关于四川省成都石室中学高三数学一诊模拟试题文成都一诊模拟

一、单选题二、多选题1.已知集合，，若，则实数为（ ）A．或B．或C．或D．或2. 已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A．函数图象关于直线对称B ．函数的周期为2C．函数图象关于点中心对称D．3.已知集合，.若，则的值为（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．-24. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为4，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45. 若复数，则z 的虚部是（ ）A ．B．C ．1D ．－16.的展开式中的系数为（ ）A ．55B．C ．65D．7. 设集合，则（ ）A．B．C．D．8. 若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为，将其外观描述为“个”，则第二项为；将描述为“个”，则第三项为；将描述为“个，个”，则第四项为；将描述为“个，个，个”，则第五项为，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则的最后一个数字为6D ．若，则中没有数字10. 已知复数，则（ ）A．B ．的虚部为-1C ．为纯虚数D ．在复平面内对应的点位于第一象限11.已知点，P 是圆上的动点，G 为平面内一点．若直线NP 上一点Q 满足且，则不可能为（ ）A．B．C．D．12. 已知函数是在区间上的单调减函数，其图象关于直线对称，且，则的值可以是（ ）四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题 (2)四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题 (2)三、填空题四、解答题A ．4B ．12C ．2D ．813. 已知点A ，B ，C ，D均在表面积为的球面上，且，，是边长为3的等边三角形，则______．14. 函数在处的切线方程为________．15. 已知函数在（为自然对数的底）内有零点，则的最小值为___________.16. 已知函数（）.（1）若函数在处的切线与轴平行，求函数的单调区间；（2）讨论函数的零点个数.17. 已知和均是等腰直角三角形，既是的斜边又是的直角边，且，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.(1)求证：.(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18. 《山东省高考改革试点方案》规定：年高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、，选择科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照（、分别为正态分布的均值和标准差）分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．如果山东省年某次学业水平模拟考试物理科目的原始成绩，．(1)若规定等级、、、、、为合格，、为不合格，需要补考，估计这次学业水平模拟考试物理合格线的最低原始分是多少；(2)现随机抽取了该省名参加此次物理学科学业水平测试的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记为被抽到的原始分不低于分的学生人数，求的数学期望和方差．附：当时，，．19.记为正项数列的前n 项和，已知，．(1)求数列的前n 项和；(2)若，求数列的前n 项和．20. 已知函数.（1）若函数的图象过点（2，2），求函数的单调递增区间；（2）若函数是偶函数，求值.21.记为等差数列的前n 项和，且，．(1)求数列的通项公式；(2)求使得的n的取值范围．。

成都石室中学2022—2023学年度上期高2023届一诊模拟考试数学试题(文科)（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，复数212i z i=+，则复数z 的虚部为（ ） A. 25i B. 25 C. 15i − D. 15− 2.已知集合{}{}ln ,e 1x A xy x B y y ====−∣∣，则A B ⋃=（ ） A.R B.[)0,∞+ C.()1,∞−+ D.∅3.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）A. 6+B. 6+C. 12D. 12+4.已知(0,0)O ,(3,0)A ,动点(,)P x y 满足2PA PO=,则动点P 的轨迹与圆()2221x y −+=的位置关系是（ ） A. 相交 B.外切C.内切D.相离 5.若tan 3α=，则sin2cos2αα−=（ ） A.15− B.14 C.12 D.75 6.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点,E F 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1C C 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面图形为（ ）A. 等腰梯形B. 三角形C. 正方形D. 矩形7．函数(ln ()x x x f x e e −+=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8.某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0e kt M M −=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（ ）（参考数据：lg 20.3010=）A.3hB.4hC.5hD.6h9.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ） A.79B. 2332C. 932D.29 10.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为()mod N n m =，例如()102mod 4=．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )．A.20B.21C.22D. 2311.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线交双曲线右支于,A B ，若120BF BF ⋅=，且124cos 5F AF ∠=，则双曲线的离心率为（ ）B.2D. 3212.设2557log 15,log 21,2a b c ===，则（ ）A. b a c <<B.c a b <<C. c b a <<D. a c b <<二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若sin 2x x =，则cos 2x =__________．14.若直线y kx b =+是曲线e 1x y =−和1e x y −=的公切线，则实数k 的值是___________．15. 已知抛物线C ：22x y =上有两动点,P Q ，线段PQ 的中点E 到x 轴距离的是2，则线段PQ 长度的最大值为___________.16．半径为2的球的内接圆柱的侧面积的最大值是___________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）某学校为调查高一新生上学路程所需要的时间（单位：分钟）,从高一年级新生中随机抽取100名新生按上学所需时间分组：第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）根据图中数据求的值；（Ⅱ）若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3,4,5组各抽取多少名新生？（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,该校决定从这6名新生中随机抽取2名新生参加交通安全宣传活动,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n =−∈N .（Ⅰ）求证；数列{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求证：1121k n k k k a a =+<∑.19. （本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ADC ∠=︒，115AA CD ==，17AD =．（Ⅰ）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求棱锥111D AA C C −的体积．(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50]a 频率/组距 时间（分钟）20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：)0,0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，)0,(1a A −，)0,(2a A ，),0(b B ，12A BA △的面积为2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线B A 1与直线M A 2交于点P ，直线M A 1与直线B A 2交于点Q ．求证：BPQ △为等腰三角形．21. （本小题满分12分）已知函数()()2ln 0f x x x a x a =−−>. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）①若()0f x ≥，求实数a 的值；②设*n ∈N ，求证：()2111111ln 124n n n ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4－4：极坐标与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为1cos tan x y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩（α为参数）．（Ⅰ）写出曲线C 的普通方程；（Ⅱ）设P 为曲线C 上的一点，将OP 绕原点O 逆时针旋转4π得到OQ ．当P 运动时，求Q 的轨迹方程．23.选修4－5：不等式选讲 已知函数()124lg 3x x a f x ++=（a R ）． （Ⅰ）若2a =−，求()f x 的定义域；（Ⅱ）若01a <<，求证：()()22f x f x >．。

石室中学高2014届2013～2014学年度上期“一诊”模拟考试（一）数学(理科)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M，},{2aaN=则使M∩N＝N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．－1 D．1或－12.复数ii(113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ）A．(1,1) B．(1,1)- C．(1,1)- D．(1,1)--3.已知函数,,)21(,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=xxxxfx则=-)]4([ff（）A．4- B．41- C．4 D．64.函数ln||||x xyx=的图像可能是（）5.实数yx,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+,0224yxyxyx,则yx-2的最小值为（）A．16B．4C．1 D．126.下列说法中正确的是（）A．“5x>”是“3x>”必要条件B．命题“x R∀∈，210x+>”的否定是“x R∃∈，210x+≤”C．Rm∈∃，使函数)()(2Rxmxxxf∈+=是奇函数D．设p，q是简单命题，若p q∨是真命题，则p q∧也是真命题7.阅读程序框图，若输入4m=，6n=，则输出ia,分别是（）A．12,3a i== B．12,4a i== C．8,3a i== D．8,4a i==8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ ）A ．)(x f 的图象过点)21,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(πC ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象9. 设三位数10010n a b c =++,若以,,{1,2,3,4}a b c ∈为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n 有（ ）A ．12种B ．24种C ．28种D ．36种10. 定义在R 上的函数1ln )(2++=x ex f x，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程(21)()f x f t e -=-的根的个数叙述正确的是( ).A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a ρ、b ρ满足(1,0),(2,4)a b ==r r，则=+→→||b a .12.45)1)(1(x x x 展开式中-+的系数是 （用数字作答）.13. 在数列}a {n 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15. 已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17. (本小题满分12分) 已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-u r,(2,0)n =r ，且m u r 与n r 所成角为3π.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。

