2017成都一诊理科数学试题及答案

2017成都一诊篇一：成都七中2017届一诊模拟考试数学试卷(理科)成都七中2017届一诊模拟考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟总分：150分命题人：刘在廷审题人：张世永一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上．） 1.设全集为R，集合A?{x|x2?9?0},B?{x|?1?x?5}，则A?CRB?（）A(?3,0)B(?3,?1]C(?3,?1)D(?3,3) 2.设i为虚数单位，复数i(1?i)的虚部为（） A?1 B1 C?i Di????????????3.已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP?2OA+BA，则（）A．点P不在直线AB上B．点P在线段AB上C．点P在线段AB的延长线上D．点P在线段AB的反向延长线上 4.我校教育处连续30天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数为如图所示的茎叶图，则中位数，众数，极差分别是（）A 44，45，56B 44，43，57C 44,43，56D 45，43,57 5.在三角形ABC中，sinA?A45,cosB?，则cosC?（） 51333636333或 B C D 以上都不对 656565656.如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A n≤5Bn≤6Cn≤7 Dn≤87.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图。

为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一个被选为组长的概率为() A 1111110B C D24221218.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2?42??x?y?1?0?x?y?2?0?,又 9. 如果实数x,y满足关系?x?0???y?02x?y?7?c恒成立，则c的取值范围为（）x?3AB???,3?C?3,???D?2,3?gx）?（fx）?ax与x轴有三个不同的交10.已知函数f(x)?|lnx|，若在区间[,3]内,曲线（13点,则实数a的取值范围是 ( ) A[ln31ln3111,) B[,) C(0,) D(0,) 3e32ee2etanx的最小正周期为n，则m?n的2?2tan2x11.函数y?cosx?sin2x的最小值为m,函数y?值为（）??A???C??? 22x2y2c12.已知椭圆2?2?1(a?b?0,c?e?)，其左、右焦点分别为F1,F2，关abaa2a2于椭圆有以下四种说法：（1）设A为椭圆上任一点，其到直线l1:x??的距,l2:x?cc|AF1||AF2|离分别为d2,d1，则；（2）设A为椭圆上任一点，AF1,AF2分别与椭圆交于?d1d2|AF1||AF2|2(1?e2)（当且仅当点A在椭圆的顶点取等）；（3）设A为??B,C两点，则2|F1B||F2C|1?e椭圆上且不在坐标轴上的任一点，过A的椭圆切线为l，M为线段F1F2上一点，且|AF1||F1M|，则直线AM?l；（4）面积为2ab的椭圆内接四边形仅有1个。

成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测（数学理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第11卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1，答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2，答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3，答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4，所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5，考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z = （A ）i --3 （B ）i +-3 （C ）i +3 （D ）i -32．已知集合{}m A ,0,1-=，{}2,1=B ，若{}2,1,0,1-=B A Y ，则实数m 的值为 （A ）1-或0 （B ）0或1 （C ）1-或2 （D ）1或23．若)2cos(5sin θπθ-=，则=θ2tan（A ）35-（B ）35 （C ）25- （D ）254．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70）， [70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方 图，则这100名同学的得分的中位数为 （A ）5.72 （B ）75 （C ）5.77（D ）805．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且353a a =，则=59S S （A ）59 （B ）95 （C ）35 （D ）5276．已知βα,是空间中两个不同的平面，n m ,是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是 （A ）若α//m ，β//n ，且βα//，则n m // （B ）若α//m ，β//n ，且βα⊥，则n m // （C ）若α⊥m ，β//n ，且βα//，则n m ⊥ （D ）若α⊥m ，β//n ，且βα⊥，则n m ⊥ 7．62)1)(2(xx x -+的展开式的常数项为 （A ）25（B ）25- （C ）5 （D ）5- 8．将函数)64sin(π-=x y 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数)(x f 的图象，则函数)(x f 的解析式为 （A ）)62sin()(π+=x x f （B ）)32sin()(π-=x x f（C ）)68sin()(π+=x x f (D) )38sin()(π-=x x f9．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，N M ,是抛物线上两个不同的点若5||||=+NF MF ，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（A ）3 （B ）23 （C ）5 （D ）2510．已知212=a ，313=b ，23ln=c ，则 （A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）c a b >>（D ）a c b >>11．已知定义在R 上的数)(x f 满足)2()2(x f x f +=-，当2≤x 时()(1)1xf x x e =--.若关于x 的方程012)(=+-+-e k kx x f 有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（A ）),2()0,2(+∞-Y （B ）(2,0)(0,2)-U （C ）),()0,(+∞-e e Y （D ）),0()0,(e e Y -12．如图，在边长为2的正方形321P P AP 中，线段BC 的端点C B ,分别在边21P P 、32P P 上滑动，且x C P B P ==22，现将B AP 1∆，C AP 3∆分别沿AB ，AC 折起使点31,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥ABC P -.现有以下结论： ①⊥AP 平面PBC ；②当C B ,分别为21P P 、32P P 的中点时，三棱锥ABC P -的外接球的表面积为π6； ③x 的取值范围为)224,0(-； ④三棱锥ABC P -体积的最大值为31． 则正确的结论的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+002204y y x y x ，则y x z 2+=的最大值为_______.14．设正项等比数列{}n a 满足814=a ，3632=+a a ，则=n a _______.15．已知平面向量a ，b 满足2||=a ，3||=b ，且)(b a b -⊥，则向量a 与b 的夹角的大小为_______.16．已知直线kx y =与双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 相交于不同的两点B A ,，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||BF AF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.三、解答题（共70分。

