届成都一诊数学试题及答案word版文理科解析

2021-2022学年四川省成都七中高三（上）一诊数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<3}，N={x|13≤x≤6}，则M∪N=()A. {x|0<x≤6}B. {x|13≤x<3} C. {x|3<x<6} D. {x|0<x≤13}2.已知z=2−i，则z(z−+i)的虚部是()A. 2B. −2C. 2iD. −2i3.如图所示的几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到，则该几何体的左(侧)视图为()A.B.C.D.4.已知向量a⃗=(2,−1)，a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |=8，则|b⃗ |=()A. 5B. 6C. 7D. 85.已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为()A. 13B. 12C. 9D. 66.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 127. 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5−a 3=12，a 6−a 4=24，则Sna n=( )A. 2n −1B. 2−21−nC. 2−2n−1D. 21−n −18. 设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A. (14,0)B. (12,0)C. (1,0)D. (2,0)9. 星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式M =m +5−5lg d3.26转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离(单位：光年).现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为( )(参考数据：100.906≈8.054，100.716≈5.199，cos34°≈0.8)A. 26光年B. 16光年C. 12光年D. 5光年10. 若α∈(π2,π)，cosα=(2−sinα)tan2α，则tanα=( )A. √1515B. −√1515C. √53D. −√5311. 在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =A 1A 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法正确的个数是( ) ①当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值； ②当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值； ③当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP ； ④当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P.A. 1B. 2C. 3D. 412. 若a =ln(ln 3)2，b =2ln(ln2)，c =2ln2，则a ，b ，c 的大小关系为( )二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 曲线y =2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为 ．14. 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 216−y 29=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为______． 15. 已知函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，且直线y =−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，则实数ω的取值范围是______． 16. 已知正数x ，y 满足x +4y =x 2y 3，则8x +1y 的最小值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 巳知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6=36，_____．请在①a 3=5；②a 2+a 4+a 6=21，③S 7=49，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并回答以下问题． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n3n }的前n 项和T n ．18. 某投资公司2012年至2021年每年的投资金额x(单位：万元)与年利润增量y(单位：万元)的散点图如图：该投资公司为了预测2022年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y 关于x 的两个回归模型；模型①：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程：y ̂=2.50x −2.50； 模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y =blnx +a 的附近，对投资金额x 做交换，令t =lnx ，则y =b ⋅t +a ，且有∑t 10=22.00，∑y 10=230，(1)根据所给的统计量，求模型②中y 关于x 的回归方程；(2)分别利用这两个回归模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量(结果保留两位小数)；(3)根据下列表格中的数据，比较两种模型相关指数R 2，并说明谁的预测值精度更高、更可靠．回归模型 模型① 模型② 回归方程y ̂=2.50x −2.50y ̂=blnx +a ∑(10i=1y i ,y ̂i )2102.2836.19附：样本(t i ,y i )(i =1,2,…,n)的最小乘估计公式为b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)，a ̂=y −−b ̂t −；相关指数R 2=1−∑(n i=1y i −y ̂)2∑(ni=1y i −y −)2．参考数据：ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．19. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，M 、N 分别是CC 1与A 1B 的中点，△ABA 1为等边三角形，CA =CA 1，A 1A =A 1M =2BC ．(Ⅰ)求证：MN//平面ABC；(Ⅱ)(i)求证：BC⊥平面ABB1A1；(ii)求二面角A−MN−B的正弦值．20.已知两圆C1：(x−2)²+y²=54，C2：(x+2)²+y²=6，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切．(1)求动圆圆心M的轨迹方程C；(2)过点A(3,0)的直线与曲线C交于P，Q两点．P关于x轴的对称点为R，求△ARQ面积的最大值．21.已知x∈[0,+∞)，函数f(x)=e x+sinx，函数g(x)=ax2+2x+1．(1)若a=1，证明：f(x)+x≥g(x)+sinx；2(2)f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cos k t,y =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcosθ−16ρsinθ+3=0．(1)当k =1时，C 1是什么曲线？(2)当k =4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．23. 已知函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|．(1)画出y =f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x +1)的解集．答案和解析1.【答案】A≤x≤6}，【解析】解：∵集合M={x|0<x<3}，N={x|13∴M∪N={x|0<x≤6}．故选：A．利用并集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：因为z=2−i，则z(z−+i)=(2−i)(2+i+i)=(2−i)(2+2i)=4+2+2i=6+2i，所以虚部为2，故选：A．利用复数的运算性质以及共轭复数的性质即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处是一个看得到的小正方形．故选：B．找到从左向右看得到的图形即可．本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握侧视图是从左向右看得到的视图．4.【答案】C【解析】解：因为a⃗=(2,−1)，所以|a⃗|=√22+(−1)2=√5，又因为a⃗⋅b⃗ =5，|a⃗+b⃗ |= 8，所以|a⃗+b⃗ |²=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =8²，所以|b⃗ |²=64−2⋅5−5=49，所以|b⃗ |=7故选：C．根据向量运算性质列方程，解方程求解．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．5.【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合基本不等式，转化求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．【解答】解：F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，|MF1|+|MF2|=6，所以|MF1|⋅|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9，当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，取等号，所以|MF1|⋅|MF2|的最大值为9．故选：C．6.【答案】B【解析】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=18．故选：B．先利用列举法得到共8种不同的跳法，再利用概率公式求解即可．本题考查概率的求法，利用列举法是关键，是基础题．【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了运算求解能力，属于较易题．根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．【解答】解：设等比数列的公比为q，∵a5−a3=12，∴a6−a4=q(a5−a3)，∴q=2，∴a1q4−a1q2=12，∴12a1=12，∴a1=1，∴S n=1−2n1−2=2n−1，a n=2n−1，∴S na n =2n−12n−1=2−21−n，故选：B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件转化求解E、D坐标，通过k OD⋅k OE=−1，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2√p，OD⊥OE，可得k OD⋅k OE=−1，即2√p2⋅−2√p2=−1，解得p=1，所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．故选：B．【解析】解：∵M=m+5−5lg d3.26，∴d=3.26×10m+5−M5，由题意可知，M牛=2.19，m牛=0.77，M织=0.5，m织=0.03，设地球与牛郎星距离为d1，地球与织女星距离为d2，织女星与牛郎星距离为d，则d1=3.26×100.77+5−2.195=3.26×100.716≈3.26×5.199≈17，d2=3.26×100.03+5−0.55=3.26×100.906≈3.26×8.054≈26，d2=d12+d22−2d1d2cos34°=172+262−2×17×26×0.8=257，故d=√257≈16，故牛郎星与织女星之间的距离约为16光年．故选：B．根据已知条件，结合余弦定理，即可求解．本题主要考查函数的实际应用，掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：由cosα=(2−sinα)tan2α，得tan2α=cosα2−sinα，即sin2αcos2α=cosα2−sinα，∴2sinαcosα1−2sin2α=cosα2−sinα，∵α∈(π2,π)，∴cosα≠0，则2sinα(2−sinα)=1−2sin2α，解得sinα=14，∴cosα=−√1−sin2α=−√154，则tanα=sinαcosα=−√1515．故选：B．把已知等式变形，然后切化弦，整理后求得sinα，进一步求得cosα，再由商的关系得答案．本题考查二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】C【解析】解：对于①，当λ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段CC 1上，此时△AB 1P 的周长为AB 1+B 1P +AP ， 当点P 为CC 1的中点时，△AB 1P 的周长为√5+√2， 当点P 在点C 1处时，△AB 1P 的周长为2√2+1， 故周长不为定值，故①错误；对于②，当μ=1时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故点P 在线段B 1C 1上， 因为B 1C 1//平面A 1BC ，所以直线B 1C 1上的点到平面A 1BC 的距离相等， 又△A 1BC 的面积为定值，所以三棱锥P −A 1BC 的体积为定值，故②正确；对于③，当λ=12时，取线段BC ，B 1C 1的中点分别为M ，M 1，连结M 1M ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线段M 1M 上，当点P 在M 1处时，A 1M 1⊥B 1C 1，A 1M 1⊥B 1B ， 又B 1C 1∩B 1B =B 1，所以A 1M 1⊥平面BB 1C 1C ，又BM 1⊂平面BB 1C 1C ，所以A 1M 1⊥BM 1，即A 1P ⊥BP ， 同理，当点P 在M 处，A 1P ⊥BP ，故③正确；对于④，当μ=12时，取CC 1的中点D 1，BB 1的中点D ，因为BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以DP ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P 在线的DD 1上，当点P 在点D 1处时，取AC 的中点E ，连结A 1E ，BE ，因为BE ⊥平面ACC 1A 1，又AD 1⊂平面ACC 1A 1，所以AD 1⊥BE ， 在正方形ACC 1A 1中，AD 1⊥A 1E ， 又BE ∩A 1E =E ，BE ，A 1E ⊂平面A 1BE ，故AD 1⊥平面A 1BE ，又A 1B ⊂平面A 1BE ，所以A 1B ⊥AD 1， 在正方形ABB 1A 1中，A 1B ⊥AB 1，又AD 1∩AB 1=A ，AD 1，AB 1⊂平面AB 1D 1，所以A 1B ⊥平面AB 1D 1， 因为过定点A 与定直线A 1B 垂直的平面有且只有一个， 故有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，故④正确．故选：C ．判断当λ=1时，点P在线段CC1上，分别计算点P为两个特殊点时的周长，即可判断①；当μ=1时，点P在线段B1C1上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断②；当λ=12时，取线段BC，B1C1的中点分别为M，M1，连结M1M，则点P在线段M1M上，分别取点P在M1，M处，得到均满足A1P⊥BP，即可判断③；当μ=12时，取CC1的中点D1，BB1的中点D，则点P在线的DD1上，证明当点P在点D1处时，A1B⊥平面AB1D1，利用过定点A与定直线A1B垂直的平面有且只有一个，即可判断④．本题考查了动点轨迹，线面平行与线面垂直的判定，锥体的体积问题等，综合性强，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于难题．12.【答案】D【解析】解：∵a=2ln(|ln3π|)=2ln(lnπ3)，b=2ln(ln2)，c=2ln21e，而函数f(x)=2lnx在定义域(0,+∞)上单调递增，0<lnπ3<ln2<1<21e，∴a<b<c，故选：D．根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断．本题主要考查了对数函数的性质，以及利用函数的单调性比较大小，是基础题．13.【答案】5x−y+2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′|x=−1=5，则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．14.【答案】16【解析】解：因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形，设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得||PF1|−|PF2||=|m−n|=2a=8，所以m2−2mn+n2=64，因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=100，即m2+n2=100，所以mn=16，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1||PF2|=mn=16．故答案为：16．判断四边形PF1QF2为矩形，利用双曲线的定义及勾股定理求解即可．本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．15.【答案】[14,2 3 ]【解析】解：∵函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−3π4,π4]上单调递增，∴ω×(−3π4)≥−π2，且ω×π4≤π2，求得0<ω≤23．且直线y=−2与函数f(x)的图象在[−2π,0]上有且仅有一个交点，ωx∈[−2ωπ,0]，∴−5π2<−2ωπ≤−π2，求得14≤ω<54．综上可得，实数ω的取值范围为[14,23 ]，故答案为：[14,2 3 ].由题意利用正弦函数的图象和性质，求得实数ω的取值范围．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】2√2【解析】解：令1y =m ，8x +1y =t(t >0)， ∵x +4y =x 2y 3， ∴8t−m+4m=(8t−m)2⋅(1m)3，即m 4−t 2m 2+16=0，令m 2=a ，则a 2−t 2a +16=0，所以关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，∴{△=t 4−64≥016>0，∴t ≥2√2，当x =4(√2+1)，y =12时取等号， ∴8x +1y 的最小值是2√2． 故答案为：2√2．利用换元法得到关于a 的方程a 2−t 2a +16=0有两个正实根，再利用根与系数的关系即可求解．本题考查了换元法的应用，一元二次方程有两个正实根的求解，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①a 3=5．设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，a 1+2d =5，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选②a 2+a 4+a 6=21， 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，3a 1+9d =21，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1． 选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ， 则S 6=6a 1+6×52d =36，7a 1+7×62d =49，解得：a 1=1，d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1．(2)a n3n =2n−13n．数列{an3n }的前n 项和T n =13+332+533+⋯…+2n−13n，∴13T n =132+333+⋯…+2n−33n +2n−13n+1，相减可得：23T n =13+2(132+133+⋯…+13n )−2n−13n+1=13+2×19[1−(13)n−1]1−13−2n−13n+1，化为：T n =1−n+13n．【解析】(1)选①a 3=5.设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选②a 2+a 4+a 6=21，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的通项公式与求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．选③S 7=49，设等差数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的求和公式解得a 1，d ，即可得出a n ．(2)a n3n =2n−13n.利用错位相减法可得数列{an3n}的前n 项和T n ． 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵∑t i 10i=1=22.00，∑y i 10i=1=230， ∴t −=2.2，y −=23，b ̂=∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)=∑t i 10i=1y i −10t −⋅y−∑t i 210i=1−10t−2=569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25，则a ̂=y −−b ̂t −=23−25×2.2=−32，故模型②中y 关于x 的回归方程为y ̂=25lnx −32．(2)当x =20时，模型①的年利润的预测值为y ̂=2.5×20−2.5=47.5 (万元)， 当x =20时，模型②年利润的预测值为y ̂=25ln20−32=25×(2ln2+ln5)−32≈25×(2×0.6931+1.6094)−32=42.89(万元)．(3)由表格中的数据可得，102.28>36.19，即102.28∑(10i=1y i−y−)2>36.19∑(10i=1y i−y −)2， ∴模型①的相关指数R 2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，故当x=20时，模型②的预测值比模型①的预测值进度更高，更可靠．【解析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．(2)将x=20分别代入两个线性回归方程中，即可求解．(3)根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取BB1的中点P，连接MP，NP，又M是CC1的中点，则MP//BC，∵MP⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴MP//平面ABC，又N是A1B的中点，∴NP//A1B1，而AB//A1B1，∴NP//AB，∵NP⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴NP//平面ABC，∵MP∩NP=P，MP、NP⊂平面MNP，∴平面PMN//平面ABC，∵MN⊂平面PMN，∴MN//平面ABC．(Ⅱ)(i)证明：设BC=1，则A1A=A1M=2，依题意CA1=CA=C1A1，∴A1M是等腰△A1CC1底边上的中线，则A1M⊥CC1，∴AC=A1C1=√A1M2+MC12=√5，∵△ABA1为等边三角形，∴AB=AA1=BA1=2，∴AB2+BC2=5=AC2，∴AB⊥BC，同理，A1B2+BC2=A1C2，∴A1B⊥BC，∵A1B∩AB=B，A1B、AB⊂平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．