2019届四川省成都石室中学高三12月一诊模拟数学（文）试题一、单选题1．已知全集，集合，集合，那么集合（）A．[0,1）B．C．D．【答案】C【解析】可以求出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【详解】解得，；；；；；；．故选：C．【点睛】考查对数函数和幂函数的单调性，描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．2．若向量，是非零向量，则“”是“，夹角为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义结合向量的运算进行判断即可．【详解】，向量，是非零向量，，夹角为“”是“，夹角为”的充要条件．故选：C．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量的运算是解决本题的关键．3．已知等差数列中，前n项和，满足，则（）A．54 B．63 C．72 D．81【答案】B【解析】利用等差数列前n项和公式得，求出，再由，能求出结果．【详解】等差数列中，前n项和，满足，，，．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前9项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.4．已知双曲线C：，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率为（）【答案】A【解析】求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可．【详解】双曲线C：，其焦点到C的一条渐近线的距离为2，可得，可得，，所以，所以双曲线的离心率为：．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．5．下列结论正确的是（）A．当且时，B．当时，C．当时，无最小值D．当时，【答案】B【解析】讨论，，结合对数的性质，以及基本不等式可判断A；由的导数，判断单调性和最小值，可判断B；由当时，递增，可判断C；由当时，递增，可判断D．【详解】当时，，可得；当时，，，故A错误；由的导数为，当时，函数y递增；当时，函数y递减，可得函数y的最小值为1，即，即，故B正确；当时，递增，可得时，取得最小值，故C错误；当时，递增，可得最小值为，故D错误．故选：B．【点睛】本题考查函数的最值求法，注意运用基本不等式和导数判断单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．6．已知口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为a，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为b，则的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】基本事件总数，利用列举法求出包含的基本事件有10种，由此能求出的概率．【详解】口袋里放有四个大小以及质地完全一样的小球，小球内分别标有数字1，3，5，7，约定林涛先从口袋中随机摸出一个小球，打开后记下数字为，放回后韩梅从口袋中也随机摸出一个小球，打开后记下数字为，基本事件总数，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10种，∴的概率，故选D．本题主要考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据题意，分析可得函数的周期为4，进而可得，，据此可得，则有，结合函数的周期性可得，结合函数的解析式可得答案．【详解】根据题意，函数满足，则有，即函数的周期为4，故，，若，则有，又由函数为奇函数，则有，变形可得，又由当时，，则有，解可得；故选：A．【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．8．已知，则的面积为（）A．B．C．D．1【答案】A根据题意，，，有，，则可得，则则故选：A．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.9．如图，已知底面为直角三角形的直三棱柱，其三视图如图所示，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，可以将四三棱柱补形为长方体，得到异面直线与所成角，再由余弦定理求解．【详解】可得，则异面直线与所成角为，由三视图可知，，．即异面直线与所成角的余弦值为．故选：D．【点睛】本题考查空间几何体的三视图，考查异面直线所成角的求法，关键是找出异面直线所成角，是中档题．异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.10．已知函数，且分别在，处取得最大值和最小值，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先把函数转化为，得，，得取得最小值．【详解】∴，即，即∴当时，取得最小值．故选B.【点睛】本题考查的性质，把函数转化为的形式是关键，属于中档题.11．已知抛物线C：的焦点坐标为，点，过点P作直线l交抛物线C于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两切线交于点Q，且两切线分别交x轴于M，N两点，则面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出抛物线的方程，再分别表示出两个切线方程，联立可求得的坐标表示出点到直线的距离，设直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理和求出，利用三角形面积公式表示出三角形面积，即可求出面积的最大值【详解】物线C：的焦点坐标为，∴，∴，抛物线C：，设，，过点A的切线方程为，令，得，过点B的切线方程为，令，得则两切线的交点为，由AB过点，设直线方程为，由，消y可得，∴，，∴，∴，当时，此时面积最小，最小值为，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线与直线的位置关系，点到直线距离公式的应用考查了学生分析推理和运算的能力，属于中档题12．已知函数的两个零点为，，且，，则方程的实数根的个数为( )A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解析】利用换元法设，则，结合的范围，以及的根的个数，利用数形结合进行判断即可.【详解】设，则，由题意知有两个根，，由题意不妨设，则，，当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则在时，取得极大值，在处取得极小值，当，，，，则由图象知，当，时，方程，有3个不同的解，即方程的实数根的个数为3，故选D．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数图象交点个数，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强．二、填空题13．若x，y满足约束条件，则的最大值______．【答案】12标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数的最小值．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数过点时z取得最大值，，故答案为：12．【点睛】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：由约束条件画出可行域求出可行域各个角点的坐标将坐标逐一代入目标函数验证，求出最优解．14．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出y的值为______．【答案】-【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；故输出的y的值为：．故答案为：．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15．在矩形ABCD中，，，E为DC边上的中点，P为线段AE上的动点，设向量，则的最大值为____．【答案】2【解析】以A为原点，AB，AD为，轴建立平面直角坐标系，易得各点坐标，设点坐标为，，根据所给等式建立坐标之间的关系，易得，得解．【详解】以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则，，，设，，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理，向量的坐标运算，建立适当的坐标系是解题的关键，属于中档题.．16．已知数列中，，，设其前n项和为，若对任意的，恒成立，则k的最小值为____．【答案】【解析】由，变形为：，，利用等比数列的通项公式可得，利用求和公式可得代入，化简，通过作差利用数列的单调性即可得出最小值．【详解】由，变形为：，，数列是公比为2，首项为1的等比数列．．．对任意的，恒成立，．令，则时，．时，．，数列的前3项单调递增，从第3项开始单调递减．时，数列取得最大值，．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、转化法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．三、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，F为边AC上一点．求c；若，求．【答案】（1）c=2（2）【解析】由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；由可得，可求，，由已知根据正弦定理，由，可求，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解的值．【详解】，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：，由可得，，，在中，由正弦定理，可得：，，，，，【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，已知，，，．求证：平面平面ABCD；求点B到面AED的距离．【答案】(1)见证明；(2)【解析】过D作，连结EO，推导出≌，，，从而面ABE，由此能证明平面平面ABCD；设B到AED的距离为d，由，能求出点B到面AED的距离．【详解】如图，过D作，连结EO∵，，，∴≌，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴面ABE，∵面ABCD，∴平面平面ABCD．设到的距离为，由可知，，在等腰中，，，∴，∵，∴，解得，∴点B到面的距离为．【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，考查利用等体积法求点到平面的距离，由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在考查运算求解能力，是中档题．19．基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如下表：请在给出的坐标纸中作出散点图，并用相关系数说明可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系；求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2018年2月份的市场占有率；根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元辆和800元辆的A，B两款车型报废年限各不相同考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每辆单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？参考数据：，，．参考公式：相关系数，回归直线方程为其中：，．【答案】（1）见解析；（2），估计2018年2月的市场占有率为．（3）见解析【解析】(1)画出散点图，求出相关系数，判断线性相关性即可；(2)求出回归方程的系数，求出回归方程，代入函数值检验即可；(3)求出分布列，求出数学期望比较即可判断．【详解】散点图如图所示，，，所以两变量之间具有较强的线性相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．，又，，回归直线方程为，2018年2月的月份代码，，所以估计2018年2月的市场占有率为．用频率估计概率，A款单车的利润X的分布列为：元．B款单车的利润Y的分布列为：元以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，故应选择B款车型．【点睛】本题考查了散点图，考查回归方程以及分布列和数学期望，是一道中档题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.20．已知点是椭圆E：上一点，、分别是椭圆的左右焦点，且．求曲线E的方程；若直线l：不与坐标轴重合与曲线E交于M，N两点，O为坐标原点，设直线OM、ON的斜率分别为、，对任意的斜率k，若存在实数，使得，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】根据点P在椭圆上以及，列方程组可解出，，从而可得曲线的方程；联立直线与曲线，根据韦达定理以和斜率计算公式可得，结合判别式可得的取值范围.【详解】设，，，由，，曲线E的方程为：设，，∴∴，即，当时，；当时，，由对任意恒成立，则综上【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质及其运算，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的应用，属中档题．21．已知函数，其中，，．若是的一条切线，求a的值；在间的前提下，若存在正实数，使得，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】求得的导数，设出切点，可得切线的斜率，可得，的方程，解得，；由题意可得，即，设，令，求得导数和单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．【详解】(1)的导数为，设与相切于，可得，，化为，设，导数为，当时，递增；时，递减，可得处取得最小值0，则，；，可得，即，设，令，，时，递减；时，递增，可得，即有，解得或舍去，当且仅当时，恒成立，综上可得的范围为．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为：为参数，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为：，直线与曲线交于A，B两点，求曲线的普通方程及的最小值；若点，求的最大值．【答案】（1）曲线的普通方程为．的最小值为．（2）最大值70【解析】由曲线的极坐标方程，能求出曲线的普通方程由最小时，圆心距最大为，能求出的最小值;将直线与方程联立方程，得，从而，，进而，由此能求出的最大值．【详解】曲线的极坐标方程为：，，曲线的普通方程为，即．直线的参数方程为：为参数，直线与曲线交于A，B两点，最小时，圆心距最大为，的最小值为：．设直线上点A，B对应参数方程为参数的参数分别为，，将直线与方程联立方程，得：，，，，，当时，取最大值70．【点睛】本题考查曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，考查两线段平方和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知函数，当时，解不等式；若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】时不等式化为，根据绝对值的定义求出解集即可；由不等式得，构造函数，不等式的解集非空等价于，利用绝对值不等式求出在上的最大值即可．【详解】当时，函数，解不等式化为，即，，解得，不等式的解集为；由，得，设，则不等式的解集非空，等价于；由，；由题意知存在，使得上式成立；而函数在上的最大值为，；即b的取值范围是【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数在某一区间上的最值问题，是中档题．。

