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成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测数学（文科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|11}P x x =-<，{|12}Q x x =-<<，则PQ =（ ）A ．1(1,)2- B ．(1,2)- C ．(1,2) D ．(0,2)2.已知向量(2,1)a =，(3,4)b =，(,2)c k =.若(3)//a b c -，则实数的值为（ ） A ．8- B ．6- C ．1- D ．3.若复数满足3(1)12i z i +=-，则z 等于（ ）A ．2 B ．32 C ．2 D ．124.设等差数列{}n a 的前项和为n S .若420S =，510a =，则16a =（ ） A ．32- B ．12 C ．16 D ．325.已知m ，是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥6.在平面直角坐标系中，经过点P ）A ．22142x y -=B ．221714x y -=C ．22136x y -= D ．221147y x -= 7.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图象如图所示.现将函数()f x 图象上的所有点向右平移4π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()2sin(2)4g x x π=+B ．3()2sin(2)4g x x π=+C ．()2cos 2g x x =D ．()2sin(2)4g x x π=-8.若为实数，则“2x ≤≤”是“223x x+≤≤”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．3B ．CD ．24π 10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为56，则判断框中的条件可以是（ ）A ．7?n ≤B ．7?n >C ．6?n ≤D ．6?n >11.已知数列{}n a 满足：当2n ≥且*n N ∈时，有1(1)3n n n a a -+=-⨯.则数列{}n a 的前200项的和为（ ）A ．300B ．200C ．100D ． 12.已知函数()1ln m f x n x x =--(0,0)m n e >≤≤在区间[1,]e 内有唯一零点，则21n m ++的取值范围为（ ）A ．22[,1]12e e e e ++++ B ．2[,1]12e e ++C ．2[,1]1e +D ．[1,1]2e +第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知132a =，231()2b =，则2log ()ab = ．14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各500名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为 ．15.已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线与轴的交点为A ，P 是抛物线C 上的点，且PF x ⊥轴.若以AF 为直径的圆截直线AP 所得的弦长为，则实数p 的值为 ． 16.已知函数21()cos 2f x x x =--，则不等式(1)(13)0f x f x +--≥的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()cos 22x x f x =21cos 22x -+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，1()2f A =，a =sin 2sin B C =，求.18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送骑行券.用户可以将骑行券用于骑行付费，也可以通过APP 转赠给好友.某用户共获得了张骑行券，其中只有张是一元券.现该用户从这张骑行券中随机选取张转赠给好友，求选取的张中至少有张是一元券的概率. 参考数据：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19.如图，D 是AC 的中点，四边形BDEF 是菱形，平面BDEF ⊥平面ABC ，60FBD ∠=，AB BC ⊥，AB BC ==（1）若点M 是线段BF 的中点，证明：BF ⊥平面AMC ； （2）求六面体ABCEF 的体积.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左顶点为A ，上顶点为(0,1)B ，1ABF ∆的面积为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线：(1)y k x =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，P 是线段MN 的中点.若经过点2F 的直线m 与直线垂直于点Q ，求1PQ FQ ⋅的取值范围. 21.已知函数()ln 1f x x x ax =++，a R ∈.（1）当时0x >，若关于的不等式()0f x ≥恒成立，求的取值范围； （2）当(1,)x ∈+∞时，证明：(1)ln xe x x e-<2x x <-. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
四川省成都七中2015届高三零诊模拟考试（文） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R xD. 0||,2000≥+∈∃x x R x【知识点】命题的否定．【答案解析】C 解析 ：解：∵命题0||,2≥+∈∀x x R x 是全称命题， ∴命题0||,2≥+∈∀x x R x 的否定是：0||,2000<+∈∃x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则AB =（ ）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3) D.(1,4)【知识点】交集及其运算．【答案解析】B 解析 ：解：{||1|2}A x x =-<={x 丨﹣1＜x ＜3}， {|2,[0,2]}x B y y x ==∈={y|1≤y ≤4}，则A ∩B={x|1≤y ＜3}，故选：B【思路点拨】求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ） A ．2ρ= B.2θπ= C. cos 2ρθ= D.sin =2ρθ 【知识点】极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解.【答案解析】D 解析 ：解：先将极坐标化成直角坐标表示，22(,)π化为（2,0）， 过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即ρsin θ=2. 故选：D ．【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可．4.已知实数,x y 满足(01)x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+ D. 221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．【答案解析】A 解析 ：解：∵实数x ，y 满足a x ＜a y （0＜a ＜1），∴x ＞y ，A ．当x ＞y 时，x 3＞y 3，恒成立，B ．当x=π，y=时，满足x ＞y ，但sinx ＞siny 不成立． C ．若ln （x 2+1）＞ln （y 2+1），则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立．D ．若＞，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立．故选：A ．【思路点拨】不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质依此判断即可.5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【知识点】由三视图还原实物图．菁优【答案解析】D 解析 ：解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形．故选D ．【思路点拨】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案．6. 下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）A ．()sin =f x xB ．()sin cos =f x x xC ．()cos =f x xD ．22()cos sin =-f x x x【知识点】抽象函数及其应用；函数的奇偶性；函数的周期性．【答案解析】D 解析 ：解：对于任意x ∈R ，f （x ）满足()()f x f x =-， 则函数()f x 是偶函数，选项中，A ，B 显然是奇函数，C ，D 为偶函数， 俯视图侧（左）视图正（主）视图又对于任意x ∈R ，()f x 满足(π)()f x f x -=，则(π)()f x f x +=，即f （x ）的最小正周期是π，选项C 的最小正周期是2π，选项D 22()cos sin =cos2f x x x x =-其最小正周期是22ππ= 故同时满足条件的是选项D ．故选D ． 【思路点拨】由()f x 满足()()f x f x =-，根据函数奇偶性的定义得()f x 为偶函数，将选项A ，B 排除，因为它们是奇函数，再由()f x 满足(π)()f x f x -=推出函数的最小正周期是π，由三角函数的周期公式得选项D 符合．7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【知识点】程序框图．【答案解析】D 解析 ：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M= 11×2＝2，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M= 22×2＝2，S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D ．【思路点拨】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.2【知识点】线性规划的简单应用【答案解析】B 解析 ：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=2x-y 得y=2x-z ，平移直线y=2x-z ，由图象可知当直线y=2x-z 经过点C 时，直线y=2x-z 的截距最小，此时z 最大．由70310x y x y +--+⎧⎨⎩＝，＝解得52x y ⎧⎨⎩＝，＝即C （5，2） 代入目标函数z=2x-y ，得z=2×5-2=8．故选：B ．【思路点拨】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y 可得-z 表示直线z=2x-y 在直线上的截距，截距-z 越小，z 越大，利用数形结合可求z 的最大值9． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个【知识点】新定义.【答案解析】C 解析 ：解：分以下两种情况讨论：（1）点P到其中两个点的的距离相等，到另外两个点的距离分别相等，且这两个距离相等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的的距离相等，到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点；综上，满足题意的点共计10个，故答案选C.【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可.10. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是( ) A.12【知识点】抛物线的基本性质；直线与抛物线的位置关系.【答案解析】B 解析 ：解：由题意可知，抛物线的准线方程为1x =-，()1,0A -， 如图，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，B AD C . P由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：1y k x =+（），所以214y k x y x =+⎧⎨=⎩（）， 解得：2222240k x k x k +-+=（）， 所以2242440k k ∆=--=（），解得1k =±，所以45NPA ∠=︒，||||PF PA = cos NPA ∠ =2． 故选B ．【思路点拨】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+=,|a b |-=,则a b ⋅=【知识点】平面向量数量积的运算．【答案解析】1 解析 ：解：∵|a b |+=|a b |-=∴分别平方得2222210,26,a a b b a a b b +⋅+=-⋅+=两式相减得44a b ⋅=， 即1a b ⋅=，故答案为：1．【思路点拨】将等式进行平方，相加即可得到结论． 12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B =【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】4解析 ：解：∵C 为三角形的内角，cosC=， ∴sinC==， 又a=1，b=2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC 得：c 2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2， ∴由正弦定理=得：sinB===． 故答案为： 【思路点拨】由C 为三角形的内角，及cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，再由a 与b 的值，利用余弦定理列出关于c 的方程，求出方程的解得到c 的值，再由sinC ，c 及b 的值，利用正弦定理即可求出sinB 的值．13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-a y x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = 【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 【答案解析】14解析 ：解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8． 取M （1，4），则AM 的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=． 故答案为：．【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M （1，4），由AM 的斜率可求出a 的值．【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用．14.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 . 【知识点】几何概型． 【答案解析】112π+ 解析 ：解：由已知得半圆（a ＞0） 则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x 轴夹角小于的平面区域面积为：S 1=故原点与该点的连线与x 轴夹角小于的概率P===故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x 轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案．