高三数学(理科)一诊测试参考答案第１㊀页(共４页)成都市２０１４级高中毕业班第一次诊断性检测数学参考答案及评分标准(理科)第Ⅰ卷(选择题,共６０分)一㊁选择题:(每小题５分,共６０分)１．B ;２．A ;３．B ;４．C ;５．B ;６．C ;７．B ;８．D ;９．C ;１０．A ;１１．A ;１２．D．第Ⅱ卷(非选择题,共９０分)二㊁填空题:(每小题５分,共２０分)１３．－２;㊀１４．９２;㊀１５．－３２;㊀１６．３．三㊁解答题:(共７０分)１７．解:(I )ȵa １＝－２,ʑa １＋４＝２． １分ȵa n ＋１＝２a n ＋４,ʑa n ＋１＋４＝２a n ＋８＝２(a n＋４)．３分ʑa n ＋１＋４a n ＋４＝２．４分ʑ{a n ＋４}是以２为首项,２为公比的等比数列．５分(I I)由(I ),可知a n ＋４＝２n ．㊀ʑa n ＝２n －４． ７分当n ＝１时,a １＝－２＜０,ʑS １＝|a １|＝２;８分当n ȡ２时,a n ȡ０．ʑS n ＝－a １＋a ２＋ ＋a n ９分＝２＋(２２－４)＋ ＋(２n －４)＝２＋２２＋ ＋２n －４(n －１)＝２(１－２n )１－２－４(n －１)＝２n ＋１－４n ＋２． １１分又当n ＝１时,上式也满足．ʑ当n ɪN ∗时,S n ＝２n ＋１－４n ＋２． １２分１８．解:(I )由题意,可知１０x ＋０．０１２ˑ１０＋０．０５６ˑ１０＋０．０１８ˑ１０＋０．０１０ˑ１０＝１．ʑx ＝０．００４． ２分ʑ甲学校的合格率为１－１０ˑ０．００４＝０．９６．３分而乙学校的合格率为１－２５０＝０．９６． ４分ʑ甲㊁乙两校的合格率均为９６％． ５分(I I )样本中甲校C 等级的学生人数为０．０１２ˑ１０ˑ５０＝６． ６分而乙校C 等级的学生人数为４．ʑ随机抽取３人中,甲校学生人数X的可能取值为０,１,２,３．７分ʑP (X ＝０)＝C ３４C ３１０＝１３０,P (X ＝１)＝C １６C ２４C ３１０＝３１０,P(X ＝２)＝C ２６C １４C ３１０＝１２,P (X ＝３)＝C ３６C ３１０＝１６．ʑX 的分布列为X ０１２３P１３０３１０１２１６１１分㊀㊀数学期望E X ＝１ˑ３１０＋２ˑ１２＋３ˑ１６＝９５． １２分高三数学(理科)一诊测试参考答案第２㊀页(共４页)１９．解:(I )由题意,可知P E ,P F ,P D 三条直线两两垂直． １分ʑP D ʅ平面P E F ． ３分在图１中,ȵE ,F 分别是A B ,B C 的中点,ʑE F ʊA C ．ʑG B ＝２G H ．又ȵG 为B D 的中点,ʑD G ＝２G H ．在图２中,ȵP R R H ＝B R R H ＝２,且D G G H ＝２,ʑ在әP DH 中,G R ʊP D ． ５分ʑG R ʅ平面P E F ． ６分(I I )由题意,分别以P F ,P E ,P D 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系P x y z ．设P D ＝４,则P (０,０,０),F (２,０,０),E (０,２,０),D (０,０,４)．ʑH (１,１,０)． ７分ȵP R R H ＝λ,ʑP R ң＝λ１＋λPH ң．㊀ʑR (λ１＋λ,λ１＋λ,０)．ʑR F ң＝(２－λ１＋λ,－λ１＋λ,０)＝(２＋λ１＋λ,－λ１＋λ,０)． ８分又ȵE F ң＝(２,－２,０),D E ң＝(０,２,－４),设平面D E F 的一个法向量为m ＝(x ,y ,z )．由E F ң m ＝０D E ң m ＝０{⇒２x －２y ＝０２y －４z ＝０{．取z ＝１,则m ＝(２,２,１)． ９分ȵ直线F R 与平面D E F 所成角的正弦值为２２５,ʑc o s ＜m ,R F ң＞＝m R F ң|m ||R F ң|＝４１＋λ３(２＋λ１＋λ)２＋(－λ１＋λ)２＝２２３λ２＋２λ＋２＝２２５． １１分ʑ９λ２＋１８λ－７＝０．㊀解得λ＝１３或λ＝－７３(不合题意,舍去)故存在正实数λ＝１３,使得直线F R 与平面D E F 所成角的正弦值为２２５． １２分２０．解:(I )由题意,知F (１,０),E (５,０),M (３,０)．设A (x １,y １),B (x ２,y ２)． １分ȵ直线l １的倾斜角为π４,ʑk ＝１．ʑ直线l １的方程为y ＝x －１,即x ＝y ＋１． ２分代入椭圆方程,可得９y ２＋８y －１６＝０． ３分ʑy １＋y ２＝－８９,y １y ２＝－１６９． ４分ʑS әA B M ＝１２ |F M | |y １－y ２|＝(y １＋y ２)２－４y １y ２＝(－８９)２＋４ˑ１６９＝８１０９． ６分(I )设直线l １的方程为y ＝k (x －１)．代入椭圆方程,得(４＋５k ２)x ２－１０k ２x ＋５k ２－２０＝０． ８分高三数学(理科)一诊测试参考答案第３㊀页(共４页)则x １＋x ２＝１０k ２４＋５k ２,x １x ２＝５k ２－２０４＋５k ２． ９分ȵ直线B N ʅl 于点N ,ʑN (５,y ２)．ʑk A M ＝－y １３－x １,k MN ＝y ２２．而y ２(３－x １)－２(－y１)＝k (x ２－１)(３－x １)＋２k (x １－１)＝－k x １x ２－３(x １＋x ２)＋５[]＝－k (５k ２－２０４＋５k ２－３ˑ１０k ２４＋５k ２＋５)＝０． １１分ʑk A M ＝k MN ．㊀故A ,M ,N 三点共线． １２分２１．解:(I )ȵg (x )＝(x ＋１)l n (x ＋１)＋(１－a )x ＋２－a (x ＞０),ʑg ᶄ(x )＝l n (x ＋１)＋２－a ．１分ʑ当２－a ȡ０,即a ɤ２时,g ᶄ(x )＞０对x ɪ(０,＋ɕ)恒成立．此时,g (x )的单调递增区间为(０,＋ɕ),无单调递减区间． ２分当２－a ＜０即a ＞２时,由g ᶄ(x )＞０,得x ＞e a －２－１;由g ᶄ(x )＜０,得０＜x ＜e a －２－１．此时,g (x )的单调递减区间为(０,e a －２－１),单调递增区间为(e a －２－１,＋ɕ)． ３分综上所述,当a ɤ２时,g (x )的单调递增区间为(０,＋ɕ),无单调递减区间;当a ＞２时,g (x )的单调递减区间为(０,e a －２－１),单调递增区间为(e a －２－１,＋ɕ)． ４分(I I )由f (x )＜０,得(x ＋１)a ＞x l n (x ＋１)＋１２x ＋２．当x ȡ０时,上式等价于a ＞x l n (x＋１)＋１２x ＋２x ＋１．５分令h (x )＝x l n (x ＋１)＋１２x ＋２x ＋１,x ȡ０．据题意,存在x ȡ０,使f (x )＜０成立,则只需a ＞h(x )m i n ．６分ȵh ᶄ(x )＝[l n (x ＋１)＋x x ＋１＋１２](x ＋１)－[x l n (x ＋１)＋１２x ＋２](x ＋１)２＝l n (x ＋１)＋x －３２(x ＋１)２, ７分又令u (x )＝l n (x ＋１)＋x －３２,显然u (x )在[０,＋ɕ)上单调递增．而u (０)＝－３２＜０,u (１)＝l n ２－１２＞０．ʑ存在x ０ɪ(０,１),使u (x ０)＝０,即l n (x ０＋１)＝３２－x ０．９分又当x ０ɪ[０,x ０)时,h ᶄ(x )＜０,h (x )单调递减;㊀当x ɪ(x ０,＋ɕ)时,h ᶄ(x )＞０,h (x )单调递增．ʑ当x ＝x ０时,h (x )有极小值(也是最小值)．ʑh (x )m i n ＝h (x ０)＝x ０l n (x ０＋１)＋１２x ０＋２x ０＋１＝x ０(３２－x ０)＋１２x０＋２x ０＋１高三数学(理科)一诊测试参考答案第４㊀页(共４页)＝－x ２０＋２x ０＋２x ０＋１＝－(x ０＋１)－１x ０＋１＋４． １０分ȵx ０ɪ(０,１),即x ０＋１ɪ(１,２),ʑ(x ０＋１)＋１x ０＋１ɪ(２,５２)．ʑh (x ０)ɪ(３２,２)． １１分又ȵa ＞h (x ０),且a ɪZ ,ʑa 的最小值为２． １２分２２．解:(Ⅰ)ȵ直线l 的参数方程为x ＝１＋t c o s αy ＝t s i n α{(t 为参数),ʑ直线l 的普通方程为y ＝t a n α x －１()．２分由ρc o s ２θ－４s i n θ＝０得ρ２c o s ２θ－４ρs i n θ＝０,即x ２－４y ＝０．ʑ曲线C 的直角坐标方程为x ２＝４y ．４分(Ⅱ)ȵ点M 的极坐标为(１,π２),ʑ点M 的直角坐标为(０,１)．５分ʑt a n α＝－１,直线l 的倾斜角α＝３π４．ʑ直线l 的参数方程为x ＝１－２２t y ＝２２t ìîíïïïï(t 为参数)．７分代入x ２＝４y ,得t ２－６２t ＋２＝０． ８分设A ,B 两点对应的参数为t １,t ２．ȵQ 为线段A B 的中点,ʑ点Q 对应的参数值为t １＋t ２２＝６２２＝３２．又点P(１,０),则|P Q |＝|t １＋t ２２|＝３２．１０分２３．解:(Ⅰ)当－１ɤx ＜３时,f (x )＝４;当x ȡ３时,f (x )＝２x －２．１分ʑ不等式f x ()ɤ６等价于－１ɤx ＜３４ɤ６{,或x ȡ３２x －２ɤ６{．２分ʑ－１ɤx ＜３,或３ɤx ɤ４．ʑ－１ɤx ɤ４．３分ʑ原不等式的解集为{x |－１ɤx ɤ４}．４分(Ⅱ)由(Ⅰ),得f (x )＝４,㊀－１ɤx ＜３２x －２,x ȡ３{．可知f (x )的最小值为４．ʑn ＝４． ６分ʑ据题意,知８a b ＝a ＋２b ,变形得１b ＋２a ＝８．７分ȵa ＞０,b ＞０,ʑ２a ＋b ＝１８(２a ＋b )(１b ＋２a )＝１８(５＋２a b ＋２b a )ȡ１８(５＋２２a b ２b a )＝９８． ９分当且仅当２a b ＝２b a ,即a ＝b ＝３８时,取等号．ʑ２a ＋b 的最小值为９８． １０分。