(ii)解：∵BC⊥平面ABB1A1，AN⊂平面ABB1A1，∴AN⊥BC，∵正△ABA1中，N为BA1中点，∴AN⊥BA1，又BC∩BA1=B，BC、BA1⊂平面A1BC，∴AN⊥平面A1BC，又AN⊂平面AMN，∴平面AMN⊥平面A1BC，设A1C∩AM=Q，连接QN，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线， 过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ， ∵MN ⊂平面AMN ，∴BH ⊥MN ， 过B 作BG ⊥MN 于点G ，连接HG ， 又BG ∩BH =B ，BG 、BH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥平面BGH ，又GH ⊂平面BGH ，∴MN ⊥GH ， ∴∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由(i)知BC =1，CM =1，∴BM =√2， △BMA 1中，BA 1=A 1M =2，BM =√2， ∴由余弦定理得cos∠MBA 1=222×2×√2=√24， ∵N 为BA 1中点，∴BN =1， ∴△BMN 中，由余弦定理可得 MN =√12+2−2×1×√2×√24=√2，∵S △BMN =12BM ·BN ·sin∠MBN =12BG ·MN∴BG =√2×1×√78√2=√78，∵CM//AA 1，CM ：AA 1=1:2，∴CQ ：QA 1=1:2， 又A 1C =√5，∴A 1Q =2√53， Rt △A 1BC 中，cos∠BA 1C =BA1CA 1=√5，∴△A 1NQ 中，由余弦定理可得 QN =(2√53)2√532√5=√53， ∴cos∠QNA 1=(√53)2+12−(2√53)22×√53×1=−√55， ∴sin∠QNA 1=sin∠BNH =2√55，在Rt △BHN 中，sin∠BNH =BHBN ， ∴BH =BN ·2√55=2√55，∴二面角A −MN −B 的正弦值为sin∠BGH =BH BG=√3235=4√7035．【解析】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，题目较难． (Ⅰ)取BB 1的中点P ，证得MP//平面ABC ，NP//平面ABC ，进而平面PMN//平面ABC ，由此能证明MN//平面ABC ．(Ⅱ)(i)设BC =1，则A 1A =A 1M =2，CA 1=CA =C 1A 1，从而A 1M 是等腰△A 1CC 1底边上的中线，则A 1M ⊥CC 1，AC =A 1C 1=√A 1M 2+MC 12=√5，推导出AB ⊥BC ，同理A 1B ⊥BC ，由此能证明BC ⊥平面ABB 1A 1．(ii)由AN ⊥BC ，AN ⊥BA 1，知AN ⊥平面A 1BC ，从而平面AMN ⊥平面A 1BC ，设A 1C ∩AM =Q ，则QN 为平面AMN 与平面A 1BC 的交线，过B 作BH ⊥QN 于点H ，则BH ⊥平面AMN ，又过B 作BG ⊥MN 于点G ，则MN ⊥平面BGH ，从而∠BGH 是二面角A −MN −B 的平面角，由此能求出二面角A −MN −B 的正弦值．20.【答案】解：(1)由题意可知，圆C 1的圆心(2,0)，半径为3√6，圆C 2的圆心(−2,0)，半径为√6， 设圆M 的半径为R ，则|MC 1|+|MC 2|=(3√6−R)+(√6+R)=4√6>4=|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 则2a =4√6，2c =4，所以a =2√6，c =2，b =√a 2−b 2=2√5， 故动圆圆心M 的轨迹方程C 为x 224+y 220=1； (2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则R(x 1,−y 1)，由{x =my +35x 2+6y 2=120，可得(5m 2+6)y 2+30my −75=0，Δ=(30m)2+4×75(5m 2+6)>0恒成立，由韦达定理可得y 1+y 2=−30m5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6， 由椭圆的对称性，不妨设m <0，则x 1<3，y 1>0，x 2>3，y 2<0，如图所示，则S △PQR =12×2y 1×(x 2−x 1)=y 1×(x 2−x 1)，S △PAR =12×2y 1×(3−x 1)=y 1×(3−x 1)，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =y 1×(x 2−x 1)−y 1×(3−x 1)=y 1(x 2−3)=y 1(my 2+3−3)=my 1y 2=m ×(−755m 2+6)=75−5m+6−m ≤2√(−5m)×6−m =5√304， 当且仅当−5m =6−m ，即m =−√305时取等号，故△ARQ 面积的最大值为5√304．【解析】(1)设圆M 的半径为R ，由椭圆的定义得到点M 的轨迹，求出椭圆方程即可；(2)由题得直线斜率不为0，设直线的方程为x =my +3，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，与椭圆联立方程组由韦达定理可得y 1+y 2=−30m 5m 2+6，y 1y 2=−755m 2+6，S △ARQ =S △PQR −S △PAR =my 1y 2=m ×(−755m 2+6)，计算可得△ARQ 面积的最大值．本题考查了动点轨迹方程的求解，椭圆定义的理解与应用，椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，直线与圆的位置关系的理解与应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．21.【答案】(1)证明：当a =12时，令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx =e x −12x 2−x −1(x ≥0)，则G′(x)=e x −x −1，G ″(x)=e x −1≥0，所以G′(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G′(x)≥G′(0)=0，所以G(x)在[0,+∞)上单调递增，所以G(x)≥G(0)=0，所以f(x)+x ≥g(x)+sinx ；(2)e x +sinx −(ax 2+2x +1)，由题意得，ℎ(x)min ≥0，因为ℎ′(x)=e x −2ax −2+cosx ，ℎ′(0)=0，ℎ″(x)=e x −sinx −2a ，ℎ″(0)=1−2a ，ℎ″′(x)=e x −cosx ≥0，则ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，当a ≤12时，ℎ″(0)=1−2a ≥0，则ℎ″(x)≥ℎ″(0)≥0，ℎ′(x)单调递增，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=0， 则ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，符合题意；当a >12时，ℎ″(0)=1−2a <0，由(1)的结论可得ℎ″(x)在[0,+∞)上单调递增，ℎ″(1+2a)=e 1+2a −2a −sin(1+2a)≥1+(1+2a)−2a −1>0，故必然存在x 0∈(0,1+2a)使得，x ∈(0,x 0)时，ℎ″(0)<0，则ℎ′(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ′(x)<ℎ′(0)=0，则ℎ(x)在(0,x 0)上单调递减，此时ℎ(x)<ℎ(0)=0，不符合题意，综上，a 的范围为(−∞,12].【解析】(′)把a =12代入后，构造函数令G(x)=f(x)+x −g(x)−sinx ，对其求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，然后对函数求导，结合导数与单调性关系分析导数符号，再由函数的性质及零点判定定理可求．本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了利用导数及函数性质证明不等式，求解与不等式恒成立问题，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)， 消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)， 两式作差可得x −y =cos 4t −sin 4t =cos 2t −sin 2t =2cos 2t −1，∴cos 2t =x−y+12，得x =cos 4t =(x−y+12)2， 整理得：(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1)．由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴4x −16y +3=0．联立{(x −y)2−2(x +y)+1=04x −16y +3=0，解得{x =16936y =4936(舍)，或{x =14y =14． ∴C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).【解析】(1)当k =1时，曲线C 1的参数方程为{x =cost y =sint ，(t 为参数)，利用平方关系消去参数t ，可得x 2+y 2=1，故C 1是以原点为圆心，以1为半径的圆；(2)当k =4时，曲线C 1的参数方程为{x =cos 4t y =sin 4t，(t 为参数)，消去参数t ，可得(x −y)2−2(x +y)+1=0(0≤x ≤1,0≤y ≤1).由4ρcosθ−16ρsinθ+3=0，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得4x −16y +3=0.联立方程组即可求得C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：函数f(x)=|3x +1|−2|x −1|={x +3,(x ≥1)5x −1,(−13≤x <1)−x −3,(x <−13)， 图象如图所示(2)由于f(x +1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得，(如图所示)直线y =5x −1向左平移一个单位后表示为y =5(x +1)−1=5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f(x)>f(x +1)的解集为{x|x <−76}.【解析】(1)将函数零点分段，即可作出图象；(2)由于f(x+1)是函数f(x)向左平移了一个1单位，作出图象可得答案；本题考查了绝对值函数的解法，分段作出图象是解题的关键．属于基础题．。

高2021届成都“一诊”理科数学第I 卷 (选择题，共60分)一、 选择题:本大题共12小题, 每小题5分,共60分.1.设集合A={}2340,x x x --< B={}13,x x x N -<∈，，则AB=(A) {}1,2,3 (B) {}0,1,2,3 (C) {}14x x -<< (D) {}24x x -<<2.复数12(iz i i+=为虚数单位),则z 的共轭复数是 (A) 2i -- (B) 2i -+ (C) 2i - (D) 2i +3.若等比数列{}n a 满足23242,6a a a a +=-=,则6a =(A) 32- (B) 8 (C) 8 (D) 64 4.甲乙两台机床同时生产-种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是(A)1212,x x S S => (B) 1212,x x S S >> (C) 1212,x x S S <> (D) 1212,x x S S >< 5.若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围为 (A) (,0)(4,)-∞+∞ (B) (,8)(0,)-∞-+∞(C) [0,4] (D) (8,0)-6.若向量,a b 满足2,(2)6a a b b =+=,则b 在a 方向上的投影为 (A) 1 (B) 12 (C) 12- (D) 1- 7.设1202120202020ln ,20212021a b c === ,则a 、b 、c 的大小关系是(A)a >b .>c (B) a >c > b (C)c >a >b (D)c >b >a 8.若α、β、γ是空间中三个不同的平面，=,,l m n αβαγγβ==,则l m 是n m 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，4,(3PQ a PQO O π=∠=为坐标原点) ，则该双曲线的离心率为(A)2(B) 2(C)(D)10.已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=.若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象,则可 以将函数1sin 22y x =的图象 (A)向左平移712π个单位长度 (B)向左平移12π个单位长度， (C)向右平移712π个单位长度 (D)向右平移12π个单位长度11.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ， B 两点，P(0, 7)2- 若PB ⊥AB ，则AF = (A)32 (B)2. (C) 52(D) 3 12.已知函数()ln ,()ln f x x x g x x x =+= .若12()ln ,()f x t g x t ==，则122()ln x x x t -的最小值为 (A)21e (B) 2e (C) 12e- (D) 1e - 第II 卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.71)x的展开式中1x -的系数是______________（用数字做答案）14.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则23z x y =-的最小值为_________。

四川省成都七中2024届高三（上）一诊理科数学试题时间：120分钟总分：150分一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1已知集合,则集合的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.已知为实数,若复数为纯虚数,则（）A.-2B.C.D.23.与有相同定义域的函数是()A. B. C. D.4.若向量满足:,则（）A.2B.C.10D.5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的为,则判断框中填写的内容可以是（）A.?B.?C.?D.?6.已知,则“”的必要不充分条件可以是()A. B. C. D.7.抛物线的顶点为,斜率为1的直线过点,且与抛物线交于两点,若的面积为,则该抛物线的准线方程为()A. B. C. D.8.设是两条不相同的直线,是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A.若,则B.若,则C.若是异面直线,,则.D.若,则9.某人根据自己爱好,希望从中选2个不同字母,从中选3个不同数字编拟车牌号,要求前3位是数字,后两位是字母,且数字2不能排在首位,字母和数字2不能相邻,那么满足要求的车牌号有（）A.198个B.180个C.216个D.234个10.已知，则的值为（）A. B. C. D.11.已知双曲线的左焦点为,过的直线与圆相切于点,与双曲线的右支交于点,若,则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.12.与曲线在某点处的切线垂直,且过该点的直线称为曲线在某点处的法线,关于曲线的法线有下列4种说法:①存在一类曲线，其法线恒过定点;②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为;③存在唯一一条直线既是曲线的法线,也是曲线的法线;④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数为1.其中说法正确的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若满足约束条件则的最大值为_______.14.的展开式中的系数为________.(用数字作答)15.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为________.16.如图,在所在平面内,分别以为边向外作正方形和正方形.记的内角的对边分别为,面积为.已知,且,则________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）在等比数列和等差数列中,.(1)求数列和的通项公式;(2)令,记数列的前项积为,其中,证明:.18.（本题满分12分）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一.某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图,评分在区间上,分别对应为四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视,初评获等级的学生不参加复评,等级不变,对其余学生学校将进行一次复评.复评中,原获等级的学生有的概率提升为等级；原获等级的学生有的概率提升为等级；原获等级的学生有的概率提升为等级.用频率估计概率,每名学生复评结果相互独立.(1)若初评中甲获得等级,乙、丙获得等级,记甲、乙、丙三人复评后等级为等级的人数为,求的分布列和数学期望;(2)从全体高三学生中任选1人,在已知该学生是复评晋级的条件下,求他初评是等级的概率.19.（本题满分12分）如图,平面四边形中,是上的一点,是的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且.(1)证明:平面平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分12分）在平面直角坐标系中,为坐标原点,动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数,设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)已知定点,过点作垂直于轴的直线,过点作斜率大于0的直线与曲线交于点,其中点在轴上方,点在轴下方.曲线与轴负半轴交于点,直线与直线分别交于点,若四点共圆,求的值.21.（本题满分12分）设函数,其中.(1)若,讨论在上的单调性;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.选做题：第22题，23题中选做一题，多做或做错按照第一题计分22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),为的倾斜角,且,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于两点，点恰为线段的三等分点，求.23.（本题满分10分）已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)对于任意实数,不等式成立,求的取值范围.四川省成都七中2024届高三（上）一诊理科数学试题答案1.【答案】C【解析】解:集合,集合的子集个数为.故选:C.2.【答案】A【解析】解:复数为纯虚数,故选:A.3.【答案】D【解析】略4.【答案】B【解析】本题考查向量的数量积运算.由题意得则又,所以,所以,所以,所以,故选B.5.【答案】C【解析】,因此,应选择,而时不满足条件,,故选C.6.【答案】C【解析】A选项:取,满足,但,所以不是的必要条件,A错误;B选项:若,则,所以不是的必要条件,B错误;C选项:若,则,若,则,则有,所以,是的必要条件;取,显然满足,但,所以不是的充分条件.综上,是的必要不充分条件,C正确;D选项:取,显然满足,但,所以不是的充分条件,D错误.故选:C7.【答案】A【解析】由题意可知直线的方程为,设,联立方程,消去得,则,所以因为,解得,所以准线方程为.故选:A.8.【答案】D【解析】对于A,若,则,又,则,故A正确;对于B,若,则,故B正确;对于C,若是异面直线,,则,故C正确;对于D,若,则或,故D错误.故选D.9.【答案】A【解析】解:不选2时,有种,选2,不选时,先排2,有种,然后选择和排列剩下两个数字,有种,最后选择和排列字母,有种,所以有种,选2,选时,2在数字的中间,有种,当2在数字的第三位时,种,根据分类计数原理,共有.故选:A.10.【答案】D【解析】由于,且,则,整理得,则,整理得,所以.故选:D.11.【答案】B【解析】解:由题知,设焦点为,过做,如图所示,与圆相切,,为中点,,,且相似比为,即,又,为直角三角形,化简可得,将上式两边同时平方,将代入可得,离心率为.故选:B.12.【答案】D【解析】略13.【答案】-1【解析】由满足的约束条件画出可行域,如图中阴影部分(含边界).由,得,作出直线,并平移该直线.由图像知当直线经过点时,直线的截距最小.由解得所以,所以的最大值为.14.【答案】-70【解析】的项为的项为的展开式中项为的展开式中项的系数为-70。