2024年成都市石室中学高三数学（文）一模考试卷（全卷满分150分，考试时间120分钟）第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,20A B xax =-=+=∣，若B A ⊆，则实数a 的所有可能取值的集合为（）A.{}2-B.{}2 C.{}2,2- D.{}2,0,2-2.复数2i1ia z -+=-在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A.1B.2C.-1D.-23.已知,a b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（）A.11a b> B.()()ln 1ln 1a b +>+ C.330a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数()()1ln 1f x x x =+-的大致图象是（）A. B. C. D.6.在区间[]2,4-上随机地取一个数x ，使2sin x x 恒成立的概率是（）A.13B.12C.23D.347.设抛物线24y x =的焦点为F ，过抛物线上一点P 作其准线的垂线，设垂足为Q ，若30PQF ∠= ，则PQ =（）A.23B.3C.438.变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩则目标函数3z x y =+-的取值范围是（）A.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为()0146V h S S S =+'+，其中,S S '分别是上､下底面的面积，0S 是中截面的面积，h 为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2c B C ==，则a b +的取值范围为（）A.()2,10B.()2+C.(24++D.()4+11.已知菱形ABCD 中，π3A =，现将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，当AC =时，三棱锥A BCD -的体积为92，则此时三棱锥A BCD -外接球的表面积为（）A.28πB.7πC.287π3D.40π12.在同一平面直角坐标系中，,M N 分别是函数()f x =()()e ln xg x ax ax =-图象上的动点，对任意0,a MN >的最小值为（）A.2B.12- C.1- D.1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()ln 2f x x =-的定义域为__________.14.若函数()sin cos f x a x x =+的图象关于直线π6x =-对称，则a =__________.15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 为左支上一点，12122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为I ，直线PI 与x 轴交于点Q ，若双曲线的离心率为54，则PI IQ=__________.16.已知数列{}n a 满足1ln 1n n a a +=+，函数()ln 1xf x x =+在0x x =处取得最大值，若()420ln 1a a x =+，则12a a +=__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC PA =∥4,5,3AD BC AC PB PC AB ======.（1）设PC 的中点为M ，求BM 与PA 所成角的余弦值；（2）求三棱锥P ABC -的体积.18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是12.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.（1）求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；（2）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足121,1a a ==，当3n 时，122,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求4a 和6a ，并证明当n 为偶数时{}1n a +是等比数列；（2）求13529a a a a ++++ .20.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(1)E x py p =>的焦点为F ，过点()1,1P -作抛物线E 的两条切线，切点分别为,,5M N FM FN +=.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点P 作两条倾斜角互补的直线12,l l ，直线1l 交抛物线E 于,A B 两点，直线2l 交抛物线E 于,C D 两点，连接,,,AD BC AC BD ，设,,AC AB BD 的斜率分别为,,AC AB BD k k k ，问：AC AB BD AB k k k k +是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.21.（本小题满分12分）设()()21e sin 3xf x a x =-+-.（1）当a =时，求函数()f x 的零点个数；（2）函数()()2sin 22h x f x x x ax =--++，若对任意0x ，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线22:1C mx ny +=的渐近线方程为(),3,0y x D =±-，直线l 过点()1,0B ，且倾斜角为60 .以点D 为极点，以从点D 出发与x 轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线C 上.（1）写出曲线C 在第二象限的一个参数方程和直线l 的极坐标方程；（2）曲线C 与直线l 相交于点,M N ，线段MN 的中点为Q ，求DBQ 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设()22123f x x x =---.（1）解不等式：()4f x >-；（2）设()f x 的最大值为M ，已知正数a 和b 满足a b M +=，令2222a bZ a b b a=+++，求Z 的最小值.答案及解析1.【答案】D【解析】当B =∅时，0a =；当B ≠∅时，2a =±.故选D.2.【答案】D 【解析】因为()()()()()2i 1i 22i2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+在复平面上对应的点位于虚轴上，所以20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩即2a =-.故选D.3.【答案】B 【解析】对于A ，若11a b >，则不能推出0a b >>；若0a b >>，则必定有11a b<，所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若()()ln 1ln 1a b +>+，则根据对数函数的单调性可知1101a b a b +>+>⇒>>-，但不能推出0a b >>，但是01a b a b >>⇒>>-，故B 正确.对于C ，因为330a b >>等价于0a b >>，所以是充分必要条件，故C 错误.对于D ，若>，则必有10a b >> ，所以是充分不必要条件，故D 错误.故选B.4.【答案】B【解析】据条件可得，符号为“”表示的二进制数为100010，则其表示的十进制数是01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故选B.5.【答案】B 【解析】因为()()1ln 1f x x x =+-，所以113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，故排除C ，D ；当2x >时，()()()1ln 10f x x x =+->恒成立，排除A.故选B.6.【答案】A 【解析】设函数()2sin f x x x =-，则()2cos 0f x x =->'，所以()f x 为递增函数，且()0f =0，所以当0x >时，()()00f x f >=；当0x 时，()()00f x f = ，所以不等式2sin x x的解集为(],0∞-.又因为[]2,4x ∈-，所以不等式2sin x x 的解集为[]2,0-.由长度比的几何概型的概率计算可得，使2sin x x 恒成立的概率是()()021423P --==--.故选A.7.【答案】C 【解析】由题易知，PF 的倾斜角为120 ，从而2411cos120312p PQ PF ====-+ .故选C.8.【答案】B 【解析】不等式组22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标分别为()()10,1,,3,2,02⎛⎫⎪⎝⎭，目标函数33z x y x y =+-=-+，即3y x z =+-，当目标函数过点()2,0时z 取得最大值为5，过点1,32⎛⎫⎪⎝⎭时z 取得最小值为12，所以目标函数3z x y =+-的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选B.9.【答案】B 【解析】由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积188144S =⨯=（平方米），中截面面积0199171S =⨯=（平方米），下底面面积2010200S =⨯='（平方米），所以这堆建筑材料的体积()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=（立方米），所以这堆建筑材料约重5141.52573⨯=（吨），需要的卡车次为257551.4÷=，所以至少需要运52车.故选B.10.【答案】C【解析】在ABC 中，由2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=及正弦定理，得()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-.又ABC 为锐角三角形，所以ππ0,022B A <<<<，即ππ02,0π322C C <<<-<，所以ππ64C <<，则(24a b +∈++.故选C.11.【答案】A 【解析】如图1，连接AC 交BD 于点E ，不妨设菱形ABCD 的边长为a ，则32AE CE a ==.将菱形ABCD 沿对角线BD 折起，如图2所示，12,O O 分别为正,ABD CBD 的中心，过点12,O O 分别作平面ABD 和平面CBD 的垂线交于点O ，则121233,63O E O E AO CO ====.在等腰AEC中，3,2AE CE a AC ===，且BD ⊥平面AEC，则11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯= ，所以429360a a --=，即212a =（23a =-舍去），得a =.在AEC 中，由余弦定理，得2π3AEC ∠=，则在直角1OO E 中，1π6O OE ∠=，所以11OO E ==.设三棱锥A BCD -外接球的半径为R ，则222117R OO AO =+=，故外接球的表面积为24π28πR =.故选A.12.【答案】B【解析】令()y f x ==()22(2)10x y y -+= ，即点M 在圆心为()2,0，半径为1的半圆上.()()()ln e1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦ ，当且仅当()ln 0x ax +=时等号成立，所以曲线()g x 的一条切线为1y x =+.通过数形结合可知，当,M N 分别为对应切点，且.MN 与两切线垂直时，MN 取得最小值，即MN 的最小值为圆心()2,0到直线1y x =+的距离减去半径，即MN112=-.过圆心()2,0与1y x =+垂直的直线方程为2y x =-+，与直线1y x =+平行的函数()f x的切线方程为2y x =-+设()(),,,M M N N M x y N x y ，所以当且仅当()2,2ln 021,M M M M N N N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩即121,222,32,,2,22eN M N M x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=-⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩时，MN 取到最小值.综上所述，12MN - .故选B.13.【答案】[)1,2-【解析】由题意，得10x + 且20x ->，即12x -< .14.【答案】3-【解析】因为()()sin cos f x a x x x ϕ=+=+的周期2πT =且直线π6x =-为对称轴，所以点π,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x的对称中心，所以π10322f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得3a =-.15.【答案】2【解析】设PI IQλ=，则1212PF PF F QF Q λ==，所以1122PF FQ PF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又因为21122,2,PF PF a FQ F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩所以12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩在12PF F 中，由余弦定理，得2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅- ⎪⎝⎭，所以()()24242e e λλ+=+，即()212e λλ+=+.又因为54e =，所以2λ=.16.【答案】-2【解析】因为()21ln (1)x x x f x x '+-=+，所以令()11ln 1ln x u x x x x x+=-=+-，则()u x 在()0,∞+上单调递减，且()()22312ln20,e 102eu u =->=-<.由零点存在定理可知，存在唯一的()202,e x ∈，使得()00u x =，即0001ln x x x +=，即()0000ln 11x f x x x ==+①，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减.由1ln 1n n a a +=+，得433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+.又()420ln 1a a x =+，得()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+②.由①②可知，()()0301f x f a x ==，则30a x =，所以2301ln ln a a x +==，即2001ln 1a x x =-=，所以1201ln ln a a x +==-，所以()()2111a a +++=0，即122a a +=-.17.解：（1）如图，设AC 的中点为N ，连接,MN BN .因为,M N 分别是,PC AC 的中点，所以1152,,222MN PA MC PC MN ====∥PA ，所以BMN ∠是异面直线BM 与PA 所成角或其补角.在BPC 中，2222224552cos 22455BC PC PB BCP BC PC ∠+-+-===⋅⋅⨯⨯.在BCM 中，22222552572cos 4242254BM BC MC BC MC BCP ∠⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以572BM =.在ABC 中，因为222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以1522BN AC ==.在BMN中，22222575242cos 219572BM MN BN BMN BM MN ∠⎛⎫+- ⎪+-==⋅⋅，所以BM 与PA所成角的余弦值为19.（2）因为AD ∥,BC AD BC =，所以四边形ABCD 是平行四边形.又由（1）知AB BC ⊥，即90ABC ∠= ，所以四边形ABCD 是长方形，则3,CD AB CD ==∥,,AB AB AD CD AD ⊥⊥.因为222AB AP BP +=，所以AB AP ⊥.又因为,,AD AP A AD AP ⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .又因为AB ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAD .如图，过点P 作PH AD ⊥，垂足为H ，连接,HB HC .因为平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面,PAD AD PH =⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD .又因为,HB HC ⊂平面ABCD ，所以,PH HB PH HC ⊥⊥.又因为PB PC =，所以HB HC =.又因为,,AB AD CD AD AB CD ⊥⊥=，所以AH DH =，即H 是AD 的中点.因为CD ∥,AB AB ⊥平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，所以CD PD ⊥，所以222225316PD PC CD =-=-=，所以4PD =，所以PA AD PD ==，所以PAD 为等边三角形，所以PH =所以11134332P ABC ABC V S PH -=⋅=⨯⨯⨯⨯即三棱锥P ABC -的体积为.18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件A ，“甲回答问题但对方得分”为事件A ，“乙回答问题且得分”为事件B ，“乙回答问题但对方得分”为事件B .记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件C .前三个问题回答的情况有8种：,,,,,,AAA AAA AAB AAB ABB ABB ABA ABA ，其中事件C 只包含了1种情况，即ABB ，所以()()18P C P ABB ==，即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为18.（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件D .由（1）可得，()()()()11178163232P D P AAA P AAAB P AAABB =++=+=.即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为732.19.解：（1）由已知，得4264213,217a a a a =+==+=.当3n 且n 为偶数时，221n n a a -=+，即()2121n n a a -+=+.又212a +=，所以当n 为偶数时，数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，当n 为偶数时，12122n n a +=⋅，即221nn a =-.当n 为奇数时，设()*21n k k =+∈N ，则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+ ()121212k k a ⋅-=-+-121k k +=--所以当n 为奇数时，12122n n n a ++=-，所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则以M 为切点的切线方程为()21112x x y x x p p -=-.因为切线过点()1,1P -，所以211220x x p --=.同理，222220x x p --=，所以12122,2x x x x p +==-.又因为()2221212122522222x x x x x x p pFM FN p p p p +-+=+++=+=，所以2320p p -+=，即()()120p p --=.又因为1p >，所以2p =，所以抛物线E 的方程为24x y =.（2）设直线1l 的方程为()11y k x +=-.联立直线1l 和抛物线E 的方程，得()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以()24410x kx k -++=.设()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4A B x x k +=.同理，4C D x x k+=-所以C A D BAC BD C A D By yy y k k x x x x --+=+--22224444C A D BC AD Bx xx xx x x x --=+--44C AD B x x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0,=所以()0AC AB BD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=，所以AC AB BD AB k k k k +等于定值0.21.解：（1）当a =时，()()e sin 3,e cos x x f x x f x x =+-=+'.①当(),0x ∞∈-时，()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-，则()0f x <，所以()f x 在(),0∞-上无零点.②当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '>，则()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增.又因为()πln 22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭，所以()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎣⎦，所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有一个零点.③当π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()πln42e 13e 40f x >-->-=，所以()f x 在π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上无零点.综上所述，当a =()f x 在(),∞∞-+上只有一个零点.（2）对任意0x ，恒有()0h x >，即()221e 210x a x ax --+->恒成立，即22211ex x ax a -+<-恒成立，即()222110e x x ax a -+--<恒成立.设()()[)22211,0,e x x ax g x a x ∞-+=--∈+，则()()()()21212221e e x x x x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==.①当12a - 时，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()2max 22()110e a g x g a -==--<，即()()e e 210,a a ++->解得()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭.又因为12a - ，所以e 2,e a ∞+⎛⎫∈--⎪⎝⎭.②当102a -<<时，()g x 在()0,21a +上单调递减，在()21,1a +上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由()()()2222110,020e ag a g a -=--<=-<，解得)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭，这与102a -<<矛盾，舍去.③当0a =时，()g x 在()0,∞+上单调递减，所以只需()00g <，得22a >，这与0a =矛盾，舍去.④当0a >时，()g x 在()0,1上单调递减，在()1,21a +上单调递增，在()21,a ∞++上单调递减，所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=-<，且10a +>，所以2121e a a +->.又()2020,0g a a <=->，所以a >，所以212110.4e a a +->->>>>，所以)a ∞∈+满足条件.综上所述，实数a 的取值范围是)e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设曲线C 的方程为221x y λλ-=.点5π6,3A ⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为(0,-.将点A 的直角坐标代入曲线C 的方程，得2201λλ-=，所以27λ=-，所以曲线C 的普通方程为2212727y x -=，所以曲线C在第二象限的一个参数方程为,33,cos x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩参数π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（参数方程不唯一）设在x 轴上方直线l 上任意一点E 的极坐标为(),ρθ，连接ED .在BED 中，4DB =，由正弦定理，得sin sin DB ED BED EBD ∠∠=，即()()4sin 60sin 18060ρθ=-- ，所以()4sin60sin 60ρθ=-，所以()sin 60ρθ-= .经验证，在x 轴上及x 轴下方直线l 上的点也满足上式，所以直线l 的极坐标方程为()sin 60ρθ-= .（2）设直线l 的参数方程为11,232x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.联立直线l 的参数方程和曲线C 的普通方程，得22560t t --=.设,BM BN 对应的参数为12,t t ，则1212t t +=.，所以1BQ =.在DBQ中，11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 23.解：（1）因为()f x 是偶函数，所以只需针对0x 时()f x 的情况展开讨论.当[)0,1x ∈时，()()2221235f x x x x=---=-，此时不等式化为254x ->-，得21x >，舍去；当x ⎡∈⎣时，()()22212337f x x x x=---=-，此时不等式化为2374x ->-，，所以(;x ∈当)x ∞∈+时，()()2221235f x x x x =---=-+，此时不等式化为254x -+>-，得29x <，所以)x ∈.综上所述，所求不等式的解集为()()1,33,1⋃--.（2）由（1）可知，当[)0,1x ∈时，()f x 的值域为[)5,4--；当(),x f x ⎡∈⎣的值域为[)4,2-；当)(),x f x ∞∈+的值域为(],2∞-.因此，当x ∈R 时，()f x 的值域为(],2∞-，所以()f x 的最大值为2，则2a b +=，所以()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即22211()4222a b a b b a ++=⨯= ①，当且仅当1a b ==时等号成立.因为2a b =+ ，所以1ab ，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=- ，即222a b + ②，当且仅当1a b ==时等号成立.由①+②，得22224a b a b b a+++ ，当且仅当1a b ==时等号成立，所以Z 的最小值为4.。

一、单选题二、多选题1. 函数与的图象关于直线l 对称，则l 可以是（ ）A．B．C．D．2. 已知集合A =，集合B =，则AB =（ ）A ．[0，1]B ．[- 1，1]C ．[-1，0)D ．[- 1，0]3. 已知，则（ ）A．B．C．D．4. 已知命题p ：，，则命题p的否定为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，5. 若，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知，，，则“”的一个必要不充分条件是（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）A．B．C．D．8. 在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球体积为（ ）A．B．C．D．9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）A．B ．复数在复平面内对应的点在第二象限C．D．10.已知，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．11. 函数在内有唯一零点的充分条件是（ ）A．的最小正周期为πB ．在内单调C ．在内有且仅有一条对称轴D ．在内的值域为12. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的是（ ）四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题三、填空题四、解答题A ．异面直线､所成角为定值B．C ．的面积与的面积相等D．三棱锥的体积为定值13. 在平面直角坐标系中，平面向量，将绕原点逆时针旋转得到向量-，若A ，B ，C三点共线，则在方向上的投影是___________.14. 在的展开式中，的系数为______．15.已知定义在上的偶函数，满足，若，则的值为________．16. 已知函数，其中，，，，其部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）已知函数，求函数的单调递增区间.17. 已知函数，．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若为锐角且，满足，求．18.已知椭圆的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，以PF 1为直径的圆过焦点F 2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的右顶点为A ，与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点(M ，N 与A 点不重合)，且满足AM ⊥AN ，点Q 为MN 中点，求直线MN 与AQ 的斜率之积的取值范围.19.设．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，求最大值．20. 记的内角的对边分别为，，.(1)求的面积；(2)若，求.21. 已知函数.（1）求曲线上一点处的切线方程；（2）当时，在区间的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值.。

