y →＋∞，排除B.故选：D.【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.10．（2015·浙江·高考真题（文））函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】【详解】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.11．（2018·浙江·高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择. 详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．12．（2018·全国·高考真题（理））函数422y x x =-++的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<， 得22x <-或202x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.13．（2017·全国·高考真题（文））函数sin21cos x y x=-的部分图像大致为 A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】【详解】由题意知，函数sin 21cos x y x=-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos2y =>-，故排除A ．故选C ．点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．14．（2015·安徽·高考真题（理））函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C【解析】【详解】试题分析：函数在P 处无意义，由图像看P 在y 轴右侧，所以0,0c c -><，()200,0b f b c =>∴>，由()0,0,f x ax b =∴+=即b x a =-，即函数的零点000.0,0b x a a b c a=->∴<∴<，故选C ． 考点：函数的图像。

第14题二次函数1/ 20x=对称，点也关于1奇数时，其和为2⨯2/ 20(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)3/ 20已知正方形的面积为2，点在边上，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由面积为2，可知边长为，在正方形中建立坐标系，设，所以，其中，当时取得最小值为，选B．4/ 20【2018山西45校第一次联考】函数xy a = (0a >且1a ≠)与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】两汉素分别为指数函数和二次函数，二次函数的对称轴为直线11x a =-，当01a <<时， 101a <-，当1a >时， 101a >-，观察图象可知A 选项符合．故选A ．,x →-∞6 / 20实数根，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】()()0,19,⋃+∞．【解析】（方法一）在同一坐标系中画()23f x x x =+和()1g x a x =-的图象（如图），问题转化为()f x 与()g x 图象恰有四个交点．当()1y a x =-与23y x x =+（或()1y a x =--与23y x x =--）相切时，()f x 与()g x 图象恰有三个交点．把()1y a x =-代入23y x x =+，得()231x x a x +=-，即()230x a x a +-+=，由0∆=，得()2340a a --=，解得1a =或9a =．又当0a =时，()f x 与()g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >．（方法二）显然1x ≠，∴231x x a x +=-．令1t x =-，则45a t t =++∴,,444tt，∴(][)45,19,t t++∈-∞⋃+∞．结合图象可得01a <<或9a >．恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________．考向4 二次函数零点（一元二次方程根）的分布问题7 / 20区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ） A ．()12,20 B ．()12,18 C ．()18,20 D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>> ，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++ ，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20 ，过B 点取最小值12， ()3f 的取值范围是()12,20，选A ．x.8/ 209/ 20-∞故函数在(,010/ 2011 / 20②当0m ≥时， ()g x 在区间[],2m m +单调递增，()()424h m g m m m ∴==+．③当20m -<<时， ()g x 在区间[],0m 单调递减，在区间[]0,2m +单调递增， ()()00h m g ∴==．综上：．（3）()g x 为偶函数，在(],0-∞单调递减，在[)0+∞，单调递增 ()()()()22422422g a a g g a a g ∴-+≤⇔-+≤． 2422a a ⇔-+≤，2242204a a a ⇔-≤-+≤⇔≤≤所以不等式的解集为[]0,4．12/ 203x=13/ 2014/ 2015 / 209,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭16/ 2017/ 2018/ 2019/ 2020/ 20。

第15 题指数函数【2019 年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数y =1a x，y= log (x +1)2(a>0，且a≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当0 <a < 1时，函数y =a x 的图象过定点(0,1) 且单调递减，则函数y =1的图象过定点(0,1) 且单调递增，a x⎛ 1 ⎫1函数y = log a x +2 ⎪的图象过定点(2, 0) 且单调递减，D⎝⎭选项符合；当a > 1 时，函数y =a x 的图象过定点(0,1) 且单调递增，则函数y =1的图象过定点(0,1) 且单调递减，函数a xy = log⎛x +1 ⎫的图象过定点(1, 0）且单调递增，各选项a 2 ⎪2⎝⎭均不符合.综上，选D.【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用．【学科素养】数学运算、直观想象【难点中心】（1）处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用指数函数的图象时，常常涉及不太规范的指数型函数的图象，其作法可能较难；（3）解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难．三．理论基础·解题原理考点一指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果x n =a ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．负数没有函数图象都过定点（0，1） a 0 = 1自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1x > 0, a x > 1 x > 0, a x < 1在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1x < 0, a x < 1 x < 0, a x > 1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；考点四指数函数的实际应用主要以指数型函数y =ca x (c ≠ 0, a > 0且a ≠ 1) 的应用，因此建立此模型时注意确定参数c 及底数a 是解题的关键．四．题型攻略·深度挖掘【考试方向】1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2．在解答题中常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等．考向1 指数型函数的定义域【2018 北京海淀模拟】函数f (x) =2x - 2 的定义域为．【答案】[1, +∞)【解析】要使原式有意义需满足2x - 2 ≥ 0 ，即2x ≥ 2 ⇒x ≥ 1，故函数f (x) 的定义域为[1, +∞) ．【温馨提醒】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性解不等式即可．考向2 指数的运算法则的应用1 ⎛ 1 ⎫-23 0（1）计算0.0273 - -⎪+ 2564 - 3-1 +(2 -1)⎝7 ⎭ 【温馨提醒】应用指数的运算法则进行计算注考向 6 指数函数单调性的应用【2016 高考天津卷】已知 f (x ) 是定义在R 上的偶函数，且在区间(-∞,0) 上单调递增，若实数a 满足 f (2|a -1|) > f (- 2) ，则 a 的取值范围是（）11 31 33A．(-∞, )B．(-∞, ) ( ,+∞) C．( , ) D．