四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2024届成都市高三数学（文）上学期一诊联考试卷2023.12（试卷满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()()11f f -+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．普法知识宣传小组打算从某小区的2000人中抽取25人进行法律知识培训，拟采取系统抽样方式，为此将他们一一编号为12000~，并对编号由小到大进行分段，假设从第一个号码段中随机抽出的号码是2，那么从第三个号码段中抽出的号码为（）A ．52B ．82C ．162D ．2523．已知复数41i i i z -=+（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）A ．1-B ．1C ．i -D ．i 4．若数列{}n a 满足113,21n n a a a n +==-+，则234a a a ++=（）A ．6B ．14C ．22D ．375．已知向量((),2,0a b =-= ，则cos ,a b =（）A ．32B ．12C ．12-D．6．若实数,x y 满足2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则x y +的最小值为（）A ．0B ．37C ．35D ．17．已知函数()f x 的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可以为（）A ．()22e e 1x x x f x =-B ．()22e e 1xxx f x =+C ．()()()241ln 2xf x x x -=++D ．()()24ln 11x f x x +=+8．已知平面,,,,a b αβγαβγβ⋂=⋂=，则α γ是a b 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．若11ln 22a =，22ln 33b =，1e c =-，则（）A ．c b a <<B ．b<c<a C ．c<a<bD ．b a c<<10．已知()0,πα∈，且sin 2αα=，则tan α=（）A ．B ．33C D 11．若[)20,,1e xx x ax ∞∈+++≤恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．eB ．2C ．1D ．e 2-12．已知圆22:40C x y +--=经过椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点12,F F ，圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为12,24N NF NF ⋅=，则椭圆Ω的离心率为（）A ．B ．63C ．22D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知集合{2},{lg }A x xB x y x =<==∣∣，则A B =．14．曲线()321f x x x =++在点()()1,1f 处的切线方程为．15．记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和.若714S =，且3a ，4a ，6a 成等比数列，则2024a 的值为.16．已知侧面积为的圆锥内接于球O ，若圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则球O 的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =.(1)求证：1C M ⊥平面BDM ；(2)求三棱锥1M BC D-的体积.18．某校高中阶段实行体育模块化课程教学，在高一年级开设了篮球和羽毛球两个模块课程，从该校高一年级随机抽取的100名男生和100名女生中，统计出参加上述课程的情况如下：男生女生总计参加篮球模块课程人数602080参加羽毛球模块课程人数4080120总计100100200(1)根据上述列联表，是否有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)根据抽取的200名学生的模块化课程成绩，每个模块课程的前3名获得参加体育模块化教学推广大使的评选资格，若在有评选资格的6名学生中随机选出2人作为体育模块化课程教学的推广大使，求这2人来自不同模块化课程的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0250.0100.0050.0010k 5.0246.6357.87910.82819．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()1f A =.(1)求A 的值；(2)若1b =，求a c +的取值范围.20．在平面直角坐标系中，动点C 到点()1,0F 的距离与到直线=1x -的距离相等.(1)求动点C 的轨迹方程；(2)若直线:l y x m =+与动点C 的轨迹交于P ，Q 两点，当PQF △的面积为2时，求直线l 的方程.21．已知函数()2e e x f x x=-.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证：()()e ln cosf x x x >+.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4—4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=．(1)当π3α=时，求直线1C 的普通方程；(2)已知点()2,0P ，若直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，且4PA PB ⋅=，求α的值．选修4—5：不等式选讲23．已知函数()21,f x x a x a =-++∈R．(1)当4a =时，求不等式()7f x ≥的解集；(2)若()2f x a>，求a 的取值范围．1．B【分析】根据分段函数分段求值即可.【详解】由于函数()22,0πsin ,02x x f x xx ⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，所以()()()2π1sin1,11212f f ==-=--=-，则()()11110f f -+=-+=.故选：B.2．C【分析】根据系统抽样的特点确定第三个号码段中抽出的号码即可．【详解】采取系统抽样方式，从2000人中抽取25人，那么分段间隔为20008025=，第一个号码是2，那么第三个号码段中抽出的号码是2280162+⨯=．故选：C.3．A【分析】利用虚数单位的幂的运算及除法运算法则计算化简后，根据虚部的定义得到答案.【详解】∵()()()22421i 1i 1i 12i i 12i 1i i i i 11i 1i 1i 1(1)z ----+--======-+++----，∴z 的虚部为-1，故选：A.4．D【分析】根据条件求出234,,a a a ，即可得出结果.【详解】∵113,21n n a a a n +==-+，∴212116a a =-+=，3222111a a =-+=，4323120a a =-+=，∴2346112037a a a ++=++=.故选：D.5．C【分析】利用向量的夹角公式即可求解.【详解】因为((),2,0a b =-=，所以1cos ,2a b a b a b-⨯⋅===-.故选：C.6．B【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后令x y z +=，当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，观察图象可得答案.【详解】作出不等式2020310x y x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域如图：令x y z +=，则y x z =-+，即当直线y x z =-+在y 轴上截距最小时，x y +取最小，即y x z =-+过点21,77A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，x y +取最小值213777+=.故选：B.7．B【分析】由图可知，函数的定义域为R ，是奇函数，当0x >时()0f x >，由此判断各选项可得出结果.【详解】对于A ，当0x =时，02e 1e 10x -=-=，()22e e 1xxx f x =-无意义，故A 错误；对于B ，()22e ,e 1x x x f x x =∈+R ，()()()222122e 2e e 1e 1e 11e xx x x x x x x x f x f x ---⋅--===-=-+++，则()f x 是奇函数，当0x >时，20e 0,e x x >>，则()0f x >；对于C ，当0x >时，()210,ln 2ln10x x +>+>=，则()0f x <，故C 错误；对于D ，()()24ln 1,1x f x x x +=∈+R，则()()()()224ln 14ln 1()11x x f x f x x x -++-===-++，则()f x 是偶函数，故D 错误，综上，B 正确.故选：B.8．A【分析】结合面面平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断.【详解】因为α γ，,a b αβγβ⋂=⋂=，所以由面面平行的性质定理可得a b ，则充分性成立；因为a b ，,a b αβγβ⋂=⋂=可知，所以a b γγ⊄⎧⎨⊂⎩，则a γ∥，又b a αα⊄⎧⎨⊂⎩，则b αP ，当l αγ= 时，由线面平行的性质定理可知a l b ，则必要性不成立；综上所述，α γ是a b 的充分不必要条件.故选：A.9．C【分析】根据,,a b c 的特征可构造函数()ln f x x x=，利用导数求得函数单调性即可比较它们的大小.【详解】易知111lne e e c =-=，构造函数()()ln ,0,f x x x x =∈+∞，则()ln 1f x x '=+；令()0f x '=，解得1e x =，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；可得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；又易知112e 23<<，所以112e 23c f a f b f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即c<a<b .故选：C10．B【分析】将已知条件两边平方，结合“1”的代换化为齐次式，再由弦化切求值即可.【详解】由题设222(sin )sin cos 3cos 4αααααα=-+=，所以4=，且()0,πα∈，故22tan 34tan 4ααα-+=+，即223tan 11)0ααα++=+=，所以tan α=.故选：B 11．D【分析】先确定0x =时的情况，在当0x >时，参变分离可得2e 1x x a x --≤，构造函数()2e 1x f x x x -=-，求出函数()f x 的最小值即可.【详解】当0x =时，01e ≤，不等式成立；当0x >时，2e 1x x a x --≤恒成立，即min 2e 1x a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-≤-，令()2e 1x f x x x -=-，则()()()()()2222e e 1e 11x x x x x f x x x x x x -------'==，因为0x >时，e 10xx -->（后证）所以当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递减，故()()1mine 1e 2111f x f --===-，所以e 2a ≤-，即实数a 的最大值为e 2-.证明当0x >时，e 10xx -->，令()=e 1--x g x x ，0x >，则()=e 10x g x '->，则()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00g x g >=，即e 10xx -->.故选：D.12．C【分析】先根据圆与x 轴的交点求出椭圆的焦点，然后利用圆周角的性质求出12cos F NF ∠，进而根据余弦定理及椭圆的定义可求出a ，则离心率可得.【详解】对于圆22:40C x y +--=，即(2216x y +-=，圆心为(0,，半径为4当0y =时，2x =±，当0x =时，124,4y y ==，即如图点()0,4B 即椭圆2222Ω:1(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为()()122,0,2,0F F -，即2c =，又圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为N ，由圆周角的性质可得1212F NF F BF ∠=∠，则2212121cos cos 2cos 1212F NF F BF F BO ⎛⎫⎪∠=∠=∠-=⨯-=又由121122124cos 2N NF NF F NF F NF NF ⋅==∠=得1232NF NF =-，又()(()22212121212326c 22o 224s 1NF NF NF NF F NF NF NF +-∠=---=-+得(()2422163224a -=--，解得a =所以离心率c ea ==.故选：C.13．{}|02x x <<【分析】求出集合,A B 中元素范围，再求交集即可.【详解】{}{}|2|22A x x x x =<=-<<，{}{}lg |0B x y x x x ===>∣，则{}|02A B x x ⋂=<<.故答案为：{}|02x x <<.14．52y x =-【分析】首先求()1f 和()1f '，代入()()()111y f f x '-=-.【详解】因为2()32f x x x '=+，所以所求切线的斜率(1)325k f '==+=，而(1)1113f =++=，故所求的切线方程为35(1)y x -=-，即52y x =-.故答案为：52y x =-.15．2022【分析】根据等差数列的性质可得42a =，结合等比中项可得1d =，结合等差数列的定义分析求解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则74714S a ==，可得42a =，设等差数列{}n a 的公差为0d ≠，因为3a ，4a ，6a 成等比数列，则2436a a a =，即()()4222=-+d d ，解得1d =或0d =（舍去），所以4202420202022=+=a a d .故答案为：2022.16．100π【分析】结合圆锥的几何性质求出圆锥的底面半径，作出轴截面结合勾股定理即可求解.【详解】设底面半径为r，因为圆锥的母线与底面所成角的正切值为12，则圆锥的高为2rh =，母线为2l r==，则其侧面积为1(2π)2r r =，解得4r =，作出圆锥的轴截面，如下图所示：则球的半径为2222()4(2)2rR r R R =+-=+-，解得5R =则球O 的表面积为224π4π(5)100πR =⋅=.故答案为：100π17．(1)证明见解析(2)4【分析】（1）根据正四棱柱的几何性质确定线段长度，结合勾股定理可得1C M DM⊥，1C M BM⊥，再根据线面垂直判定定理即可证得结论；（2）根据三棱锥的等体积转化，结合体积公式求解即可.【详解】（1）如图，连接11A C .正四棱柱1111ABCD A B C D -中，M 为1AA 的中点，2AB =，14AA =，∴221111112AC A D D C =+11122A M AM AA ===，222DM AD AM ∴=+=又22115C D DC CC =+22111123MC AC A M=+.22211C M DM DC +=，∴1C M DM ⊥.同理可得1C M BM⊥.DM BM M = ，DM ⊂平面BDM ，BM ⊂平面BDM ，∴1C M ⊥平面BDM .（2）由（1）知，BM DM BD ===1C M ⊥平面BDM .∴(112111433M BC D C BDM BDM V V S C M --==⋅=⨯⨯=△.三棱锥1C BDM-的体积为4.18．(1)有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关；(2)35.【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论即可；（2）由古典概型中的列举法求概率即可.【详解】（1）由列联表数据可得，()222006080402010033.33310.828100100120803K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为该校高一年级体育模块化课程的选择与性别有关.（2）设篮球模块课程的前3名为1A ，2A ，3A ，羽毛球模块课程的前3名为1B ，2B ，3B .从这6人中随机选2人的基本事件有()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共15个.其中选出的这2人来自不同模块化课程的基本事件有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()33,A B 共9个.故所求概率为93155P ==.19．(1)π3A =(2)1,22⎛ ⎝【分析】（1）由三角函数的诱导公式和辅助角公式计算可得；（2）首先由正弦定理和（1）求出122tan2a c B+=+，然后用锐角三角形和（1）求出B 的取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.【详解】（1）()2πcos 2cos 1cos22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭.由()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即1sin 22π6A ⎛⎫+=⎪⎝⎭.ABC 为锐角三角形，ππ7π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴π5π266A +=.∴π3A =.（2）由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==.∴32sin a B =，2πsin sin 3sin sin B C c B B ⎛⎫- ⎪⎝⎭==.)22πsin cos 111132sin 2sin 2224sin cos 2tan 222B B B a c B B B B B ⎛⎫- ⎪+⎝⎭+++==++，.ABC 是锐角三角形，∴π02B <<，且2ππ32C B =-<.∴ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,2124B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππtantanπππ34tan tan 2ππ12341tan tan 34-⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭+⨯，()22Btan∈.∴322tan 2B ⎝.∴31,22a c ⎛+∈+ ⎝.综上，a c +的取值范围为1,22⎛+ ⎝.20．(1)24y x =(2)y x =或y x =或y x =.【分析】（1）结合抛物线的定义即可求解；（2）联立直线与抛物线，结合韦达定理及弦长公式和三角形面积公式即可求解.【详解】（1）由题知，动点C 的轨迹是以F 为焦点，=1x -为准线的抛物线.∴动点C 的轨迹方程为24y x =.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y由24y x m y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y y m -+=.由16160m ∆=->，得1m <.∴124y y +=，124y y m =.由FPQ △的面积121122S PQ d y y =⋅⋅=⋅-∴14+=.∴14+=，即()210m m m +-=.1m <，∴0m =或m =.∴直线l 的方程为y x =或152y x -=+或152y x -=+.21．(1)单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.(2)证明见解析【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系即可得解；（2）构造函数()()2e e e ln 1x h x x x =--+，利用导数判推得()0h x >，进而得证.【详解】（1）因为()2e e x f x x=-，所以()2e ex f x =-'，当(),1ln 2x ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1ln 2,x ∈-+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；所以()f x 的单减区间为(),1ln 2-∞-，单增区间为()1ln 2,-+∞.（2）设函数()()2e e e ln 1xh x x x =--+，则()e2e e x h x x '=--，0x >，易得()h x '在()0,∞+上单调递增，且()10h '=，所以当()0,1x ∈，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,x ∈+∞，()0h x '>，()h x 单调递增；所以()()min 10h x h ==，故()2e e e ln 10x x x --+≥，当且仅当1x =时等号成立，即()()e ln 1f x x ≥+，当且仅当1x =时等号成立，因为1cos x ≥，所以()()()e ln 1e ln cosf x x x x ≥+≥+，由于上述不等式取等条件不能同时成立，所以()()e ln cosf x x x >+，得证.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用中间函数()e ln 1y x =+作为桥梁，简化了证明过程，从而得证.22．0y --=(2)π6α=或π3【分析】（1）将π3α=代入参数方程，然后把参数方程转化为普通方程即可；（2）先求2C 的普通方程，再把1C 代入2C 得到一元二次方程，从而根据t 的几何意义得到α的值.【详解】（1）当π3α=时，求直线1C的参数方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，化简得直线1C0y --=.（2）因为曲线2C 的极坐标方程为2cos22ρθ=，所以()2222cos2cos sin 2ρθρθθ=-=.又因为=cos ,=sin x y ρθρθ，所以曲线2C 的普通方程为222x y -=.将直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，π02α<<）代入222x y -=，得()()2222cos sin t t αα+-=，化简得2222cos sin 244cos t t t ααα+-+=，即2cos 24cos 20t t αα++=.因为直线1C 交曲线2C 于,A B 两点，所以cos20α≠，即π4≠α，又()2Δ16cos 8cos 281cos 28cos 280.αααα=-=+-=>设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，则12124cos 2,cos 2cos 2t t t t ααα+=-=.因为点()2,0P 在直线1C 上，所以1224cos 2PA PB t t α⋅===，即1cos 22α=，又π02α<<，所以π6α=或π3.23．(1)410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ (2)2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）代入4a =，分类讨论去绝对值解不等式即可；（2）分2a <-，2a >-，2a >-讨论，通过单调性求出()f x 的最小值，然后利用()min 2f x a>解不等式求出a 的取值范围．【详解】（1）当4a =时，()33,22415,1233,1x x f x x x x x x x ->⎧⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪-+<-⎩，因为()7f x ≥，所以3372x x -≥⎧⎨>⎩或5712x x -+≥⎧⎨-≤≤⎩或3371x x -+≥⎧⎨<-⎩，解得43x ≤-或103x ≥，故不等式()7f x ≥的解集为410,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ；（2）当2a <-时，12a<-，此时()31,1211,1231,2x a x a f x x a x x a x a x a x ⎧⎪-+>-⎪⎪=-++=--≤≤-⎨⎪⎪-+-<⎪⎩，明显函数()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()min 2122a a a f x f a ⎫- -==⎪⎭>⎛⎝，解得25a <-，又2a <-，所以2a <-，当2a >-时，12a>-，此时()31,2211,1231,1a x a x a f x x a x x a x x a x ⎧-+>⎪⎪⎪=-++=---≤≤⎨⎪-+-<-⎪⎪⎩，明显函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，故()()min 1121f ax f =--=>--，解得23a <-，又2a >-，所以223a -<<-；当2a =-时，此时()312f x x a=+>，综上所述，a 的取值范围是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。