2017年四川省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（2，3）2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A．B．C．D．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤04．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3B．3C．﹣3或3D．﹣1或35．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（）A．直线x=1对称B．直线x=﹣1对称C．点（1，0）对称D．点（﹣1，0）对称6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=+1（）A．16B．32C．64D．1289．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 36510．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为（）A．B．C．D．11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．πC．8πD．π12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（）A．2B．2C．4D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求sinAcosB的取值范围．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213135141148154160身高（cm）121128（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅰ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅰ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅰ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅰ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅰ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．2017年四川省高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x|x2＞4}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（﹣2，3）C．（0，2）D．（2，3）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，B={x|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，则A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D．2．复数z满足：（3﹣4i）z=1+2i，则z=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵（3﹣4i）z=1+2i，∴（3+4i）（3﹣4i）z=（3+4i）（1+2i），∴25z=﹣5+10i，则z=﹣+i．故选：A．3．设命题p：∀x＞0，x﹣lnx＞0，则￢p为（）A．∀x＞0，x﹣lnx≤0B．∀x＞0，x﹣lnx＜0C．∃x0＞0，x0﹣lnx0＞0D．∃x0＞0，x0﹣lnx0≤0【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x﹣lnx＞0”的否定是∃x＞0，x﹣lnx≤0．故选：D．4．已知2sin2α=1+cos2α，则tan（α+）的值为（）A．﹣3B．3C．﹣3或3D．﹣1或3【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由倍角公式求得sinα与cosα的数量关系，结合正弦、余弦以及正切函数的转化关系进行解答即可．【解答】解：∵2sin2α=1+cos2α，∴4sinαcosα=1+2cos2α﹣1，即2sinαcosα=cos2α，①当cosα=0时，，此时，②当cosα≠0时，，此时，综上所述，tan（α+）的值为﹣1或3．故选：D．5．函数f（x+1）是偶函数，则函数y=f（x）的图象关于（）A．直线x=1对称B．直线x=﹣1对称C．点（1，0）对称D．点（﹣1，0）对称【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由偶函数的性质可知y=f（x+1）的图象关于y轴对称，根据平移变换可得y=f（x+1）与y=f（x）的图象关系，从而可得答案．【解答】解：因为y=f（x+1）是偶函数，所以y=f（x+1）的图象关于y轴对称，而把y=f（x+1）右移1个单位可得y=f（x）的图象，故y=f（x）的图象关于x=1对称，故选A．6．函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象可以由y=3sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度得到B．向左平移个单位长度得到C．向右平移个单位长度得到D．向左平移个单位长度得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，可得f（x）═3sin2（x ﹣）=3sin（2x﹣）的图象，故选：C．7．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2，则B（1，1，0），E（1，0，1），C（0，1，0），D1（0，0，2），=（0，﹣1，1），=（0，1，﹣2），设异面直线BE与CD1所形成角为θ，则cosθ===．异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．8．设数列{a n}的前n项和为S n，若S n，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，则a7=+1（）A．16B．32C．64D．128【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意得S n+S n+1=2S n，得a n+2=﹣2a n+1，从而得到{a n}从第二项起是公+2比为﹣2的等比数列，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1，S n，S n+2成等差数列，且a2=﹣2，∴由题意得S n+S n+1=2S n，得a n+2+a n+1+a n+1=0，即a n+2=﹣2a n+1，+2∴{a n}从第二项起是公比为﹣2的等比数列，∴．故选：C．9．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【考点】等比数列的通项公式．【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．【解答】解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b=125，a=20%，m=369．故选：A．10．定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.11]=2，[﹣1.39]=﹣2，执行如下图所示的程序框图，则输出m的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依据程序逐级运算，并通过判断条件n＜7？调整运算的继续与结束，即可计算得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得m=3，n=1[3]=3为奇数，m=，n=3满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=5满足条件n＜7，执行循环体，[]=6不为奇数，m=，n=7不满足条件n＜7，退出循环，输出m的值为．故选：B．11．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（）A．36πB．πC．8πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，其对角线AC∩BD=O，取AB的中点E，OE⊥AB，OE⊥侧面PAB，PE=2，AB=4．则点O为其外接球的球心，半径R=2．∴这个几何体外接球的体积V==π．故选：B．12．已知△ABC的三个顶点均在抛物线x2=y上，边AC的中线BM∥y轴，|BM|=2，则△ABC的面积为（）A．2B．2C．4D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】作AH⊥BM交BM的延长线于H，求出|BM|，|AH|，即可求得△ABC 的面积．【解答】解：根据题意设A（a，a2），B（b，b2），C（c，c2），不妨设a＞c，∵M为边AC的中点，∴M（，），又BM∥y轴，则b=，故|BM|=|﹣b2|==2，∴（a﹣c）2=8，即a﹣c=2，作AH⊥BM交BM的延长线于H．==2|a﹣b|=a﹣c=2．故△ABC的面积为2S△ABM故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式的展开式中常数项为24．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，从而求出展开式中常数项．【解答】解：二项式展开式的通项公式为：T r=••x r=24﹣r••x2r﹣4，+1令2r﹣4=0，解得r=2，∴展开式中常数项为T3=22•=24．故答案为：24．14．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，故假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B故答案为：B15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的各个顶点在某一个球面上，则该球面的表面积为48π．【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】判断几何体的特征，正方体中的三棱锥，利用正方体的体对角线得出外接球的半径求解即可．【解答】解：三棱锥补成正方体，棱长为4，三棱锥与正方体的外接球是同一球，半径为R==2，∴该球的表面积为4π×12=48π，故答案为：48π．16．若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a的值为3．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设切点为（t，），求出切线方程，利用直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，建立方程，求出t，即可得出结论．【解答】解：设切点为（t，），y′=，x=t时，y′=t，∴切线方程为y﹣=（x﹣t），即y=tx﹣，∵一直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数y=的图象相切于同一点，∴=，∴t=2，∴切点为（2，1），代入圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0，可得a=3，故答案为3．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+b）cosC+ccosB=0．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅰ）求sinAcosB的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角C的大小；（Ⅰ）由（I）和内角和定理表示出B，并求出A的范围，代入sinAcosB后，由两角差的余弦公式、正弦公式化简后，由A的范围和正弦函数的性质求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，（2a+b）cosC+ccosB=0，∴由正弦定理得，（2sinA+sinB）cosC+sinCcosB=0，则2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0，即sin（B+C）=﹣2sinAcosC，∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π﹣A）=sinA＞0，∴1=﹣2cosC，得cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅰ）由（I）得C=，则A+B=π﹣C=，即B=﹣A，所以，∴sinAcosB=sinAcos（﹣A）=sinA（cos cosA+sin sinA）=sinA（cosA+sinA）=sin2A+=（）=∵，∴，则，即，∴sinAcosB的取值范围是．18．张三同学从7岁起到13岁每年生日时对自己的身高测量后记录如表：年龄（岁）78910111213135141148154160身高（cm）121128（Ⅰ）求身高y关于年龄x的线性回归方程；（Ⅰ）利用（Ⅰ）中的线性回归方程，分析张三同学7岁至13岁身高的变化情况，如17岁之前都符合这一变化，请预测张三同学15岁时的身高．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）首先根据表格与公式求得相关数据，然后代入线性回归方程求得，由此求得线性回归方程；（Ⅰ）将先15代入（Ⅰ）中的回归方程即可求得张三同学15岁时的身高．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=（7+8+9+10+11+12+13）=10，==141，（=9+4+1+0+1+4+9=28，（x i﹣）（y i﹣）=（﹣3）×（﹣20）+（﹣2）×（﹣13）+（﹣1）×（﹣6）+0×0+1×7+2×13+3×19=182，所以==，=﹣=141﹣×10=76，所求回归方程为=x+76．（Ⅰ）由（Ⅰ）知，=＞0，故张三同学7岁至13岁的身高每年都在增高，平均每年增高6.5cm．将x=15代入（Ⅰ）中的回归方程，得=×15+76=173.5，故预测张三同学15岁的身高为173.5cm．19．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+ax（a∈R），且曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行．（Ⅰ）求a的值及函数f（x）的解析式；（Ⅰ）若函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．【分析】（Ⅰ）首先求得导函数，然后利用导数的几何意义结合两直线平行的关系求得a的值，由此求得函数f（x）的解析式；（Ⅰ）将问题转化为函数f（x）的图象与y=m有三个公共点，由此结合图象求得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x＞0时，f′（x）=x2+a，因为曲线f（x）在x=处的切线与直线y=﹣x﹣1平行，所以f′（）=+a=﹣，解得a=﹣1，所以f（x）=x3﹣x，设x＜0则f（x）=﹣f（﹣x）=x3﹣x，又f（0）=0，所以f（x）=x3﹣x．（Ⅰ）由（Ⅰ）知f（﹣3）=﹣6，f（﹣1）=，f（1）=﹣，f（）=0，所以函数y=f（x）﹣m在区间[﹣3，]上有三个零点，等价于函数f（x）在[﹣3，]上的图象与y=m有三个公共点．结合函数f（x）在区间[﹣3，]上大致图象可知，实数m的取值范围是（﹣，0）．20．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足2=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）若b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）首先利用S n与a n的关系：当n=1时，a1=S1，当n≥2时，a n=S n﹣S n；结合已知条件等式推出数列{a n}是等差数列，由此求得数列{a n}的通项公﹣1式；（Ⅰ）首先结合（Ⅰ）求得b n的表达式，然后利用错位相减法，结合等比数列的求和公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1，有2=a1+1，解得a1=1；当n≥2时，由2=a n+1得4S n=a n2+2a n+1，4S n﹣1=a n﹣12+2a n﹣1+1，两式相减得4a n=a n2﹣a n﹣12+2（a n﹣a n﹣1），所以（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，因为数列{a n}的各项为正，所以a n﹣a n﹣1﹣2=0，所以数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1．（Ⅰ）由（Ⅰ）知b n=（a n+1）•2=2n•22n﹣1=n•4n．所以前n项和T n=1•4+2•42+3•43+…+n•4n，4T n=1•42+2•43+3•44+…+n•4n+1，两式相减得﹣3T n=4+42+43+…+4n﹣n•4n+1=﹣n•4n+1，化简可得T n=+•4n+1．21．已知函数f（x）=ae x﹣x（a∈R），其中e为自然对数的底数，e=2.71828…（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并说明理由（Ⅰ）若x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，f （x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅰ）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ae x﹣x，得f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，令ae x﹣1=0，得x=lna，若x∈（﹣∞，﹣lna），则f′（x）＜0，此时f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），则f′（x）＞0，此时f（x）为的单调增函数．综上所述，当a≤0时，f（x）=ae x﹣x为R上的减函数；当a＞0时，若x∈（﹣∞，﹣lna），f（x）为的单调减函数；若x∈（﹣lna，+∞），f（x）为的单调增函数．（Ⅰ）由题意，x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于ae x﹣x≥e﹣x恒成立，即x∈[1，2]，恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值．由g（x）==，函数y=在[1，2]上单调递减，令h（x）=，x∈[1，2]，h′（x）=．∴h（x）=在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在x∈[1，2]上也是减函数，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=．故x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立的实数a的取值范围是[，+∞）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标方程；（Ⅰ）设曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出C2的参数方程，即可求C2的极坐标方程；（Ⅰ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，求出圆心到直线的距离，即可求|PQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）C2的参数方程为（α为参数），普通方程为（x′﹣1）2+y′2=1，∴C2的极坐标方程为ρ=2cosθ；（Ⅰ）C2是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，曲线C3的极坐标方程为ρsin（﹣θ）=1，直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，∴圆心到直线的距离d==，∴|PQ|=2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅰ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当b=1时，把f（x）用分段函数来表示，分类讨论，求得f（x）≥1的解集．（Ⅰ）当x∈R时，先求得f（x）的最大值为b2+1，再求得g（x）的最小值，根据g（x）的最小值减去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅰ）（Ⅰ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac ﹣1=0，当且仅当a=b=c=时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．2017年4月2日。