( ,+∞) 2 2 2 2 22【答案】C【 解 析 】 因 为 f (x ) 为 偶 函 数 ， 所 以 f (2|a -1|) = f (-2|a -1|) ， 则 由f (2|a -1| ) > f (- 2) ，知 f (-2|a -1| ) > f (- 2) ．又 f (x ) 在区间(-∞,0) 上单调递增，111 3所以 -2|a -1|> - 2 ，即 2|a -1|< 22，所以| a -1|< ，解得 < a < ，故选 C ．2 2 2【技能方法】指数函数单调性的应用主要体现在两个方面：（1）根据指数函数的性质由自变量大小导出函数值的大小，如本题；（2）根据指数函数的性质由函数值的大小导出自变量的大小．考向 7 指数函数的最值（值域）【2015 高考山东理 14】已知函数 f (x ) = a x+ b (a > 0, a ≠ 1) 的定义域和值域都是[-1, 0] ，则 a + b = ．3【答案】 -2⎧a -1 + b = -1【解析】若 a > 1 ，则 f ( x ) 在[-1, 0] 上为增函数，所以 ⎨，此 ⎩1+ b = 0⎧a -1 + b = 0方程组无解；若0 < a < 1 ，则 f ( x ) 在[-1, 0]上为减函数，所以 ⎨， ⎩1+ b = -1 ⎧a = 1 3 ⎪ 解得 ⎨ 2 ，所以a +b = - 2． ⎪⎩b = -2【技能方法】由于底数a 的范围不确定，因此解答时注意分 a > 1与0 < a < 1两种情况进行讨论．考向 8 指数函数的图象的识别【 2018 山西 45 校第一次联考】 函数（在同一个坐标系内的图象可能是（）且） 与函数【技能方法】本题通过对多个图象的选择考查函数的指数函数、二次函数的图象与性质，属 于中档题．这类题型也A ．B ．C ．D．【答案】C【解析】两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过(0, -1)点，故排除A, D ；二次函数的对称轴为直线x =1，当0 <a <1时，指数函数递a -11 1减，< 0 ， C 符合题意；当a >1 时，指数函数递增，> 0 ，B 不a -1 a -1合题意，故选C．考向9 指数函数的图象的应用【解析】当x > 0 时，函数f (x)= ln x -x +1 求导可得f '(x)=1-1 =1-x，x x则函数在(0,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，当x =1时函数有极大值为f (1)= 0 ，根据奇函数的对称性，作出其函数图像如图，由函数图像可知y = e x 与y =f (x)有两个不同交点，则g (x)=f (x)-e x 有两个零点．故本题选C ．考向10 指数函数的实际应用⎩A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据0 < a < 1y = xa x| x |(0 < a < 1)⎧a x , x > 0 ∴ y = ⎨-a x, x < 00 < a < 1，∴ y = a x 是减函数， y = -a x 是增函数.xa x y =| x |(0 < a < 1) 在(0，+ ∞) 上单调递减，在(-∞，0) 上单调递增故选：D .1( ) = f x⎨ ( ) = 【解析】先比较 a ，c 的大小关系，由 y = x 3 在 R 上是增函数可得： a > c ， 再比较 b ，c 的大小关系，由 y = (1)x在 R 上是减函数可得： b < c ，3综上可得： a > c > b ， 故选：B.5.（2020 届湖南省衡阳市高三）设函数范围为()⎧⎪2 x -a , x ≤ 1 ⎪⎩x +1, x > 1 ，若 f (1) 是 f ( x ) 的最小值，则实数 a 的取值A ． [-1, 2)B ． [-1, 0]C ． [1, 2]D ． [1, +∞)【答案】C⎧⎪2 x -a，x ≤ 1【解析】函数 f x ⎨， ⎪⎩x +1，x ＞1若 x ＞1，可得 f （x ）＝x +1＞2， 由 f （1）是 f （x ）的最小值， 由于 f （x ）＝2|x﹣a |可得在 x ＞a 递增，在 x ＜a 递减，若 a ＜1，x ≤1，则 f （x ）在 x ＝a 处取得最小值，不符题意； 若 a ≥1，x ≤1，则 f （x ）在 x ＝1 处取得最小值， 且 2a ﹣1≤2，解得 1≤a ≤2，综上可得 a 的范围是[1，2]．故选 C ．2⎛ 1 ⎫-2(-8) 3 ⨯ ⎪ ⨯ 3 27 -1 =6.（2020 安徽省滁州市）计算⎝ 2 ⎭ .8 【答案】3【解析】原式= 3 (-8)2 ⨯ ( 2)2⨯ 1= 4 ⨯ 2 ⨯ 1 = 8.33 38故答案为： .37.（2020 湖南师大附中）已知函数y = 4a x +2- 5 （ a > 0 ，且 a ≠ 1 ）的图像横过定点 P ，若点 P 在直线 1 +2Ax + By + 2 = 0 上，且 AB > 0 ，则 A B 的最小值为．【答案】4【解析】令 x + 2 = 0,∴ x = -2,∴ y = 4⨯ a 0 - 5 = -1 ,所以定点 P 的坐标为(-2, -1) .所以 A ⨯(-2) - B + 2 = 0,∴2A + B = 2, A ⋅ B > 0,∴ A > 0, B > 0 .所以 1 + 2 = 1 ⨯ (2 A + B ) ⨯ ( 1 + 2 ) = 1(4 +4 A + B ) ≥ 1 [4 + 2 4 A ⋅ B] = 4 . A B 2 A B 2B A 2 B A当且仅当 A = 1, B = 1时取“等号”.21 2所以 + 的最小值为 4.A B故答案为：48.若关于 x 的方程 2 - 2 - b = 0x 有两个不同的实数解，则实数b 的取值范围是.2⎭【答案】(0, 2)【解析】令 2x- 2 - b = 0 ，得 2x - 2 = b ，由题意可知函数 y = 2x - 2 与 y = b 的图象有两个交点，结合函数图象（如图），可知， 0 < b < 2 .9.我国加入 WTO 时，据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量 P 的关系允许近似满足 P ( x ) = 2(1-kt )( x -b )2 （其中， t 为关税的税率，且t ∈ ⎡0, 1 ⎫ ， x 为市场价格， b 、k 为正常数），当t = 1时， ⎣ ⎪ 8市场供应量曲线如图：⑴根据图象求b , k 的值；11- 1x⑵记市场需求量为Q ，它近似满足Q ( x ) = 2 2 ，当P = Q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价 x ≥ 9 时，求税率的最小值．【答案】（1）b=5,k=6（2）19192⎢∴ t ≥ 2 ，即实数t 的最小值是 2.等价于3x - t ≤ 2x -1，即t ≥ x +1在[-1,1] 上恒成立， ∵ f (3x - t ) + f (-2x +1) ≥ 0 ∴ f (3x - t ) ≥ f (2x -1) ，R ( ) 是 上的减函数, y = f x ，则函数⎪ - ⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 2 ⎭ ⎛ 2 ⎫x ⎛ 3 ⎫x故 f ( x ) = 23 a 6 有a - 1 = - 5 ，解得 a = 2 或 a = - 3（舍去）,6（2）由（1）知 f (x ) = a x- a - x，由 f (1) = - 5，。

2023届高考数学《函数的图像》思维拓展练习题（含答案解析）1、若函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在(－1,3)上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)C [作出函数f (x )的图像如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )＞0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )＞0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )＞0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．]2、(2019·太原模拟)已知函数f (x )＝|x 2－1|，若0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，则b 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(1,2)C [作出函数f (x )＝|x 2－1|在区间(0，＋∞)上的图像如图所示，作出直线y ＝1，交f (x )的图像于点B ，由x 2－1＝1可得x B ＝2，结合函数图像可得b 的取值范围是(1，2)．]3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（－x 2），x ≤－1，－13x 2＋43x ＋23，x ＞－1，若f (x )在区间[m ,4]上的值域为[－1,2]，则实数m 的取值范围为________．[－8，－1] [作出函数f (x )的图像，当x ≤－1时，函数f (x )＝log 2(－x 2)单调递减，且最小值为f (－1)＝－1，则令log 2(－x 2)＝2，解得x ＝－8；当x ＞－1时，函数f (x )＝－13x 2＋43x ＋23在(－1，2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f (2)＝2，又f (4)＝23＜2，f (－1)＝－1，故所求实数m 的取值范围为[－8，－1]．]