2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．（4分）﹣2024的绝对值是（ ）A．2024B．﹣2024C．D．2．（4分）提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（4分）据统计，仅2024年大年初一这一天，我国全社会跨区域人员流动量约为1.9亿人次．将1.9亿用科学记数法表示为（ ）A．19×108B．1.9×109C．0.19×1010D．1.9×1084．（4分）下列各式计算正确的是（ ）A．（x+y）2＝x2+y2B．（2x2）3＝6x6C．4x3÷2x＝2x2D．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．（2，4）B．（0，﹣4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）6．（4分）2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史•吾辈自强”的演讲比赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数和中位数分别为（ ）A．80，79B．80，78C．78，79D．80，807．（4分）如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，且AE：DE＝1：2，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE＝4，AF＝6，则▱ABCD的周长为（ ）A．21B．34C．48D．608．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①当x＜0时，y随x增大而增大；②该抛物线一定过原点；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0；⑤b＞0．其中结论正确的个数有（ ）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式：3a3﹣12a＝ ．10．（4分）如图，直线：y＝2x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则方程组的解为 ．11．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有 个．12．（4分）如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，当S△ABC＝2时，k的值为 ．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和点C 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD＝2，则△ACD的面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．15．（8分）为提升同学们的综合素质，丰富课余生活，某校举行了“爱新都”为主题的视频制作评比活动．某兴趣小组同学积极参与，计划制作有代表性景点的城市宣传短片，现抽样调查了部分学生，从A锦门民国小镇，B桂湖公园，C宝光寺，D新繁东湖，E泥巴沱公园五个景点中，选出最具有新都代表性的地方，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有 人，扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数等于 度，并把条形图补充完整；（2）该校学生共计1500人，请估算出该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数；（3）该兴趣小组准备从校内四位“优秀共青团员”（两男两女）中，挑选两人作为宣传片中的讲解员，请利用列表或画树状图的方法，求所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率．16．（8分）某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点M处架设测角仪，测得古城门最高点A的仰角为22°，然后前进20m到达点N处，测得点A的仰角为45°；已知测角仪的高度为1.4m．求古城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）17．（10分）如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上，连接EG，DG，且．（1）求证：∠ABE＝∠ADG；（2）若，，，求EG的长．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A （3，m），B两点．（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数的图象（x＜0）交于点M，N，且，连接BM，求△ABM的面积；（3）如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E，且DE＝2EC，再连接AD，BC，若此时四边形ABCD 恰好为平行四边形，求k的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）满足的整数x有 个．20．（4分）x1，x2为一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣3x1x2＝ ．21．（4分）将抛物线C1：y＝x2向左平移a（a＞0）个单位长度后，再向下平移b个单位长度，得到新的抛物线C2，若A（﹣a﹣2，y1），B（﹣a+1，y2），C（﹣a+3，y3）为抛物线C2图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系 .（请用“＜”表示）22．（4分）如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，＝称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD 的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，＝称为“白银比率”，则该比率为 ；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是 ．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N为直线AD上的两个动点，且∠MBN ＝30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM′，连接CM′．当线段CM′的长度最小时，∠MM'C的度数为 度．24．（10分）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置OA高2米，点A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．O位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与OA的水平距离为1米时，喷出的水柱可以达到最大高度3米．（1）求出该抛物线的函数表达式；（2）为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c，经过点M（2，3），与y轴交于点A（0，﹣1），直线BC与抛物线交于异于点A的B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若三角形BOM是以OM为底的等腰三角形，试求出此时点B的横坐标；（3）若BA⊥CA，探究直线BC是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．26．（10分）如图1，在四边形ABFE中，∠F＝90°，点C为线段EF上一点，使得AC⊥BC，AC＝2BC＝4，此时BF＝CF，连接BE，BE⊥AE，且AE＝BE．（1）求CE的长度；（2）如图2，点D为线段AC上一动点（点D不与A，C重合），连接BD，以BD为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD．①当DG∥AB时，试求AD的长度；②如图3，点H为AB的中点，连接HG，试问HG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．3．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1.9亿＝190000000＝1.9×108，故选：D．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．4．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项A错误，不符合题意；（2x2）3＝8x6，故选项B错误，不符合题意；4x3÷2x＝2x2，故选项C正确，符合题意；x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点解答即可．【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，4）．故选：C．【点评】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．6．【分析】将数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为74，76，78，78，80，80，80，85，所以这组数据的众数为80，中位数为＝79，故选：A．【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．7．【分析】由平行四边形的性质推出CD∥AB，DC＝AB，AD＝BC，得到△FAE∽△CDE，推出FA：CD＝AE：DE＝1：2，求出CD＝12，由AE＝4，AE：DE＝1：2求出DE＝8，得到AD＝AE+ED＝12，即可求出▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝48．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，DC＝AB，AD＝BC，∴△FAE∽△CDE，∴FA：CD＝AE：DE＝1：2，∵FA＝6，∴CD＝12，∵AE＝4，AE：DE＝1：2，∴DE＝8，∴AD＝AE+ED＝12，∴▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝2×（12+12）＝48．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，得到FA：CD＝AE：DE＝1：2，求出CD的长．8．【分析】①根据函数图象变化趋势进行解答；②根据对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，便可判断；③根据由函数图象可知，与x轴有两个交点；④根据当x＝﹣1时，y的函数值的位置进行判断；⑤根据开口方向和对称轴的位置解答即可．【解答】解：①由函数图象可知，当﹣2＜x＜0时，y随x增大而减小，则此小题结论错误；②∵对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），∴另一个交点为（0，0），即抛物线一定过原点，则此小题结论正确；③∵由函数图象可知，与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0；则此小题结论正确；④由函数图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，则此小题结论错误；⑤∵开口向下，∴a＜0，对称轴为直线x＝﹣2，∴b＜0，则此小题结论错误；故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a3﹣12a＝3a（a2﹣4），＝3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．【分析】首先利用待定系数法求出m的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．【解答】解：∵直线y＝2x+4经过点P（1，m），∴m＝2+4＝6，∴P（1，6），∴方程组的解为．故答案为：．【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．11．【分析】设箱内粉球有x个，根据概率公式列出方程，解方程即可．【解答】解：设箱内粉球有x个，由题意得：＝，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，即箱内粉球有6个，故答案为：6．【点评】此题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．12．【分析】根据反比例函数图象的对称性可得出A，B两点关于点O对称，进而得出△AOC 与△BOC的面积相等，据此可解决问题．【解答】解：因为反比例函数是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，所以点A和点B关于点O对称，则OA＝OB．又因为S△ABC＝2，所以．因为AC⊥x轴，所以，则x A y A＝2，所以k＝x A y A＝2．故答案为：2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知反比例函数图象的对称性是解题的关键．13．【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABC即可解决问题．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA＝DC∴∠DAC＝∠C，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠C＝90°，即2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴AC＝AB＝2．∴△ACD的面积＝S△ABC＝××2×2＝，故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂计算；（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．【解答】解：（1）原式＝3×﹣﹣×+1＝﹣2﹣1+1＝﹣；（2）原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键》15．【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次被调查的学生人数；用360°乘以本次调查中选择A景点的人数所占的百分比，可得扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数；求出选择D景点的人数，补全条形统计图即可．（2）根据用样本估计总体，用1500乘以样本中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案．（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及所选两人恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被调查的学生有18÷22.5%＝80（人）．扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数等于360°×＝72°．故答案为：80；72．选择D景点的人数为80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（人）．补全条形统计图如图所示．（2）1500×＝375（人）．∴该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数约375人．（3）将2名男生分别记为甲，乙，2名女生分别记为丙，丁，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选两人恰好是1名男生和1名女生的结果有：甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共8种，∴所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．16．【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC＝MN＝20m，DE＝CN＝BM＝1.4m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝20+x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，则BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，ED＝BM，设AE＝xm，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝xm，∵BC＝20m，∴BE＝x+20，在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，∴tan22°＝，∴0.40＝，解得：x≈13.33，∴ED＝BM＝1.4m，∴AF＝13.33+1.4＝14.73≈14.7（m）．答：古城门最高点A距离地面的高度约为14.7m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．17．【分析】（3）利用同角的余角相等可得∠BAE＝∠DAG，结合条件即可证明△ABE∽△ADG，以此即可得证；（2）易得∠ADB＝∠CBD，结合（1）中结论并根据等角加等角相等得∠EDG＝90°，再由勾股定理求得BD的长，于是得出BE的长，由△ABE∽△ADG可求出DG的长，最后再利用勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，即∠BAE+∠DAE＝∠DAG+∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，又∵，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG．（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠CBD＝90°，即∠EDG＝90°，在Rt△ABD中，AB＝，AD＝，∴＝＝，∴BE＝BD＝，DE＝，由（1）知，△ABE∽△ADG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴，∴DG＝，在Rt△DEG中，EG＝＝＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，解题关键：（1）由同角的余角相等得到∠BAE＝∠DAG；（2）根据角之间的关系推理证明∠EDG＝90°．18．【分析】（1）将A（3，m）代入直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝，可得答案；（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，根据平行线分线段成比例得，可得N（﹣4，﹣3），从而得出直线AM的解析式为y＝x+1，M（﹣1，0），再计算S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM即可；（3）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，可得C（t，0），则D（t﹣3，2），过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，则DG∥EF，可得△CEF∽CDG，利用相似三角形的性质得，可得出EF＝，OF＝t﹣1，则E（t﹣1，），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得t＝，即可解决问题．【解答】解：（1）将A（3，m）代入反比例函数y＝得，m＝4，∴A（3，4），将点A（3，4）代入y＝﹣x+b得，b＝6，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，联立直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝得，，解得，∴点B的坐标为（6，2）；（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，设AB与x轴交于H，∴MP∥NQ，∴，∵A（3，4），∴AP＝4，∴PQ＝3，∴N（﹣4，﹣3），设线AM的解析式为y＝k′x+b′，∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1，∴M（﹣1，0），∵直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，令y＝0，则x＝9，∴H（9，0），∴S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM＝×4×（1+9）﹣×2×（1+9）＝10；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，令y＝0，则x＝t，∴C（t，0），∵A（3，4），B（6，2），∴D（t﹣3，2），∵DE＝2EC，∴，过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，∴DG∥EF，∴△CEF∽CDG，∴，∴，，∴EF＝，OF＝t﹣1，∴E（t﹣1，），∵D，E都在另一条反比例函数（k＞0）的图象上，∴k＝（t﹣1）＝2（t﹣3），∴t＝，∴k＝×（×﹣1）＝2．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．【分析】求出﹣，的取值范围，进而可得出答案．【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，2＜＜3，∴满足＜x＜的整数x有﹣1，0，1，2共4个，故答案为：4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定﹣，的取值范围．20．【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再求出x1+x2与x1•x2的值，代入代数式进行计算即可．【解答】解：一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0可化为3x2﹣x﹣1＝0，∵x1，x2为一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣，∴x1+x2﹣3x1x2＝﹣3×（﹣）＝+1＝．故答案为：．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．21．【分析】求出A，B，C三个点离抛物线对称轴的远近，结合抛物线的开口方向即可解决问题．【解答】解：由题知，平移后的抛物线函数解析式为：y＝（x+a）2﹣b，则此抛物线的对称轴为直线x＝﹣a，且开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小．因为﹣a﹣（﹣a﹣2）＝2，﹣a+1﹣（﹣a）＝1，﹣a+3﹣（﹣a）＝3，且1＜2＜3，所以y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．22．【分析】根据“白银矩形”的定义，列出方程即可求出“白银比率”，再利用求出的“白银比率”即可解决问题．【解答】解：令BC＝x，由得，，解得AE＝（舍负），所以AB＝2x+AE＝，则“白银比率”为：．如图所示，，x＝，经检验x＝是原方程的解，且符合题意．所以该“白银矩形”的面积为：．故答案为：，．【点评】本题考查矩形的性质及黄金分割，理解题中所给定义是解题的关键．23．【分析】将线段BA绕点B顺时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，得到△ABM≌△EBM′，再由当CM⊥EF时，CM'有最小值，可得△EBG与△M′CG均为30°、60°、90°直角三角形，再证明△ABM为等腰直角三角形，△MBM是等边三角形，进而得到∠EM'B＝∠AMB＝60°，最后当CM′⊥EF于H时，CM′有最小值，由此可以求出∠MM'C ＝∠EM'C﹣∠EM'M＝90°﹣15°＝75°．【解答】解：将线段BA绕点B顺时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，设EM交BC于G点，如下图所示：在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，根据折叠可知，∠MBM'＝60°，BM＝BM'，∴∠ABM＝∠ABE﹣∠MBE＝60°﹣∠MBE，∠EBM'＝∠MBM'﹣∠MBE＝60°﹣∠MBE，∴∠ABM＝∠EBM′，∵BA＝BE，BM＝BM′，∴△ABM≌△EBM′（SAS），∵AM＝EM′，∠E＝∠A＝90°，∵∠EBG＝90°﹣60°＝30°，∴∠BGM'＝∠EBG+∠BEG＝90°+30°＝120°，∴∠EGC＝120°，∴∠CGM'＝∠EGB＝180°﹣120°＝60°，∴点M在EF上，∵垂线段最短，∴当CM′⊥EF时，CM′有最小值，∴△EBG与△M′CG均为30°、60°、90°直角三角形，设EG＝x，BC＝2y，则BG＝2EG＝2x，CG＝BC﹣BG＝2y﹣2x，，∴，∵BC＝2AB，，∴EM′＝AB，∵AM＝EM′，∴AB＝AM，∴△ABM为等腰直角三角形，∴∠EM′B＝∠AMB＝45°，∵∠MBM'＝60°，BM＝M′B，∴△MBM是等边三角形，∴∠BM'M＝60°，∴∠EM'M＝∠BM'M﹣∠EM'B＝60°﹣45°＝15°，∴∠MM'C＝∠EM'C﹣∠EM'M＝90°﹣15°＝75°，故答案为：75．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．24．【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（1，3），用顶点式设出抛物线解析式，把点A 的坐标代入可得抛物线二次项系数的值，即可求得抛物线的解析式；（2）水流落回水面，即抛物线与x轴相交，那么纵坐标为0求得符合题意的x的值，再加上预留的一米即为该圆形喷水池的半径最少的米数．【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，3）．∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）．