2017成都一诊理科数学试题及答案成都市2014级高中毕业班第一次诊断性检测数学(理和本试卷分选择&和菲选择题两部分.第I 卷(选择&)】至2页，第n 卷(菲选择題)2至 4页?共4页?満分150分?考试时间120分钟.注童事项：1. 答題前.务必将自己的堆名、为締号填耳在答題卡規定的位霍上.2. 答选择题时，必须使用2BW 笔将答題卡上对应題目的答案标号涂黑?如需改动?用幡皮擦據干净后?再选涂人它咨案标号.3. 答菲选择题时?必须使用0.S 毫米凤色签字笔?将答冬书写在答題卡規定的位實上.4. 所祈題目必须在答題卡上作养?在试題卷上答題无效.5. 考试结束后?只称答縣卡交回.第I 卷(透择題?共60分)离三故乍(理科r ?一途■考试is 購1頁(共4 K )一■选择議：本大II 共12小H.Q 小JH 5分?共60分.左毎小H 给出的四个选项中?只有一0是符合麵目要求的.(1) 设集合 U = R ? A = {H |F —工一2>0} ?则 C (/A - (A) C-oo t -l )(J (2> + oo ) (B) [一 1>2J(C) (-oo t -l]U [2.+ 8〉(2) 命IT 若a >b ?则a+c>6+c”的否命題是(A) 若 a Mb ，则 + c(B) 若 a+c W6+c ?則 a (C) 若 a+t>6+c ?则 a >6 〈D)若 a > b ■则 + r (3) 执行如田所示的程序|g 图，如果输出的结果为0?那么输入的工为 (A 冷(B)-l 或 1 (C)l(D) (- 1.2)(D)-l⑷巳知双曲线音-沪心 >。

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)的左■右离点分别为戸，片，双曲线上一点P 满足FF,丄工轴?若 |F|F ；|=12?|PF ；| = 5 ?则谏取曲线的离心串为(A)n ⑻夢 4(D)3(5)巳知a为第二◎限角sin2a 芫?则cosa — sina的(ft为7 7 1(A) 5 ⑻ 一丁<="" p="">(6) (x4-l),(x-2)的展开式中F的累數为CA)25 (B)5 (0-15 <d)-20< p="">(7) 如阳，网格址上小正方形的边长为1,91实线逊出的丑某四綾惟的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为(A) 136K(B) 34K(C) 25n (D) 18x⑻将Sft/(x)=sin2x +V3cos2x图象上所有点的横坐标伸长刊廉*的2ffi(纵坐标不变》，再将图欽上所有点向右平移y个小位长度?初到函敷^(x)的用◎，則&(工)图农的一条对称轴方程是(AI MQ —*CBI H** (C) x(D) x ■* y(9)在玄三棱柱ABC-A|B|Ci中?平面a与校AB .AC.AG ?4B|分别交于点E.F.G, H?且直线Mi JI平面a.布下列三个金題：①四边形EFGH超平行四边形；② 平面a 〃平而BCC.B.'③平面a丄平面BCFE?其中正确的命題有(A)Q②⑻②③(C》①③(D)(D②③仆0)巳知A,B是BSOd+b?4上的曲个动点，|AB|-2,(X：-jOA-yOB .若M超线段AB的中点■则0C?0M的值为(A)3 (B) 273 (02 <d)-3< p="">“1〉巳知函数/(r)是定义在R上的個函数?且/(-x-1) - /(x-l> ?当X C ［— 1,0］时JT*.则关于X的方I COSJTX在［―y 上的所有实数堺之和为(A>-7 (B)-6 (0-3 (D)-l(12)巳知曲线G2?“0>0">0)在点M(\2)处的切线与曲线Ci^-c^ - 1也相切?则t\ny~的值为(A) 4e?(B)8e (02 (D)8第II卷《菲选择题.共90分》二、填空題：本大18共4小18?毎小題5分，共20分.(13)若其中 a € R,i为虚数单位)的曲部为一 1 ?则a- _________________________ ?1 +1(14)K^m北朝时代的数学家祖丽提岀体枳的计算顶理(祖期原理)厂耳好既同?则枳不容异”■势”即是舄广矿是曲枳?怠思是；如果曲等髙的几何体在同高处飲得两几何体的住而积恒彎?那么这两个几何体的体积相靠?类比祖阳原理?如图所示?在平面点角坐标禹三敗学(理科》?一诊??考试題訥2 4 JT)系中?图1泉一个形状不观則的对闭图形?图2是一个上底为1的梯形?且当实数f敢[0.3]上的任住值时? 直线y-f被图1和图2所皱得的两线段长始终相尊? 则图1的面积为______________________ ?2 JT + y — 4 < 0y ?1（15）若实ttx.y tM足约束条件^r-2y-2<0 ?则 =-x - 1 > 0 ”的最小值为__________ ?（⑹已知AABC中.ACM'BCY?AABC的面积为睜.若线段/M的延长线上存在点 D ?使ZBDC-7?-则CD = ___________?4三■解笞题：本大题共6小JH ■共70分.解苦R巧出文字说明■证明过程或演尊步*L （17〉（本小聽摘分12分〉已知效列（aj 満足at =-2.a.fI =2a.+4.（1>证阴数列S.+4｝是等比数列$（□>求数列｛\a.\｝的前力項和S…“8）（本小題満分12分〉某知2016年离中数学学业水平测试的原始成绩采用百分朋?发布底塡便用零级制.各等级划分标准为*5 分及以上?记为A等，分数在[70.85〉内?记为B等『分數在：60.70）内?记为C^,6 0分以下?记为D尊?同时认定A .B.C为合格￡>为不合格?已知甲?乙対所学校学生的顶始成绩均分布在〔50. 100]内?为了比较两校学生的成绩?分别抽肢50名学生的原始成绩作为样本进行统比按照[50.60〉■ [60.70）■[70.80〉■ [80.90）. [90 JOO] 的分组作出甲较的样本檢率分布直方图如图1所示?乙牧的样本中寺级为C.U的所冇数据的茎叶WJUffl 2所示.（I）求阳中龙的值?并根扳样本救据比较甲乙两校的合〈0）在选取的样本中?从甲?乙两牧C等级的学生中圈机抽取3名学生进行调研?用X农示所抽取的3名学生中甲校的学生人数?求随机变■ X的分布列和数学期垫.CWX*小題港分12分〉iflffl】?在正方形ABCD中?点E.F分别足AB.BC的中点?BD与EF交于点H.G为BD中UD点?点R在线段BH上?且—=AQ >0）.?将ffl2ffll 阳2岛三科）?一诊■考试聽第3页（箕4△AED心CFSEF分别沿DE.DF.EF折起?使点A.C 1K合于点该点记为P). 如图2所示.(I)若A-2^i￡,GR 丄平面PEF i< n)是否存在正实数A ?使御克线FR与平面DEF所成角的正戎值为够？若存在. 求出入的tfb若不存在?请说明理由.(20〉(本小越體分12分)已知柄圆￡+ ?■】的右焦点为F?设￡(线/：x?5与工轴的交点为E ?过点F且斜睾为A的直线人与楠関交于A.P阿点?M为线段￡F的中点.(I)若直线/>的倾斜角为于?求AABM的而枳S的值；(0)过点B作直线BN丄/于点N ?证明:A.M.N三点共线.(21〉(本小題肚分12分》巳知函数/Ct) ■工ln(T + 1)+(*—门工+2-a?a € R?(I )当x >OH4.求函ttg(-r)-/U)4-ln(jr + 1)+-jx 的瞅调区间：(D)当a W Z时?若存在工—0?使不等式/(zXO 立?求a的尺小(ft.请考生在M(22) J23)H中任选一越作答?如果多做?则按所借的计分.(22)(本小题満分10分)选修4一4,坐标系与豔效方程在平面直角坐标系MOy中?傾斜角为aS工芳)的直级/的蛊数方程为Z ly?fsin<r< p="">(e为.以型标风点为做点?以工紬的正半紬为桜軸?漣立极坐标糜?曲线C的谡坚标方程是pcos2G — "in。

成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第1卷（选择题）1至2页，第lI卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1. 答题前，务必将自己的姓名考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2. 答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦千净后，再选涂其它答案标号。

答非选择题时，必须使用05毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5. 考试结束后，只将答题卡交回。

第1卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1若复数Z 1与Zz =-— (i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则Z1=CA)-—i (B)-3+ (C)+i (D)—!2.已知集合A={—1,0,m},B={l ,2}. 若A U B = {-1,0,1,2}, 则实数m的值为(A)-1或0(B)O或1CC)—1或23.若si n e =乔cos(2穴-0),则tan20=石乔瓦CA)——CB) -CC)—一 2 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60), [60, 70), [70, 80),[80,90),[90,100], 得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为CA )72. 50.040 0.030 数学（理科）”一诊“考试题第1页（共4页）CD)l或2CD)-污2 彗0.015 (B )75 0.0100.005 (C)77. 5(D)80。