【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列5个命题：①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y =②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan =⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =其中正确的是 _(写出所有正确命题的编号)【知识点】命题的真假判断与应用；曲线与方程．【答案解析】C 解析 ：解：对于①，由2x y =，得y ′=2x ，则00|x y ='=，直线y=0是在点P （0，0）的曲线C 的切线，但2x y =恒在直线y=0上方，∴命题①错误；对于②，由21y x =+（），得21y x '=+（），则10|x y =-'=，而直线l ：x=-1的斜率不存在，在点P （-1，0）处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由y=sinx ，得y ′=cosx ，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭时x ＜sinx ，x ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时x ＞sinx ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题③正确；对于④，由y=tanx ，得y ′＝21cos x，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭时tanx ＜x ，x ∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时tanx ＞x ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题④正确；对于⑤，由y lnx =，得y ′＝1x，则11|x y ='=，曲线在P （1，0）处的切线为1y x =-， 由g （x ）=x-1-lnx ，得()g x '＝1−1x ，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0．∴g （x ）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g （1）=0．∴1y x =-恒在y lnx =的上方，不满足曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误．∴正确的命题是③④．故答案为：③④．【思路点拨】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii ），则正确的选项可求．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每题12分，20题13分，21题14分）16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=． （Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值；（Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【答案解析】（Ⅰ）定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．最大值为1x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k p p ?，k ∈Z }． 解析 ：解：（Ⅰ） cos x ≠0知2x k p p ?，k ∈Z ， 即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分又∵ x x x x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-= )2cos 2(sin 1x x +-=)42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ． ……………………………………………………………8分（Ⅱ）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)4πx +≤解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ， 整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ． 结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为 {x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k p p ?，k ∈Z }．……………………………12分 【思路点拨】（1）根据函数f （x ）的解析式可得cosx ≠0，求得x 的范围，从而求得函数f （x ）的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f （x）的解析式为1)4πx +，从而求得函数的最大值．（2）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)4πx +≤，解得x 的范围，再结合函数的定义域，求得满足f （x ）≥0 的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图．【答案解析】（Ⅰ）应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.（Ⅱ）概率为3.5 解析 ：解：第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),( A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2), 第（17）题图(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 2,B 1), (A 2,B 2), (A 3,B 1), (A 3, B 2), (B 1,B 2), (B 1,C 1), (B 2,C 1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分 【思路点拨】Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案； （Ⅱ）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名志愿者被抽中有9种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．18 如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试数学(文科)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、 已知向量a ＝(5,－3),b ＝(－6,4),则a b +＝A 、(1,1)B 、(－1,－1)C 、(1,－1)D 、(－1,1) 【答案】D【解析】根据向量坐标运算法则,a b +＝(5,－3)＋(－6,4)＝(－1,1),选D 2、 设全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},T ＝{4},则()U S T ð等于A 、{2,4}B 、{4}C 、ΦD 、{1,3,4}【答案】A【解析】因为全集U ＝{1,2,3,4},集合S ＝{1,3},故U S ð＝{2,4},于是()U S T ð＝{2,4},选A3、 已知命题:,25xp x R ∀∈=,则p ⌝为A 、,25xx R ∀∉=B 、,25xx R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题,以及否命题的特征,可知选D 4、 计算662log 3log 4+的结果是A 、6log 2B 、2C 、6log 3D 、3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==,选B5、 已知实数x ,y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则z ＝4x ＋y 的最大值为A 、10B 、8C 、2D 、0 【答案】B【解析】画出可行域,根据图形可知,当目标函数经过A(2,0)点时,z ＝4x ＋y 取得最大值为8 6、 已知,a b 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是A 、若//,a b b α⊂,则//a αB 、若//,a b αα⊂,则//a bC 、若,a b αα⊥⊥,则//a bD 、若,a b b α⊥⊥,则//a α【答案】C【解析】对于A,当//,a b b α⊂时,可能有a α⊂,故A 错误；对于B,//a α时,不能保证a 与α内任意的直线平行,故B 错误； 对于C,垂直于同意平面的两条直线相互平行,故C 正确； 对于D,当,a b b α⊥⊥时,可能有a α⊂,故D 错误7、 PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,一般情况下PM 2.5的浓度越大,大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM 2.5浓度读数(单位：3/g m μ),则下列说法正确的是A 、这10日内甲、乙监测站读数的极差相等B 、这10日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大C 、这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等D 、这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【答案】C【解析】甲的极差是98－43＝55,乙的极差是94－37＝57,两者不相等,A 错误； 甲的中位数是73752+＝74,乙的中位数是68,甲的中位数较大,B 错误；乙的众数为68,与中位数相同,C 正确；甲的平均数是(43＋63＋65＋72＋73＋75＋78＋81＋86＋98)×110＝73.4乙的平均数是(37＋58＋61＋65＋68＋68＋71＋77＋82＋94)×110＝68.1,可知D 错误8、 已知函数()cos f x x x ωω+(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π,则()f x 的单调递减区间是 A 、2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦B 、,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦C 、42,2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦D 、52,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎣⎦【答案】A【解析】因为()cos 2sin()6f x x x x πωωω+=+最小值为－2,可知y ＝－2与f(x)两个相邻公共点之间的距离就是一个周期,于是2T ππω==,即ω＝2,即()2sin(2)6f x x π=+令322,2622x k k πππππ⎡⎤+∈++⎣⎦,k ∈Z,解得x ∈2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎣⎦,选A9、 已知双曲线22221y x a b-=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相交于A,B 两点,若|AB|=2,则该双曲线的离心率为A 、8B 、C 、3D 、32【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=,因为圆心为(3,0),半径为3,由|AB|＝2,可知圆心到直线AB 的距离为解得228b a =于是3c a所以,3c e a==,选C10、已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4,且当x ∈(－1,3]时,f (x )＝2,(1,1]1cos ,(1,3]2x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩,则函数6()()log g x f x x =-的零点个数是A 、4B 、5C 、6【答案】B【解析】由函数的周期为4画出f(x)的草图如图,其中函数y ＝log 6x 递增且经过(6,1)点 函数g(x)的零点,即为y ＝f(x)与y ＝log 6x 的交点 结合图象可知,它们共有5个交点,选B二、填空题：本大题共5个小题,每小题5分,共25分. 11、已知(0,)2πα∈,4cos 5α=,则sin()πα-=_____________.【答案】35【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sin α3512、如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是____________【答案】12【解析】该几何体是一个直三棱柱,底面是等腰直角三角形体积为12262V =⨯⨯⨯＝1213、当1x >时,函数11y x x =+-的最小值是_______________.【答案】3【解析】因为1x >,11(1)11311y x x x x =+=-++≥=--,当且仅当111x x -=-,且x ＞1,即x ＝2时等号成立,故函数y 的最小值为314、运行如图所示的程序框图,则输出的运算结果是_____________【答案】45【解析】因为211(1)i i i i =++第一次进入循环,运算后S ＝12,i ＝1＜4第二次进入循环,运算后S ＝111223+⨯⨯,i ＝2＜4第三次进入循环,运算后S ＝111122334++⨯⨯⨯,i ＝3＜4第四次进入循环,运算后S ＝111112233445+++⨯⨯⨯⨯,i ＝4≥4跳出循环输出S ＝11111411223344555+++=-=⨯⨯⨯⨯15、已知x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,记a 的所有可能取值构成集合A ；P (x ,y )是椭圆221169y x +=上一动点,111(,)P x y 与点P 关于直线y ＝x ＋1对称,记114y -的所有可能取值构成集合B ,若随机的从集合A ,B 中分别抽出一个元素12,λλ,则12λλ>的概率是___________【答案】34【解析】由x y a =(a ＞0且a ≠1)是定义在R 上的单调递减函数,知A ＝(0,1)对于椭圆221169y x +=,由于原点关于y ＝x ＋1的对称点为(－1,1) 所以,椭圆关于y ＝x ＋1的对称椭圆为22(1)(1)1169y x -++=,111(,)P x y 在改椭圆上,可知y 1－1∈[－4,4] 于是114y -∈[－1,1],即B ＝[－1,1]【方法一】由12,A B λλ∈∈,分别以12,λλ为横坐标和纵坐标, 可知点(12,λλ)构成一个面积为2的矩形 其中满足12λλ>的是图中阴影部分,面积为32所以,满足12λλ>的概率是34【方法二】当12,[1,0]A λλ∈∈-时,此事件发生的概率为12,此时必有12λλ>当12,(0,1]A λλ∈∈时,此事件发生的概率为12,此时12λλ>与12λλ≤概率相等,各占12,于是此时满足12λλ>的概率为14以上两事件互斥,且[－1,0]与(0,1]的区间长度相等,故满足12λλ>的概率为311244+=三、解答题：本大题共6个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16、(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且*273,49,a S n N ==∈ (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1(1)2n n n a b n -+⋅=,求数列{}n b 的前n 项和T n .