∵抛物线经过点（0，2），∴a+3＝2．解得：a＝﹣1．∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）∵水流落回水面，∴抛物线与x轴相交．∴﹣（x﹣1）2+3＝0．（x﹣1）2＝3，x﹣1＝，x﹣1＝﹣．∴x1＝+1，x2＝1﹣（不合题意，舍去）．∴该圆形喷水池的半径至少设计为：+1+1＝（+2）米．答：该圆形喷水池的半径至少设计为（+2）米．【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意设出符合题意的函数解析式是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数有顶点坐标，设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）计算比较简便．25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）求出OM中垂线表达式中的k值为﹣，得到直线OM中垂线的表达式，即可求解；（3）证明tan∠ACN＝tan∠BAM，得到，整理得：mn＝﹣1，进而求解．【解答】解：（1）将点A、M的坐标代入函数表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣1；（2）由点O、M的坐标得，直线OM的表达式为：y＝x，则OM中垂线表达式中的k值为﹣，OM的中点坐标为：（1，），则直线OM中垂线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+，联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣1＝﹣（x﹣1）+，解得：x＝，即点B的横坐标为：；（3）直线BC过定点（0，0），理由：过点A作x轴的平行线交过点B和y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，设点B（m，m2﹣1）、C（n，n2﹣1），∵BA⊥CA，∴∠BAM+∠CAN＝90°，∵∠ACN+∠CAN＝90°，∴∠ACN＝∠BAM，∴tan∠ACN＝tan∠BAM，即，即，整理得：mn＝﹣1，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（m+n）（x﹣m）+m2﹣1＝（m+n）x﹣mn ﹣1＝（m+n）x，当x＝0时，y＝（m+n）x＝0，即直线BC过定点（0，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、中垂线的性质，数据处理是本题的难点，题目有一定的综合性，难度适中．26．【分析】（1）取AB的中点为H，连接EH、HC，证明△BCF是等腰直角三角形，∠BCF ＝45°，得BF＝CF＝，再证明△AEB是等腰直角三角形，得∠ABE＝45°，然后证明∠BAC＝∠BEF，即可解决问题；（2）①过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，证明△CMD是等腰直角三角形，得CD＝DM，再证明△DBC∽△GBF，得∠BCD＝∠BFG＝90°，＝＝，进而证明△BKD是等腰直角三角形，得DK＝BK，然后证明DK＝AB，求出DK＝，即可解决问题；②过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，由①得点G在EF上运动，当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，设AC交BE于点N，即N与①中的D重合，由等腰直角三角形的性质得AE＝，再由锐角三角函数定义得sin∠ENA＝，设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，然后证明∠HEF＝∠EAN，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，取AB的中点为H，连接EH、HC，设AC交BE于点N，∵AC＝2BC＝4，∴BC＝2，∵∠F＝90°，BF＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∠BCF＝45°，∴BF＝CF＝BC＝×2＝，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵BE⊥AE，AE＝BE，∴△AEB是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABN＝∠NCE，∵∠ANB＝∠CNE，∴∠BAC＝∠BEF，∴tan∠BAC＝tan∠BEF，∵tan∠BAC＝＝＝，∴tan∠BEF＝＝，∴EF＝2BF＝2，∴CE＝EF﹣CF＝2﹣＝；（2）①如图2，过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，则∠DMG＝90°，由（1）得：∠ACE＝45°，∴△CMD是等腰直角三角形，∴CD＝DM，∵△BCF、△BGD都是等腰直角三角形，∴DG＝BG，∠BGD＝90°，∠DBG＝∠CBF＝45°，＝＝，∴∠DBG﹣∠CBG＝∠CBF﹣∠CBG，即∠DBC＝∠GBF，＝，∴△DBC∽△GBF，∴∠BCD＝∠BFG＝90°，＝＝，∴CD＝FG，∴DM＝FG，∵∠BFE＝90°，∴点G在EF上，∵DG∥AB，∠BGD＝90°，∴∠GBA＝90°，∵∠ABE＝45°，∠DBG＝45°，∴D在BE上，∵tan∠BAC＝，∴＝，∴AK＝2DK，∴AD＝＝＝DK，∵DK⊥AB，∠ABE＝45°，∴△BKD是等腰直角三角形，∴DK＝BK，∵AK＝2DK，AB＝AK+BK，∴DK＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴DK＝AB＝×2＝，∴AD＝DK＝×＝；②HG存在最小值，理由如下：如图3，过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，由①得：点G在EF上运动，当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，设AC交BE于点N，则N与①中的D重合，由①得：AN＝，∵△AEB是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝×2＝，∵点H为AB的中点，∴EH＝AB＝×2＝，∠BEH＝45°，∴sin∠ENA＝＝＝，设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，∵∠EAN＝∠ABE+∠BAC＝45°+α，∴∠HEF＝∠EAN，在Rt△PEH中，PH＝EH•sin∠HEF＝EH•sin∠ETA＝×＝，∴HG的最小值为．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。

数学试题（理科）【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x，集合{1}=P，则UP=ð（A）[0,1)(1,)+∞（B）(,1)-∞（C）(,1)(1,)-∞+∞（D）(1,)+∞【知识点】集合的补集 A1【答案】【解析】A解析：因为{|0}=≥U x x，{1}=P，所以UP=ð[0,1)(1,)+∞,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A）（B）（C）（D）【知识点】三视图 G2【答案】【解析】C解析：由题意可得，A是正方体，B是三棱柱，C是半个圆柱，D是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C.【思路点拨】由三视图的基本概念即可判断.【题文】3．已知复数z43i=--（i是虚数单位），则下列说法正确的是（A）复数z的虚部为3i-（B）复数z的虚部为3（C）复数z的共轭复数为z43i=+（D）复数z的模为5【知识点】复数运算 L4【答案】【解析】D解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为43i-+，故选D.【思路点拨】由复数概念直接可得.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【知识点】函数的图像 B6 B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A. 【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是（ ） （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ” （C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”【知识点】四种命题 A2【答案】【解析】C 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，故选C.【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题.【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]【知识点】二次函数 B5【答案】【解析】B 解析：因为240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.【题文】7．已知F 是椭圆22221+=x y a b （0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x 轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是（ ）（A ）14 （B ）34 （C ）12 （D）2【知识点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】B 解析：Rt PFA 中，222|PF||FA ||PA |+=，||c FA a =+，2|PF |b a =， 又14=PF AF ，21(c)4b a a =+，得22430c ac a +-=,34c a ∴=,故选B. 【思路点拨】Rt PFA 中, ||c FA a =+，2|PF |b a =，且14=PF AF ，得22430c ac a +-=，可求离心率.【题文】8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥ 【知识点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D 解析：A 中m ，n 可能异面；B 中α，β可能相交；C 中可能m β⊂或//m β，故选D.【思路点拨】熟悉空间中线线，线面关系的判断，逐一排除即可.【题文】9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是（A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π【知识点】两角和与差的正弦、余弦 C7【答案】【解析】A 解析：()2αββαα+=-+，552sin =α，],4[ππα∈cos 25α∴=-且[,]42ππα∈，又1010)sin(=-αβ，[,]42ππα∈，]23,[ππβ∈，cos()βα∴-=，因此sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-((2=+=-，又5[,2]4παβπ+∈，所以74παβ+=，故选A. 【思路点拨】利用角的变换()2αββαα+=-+，得sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-即可求解.【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时，2HP最小值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）25 【知识点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：点P 到平面11CDD C 距离就是点P 到直线1CC 的距离，所以点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，因此点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在面11A ABB 中作1HK BB ⊥于K ，连接KP ，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可，由题意易求得min2|K |6P =，所以2|HP |最小值为22，故选B.【思路点拨】注意到点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，即点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 【题文】11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【知识点】向量的夹角 F3【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090. 【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】12．二项式261()x x -的展开式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）【知识点】二项式定理 J3【答案】【解析】-20解析：2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x ---+=-=-，求展开式中含3x 的项的系数，此时3633r r -=∴=，因此系数为6r366(1)120r C C --=-⨯=-，故答案为-20.【思路点拨】利用通项2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x ---+=-=-，可求r,即可求出系数.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________． 【知识点】余弦定理，正弦定理 C8【答案】2222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.面积11sin 2422S ac B ==⨯⨯=【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =，再利用1s i n 2S a c B =即可.【题文】14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 【知识点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：因为0x ≥时，奇函数3()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 在R上为增函数，2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+，2(2)22x a a ax x ∴++≤+，即()222(2)0x a x a a -+++≤，2a x a ∴≤≤+，{|2}A x a x a =≤≤+，{|22}B x x =-≤≤,因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩，故答案为[2,0]-.【思路点拨】因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，然后根据题意分别求出集合,A B 即可.【题文】15．已知曲线C ：22y x a =+在点nP (n （0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为nk ，直线nl 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论：①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54；③当*n ∈N时，n k <；④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为nS，则1)<n S ．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【知识点】命题的真假判断A2【答案】【解析】①③④解析：因为曲线C ：22yx a =+，所以()2'2'2y yy ==，即1'y k y ===，n k =，点nP (,n （0,a n >∈N ）处的切线nl为)y x n =-，,n n x n a y ∴=--= ， ①00|x ||y |=，0,||1n a a ∴=-== ，正确；②1122n y ===12=112≥⨯=，所以n y 的最小值为1,错误；③012n <≤，sin ∴><亦即n k <，正确；④n k==121n n n<++=+，22(2n 1)<+，<<=，因为n k =，所以122(21321)n n Sk k k n n=+++<-+-+++-1)=，故正确.【思路点拨】依题意，分别求出n k =， ,n n x n a y =--=，依次进行判断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【知识点】古典概型，分布列 K2 K6【答案】【解析】（Ⅰ）15 （Ⅱ）X 的分布列为:X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C …………………………………………………2分1(2)()5===P X P A ……………………………………………………2分∴X 的分布列为∴X的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．………………………………2分【思路点拨】）X 的可能取值为0,1,2，再分别求出(0)P X =，(1)P X =，(2)P X = 即可.【题文】17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =．（Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．【知识点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图．则(1,0,0)A，(1,0,2)-E，D．∴(2,0,2)=-AE，(1=-AD．设平面ADE的一个法向量为1(,,z) =x yn，则11⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AEADnn，即220-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩x zx z，令1=x，则1,0==z y．∴平面ADE的一个法向量为1(1,0,1) =n．又平面ABC的一个法向量为2(0,0,1) =n．∴121212,⋅>===cos<n nn nn n．∴平面DEA与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．…………………………8分【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很容易找出//DF OB；（Ⅱ）分别求平面DEA与平面ABC的法向量1(1,0,1)=n2(0,0,1)=n，∴121212,⋅>===cos<n nn nn n，即可求出余弦值．【题文】18．（本小题满分12分）已知数列{}na的前n项和为nS，且22n nS a=-；数列{}nb满足11b=，12n nb b+=+.*n∈N．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b=，*n∈N．求数列{}n c的前n项和n T．【知识点】等差数列，等比数列【答案】【解析】（Ⅰ）2nn a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵22n n S a =-当2≥n 时，1122--=-n n S a-得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）． 又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-n n c n …………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n nT n n n ④-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ……………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ……………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n ∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n nT n …………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可；（Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【知识点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ．又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ．又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ．又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分 ∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）.【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b y a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F的距离之和为（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B，且AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值．【知识点】直线与椭圆H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+y x （Ⅱ）0x 的值为3-或1-（Ⅰ）由已知2=a得=a=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321m x x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-=AB x又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，因为=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分情况讨论即可求0x.【题文】21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()e mxmx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和极小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f x g x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【知识点】函数综合B14【答案】【解析】（Ⅰ）()2f x me=-极小值（Ⅱ）略（Ⅲ）(,)(21)∈-∞-+m e e解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．…………………1分∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1，单调递增区间是),(+∞e ．……………2分∴mee f x f 2)()(-==极小值.……………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e --'=-=>．∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增．∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ．∴02<<me …………………………………………………………………………………3分由(1)(1)0-=-=-<m mg m me m e ． ∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e ．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max ()()>f x g x∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增． ∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分∵(2)()-'=mx mx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减．∴max 224()()==-g x g m m e m ．…………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e ．∴224(21)e m e +>，即224(21)m e e >+． 由0<m，解得(21)m e e <-+．综上所述，存在这样的负数(,(21)∈-∞-+m e e 满足题意．……………………………1分【思路点拨】（Ⅰ）2(12ln )()(ln )mx x f x x ⋅-'=，由0)(>'x f 和0)(<'x f ，求得其单调区间，进而可求极值 ；（Ⅱ）(2)(),(0)mx mx mx g x m e -'=>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m上单调递减，2(,)m +∞上单调递增，得()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得10a b e c -<<<<<．（III ）由题意，只需min max ()()>f x g x ，12min()()2==-f x f e me ，max 224()()==-g x g m m e m ，求解即可.。