4、已知函数f (x )的图像与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图像关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．[解] (1)设f (x )图像上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x ,2－y )在h (x )的图像上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x (x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，∴g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故实数a 的取值范围是[3，＋∞)．5、设f (x )是定义在R 上的偶函数，F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17，G (x )＝－17x ＋33x ＋2，若F (x )的图像与G (x )的图像的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1 (x i＋y i )＝________.－19m [∵f (x )是定义在R 上的偶函数，∴g (x )＝x 3f (x )是定义在R 上的奇函数，其图像关于原点中心对称，∴函数F (x )＝(x ＋2)3f (x ＋2)－17＝g (x ＋2)－17的图像关于点(－2，－17)中心对称．又函数G (x )＝－17x ＋33x ＋2＝1x ＋2－17的图像也关于点(－2，－17)中心对称， ∴F (x )和G (x )的图像的交点也关于点(－2，－17)中心对称，∴x 1＋x 2＋…＋x m ＝m 2×(－2)×2＝－2m ，y 1＋y 2＋…＋y m ＝m 2×(－17)×2＝－17m ，∴∑mi ＝1(x i ＋y i )＝(x 1＋x 2＋…＋x m )＋(y 1＋y 2＋…＋y m )＝－19m .] 6、已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m ＞0在R 上恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图像如图所示，由图像看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图像只有一个交点，即原方程有一个解；当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图像有两个交点，即原方程有两个解．(2)令f (x )＝t (t ＞0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )＞H (0)＝0.因此要使t 2＋t ＞m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．一、选择题1、已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图像可能是( )A B C DB [y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥1，2－2x ，x ＜1，易知函数y ＝|f (x )|的图像的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0.又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减，故选B.]2、(2019·沈阳市质量监测(一))函数f (x )＝x 2－1e |x |的图像大致为( )A BC DC [因为y ＝x 2－1与y ＝e |x |都是偶函数，所以f (x )＝x 2－1e |x |为偶函数，排除A ，B ，又由x →＋∞时，f (x )→0，x →－∞时，f (x )→0，排除D ，故选C.]3、下列函数中，其图像与函数y ＝ln x 的图像关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )B [法一：设所求函数图像上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图像上，所以y ＝ln(2－x )．故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数y ＝ln x 的图像上也在所求函数的图像上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B.]4、对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，23x ≤log a x ＋1恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 C [若23x ≤log a x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上恒成立，则0＜a ＜1，利用数形结合思想画出指数函数与对数函数图像(图略)，易得log a 13＋1≥23×13，解得13≤a ＜1，故选C.]5、函数f (x )＝ax ＋b (x ＋c )2的图像如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c <0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0C [函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图像知－c >0，∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c 2，又由图像知f (0)>0，∴b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图像知－b a >0，∴a <0.故选C.]二、填空题1、已知函数y ＝f (x ＋1)的图像过点(3,2)，则函数y ＝f (x )的图像关于x 轴的对称图形一定过点________．(4，－2) [因为函数y ＝f (x ＋1)的图像过点(3,2)，所以函数y ＝f (x )的图像一定过点(4,2)，所以函数y ＝f (x )的图像关于x 轴的对称图形一定过点(4，－2)．]2、如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0 [当－1≤x ≤0时，设解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1.∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝x ＋1.当x ＞0时，设解析式为f (x )＝a (x －2)2－1(a ≠0)，∵图像过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，∴a ＝14. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x ＞0.]8.函数f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数，其在(0,4]上的图像如图所示，那么不等式f (x )sin x ＜0的解集为________．(－π，－1)∪(1，π) [由题意知，在(0,4]上，当0＜x ＜1时，f (x )＞0，当1＜x ＜4时，f (x )＜0.由f (x )是定义在[－4,4]上的奇函数可知，当－1＜x ＜0时，f (x )＜0；当－4＜x ＜－1时，f (x )＞0.g (x )＝sin x ，在[－4,4]上，当0＜x ＜π时，g (x )＞0；当π＜x ＜4时，g (x )＜0；当－π＜x ＜0时，g (x )＜0，当－4＜x ＜－π时，g (x )＞0.∴f (x )sin x ＜0⇔⎩⎨⎧ f (x )＞0，sin x ＜0或⎩⎨⎧f (x )＜0，sin x ＞0，则f (x )sin x ＜0在区间[－4,4]上的解集为(－π，－1)∪(1，π)．]三、解答题1、画出下列函数的图像．(1)y ＝e ln x ；(2)y ＝|x －2|·(x ＋1)．[解] (1)因为函数的定义域为{x |x ＞0}且y ＝e ln x ＝x (x ＞0)，所以其图像如图所示．(2)当x ≥2，即x －2≥0时，y ＝(x －2)(x ＋1)＝x 2－x －2＝x －122－94；当x ＜2，即x －2＜0时，y ＝－(x －2)(x ＋1)＝－x 2＋x ＋2＝－x －122＋94.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －12）2－94，x ≥2，－（x －12）2＋94，x ＜2.这是分段函数，每段函数的图像可根据二次函数图像作出(其图像如图所示)．2、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图像；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图像指出当x 取什么值时f (x )有最值．[解] (1)函数f (x )的图像如图所示．(2)由图像可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．(3)由图像知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.。