一、单选题二、多选题1. 学校校园从教室到寝室的一排路灯共12盏，按照规定，如果两端有坏了的路灯或者中间同时坏了相邻的两盏或两盏以上的路灯，就必须马上维修，已知这排路灯坏了3盏，则这排路灯必须马上维修的概率为（ ）A．B．C．D．2. 在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数( )A．B．C．D．3. 已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式为（）A．B．C．D．4. 已知函数（，），．当取得最小值时，，则（ ）A．B．C．D．5.已知四面体中，是的中点，则（ ）A．B．C．D．6. 已知，则（ ）A．B．C．D．7. 已知复数z 满足，则（ ）A ．1B．C．D ．58. 若,则的共轭复数为 ( )A．B．C．D．9. 在长方体中，，E是棱的中点，过点B ，E ，的平面交棱于点F ，P 为线段上一动点（不含端点），则（ ）A．三棱锥的体积为定值B ．存在点P，使得C ．直线与平面所成角的正切值的最大值为D．三棱锥外接球的表面积的取值范围是10.已知数列的前项和为，则（ ）A ．若，则数列为等比数列B．若，则四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题(2)四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题(2)三、填空题四、解答题C ．若，且，则D ．若，，，，，则数列为等差数列的必要条件为11. 椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有（ ）A．B．C．D．12. 下列命题为真命题的是（ ）A ．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17B ．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D ．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c ，k 的值分别是和213. 已知正项数列前项和满足，且，则__________.14. 核桃（又称胡桃、羌桃）、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”．它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为（空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳），乙地种植的核桃空壳率为，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的，，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是______．15. 已知为奇函数，，则 ．16. 假设在一个以米为单位的空间直角坐标系中，平面内有一跟踪和控制飞行机器人的控制台，的位置为.上午10时07分测得飞行机器人在处，并对飞行机器人发出指令：以速度米/秒沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，10秒后到达点，再发出指令让机器人在点原地盘旋秒，在原地盘旋过程中逐步减速并降速到米/秒，然后保持米/秒，再沿单位向量作匀速直线飞行(飞行中无障碍物)，当飞行机器人最终落在平面内发出指令让它停止运动.机器人近似看成一个点.（1）求从点开始出发20秒后飞行机器人的位置；（2）求在整个飞行过程中飞行机器人与控制台的最近距离(精确到米).17.如图，平面四边形中，，，，是上的一点，（），是的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.(1)证明：平面平面；(2)求点到平面的距离.18. 如图，三棱柱中，底面是正三角形，是其中心，侧面是正方形，是其中心．（Ⅰ）判断直线与直线的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若四面体是正四面体，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19. 在平面直角坐标系中，是抛物线：的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为.(1)求抛物线的方程．(2)是否存在点，使得直线与抛物线相切于点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．20. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且(1)求；(2)若，设点为的费马点，求；(3)设点为的费马点，，求实数的最小值．21. 《营造法式》是中国北宋时期官方颁布的一部建筑设计与施工的书籍，标志着我国古代建筑技术和工艺发展到了较高水平.中国近代建筑之父梁思成用现代语言和制图方法对该书进行了注释，著有《营造法式注释》，为了让建筑类学生了解古建筑设计与构造的原理，某建筑大学为大三和大四的学生开设了一门选修课程《营造法式及其注释》，为检测学生学习效果，要求所有选修该门课程的学生完成“应用营造法式独立制作一件古建筑模型”的作业.已知选修该门课程的大三与大四学生的人数之比为，现用分层抽样的方法从所有作业中随机抽取份（每位学生均上交一份作业），并评出成绩，得到如下频数分布表：成绩（单位：分）频数（不分年级）频数（大三年级）（1）求，的值；并估计这份作业中大三学生作业的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在这份作业的样本中，从成绩在的大四学生作业中随机抽取份，记抽取的这份作业中成绩在的份数为，求的分布列与数学期望.。

四川省成都市石室中学2021届上学期高三年级一诊模拟测试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数z 满足()12i z i +=，则=z （A ）12（B）2（C（D ）22．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（A ）(1,2)（B ）(1,2]（C ）(2,1)-（D ）[2,1)-3．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若错误!,P Q A P B QP P Q Q {}n a n n S 228580a a a +-+=9S =()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭6πy ()f x m n m n -6π3π23π53π()()22239C x y -+-=：()11M ，C ,A B AB 210x y --=280x y +-=210x y -+=230x y +-={}n a n S n T 316a =3112S =1n T >P ABC-PA ⊥ABC 2AB =1AC =60BAC ∠=43π323π12π16π21:8C y x =222:(2)1C x y -+=,P Q 12,C C (4,0)M ||||PM PQ 35454-4ln 3a π=3ln 4b π=34ln c π=a b c c b a <<b c a <<b a c <<a b c <<,x y4312x y xx y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩2z x y =-0.6182sin18m =︒24m n +=212cos 27m n-︒P ()222210,0x y a b a b-=>>12,F F I 12PF F ∆1212,,IPF IPF IF F ∆∆∆12,,S S S 1212S S S -≥()()()2ln ln f x ax x x x x =+--ABC ∆(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=3c =ABC ∆P ABCD -PAD ⊥ABCD ABCD//,2AB CD AB DC =23,ACBD F ==G G PCD -0<()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑17 4.1≈ˆˆˆybx a =+()()()1122211ˆnni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-22221x y a b+=0a b >>(0,1)A 22222:(1)M x y r ++=M ()e cos 2xf x x =+-()f x '()f x 0x ≥()f x 'π2x ≥-2cos 20xxe x x ax x +--≥a xOy C cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩αx O 3πθ=56πθ=()R ρ∈C ,A B ,A B C ,A B AB ABO ∆()225f x x =+-()|1|f x x ≥-1m ≥-()()||g x f x x m =+-x m[]8,0z ∈-12-12e <≤2211,e e e e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭ABC ∆,A B C ，,,,a b c (2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=∴(2)(2)2222a b c a b b a c R R R +⋅++⋅=⋅222a b c ab +-=-2221cos 22a b c C ab +-∴==-0C π<<23C π∴=3c =3sin sin 32a bA B∴==2sin a A ∴=2sin b B =ABC ∆l l a b c =++2sin 2sin 3A B =++2sin 2sin 33A A π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2cos sin 333A A A ππ=+-+sin 3cos 3A A =++PAD ∆ABD ∆PAD∆//GF PDC2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭03A π<<2sin 3A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭2≤+ABC∆2PD E ,,AE CE GF//,2AB CD AB DC=AC BD F ==2AF AB FCCD∴==G G2AGGE ∴=GF CE ∴,GF PDC CE PDC ⊄⊂面面∴G PCD F PCDP CDFV V V ---==11122CDF DF S FB ∆=∴==133P CDF V -∴==182.479.2>()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑()()772211182.479.211iit t y y y y ==-<---∑∑21R 22R 17x =ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y=≈⨯-=17x >2122232425235x ++++==68.56867.5666667.25y ++++==0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=17x >ˆ0.783.3yx =-+20x ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=20x 69.3574.3+=72.93>22222111122b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪=⇒===⇒+=⎨⎪=+⎪⎩，椭圆：过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k -++=⇒=+，可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ……………………………………6分 由圆M 与l ()2221210r r k k r =⇒--+-=由韦达定理得：12122211k k k k r+==-，……………………8分 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++……………………………………9分直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--…………11分 所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，………………12分 21．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x g x x '=-PAD ∆//GF PDC //GF PDC①当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；②当[),x π∈+∞时，()πe 10g x '≥->故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1 ……5分（Ⅱ）令()e cos 2x hx x ax =+--，()e sin x h x x a '=--，则本题即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立 ①当1a >时，由（1）可知()e sin x h x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()1110a h a e a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()20h x '=则当()20,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时()0x h x ⋅<，与()0x h x ⋅≥恒成立矛盾 …………………………7分 ②当1a ≤时，（i ）若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立；…………………………8分（ii ）若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()e cos xh x x ''=-，()e sin x h x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛⎫'''-=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''= 当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数 又π2πe 02h -⎛⎫''-=> ⎪⎝⎭，()00h ''=，故存在唯一1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10h x ''=故1π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()10h x ''>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()10h x ''<，()h x '为减函数 又π2πe 102h a ⎛⎫'-=+-> ⎪⎝⎭，()010h a '=-≥，所以π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，()h x 为增函数，故()()00h x h ≤=，即()0x h x ⋅≥恒成立……11分 综上所述，1a ≤………………………12分 22．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:1ρ=，21ρ=，故A 、B两点的极坐标为3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫⎪⎝⎭…………………5分 （Ⅱ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：32A ⎫⎪⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据两点式可知直线AB 的方程为：所以的极坐标方程为：13y x =+ 所以AB的极坐标方程为sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且OA 1OB =，故12ABO S ∆==分 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥， 综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞……………………………………5分（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()gx 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增 要使函数()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭…………………10分。