开始结束是否成都市高2016级“一诊”考试数学试题(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，{|22}B x x =-<<，则AB =（A ）{|12}x x -≤≤ （B ）{|12}x x -≤< （C ）{|12}x x -<< （D ）{|21}x x -<≤2．在ABC ∆中，“4A π=”是“2cos 2A =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（A ）3:1 （B ）2:1 （C ）1:1（D ）1:24．设147()9a -=，159()7b =，27log 9c =，则a , b , c 的大小顺序是（A ）b a c <<（B ）c a b << （C ）c b a << （D ）b c a <<5．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（A ）若βα//,//m m ，则βα// （B ）若,m m n α⊥⊥，则//n α（C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥6．已知实数,x y 满足402020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z y x =-的最大值是（A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）67．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）78．已知菱形ABCD 边长为2，3B π∠=，点P 满足AP AB λ=，λ∈R ．若3BD CP ⋅=-，则λ的值为（A ）12 （B ）12- （C ）13（D ）13-4正视图侧视图俯视图9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若E 上存在点P 使12F F P ∆为等腰三角形，且其顶角为23π，则22a b 的值是（A ）43（B ）233 （C ）34（D ）3210．已知函数232log (2),0()33,x x kf x x x k x a -≤<⎧=⎨-+≤≤⎩.若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-，则实数a 的取值范围是（A ）3[,13]2+ （B ）[2,13]+ （C ）[1,3] （D ） [2,3]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ．12．已知函数3()sin 1f x xx -=++.若()3f a =，则()f a -= ．13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙.则x >甲x 乙的概率是 ．14. 已知圆422=+y x ，过点(0,1)P 的直线l 交该圆于B A ,两点，O 为坐标原点，则OAB ∆面积的最大值是 ．15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线2413y x =-的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M ，N ．则当能开发的面积达到最大时，OM 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=．（Ⅰ）求q 的值； （Ⅱ）若2510a a =，求数列{}3n na 的前n 项和n S ． 17．（12分）有编号为129,,,A A A 的9道题，其难度系数如下表：其中难度系数小于0.50的为难题．编号难度系数0.48 0.56 0.52 0.370.69 0.47 0.47 0.58 0.50（Ⅰ）从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率； （Ⅱ）从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率．甲 乙 4 7 5 8 7 699 24118．已知函数22531()cos sin cos sin 424f x x x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合； （Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1()4f C =-，求sin A 的值． 19．（12分）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且3FD =．（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求几何体EFABCD 的体积．20．（13分）已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点.（Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）过点3(,0)5Q -作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.证明：以MN 为直径的圆恒过点A . 21．（14分）已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a =-++-∈R ． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a =时，设函数()()(2)2g x xf x k x =-++.若函数()g x 在区间1[,)2+∞上有两个零点，求实数k 的取值范围．数学（文科）参考答案及评分意见 第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．A ； 9．D ； 10．B ．第II 卷（非选择题，共100分）二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．15i +； 12．-1； 13．25； 14．3； 15．1． 三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ）212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+=由题意，得0n a ≠，∴22520.q q -+=2q ∴=或1.21q >， 2.q ∴= ……………………6分（Ⅱ）2510,a a =42911().a q a q ∴=12a ∴=.∴122[1()]2332.2313n n n n S +-==--……………………12分 17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件M ，9道题中难题有1A ，4A ，6A ，7A 四道. ∴4().9P M =……………6分N ，则基本（Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件事件为：14{,}A A ，16{,}A A ，17{,}A A ，46{,}A A ，47{,}A A ，67{,}A A 共6个；难题中有且仅有6A ，7A 的难度系数相等.∴1().6P N =……………12分18．解：（Ⅰ）22531()cos sin cos sin 424f x x x x x =-- 13sin(2).223x π=--……………………3分 要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3x π-取得最小值. ∴,12x k k π=π-∈Z.……………………5分 ∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π=π-∈Z ……………………6分（Ⅱ）由题意，得3sin(2).32C π-=- (0,),2C π∈22(,).333C πππ∴-∈-3C π∴=. ………………9分(0,)2B π∈，4sin .5B ∴=4133433.525210+=⨯+⨯=………………12分 19．解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HD 平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥平面ABCD ， 3.FD =∴四边形EHDF 为平行四边形.EF ⊄平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD//EF ∴平面.ABCD ………6分（Ⅱ）连接,CF HA .由题意,得HA BC ⊥.HA ⊆平面,ABCD 平面ABCD ⊥平面BCE 于BC ，C BDAEFH∴HA ⊥平面BCE .//FD EH ，EH ⊆平面BCE ，FD ⊄平面BCE ，//FD ∴平面.BCE同理，由//HB DA 可证，//DA 平面.BCEFD DA 于D ，FD ⊆平面ADF ，DA ⊆平面ADF ，∴平面BCE //平面.ADFF ∴到平面BCE 的距离等于HA 的长. FD 为四棱锥F ABCD -的高,3.= ……………………………12分20．解：（Ⅰ）(3,0),(3,0)A B -.设点(,)P x y (0)y ≠.则有22132x y +=，即22222(1)(3).33x y x =-=- 22333PA PBy y yk k x x x ∴⋅=⋅=-+-222(3)23.33x x -==-- ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，MN 与x 轴不重合，∴设直线3:()5MN l x ty t =-∈R . 由223,52360x ty x y ⎧=-⎪⎨⎪+-=⎩得2243144(23)0.525t y ty +--= 由题意,可知0∆>成立，且12212243523.1442523t y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩……（*）将（*）代入上式，化简得∴AMAN ⊥，即以MN 为直径的圆恒过点A ． ………………13分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x--'=->①当(0,1)a ∈时，11a >.由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞.②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.③当(1,)a ∈+∞时，11a<. 由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞.综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a ,(1,)+∞. ………6分（Ⅱ）2()ln (2)2g x x x x k x =--++在1[,)2x ∈+∞上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2x ∈+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p =，∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增.19ln 2()2105h =+，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ， ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………14分 成都市高2016届高三第一次诊断考试数学试题(理科)第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|(1)(2)0}A x x x =∈+-≤Z ，{|22}B x x =-<<，则AB =（A ）{|12}x x -≤< （B ）{1,0,1}- （C ）{0,1,2} （D ）{1,1}-开始结束是否2．在ABC ∆中，“4A π=”是“2cos 2A =”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（A ）3:1 （B ）2:1 （C ）1:1 （D ）1:24．设147()9a -=，159()7b =，27log 9c =，则a , b , c 的大小顺序是（A ）b a c <<（B ）c a b <<（C ）c b a << （D ）b c a <<5．已知n m ,为空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是（A ）若βα//,//m m ，则βα// （B ）若,m m n α⊥⊥，则//n α（C ）若n m m //,//α，则α//n （D ）若βα//,m m ⊥，则βα⊥6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k 的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）77．已知菱形ABCD 边长为2，3B π∠=，点P 满足AP AB λ=，λ∈R ．若3BD CP ⋅=-，则λ的值为（A ）12 （B ）12- （C ）13 （D ） 13-8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点A 作斜率为1的直线，该直线与双曲线两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =，则此双曲线的离心率为（A ）10 （B ）5 （C ）3 （D ）29．设不等式组402020x y x y y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D .若指数函数(0xy a a =>且1)a ≠的图象经过区域D 上的点，则a 的取值范围是（A ）[2]3， （B ）[3,)+∞ （C ）(0]13， （D ）1[,1)310．如果数列{}n a中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称{}n a 为“亚三4正视图侧视图俯视图角形”数列；对于“亚三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“亚三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的一个“保亚三角形函数”（*n ∈N ）.记数列{}n c 的前n 项和为n S ，12016c =，且15410080n n S S +-=，若()lg g x x =是数列{}n c 的“保亚三角形函数”，则{}n c 的项数n的最大值为（参考数据：lg 20.301≈，lg 2016 3.304≈） （A ）33 （B ）34（C ）35（D ）36第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．设复数z 满足i (32i)(1i)z -=+-（其中i 为虚数单位），则z = ．12．7(2)x -的展开式中，2x 的系数是 ．13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则x >甲x 乙的概率是 ．14．如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线2413y x =-的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点M ，N ．则MON ∆面积的最小值为 ．15．已知函数232log (2),0()33,x x k f x x x k x a-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩ .若存在k 使得函数()f x 的值域为[1,1]-，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且212()5n n n a a a +++=． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若2510a a =，求数列{}3n n a 的前n 项和n S ． 17．（本小题满分12分）某类题库中有9道题，其中5道甲类题，每题10分，4道乙类题，每题5分．现从中任意选取三道题组成问卷，记随机变量X 为此问卷的总分． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）求X 的数学期望()E X ． 18．（本小题满分12分）已知向量m31(cos 2,sin cos )22x x x =-，n 31(1,sin cos )22x x =-，设函数()f x =m n ． （Ⅰ）求函数()f x 取得最大值时x 取值的集合；（Ⅱ）设A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角.若3cos 5B =，1()4f C =-，求sin A 的值．19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且3FD =．甲乙 4 7 5 8 7 699241CDEF（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求二面角A FB E --的余弦值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆22:132x y E +=的左右顶点分别为A ，B ，点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点. （Ⅰ）求直线PA 与PB 的斜率之积；（Ⅱ）设(,0)(3)Q t t ≠-，过点Q 作与x 轴不重合的任意直线交椭圆E 于M ，N 两点.则是否存在实数t ，使得以MN 为直径的圆恒过点A ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数21()(1)ln ()2f x ax a x x a =-++-∈R ．（Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）当0a =时，设函数()()g x xf x =.若存在区间1[,][,)2m n ⊆+∞，使得函数()g x 在[,]m n 上的值域为[(2)2,(2)2]k m k n +-+-，求实数k 的取值范围．数学（理科）参考答案及评分意见第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.B ；2.B ；3.C ；4.C ；5.D ；6.A ；7.A ；8.B ；9.D ； 10.A.第II 卷（非选择题，共100分）二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.15i +； 12.280-； 13.25; 14.23； 15.[2,13]+. 三、解答题：(本大题共6小题，共75分) 16．解：（Ⅰ）212()5,n n n a a a +++=22()5.n n n a a q a q ∴+= 由题意，得0n a ≠，∴22520.q q -+=2q ∴=或1.21q >， 2.q ∴= ……………………6分（Ⅱ）2510,a a =42911().a q a q ∴=12a ∴=.∴122[1()]2332.2313n n n n S +-==--……………………12分 17．解：（Ⅰ）由题意，X 的所有可能取值为15，20，25，30.∵3439C 1(15)=C 21P X ==，214539C C 5(20)=,C 14P X ⋅==124539C C 10(25)=C 21P X ⋅==，3539C 5(30)=C 42P X ==， ∴X 的分布列为：15202530………………7分（Ⅱ）()E X 151051520253021142142=⨯+⨯+⨯+⨯70.3= ………………12分 18.解：（Ⅰ）231()cos 2(sin cos )22f x x x x =+- 13sin(2).223x π=--……………………3分 要使()f x 取得最大值，须满足sin(2)3x π-取得最小值. ∴,12x k k π=π-∈Z.……………………5分∴当()f x 取得最大值时,x 取值的集合为{|,}.12x x k k π=π-∈Z ……………………6分 （Ⅱ）由题意，得3sin(2).32C π-=- (0,),2C π∈22(,).333C πππ∴-∈-3C π∴=. ………………9分(0,)2B π∈，4sin .5B ∴=4133433.525210+=⨯+⨯= ………………12分 19.解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HD3EH ∴=.平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ，平面ABCD平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥平面ABCD ， 3.FD =∴四边形EHDF 为平行四边形.EF ⊄平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD//EF ∴平面.ABCD ………6分（Ⅱ）连接.HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，又60CBA ∠=︒，ABC ∆为等边三角形，∴.HA BC ⊥分别以,,HB HA HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则(1,0,0),(2,3,3),(0,03),(0,3,0).B F E A -(3,3,3)BF =-，(1,3,0)BA =-，(1,0,3).BE =-设平面EBF 的法向量为1111(,,)x y z =n .由1100BF BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111113330.30x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令11z =，得1(3,2,1)=n . zyxC BDAEFH C BDAEFH设平面ABF 的法向量为2222(,,)x y z =n .由2200BF BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得222223330.30x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令21y =，得2(3,1,2)=n . 故二面角A FB E --的余弦值是78-. ………………………12分 20.