方法技巧专题13 函数的图像 解析篇关于函数图像常用结论1．函数图象自身的轴对称(1)f (－x )＝f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )；(3)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，且有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．2．函数图象自身的中心对称(1)f (－x )＝－f (x )⇔函数y ＝f (x )的图象关于原点对称；(2)函数y ＝f (x )的图象关于(a,0)对称⇔f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (x )＝－f (2a －x )⇔f (－x )＝－f (2a ＋x )； (3)函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称⇔f (a ＋x )＝2b －f (a －x )⇔f (x )＝2b －f (2a －x )．3．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a2对称(由a ＋x ＝b －x 得对称轴方程)；(2)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (－x )的图象关于点(0，b )对称； (4)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )对称 4．函数图象的变换 (1)平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象．“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减.①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象．①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象． ②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象．①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； ②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象． 【一】函数图象的作法 1.例题【例1】 作出下列函数的图象．(1)|xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1； (4)y ＝x 2－2|x |－1.函数图象的作法：(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【解析】(1)作出x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21(x ≥0)的图象，再将xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21(x ≥0)的图象以y 轴为对称轴翻折到y 轴的左侧，即得xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21的图象，如图中实线部分．(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图中实线部分．(3)因为y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．(4)因为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y ＝x 2－2|x |－1的图象，如图．【例2】为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 图象上所有点的( ) A ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位 【答案】A【解析】把函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，即函数y ＝log 2x －1的图象．【例3】设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B【解析】y ＝2x －1x －2＝2(x －2)＋3x －2＝2＋3x －2，图象如图所示，可知②③正确．2.巩固提升综合练习【练习1】分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|； (2)y ＝2x ＋1－1； (3)y ＝x 2－|x |－2； (4)y ＝2x －1x －1.【解析】 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图⇔所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图⇔所示． (3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图⇔所示．(4)⇔y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图⇔所示．【二】函数图象的识别1.例题【例1】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则正比例函数y＝(b＋c)x与反比例函数y＝a－b＋cx在同一坐标系中的大致图象是()【答案】C【解析】由二次函数图象可知a>0，c>0，由对称轴x＝－b2a>0，可知b<0，故a－b＋c>0.当x＝1时，a＋b ＋c<0，即b＋c<0，所以正比例函数y＝(b＋c)x的图象经过二、四象限，反比例函数y＝a－b＋cx的图象经过一、三象限．故选C．【例2】函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为()【答案】D【解析】当x＝0时，y＝2，所以排除A，B项；当x＝22时，y＝－14＋12＋2＝94>2，所以排除C项．故选D．2.【练习1】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（）【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【练习2】函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A B C D【答案】D【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C ，故选D ．【例3】若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )【答案】C【解析】)1()1()(+-=−−−−−→−+=−−−−→−=x f y x f y x f y x 轴对称（翻转）关于左平移一个单位，故选C【三】根据图像识别解析式1.例题【例1】如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln xy x=D ．()22xy x x e =-【答案】D 【解析】2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B.函数ln xy x=的定义域为{}110|><<x x x 或，∴排除C . 对于221xy x =--，当2x =-时，()222210y -=---<，∴排除A【例2】已知图①中的图象是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |) 【答案】C【解析】 图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y ＝f (x )的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y ＝f (－|x |)．故选C ．2.巩固提升综合练习【练习1】函数()y f x =的图象如图所示,则()f x 的解析式可以为（ ）A ．1()x f x e x=- B ．31()f x x x=- C ．21()f x x x=- D ．1()ln f x x x=- 【答案】A 【解析】利用排除法： 对于B ,令()0f x =得3410,1x x x-=∴=,1x ∴=±,即()f x 有两个零点，不符合题意；对于C ,当0x <时，2211122x x x x x ⎛⎫-=---+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当21,2x x x =-=时等号成立，即函数在区间(),0-∞上存在最大值，不符合题意； 对于D ,()f x 的定义域为(0,)+∞，不符合题意； 本题选择A 选项.【练习2】已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．31()21f x x x =-- B ．31()21f x x x =+- C ．31()21f x x x =-+ D ．31()21f x x x =++ 【答案】A 【解析】因为CD 中12x ≠- ，所以不选；因为,()x f x →+∞→-∞ ，所以选A.【四】函数图像的应用1.例题【例1】已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0) 【答案】C【解析】 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．