【答案】(1)21n a n =-;(2)122n n T +=-1【解析】(1)设公差为d ,则113767492a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ……3分解得：{112a d == ∴*1(1)21()n a a n d n n N =+-=-∈所以数列{}n a 的通项公式为*21()n a n n N =-∈;……6分 (2)由(1)得11(1)2(211)22n n n n n a n b n n --+⋅-+⋅===……9分 ∴11*(1)2(12)22()112n n n n b q T n N q +--===-∈--……12分17、(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知向量(,)m a b c a =--,(,)n a b c =+,且0m n ⋅=(1)求角B 的大小；(2)求函数()sin()6f x A π=+的值域.【答案】(1)3B π=；(2)1(,1]2【解析】(1)由0m n ⋅=,得222a c b ac +=+根据余弦定理,有2221cos 22a cb B ac +-== ……4分 又因为(0,)2B π∈,所以3B π=；……6分(2)由(1)得2(0,)33A C πππ=--∈∴5(,)666A πππ+∈……8分∴1sin()(,1]62A π+∈∴函数()sin()6f x A π=+的值域为1(,1]2……12分18、(本小题满分12分)某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况,对该地区内所有高二学生采用随机抽样的方法,得到一个容量为200的样本.统计数据如下：(1)已知该地区共有高二学生42500名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认为作业不多的人有多少名？(2)在A ,B ,C ,D ,E ,F 六名学生中,仅有A ,B 两名学生认为作业多.如果从这六名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率. 【答案】(1)7650名；(2)35【解析】(1)36425007650200⨯=(名)……5分(2)【方法一】从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有：{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F },{C ,D },{C ,E },{C ,F },{D ,E },{D ,F },{E ,F }共15个 ……7分其中至少有一个学生认为作业多的事件有{A ,B },{A ,C },{A ,D },{A ,E },{A ,F },{B ,C },{B ,D },{B ,E },{B ,F }共9个 ……9分 ∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法二】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中至少有一名学生认为作业多的选法有112242C C C +＝9种,……9分∴93155P ==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分 【方法三】6名学生中随机抽取2名的选法有2615C =种, ……7分 其中没有人认为作业多的选法有246C =种……9分∴693115155P =-==即至少有一名学生认为作业多的概率为35.……12分19、(本小题满分12分)如图,已知O 的直径AB ＝3,点C 为O 上异于A ,B 的一点,VC ⊥平面ABC ,且VC ＝2,点M 为线段VB 的中点. (1)求证：BC ⊥平面VAC ；(2)若AC ＝1,求直线AM 与平面V AC 所成角的大小.【答案】(1)略；(2)4π【解析】(1)∵VC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴VC BC ⊥……2分 ∵点C 为O 上一点,且AB 为直径 ∴AC BC ⊥……4分又,VC AC ⊂平面VAC ,VC AC C =∴BC ⊥平面VAC ； ……6分 (2)如图,取VC 的中点N,连接MN,AN,则MN ∥BC 由(1)得,BC ⊥平面V AC ∴MN ⊥平面V AC∴∠MAN 为直线AM 与平面V AC 所成的角 ……9分∵12MN BC ===A N∴tan 1MAN ∠= ∴4MAN π∠=∴直线AM 与平面V AC 所成角的大小为4π……12分20、(本小题满分13分)已知椭圆Γ：22221yx a b+=(a ＞b ＞0)经过)两点.(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于不同两点A ,B ,点G 是线段AB 中点,点O 是坐标原点,设射线OG 交Γ于点Q ,且2OQ OG =. ①证明：22441m k =+ ②求△AOB 的面积.【答案】(1)2214x y +=；【解析】(1)由题意,得222411314a ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩∴轨迹Γ的方程为2214x y +=；……5分(2)①令1122(,),(,)A x y B x y 由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=……6分∴2221222122(8)4(14)(44)08144414km k m km x x k m x x k ⎧⎪=-+->⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+△,即221222122148144414m k km x x k m x x k ⎧⎪<+⎪⎪-+=⎨+⎪-⎪=⎪⎩+……(1) ∴121222(8)2()221414k km m y y k x x m m k k -+=++=+=++ 又由中点坐标公式,得224(,)1414km m G k k-++ 将2282(,)1414kmm Q k k -++代入椭圆方程,有22222221641(14)(14)k m m k k +=++ 化简得：22414m k =+……(2) ……9分②由(1)(2)得0m ≠且12||x x -(3)在△AOB 中,121||||2AOB S m x x =-△ (4)……12分∴由(2)(3)(4)可得AOB S △∴△AOB……13分21、(本小题满分14分)已知函数21()ln 3f x ax bx x =--,其中a ,b ∈R(1)当a ＝3,b ＝－1时,求函数f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为2x －3y －e ＝0(e ＝2.71828…为自然对数的底数),求a,b 的值；(3)当a ＞0,且a 为常数时,若函数h (x )＝x [f (x )＋lnx]对任意的x 1＞x 2≥4,总有1212()()1h x h x x x ->--成立,试用a 表示出b 的取值范围.【答案】(1)3ln 24+；(2)11,a b e e==-；(3)1016a <<时,(b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+【解析】(1)当a ＝3,b ＝－1时,2()ln ,(0,)f x x x x x =+-∈+∞∴1(21)(1)'()21x x f x x x x -+=+-=∵x ＞0,∴0＜x ＜12时f '(x)＜0,x ＞12时,f '(x)＞0即()f x 在1(0,)2上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增∴()f x 在12x =处取得最小值即[]min 13()()ln 224f x f ==+……4分(2)∵21'()3f x ax b x =--∴212'()33f e ae b e =--= (1)又切点(e,f(e))在直线2x －3y －e ＝0上 ∴切点为(,)3e e∴21()133ef e ae be =--=……(2) 联立(1)(2),解得11,a b e e==-.……8分(3)由题意,对任意的x 1＞x 2≥4,总有112212[()][()]0h x x h x x x x +-+>-成立令321()(),[4,)3p x h x x ax bx x x =+=-+∈+∞则函数p(x)在[4,)x ∈+∞上单调递增∴2'()210p x ax bx =-+≥在[4,)x ∈+∞上恒成立∴2112ax b ax x x+≤=+在[4,)x ∈+∞上恒成立 ……10分构造函数1()(0),(0,)F x ax a x x=+>∈+∞则22211'()ax F x a x x-=-=∴F (x )在(0,上单调递减,在,)+∞上单调递增(i )4>,即1016a <<时,F (x )在[4,上单调递减,在,)+∞上单调递增∴[]min ()F x F ==∴[]min 2()b F x ≤,从而(b ∈-∞……12分(ii )4,即116a ≥时,F (x )在(4,＋∞)上单调递增12(4)44b F a ≤=+,从而1(,2]8b a ∈-∞+……13分综上,当1016a <<时,(,b ∈-∞,116a ≥时,1(,2]8b a ∈-∞+……14分。
四川省成都七中实验学校2015届高三零诊模拟训练数学试题第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}210A x x =-≥，集合{}10B x x =-≤，则()U C A B =I （ ） A ．{}1x x ≥ B ．{}11x x -<< C ．{}11x x <-<≤ D ．{}1x x <- 解析：{}210A x x =-≥={}11x x x 或≥≤-，∴U C A ={}11x x -<<， 又{}10B x x =-≤={}1x x ≤，∴ ()U C A B =I {}11x x -<< 答案B 2. 下列四种说法中，正确的是 （ C ） A ．}{1,0A =-的子集有3个；B ．“若22,am bm a b <<则”的逆命题为真；C ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件；D ．命题“x R ∀∈，均有2320x x --≥”的否定是 “,x R ∃∈使得2320x x --≤ 3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．244π+ B ．166π+C ．242π+D ．164π+由三视图知，该几何体是由两个半径为1的半球和一个棱长为2正方体组成，表面积为42262242S πππ=+⨯⨯-=+，选C ．4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果k =( B )A. 4B. 5C. 6D. 75.函数3,0(),0-+<⎧=⎨≥⎩x x a x f x a x (01)a a >≠且是R 上的减函数，则a 的取值范围是( B )A ．()0,1B ．1[,1)3C ．1(0,]3D ．2(0,]3解:据单调性定义，()f x 为减函数应满足：0013a a a <<⎧⎨≥⎩即113a ≤<. 答案B 6. 已知向量()()ABC BC AB ∆︒︒=︒︒=则,45sin ,30cos ,120sin ,120cos 的形状为 ( C )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ． 钝角三角形D ．锐角三角形()()cos120,sin120cos30,sin 45=cos120cos30+sin120sin 45AB BC ⋅=︒︒⋅︒︒︒︒︒︒1=02->，所以ABC ∠为钝角 答案C7. 设,m n 为空间的两条不同的直线，,αβ为空间的两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若,m m αβ⊥⊥，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若,m n αα⊥⊥，则m ∥n ． 上述命题中，所有真命题的序号是 （ D ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8．某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为3万元，每件乙产品的利润为2万元，且甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工．在每台设备A 、每台设备B 上加工1件甲产品所需工时分别为1h 和2h ，加工1件乙产品所需工时分别为2h 和1h ，A 设备每天使用时间不超过4h ，B 设备每天使用时间不超过5h ，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是 ( D )A ．18万元B . 12万元C . 10万元D .8万元9. 若()sin(2)f x x b ϕ=++, 对任意实数x 都有()()3f x f x π+=-，2()13f π=-,则实数b 的值为 （ A ）A ．2-或0B ．0或1C ．1±D ．2±解：由()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得()f x 关于直线6x π=对称，因为213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭且函数周期为π，所以21163f f b ππ⎛⎫⎛⎫=-==±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2b =-或0b =10. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当 6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ A ）A ．3 B.2 C.332 D.2 解:设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c cc e e=+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e +=，整理得42430e e-+=，解得23e =，所以e ，，选A.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5题,每小题5分,共25分．答案填在答题卡上． 11. 设{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则2014a =22017=n a 12. 已知a b>，且1ab =，则221a b a b++-的最小值是 . 13．有一个内接于球的四棱锥P ABCD －，若PA ABCD ⊥底面，2BCD π∠=，2ABC π∠≠，BC ＝3，CD ＝4，PA ＝5，则该球的表面积为________．解： 由∠BCD ＝90°知BD 为底面ABCD 外接圆的直径，则2r ＝32＋42＝5.又∠DAB ＝90°⇒PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，BA ⊥AD .从而把PA ，AB ，AD 看作长方体的三条棱，设外接球半径为R ，则(2R )2＝52＋(2r )2＝52＋52， ∴4R 2＝50，∴S 球＝4πR 2＝50π.14.已知函数221,(20)()3,(0)ax x x f x ax x ⎧⎪⎨⎪⎩++-<≤=->有3个零点，则实数a 的取值范围是 .解:因为二次函数最多有两个零点，所以函数必有一个零点，从而0a >，所以函数3(0)y ax x =->221(20)y ax x x =++-< 必有两个零点，故需要()()22022000440a f f a ìïï-<-<ïïïïï->íïï>ïïïï=->ïîV ，解得34a < 答案 3(,)4+∞15．下列命题正确的有___________.①已知A,B 是椭圆+=22134x y 的左右两顶点, P 是该椭圆上异于A,B 的任一点,则⋅=-34AP BP k k .②已知双曲线-=2213y x 的左顶点为1A ,右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点,则⋅12PA PF 的最小值为－2.③若抛物线C :=24x y 的焦点为F ，抛物线上一点(2,1)Q 和抛物线内一点(2,)R m >(1)m ，过点Q 作抛物线的切线1l ，直线2l 过点Q 且与1l 垂直，则2l 平分∠RQF ；④已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,'=->>(1)0,()()0(0)f xf x f x x , 则不等式>()0f x 的解集是-+∞(1,0)(1,).