解：（Ⅰ）(3,0),(3,0)A B -.设点(,)P x y (0)y ≠.则有22132x y +=，即22222(1)(3).33x y x =-=- 22333PA PBy y y k k x x x ∴⋅=⋅=-+-222(3)23.33x x -==-- …………………4分 （Ⅱ）令11(,)M x y ，22(,)N x y .MN 与x 轴不重合，∴设:()MN l x my t m =+∈R .由222360x my t x y =+⎧⎨+-=⎩，得222(23)4260.m y mty t +++-= 22221222122164(23)(26)04.232623m t m t mt y y m t y y m ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪∴+=⎨+⎪⎪-⋅=⎪+⎩……（*） 由题意,得AMAN ⊥.即0.AM AN ⋅=将（*）式代入上式,得22222264(1)(3)(3)0.2323t mtm m t t m m --+++++=++ 即2222222222626443(23)(233)0.t m t m m t m t m t t -+---++++= 展开，得22222222222626443243t m t m m t m t m t m t -+---++整理，得256330t t ++=.解得35t =-或3t =-（舍去）. 经检验，35t =-能使0∆>成立. 故存在35t =-满足题意. …………………………13分21.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)()(0).ax x f x a x--'=->①当(0,1)a ∈时，11a >. 由()0f x '<，得1x a >或1x <.∴当(0,1)x ∈，1(,)x a∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞.②当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 单调递减. ∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞.③当(1,)a ∈+∞时，11a<.由()0f x '<，得1x >或1x a <.∴当1(0,)x a ∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减.∴()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,)+∞.综上，当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为(0,1),1(,)a+∞；当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,)a,(1,).+∞ .………6分（Ⅱ）当0a =时，2()l n ,(0,)g x x x x x =-∈+∞，()2ln 1g x x x '=--，1[()]2g x x''=-.当1[,)2x ∈+∞时，1[()]20g x x ''=-≥，∴()g x '在1[,)2+∞上单调递增.又1()ln 20,2g '=>1()()02g x g ''∴≥>在1[,)2+∞上恒成立.()g x ∴在1[,)2+∞上单调递增.由题意，得22ln (2)2.ln (2)2m m m k m n n n k n ⎧-=+-⎪⎨-=+-⎪⎩ 原问题转化为关于x 的方程2l n (2)2x xx k x -=+-在1[,)2+∞上有两个不相等的实数根. .……9分即方程2ln 22x x x k x -+=+在1[,)2+∞上有两个不相等的实数根.令函数2ln 21(),[,)22x x x h x x x -+=∈+∞+. 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+. 令函数21()32ln 4,[,)2p x x x x x =+--∈+∞. 则(21)(2)()x x p x x -+'=在1[,)2+∞上有()0p x '≥.故()p x 在1[,)2+∞上单调递增.(1)0p =，∴当1[,1)2x ∈时，有()0p x <即()0h x '<.∴()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，有()0p x >即()0h x '>，∴()h x 单调递增.19ln 2()2105h =+，(1)1,h =10210ln 21021023(10)12123h --=>=>1()2h ， ∴k 的取值范围为9ln 2(1,].105+…………14分。

2021年四川省成都市高三高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+28．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25二、填空题（共3小题）.13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于．14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．15．的展开式中x2y2项的系数是三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴，则+2对应点为（2，1），在第一象限．故选：A．3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，b＝0.32＝0.09，∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，∴c＞b＞a，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，所以sin2α＝＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+2解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故选：B．8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），故选：B．9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．故选：D．10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．故选：B．11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km 解：如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，又∵，即，解得：sin∠DBC＝，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，即A，D间的距离为km，故选：A．12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，且P在第一象限内，代入双曲线＝1，可得P（，k），由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，可得Q（k，﹣），所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，所以△POQ面积的最小值为20．故选：A．二、填空题13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于12．解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），又∵•（2﹣）＝0，∴2×5+1×（2﹣k）＝0，解得k＝12故答案为：1214．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为01．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．15．的展开式中x2y2项的系数是420解：∵表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，故答案为：420．三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（0，]．解：函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，∵φ（1）＝0，g（1）＝0，∴函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1唯一交点为（1，0），又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1，且e1﹣x＞0，e x﹣1＞0，∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1在R上为单调递减函数，又∵φ（x）＝a sinπx（a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1的大致图象如图：∴要使函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）＝πa cosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意可得：，∴2q2﹣5q+2＝0，∵q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ），∴，＝，上述两式相减可得∴＝．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．所以X的分布列为：X0123P所以数学期望E（X）＝．（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD ＝2，所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，由余弦定理可得，BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；（2）设E为BD的中点，连结PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），因为，所以，所以，平面PBD的一个法向量为，设平面ABM的法向量为，因为，，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，所以x，所以y，所以P（﹣），代入①得，②代入③得，t≠±1，t≠0，因为（），（）2++1≠3，所以λ2∈（0，．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x ＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x ＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，∵＝，令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，此时，所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．从而可得a＜2x0＜2e，所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；故有实数a的最大值为4．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，由，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为；（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，得，＞0，＜0，∴＝＝＝．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，等价为或或或，解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，可得m≤f（x）min，由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．。

1 高2023届高三一诊模拟考试数学参考答案（理科）一．选择题二．填空题13、-14 14、4 15、2 16、-2,16][三．解答题17. 解：（1）因为==A B B B sin sin22sin cos ， 所以⨯====B b B A a 2sin 2255cos sin 63，因为⎝⎭⎪∈⎛⎫πB 20,，所以=B 5sin 4， 又===A B B B 25sin sin22sin cos 24，且A 为锐角，所以=A 25cos 7，所以=-+=-=C A B A B A B 5cos cossin sin cos cos 3)(． 因为=C B cos cos ．所以=C B ．所以==c b 5．…………………………………………5分（2）设=AMm ，=AN n ，根据题设有△△=S S AMN ABC 21， 所以=⨯mn A bc A 222sin sin 111，可得=mn 225， …………………………………………7分 所以=+-≥-=MN m n mn A mn mn 252cos 21814222，当且仅当==m n 所以MN 的最小值为 ……………………………………………………………12分18.解：（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖，所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为⨯===⨯P C 509933307014C C 1002307011. ……………………………………………………………5分 （2）因为该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布N (64,225)，所以=μ64，所以>=P X 2(64)1，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为21，所以随机变量⎝⎭⎪⎛⎫ξB 2~4,1， 所以⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪====⎛⎫⎛⎫⎛⎫-ξP k k kk k k 222()C C (0,1,2,3,4)1114444， 所以⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 216(0)C 11404，⎝⎭⎪===⎛⎫ξP 24(1)C 11414， ⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 28(2)C 13424，⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 24(3)C 11434，⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 216(4)C 11444， ………………………………………………………7分 ξ 10分所以=⨯=ξE 2()421. …………………………………………………………………12分 19. 解：(1)证明：△ABC 是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且=AM AB 31，3有=-+->⇔+>∆k t k t k t 644(14)(416)0164222222，++=-k x x kt 148212，+=-k x x t 144162122， 因︒∠=AOB 90，则⋅=+=+++=++++OA OB x x y y x x kx t kx t k x x kt x x t ()()(1)()12121212121222++=-+==+---k k t k t k t t k 14140(1)(416)8516162222222222，整理得=+t k 5(1)1622，满足∆>0， 原点O 到直线l的距离===d 5， 综上得：原点O 到直线l ，即直线l 与圆+=x y 51622相切， 所以直线l 与定圆+=>O x y r r :(0)222相切，=r ………………………………12分 21.解：（1）由已知=-'xu x a (),1 当≤a 0时，≥'x f ()0在+∞(0,)恒成立，f x ()在+∞(0,)上单调递增；……………………2分 当>a 0时，由x f x a ()01得=a x 1， 若<<a x 01时，>'f x ()0,f x ()在⎝⎭ ⎪⎛⎫a 0,1上单调递增， 若>a x 1时，<'f x ()0,f x ()在⎝⎭⎪+∞⎛⎫a ,1上单调递减； 综上，当≤a 0时，f x ()的单调递增区间为+∞(0,)，无单调递减区间； 当>a 0时，f x ()的单调递增区间为a(0,)1，单调递减区间为+∞a (,)1；…………5分 （2）解：由题意得：（∈+=-+>f x x ax ax x a R x 21ln 0),12)()()(==+--=-->'+x xg x f x x a a x x a x x ax ()()ln ln (0),11 =+-=>'-+x x xg x x a x ax ()1(0)11222 令=-+>∆=-h x x ax x a ()1(0),422 当-≤≤a 22时，≥h x ()0，≥'g x ()0，g x ()在+∞(0,)上递增；不满足=='g x f x ()()0有三个不同实根；当<-a 2时，∵=-+>h x x ax x ()1(0),2 ∴>h x ()0，>'g x ()0，g x ()在+∞(0,)上递增；也不满足=='g x f x ()()0有三个不同实根；当>a 2时，由=h x()0得==x x45， ∴g x ()在⎝⎭ ⎛上递增，在⎝⎭上递减，在⎝⎭⎪⎪+∞⎫上递增. ∵=='g x f x ()()0有三个不同实根<<x x x x x x ,,()123123 ， …………7分 显然=g (1)0>1， ∴=<<>x x x 1,01,1213. 由=--=x g x x a x ()ln 01的结构特征得=-m g m g ()()1,∴=-x g x g ()()111 ∴==x g x g ()()0113，即=x x 113，即=x x 113 由g x ()的单调性可知， 当<<x x x 12时，>g x ()0，f x ()递增； 当<<x x x 23时，>g x ()0，f x ()递减.∴<<f x f x f x f x ()(),()()1232 . …………………………………………8分由得=--=-x x x g x x a x a x ln ()ln 1133333332 ， 又=-+-f x x x a x x x 2ln (ln )12)(，4 ∴-=-=--+--+x x x x x f x f x f x f x x a x x x 2()()()()()2ln (ln ln )111111333332313333332， ∴--+=---x x x x x x a x x x x x ln (ln ln )111(1)13333332233333224， ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪∴-=+----⎛⎫⎛⎫x x x f x f x x x x x 2ln ()()[2ln 4ln 4]11133322313333222， 令=>x t t (1)32,则⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫x x t t x x x x t t t t 2ln 4ln 4]=42ln 2ln 1111332233332222， 令⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+---->⎛⎫⎛⎫t t G t t t t t t ()42ln 2ln (1)112， ∴='--++tG t t t t t ()3(1)(41)ln 222, 令=--++>ϕt t t t t t ()3(1)(41)ln (1)22,=--+-'ϕt t t t t ()52(2)ln 41，=--+''ϕt t t t ()2ln 3142，=<'''-ϕt t t ()02(1)32, ∴''ϕt ()在+∞(1,)上递减， ∴<=''''ϕϕt ()(1)0， ∴'ϕt ()在+∞(1,)上递减， ∴<=''ϕϕt ()(1)0， ∴ϕt ()'在+∞(1,)上递减， ∴<=ϕϕt ()(1)0，则<'G t ()0，∴G t ()在+∞(1,)上递减 , ∴<=G t G ()(1)0,∴<f x f x ()()31 , ∴<<f x f x f x 312)()()(,综上：f x f x f x (),(),()123的大小关系为：<<f x f x f x 312)()()(. ……………………12分 22. 解：（1）曲线C 的平面直角坐标系方程为-+=x y (1)422，故曲线C 的极坐标方程为--=ρρθ2cos 302． ……………………………………4分 （2）设直线l 的倾斜角为α，则ραραE F (,),(,)12，∵--=ρρα2cos 302，由韦达定理可知=-ρρ312．由余弦定理可知=AE ||=ρ21,==AF ||=ρ22, ∴⋅==ρρAE AF |412|||12．………………………………………………………………10分 23.解：（1）因为x x x x 12121，所以++≥a b c 1，因为+≥a b ab 222，+≥b c bc 222，+≥c a ac 222，所以++++≥a b c ab bc ac 222222222，所以a b c a b c ab bc ac a b c 333222()12222222， 故++≥a b c 31222.……………………………………………………………………………5分（2）因为+≥a b ab 222，所以+≥++=+a b a b ab a b 2222222)()(， 即+≥+a b a b 2222)(，两边开平方得a b a b a b 22()2222，同理可得（c bc b 2)222+c a 2)， 三式相加，得a b b c c a a b c 2()2222222.…………………10分。

高2023届高三一诊模拟考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈+-≤，{|1}B x x =≥-，则集合A B ⋂的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．“17m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原△ABC 的面积是（ ）AB ．CD 5．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．166．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg20.301≈，结果精确到0.1）（ ）A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.37．如图所示的程序框图中，若输出的函数值()f x 在区间[2,2]-内，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[2,4]-C ．[1,2]-D ．[1,4]-15．为了测量成都七中曦园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1百米的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______百米.16. 已知()2cos15,2sin15A ︒︒，()0,0O ，且2OB OC ==,则AB AC ⋅的取值范围是_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分，每题12分.17.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ，满足6a =，5b =，且sin sin2A B =．(1)求边c ；(2)若点M ，N 分别在边AB 和AC 上，且MN 将△ABC 分成面积相等的两部分，求MN 的最小值．18. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒。