成都石室中学高2019届十二月份一诊模拟试卷数学参考答案（文科）一、选择题： 1-5 CCBAB 6-10 DAADB 11-12 CD二、填空题： 13. 12； 14. 98-； 15. 2； 16. 38； 三、解答题：17. 【答案】（1）2c =（2）sin BFC ∠= 【解析】（1）11sin 2sin226S ab C b π==⨯⨯⨯=b ∴=···········3分 2222cos 41222cos 46c a b ab C π=+-=+-⨯⨯=，2c ∴= ···········6分 （2）由（1）得2a c ==，6A C π∴==, 23ABC A C ππ∠=--=···········7分 在BCF ∆中由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠得sin 6sin CF CBF BFπ⋅∠= 2CF =sin CBF ∴∠= ···········9分 23CBF π∠≤4CBF π∴∠= ···········10分 ()sin sin sin 46BFC CBF BCF ππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+= ⎪⎝⎭···········12分 18. 【答案】（1）略；（2）5【解析】（1）如图，过D 作DO AB ⊥，连接EO60,2,DAB EAB AD AE AO AO ∠=∠=︒===DAO EAO ∴∆≅∆···········2分90,DOA EOA DO EO ∴∠=∠=︒==6DE =222DO EO DE ∴+=由勾股定理逆定理得90DOE ∠=︒，即DO EO ⊥ ···········4分,,DO AB AB EO O AB ABE EO ABE ⊥⋂=⊂⊂面，面，DO ABE ∴⊥面DO ABCD ⊂面，∴平面ABE ⊥平面ABCD ···········6分 （2）设B 到AED 的距离为d ，由（1）可知AEB OD OE S ∆===在等腰AED ∆中，2,AE AD DE ===AED S ∆∴= ···········8分 由等体积法可得B AED D AEB V V --= ···········9分1133AED AEB d S OD S ∆∆∴⨯⨯=⨯⨯，d ∴=，故B 到AED··········12分19． 【答案】（1）略；（2）ˆ29y x =+，市场占有率为23%；（3）应选择B 款车型．【解析】（1所以两变量之间具有较强的线性相关关系，···········3分故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．（2···········4分 ···········5分 ∴回归直线方程为ˆ29y x =+．···········6分2018年12月的月份代码7x =，∴27923y =⨯+=，所以估计2018年12月的市场占有率为23%．···········7分答案：（3）用频率估计概率，这100辆A 款单车的平均利润为：1(5001003050040100020)350100-⨯+⨯+⨯+⨯= ···········9分这100辆B 款单车每辆的平均利润为：1(300152004070035120010)400100-⨯+⨯+⨯+⨯= ···········11分 以每辆单车产生的平均利润为决策依据，故应选择B 款车型．········12分20. 【答案】（1）22162x y +=；（2【解析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，212(1)(1)40,2PF PF c c c c ⋅=--⋅-=-==， ……………………2分； 由2222223116,24a b a b a b ⎧+=⎪⇒==⎨⎪-=⎩， 曲线E 的方程为：22162x y +=；……………………5分； （2）设,M N 两点坐标为：1122(,),(,),x y x y ,M N 两点满足：12222222212222631136(13)6360623112(26)0km x x k x y m k x kmx m x x k y kx m m k -⎧+=⎪+⎪⎧+=-⎪⎪⇒+++-=⇒=⎨⎨+⎪⎪=+⎩⎪=-+>⎪⎩……………………………………………………………………………………………………………………………………………7分；121212)))1212(((0y y kx m kx m k k k k k x x x x λλλ++++=⨯++=⨯++=， 1212()[2]0m x x k k x x λ+⨯++=， ①当0k =时，R λ∈②当0k ≠时，23612m λ-= ……………………10分由2212(26)0m k ∆=-+>对任意k 恒成立，则2222602m k m <+⇒≤<，(标注：对于任意的k ，直线:l y kx m =+均与椭圆相交，直接得到点(0,)m 位于椭圆内部，也可得202m ≤<)102λ⇒-≤< 综上：1[,0)2λ∈-………………………12分21.【答案】（1）2a =；（2）[3+)∞，．【解析】（1）设23y x =-与()f x 相切于点00(,)x y ，则1分 所以000ln 10x x x -+= （*） ………………2分令()ln 1F x x x x =-+，()ln F x x '=，当(0,1)x ∈时，()0F x '<， 当(1,+)x ∈∞时，()0F x '>，所以()F x 在=1x 时取得最小值(1)=0F ，所以（*）式有唯一解01x = ………………4分 所以2a = ………………5分（注：如果未讨论解的唯一性，直接猜出答案，扣2分）（2）由题知()1212()h x h x x x +=+，即221212122ln 4x x x x x x ++-=+， 212121212()()422ln x x x x x x x x +-+-=- ………………7分 设12=0x x t >，令()22ln m t t t =-， 当(0,1)t ∈时，()0m t '<，当(1,+)t ∈∞时，()0m t '>，所以()(1)2m t m ≥=，……………10分 21212()()42x x x x +-+-≥，解得123x x +≥或122x x +≤-（舍去） …………11分 当且仅当12==1x x t 时，12=3x x +等号成立. 综上，12x x +的取值范围是[3+)∞， …………12分 (注：未验证等号成立条件，扣1分.)22. 【答案】（1）22(3)(4)25x y -++=；（2）70；【解析】（1）222=6cos 8sin =6cos 8sin +=68x y x y ρθθρρθρθ-⇒-⇒-曲线2C 的普通方程为：22+=68x y x y -（或22(3)(4)25x y -++=）………………...2分； AB，AB最小为=分；（2）法1：设直线1C 上点,A B 对应参数方程:2cos (1sin x t t t y αα=+⎧⎨=-+⎩为参数）的参数分别为12,,t t 将直线1C 与曲线2C 方程联立方程组：222(1)(3)252cos sin cos 6sin 150t t t t t αααα+--++=⇒=-………………...6分； 12co 6in 2s s t t αα⇒+=-，1215,t t =-2222212(cos 26sin )30PA PB t t αα⇒+=+=-+ ……………………………8分； 22cos 36sin 24sin cos 3003416(1cos 2)12sin 24αααααα=+-+=+--435020sin(2)70,(sin ,cos )(sin(2)=-1)55αϕϕϕαϕ=-+≤==+当时取得最大值 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………10分； 法2：由数形结合，圆相关问题往圆心转化，过圆心2C 作2C H AB ⊥于H ,设圆心距2||C H d =，2222(||||)(||||)PA PB HA PH HA PH +=-++ 222222222(||||||||)C A C H C P C H =-+-22(2510)82d ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-⋯⋯⋯+分；270270d =-≤（当1C 过圆心为直径时，取得最大值）………………………………………10分；23. 【答案】（1（2【解析】（1）当2a =时，所以1221x x x -<+<-，解得………4分（2 ，解集非空等价于max ()b g x ≤,…………6分分所以b的取值范围分.。

一、单选题1. 已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．6B ．4C ．3D ．23. 已知在中,角所对的边分别为,且.又点都在球的球面上,且点到平面的距离为,则球的表面积为（ ）A．B．C．D．4. 设，，且，则（ ）A ．1B ．﹣1C．D．5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A．B．C．D．6. 李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球和3个小球，当发生有效碰撞时，，上的计数器分别增加2计数和1计数，，球两两发生有效碰撞的概率均为，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球个数的期望是（ ）个A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．27.已知函数（a ，b 为常数，且，）的图象经过点，，下列四个结论：①；②；③函数仅有一个零点；④若不等式在时恒成立，则实数m 的取值范围为．其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④8.已知复数，则（ ）四川省成都市石室天府中学2024届高三一诊模拟考试二数学（理）试题二、多选题三、填空题A．B．C．D．9. 甲乙两队进行比赛，若双方实力随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数分别为甲､乙两方初始实力，为比赛时间；分别为甲､乙两方时刻的实力；正实数分别为甲对乙､乙对甲的比赛效果系数.规定当甲､乙两方任何一方实力为0时比赛结束，另一方获得比赛胜利，并记比赛持续时长为.则下列结论正确的是（ ）A ．若且，则B．若且，则C．若，则甲比赛胜利D．若，则甲比赛胜利10. 已知函数，，则正确的是（ ）A．B ．是函数的零点C．函数是非奇非偶函数D ．为图象的一条对称轴11. 在一个圆锥中，D 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，P 为线段DO 的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）A ．面PACB ．三棱锥的外接球直径C ．在圆锥侧面上，点A 到DB的中点的最短距离必大于D ．记直线DO 与过点P 的平面所成的角为，当时，平面与圆锥侧面的交线为椭圆12. 已知a ，，满足，则（ ）A．B．C．D．13. 如图，在△ABC 中，，，，为的中点，在平面中，将线段绕点旋转得到线段．设为线段上的点，则的最小值为______．14. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点，，，若平面轴，且，则直线与平面所成的角的正弦值为___________.15. 丝瓜的主要用途是作为蔬菜被人们食用，除此之外，丝瓜成熟后里面的网状纤维（丝瓜络）可代替海绵用于洗刷灶具及家具，其肉、籽、花、藤、叶等也具有一定的药用作用．已知一种白玉香丝瓜成熟后的长度近似服从正态分布，某蔬菜种植基地新摘下一批成熟白玉香丝瓜，整理后发现长度在23cm 以上（含23 cm ）的白玉香丝瓜有320根，则此次摘下的白玉香丝瓜约有______根．（结果保留整四、解答题数，若，则，，）16. 如图，圆柱，矩形为过轴的圆柱的截面，点为弧的中点，点为的中点.（1）求证：平面；（2）若，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.17. 设函数；(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明：．18. 下围棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息.现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛.现某班有位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛，(规则采用“中国数目法”，没有和棋.)即每人进行轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛.积分规则如下(每轮比赛采取局胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现.三种赛式).或3:1胜者积分分分负者积分分分轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分分，乙累计积分分.第轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为，丙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.（1）①在第轮比赛中，甲所得积分为，求的分布列;②求第轮结束后，甲的累计积分的期望;（2）已知第轮乙得分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛.(“提前一轮”即比赛进行轮就结束，最后一轮即第轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)?若能，求出相应的概率;若不能，请说明理由.19.如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2.若，且向量与夹角的余弦值为.（1）求的值；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.21. 已知函数，其中．(1)讨论函数的单调性；(2)若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．。

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟数学试题（文）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）与第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）名球员某份比赛的得分数据（单位：分）三、解答题（本题共6道小题，共70分）分）石室中学社团为庆祝石室中学2166年校庆，为同学们准备了礼物，计划采用无人现有甲、乙两种类型无人机性能都比较出色，但为了确保实际空投过程中的学生安全得到保障，需预先进行测试。

现在社团分别收集了甲、乙两种类型无人机在5个不同的地点测试选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟文科数学（A 卷）参考答案，不能推出a b =，故A 错误；7.A 【解析】因为直线1y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线2x dy -=-对称，所以直线2x d y -=-经过圆心，且直线1y a x m =+与直线2x dy -=-垂直，所以20d -=，即2d =，且12a =，9．A 【解析】正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB D C AB D C =,所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又1AD ⊄平面1BDC ,1BC ⊂平面1BDC ,所以1//AD 平面1BDC ，即当点P 在线段1AD 上运动时P d 恒为定值，又11113D BPC P BD P C BDC V V S d --==⨯ ,1BDC S 也为定值，所以三棱锥1D BPC -的体积为定值，①正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥平面11BCC B ，1CB ⊂平面11BCC B ,所以1⊥CB AB ，在正方形11BCC B 中：11CB BC ⊥,又1AB BC B =I ,,AB BC ⊂平面11ABC D ，所以1CB ⊥平面11ABC D ，又1C P ⊂平面11ABC D ，所以11C P CB ⊥，②正确；因为点P 在线段1AD 上运动,若P ABCD ∈平面，则点P 与点A 重合，则三棱锥1C P D B -的外接球即为三棱锥1C A D B -的外接球，故半径为，③正确；如图所示：将三角形1ADD 沿1AD 翻折90︒得到该图形，连接1DC 与1AD 相交于点P ，此时1C P DP +取得最小值1DC ，延长11C D ，过D 作11DE C E ⊥于点E ，在1Rt DEC ∆中，1DC ==，故1CP DP +.故选：A.x，连接FP、NP，如图所示，可)22PF FM-取最大值为80.轴正半轴上，焦点坐标为)到点()R a-的距离，,2---------------------------------------------------------------------------11（注：若求角的函数值域问题，按步骤对应给分）18.（1）证明：取AD 中点为F ，连接AC ，CF ，由2AD BC =得AF BC ∥且AF BC =.∴四边形ABCF 为平行四边形，∴CF AF DF ==，∴AC CD ⊥，--------------------------------------2分又因为二面角P CD B --为直二面角，且平面PCD 平面ABCD CD =，∴AC ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以AC PD ⊥.--------------------------------------5分(2)解：过点C 作CE AP ⊥于点E ,过点P 作PH CD ⊥于点H ,连接AH .因为PH PCD ⊂平面,所以PH ACD ⊥平面，-----------------------------------------------------------------------6分所以11166(11)332212P ABC ABC V S PH -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=.---------------------------------------------------------7分即点B 到平面PCA 距离为64.------------------------------------------------------------------------------------------12分20．解：（1）函数()2cos sin 1f x x x x x =-+-，因为()01f =-，所以切点为()0,1-，------------------1分由()()2cos sin cos 2sin f x x x x x x x x x =--+=-∈'R ，，得()00f '=，所以曲线在点()()0,0f 处的切线斜率为0，-----------------------------------------------------------------------------2分所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =-．-----------------------------------------------------------3分（2）由（1）可知()()2cos sin cos 2sin f x x x x x x x x x =--+=-∈'R ，，因为[]sin 1,1x ∈-，所以2sin 0x ->，令()0f x '=，则0x =．--------------------------------------------------4分当()0x ∈-∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0x ∈+∞，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；又因为()010f =-<，22πππ0,202424f f π⎛⎫⎛⎫=>-=-> ⎪ ⎝⎭⎝⎭，-------------------------------------------------6分所以，由零点存在定理可知，存在唯一的1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10f x =，存在唯一的2π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()20f x =．故函数()f x 有且仅有两个零点．---------------------------------------------------------------------------7分（3）因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，当0x =时，由(0)112f a =-≥-得1a ≥----------------------------------------------------9分下面证明：当1a ≥时，对于任意π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()12f x a ≥-恒成立,即证2cos sin 112ax x x x a -+-≥-，即证()2cos sin 220x a x x x -+-≥+；而当1a ≥时，()222cos sin 2cos sin 2cos s n 2i 2x a x x x x x x x x x x x -+-≥-+-=-+++，------------10分由（2）知，2cos sin 0x x x x -+≥；所以1a ≥时，()2cos sin 220x a x x x -+-≥+恒成立；综上所述，[)1a ∈+∞，．--------------------------------------------------------------------------------------------------12分。