答案 （2） （3） （4）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且222823ABC b c a S ∆+-=（其中ABC S ∆为△ABC 的面积）．（1）求2sin cos 22B CA ++；（2）若2b =，△ABC 的面积为3，求a ．解析：（1）由已知得A bc A bc sin 21382cos 2⨯=即0sin 4cos 3>=A A 53sin =∴A 54cos =A212cos cos 22cos 2cos 12cos 2sin 22-+=++=++A A A A A C B50592152425162=-⨯+⨯=………………6分 （2）由（Ⅰ）知53sin =A 2,3sin 21===∆b A bc S ABC ,A b c a c cos 265222++==∴ 又13545222542=⨯⨯⨯-+=∴a13=∴a ……………………………………12分17．(本小题满分12分)已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，点(),n n S 在抛物线23122y x x =+上；各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,1632==b b b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n c a b =,求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）23122n S n n =+Q 当1n =时，2a S ==∴数列n a 是首项为2，公差为3的等差数列，31n a n ∴=- 又各项都为正数的等比数列{}n b 满足13511,432b b b ==解得1,22b q ==，()2n n b ∴= ……………………5分(2)由题得1(31)()2n n c n =-①②①-②得2311111113()()()(31)()22222n n n T n +⎡⎤=++++--⎢⎥L52n n T ∴=- ………………………………………………12分18. (本小题满分12分)已知函数3221()(1)3f x x a x b x =--+，其中,a b 为常数． （1）当6,3a b ==时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若任取[0,4],[0,3]a b ∈∈，求函数()f x 在R 上是增函数的概率．19. (本小题满分12分)如图,已知平面ABCD ⊥平面BCEF ,且四边形ABCD 为矩形,四边形BCEF 为直角梯形, 090CBF ∠=,//BF CE ,BC CE ⊥,4DC CE ==, 2BC BF ==.(1)作出这个几何体的三视图(不要求写作法).(2)设,P DF AG Q =⋂是直线DC 上的动点,判断并证明直线PQ 与直线EF 的位置关系.(3)求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值.19.(1)如右图. (2)垂直.(3)220．(本小题满分13分)平面内两定点12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，P 为平面一个动点，且P 点的横坐标()2,2x ∈-. 过点P 作PQ 垂直于直线12A A ，垂足为Q ，并满足21234PQ AQ A Q =⋅. （1）求动点P 的轨迹方程.（2）当动点P 的轨迹加上12,A A 两点构成的曲线为C . 一条直线l 与以点(1,0) 为圆心，半径为2的圆M 相交于,A B 两点. 若圆M 与x 轴的左交点为F ，且6FA FB ⋅=. 求证：直线l 与曲线C 只有一个公共点.解：（1）设(),P x y ，()2,2x ∈-则：2212,2,2PQ y AQ x A Q x ==+=- 所以：23(2)(2)4y x x =-+，即：22143x y +=，()2,2x ∈- -----4分 （2）由(1)知曲线C 的方程为22143x y +=,圆M 的方程为()2214x y -+=，则()1,0F - 设()()1122,,,A x y B x y①当直线l 斜率不存在时，设l 的方程为：0x x =，则：12012,x x x y y ===-，()()01021,,1,FA x y FB x y =+=+因为6FA FB ⋅=，所以：()201216x y y ++=，即：()220116x y +-=因为点A 在圆M 上，所以：()220114x y -+=代入上式得：02x =±所以直线l 的方程为：2=+x （经检验x=-2不合题意舍去）， 与曲线C 只有一个公共点. ------5分 经检验x=-2不合题意舍去所以 x=2 -------6分②当直线l 斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+，联立直线与圆的方程：()2214y kx mx y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消去x 得： 222(1)2(1)30k x km x m ++-+-=所以：12221222(1)131km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩------------8分 因为：()()11221,,1,FA x y FB x y =+=+，且6FA FB ⋅=所以：121212()5x x x x y y +++=又因为：1122y kx my kx m =+⎧⎨=+⎩，所以：()()2212121212()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++代入得：221212(1)(1)()5k x x km x x m +++++=， 化简得：2243m k -=--------10分 联立直线l 与曲线C 的方程：22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：222(34)84120k x kmx m +++-= 22222(8)4(34)(412)48(43)km k m k m ∆=-+-=-+ ----12分 因为：2243m k -=，所以0∆=，即直线l 与曲线C 只有一个公共点21．(本小题满分14分) (文科)已知函数()1xaf x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值; (2)求函数()f x 的极值;(3)当1a =的值时,若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,求k 的最大值.解:(Ⅰ)由()1x a f x x e =-+,得 ()1xaf x e '=-. 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae-=,解得a e =.(Ⅱ)()1xa f x e '=-, ①当0a ≤时,()0f x '>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值. ②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =.(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x '>.所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值.综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值;当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值.(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+, 则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解. 假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+<⎪-⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解, 与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤.又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解. 所以k 的最大值为1.另解(Ⅲ)当1a =时,()11x f x x e=-+.直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11xk x e -=(*)在R 上没有实数解.①当1k =时,方程(*)可化为10x e =,在R 上没有实数解. ②当1k ≠时,方程(*)化为11x xe k =-.令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+.令()0g x '=,得1x =-,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当1x =-时,()min g x e=-, 同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程(*)无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e -. 综上,得k 的最大值为1.（理科）已知函数2()ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a >，3()3x xh x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,m n<<(0)m n ，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能 否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由.解：（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x'=-=+-=+-由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+…… 2分又10,2x x x>+≥x =时等号成立.故min 1(2)x x+=a ≤……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤ 令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333(H t t a t t '=-=+……5分由()0H t '=，得t =或t =（舍去），34(1,2[1,2]a ∈，①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x在也单调递减； 2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为(ln 2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =-- 结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln 2.m n k x m n =-- 由④得0022.k x x =- 所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n--==++⑤ ……11分 设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+ 设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+， 2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=， 即2(1)ln 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m m n m n n-<+，此式与⑤矛盾. 所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分① ② ③④。
四川省成都七中2015届高三零诊模拟考试（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.命题“0||,2≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ）A.0||,2<+∈∀x x R xB. 0||,2≤+∈∀x x R xC. 0||,2000<+∈∃x x R x D. 0||,2000≥+∈∃x x R x 【知识点】命题的否定．【答案解析】C 解析 ：解：∵命题0||,2≥+∈∀x x R x 是全称命题， ∴命题0||,2≥+∈∀x x R x 的否定是：0||,2000<+∈∃x x R x ，故选：C ．【思路点拨】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论． 2．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}x B y y x ==∈，则A B =（ ）A ．[0,2] B.[1,3) C. (1,3) D.(1,4) 【知识点】交集及其运算．【答案解析】B 解析 ：解：{||1|2}A x x =-<={x 丨﹣1＜x ＜3}， {|2,[0,2]}xB y y x ==∈={y|1≤y ≤4}，则A ∩B={x|1≤y ＜3}， 故选：B【思路点拨】求出集合A ，B 的元素，利用集合的基本运算即可得到结论． 3．在极坐标系中，过点22(,)π且与极轴平行的直线方程是（ ） A ．2ρ= B.2θπ=C. cos 2ρθ=D.sin =2ρθ 【知识点】极坐标与直角坐标的互化，简单曲线的极坐标方程求解. 【答案解析】D 解析 ：解：先将极坐标化成直角坐标表示，22(,)π化为（2,0），过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示，即ρsin θ=2. 故选：D ． 【思路点拨】先将极坐标化成直角坐标表示，过（2,0）且平行于x 轴的直线为y=2，再化成极坐标表示即可．4.已知实数,x y 满足(01)xya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ）A ．33x y > B. sin sin x y > C. 22ln(1)ln(1)x y +>+D.221111x y >++ 【知识点】指数函数的图像与性质．【答案解析】A 解析 ：解：∵实数x ，y 满足a x ＜a y（0＜a ＜1），∴x ＞y ，A ．当x ＞y 时，x 3＞y 3，恒成立， B ．当x=π，y=时，满足x ＞y ，但sinx ＞siny 不成立．C ．若ln （x 2+1）＞ln （y 2+1），则等价为x 2＞y 2成立，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＞y 2不成立． D ．若＞，则等价为x 2+1＜y 2+1，即x 2＜y 2，当x=1，y=﹣1时，满足x ＞y ，但x 2＜y 2不成立． 故选：A ．【思路点拨】不等式的大小比较，利用函数的单调性的性质依此判断即可. 5.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【知识点】由三视图还原实物图．菁优【答案解析】D 解析 ：解：由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示（图中红色部分），利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形． 故选D ．【思路点拨】由题意可知，几何体为三棱锥，将其放置在长方体模型中即可得出正确答案． 6. 下列函数中，对于任意x ∈R ，同时满足条件()()f x f x =-和(π)()f x f x -=的函数是（ ）A ．()sin =f x xB ．()sin cos =f x x xC ．