【例2】函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在(－1,3)上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】C【解析】作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．所以x ∈(－1,0)∪(1,3)．【例3】对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＋k ，若函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)【答案】D 【解析】令g (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x ，x ≤－2或x ≥3，x 2－1，－2<x <3，其图象如图所示．f (x )＝g (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个交点，即y ＝g (x )与y ＝－k 的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k ≤2，即－2≤k <1.故选D ．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________. 【答案】 9【解析】 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，⇔log 3m 2＝－2，⇔m 2＝19. 从而m ＝13，n ＝3，故n m＝9. 【练习2】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是__________． 【答案】5【解析】方程2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或f (x )＝1，作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.四、课后自我检测1．要得到g (x )＝log 2 (2x )的图象，只需将函数f (x )＝log 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位【答案】C【解析】 因为log 2(2x )＝1＋log 2x ＝g (x )，所以要得到g (x )的图象只需将y ＝f (x )＝log 2x 的图象向上平移1个单位．2．函数f (x )＝e 2x ＋1e x 的图象( ) A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称 【答案】D【解析】 因为f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋e －x (x ∈R )，所以f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )＝e 2x ＋1ex 为偶函数，所以f (x )＝e 2x ＋1ex 的图象关于y 轴对称．故选D ． 3．已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，且满足f (x )－f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )【答案】D【解析】 由f (x )－f (－x )＝0得函数f (x )为偶函数，排除A ，B 项；又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0.故选D ．4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】 因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x <0可化为f (x )x<0，f (x )的大致图象如图所示，所以不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．5．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()ln f x x x =B ．()x f x xe =C ．ln ()x f x x= D ．()x e f x x= 【答案】C【解析】 分析：分别求出函数的导数，确定函数的单调性后可选择正确答案．详解：A ．'()ln 1f x x =+，显然在1(0,)e上()f x 递减，；B ．'()(1)x f x x e =+，在(1,)-+∞上()f x 递增；C ．21ln '()x f x x -=，在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减且此时()0f x >；D ．2(1)'()x e x f x x-=，在(0,1)上()f x 递减．只有C 符合要求．故选C ．6．设函数()()f x x R ∈满足()()()()0,2f x f x f x f x --==-,则()y f x =的图象可能( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】 由()()0f x f x --=得()()f x f x =-，即函数()f x 是偶函数，排除,A C由()()2f x f x =-,得()()()2f x f x f x =-=-，即函数关于1x =-对称，排除D本题正确选项：B7．函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444x x x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项； 又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.8．若函数m y x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-121的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】[－1,0) 【解析】 首先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |的图象(如图所示)，欲使y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(0,1]【解析】 当x ≤0时，0<2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个根，则0<a ≤1.10．定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.【答案】0【解析】 函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11．已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则a ＋b ＝________.【答案】10【解析】 由图象知f (x )＝0有3个根，分别为0，±m (m ＞0)，其中1＜m ＜2，g (x )＝0有2个根，设为n ，p ，则－2＜n ＜－1，0＜p ＜1，由f (g (x ))＝0得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以a ＋b ＝6＋4＝10.12．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．【解析】 (1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)由题意得f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4， f (x )的图象如图所示．(3)由图象知f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由f (x )的图象可知当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．13．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 【解析】 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2. 因为g (x )在(0,2]上为减函数，所以1－a ＋1x2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．【解析】 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t >0时，H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。

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第１3题函数的图像I.题源探究·黄金母题【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.(1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学;(2）我骑着车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;(3)我出发后，心情轻松,缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.【解析】图象(A）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化;图象(B)对应事件（3)，刚刚开始缓缓行进,后来为了赶时间开始加速;图象(D）对应事件（1）,返回家里的时刻,离开家的距离又为零；图象(C）我出发后,以为要迟到,赶时间开始加速,后来心情轻松，缓缓行进．精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第2３页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一－图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力,同时告诉了学生生活之中处处有数学,数学来源于生活又应用与生活。