成都石室中学高20XX 届一诊模拟考试数学试题（文科）第I 卷 （选择题部分 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项，把答案涂在答题卷上.） 1.若复数112m ii +++是实数，则实数m =（ ） A.12 B. 1 C. 32D. 22. 已知向量(),1a t =与()4,b t =共线且方向相同，则t =（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 2-3. 已知集合{}220A x x x =--<，{}2log B x x m =>，若A B ⊆，则m 的取值范围是（）A.(]0,4B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4. 在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a =（ ）A.B. C. D. 3±5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ）A. 11B. 63C. 13D. 65 6. 分别在区间[]1,6和[]1,4内任取一个数，依次记为m 和n ，则m n >概率（A.1011 B. 511 C. 518 D. 5367. 网格纸上小正方形的边长为1A.83 B. 73 C. 53 D. 43 8. 函数()21cos 24f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A. ()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. (32,222k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C. ()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D. (),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦9. 三棱锥P ABC -内接于半径为2的球中，PA ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长P ABC -体积为（ ）A.32 B. 52C. 1D. 2 10. 已知二次函数()()24f x ax x c c R =-+∈的值域为[)0,+∞，则19c a+的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的直线与双曲线的右支交于A B 、，若1FA B ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率的平方为（ ）A.1+ B.4- C.5-D. 3+ 12. 已知数列{}n a 满足143n n a a n ++=+且*2,0n n N a n ∀∈+≥，则2016a 的取值范围是（ ）A. []8,4-B. []11,1-C. []4,8-D. []1,11-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在相应的位置上.） 13. 若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为 .14. 某校对其高三年级1200名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本. 如果已知样本中女生比男生少20人，那么该年级女生人数为 .15. 已知22:1O x y +=，若直线2y +上总存在点P ，使得过点P 的O 的两条切线相互垂直，则实数k 的最小值为 .16. 设函数()()log 1a f x x a =>的定义域为[],m n ，值域为[]2,2m n ，则实数a 的取值范围为 .三、解答题（17-21每小题12分，22题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 如图，点P 在ABC ∆内，2AB CP ==，3BC =，P B π∠+∠=，记∠（I ）试用α表示AP 的长；（II ）求四边形ABCP 的面积的最大值，并求此时α的值.18. 如图，11,AA BB 为圆锥1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，,D E 分别是11,AA CB 的中点，DE ⊥平面1CBB .（I ）求证：DE 平面ABC ；（II ）求四棱锥11C ABB A -与圆柱1OO 的体积比.B19. 某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷进行统计，得到相关数据如下表：（I ）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄有关？（II ）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？ （III ）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽取5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20岁至50岁的概率.20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -、，过2F 的直线l 交椭圆于不同的两点M N 、，当l x ⊥轴时，3MN =.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）求1F MN ∆的面积的最大值及此时直线l 的方程.21. 已知函数()()1ln 1x f x x e a x -=+--，其中R a ∈，e 2.71828=是自然对数的底数.（I ）当1a =时，求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （II ）证明：当2a ≤时，()f x 是()1,+∞内的增函数；（III ）当3a =时，判断函数()1y f x =-的零点个数，并说明原因.选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（I ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（II ）设P 是曲线1C 上的动点，求P 到2C 上的点的距离的最小值.成都市成都七中高三年级第一学期半期考试数学试题（理科）答案。

一、单选题二、多选题1.已知集合，为虚数单位，，则下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．2. 设，，，则A．B．C．D．3. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知，则（ ）A．B．C．D．5. 某地区今年夏天迎来近50年来罕见的高温极端天气，当地气象部门统计了八月份每天的最高气温和最低气温，得到如下图表：某地区2022年8月份每天最高气温与最低气温根据图表判断，以下结论正确的是（ ）A ．8月每天最高气温的平均数低于35℃B ．8月每天最高气温的中位数高于40℃C ．8月前半月每天最高气温的方差大于后半月最高气温的方差D ．8月每天最高气温的方差大于每天最低气温的方差6.直线的倾斜角是（ ）A ．对B ．错7.已知曲线在点的切线与曲线相切，则实数的值为( )A．B ．或C．D．或8. 设向量，，且，则实数（ ）A ．8B ．7C ．6D ．59. 如图，在几何体中，平面平面平面，底面为直角梯形．为的中点，，则（）A．B．四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题(1)四川省成都石室中学2022-2023学年高三上学期一诊模拟考试数学（文科）试题(1)三、填空题C ．与所成角的余弦值为D ．几何体的体积为210.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．的图象关于中心对称B．在区间上单调递增C ．在上有4个零点，则实数的取值范围是D ．将的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象11.设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ）A．B ．若，则C ．若，则D ．若，则的最大值为12. 如图所示，将平面直角坐标系中的格点(横4纵坐标均为整数的点)的横、纵坐标之和作为标签，例如：原点处标签为0，记为；点处标签为1，记为；点处标签为2，记为；点处标签为1，记为；点处标签为0，记为；…以此类推，格点处标签为，记则（）A．B．C．D．13. 在三角形ABC 中，，的平分线AD 交BC 于D，且，则_________．14. 如图，在棱长为1的正方体中，点P为线段上的动点（P不与，C 重合），点M ，N 分别为线段，的中点，则下列说法中正确的是______．①； ②三棱锥的体积随P 点位置的变化而变化；③的最小值为；④的取值范围是．四、解答题15. 定义：公比为的无穷等比数列所有项的和为，即当n 趋向于无穷大时，趋向于.利用此定义可将无限循环小数化成分数形式（，且，互质），则的分数形式为___________16. 离心率为e 的椭圆经过抛物线的焦点，且直线是双曲线的一条渐近线．椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点P ，Q 为椭圆上异于A ，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线过x轴上一定点，求（用含m 的式子表示）．17. 如图，已知直三棱柱的体积为（其中底面三角形为锐角三角形），．(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18.如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，，，，为线段中点．(1)求证：平面平面；(2)求二面角余弦值.19.如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，.(1)求证：平面；(2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由.20.在中，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c 和的值．条件①：，边上中线的长为；条件②：，的面积为6；条件③：，边上的高的长为2．21. 如图，平面相交于直线MN，点A在平面上，点B在平面上，点C在直线MN上，，是的二面角，．求：(1)点到平面的距离；(2)二面角的大小（用反三角函数表示）．。

石室中学高上期“一诊”模拟考试（一）数学(文科)试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．1或－12.复数i i (113-为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．1C ．23D ．134.若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．3-5.函数ln ||||x x y x =的图像可能是（ ）6.下列说法中准确的是（ ）A ．“5x >”是“3x >”的必要条件B ．命题“对x R ∀∈，210x +>”的否定是“x R ∃∈，210x +≤”C ．R m ∈∃，使函数)()(2R x mx x x f ∈+=是奇函数D ．设p ，q 是简单命题，若p q ∨是真命题，则p q ∧也是真命题. 7.阅读程序框图，若输入4m =，6n =，则输出i a ,分别是（ ）A ．12,3a i ==B ．12,4a i ==C ．8,3a i ==D ． 8,4a i ==第7题图8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ ）A ．)(x f 的图象过点)21,0( B ．)(x f 的一个对称中心是)0,125(π C ．)(x f 在]32,12[ππ上是减函数 D ．将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象 9.设曲线1*2014()n y x n N +=∈在点(1,2014)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令2014log n n a x =，则122013a a a +++的值为( )A ．2014B ．2013C ．1D ． 1-10.定义在R 上的函数43||()x f x e x =+，且)()(x f t x f ＞+在()∞+-∈，1x 上恒成立，则关于x 的方程()()f x f t e =-的根的个数叙述准确的是( )A ．有两个B ．有一个C ．没有D ．上述情况都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知向量a 、b满足(1,0),(2,4)a b ==，则=+→→||b a .12.已知函数,0,)21(0,)(21⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x x f x则=-)]4([f f . 13. 在数列{}n a 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a = .14.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+，，则ac 91+的最小值为 . 15.已知D 是函数],[),(b a x x f y ∈=图象上的任意一点，B A ,该图象的两个端点， 点C 满足0=⋅=→→→→i DC AB AC ，λ，（其中→<<i ,10λ是x 轴上的单位向量），若T DC ≤→||(T 为常数)在区间],[b a 上恒成立，则称)(x f y =在区间],[b a 上具有 “T 性质”.现有函数： ①12+=x y ; ②12+=xy ； ③2x y =； ④x x y 1-=.则在区间]2,1[上具有“41性质”的函数为 .DCBAC 1B 1A 1三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)设{}n a 是公差大于零的等差数列，已知12a =，23210a a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n b 是以函数24sin y x π=的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{}n n a b -的前n 项和n S .17.(本小题满分12分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，BC AB ⊥，D 为AC 的中点，12AA AB ==.（Ⅰ）求证：1AB //平面1BC D ；（Ⅱ）设3BC =，求四棱锥11B DAAC -的体积.18.(本小题满分12分)已知ABC ∆ 的内角A 、B 、C 所对的边为,,a b c ， (sin ,cos )m b A a a B =-,(2,0)n =，且m 与n 所成角为3π. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求C A sin sin +的取值范围.19. (本小题满分12分)某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中，随机抽取了100份问卷实行统计，得到相关的数据如下表：（Ⅰ）由表中数据直观分析，节能意识强弱是否与人的年龄相关？（Ⅱ）据了解到，全小区节能意识强的人共有350人，估计这350人中，年龄大于50岁的有多少人？ （Ⅲ）按年龄分层抽样，从节能意识强的居民中抽5人，再从这5人中任取2人，求恰有1人年龄在20至50岁的概率.20. (本小题满分13分) 已知()||,=-+∈R f x x x a b x . （Ⅰ）当1,0a b ==时,判断()f x 的奇偶性,并说明理由； （Ⅱ）当1,1a b ==时,若5(2)4xf =,求x 的值； （Ⅲ）若1b <-,且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立,求实数a 的取值范围.21.(本小题满分14分) 已知函数x x x g ln )(= (Ⅰ)求)(x g 在1x =处的切线方程； (Ⅱ)求)1()1(21)()(2-≤-+-=a x a ax x x g x f ，的单调区间； （Ⅲ）若1),1,1(,2121<+∈x x ex x ，求证：42121)(x x x x +<.EODC 1A1B 1CBA石室中学高 一诊模拟考试(一)数学文科答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 5 ；12. 4 ；13. 1- ；14. 3 ；15. ①③④ . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. (本小题满分12分) 解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则()12112210a a d a d ⎧=⎪⎨+=+-⎪⎩ 解得2d =或4d =-（舍）…………………………………………………………………5分 所以2(1)22n a n n =+-⨯= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）21cos 24sin 42xy x ππ-==⨯2cos22x π=-+其最小正周期为212ππ=，故首项为1；……………………………………………………7分 因为公比为3，从而13n n b -= ……………………………………………………………8分 所以123n n n a b n --=-故()()()011234323n n S n -=-+-++-()2213213n n n +-=--211322n n n =++-⋅………………………………………………12分 17. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD ， ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形, ∴点O 为1B C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△1AB C 的中位线,∴ 1//OD AB ．∵OD ⊂平面1BC D ,1AB ⊄平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D ． ……… 6分 （Ⅱ） ∵1AA ⊥平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C , ∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC平面11AAC C AC =．作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ∵12AB BB ==，3BC =，在Rt△ABC 中，AC ===13AB BC BE AC ==， ∴四棱锥11B AA C D -的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+126=3=………12分 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ） (sin ,cos )m b A a a B =-与向量(2,0)n =所成角为3π， ∴3sin cos 1=-B B ∴1cos sin 3=+B A ，∴21)6sin(=+πB又 π<<B 0，∴6766πππ<+<B ∴656ππ=+B ∴32π=B …………6分（Ⅱ）由（1）知，32π=B ，∴A+C= 3π∴C A sin sin +=)3sin(sin A A -+π=A A cos 23sin 21+=)3sin(A +π30π<<A ，∴3233πππ<+<A所以C A sin sin +的范围为,1]2. ……… …12分 19. (本小题满分12分)解（Ⅰ）因为20至50岁的54人有9人节能意识强，大于50岁的46人有36人节能意识强，549与4636相差较大……1分，所以节能意识强弱与年龄相关……2分 （Ⅱ）年龄大于50岁的有2803504536=⨯（人）……5分（列式2分，结果1分） （Ⅲ）抽取节能意识强的5人中，年龄在20至50岁的14595=⨯（人）……8分，年龄大于50岁的4人……8分，记这5人分别为A ，B 1，B 2，B 3，B 4。