()cos =f x xD ．22()cos sin =-f x x x【知识点】抽象函数及其应用；函数的奇偶性；函数的周期性．【答案解析】D 解析 ：解：对于任意x ∈R ，f （x ）满足()()f x f x =-， 则函数()f x 是偶函数，选项中，A ，B 显然是奇函数，C ，D 为偶函数，俯视图侧（左）视图正（主）视图又对于任意x ∈R ，()f x 满足(π)()f x f x -=，则(π)()f x f x +=，即f （x ）的最小正周期是π，选项C 的最小正周期是2π，选项D 22()cos sin =cos 2f x x x x =-其最小正周期是22ππ= 故同时满足条件的是选项D ． 故选D ．【思路点拨】由()f x 满足()()f x f x =-，根据函数奇偶性的定义得()f x 为偶函数，将选项A ，B 排除，因为它们是奇函数，再由()f x 满足(π)()f x f x -=推出函数的最小正周期是π，由三角函数的周期公式得选项D 符合．7.执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【知识点】程序框图．【答案解析】D 解析 ：解：若x=t=2， 则第一次循环，1≤2成立，则M=11×2＝2，S=2+3=5，k=2， 第二次循环，2≤2成立，则M=22×2＝2，S=2+5=7，k=3， 此时3≤2不成立，输出S=7， 故选：D ．【思路点拨】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．8.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A.10B.8C.3D.2 【知识点】线性规划的简单应用 【答案解析】B 解析 ：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC ）．由z=2x-y 得y=2x-z ，平移直线y=2x-z ，由图象可知当直线y=2x-z 经过点C 时，直线y=2x-z 的截距最小， 此时z 最大．由70310x y x y +--+⎧⎨⎩＝，＝解得52x y ⎧⎨⎩＝，＝即C （5，2） 代入目标函数z=2x-y ，得z=2×5-2=8．故选：B ．【思路点拨】作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y 可得-z 表示直线z=2x-y 在直线上的截距，截距-z 越小，z 越大，利用数形结合可求z 的最大值9． 如图，设P 为正四面体A BCD -表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点的距离组成的集合记为M ，如果集合M 中有且只有2个元素，那么符合条件的点P 有（ ）A ．4个 B.6个 C. 10个 D.14个 【知识点】新定义.【答案解析】C 解析 ：解：分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的的距离相等，到另外两个点的距离分别相等，且这两个距离相等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的的距离相等，到另外一个点的距离与它到其它三个点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心，符合条件的有4个点；综上，满足题意的点共计10个，故答案选C.【思路点拨】抓住已知条件中的关键点进行分类讨论即可.10. 抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0)A -，则||||PF PA 的最小值是( ) A.12【知识点】抛物线的基本性质；直线与抛物线的位置关系.【答案解析】B 解析 ：解：由题意可知，抛物线的准线方程为1x =-，()1,0A -， 如图，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，BADC. P由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：1y k x =+（），所以214y k x y x=+⎧⎨=⎩（）， 解得：2222240k x k x k +-+=（），所以2242440k k ∆=--=（），解得1k =±，所以45NPA ∠=︒，||||PF PA = cos NPA ∠ =．故选B ．【思路点拨】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量,a b满足|a b |+=,|a b |-=,则a b ⋅=【知识点】平面向量数量积的运算．【答案解析】1 解析 ：解：∵|a b |+=|a b |-=∴分别平方得2222210,26,a a b b a a b b +⋅+=-⋅+=两式相减得44a b ⋅=， 即1a b ⋅=，故答案为：1．【思路点拨】将等式进行平方，相加即可得到结论．12.设△ABC 的内角A B C 、、 的对边分别为a b c 、、，且1cos 4a b C ==1，=2，，则sin B =【知识点】余弦定理；同角三角函数间的基本关系．【答案解析】4解析 ：解：∵C 为三角形的内角，cosC=， ∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c 2=a 2+b 2﹣2abcosC 得：c 2=1+4﹣1=4，解得：c=2， 又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：【思路点拨】由C 为三角形的内角，及cosC 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，再由a 与b 的值，利用余弦定理列出关于c 的方程，求出方程的解得到c 的值，再由sinC ，c 及b 的值，利用正弦定理即可求出sinB 的值．13. 已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a =【知识点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质． 【答案解析】14解析 ：解：根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8． 取M （1，4），则AM 的斜率为2，由已知得﹣×2=﹣1，故a=．故答案为：．【思路点拨】根据抛物线的焦半径公式得1+=5，p=8．取M （1，4），由AM 的斜率可求出a 的值．【典型总结】本题考查双曲线和性质和应用，解题时要注意抛物线性质的应用．14.随机地向半圆0y <<a 为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为 .【知识点】几何概型． 【答案解析】112π+ 解析 ：解：由已知得半圆（a ＞0）则半圆的面积S=其中原点与该点的连线与x 轴夹角小于的平面区域面积为：S 1=故原点与该点的连线与x 轴夹角小于的概率P===故答案为：【思路点拨】根据已知条件，分别求出题目中半圆的面积，再求出满足条件原点与该点的连线与x 轴夹角小于的事件对应的平面区域的面积，然后代入几何概型，即可得到答案．【典型总结】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A ），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．15.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .下列5个命题：①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：2x y = ②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln = 其中正确的是 _(写出所有正确命题的编号) 【知识点】命题的真假判断与应用；曲线与方程．【答案解析】C 解析 ：解：对于①，由2x y =，得y ′=2x ，则00|x y ='=，直线y=0是在点P （0，0）的曲线C 的切线，但2x y =恒在直线y=0上方，∴命题①错误；对于②，由21y x =+（），得21y x '=+（），则10|x y =-'=，而直线l ：x=-1的斜率不存在，在点P （-1，0）处不与曲线C 相切，∴命题②错误；对于③，由y=sinx ，得y ′=cosx ，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫-⎪⎝⎭时x ＜sinx ，x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时x ＞sinx ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题③正确； 对于④，由y=tanx ，得y ′＝21cos x，则01|x y ='=，直线y=x 是过点P （0，0）的曲线的切线，又x ∈,02π⎛⎫-⎪⎝⎭时tanx ＜x ，x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭时tanx ＞x ，满足曲线C 在P （0，0）附近位于直线y=x 两侧，∴命题④正确； 对于⑤，由y lnx =，得y ′＝1x，则11|x y ='=，曲线在P （1，0）处的切线为1y x =-， 由g （x ）=x-1-lnx ，得()g x '＝1−1x，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0．∴g （x ）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g （1）=0．∴1y x =-恒在y lnx =的上方，不满足曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，命题⑤错误．∴正确的命题是③④． 故答案为：③④．【思路点拨】分别求出每一个命题中曲线C 的导数，得到曲线在点P 出的导数值，求出曲线在点P 处的切线方程，再由曲线在点P 两侧的函数值与对应直线上点的值的大小判断是否满足（ii ），则正确的选项可求．三、解答题：（本大题共6小题，共75分.16-19题每题12分，20题13分，21题14分）16. 已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x-=．（Ⅰ）求函数f (x )的定义域及最大值； （Ⅱ）求使()f x ≥0成立的x 的取值集合．【知识点】三角函数的化简求值；二倍角的正弦；二倍角的余弦．【答案解析】（Ⅰ）定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．最大值为1x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k pp ?，k ∈Z }． 解析 ：解：（Ⅰ） cos x ≠0知2x k pp ?，k ∈Z ，即函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠kπ，k ∈Z }．………………………3分 又∵ x xx x x x x x x x x f 2sin 22cos 12cos sin 2sin 2cos )cos (sin cos sin 2)(2--⨯=-=-=)2cos 2(sin 1x x +-= )42sin(21π+-=x ，∴ 21)(max +=x f ． ……………………………………………………………8分（Ⅱ）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)42πx +≤，解得324πk π+≤24πx +≤924πk π+，k ∈Z ，整理得4πk π+≤x ≤k ππ+，k ∈Z ． 结合x ≠kπ，k ∈Z 知满足f (x )≥0的x 的取值集合为{x |4πk π+≤x ≤k ππ+且2x k pp ?，k ∈Z }．……………………………12分 【思路点拨】（1）根据函数f （x ）的解析式可得cosx ≠0，求得x 的范围，从而求得函数f （x ）的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f （x）的解析式为1)4πx +，从而求得函数的最大值．（2）由题意得1)04πx +≥，即sin(2)42πx +≤，解得x 的范围，再结合函数的定义域，求得满足f （x ）≥0 的x 的取值集合．17. 成都市为增强市民的环保意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机 抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名 志愿者被抽中的概率.【知识点】等可能事件的概率；频率分布直方图．【答案解析】（Ⅰ）应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.（Ⅱ）概率为3.5解析 ：解：第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿第（17）题图者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),( A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2), (A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种. …………8分 其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 2,B 1), (A 2,B 2), (A 3,B 1), (A 3, B 2), (B 1,B 2), (B 1,C 1), (B 2,C 1),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………12分 【思路点拨】Ⅰ）先分别求出这3组的人数，再利用分层抽样的方法即可得出答案；（Ⅱ）从6名志愿者中抽取2名志愿者有15种情况，其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名志愿者被抽中有9种情况，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【典型总结】熟练掌握频率分布直方图、分层抽样的定义、古典概型的概率计算公式、互斥事件及相互独立事件的概率计算公式是解题的关键．18 如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，2===AE EB BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE 。