工丑扫已。

100得分5设等差数列{a ,}的前n项和为S,,,且a ,,-::/:-0.若as =a 3, 则—＝s 9 S s 9 5 5 (A)了(B)了(C)了6已知a,/3是空间中两个不同的平面，m,n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是(A)若m II a ,n II /3, 且a II /3,则m II n (B)若m II a ,n II /3, 且a_l/3,则m II n (C)若m_la ,n II /3, 且a II /3, 则m _l n (D)若m _la,n ll /3,且a_l/3,则m _l n7.(x 2+2)(x ——)6的展开式的常数项为(A)25(B)-25 (C)5(D )—5 8.将函数y =si n (4x -王）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所6 得图象向左平移王个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为6 (A) f(x) =si n (2x +互）6 CA) C —2,0) LJ (2, 十=)穴CB) f(x) =si n (2x —一） 亢(C) f(x) =si n (8x +岊)(D) f(x) =si n (8x —一）9已知抛物线沪=4x 的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点．若I M Fl+INFl =5,则线段MN的中点到y轴的距离为CA)3 3_2） B （ CC)5 10.巳知a =沪，b=3了，c =l n -2 ，则(A) a> b > c (B) a> c > b (C) b >a> c (D) b > c > a 11已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(Z +x), 当x冬2时，f(x)= (x —l)e< :--1 若关于x的方程f(x)-kx +zk —e +l=O 有三个不相等的实数根，则实数K的取值范围是(B)(—2,0) LJ (0,2)CC)C —e,O) U (e, 十oo)CD)C —e ,O) U (0, e ) 12.如图，在边长为2的正方形AP 1贮凡中，线段BC的端点B,C分别在边P1P 2,P 2P 3 _t 滑动，且P 2B =P心=x.现将丛AP 1B ,6AP 3C分别沿AB,A C折起使点P1,凡重合，重合后记为点P ,得到三棱锥P-ABC 现有以下结论：(DAP上平面PBC;＠当B,C分别为P1P2,P 2凡的中点时，三棱锥P —ABC的外接球的表面积为67(;®x 的取值范圉为(0,4—2迈）； 1 ＠三棱锥P —ABC体积的最大值为—.则正确的结论的个数为P 1 5_2、丿D （ A 27CD)一5 (A)l (B)2CC )3(D )4数学（理科）”一诊“考试题第2页（共4页）。

成都市2017级高中毕业班第一次诊断性检测数 学（理科）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 1与z 2=-3- i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1=(A)-3-i (B)-3+i (C)3+i (D)3-i2已知集合A={-l ，0，m ），B={l ，2}若A B={-l ，0，1，2}，则实数m 的值为(A)-l 或0 (B)0或1 (C) -l 或2 (D)l 或23．若θθcos 5sin =，则tan2θ = (A) -35 (B) 35 (C) -25 (D) 25 4．某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80）， [80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为(A)72. 5 (B)75 (C)77. 5 (D)805.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0,若a 5=3a 3，则 =59S S ( A) 59 (B) 95 (C) 35 (D) 527 6. 已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是(A 若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n(B)若m ∥α，n ∥β，且α⊥β,则m ∥n(C)若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n(D)若m ⊥α，n ∥β且α⊥β，则m ⊥n7．62)1)(2(x x x -+的展开式的常数项为(A ）25 (B)-25 (C)5 (D)-58．将函数y= sin(4x-6π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为 (A) )62sin()(π+=x x f (B) )32sin()(π-=x x f (C) )68sin()(π+=x x f (D) )38sin()(π-=x x f 9已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点若|MF|+|NF|=5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为(A)3 (B) 23 (C)5 (D) 25 10．已知23ln ,3,23121===c b a ，则 (A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>a>c (D)b>c>a11．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x)，当x ≤2时，f(x)=（x-1）e x -1．若关于x 的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是(A)(-2,0) (0,2) (B)(-2,0) (2,+∞) (C)(-e, 0) (0, +∞) (D)(-e ，0) (0,e) 12. 如图，在边长为2的正方形AP 1 P 2P 3中，边 P 1P 2，P 2P 3的中点分别为B ，C 现将△AP 1B ，△BP 2C ，△CP 3A 分别沿AB ，BC ，CA 折起使点P 1，P 2，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P-ABC ．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC;②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为π6;③x 的取值范围为(0，4-22)；④三棱锥P-ABC 体积的最大值为31 ．则正确的结论的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13已知实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+002204y y x y x ，则z=x+2y 的最大值为____14设正项等比数列{a n }满足a 4= 81，a 1+a 3 =36，则a n = .15已知平面向量a ，b 满足|a |=2，b =3，且b ⊥(a -b )，则向量a 与b 的夹角的大小为 .16．已知直线y=kx 与双曲线C ： 12222=-by a x (a>0，b>0)相交于不同的两点A ,B ,F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|=3|BF|，|OA|=b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bc a c b 324222=-+. (I)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为2 ，且2sinB=3sinC ，求△ABC 的周长18．（本小题满分12分）某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.(I)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与 “性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且∠ABC = 60°，E 分别为BC 的中点．(I)证明：BC ⊥平面PAE ；(Ⅱ)若AB=2．PA=1，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值.20．（本小题满分1 2分）已知函数f （x ）=(a-1)lnx+x+xa ，a ∈R. (I)讨论函数f （x ）的单调性；(Ⅱ)当a<-1时，证明.)(),,1(2a a x f x -->+∞∈∀21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22x +y 2=1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：x=2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D.(1)求四边形OAHB(O 为坐标原点)面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22（本小题满分l0分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线C 1：x 2+(y-2)2 =4上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90°得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(I)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M （3，2π ），射线ρπθ(6=≥0)与曲线C 1,C 2分别相交于异于极点O 的A ，B 两点，求△MAB 的面积23．（本小题满分l0分）选修4 5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-3|(I)解不等式f （x ）≥4-|2x+l|；(Ⅱ)若n m 41+ =2(m>0, n>0)，求证：m+n ≥|x+ 23|-f(x).。

成都七中高2017届高三一诊分推测试（1）数学理科一、选择题1.复数103iz i=+（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．1 B ．3 C ．-3 D ．1542.已知,,A B O 三点不共线，若AB OA OB =+，则向量OA 与OB 的夹角为（ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角或钝角 3.已知()3sin f x x x π=-，命题:(0,)2p x π∀∈，()0f x <，则（ ）A ．p 是真命题：:(0,)2p x π⌝∀∈，()0f x > B ．p 是真命题：0:(0,)2p x π⌝∃∈，0()0f x ≥C ．p 是假命题：:(0,)2p x π⌝∀∈，()0f x ≥D ．p 是假s 命题：0:(0,)2p x π⌝∃∈，0()0f x ≥4.已知函数()2sin sin(3)f x x x ϕ=+是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，则函数()cos(2)g x x ϕ=-的图象（ ）A ．关于点(,0)12π对称 B ．可由函数()f x 的图象向右平移3π个单位得到 C. 可由函数()f x 的图象向左平移6π个单位得到D ．可由函数()f x 的图象向左平移3π个单位得到5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．10 B．10C. 6+．66.如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43 B ．53 C. 158D ．2 7.已知函数()(3)f x f x =，当[1,3)x ∈，()ln f x x =，若在区间[1,9)内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 31(,)3e B ．ln 31(,)93e C. ln 31(,)92e D ．ln 3ln 3(,)938.在正方体1111ABCD A BC D -中，M 是1CC 的中点，若点P 在平面11ABA B 内，且满足11PDB MDB ∠=∠，则点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆 C. 双曲线 D ．抛物线二、填空题9.已知1sin cos 2αα=+，且(0,)2πα∈，则cos 2sin()4απα-的值为 ．10.已知圆C 过坐标原点，面积为2π，且与直线:20l x y -+=相切，则圆C 的方程是 ．11.已知抛物线2:4C y x =上一点(4,4)M -，点,A B 是抛物线C 上的两动点，且0MA MB ∙=，则点M 到直线AB 的距离的最大值是 ． 三、解答题12.已知数列{}n a 满足：21123333n n a a a a n -++++= ，*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项； （2）设数列{}n b 满足33n bn a =，求数列{}n nb a 的前n 项和n S .13.国内某大学有男生6000人，女生4000人，该校想了解本校学生的（1）请根据题目信息，将22⨯列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关；（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X 及方差()D X . 附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ 14.已知点(0,2)A -，椭圆2222:1x y E a b +=（0a b >>）的离心率为2，F 是椭圆的右焦点，直线AF O 为坐标原点. （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当POQ ∆的面积最大时，求l 的方程.试卷答案一、选择题1-5: BBBCC 6-8: BBC二、填空题9.4-10. 22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++= 11.三、解答题12.解：（1）当2n ≥时，21123333n n a a a a n -++++= ①2212313331n n a a a a n --++++=- ②由①-②得：131n n a -=，∴113n n a -= 当1n =时，11a =也满足上式 ∴113n n a -=（*n N ∈） （2）由（1）及33n bna =得，33n b n=，∴n b n = ∴13n nnb n a -=， ∴01211323333n n S n -=∙+∙+∙++∙12331323333n n S n =∙+∙+∙++∙以上两式相减得：21213333n n n S n --=++++-∙13313n n n -=-∙- ∴1133244n n n n S =∙-∙+ 13.解：（1）由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的100人中，有60人为男生，40人为女生，据此22⨯列联表中的数据被充如下.由表中数据得2K 的观测值2100(36262414)6 5.024********k ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人’”有关. （2）由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为363605=，故X ~3(3,)5B ， X 可取的值为0，1，2，3所以03003238(0)()()55125P X C -===，131132336(1)()()55125P X C -=== 232232354(2)()()55125P X C -===，333332327(3)()()55125P X C -===.X 的分布列为：∴()355E X =⨯=，()35525D X =⨯⨯=14.（1）设(,0)F c ，由条件知2c =c = 又2c a =，所以2a =，2221b a c =-=，故E 的方程为2214x y +=， （2）当l x ⊥轴时不合题意，故可设:2l y kx =-，11(,)P x y ，22(,)P x y ，将:2l y kx =-代入2214x y +=中得22(14)16120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->时，即234k >， 由韦达定理得1221614k x x k +=+，1221214x x k=+从而214PQ k===+ 又点O 到直线PQ 的距离为d =所以POQ ∆的面积12OPQS d PQ ∆=∙=法一：t =，则0t >，24444OPQ t S t t t∆==++，因为44t t +≥，当且仅当2t =，即k =时等号成立，且满足0∆>，所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为22y x =-或22y x =-- 法二：令241k m +=，则22216(4)1416()OPQ m S m m m ∆-==-当118m =时，即8m =，2418k +=，2k =±时等号成立，且满足0∆>所以当OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为22y x =-或22y x =--。