一、单选题二、多选题1. 已知，则是的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.等差数列中，，，则（ ）A ．2B ．5C ．11D ．133.已知平面向量满足.若，则向量的夹角为（ ）A．B．C．D．4.已知为实数，则“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ）A．B．C．D．6. 若，，，则、、大小关系为（ ）A．B．C．D．7. 已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，在上是单调函数，且是其一个对称中心，则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知，则（ ）A．B．C．D．9.在平面四边形中，点D为动点，的面积是面积的2倍，又数列满足，当时，恒有，设的前项和为，则（ ）A ．为等比数列B ．为递减数列C ．为等差数列D．10. 已知直线经过抛物线的焦点，且与交于，两点，过，分别作直线的垂线，垂足依次记为，若的最小值为，则（）A．B ．为钝角C．D ．若点，在上，且为的重心，则11.设向量，，则（ ）A．B．C．D．四川省成都市石室天府中学2024届高三一诊模拟考试二数学（理）试题四川省成都市石室天府中学2024届高三一诊模拟考试二数学（理）试题三、填空题四、解答题12. 已知函数，则（ ）A．的值域为B ．直线是曲线的一条切线C ．图象的对称中心为D．方程有三个实数根13. 如图所示，已知点G 是的重心，过点G 作直线分别交AB ，AC 两边于M ，N 两点，且，则的最小值为______.14. 若函数的最大值为，则常数的值为_______．15. 一个盒子里有2个红1个绿2个黄球，从盒子中随机取球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设取球停止时拿出黄球的个数为随机变量，则____，________.16.如图，在三棱柱中，，.(1)证明：；(2)若，求二面角的余弦值.17. 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.18.已知正项数列的前项和为，首项，点在曲线上.（1）求和；（2）若数列满足，，求最小时的值.19. 已知数列的前项和为，，，，且满足：，其中且.(1)求.(2)求数列的前项和.20. 已知的面积为，且满足，设和的夹角为.（1）求的取值范围；（2）求函数的取值范围.21. 已知是等差数列，是公比为q的等比数列，，，记为数列的前n项和.(1)若（m，k是大于2正整数），求证：；(2)若（i是某一正整数），求证：q是整数，且数列中每一项都是数列中的项；(3)是否存在这样的正数q，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.。

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 已知数列的首项为2022，且满足，则（ ）A ．2018B．C．D ．20222. 复数满足，其中是虚数单位，则（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或3.已知向量满足，则（ ）A ．0B ．1C ．2D ．44. 已知函数满足对任意实数，都有，设，若，则（ ）A ．2017B ．2018C．D．5. 已知实数，满足，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．6. 在等比数列中，若，，则=（ ）A．B．C．D．7. 同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数，这样的一个函数不可能为（ ）A．B．C．D．8. 下列说法正确的是（ ）A．的最小值为2B ．的最小值为1C．的最大值为2D ．最小值为9. 在等腰直角中，，，是边上一点，且，则__________.10. 已知函数，若关于的方程有且只有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________．11.函数的定义域为________．12. 已知单位向量，的夹角为，则向量与的夹角为______．13.设数列满足.（1）求的通项公式；（2）求数列 的前项和．四川省成都市石室天府中学2024届高三一诊模拟考试二数学（理）试题(高频考点版)四川省成都市石室天府中学2024届高三一诊模拟考试二数学（理）试题(高频考点版)14. 已知条件，条件，且的一个充分不必要条件是，求实数a的取值范围.15. 如图，四边形ABCD为直角梯形，试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.16. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，二面角的大小为60°.（1）求证：平面；（2）已知，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.。