成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科）【试卷综述】本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =ð（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【知识点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：因为{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以UP =ð[0,1)(1,)+∞故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 【知识点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可判断.【题文】3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab （C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b 【知识点】四种命题 A2 【答案】【解析】D 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”,故选D. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题.【题文】4．函数31,0()1(),03xx xf xx⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A）（B）（C）（D）【知识点】函数的图像B6,B8【答案】【解析】A解析：当0x<时，将3y x=的图像向上平移一个单位即可；当0x≥时，取1()3xy=的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x=和1()3xy=的图像即可求得分段函数的图像.【题文】5．复数5i(2i)(2i)=-+z（i是虚数单位）的共轭复数为（）（A）5i3-（B）5i3（C）i-（D）i【知识点】复数运算L4【答案】【解析】C解析：5i(2i)(2i)=-+z25545i iii===-，z i∴=-，故选C.【思路点拨】化简得z i=，从而可求z i=-.【题文】6．若关于x的方程240+-=x ax在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是（）（A）(3,)-+∞（B）[3,0]-（C）(0,)+∞（D）[0,3]【知识点】二次函数B5【答案】【解析】B解析：因为240+-=x ax在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax=+-所以(2)(4)0f f≤，即()21240a x+≤，30a∴-≤≤，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是（A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-【知识点】诱导公式，二倍角公式 C2 C6【答案】【解析】D 解析：因为53cos()cos()sin 225ππααα+=+=-=，所以3sin 5α=-，又2-<<πα，4cos 5α=，()24sin 22sin cos 25ααα∴==- ，故选D.【思路点拨】由53cos()sin 25παα+=-=，得3sin 5α=-，4cos 5α=，再根据二倍角公式即可求得24sin 225α=-.【题文】8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 【知识点】抛物线及其标准方程 H7【答案】【解析】B 解析：由题意可知，点P 为抛物线的焦点，所以不妨设AB x ⊥轴，从而()()2,4,2,4A B -，OA OB ⋅224(4)12=⨯+⨯-=-，故选B.【思路点拨】解本题若是注意到点P 为抛物线的焦点，就可以利用特殊情况（AB x ⊥轴）求解；此题还可以设出直线方程，联立抛物线:C 28y x =，利用OA OB ⋅1212x x y y =+进行求解.【题文】9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥ 【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】C 解析：A 中α，β还可能相交；B 中m ，n 还可能异面；D 中可能//m α，故选C.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可. 【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C 的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P运动时，2HP的最小值是（ ）（A ）7 （B ）27- （C ）51-（D ）14-【知识点】点、线、面间的距离计算 G11【答案】【解析】B 解析：以EF 为直径在平面11BCC B H引1BB 的垂线，垂足为G ，连接GP ，所以222HP HG GP =+ ，其中HG 的长为棱长4，因此当GP 最小时，HP 就取最小值，点G 到圆心的距离为3，所以GP 的最小值为：3所以2HP 的最小值为：2234(72+-＝ ，故选B. 【思路点拨】由P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF ，想到以EF 为直径在平面11BCC B 内作圆，点P 在圆上，在GPH 中，222HP HG GP =+，当GP 最小时，HP 就取最小值，从而转化为圆外一点到圆上点的距离问题.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．【知识点】频率分布直方图 I2 【答案】【解析】30解析：由图知，该月饮料消费支出超过150元的人占的比例为()0.0040.002500.3+⨯=，所以人数为1000.330⨯=.故答案为30【思路点拨】求出该月饮料消费支出超过150元的人占的比例即可. 【题文】12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【知识点】向量的夹角 F3【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．【知识点】余弦定理 C8【答案】【解析】4解析：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =.【题文】14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【知识点】充分必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由题得[,2]A a a =+，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩.故答案为[2,0]-.【思路点拨】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，列式求解即可.【题文】15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为nk ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论：①1a =-； ②记函数()=n g n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k ++<+；④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为nS，则n S <．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）【知识点】命题的真假判断A2【答案】【解析】①②④ 解析：'()f x x k ==①'11(1)1,1k f y ===-, 11,(1)0x f ∴==,因此1a =-，正确； ②n k n =，切线n l ：n (n)k (x n)y f -=-，即()2112y n x n =-+，212n n x n +=112n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，亦即11(n)2g n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然(n)g 在0,1（）上减，在1,+∞（）上增，正确；③()2112n y n =-，左边()()211111222n n n n =-++=+，右边ln(n 1)=+ ，当1n =时，左=1，右=ln 21< ，即左>右，所以错误；④令n a ===（2n ≥），221(n 1)n ->-，112()1n n<=--，且11a ==，12111112(11)2231n n S a aa n n =+++<+-+-++-- 11))n n -=-=故正确.所以答案为①②④.【思路点拨】依题意， n k n =， 212n n x n +=，()2112n y n =-，依次进行判断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ． （Ⅰ）求“5+=m n ”的概率； （Ⅱ）求“5≥mn ”的概率． 【知识点】古典概型 K2【答案】【解析】（Ⅰ）15（Ⅱ）710解析：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为事件A ，则21()105==P A ．…………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为事件B ，则37()11010=-=P B ．……………………………………………………………… 3分【思路点拨】由题意列出所有的基本事件，再去求符合题意的基本事件有几个，即可求解.【题文】17．（本小题满分12分） 如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求多面体ECABD 的体积．【知识点】线面平行，几何体体积 G4 G8【答案】【解析】（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 面ABC ．………………………6分（Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD，高=AH ．∴1(21)232-+⨯=⨯A ECBD V∴多面体ECABD6分 【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出//DF OB ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积转化成四棱锥-A ECBD 的体积，底面为直角梯形ECBD ， 高很好求，所以利用锥体体积公式即可.【题文】18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ．【知识点】等差数列，等比数列 D2 D3【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n （Ⅰ）∵122+=-n n S ① 当2≥n 时，122-=-nn S ② ①-②得，2=n na （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==nn n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列， ∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ………………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n ∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n ………………………………3分 【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【知识点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22m i n m a x =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ．又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ．又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ．又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B，且AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值．【知识点】直线与椭圆 H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-.（Ⅰ）由已知得=a，又=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321m x x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-=AB x又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，因为=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分情况讨论即可求0x.【题文】21．（本小题满分14分）已知函数()ln 2mf x x x =+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f xg x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证：101e a b c <<<<<．【知识点】函数综合 B14【答案】【解析】（Ⅰ）=极小值)(x f 1ln 2-（Ⅱ）4(,1)5∈m （Ⅲ）略 （Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x ．∴221121()22-'=-=x f x x x x ………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ；∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增．……………………………………2分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立，∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ． 故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………4分 （III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面讨论()ln 2mf x x x =+的零点情况，∵2212()22m x m f x x x x -'=-=．易知函数()f x 在(0,)2m上单调递减，在(,)2m +∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m m f ，解得20<<m e ， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>． 10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e ∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分.【思路点拨】（Ⅰ）1m =时，221121()22-'=-=x f x x x x ，由导数判断函数的单调性，可求得=极小值)(x f 1ln 2-；（Ⅱ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ，得()0'<h x ，∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，∴min()(1)0h x h =>，所以4(,1)5∈m （Ⅲ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x =+-∈+∞，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，易知2x m =为函数()F x 的一个零点，从而()f x 必有两个零点，则只需求解()0f x <极小值，1(1)0,()0f f e ><.。
四川省成都市2015届高三摸底（零诊）数学（文）试题【试卷综析】本试卷是高三摸底试卷，考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：数列、三角、概率、导数、圆锥曲线、立体几何综合问题、程序框图、平面向量、基本不等式、函数等；考查学生解决实际问题的综合能力。