【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一,提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。

【例2】函数()r f p =的图象如图所示. （1）函数()r f p =的定义域是什么? （2）函数()r f p =的值域是什么?(3)r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应?【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-; (2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；(3）当5r >,或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第２５页习题1.2Ｂ组第1题 【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求法,加强学生对函数概念及函数三要素的理解,这对以后学习函数的性质有很大的帮助。

第 12 题函数的周期性与对称性一．题源探究·黄金母题已知函数 y ＝f(x)的图象如图所示，试回答下列问题：（1） 求函数的周期；（2） 画出函数 y ＝f(x ＋1)的图象；（3） 你能写出函数 y ＝f(x)的解析式吗？【解析】（1）从图象得知，x 从 0 变 1化到 1，函数经历 个周期，即2T= 1 ，故函数的周期 T=2；2（2）函数 y=f （x+1）的图象可由函数 y=f （x ）的图象向左平移 1 个单位得到，因为函数 y=f （x ）的图象过点（0，0）、点 （1，1）所以 y=f （x+1）的图象经过（-1，0）、点（0，1），再根据函数为周期函数画出图象：（3）当-1≤x ＜0 时，f （x ）=-x ，当 0≤x ＜1 时，f （x ）=x ；当 2n-1≤x ＜2n 时，f （x ）=f （x-2n ）=-（x-2n ）=2n-x ， 当 2n ≤x ＜2n+1 时，f （x ）=f （x-2n ）=x-2n ，∴ f (x ) = ⎧2n - x , 2n -1 ≤ x < 2n （n 为整数） ⎨x - 2n , 2n ≤ x < 2n +1⎩【试题来源】人教版 A 版必修四第 47 页 B组第 3 题【母题评析】本题以 y ＝f(x)的图象为载体， 考查函数周期的求法、函数图像的平移及由图定式（根据图像求解析式）问题，此类问题是高考常考的题型之一． 【思路方法】数形结合思想是高中数学中常用的解题思想之一，特别是在解决函数问题中起着举足轻重中的作用，因此，通常说“解决函数问题，数形结合你准备好了吗？”．二．考场精彩·真题回放9 9 C ．最大值为D ．最小值为44【答案】D【解析】因为要满足对任意的 x ∈ ⎡⎢0, 2π⎤⎥ ,总存在 x ∈ ⎡⎢0, 2π⎤⎥ 使得 1 ⎣3 ⎦2⎣3 ⎦f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 ，对于 f ( x ) = sin ωx (ω> 0) 则在 ⎡⎢0, 2π⎤⎥ 上的函数值有正值,即 f ( x ) 可以有正 ⎣3 ⎦1值，要存在 x 2 使得 f (x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 ,则 f ( x 2 )需要有负值. 2π 可得一定是大于 f ( x ) = sin ωx (ω> 0) 在 x ∈[0, +∞) 上的第一个零点.3因此 f (x 1 ) 就可以取到最大值1 ,要存在 f ( x 2 ) 使得 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = 0 ,则 f ( x 2 )要可以取到 -1, 说明 f ( x ) 在 x > 0 上取得第一个最小值的点应在2π的左侧或者恰好落在2π3 3处3 2π 3 2π 2π 9 所以 T ≤ ,即 ⋅ ≤ ,解得ω≥ 2 3 2 ω 3 4故选 D 项.考向 5 奇偶性、周期性与单调性B. 函数 y = g (x ) 的一条对称轴是 x =π8C. 函数 y = g (x ) 的一个零点是3π8D. 函数 y = g (x ) 在区间 ⎡⎢π , 5π⎤⎥ 上单调递减 ⎣12 8 ⎦【答案】Df ( x ) = 2sin2x - 2cos2x +1 = 2 s in ⎛2x - π⎫ +1【解析】由题意可知： 4 ⎪ ， ⎝ ⎭π图像向左平移 4 个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为：g ( x ) = 2 sin ⎡2 ⎛ x + π⎫ - π⎤ +1-1 = 2 sin ⎛2x + π⎫⎢ 4 ⎪ 4 ⎥ 4 ⎪ ⎣ ⎝⎭ ⎦ ⎝ ⎭ . 2π则函数 g ( x ) 的最小正周期为T = 2 = π，A 选项说法正确； x = π 2x + π = π y = g ( x ) x = π 当 8 时， 4 2 ，函数 的一条对称轴是8 ，B 选项说 法正确；x =3π2x + π = π y = g ( x ) 3π当 8 时， 4 ，函数 的一个零点是 8 ，C 选项说法正确；x ∈ ⎡⎢ π , 5π⎤⎥ 2x + π∈ ⎡⎢ 5π, 3π⎤⎥ ⎡⎢ π , 5π⎤⎥若 ⎣12 8 ⎦ ，则 4 ⎣ 12 2 ⎦ ，函数 y = g ( x ) 在区间⎣12 8 ⎦ 上不单调，D 选项说法错误；本题选择 D 选项.f (x)-t = 0 （0 <t <1）即f (x)=t （0 <t <1 ）在区间(-2, 7)上的易得2 ⨯(1+ 5)=12 ，D 正确.根分别关于1，5 对称，故零点之和为故选：BD.由于log 2 -1∈(-1, 0)，故f(log2-1)=-f(1-log2)=-31-log32=-3，3 3 3 2据此可得：f (log 2 +1)=- 1=2， f (log 54)=-3.3 f (log 2 -1) 3 3 23本题选择D 选项.4.（2020 四川省眉山市）已知函数f (x) 对定义域R 内的任意x 都有f (x) = f (4 -x) ，且当x ≠ 2 时其导函数f '( x) 满足xf '( x) > 2 f '( x), 若2 <a < 4 则（）A． f (2a ) <f (3) <f (log a) B． f (3) <f (log a) <f (2a )2 2C． f (log2 a) <f (3) <f (2 ) D． f (log a) <f (2 ) <f (3)a a2【答案】C【解析】根据题意，由于函数f (x) 对定义域R 内的任意x 都有f (x) = f (4 -x) ，可知函数关于x=2 对称，同时根据条件x ≠ 2 时，有xf '(x) > 2 f '(x), 那么说明了当( x - 2) f '( x) > 0 ，当x>2 时，递增，当x<2 时单调递减，则可知函数的单调性，同时结合2 <a < 4 ，1 < log2 a < 2,16 > 2 > 4 那么可知af (log2 a) <f (3) <f (2 ) ，故选C.a2 sin⎛3π-x ⎫-12 ⎪f (x )g (x)=⎝⎭f (x)5.（2020 山东省泰安市）函数与x 的图象关于y 轴对称，则函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D2 sin ⎛3π-x ⎫-1【解析】2 ⎪-2 cos x -1，因为f (x )与g (x)图象关于y 轴对称，g (x)=⎝⎭=x x-2 c os(-x)-1 2 cos x +1则f (x)=-x =x,x ≠ 0 ，2 cos π+1 2 cos⎛-π⎫+1f ⎛π⎫= 2 =2 > 0，排除C，f ⎛-π⎫=2⎪=-2< 0 ，排除B，2 ⎪ππ ⎪⎝π⎭⎝⎭⎝ 2 ⎭-π2 2f (π)=2 cos π+ 1=-1< 0 ，排除A，ππ 故选:D.6.已知函数f (x)=A sin(ωx +ϕ)⎛A > 0,ω> 0, ϕ<π⎫的最大值为 2 ，其图像相邻两条对称轴之间的2 ⎪⎝⎭π⎛π⎫距离为，且f (x)的图像关于点 -, 0 ⎪对称，则下列判断正确的是（）2 ⎝12 ⎭A.函数f(x)在⎡⎢π,π⎤⎥上单调递增⎣6 3 ⎦B.函数f (x )的图像关于直线x =5π对称12C.当x∈⎡⎢-π,π⎤⎥时，函数f(x)的最小值为- 2⎣ 6 6 ⎦D.要得到函数f (x)的图像，只需要y = 2 cos 2x 将的图像向右平移π个单位6【答案】D【解析】函数f（x）＝Asin（ωx+φ）中，A = 2 ，T=π，∴T＝π，ω=2π=2，2 2 T又f（x）的图象关于点（-π，0）对称，∴ωx+φ＝2×（-π）+φ＝kπ，12 12解得φ＝kπ+π，k∈Z，∴φ=π；6 6∴f（x）= 2 sin（2x+π）；6ππππ5π对于A，x∈[ ，]时，2x +∈[ ，]，f（x）是单调递减函数，错误．