2020届四川省成都石室中学一诊数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1A x N x =∈>，{}5B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}15x x << B ．{}1x x > C ．{}2,3,4 D ．{}1,2,3,4,5【答案】C【解析】由交集的定义求解即可,注意x ∈N 【详解】{}{}152,3,4A B x N x ⋂=∈<<=故选:C 【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基础题2．设i 为虚数单位，若复数z 满足1iz i =+，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i - B ．1i --C ．1i -+D ．1i +【答案】D【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案． 【详解】由z ⋅i ＝1+i ，得z ()()2111i i ii ii +-+===--，∴1z i =+， 故选：D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 3．若等边ABC V 的边长为4，则AB AC ⋅=uu u r uuu r（ ）A ．8B ．8-C ．D ．-【答案】A【解析】可画出图形，根据条件及向量数量积的计算公式便可得出AB BC ⋅u u u r u u u r的值．【详解】 如图，根据条件，1604482AB AC AB AC cos ⋅=︒=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选：A ． 【点睛】本题考查等边三角形的概念，以及向量夹角的概念，向量数量积的计算公式． 4．由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】分别讨论首位为3,2的情况,进而汇总即可 【详解】当首位为3时,都满足,共6个；当首位为2,百位为1或3时,都满足,此时4个； 当首位为2,百位为0时,只有2031满足, 综上,共11个 故选:B 【点睛】本题考查分类讨论思想的应用,考查分类加法计数原理5．若等比数列{}n a 满足：11a =，534a a =，1237a a a ++=，则该数列的公比为（ ）A ．2-B ．2C ．2±D ．12【答案】B【解析】直接由534a a =得到q =2或﹣2，再依据条件进行取舍. 【详解】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ∵534a a =，∴q =2或﹣2，又当q =2时，满足1237a a a ++=，当q =﹣2时，1231243a a a ++=-+=，不满足1237a a a ++=， ∴q =2． 故选：B 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的基本运算，考查了分类讨论思想，属于基础题. 6．若实数a ，b 满足||||a b >，则（ ） A ．a b e e > B ．sin sin a b >C ．11aba be e e e +>+ D ．))a b >【答案】C【解析】利用反例判断A 、B 、D 不正确，函数的单调性以及函数的奇偶性判断C 的正误即可． 【详解】对于A ，∵e ﹣2＜e 1，∴A 错误； 对于B ：26sin sin ππ⎛⎫-⎪⎝⎭＜，∴B 错误； 对于C ：()1xxf x e e =+为偶函数，且当x ∈（0，+∞）时，单调递增，当||||a b >时，()()f a f b >，即1111ab a ba b a be e e e e e e e+=+>+=+，故C 正确；对于D ，反例a ＝2，b ＝﹣1，可得))2lna ln =＜0，))1lnb ln =＞0，))ln a ln b ＜．所以D 不正确，故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查指数函数，三角函数，以及函数奇偶性、单调性的应用，是基本知识的考查．7．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则（ ） A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面D ．1DE AF =，且直线1D E ，AF 相交【解析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面． 【详解】 ∵2222111111712D E D B B E AF AC CF D E =+==+=≠，，如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ， 故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外， 故直线D 1E ，AF 异面． 故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题． 8．设函数()2192f x x alnx =-，若f （x ）在点（3，f （3））的切线与x 轴平行，且在区间[m ﹣1，m +1]上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．2m ≤ B ．4m ≥C ．12m <≤D ．03m <≤【答案】C【解析】求出导函数，利用切线的斜率，求出a ，判断函数的单调性，列出不等式组求解即可． 【详解】()()9''30af x x f x=-=，，∴a ＝1， 因为x ＞0，所以当0＜x ＜3时，f ′（x ）＜0，即f （x ）在（0，3]上递减， 所以0113m m -⎧⎨+≤⎩＜，∴1＜m ≤2．故选：C ．本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 9．已知1sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13C ．23-D ．23【答案】B【解析】利用降幂公式可得21cos 22cos 42παπα⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭,再利用诱导公式求解即可 【详解】211cos 211sin 2123cos 42223παπαα⎛⎫++-⎪-⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查降幂公式的应用,考查诱导公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值 10．函数()11x f x e x-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】求出函数的定义域，排除选项，利用特殊值判断求解即可．函数f （x ）11x e x-=-的定义域为：x ≠1，均满足， 当x ＝﹣1时，f （﹣1）211e -=+＞0，排除A 、 C ． 当x ＝2时，f （2）12e =-＞0，排除B ； 故选：D ． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的常用方法．11．设圆22:230C x y x +--=，若等边PAB △的一边AB 为圆C 的一条弦，则线段PC 长度的最大值为（ ）A ．10B ．23C ．4D ．26【答案】C【解析】化圆的一般方程为标准方程，画出图形，设∠CAB ＝θ（0＜θ2π＜），连接PC与AB 交于点D ，把|PD |、|CD |用含有θ的代数式表示，再由三角函数求最值． 【详解】化圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣3＝0为（x ﹣1）2+y 2＝4， 连接AC ，BC ，设∠CAB ＝θ（0＜θ2π＜），连接PC 与AB 交于点D ，∵AC ＝BC ，△P AB 是等边三角形，∴D 是AB 的中点，得PC ⊥AB ， 在圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4中，圆C 的半径为2，|AB |＝4cosθ，|CD |＝2sinθ， ∴在等边△P AB 中，|PD |32=|AB |23cos θ=， ∴|PC |＝|CD |+|PD |22343sin cos sin πθθθ⎛⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭4． 故选：C ．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．12．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】根据函数相关知识对各选项逐个判断，即可得出其真假． 【详解】因为函数f （x ）定义域为R ，而且f （﹣x ）＝cos|2x |+|sin x |＝f （x ），所以f （x ）是偶函数，①正确；因为函数y ＝cos|2x |的最小正周期为π，y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以f （x ）的最小正周期为π，②正确；f （x ）＝cos|2x |+|sin x |＝cos2x +|sin x |＝1﹣2sin 2x +|sin x |＝﹣2（|sin x |14-）298+，而|sin x |∈[0，1]，所以当|sin x |＝1时，f （x ）的最小值为0，③正确；由上可知f （x ）＝0可得1﹣2sin 2x +|sin x |＝0，解得|sin x |＝1或|sin x |12=-（舍去） 因此在[0，2π]上只有x 2π=或x 32π=，所以④不正确． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的有关性质的应用，属于中档题．二、填空题13．若等差数列{}n a 满足：11a =，235a a +=，则n a =______. 【答案】n 【解析】【详解】设等差数列{a n }的公差为d∵a 1＝1，a 2+a 3＝5，即1235a d += ∴d ＝1， ∴a n ＝n ， 故答案为：n 【点睛】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．14．今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为____. 【答案】0.4【解析】将买猪肉的人组成的集合设为A ，买其它肉的人组成的集合设为B ， 由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果. 【详解】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为A ，买其它肉的人组成的集合设为B ， 则韦恩图如下：A B ⋂中有30人，()U C A B U 中有10人，又不买猪肉的人有30位， ∴U B C A ⋂中有20人，∴只买猪肉的人数为：10010203040---=， ∴这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为40100=0.4， 故答案为；0.4【点睛】本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属于中档题.15．已知双曲线22:13yC x-=的左，右焦点分别为1F，2F，过1F的直线l分别与两条渐近线交于A、B两点，若12F B F B=u u u r u u u u rg，1F A ABλ=uuu r uu u r，则λ=______.【答案】1【解析】由题意画出图形，结合已知12F B F B⋅=u u u r u u u u r可得B（1，3），写出F1B的方程，与3y x=-联立求得A点坐标，得到A为B、F1的中点，可得结论．【详解】如图，因为B在渐近线上，∴设B（t，3t）, 且120F-（，），2(2,0)F，∵12(2,3)(2,3)0F B F B t t t t⋅=+⋅-=u u u r u u u u r，∴1t=，则B（1，3）∴F1B：y3=（x+2），联立323y xy x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩（），解得A（12-，32），即A为B、F1的中点∴1λ=．故答案为：1．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．16．若函数f（x）()()2121xe a xx a x a x⎧-⎪=⎨--≥⎪⎩，＜，，恰有2个零点，则实数a的取值范围是_____.【答案】[12，1）∪{2}∪[e，+∞）【解析】分四种情况讨论当a≤0时，当0＜a＜2时，当a＝2时，当a＞2时，图象使得符合函数f （x ）有两个零点． 【详解】当a ≤0时，不满足题意，当0＜a ＜2时，要使函数函数f （x ）恰有2个零点，即2012e a a a -⎧⎨≤⎩＞＜⇒112a ≤＜， 当a ＝2时，e x ﹣2=0，得到x =ln 2满足x ＜1，此时()()220x a x a --=，得到x =4，共有2个零点，满足题意，当a ＞2时，a 2＞2a ＞4，要使函数f （x ）恰有2个零点，即e ﹣a ≤0．所以a ≥e ， 综上所述：实数a 的取值范围是[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）． 故答案为：[12，1）∪{2}∪[e ，+∞）． 【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据 如下：假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率， 设该公司为一位会员服务的平均利润为X 元，求X 大于40的概率.【答案】（1）45；（2）0.8【解析】（1）分别求得第一次、第二次消费的公司的利润,再求出平均数即可； （2）由第一个表格数据求得消费次数与公司平均利润的关系,由第二个表格得到消费次数与概率的关系,进而得到公司平均利润与概率的关系,求解即可 【详解】（1）由题,∵第一次消费为200元,利润为20015050-=元； 第二次消费2000.95190⨯=元,利润为19015040-=元, ∴两次消费的平均利润为()15040452⨯+=元 （2）若该会员消费1次,则50X =,所以()60500.6100P X ===； 若该会员消费2次,则5040452X +==,所以()20450.2100P X ===； 若该会员消费3次,则504030402X ++==,所以()10400.1100P X ===； 若该会员消费4次,则50403020352X +++==,所以()5350.05100P X ===； 若该会员消费5次,则5040302010302X++++==,所以()5300.05100P X === 故X 大于40的概率为0.60.20.8+= 【点睛】本题考查平均数,考查古典概型,考查数据处理能力18．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设2)cos 22BA C +=. （1）求sinB ；（2）若ABC V 的周长为8，求ABC V 的面积的取值范围.【答案】(1) (2) ⎛ ⎝⎦【解析】（1）利用三角形内角和定理即二倍角公式化简已知等式，结合B 的范围即可得到结果．（2）利用三角形的面积求出ac ，利用余弦定理结合基本不等式求出ac 的范围，即可得面积的范围． 【详解】（1）2)cos 22BA C +=Q且sin()sin A C B +=233sin 2sin cos cos 22222B B B B ∴=⋅=， 又022B π<<Q，sin 03sin cos 222B B B∴>∴= 33tansin 232632B B B B ππ∴=∴=∴=∴=（2）由题意知：8()b a c =-+2226416()21cos 222a c b a c ac B ac ac +--++-∴===36416()6432ac a c ac ∴=-++≥-+，332640(38)(8)0ac ac ac ac ∴-+≥∴--≥83ac ∴≤或8ac ≥（舍）649ac ∴≤13163sin 249ABC S ac B ac ∆∴==≤（当a c =时取“=”）综上，ABC V 的面积的取值范围为1630,9⎛⎤⎥ ⎝⎦ 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式，二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于中档题．19．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ADC ∠=︒，115AA CD ==，17AD =.（1）证明：平面1CDD ⊥平面ABCD ； （2）求棱锥111D AAC C -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）3【解析】（1）设CD 的中点为O ,连接1,,OA OD AC ,利用等腰三角形的性质证明1D O DC ⊥,再利用勾股定理可得1AOD V 是直角三角形,即证得1D O OA ⊥,进而求证即可；（2）由线面平行的关系可得11111D AA C C D AA C C V V --=,再利用平行四边形的性质可得111122D AA C C D AA C A ADC V V V ---==,进而求解即可【详解】（1）证明:由题,设CD 的中点为O ,连接1,,OA OD AC ,11AA CD ==Q 2DC =,11DD AA ∴=112DO DC ==,∴1D O DC ⊥,12D O ==,又∵底面ABCD 为边长为2的菱形,且60ADC ∠=︒,ADC ∴V 是等边三角形,∴AO =又Q 1AD =∴22211AD D O AO =+,∴1D O OA ⊥,又∵,OA DC ⊂平面ABCD ,OA DC O =I , ∴1D O ⊥平面ABCD , 又∵1D O ⊂平面1CDD , ∴平面1CDD ⊥平面ABCD （2）∵11//D D A A ,∴1//D D 平面11AAC C ,且11AA C C Y , ∴111111122D AA C C D AA C C D AA C A ADC V V V V ----===,∴1211112sin 6023323A ADC ADC V S D O -⎛⎫=⨯⋅=⨯⨯⨯︒⨯=⎪⎝⎭V, 111D AA C C V -∴=【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查棱锥的体积,考查转化思想20．设椭圆22:182x y C +=，过点()21A ，的直线,AP AQ 分别交C 于相异的两点,P Q ，直线PQ 恒过点()4,0B ．（1）证明：直线,AP AQ 的斜率之和为1-；（2）设直线,AP AQ 分别与x 轴交于,M N 两点，点()3,0G ，求GM GN ⋅. 【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】（1）设直线PQ 为()4y k x =-,与椭圆方程联立可得()222214326480k xk x k +-+-=,利用韦达定理得到12,x x 的关系,由斜率公式可得()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++,将21223214k x x k +=+,212264814k x x k -=+代入,进而即可得证；（2）设直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,可求得112,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭,同理212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,进而求解即可【详解】（1）证明:设直线PQ 为()4y k x =-,联立()224182y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,得()222214326480k x k x k +-+-=, 且>0∆,可得;214k <, 设()()1122,,,P x y Q x y ,由韦达定理可得21223214k x x k +=+,212264814k x x k-=+, 设直线AP 、AQ 的斜率分别为12,k k , 所以()()12121212124141112222k x k x y y k k x x x x ------+=+=+----()()()1212121226116424kx x k x x k x x x x -++++=-++()2222222222648322611641641414164832164241414k k k k k k k k k k k k k -⋅-+⋅++-+++===----⋅+++, 所以直线,AP AQ 的斜率之和为1- （2）设()()34,0,,0M x N x ,因为直线AP 为()112y k x -=-,令0y =,得3112x k =-,即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 同理4212x k =-,即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 因为()3,0G ,所以1212121111132321GM GN k k k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12121211k k k k k k +=++12121111k k k k -==++= 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查斜率公式的应用,考查椭圆中的定值问题 21．设函数()2sin f x x x π=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()22cos 22x m g x x x m R π⎛⎫=++-∈ ⎪π⎝⎭，．（1）求()f x 的最大值； （2）当0,02x m π≤≤≥时，求证：()4g x π≥.【答案】（1）0；（2）证明见解析 【解析】（1）先求导得()2cos f x x π'=-,显然()f x '在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增,则()221,f x ππ⎡⎤'∈-⎢⎥⎣⎦,因此存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=,可得()f x 在()00,x x ∈单调递减,在0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增,则()()max 0,2f x max f fπ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭； （2）由题,要证明()4g x π≥,由0m ≥可证明2cos 4x x ππ+≥,构造函数()2cos 4x h x x ππ=+-,求导,利用（1）判断()h x 的单调性,进而证明即可【详解】（1）由题,()2cos f x x π'=-,所以()f x '在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增, 因为()2010f π'=-<,202f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭, 所以()221,f x ππ⎡⎤'∈-⎢⎥⎣⎦, 所以存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00f x '=, 当()00,x x ∈,()0f x '<,()f x 单调递减； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0f x '>,()f x 单调递增, 因为()00sin00f =-=,2sin 110222f ππππ⎛⎫=⨯-=-=⎪⎝⎭, 所以()()max 0,02f x max f f π⎧⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭（2）证明:因为0m ≥,所以()222cos cos 22x m x g x x x x πππ⎛⎫=++-≥+ ⎪⎝⎭,构造函数()2cos 4x h x x ππ=+-,所以()2sin xh x x π'=-,由（1）得()0h x '≤在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立, 所以函数()2cos 4x h x x ππ=+-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()min 02h x h π⎛⎫==⎪⎝⎭, 所以()0h x ≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立,即2cos 4x x ππ+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立,所以02x π≤≤,0m ≥时,()4g x π≥【点睛】本题考查利用导函数求函数最值,考查不等式恒成立的证明,考查利用导函数判断函数单调性22．在直角坐标系xOy 中，直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）与曲线22:2x m C y m ⎧=⎨=⎩（m 为参数）相交于不同的两点A ，B . （1）当4πα=时，求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）若2MA MB MA MB =-，其中)M ，求直线l 的倾斜角.【答案】(1) y x =22y x =；(2)6π或56π【解析】（1）直接化曲线C 的参数方程为普通方程，将α4π=代入l 的参数方程，再化为普通方程.（2）将l 的参数方程代入C 的普通方程，利用此时t 的几何意义及根与系数的关系得|MA |•|MB |，MA MB -,然后求得tanα即可． 【详解】（1）当4πα=时直线l 的普通方程为：y x =-C 的普通方程为22y x =；（2）将直线cos :sin x t l y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入22y x =得22sin 2cos 0t t αα⋅-⋅-=22121222cos 4cos 0,,sin t t t t αααα∆=+>+==121222cos ||||2||22,|cos |sin 2MA MB MA MB t t t t ααα=-⇒=+⇒=∴=‖‖所以直线l 的倾斜角为6π或56π【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t 的几何意义的应用，是中档题． 23．已知函数()11f x x ax =++-（1）当1a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（2）当1x ≥时，不等式()3f x x b ≤+成立，证明：0a b +≥ 【答案】(1) {}22x x -≤≤ (2)证明见解析【解析】（1）将a ＝1代入f （x ）中，去绝对值，然后分别解不等式；（2）由条件可得(2)2(2)a x ba b +≥-⎧⎨-≤⎩，对1x ≥恒成立，转化为最值问题建立不等式组，然后解出+a b 的范围即可证明． 【详解】（1）解：当1a =时()|1||1|f x x x =++- 若1x ≥则()2412f x x x =≤∴≤≤ 若11x -<<则()24f x =<成立若1x ≤-则()242f x x x =-≤∴≥-21x ∴-≤≤- 综上，不等式的解集为{}22x x -≤≤ （2）当1x ≥时1|1|3x ax x b ++-≤+|1|2121121ax x b x b ax x b ∴-≤+-∴--+≤-≤+-(2)2(2)a x b a b +≥-⎧∴⎨-≤⎩202222220002022220a a a ab a b a b a b a a b a b a a b +≥⎧⎧-≤≤-≤≤⎧⎪+≥-⎪⎪⎪∴∴+≥∴+≥∴+≥⎨⎨⎨-≤⎪⎪⎪-≤+≥-⎩⎩⎪--≤⎩ 【点睛】本题考查解含绝对值不等式以及绝对值不等式恒成立问题，转化为求解函数最值，考查综合分析求解能力，属中档题．。