高2020届成都“一诊”理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+．故选：B ．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2 D. 1或2 【答案】D 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D3.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan 2θ=( ) A. 5-B.5 C. 5-D.5 【答案】C 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---.故选：C4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80 【答案】A【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A.95 B. 59 C. 53D. 275【答案】D【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n B. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m n C. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥ D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ．7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r ()-r x -=r6C ()1r - ()6-2r x ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象. 故选：A ．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3 B. 32 C. 5 D. 52【答案】B【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．10.已知122a =，133b =，3ln2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 【答案】C【详解】∵122a =2=＝68，且133b ==33＝69，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x 的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A. (2,0)(2,)-+∞B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x ．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2． ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切． ∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23PP 上滑动，且22P B P C x==，现将1APB∆，3AP C∆分别沿AB，AC折起使点13,P P重合，重合后记为点P，得到三被锥P ABC-.现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当,B C分别为12PP、23P P的中点时，三棱锥P ABC-的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为(0,422)-；④三棱锥P ABC-体积的最大值为13.则正确的结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PA⊥PB、PA⊥PC，在①中，由PA⊥PB，PA⊥PC，且PB PC P=，所以AP⊥平面PBC成立，故①正确；在②中，当,B C分别为12PP、23P P的中点时，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P﹣ABC的外接球直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP＝2、BP＝CP＝1x=，得外接球的半径R2246x x++=，所以外接球的表面积为2264462S Rπππ⎛==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P的边长为2，所以(0,2)x∈，2BC x=，312PC PB PB PC x====-，在CPB∆中，由边长关系得2x-+22x x->，解得(0,42)x∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P的边长为2，且22P B P C x==，则2PB PC x==-，所以()()222111sin223263P ABC A PBCxV V CP BP CPB AP x---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,42)-上递减，无最大值，故④错误.故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为_______.【答案】6【详解】作出实数x，y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y=+得y＝﹣12x+12z，平移直线y＝﹣12x+12z，由图象可知当直线y＝﹣12x+12z经过点A时，直线y＝﹣12x+12z的截距最大，此时z最大．由40220x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案：6．14.设正项等比数列{}n a满足481a=，2336a a+=，则na=_______.【答案】3n【详解】在正项等比数列{}n a中，481a=，2336a a+=，得312118136a qa q a q⎧=⎨+=⎩，解得133aq=⎧⎨=⎩，∴a n＝11na q-⋅＝3•3n﹣1＝3n.故答案为：3n15.已知平面向量a，b满足||2a=，||3b =，且()b a b⊥-，则向量a与b的夹角的大小为_______.【答案】6π【详解】∵平面向量a，b满足||2a=，||3b=，且()b a b⊥-，∴2()0b a b b a b⋅-=⋅-=，∴2b a b⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则 2•3•cosθ＝23，求得 cosθ＝32，∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π.故答案为：6π．16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______. 【答案】3【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3． 故答案为：3．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【详解】（1）∵22223b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝423bc ，∴cos A ＝223， ∴在△ABC 中，sin A 21cos A -＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，sin B ＝3sin C b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=2abc ++=.18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为X 0 1 2 3P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯=19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形， 因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ， 所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB 3， 由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC 3，EC ＝1，所以PE 2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P （0，0，0），A （0，0，1），B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，2，1）， 设平面BAP 的一个法向量m ＝（x ，y ，z ），又PA ＝（0，0，1），PB ＝（2，﹣1，0）， 由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m ＝（1，2，0），设平面CDP 的一个法向量n ＝（a ，b ，c ），又PC ＝（2，1，0），PD ＝（0，2，1），由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n ＝（1，﹣2，22）， 所以33cos ,33311m n ==-⋅，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为33．20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >--【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈， 当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增； 综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增.（2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立，即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因1,1a a <-∴->， 则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；（2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=， 因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y-=== 所以四边形OAHB 的面积12121||2SOH y y y y =⋅-=-=， 2,1,11t t S t t t=∴∴==++因为12t t+（当且仅当t =1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB的面积取值范围为；（2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--， 令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--① 由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===-- 则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O 的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=， ∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos 1).66AB ππρρ∴=-=-= 又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin 3h π== MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅=23.已知函数() 3.f x x =-（1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+- 【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞.（2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n +=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-。

2021-2022学年四川省成都市高三上学期一诊数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合A ={x|x 2−x >0}，B ={x|e x ≥1}，则A ∩B =( )A. (−∞,1)B. (−1,1)C. (1,+∞)D. [1,+∞)2.已知复数z =i2i−1(i 为虚数单位)，则|z|=( )A. √55B. 15C. 125D. √53. 函数f(x)=sinx(sinx +cosx)的最小正周期是( )A. π3B. π2C. πD. 2π4.若实数x ，y 满足约束条件{x −y ≤03x +2y −5≤02x −y +1≥0，则z =3x +y 的最大值为( )A. −3B. 3C. −4D. 45.在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是( )A. 2πB. 2√2πC. 3√2πD. 4√2π6.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =√2x ，则双曲线的离心率是( )A. √3B. √62C. 3D. √27.已知实数a ，b 满足log a 2>log b 2>1，则( )A. 1<a <2<bB. 1<a <b <2C. 1<b <a <2D. a <1<b <28.从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率为( )A. 15B. 13C. 310D. 259.已知sin(π4−α)=35，则sinα1−tanα的值为( )A. −7√260B. 7√260C. −7√230D. 7√23010. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.811. 已知函数f(x)={|lnx|,x >0−3x 2−x,x ≤0，若函数g(x)=f(x)−m(m ∈R)有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的值为( )A. 0B. −13C. 0或−13D. 0或−1612. 如图，已知三棱锥A −BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且ACBD =m ，AM MB=n ，其中m ，n ∈(0,+∞).有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形； ③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1． 其中假命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =x 3−x 在点(2,6)处的切线方程是______．14. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ =(1,1)，a ⃗ +2b ⃗ =(3,−1)，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为______． 15. 已知斜率为−13且不经过坐标原点O 的直线与椭圆x 29+y 27=1相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为______． 16. 在△ABC 中，已知角A =5π6，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +AC 的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知等差数列{a n }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4−2． (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =2a n ，求数列{b n }的前n 项和．18. 某项目的建设过程中，发现其补贴额x(单位：百万元)与该项目的经济回报y(单位：千万元)之间存在着线性相关关系，统计数据如表： 补贴额x(单位：百万元) 2 3 4 5 6 经济回报y(单位：千万元)2.5344.56(Ⅰ)请根据如表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂；(Ⅱ)请根据(Ⅰ)中所得到的线性回归直线方程，预测当补贴额达到8百万元时该项目的经济回报． 参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 已知抛物线C ：y 2=2x ，过点A(2,0)且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P ，Q 两点．(Ⅰ)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为k 1，k 2.若k 1+k 2=0，求点B 的坐标； (Ⅱ)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求|MN||AP|⋅|AQ|的值．20. 已知函数f(x)=sinx −2ax ，a ∈R ．(Ⅰ)当a ≥12时，求函数f(x)在区间[0,π]上的最值；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)≤cosx −1在区间(π2,π)上恒成立，求a 的取值范围．21. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =1+cosαy =1+sinα，(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=√2． (Ⅰ)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(Ⅱ)已知点A 的直角坐标为(−1,3)，直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE|⋅|AF|的值．22. 已知函数f(x)=|x −1|+2|x +1|．(Ⅰ)求不等式f(x)<5的解集；(Ⅱ)设f(x)的最小值为m.若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值．参考答案及解析1.答案：C解析：∵A={x|x2−x>0}=(−∞,0)∪(1,+∞)，B={x|e x≥1}=[0,+∞)，∴A∩B=(1,+∞)，故选：C．化简集合A、B，再求A∩B即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：A解析：∵z=i2i−1=i(−1−2i)(−1+2i)(−1−2i)=25−15i(i为虚数单位)，∴|z|=√425+125=√55，故选：A．根据复数的运算求出z，从而求出z的模即可．本题考查了复数的运算，考查复数求模问题，是基础题．3.答案：C解析：因为f(x)=sinx(sinx+cosx)=sin2x+sinxcosx=1−cos2x2+12sin2x=√22sin(2x−π4)+12，所以其最小正周期T=2π2=π．故选：C．利用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数解析式，进而根据正弦函数的周期公式即可求解．本题主要考查了二倍角公式，两角差的正弦公式以及正弦函数的周期公式的应用，考查了转化思想和函数思想，属于基础题．4.答案：D解析：由约束条件作出可行域如图，联立{x −y =03x +2y =5，解得A(1,1)，由z =3x +y ，得y =−3x +z ，由图可知，当直线y =−3x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为4． 故选：D ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．5.答案：D解析：把△ABC 绕边AC 旋转一周所得几何体为两个同底圆锥的组合体． 在Rt △ABC 中，AC =2√2， ∴圆锥的底面半径r =√2．∴所得到的旋转体的表面积是2π×√2×2=4√2π. 故选：D ．所得几何体为同底的两个圆锥的组合体．本题考查了圆锥的结构特征和表面积计算，属于基础题．6.答案：A解析：双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是y =ba x ，即为y =√2x ，即ba =√2，则b 2=2a 2， 则双曲线的离心率为e =c a=√a 2+b 2a 2=√3．故选：A ．根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可． 本题主要考查双曲线离心率的计算，结合双曲线的渐近线方程是解决本题的关键．解析：log a 2>log b 2>1=log 22， ∴1<a <b <2， 故选：B ．直接根据对数函数的图象和性质即可得到． 本题考查了对数函数图象和性质，属于基础题．8.答案：C解析：从1，2，3，4，5中随机抽取三个数，基本事件总数n =C 53=10，这三个数能成为一个三角形三边长包含的基本事件有： (2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，共3个，则这三个数能成为一个三角形三边长的概率P =310． 故选：C ．基本事件总数n =C 53=10，利用列举法求出这三个数能成为一个三角形三边长包含的基本事件有3个，由此能求出这三个数能成为一个三角形三边长的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.答案：B解析：由sin(π4−α)=35，得√22(cosα−sinα)=35，所以cosα−sinα=3√25， 所以1−2sinαcosα=1825， 所以sinαcoα=750， 所以sinα1−tanα=sinα1−sinαcosα=sinαcosαcosα−sinα=7503√25=7√260． 故选：B ．由已知可求cosα−sinα=3√25，进而可求sinαcoα=750，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．解析：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2>15(6−2)2=3.2>2.4， ∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确； 对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为：x −=15(1+2+3+3+6)=3方差为S 2=15[(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(3−3)2+(6−3)2]=2.8，可以出现点数6，故D 错误． 故选：C ．根据题意举出反例，即可得出正确选项．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、众数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．11.答案：D解析：令g(x)=0，即f(x)=m ，若函数g(x)=f(x)−m(m ∈R)有三个不同的零点x 1，x 2，x 3， 不妨设x 1<x 2<x 3，则f(x)的图象与y =m 的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象，如图所示，当x≤0时，f(x)=−3x2−x∈(−∞,112]，当x>0时，f(x)∈[0,+∞)，由图象可知，当m=112或0时，f(x)的图象与y=m的图象有三个不同的交点，当m=0时，x1=−13，x2=0，x3=1，故x1x2x3=0；当m=112时，x1=−16，由|lnx|=112解得x2=e−112，x3=e112，所以x1x2x3=−16×e−112×e112=−16，故选：D．若函数g(x)=f(x)−m(m∈R)有三个不同的零点x1，x2，x3，则f(x)的图象与y=m的图象有三个不同的交点，作出函数f(x)的图象可得m的值，从而求得三个零点，进而计算可得结果．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，用到了数形结合的思想，属于中档题．。