2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 若全集，集合，则A. B. C. D.2. 命题“若，则”的否命题是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则3. 执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为，那么输入的为A. B. 或 C. D.4. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，双曲线上一点满足轴，若，，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.5. 已知为第二象限角，且，则的值为A. B. C. D.6. 的展开式中的系数为A. B. C. D.7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.8. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程是A. B. C. D.9. 在直三棱柱中，平面与棱，，，分别交于点，，，，且直线 平面．有下列三个命题：①四边形是平行四边形；②平面 平面；③平面平面．其中正确的命题有A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③10. 已知，是圆上的两个动点，，．若是线段的中点，则的值为A. B. C. D.11. 已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上的所有实数解之和为A. B. C. D.12. 已知曲线：（，）在点处的切线与曲线：也相切，则的值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 若复数（其中，为虚数单位）的虚部为，则 ______．14. 我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为的梯形，且当实数取上的任意值时，直线被图1和图2所截得的两线段长始终相等，则图1的面积为______．15. 若实数，满足约束条件则的最小值为______．16. 已知中，，，的面积为．若线段的延长线上存在点，使，则 ______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列满足，（1）证明数列是等比数列；（2）求数列的前项和．18. 云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：分及以上，记为A等，分数在内，记为B等，分数在内，记为C 等，分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C 都为合格，等级为D为不合格，已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照，，，，分别作出甲校如图1 所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C，D的所有数据茎叶图．（1）求图中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取名学生进行调研，用表示所抽取的名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．19. 如图1，在正方形中，点，分别是，的中点，与交于点，为中点，点在线段上，且．现将，，分别沿，，折起，使点，重合于点（该点记为）如图2所示．（1）若，求证：平面；（2）是否存在正实数，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20. 已知椭圆：的右焦点为，设直线：与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点．（1）若直线的倾斜角为，求的面积的值；（2）过点作直线于点，证明：，，三点共线．21. 已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，若存在，使不等式成立，求的最小值．22. 在平面直角坐标中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的值．23. 已知函数，．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正数，满足，求的最小值．答案第一部分1. C2. A3. C4. C5. B6. C7. B8. D9. C 10. A11. A 12. D第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）因为数列满足，，所以，所以数列是等比数列，公比与首项为．（2）由（1）可得：，所以，所以当时，；时，，所以时，时也成立．所以．18. （1）由频率分布直方图可得：，解得．甲校的合格率，乙校的合格率．可得：甲乙两校的合格率相同，都为．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：人，人．．则，，，，．所以的分布列为：．19. （1）由题意，，，三条直线两两垂直，所以平面，图1中，，所以，因为为中点，所以．图2中，因为，所以中，，所以平面；（2）由题意，建立如图所示的坐标系，，则，，，，所以，因为，所以，所以，因为，，设平面的一个法向量为，则取，因为直线与平面所成角的正弦值为，，所以，所以存在正实数，使得直线与平面所成角的正弦值为．20. （1）由题意可知：右焦点，，，设，，由直线的倾斜角为，则，直线的方程，即，则整理得：．则，，的面积，所以的面积的值．（2）设直线的方程为，则整理得：．则，．直线于点，则，由，，而所以．所以，，三点共线．21. （1）因为，所以，当即时，对恒成立，此时，在递增，无递减区间，当即时，由，得，由，得，此时，在递减，在递增，综上，时，在递增，无递减区间；时，在递减，在递增．（2）由，得，当时，上式等价于，令，，由题意，存在，使得成立，则只需，因为，令，显然在递增，而，，故存在，使得，即，又当时，，递减，当时，，递增，故时，有极小值（也是最小值），故，故，，而，故的最小整数值是．22. （1）因为直线的参数方程为（为参数）．所以直线的普通方程为，由曲线的极坐标方程是，得，所以，所以曲线的直角坐标方程为．（2）因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为，所以，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为（为参数），代入，得，设，两点对应的参数为，，因为为线段的中点，所以点对应的参数值为，又，则．23. （1）当时，；当时，．所以不等式等价于或所以，或．所以所以原不等式的解集为．（2）由（1），得．可知的最小值为．所以．所以，变形得．因为，，所以当且仅当，即时，取等号．所以的最小值为．。