6 3 6 2 6对于B，x =5π时，f（5π）= 2 sin（2 ⨯5π+π）＝0，f（x）的图象不关于x =5π对称，错误；12 12 12 6 12对于C，x∈[ -π，π]时，2x +π∈[ -π，π]，sin（2x +π）∈[ -1，1]，f（x）的最小值为-2，6 6 6 6 2 6 2 2C 错误；对于D，y = 2 cos2x 向右平移π个单位，得y = 2 cos2（x -π）= 2 cos（2x -π）的图象，6 6 3且y= 2 cos（2x-π）= 2 cos（π-2x）= 2 sin（2x+π），∴正确；3 3 6故选D．7.（2020 黑龙江省大庆市）设函数f ( x) = ln(1 +x) - ln(1 -x) ，则f (x) 是( ) A．奇函数，且在（0,1）上是增函数B．奇函数，且在（0,1）上是减函数C．偶函数，且在（0,1）上是增函数D．偶函数，且在（0,1）上是减函数【答案】A1+x > 0【解析】由题意得，函数的定义域为{ ，解得-1 <x <1，1-x > 0又f (-x) = ln(1-x) - ln(1+x) =-[ln(1+x) - ln(1-x)] =-f (x) ，所以函数f (x )的奇函数，由f (x) = ln(1+x) - ln(1-x) = ln 1+x，令g (x)=1+x，又由0 <x <x < 1 ，则1-x 1-x 1 2g (x)-g (x)=1+x2 -1+x1 =2(x2 -x1 ) > 0 ，即，所以函数g (x)=1+x 为单调2 1 1-x 1-x (1-x )(1-x) 1-x2 1 2 1递增函数，根据复合函数的单调性可知函数f ( x) = ln(1 +x) - ln(1 -x) 在(0,1) 上增函数，故选A.8【2018河南豫南九校之间】定义在R上的函数f x，满足f x=x 2+2h x C0h1，且f x+1=2t x2h x C t1h0 f x t1，若g x=2x t3，则方程g x=f x在区间t1h⺁上所有实根之和为（）x t2A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】∵f x=x2+2h x C0h1，∴y=f(x)关于点(0，2)中心对称，将函数向右平移2个单位再向2t x2h x C t1h0右平移2 个单位，得到函数y=f(x)在[−1，5]上的图象，每段曲线不包含右端点(如图)，去掉端点后关于(2，2)中心对称．又∵g x=2x t3关于(2，2)中心对称，故方程f(x)=g(x)在区间[−1，5]上的根就是函数y=f(x)和y=g(x) x t2的交点横坐标，共有三个交点，自左向右横坐标分别为x1，x2，x3，其中x1和x3关于(2，2)中心对称，∴x1+x3=4，x2=1，故x1 + x2+x3=5，故选C．9.【2015 高考天津卷文】已知函数f (x)= sinωx + cosωx (ω> 0)，x ∈R ，若函数f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x)的图像关于直线x =ω对称，则ω的值为．【解析】解法一：因为f (x)= sinωx + cosωx (ω> 0)的递增区间长度为半个周期，所以由f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增，可得2ω≤π，所以0<ω≤π，又f (x)的图像关于直线x =ω对称，，且ω 2f(ω)=sinω2+cosω2=2⇒sin⎛ω2+π⎫=1⇒ω2+π=2kπ+π(k∈Z)，由0<ω≤π可得，4 ⎪ 4 2 2⎝⎭ω2+π=π⇒ω=π.4 2 2解法二：由 f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增可得，当 x ∈(-ω,ω)时，f '(x)=ωcosωx -ωsinωx =2ωcos ⎛ωx +π⎫≥ 0 恒成立，由ωx +π∈⎛-ω2+π,ω2+π⎫，可得，ω2+π≤π且ω2+π≥-π，4 ⎪ 4 4 4 ⎪ 4 2 4 2 ⎝⎭⎝⎭解得0 <ω≤π，又函数f (x)在区间(-ω,ω)内单调递增，且函数f (x)的图像关于直线x =ω对称，2所以f (ω)是f (x)的最大值，f(ω)=sinω2+cosω2=2⇒sin⎛ω2+π⎫=1⇒ω2+π=2kπ+π(k∈Z)，由0<ω≤π可得，4 ⎪ 4 2 2⎝⎭ω2+π=π⇒ω=π.4 2 210.已知函数f (x)与g (x)的定义域为R ，有下列5 个命题：①若f (x- 2)=f (2 -x)，则f (x)的图象自身关于直线y 轴对称；②y =f (x- 2)与y =f (2 -x)的图象关于直线x = 2 对称；③函数y =f (x+ 2)与y =f (2 -x)的图象关于y 轴对称；④f (x)为奇函数，且f (x)图象关于直线x =1对称，则f (x)周期为2；2⑤f (x)为偶函数，g (x)为奇函数，且g (x)=f (x-1)，则f (x)周期为2．。

第13题 函数的图象【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A B【2020年高考浙江】函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是考向2 图像与函数零点、方程的根以及函数图象的交点相结合【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．A ．()2ln x f x x =B ．()2ln x f x x= C ．()211f x x =- D ．()11f x x x=-【2017江西南昌二中高二下第一次阶段性测试】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=x(0<x<√3)，记点P的轨迹的长度为f(x)，则函数f(x)的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．1.（2020·湖北省高三）函数(22)sin x x y x -=-在[,]-ππ的图象大致为A ．B ．C ．D ．2.（2020湖南省邵阳市高二期末）已知函数()[)[]21,1,0cos ,0,12x x f x x x π⎧+∈-⎪=⎨∈⎪⎩，现给出下列四个函数及其对应的图象①(1)f x -图像 ； ②(1)f x -- ； ③()f x ； ④(||)f x .其中对应的图象正确的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③④ D ．①③3.（2020江西省信丰月考）已知f （x ）214x =+cos x ，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．4.（2020宁夏吴忠市）记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-，设函数，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,36.（重庆市2021届高三考试）习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为2km的正三角形空地（记为ABC）规划为公园，并用一条垂直于BC边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主.如图，//BC x轴，小路记为直线()02x m m=<<，小路右侧为健身休闲区，其面积记为()f m，则函数()S f m=的图像大致为（）A．B．C．D．8.（福建省厦门2021届高三）如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x =D ．()22x y x x e -= 10.【2017浙江杭州高级中学高三2月模拟】如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A．B．C．D．。

第10 题函数的最值和值域【解析】解：当 x = 0 时， f ( x ) = 0 ；| f ( x ) |= 3 | x | = 3≤3=3= 1当 x ≠ 0 时，x 2 + 9 | x | + 9 92 9 2 ，| x | 2 x ⋅ x当且仅当 x = 9 ，即 x = 3 时取等号，x综上可得 f ( x ) = 1 ，即a = 1. max2 2 由题意知 x 2- x + b < 1 在 x ∈[0, 2) 上恒成立，2 即 x 2 - x + b - 1< 0 在 x ∈[0, 2) 上恒成立.2 令ϕ( x ) = x 2 - x + b - 1， x ∈[0, 2) ，2则ϕ( x ) <ϕ(2) ，则4 - 2 + b - 1≤ 02 即b ≤ - 3.2故选：C.2.（2020 安徽省六安市）已知函数 f (x ) = x + 1 - 2x ，则函数 f (x ) 有（）A ．最小值 1，无最大值B ．最大值 1，无最小值22C ．最小值 1，无最大值D ．最大值 1，无最小值【答案】D【解析】∵函数 f (x ) 的定义域为(-∞, 1] .21- t 2设t = 1- 2x ，则t ≥ 0 ， 且 x =， 2 1- t 2 1 2∴ f (x ) = g (t ) = + t = - (t -1) +1, t ≥ 0 ，2 2∴g (t ) ≤ g (1) = 1 .∴函数 f (x ) 的最大值 1，无最小值.故选：D.3.（2020 江西省赣州市）已知点(a , b )(a , b > 0) 在直线2x + y - 4 = 0 上，则A ．6B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】由题意知 2a + b = 4 ，所以 1 + 2 = 1 1 + 2 ⎪ (2a + b ) = 1 2+ b + 4 a + 2⎪ ≥ 1(4+ 2 4 )= 2 . ⎛ ⎫ ⎛ ⎫ a b 4 ⎝ a b ⎭ 4 ⎝ a b ⎭ 4b 4a ⎧a = 1 当且仅当 = ，即⎨ 时，等号成立.a b ⎩b = 2故选:D1 +2 a b 的最小值为（）4.