是份非常好的试卷.第I 卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1）【知识点】向量的坐标运算【答案解析】D 解析：解：由向量的坐标运算得a+b=（5，-3）+（-6，4）=（-1，1），所以选D.【思路点拨】本题主要考查的是向量加法的坐标运算，可直接结合向量加法的运算法则计算.2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（US ）T 等于（A ）{2，4} （B ）{4} （C ）∅ （D ）{1,3,4} 【知识点】集合的运算【答案解析】A 解析：解：因为US={2，4}，所以（US ）T={2，4}，选A.【思路点拨】本题主要考查的是集合的基本运算，可先结合补集的含义求S 在U 中的补集，再结合并集的含义求S 的补集与T 的并集. 3．已知命题p ：x ∀∈R ，2x=5，则⌝p 为 （A ）x ∀∉R,2x=5 （B ）x ∀∈R,2x≠5（C ）0x ∃∈R ，20x =5 （D ）0x ∃∈R ，20x ≠5【知识点】全称命题及其否定【答案解析】D 解析：解：结合全称命题的含义及其否定的格式：全称变特称，结论改否定，即可得⌝p 为0x ∃∈R ，20x ≠5，所以选D.【思路点拨】全称命题与特称命题的否定有固定格式，掌握其固定格式即可快速判断其否定.4．计算21og63 +log64的结果是（A ）log62 （B ）2 （C ）log63 （D ）3 【知识点】对数的运算【答案解析】B 解析：解：21og63 +log64=1og69+log64=1og636=2，所以选B.【思路点拨】在进行对数运算时，结合对数的运算法则，一般先把对数化成同底的系数相同的对数的和与差再进行运算，注意熟记常用的对数的运算性质.5．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 【知识点】简单的线性规划 【答案解析】B 解析：解：作出不等式组表示的平面区域为如图中的三角形AOB 对应的区域，平移直线4x+y=0，经过点B 时得最大值，将点B坐标(2，0)代入目标函数得最大值为8，选B.【思路点拨】对于线性规划问题，通常先作出其可行域，再对目标函数进行平行移动找出使其取得最大值的点，或者把各顶点坐标代入寻求最值点.6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是（A ）若a ∥b ．b α⊂，则a ααα⊂αααα7．是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的浓度读数（单位：μg/m3）则下列说法正确的是（A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数【答案解析】C 解析：解：因为甲、乙监测站读数的极差分别为55，57，所以A 选项错误，10日内甲、乙监测站读数的中位数分别为74，68，所以B 选项错误，10日内乙监测站读数的众数与中位数都是68，所以C 正确，而正确的选项只有一个，因此选C.【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键，同时要理解中位数、众数、平均数各自的含义及求法.8．已知函数f （x ）cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于x ，则f （x ）的单调递减区间是（A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z （C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质【答案解析】A 解析：解：因为()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于一个周期，所以2ππω=，得ω=2，由()3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以其单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z 选A. 【思路点拨】注意该题中直线y=－2的特殊性：－2正好为函数的最小值，所以其与函数的两个相邻公共点之间的距离等于函数的最小正周期.9．已知双曲线22221x y a b -=（a>0,b>0）的一条渐近线与圆(x －3)2+y2=9相交于A,B 两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为（A ）8 （B） （C ）3 （D ）32【知识点】直线与圆的位置关系，双曲线的性质【答案解析】C 解析：解：因为|AB|=2，圆的半径为3，所以圆心(3， 0)到渐进线y=b x a 的==，得22383c ab a a a ====，所以e=，则选C.【思路点拨】一般求离心率问题就是通过已知条件得到关于a，b，c的关系式，再求ca即可；在直线与圆的位置关系中，当出现弦长问题时经常转化为圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离建立等量关系.10．已知定义在R上的函数 f (x)的周期为4，且当x∈(-1，3]时，f (x) =(]2,(1,1)1cos,1,32x xx xπ⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩,则函数g（x）=f（x）－1og6x的零点个数为(A)4 (B)5 (C)6 (D)7【知识点】函数的零点、函数的图象及函数的周期性的应用【答案解析】B解析：解：函数g（x）=f（x）－1og6x的零点个数即f（x）=1og6x的零点个数，也就是函数y=f（x）与y=1og6x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图，因为当x=6时6log6=1，所以两个函数的图象有5个交点，选B.【思路点拨】判断函数零点个数的方法有直接求零点和图象法，当直接求零点不方便时通常通过观察图象与x轴的交点个数，若直接做对应函数的图象不方便时可转化为两个函数的图象交点个数进行判断.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。
成都市2015届高中毕业班第二次诊断性检侧数学（文史类）一、选择题（50分）1.已知i是虚数单位，则i1-i＝(A)12＋12i(B)－12＋12i(C)12－12i（D）－12－12i2、双曲线221412x y-=的右焦点到抛物线24y x=的准线的距离为（A）5（B）4（C）3（D）23、如图，长方体ABC－A1B1C1D1中，已知AA1＝1，AD ＝3，则异面直线A1D1与B1C所成的角的大小为（A）60º（B）45º（C）30º（D）90º4、若实数x，y满足20202x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则z x y=+的最大值为（A）2（B）4（C）25（D）65、某几何体的正视图和俯视图如图所示，若正视图是面积为3的矩形，俯视图是边长为1的正三角形，则该几何体的侧视图的面积为（A ）332（B）33（C）3（D）96、设函数()3sin(2)()4f x x x R π=+∈的图象为C ，则下列表述正确的是 （A ）点（2π，0）是C 的一个对称中心 （B ）直线2x π=是C 的一条对称轴 （C ）点（8π，0）是C 的一个对称中心 （B ）直线8x π=是C 的一条对称轴 7、执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为32－，则输出的i 的值为（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）18、已知函数f （x ）的部分图象如图所示，则下列关于f （x ）的表达式中正确的是（A ）2sinx f(x)=x （B ）()(ln )tan f x x x = （C ）()(ln ||)cos f x x x = （D ）()(ln ||)sin 2f x x x =9、已知关于x 的方程2cos sin 10x x m ++-=()m R ∈恒有实数解，记m 的所有可能取值构成集合M ；若λ为区间［－1,4］上的随机数，则M λ∈的概率为（A ）15 （B ）25 （C ）120 （D ）92010、已知函数f （x ）与g （x ）的公共定义域为I ，函数h （x ）满足：对任意x I ∈，点（x ，h （x ））与（x ，g （x ））均关于点（x ，f （x ））对称，若f （x ）＝a lnx －x 2＋a x （a ＞0），()1x g x e =+，其中2＝2.71828…为自然对数的底数，有下列命题：①当a ＝1时，曲线y ＝h （x ）在x ＝1处的切线的斜率为－e －2；②当a ＝1，[1,]x ∈+∞时，函数h （x ）的值域为（－,1e ∞--］；③若函数f （x ）在（0,2）内不单调，则a 的取值范围为（0,2）④设函数()ln[()1]'()2F x b g x f x x a =-++-，其中0,'()b f x >为()f x 的导函数，若O 为坐标原点，函数F （x ）的图象为C ，则对任意点M ∈C ，都存在唯一点N ∈C ，使得tan MON b ∠= 其中真命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（25分）11、设函数222(1)()log (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((0))f f ＝ 12、已知α为第三象限的角，且5cos 5α=-，则tan α＝ 13、若正数p ，q 满足2p ＋q ＝1，则11p q+的最小值为 14、在如图所示的方格柢中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上，若c 与x a ＋y b （x ，y 为非零实数）共线，则x y的值为15、已知点其中，且和为方程的两组不同实数解。
毕业班零诊摸底测试数 学一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，共50分． 1.（2010年全国新课标卷理工类第1题改编）已知集合},2{R x x x A ∈≤=，≤=x x B {,3}Z x ∈，则=B A （ ）A ．)2,0(B ．]2,0[C ．}2,0{D ．}2,1,0{2.（2004年北京理工类第3题改编）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面．给出了下列四个命题：①若α⊥m ，n ∥α，则n m ⊥； ②若α∥β，β∥γ，α⊥m ，则γ⊥m ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若γα⊥，γβ⊥，则α∥β． 若中正确命题的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④3. （2010年全国理工类新课标第7题）示的框图，输入5=N ，则输出的数等于（ ）A ．45 B ．54 C ．56 D ．654. （2005年北京理工类第3题改编）若||2,||1,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 为（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD 4.（2011届北京《考试说明》选择题样题理工类第甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20测试成绩如下表：1s ，2s 12两名运动员这次测试成绩的平均数，则有（ ）A ．>1x 2x ，<1s 2sB ．=1x 2x ，>1s 2sC ．=1x 2x ，=1s 2sD ．<1x 2x ，>1s 2s5. （2010年全国Ⅰ理工类第8题）设3log 2a =，ln 2b =，125c -=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. （2010年全国一理工类第4题）假设双曲线的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ．5D ．67. （2011年全国理工类第6题）已知直二面角βα--l ，点α∈A ，l AC ⊥，C 为垂足，点β∈B ，l BD ⊥，D 为垂足．若2=AB ，1==BD AC ，则=CD （ ）A ．2B ．3C ．2D ．18. （2009年四川省理工类第6题）已知d c b a ,,,为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9. （2011年北京理工类第7题改编）某四棱锥的三视图 如图2所示，该四棱锥的表面积是（ ）A ．32B ．21616+C ．48D ．23216+10. （2011届四川省成都市毕业班零诊第12题）已知F 1、F 2分别为椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点，经过椭圆上第二象限内任意一点P 的切线为l ，过原点O 作OM ∥l 交F 2P于点M ，则|MP |与a 、b 的关系是（ ）A ．|MP |＝aB ．|MP |＞aC ．|MP |＝bD ．|MP |＜b 二、填空题：把答案填在题中横线上，共25分．11.（2010年四川省理工类第3题改编）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+,1,23,6x y x y x则=z y x 32+的最小值为 ；12.（2011年全国理工类第9题改编）如果)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，那么=-)25(f ；13.（2006年北京理工类第12题）在AB C ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边长分别是c b a ,,，若A sin ：B sin ：C sin 8:7:5=，则B ∠的大小是 ；14.（2010年全国一理工类第10题改编）已知函数()lg f x x =,若0<a<b,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是________________；15. （2012届四川省绵阳市一诊第16题）设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>A ，使得|||)(|x A x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“倍约束函数” ．现给出下列函数： ①x x f 3)(=； ②12)(2-=x x f ； ③xe xf =)(（其中e 为自然对数的底数）；图3④)(x f 是定义在实数集R 的奇函数，且对一切21,x x 均有)(5|)()(|2121x x x f x f -≤-. 其中是“倍约束函数”的是 ．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，共75分．16.（2010年北京文史类第16题）已知}{n a 为等差数列，且63-=a ，08=a ．（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列}{n b 满足81-=b ，3212a a a b ++=，求}{n b 的前n 项和公式．17.（2009年四川理工类第17题改编）在ABC ∆中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，且3cos 2,sin 5A B ==．（Ⅰ）求cos()A B +的值； （Ⅱ）若1a b +=-，求,,a b c 的值．18.（2011年四川省成都市高二上期末调研理第20题）如图3，直四棱柱1111D C B A ABCD -中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD 是边长为4的菱形，且60DAB ∠=，321=AA ，P 、Q 分别是棱11D A 和AD 的中点，R 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：⊥QR 平面PBC ； （Ⅱ）求二面角R QC B --的余弦值．A 1D B ACB 1C 1D 1 P Q R19.（2013年四川省成都市高二上期末调研理第20题）已知函数2()21f x ax bx =++， （Ⅰ）若()f x 中的a ，b 是从区间[]1,3-中任取的两个不同的整数，求()f x 为二次函数且存在零点的概率；（Ⅱ）若[]1,3a ∈，[]2,2b ∈-，求[][](1)3(1)30f f -⋅--≤的概率．20. （2013届四川省高考《考试说明》解答题样题第39题）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 经过点)4,2(，B A ,为抛物线C 上异于坐标原点O 的两个动点，且满足0OA OB ⋅=.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点(2,0)p ；（Ⅲ）若线段AB 的中垂线经过点(16,0)，求线段AB 的长．21.（2010年全国理工类新课标第21题改编） 设函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：1xe x ≥+；（Ⅲ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．