2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）（附详细解析）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA=（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．35．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣207．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A ．136πB ．34πC ．25πD ．18π8．将函数f （x ）=sin2x+cos2x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ）A ．x=一B ．x=C ．x=D ．x=9．在直三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE ．其中正确的命题有（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③10．已知A ，B 是圆O ：x 2+y 2=4上的两个动点，||=2，=﹣，若M是线段AB 的中点，则•的值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．﹣311．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （﹣x ﹣1）=f （x ﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f （x ）=﹣x 3，则关于x 的方程f （x ）=|cosπx |在[﹣，]上的所有实数解之和为（ ） A ．﹣7 B ．﹣6 C ．﹣3 D ．﹣112．已知曲线C 1：y 2=tx （y ＞0，t ＞0）在点M （，2）处的切线与曲线C 2：y=e x+1﹣1也相切，则tln 的值为（ ） A ．4e 2 B ．8e C ．2 D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a ∈R ，i 为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t 被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4．（I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Sn．18．云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．点F且斜率为k的直线l1的倾斜角为，求△ABM的面积S的值；（I）若直线l1（Ⅱ）过点B作直线BN⊥l于点N，证明：A，M，N三点共线．21．已知函数f（x）=xln（x+1）+（﹣a）x+2﹣a，a∈R．（I）当x＞0时，求函数g（x）=f（x）+ln（x+1）+x的单调区间；（Ⅱ）当a∈Z时，若存在x≥0，使不等式f（x）＜0成立，求a的最小值．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．2017年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A=（）1．若全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁UA．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]【考点】补集及其运算．【分析】求出集合A，利用补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＞2或x＜﹣1}，A={x|﹣1≤x≤2}，则∁U故选：C2．命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是（）A．若a≤b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a＞b，则a+c≤b+c【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．【解答】解：命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题是“若a≤b，则a+c≤b+c”．故选：A．3．执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为0，那么输入的x为（）A．B．﹣1或1 C．﹣l D．l【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，根据输出的结果为0，得出输入的x．【解答】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，x≤0，y=﹣x2+1=0，∴x=﹣1，x＞0，y=3x+2=0，无解，故选：C．4．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，可得|PF1|=13，利用双曲线的定义求出a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线上一点P满足PF2⊥x轴，若|F1F2|=12，|PF2|=5，∴|PF1|=13，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=8，∴a=4，∵c=6，∴e==，故选C．5．已知α为第二象限角．且sin2α=﹣，则cosα﹣sinα的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二倍角的正弦．【分析】由α的范围和三角函数值的符号判断出cosα﹣sinα的符号，由条件、平方关系、二倍角的正弦函数求出cosα﹣sinα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，∵sin2α=﹣，∴cosα﹣sinα=﹣===，故选B．6．（x+1）5（x﹣2）的展开式中x2的系数为（）A．25 B．5 C．﹣15 D．﹣20【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理的展开式即可得出．【解答】解：（x+1）5（x﹣2）=（x﹣2）的展开式中x2的系数=﹣2=﹣15．故选：C．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A．136πB．34πC．25πD．18π【考点】球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．【分析】由四棱锥的三视图知该四棱锥是四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，从而该四棱锥的外接球就是以AB，AC，AP 为棱的长方体的外接球，由此能求出该四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：由四棱锥的三视图知该四棱锥是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，其中ABCD是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，且PA=4，∴该四棱锥的外接球就是以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴该四棱锥的外接球的半径R==，∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=4π×=34π．故选：B．8．将函数f（x）=sin2x+cos2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x）的图象，则g（x）图象的一条对称轴方程是（）A．x=一 B．x=C．x= D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得g（x）图象的一条对称轴方程．【解答】解：将函数f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin （x+）的图象；再将图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数g （x ）=2sin （x ﹣+）=2sin （x+）的图象的图象的图象，令x+=kπ+，求得x=kπ+，k ∈Z ．令k=0，可得g （x ）图象的一条对称轴方程是x=，故选：D ．9．在直三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE ．其中正确的命题有（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【考点】棱柱的结构特征．【分析】在①中，由AA 1EHGF ，知四边形EFGH 是平行四边形；在②中，平面α与平面BCC 1B 1平行或相交；在③中，EH ⊥平面BCEF ，从而平面α⊥平面BCFE ．【解答】解：如图，∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α．∴AA 1EH GF ，∴四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；∵EF 与BC 不一定平行，∴平面α与平面BCC 1B 1平行或相交，故②错误；∵AA 1EHGF ，且AA 1⊥平面BCEF ，∴EH ⊥平面BCEF ，∵EH ⊂平面α，∴平面α⊥平面BCFE ，故③正确． 故选：C ．10．已知A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2， =﹣，若M是线段AB的中点，则•的值为（）A．3 B．2C．2 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，得到与的夹角为，再根据向量的几何意义和向量的数量积公式计算即可．【解答】解：A，B是圆O：x2+y2=4上的两个动点，||=2，∴与的夹角为，∴•=||•||•cos=2×2×=2，∵M是线段AB的中点，∴=（+），∵=﹣，∴•=（+）•（﹣）=（5||2+3••﹣2||2）=（20+6﹣8）=3，故选：A11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（﹣x﹣1）=f（x﹣1），当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x3，则关于x的方程f（x）=|cosπx|在[﹣，]上的所有实数解之和为（ ） A ．﹣7 B ．﹣6 C ．﹣3 D ．﹣1 【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由f （x ）是偶函数说明函数图象关于y 轴对称，由f （﹣x ﹣1）=f （x ﹣1），得到x=﹣1是函数的对称轴，画出函数f （x ）的图象，只要找出函数f（x ）的图象与y=|cosπx |在[﹣，]上内交点的情况，根据对称性即可求出答案．【解答】解：∵函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，f （﹣x ﹣1）=f （x ﹣1）， ∴x=﹣1是函数的对称轴，分别画出y=f （x ）与y=|cosπx |在[﹣，]上图象， 交点依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7， ∴x 1+x 7=﹣2，x 2+x 6=﹣2，x 3+x 5=﹣2，x 4=﹣1， ∴x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7=﹣2×3﹣1=﹣7， 故选：A12．已知曲线C 1：y 2=tx （y ＞0，t ＞0）在点M （，2）处的切线与曲线C 2：y=e x+1﹣1也相切，则tln 的值为（ ） A ．4e 2 B ．8e C ．2D ．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用曲线C 1：y 2=tx （y ＞0，t ＞0）在点M （，2）处的切线与曲线C 2：y=e x+1﹣1也相切，求出t 的值，则tln的值可求．【解答】解：曲线C：y2=tx（y＞0，t＞0），y′=•t，1x=，y′=，∴切线方程为y﹣2=（x﹣）：y=e x+1﹣1，y′=e x+1，e m+1=，∴m=ln﹣1，n=﹣设切点为（m，n），则曲线C21，代入﹣1﹣2=（ln﹣1﹣），解得t=4，∴tln=4lne2=8．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z=（其中a∈R，i为虚数单位）的虚部为﹣1，则a= ﹣2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数z===+i的虚部为﹣1，则=﹣1，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势’’即是高，“幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个上底为l的梯形，且当实数t取[0，3]上的任意值时，直线y=t被图l和图2所截得的两线段长始终相等，则图l的面积为．【考点】类比推理．【分析】根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积，即可得出结论．【解答】解：根据祖暅原理，可得图1的面积=梯形的面积==．故答案为．15．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率，数形结合得到的最小值．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，的几何意义是（x，y）与（0，1）连线的斜率联立，解得A（1，），∴的最小值为=﹣．故答案为：﹣．16．已知△ABC中，AC=，BC=，△ABC的面积为，若线段BA的延长线上存在点D，使∠BDC=，则CD= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求sin∠ACB=，从而可求∠ACB=，在△ABC中，由余弦定理可得AB，进而可求∠B，在△BCD中，由正弦定理可得CD 的值．【解答】解：∵AC=，BC=，△ABC的面积为=AC•BC•sin∠ACB=sin∠ACB，∴sin∠ACB=，∴∠ACB=，或，∵若∠ACB=，∠BDC=＜∠BAC，可得：∠BAC+∠ACB＞+＞π，与三角形内角和定理矛盾，∴∠ACB=，∴在△ABC中，由余弦定理可得：AB===，∴∠B=，∴在△BCD中，由正弦定理可得：CD===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4．（I）证明数列{an+4}是等比数列；（Ⅱ）求数列{|an |}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4，an+1+4=2（an+4），即可得出．（II）由（I）可得：an +4=2n，可得an=2n﹣4，当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，an≥0，可得n≥2时，Sn =﹣a1+a2+a3+…+an．【解答】（I）证明：∵数列{an }满足al=﹣2，an+1=2an+4，∴an+1+4=2（an+4），∴数列{an+4}是等比数列，公比与首项为2．（II）解：由（I）可得：an +4=2n，∴an=2n﹣4，∴当n=1时，a1=﹣2；n≥2时，an≥0，∴n≥2时，Sn =﹣a1+a2+a3+…+an=2+（22﹣4）+（23﹣4）+…+（2n﹣4）=﹣4（n﹣1）=2n+1﹣4n+2．n=1时也成立．∴Sn=2n+1﹣4n+2．n∈N*．18．云南省2016年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为：85分及以上，记为A等，分数在[70，85）内，记为B等，分数在[60，70）内，记为C等，60分以下，记为D等，同时认定等级分别为A，B，C都为合格，等级为D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别作出甲校如图1所示样本频率分布直方图，乙校如图2所示样本中等级为C、D的所有数据茎叶图．（1）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在选取的样本中，从甲、乙两校C等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质可得x，进而定点甲校的合格率．由茎叶图可得乙校的合格率．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．利用P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：（x+0.012+0.056+0.018+0.010）×10=1，解得x=0.004．=（1﹣0.004）×10=0.96=96%，甲校的合格率P1乙校的合格率P==96%．2可得：甲乙两校的合格率相同，都为96%．（2）甲乙两校的C等级的学生数分别为：0.012×10×50=6，4人．X=0，1，2，3．则P（X=k）=，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．∴X的分布列为：E（X）=0+1×+2×+3×=．19．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，BD与EF交于点H，G为BD中点，点R在线段BH上，且=λ（λ＞0）．现将△AED，△CFD，△DEF分别沿DE，DF，EF折起，使点A，C重合于点B（该点记为P），如图2所示．（I）若λ=2，求证：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）是否存在正实数λ，使得直线FR与平面DEF所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（I）若λ=2，证明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可证明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面DEF的一个法向量，利用直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，建立方程，即可得出结论．【解答】（I）证明：由题意，PE，PF，PD三条直线两两垂直，∴PD⊥平面PEF，图1中，EF∥AC，∴GB=2GH，∵G为BD中点，∴DG=2GH．图2中，∵=2，∴△PDH中，GR∥PD，∴GR⊥平面PEF；（Ⅱ）解：由题意，建立如图所示的坐标系，设PD=4，则P（0，0，0），F（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），∵=λ，∴R（，，0），∴=（，﹣，0），∵=（2，﹣2，0），=（0，2，﹣4），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（2，2，1），∵直线FR与平面DEF所成角的正弦值为，∴=，∴存在正实数λ=，使得直线FR 与平面DEF 所成角的正弦值为．20．已知椭圆的右焦点为F ，设直线l ：x=5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．（I ）若直线l 1的倾斜角为，求△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）过点B 作直线BN ⊥l 于点N ，证明：A ，M ，N 三点共线． 【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（I ）由题意，直线l 1的x=y+1，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式即可求得△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）直线y=k （x ﹣1），代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得k AM =k MN ，A ，M ，N 三点共线．【解答】解：（I ）由题意可知：右焦点F （1，0），E （5，0），M （3，0）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由直线l 1的倾斜角为，则k=1，直线l 1的方程y=x ﹣1，即x=y+1，则，整理得：9x 2+8﹣16=0．则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，△ABM 的面积S ，S=•丨FM 丨•丨y 1﹣y 2丨=丨y 1﹣y 2丨=∴△ABM 的面积S 的值；（Ⅱ）证明：设直线l 1的方程为y=k （x ﹣1），则，整理得：（4+5k 2）x 2﹣10k 2x+5k 2﹣20=0．则x 1+x 2=，x 1x 2=，直线BN ⊥l 于点N ，则N （5，y 2），由k AM =，k MN =，而y 2（3﹣x 1）﹣2（﹣y 1）=k （x 2﹣1）（3﹣x 1）+2k （x 1﹣1）=﹣k[x 1x 2﹣3（x 1+x 2）+5]，=﹣k （﹣3×+5），=0， ∴k AM =k MN ，∴A ，M ，N 三点共线．21．已知函数f （x ）=xln （x+1）+（﹣a ）x+2﹣a ，a ∈R ．（I ）当x ＞0时，求函数g （x ）=f （x ）+ln （x+1）+x 的单调区间； （Ⅱ）当a ∈Z 时，若存在x ≥0，使不等式f （x ）＜0成立，求a 的最小值． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数g （x ）的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于a ＞，令h （x ）=，x ≥0，唯一转化为求出a ＞h （x ）min ，根据函数的单调性求出h （x ）的最小值，从而求出a 的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵g （x ）=（x+1）ln （x+1）+（1﹣a ）x+2﹣a ，（x ＞0）， ∴g′（x ）=ln （x+1）+2﹣a ，当2﹣a ≥0即a ≤2时，g′（x ）＞0对x ∈（0，+∞）恒成立，此时，g （x ）在（0，+∞）递增，无递减区间，当2﹣a ＜0即a ＞2时，由g′（x ）＞0，得x ＞e a ﹣2﹣1，由g′（x ）＜0，得0＜x ＜e a ﹣2﹣1， 此时，g （x ）在（0，e a ﹣2﹣1）递减，在（e a ﹣2﹣1，+∞）递增，综上，a ≤2时，g （x ）在（0，+∞）递增，无递减区间；a ＞2时，g （x ）在（0，e a ﹣2﹣1）递减，在（e a ﹣2﹣1，+∞）递增，（Ⅱ）由f （x ）＜0，得（x+1）a ＞xln （x+1）+x+2，当x ≥0时，上式等价于a ＞，令h （x ）=，x ≥0，由题意，存在x ≥0，使得f （x ）＜0成立，则只需a ＞h （x ）min ，∵h′（x ）=，令u （x ）=ln （x+1）+x ﹣，显然u （x ）在[0，+∞）递增，而u （0）=﹣＜0，u （1）=ln2﹣＞0，故存在x 0∈（0，1），使得u （x 0）=0，即ln （x 0+1）=﹣x 0，又当x 0∈[0，x 0）时，h′（x ）＜0，h （x ）递减，当x ∈[x 0，+∞）时，h′（x ）＞0，h （x ）递增，故x=x 0时，h （x ）有极小值（也是最小值），故h （x ）min =，∈（0，1），故a≥=，x而2＜＜3，故a的最小整数值是3．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，∴x2﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），∴t anα=﹣1，直线l的倾斜角为，∴直线l的参数方程为，代入x2=4y，得，设A，B两点对应的参数为t1，t2，∵Q为线段AB的中点，∴点Q对应的参数值为，又P（1，0），则|PQ|=||=3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．2017年4月4日。