函数 f (x ) = -3 + 4x 的值域是（ ）5 - 2xA ． (-∞, 2) (2, +∞)B ．(-∞, -2) (-2, +∞) C ． ⎛-∞,5 ⎫ ⋃⎛ 5 , +∞⎫ D ．R2 ⎪ 2 ⎪ ⎝⎭ ⎝ ⎭【答案】B【解析】 f (x ) = -3 + 4x= - 4x - 3 = - 4x -10 + 7 = -2 + 7，∴ f (x ) ≠ -2 ，值域为 5 - 2x 2x - 5 2x - 5 2x - 5(-∞, -2) ⋃(-2, +∞) ．4 + x + x 25.函数 y = ( x > 0) 的最小值是（）1+ x10 A ．3B ．4C ．D ．63【答案】A4 + x + x 2(x +1)2 -(x +1) + 4 44 【解析】函数 y = = = x +1+ -1,令t = x +1，t >1，则y = t + - 1, 1+ x x +1 x +1t令 g (t ) = t + 4-1，则 g (t )的定义域为(-∞, 0) (0, +∞) ，设0 < t < t ，则 t1 2g (t ) - g (t ) = ⎛ t + 4 -1⎫ -⎛ t + 4 -1⎫ = (t - t ) (t 2t 1 - 4) ，1 2 1 t ⎪ 2 t ⎪ 1 2 t t⎝ 1 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1 2当0 < t 1 < t 2 < 2 时，g (t 1 ) - g (t 2 ) > 0 ，当 2 < t 1 < t 2 时， g (t 1 ) - g (t 2 ) < 0 ，所以 g (t ) 在(0, 2)上单调递减，在(2, +¥ )上单调递增，因为 g (t ) 是定义域为(-∞, 0)(0, +∞) 的奇函数，所以 g (t ) 在(-2, 0)上单调递减，在(-∞, -2) 上单调递增，所以 y = t + 4- 1在(1, 2] 上为减函数,在[2, +∞) 上为增函数,t4 4+ x + x2故当t = 2 时, y = 2 + 2 - 1=3 ,所以函数 y =1+ x(x > 0)取最小值3 ,故选：A.6.函数 f ( x ) = 2x - 3 - -x 2 + 6x - 8 的值域是()A ． ⎡3 - 5, 5⎤B ． [1,5]C ．⎡2, 3 + ⎣ ⎦⎣5 ⎤ ⎦D ． ⎡3 - ⎣5, 3 + 5 ⎤ ⎦【答案】A【解析】由f (x)= 2x -3 --x2 + 6x -8 = 2x - 3 - 1-(x -3)2 ，知-x2+6x-8≥0，解得x ∈[2, 4].令t = 2x - 3 - 1-(x -3)2 ，则1-(x -3)2 = 2x -3 -t .，即为y = 1-(x - 3)2 和y = 2 x- 3 -t 两函数图象有交点，作出函数图象，如图所示：由图可知，当直线和半圆相切时t 最小，当直线过点A(4,0)时，t 最大.3 - t当直线和半圆相切时，=1，解得t = 3 ± 5 ，由图可知t = 3 - 5 .1+ 4当直线过点 A(4,0)时， 2⨯ 4 - 3 -t = 0 ，解得t = 5 .所以t ∈⎡3 - 5, 5⎤，即 f (x)∈⎡3 - 5, 5⎤.⎣⎦⎣⎦故选A.⎧g(x) +x + 4, x <g(x)7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f (x) =⎨，则f(x)的值域是( )⎩g(x) -x, x ≥g(x)9 9 9A．[-,0] ∪(1，＋∞) B．[0，＋∞) C．[-,+∞) D．[-,0] ∪(2，＋∞)4 4 4【答案】C【解析】由x＜g(x )可得x＜－1 或x＞2，由x≥g(x)，即－1≤x≤2 时，⎧x2 +x + 2, x ∈(-∞,-1) (2,+∞)∴f (x) =⎨，如图，由f(x)得图像可得：当x＜－1 或x＞2 时，f(x)⎩x2 -x - 2, x ∈[-1,2]1 9 9＞2；当－1≤x≤2 时，f ( ) ＜f(x)≤f(2)⇔-≤f(x)≤0，所以f(x)的域为[-,0] ∪(2，＋∞)，故选D．2 4 42x 2 + 4x - 78.求函数y =的值域．x 2 + 2x + 3。

第31题三角函数的图象（2020•新全国1山东）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （）A.πsin(3x+） B.πsin(2)3x- C.πcos(26x+）D.5πcos(2)6x-已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】B【解析】根据函数()()20,0y sin x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得125,2221212T πππωω=⋅=+∴=，再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C ．考向5 三角恒等变换、图象平移与函数性质相结合如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ． 8B ． 8πC ． 4πD ．2π【答案】B【解析】由题意知2=OP ，PN PM ⊥，∴2==ON OM ；∴函数的周期为16，即8πω=，选B ．3 =，24.（2020·河南洛阳）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，记关于x 的方程()f x =()21t t -<<-在区间5π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有解的和为θ，则tan θ=（ ）A ．33-B ．33 C ．3-D ．tan 2t【答案】B【解析】由图可知，2A =， 再把点()0,3代入可得2sin 3ϕ=，所以3sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，由五点作图法原理可得πππ33ω⋅+=，所以2=ω， 故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 当5π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2,2π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，8.（2020·全国）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是__________．【答案】()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【解析】根据函数图象得函数的最大值为2，得2A =，又∵函数的周期35,4123T T πππ⎛⎫=--∴= ⎪⎝⎭，利用周期的公式，可得2ω=，将点5212（，）π 代入，得：522212sin πϕ=⨯+（）， 结合2πϕ<，可得3πϕ=-， 所以()f x 的解析式是()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）求A ，ω，ϕ的值；（2）先将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数()y g x =的图象，若函数()()()h x f x g x =+在[]0,m 上单调递增，求m 的取值范围.【答案】（1）2A =，2ω=，π3ϕ=；（2）5π0,24⎛⎤⎥⎝⎦. 【解析】（1）由图可知2A =，ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2πω==.将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入()f x ，得()ππ2π62k k ϕ+=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π3ϕ=.（2）()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()ππ2cos 243g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()πππ2sin 22cos 222sin 23312h x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为[]0,x m ∈，所以πππ2,2121212x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， 所以πππ212122m <+≤，即5π024m <≤，10.（2020·湖北）将函数(()Asin A 0,0,0())f x x ωωϕϕπ>><<=+的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．已知()g x 的部分图象如图所示，且4OM ON →→=．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()3()(2)24h x f x g x π=+-，求()h x 在,168ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）()2cos8f x x =；（2）3,2⎡⎤-⎣⎦．【解析】（1）由题可知，()sin 26g x A x ωωπϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．由图可知，2A =．因为4OM ON →→=， 所以3||464TMN π=⨯=． 则2822T ππωω==⇒=。