毕业班摸底测试数 学一、选择题：在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.（2010年全国理标卷类第1题改编）已知集合},2{R x x x A ∈≤=，≤=x x B {,3}Z x ∈，则=B A （ ）DA ．)2,0(B ．]2,0[C ．}2,0{D ．}2,1,0{2.（2004年北京理工类第3题改编）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面．给出了下列四个命题：①若α⊥m ，n ∥α，则n m ⊥； ②若α∥β，β∥γ，α⊥m ，则γ⊥m ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若γα⊥，γβ⊥，则α∥β． 若中正确命题的序号是（ ）AA ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④3. （2010年全国理工类新课标第7示的框图，输入5=N ，则输出的数等于（ ）A ．45 B ．54 C ．56 D ．654. （2005年北京理工类改编）若||2,||1,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 为（ ）CA ．6πB ．3πC ．32πD 4.（2011年北京《考试说明》样题工类类第7题）甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20测试成绩如下表：1s ，2s 12名运动员这次测试成绩的平均数，则有（ ）BA ．>1x 2x ，<1s 2sB ．=1x 2x ，>1s 2sC ．=1x 2x ，=1s 2sD ．<1x 2x ，>1s 2s5. （2010年全国一理工类第8题）设a=3log 2,b=In2,c=125-,则（ ）C A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<a<b D ．c<b<a6. （2010年全国一理工类第4题）假设双曲线的渐近线与抛物线12+=x y 相切，则该双曲线的离心率为（ ）CA ．3B ．2C ．5D ．67. （2011年全国理工类第6题）已知直二面角βα--l ，点α∈A ，l AC ⊥，C 为垂足，点β∈B ，l BD ⊥，D 为垂足．若2=AB ，1==BD AC ，则=CD （ ）CA ．2B ．3C ．2D ．18. （2009年四川省理工类第6题）已知d c b a ,,,为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（ ）BA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9. （2011年北京理工类第7题改编）某四棱锥的三视图 如图3所示，该四棱锥的表面积是（ ）BA ．32B ．21616+C ．48D ．23216+10. （2011届四川省成都市毕业班零诊第12题）已知F 1、F 2分别为椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点，经过椭圆上第二象限内任意一点P 的切线为l ，过原点O 作OM ∥l 交F 2P 于点M ，则|MP |与a 、b 的关系是（ ）AA ．|MP |＝aB ．|MP |＞aC ．|MP |＝bD ．|MP |＜b 二、填空题：把答案填在题中横线上．11.（2010年四川省理工类第3题改编）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≤+,1,23,6x y x y x则=z y x 32+的最小值为 ；532min =+=z12.（2011年全国理工类第9题改编）如果)(x f 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，)1(2)(x x x f -=，那么=-)25(f ；21-13.（2006年北京理工类第12题）在ABC ∆中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边长分别是c b a ,,，若A sin ：B sin ：C sin 8:7:5=，则B ∠的大小是 ；3π 14.（2010年全国一理工类第10题改编）已知函数()lg f x x =,若0<a<b,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是________________；[3,)+∞15. （2012届四川省绵阳市2012届一诊第16题）设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>A ，使得|||)(|x A x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为“倍约束函数”.现给出下列函数：①x x f 3)(=； ②12)(2-=x x f ； ③xe xf =)(（其中e 为自然对数的底数）；④)(x f 是定义在实数集R 的奇函数，且对一切21,x x 均有)(5|)()(|2121x x x f x f -≤-. 其中是“倍约束函数”的是 ．（写出所有正确命题的序号）①④ 三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16. （2010年北京第16题）已知}{n a 为等差数列，且63-=a ，08=a ．（Ⅰ）求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列}{n b 满足81-=b ，3212a a a b ++=，求}{n b 的前n 项和公式． 解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ．∵63-=a ，08=a ，∴⎩⎨⎧=+-=+.05,6211d a d a 解得101-=a ，2=d ．∴1222)1(10-=⨯-+-=n n a n ．（Ⅱ）设等比数列}{n b 的公比为q ．∵3212a a a b ++=24-=，81-=b ，∴=-q 824-，3=q ．∴数列}{n b 的前n 项和公式为)31(41)1(1n n n qq b S -=--=．17.（2009年四川理工类第17题改编）在ABC ∆中，,A B 为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c，且3cos 2,sin 5A B ==．（Ⅰ）求cos()A B +的值； （Ⅱ）若1a b +=-，求,,a b c 的值．解：（Ⅰ）A 、B为锐角，sin B =cos B ∴== 又23cos 212sin 5A A =-=，sin A ∴=cos 5A ==，cos()cos cos sin sin A B A B A B ∴+=-==（Ⅱ）由（Ⅰ）知34C π=,sin C ∴=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得==，即a =，c =，1a b -=，1b -=，1b ∴=a ∴==18.（2011年四川省成都市高二上期末调研理第20题）如图9，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中（侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱），底面ABCD 是边长为4的菱形，且60DAB ∠=，321=AA ，P 、Q 分别是棱11D A 和AD 的中点，R 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：⊥QR 平面PBC ； （Ⅱ）求二面角R QC B --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵ABCD 为边长为4的菱形，且60DAB ∠=︒，Q 为AD 的中点， ∴AQ BQ ⊥．A 1DCB 1C 1D 1 P Q R以Q 为坐标原点建立如图10所示的空间直角坐标系Q xyz -． 图9∴(0,0,(0,(4,P B C R -． ∴(0,3,3),(0,23,23),(4,0,0)QR PB CB ==-=．0660,0QR PB QR CB =+-==，∴0,=⊥⊥．又B BCPB = ，∴QR ⊥平面PBC ． （Ⅱ）设平面RQC 的法向量为(,,)x y z =m ．由00040QRQC x ⎧=+=⎪⇒⎨=-+=⎪⎪⎩⎩m m ． 令1=y ，得1)=-m ．取平面QBC 的法向量为(0,01)=n ． 图10 ∴cos ,11<>==-m n ． ∵二面角R QC B --为锐角，∴二面角R QC B --的余弦值为11112． 19.（2013年四川省成都市高二上期末调研第20题）已知函数2()21f x ax bx =++， （Ⅰ）若()f x 中的a ，b 是从区间[]1,3-中任取的两个不同的整数，求()f x 为二次函数且存在零点的概率；（Ⅱ）若[]1,3a ∈，[]2,2b ∈-，求[][](1)3(1)30f f -⋅--≤的概率． 解：（Ⅰ）9()20P A =；（Ⅱ）7()8P B =． 20. （2013届四川省高考考试说明解答题样题第39题）已知抛物线C ：)0(22>=p px y 经过点)4,2(，B A ,为抛物线C 上异于坐标原点O 的两个动点，且满足0OA OB ⋅=.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点(2,0)p ；（Ⅲ）若线段AB 的中垂线经过点(16,0)，求线段AB 的长． 解：（Ⅰ）∵抛物线经过点)4,2(，∴4p =．∴抛物线方程为x y 82=． （Ⅱ）①当AB 斜率不存在时，)8,8(),8,8(-B A ，此时直线AB 过点)0,8(． ②当AB 斜率存在时，设),(),,(,:2211y x B y x A b kx y l AB +=．联立0)82(82222=+-+⇒⎩⎨⎧+==b x kb x k bkx y xy ．x A 1∴2121228,b bx x y y k k==．由0OA OB ⋅=且0≠b 得，k b 8-=．即直线过点)0,8( ∴直线AB 过定点)0,2(p ．（Ⅲ）①当AB 斜率不存在时，)8,8(),8,8(-B A ，此时16||=AB ．②当AB 斜率存在时，设),(),,(,:2211y x B y x A b kx y l AB +=，AB 中点坐标为),(00y x ． 由（Ⅱ），得800-=x y k ． 由21122288y x y x ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩2121218y y x x y y +=--，即04y k =． ∵16100-=-x y k ．解得1k =±．即:(8)AB l y x =±-． ∴108||=AB ． 综上，当AB 斜率不存在时，16||=AB ；当AB 斜率存在时，108||=AB ． 21.（2010年全国理工类新课标第21题改编） 设函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：1xe x ≥+；（Ⅲ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）0a =时，()1x f x e x =--，'()1x f x e =-.当(,0)x ∈-∞时，'()0f x <；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >.故()f x 在(,0)-∞单调减少，在(0,)+∞单调增加．（Ⅱ）'()12x f x e ax =--由（Ⅰ）知1x e x ≥+，当且仅当0x =时等号成立. （Ⅲ）由（Ⅱ）问，故'()2(12)f x x ax a x ≥-=-，从而当120a -≥，即12a ≤时，'()0 (0)f x x ≥≥，而(0)0f =，于是当0x ≥时，()0f x ≥. 由1(0)x e x x >+≠可得1(0)x e x x ->-≠.从而当12a >时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<-+-=--，故当(0,ln 2)x a ∈时，'()0f x <，而(0)0f =，于是当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <. 综合得a 的取值范围为1(,]2-∞.。
四川省成都市2015届高三摸底（零诊）数学（文）试题本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟． 注意事项1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用椽皮撵擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量a=（5，-3），b=（-6，4），则a+b= （A ）（1，1） （B ）（-1，-1） （C ）（1，-1） （D ）（-1，1） 2．设全集U={1，2，3，4}，集合S={l ，3}，T={4}，则（U ðS ）T 等于（A ）{2，4} （B ）{4}（C ）∅（D ）{1,3,4}3．已知命题p ：x ∀∈R ，2x=5，则⌝p 为 （A ）x ∀∉R,2x=5 （B ）x ∀∈R,2x≠5（C ）0x ∃∈R ，2x =5（D ）0x ∃∈R ，20x ≠54．计算21og 63 +log 64的结果是 （A ）log 62 （B ）2（C ）log 63（D ）35．已知实数x ，y 满足002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z=4x+y 的最大值为（A ）10 （B ）8 （C ）2 （D ）0 6．已知a ，b 是两条不同直线，a 是一个平面，则下列说法正确的是 （A ）若a ∥b ．b α⊂，则a//α （B ）若a//α，b α⊂，则a ∥b （C ）若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b （D ）若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α7．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可A 肺颗粒物，般情况下PM2.5浓度越大，大气环境质量越差右边的茎叶图表示的是成都市区甲、乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数（单位：μg/m 3）则下列说法正确的是 （A ）这l0日内甲、乙监测站读数的极差相等（B ）这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，己的较大 （C ）这10日内乙监测站读数的众数与中位散相等 （D ）这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等8．已知函数f （x ）3cos (0)x x ωωω+>的图象与直线y= -2的两个相邻公共点之间的距离等于x ，则f （x ）的单调递减区间是 （A ）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （B ）,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z （C ）42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k ∈z （D ）52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,k ∈z 9．已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的一条渐近线与圆(x －3)2+y 2=9相交于A,B 两点，若|AB|=2，则该双曲线曲离心率为 （A ）8（B ）22（C ）3（D ）3210．已知定义在R 上的函数f (x)的周期为4，且当x ∈(-1，3]时，f (x) =(]2,(1,1)1cos ,1,32x x x x π⎧∈-⎪⎨+∈⎪⎩,则函数g （x ）=f （x ）－1og 6x 的零点个数为(A)4 (B)5 (C)6(D)7第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分答案填在答题卡上。