成都市田家炳中学2017届一诊模拟试题理 科 数 学答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】因为，，所以， 故选C ．2．【答案】A【解析】由，得，所以虚部为．故选A ．3．【答案】D【解析】选项A ，B 显然正确；对于C ，，选项C 正确； 1．6，1．9，2．2，2．5，2．9不是等差数列，故D 错，故选D ． 4．【答案】C【解析】因为，所以，解得， 从而，故选C ．5．【答案】B【解析】因为，所以为直角三角形，所以，所以B ．6．【答案】A【解析】直线的方程为，令，得．，所以， 只有选项A 满足条件，故选A ． 7．【答案】D【解析】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即，故选D ． 8．【答案】C【解析】表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域（如图阴影所示），{|24}U x x =-<<{|03}A x x =<<][()2,03,4U A =-ð34i z =+()()()534i 5534i 34i 34i 34i 5z --===++-45-2.9 1.60.81.6->3π4tan 43θ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭tan 141tan 3θθ+=--tan 7θ=22tan 7tan21tan 24θθθ==--0CA CB ⋅=ABC △2|cos |2BC BA AB BC ABC BC ⋅=⋅∠=⋅=2BC =l )y x c =+0x =y =b =22222232a c b b b b =-=-=1y a x'=-()1,013a -=4a =22x y +(),x y点到坐标原点的距离最大，即．故选C ． 9．【答案】B【解析】设，因为，所以，解得， 代入抛物线方程得，所以，，从而直线的斜率为，故选B ． 10．【答案】D【解析】由函数的图象关于直线对称，得，即，解得， 所以，，故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度，得，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，得”即可．故选D ． 11．【答案】C【解析】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉个球而形成的，所以它的表面积为，故选C ．当时，有种；当时，有种，那么所有27个的排列所得的的平均值为．12．【答案】A【解析】由题意可知，所有的的排列数为， 当时，有3种情形，即，，； 故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．()2,3A -()0,0()()2222max2313x y +=-+=()00,A x y 78p AF =0728p p x +=038px =0y =OB =2p OF =tan BFO ∠=BF ()f x π3x =π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭322m +=1m =()cos 2sin 2cos 6ππ3f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2cos2g x x =()f x π32cos y x =12()2cos2g x x =1822222π1334π8π644a S a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()123,,2N a a a =211323C C C 18⋅⋅=()123,,3N a a a =33A 6=()123,,a a a ()123,,N a a a 132183619279⨯+⨯+⨯=()123,,a a a 3327=()123,,1N a a a =()2,2,2()4,4,4()6,6,613．【答案】【解析】，故答案为．14．【答案】【解析】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法，其中能构成勾股数的有共，，三种， 所以，所求概率为，故答案为． 15. 616．【答案】【解析】由，得， 解得．因为，所以，，所以．又因为，所以因为，所以，故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1），；（2）见解析． 【解析】（1）因为数列，是等差数列，且，， 所以，整理得，解得，所以，即，，即． 综上，，． （2）由（1）得，所以，即． 18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵，，连接，2ln2+()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+2ln2+155311C ()3,4,5()6,8,10()5,12,13311C 3155P ==15552222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠2220AC AC +-=1AC =sin sin BC AB BAC ACB =∠∠sin BAC ∠=π4BAC ∠=()sin sin sin 3π4π4AEC ACE BAC ⎛⎫∠=∠+∠=+= ⎪⎝⎭sin sin CE ACBAC AEC=∠∠4CE =-π2ECD BCE BCD ∠=∠+∠=152DCE S CE CD =⋅=△5n a n =21n b n =+{}n a {}n b 23A =53A B =112351096a d a d d +=⎧⎨+=+⎩1123549a d a d +=⎧⎨+=⎩111a d =⎧⎨=⎩()11n a a n d n =+-⋅=n a n =()11221n b b n d n =+-⋅=+21n b n =+n a n =21n b n =+()111212111n c n n n n n n ⎛⎫=++=++- ⎪⋅++⎝⎭()11111352112231n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()22211211111n S n n n n n n =++-=+-<+++112AD DE ==90ADE ∠=︒BE∴，，∴，∴， 又平面平面，平面平面， ∴平面，又平面，∴平面平面． （2）作的中点，连结， ∵，∴，又平面平面，∴平面， 过作直线，以、、分别为为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，∴，平面的法向量，，又，， 设平面的法向量为，，，即， 平面的法向量，，∴平面与平面． 19．【详解】 （1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得. 所以两人得分之和小于35的概率为.（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：（个）. 又由，得标准差，所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.（i ）因为，所以， 故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为 （人）.AE BE ==4AB =222AE BE AB +=AE BE ⊥ADE ⊥ABCE ADE ABCE AE =BE ⊥ADE BE ⊂BDE ADE ⊥BDE AE O DO DA DE =DO AE ⊥ADE ⊥ABCE DO ⊥ABCE E EF DO ∥EA EB EF x y z (0,0,0)E A (0,B D ()AB ∴=-()0,EB =1(2EC AB ∴==(C ADE 1EB ∥n 1(0,1,0)∴=n (2,CB =(DB =BDC ()2,,x y z =n 2200CB DB ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩n n 00=∴+-=⎪⎩020x y x y z +=⎧⎨-+-=⎩∴BDC 2(1,1,3)=--n 121212cos ,⋅∴===⋅n n n n n n ADE BDC A A 221111612612618210029()550C C C C C C P A C +++==29550X (0.0061500.0121600.018170X =⨯+⨯+⨯+0.0341800.0161900.008200⨯+⨯+⨯0.006210)10179+⨯⨯=2225σ≈15σ≈X ()2179,15N 17915164μσ-=-=10.6826(164)10.84132P X ->=-=20000.84131682.61683⨯=≈（ii ）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为， 所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.所以，，，，所以，.20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由，得，代入，得，因为拋物线与直线相切，所以，解得． （2）设，，则． 设过点的动直线的方程为，代入，得，所以，，，所以．若变化，为常数，则需满足，解得．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）因为，其定义域为，所以．①当时，令，得；令，得，121~3,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ0303111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213113(1)1228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭2123113(2)C 1228P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3330111(3)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13()322E ξ=⨯=113()31224D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭4p =2m =-2y x =+2x y =-22y px =2240y py p -+=()220y px p =>2y x =+()22440Δp p =-⨯=4p =()11,B x y ()22,C x y ()()12122212121212884488444162288AB AC y y y y k k y y y y y y y y ++--+=+=+=+++++--(),0P m x ty m =+28y x =2880y ty m --=264320Δt m =+>128y y t +=128y y m =-()()121212888841642AB AC y y t k k y y y y t m++++==++++-t AB AC k k +8842m=-2m =-(44ln 2,)++∞()()22ln f x ax a x x =---()0,+∞()()()()211122(0)x ax f x ax a x x x-+=---=>'0a ≥()0f x '<102x <<()0f x '>12x >此时在上单调递减，在上单调递增．②当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增．③当时，，此时在上单调递减．④当时，令，得或；令，得，此时在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知：①当时，． 易证，所以．因为，， ．所以恰有两个不同的零点，只需，解得． ②当时，，不符合题意． ③当时，在上单调递减，不符合题意．④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，且， 又，由于，，所以，函数最多只有1个零点，与题意不符．综上可知，，即的取值范围为．22．（1）曲线C 的极坐标方程为 ，所以 . 即 ，即 .（2）把直线 的参数方程带入 得设此方程两根为 ，易知 ,而定点M 在圆C 外，所以， ，， ，可得， ()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭20a -<<()0f x '<102x <<1x a >-()0f x '>112x a<<-()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2a =-()0f x '≤()f x ()0,+∞2a <-()0f x '<10x a <<-12x >()0f x '>112x a -<<()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭0a ≥()14ln224af x f -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭极小值ln 1x x ≤-()()()222ln 11f x ax a x x ax a x =---≥--+()110313a <≤+()()()()()2221116191211031319191a a f a a a a a a ⎛⎫++≥⋅--⋅+=> ⎪ ⎪++++⎝⎭()120f =>()f x 14ln2024af -⎛⎫=+< ⎪⎝⎭44ln2a >+20a -<<114ln2024af f a -⎛⎫⎛⎫->=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a =-()f x ()0,∞+2a <-()f x 10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭14ln2024af -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭1111ln f a a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1102a <-<1ln 0a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭1111ln 0f a a a ⎛⎫⎛⎫-=---> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 44ln2a >+a ()44ln2,++∞∴ ，所以直线 的斜率为-1. 23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，， 当时，由，解得； 当时，由，解得； 当时，由，解得．综上可知，原不等式的解集为． （2），存在使得成立，等价于．又因为，所以， 即，解得，结合，所以实数的取值范围为．{}|23x x -≤≤(0,4]2a =()()12,13213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩1x <-125x -≤21x -≤<-12x -≤<35≤12x -≤<2x ≥215x -≤23x ≤≤{}|23x x -≤≤()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+0x ∈R ()202g x a a ≥-()2max 2g x a a ≥-2x a x a x a x a a --+≤---=222a a a ≥-240a a -≤04a ≤≤0a >a (]0,4。