常用逻辑用语(讲义)

复习课(一) 常用逻辑用语命题及其关系通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断．[考点精要]四种命题的相互改写交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．[注意] 互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性．[典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假命题)否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假命题)逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真命题)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假命题)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假命题)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真命题)[类题通法]简单命题真假的判断方法[题组训练]1．命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a ≤2”的否命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题一真一假 C ．为假命题D ．为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a >2”，为真命题，故选D.2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题解析：选A 对于A ，逆命题是“若3a >3b，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.3．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”.充分条件与必要条件充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．[考点精要]充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[典例] (1)(2017·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·某某高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A [类题通法]充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[题组训练]1．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当x＝1.8，y＝0.9时，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，即〈x〉≠〈y〉；当〈x〉＝〈y〉时，必有|x－y|<1，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件，故选B.含有逻辑联结词、量词的命题的真假，以及全称命题，特称命题的否定．[考点精要]1．含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系2．全称命题、特称命题的否定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”，特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”．[典例] (1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0(2)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] (1)已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.(2)由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立．[答案] (1)C (2)A [类题通法]1．判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p ，q .(2)分别确定简单命题p ，q 的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假． 2．判断含有量词的命题真假的方法(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中每一个x 验证 p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M 中，能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题为假．(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．[题组训练]1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 由题意p 与q 均为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题．等于的否定是不等于． 答案：对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03．已知p ：点M (2,3)在直线ax －y ＋1＝0上，q ：方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋a ＝0表示圆，p ∨q 是假命题，某某数a 的取值X 围．解：当p 是真命题时，2a －3＋1＝0，即a ＝1， 所以当p 是假命题时，a ≠1；当q 是真命题时，1＋1－4a >0，即a <12，所以当q 是假命题时，a ≥12.又p ∨q 是假命题，所以p ，q 均为假命题， 所以a ≥12且a ≠1，所以实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B C ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 命题p 是全称命题：∀x ∈M ，p (x )，则綈p 是特称命题：∃x ∈M ，綈p (x )．故选C.2．命题p ：若ab ＝0，则a ＝0；命题q ：若a ＝0，则ab ＝0，则( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选D 由条件易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题，故p 假q 真．从而“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．3．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：选D ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 先证“α⊥β⇒a ⊥b ”．∵α⊥β，α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a ；再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β”．举反例，当a ∥m 时，由b ⊥m 知a ⊥b ，此时二面角α­m ­β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A.5．下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－1＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－1≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析：选C A 显然正确；当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，故“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 正确；若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝0或k ＝1，故C 错误；D 显然正确．6．已知p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值X 围是( )A ．(3,5)B ．[3,5]C ．(－∞，3)∪(5，＋∞)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)解析：选B p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6.因为q 是p 的必要不充分条件，所以由p 能得到q ，而由q 得不到p ，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2，m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥2，m ＋1<6.解得3≤m ≤5.7．命题“在△ABC 中，如果∠C ＝90°，那么c 2＝a 2＋b 2”的逆否命题是__________________________________．答案：在△ABC 中，若c 2≠a 2＋b 2，则∠C ≠90°8．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件．解析：綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.因为綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/ 綈p . 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要9．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1. 命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真， 则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是(－∞，－2]∪{1}． 答案：(－∞，－2]∪{1}10．已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．解：p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， 令A ＝{x |x <－2或x >10}，∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ， 令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }， 由题意p ⇒q 且q ⇒/ p ，知A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2⇒0＜a ≤3，∴a 的取值X 围为(0,3]．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3－2≤x ≤12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数m 的取值X 围．解：(1)作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12上单调递增，故f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1， 故－3≤m ≤1； 对于命题q ，m 2－1>1，故m >2或m <－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m >1或m <－3，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2. 故实数m 的取值X 围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。

常用逻辑用语讲义)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March常用逻辑用语1.四种命题的形式（1）原命题：若p ，则q （2）逆命题：若q ，则p （3）否命题：若p ⌝，则q ⌝ （4）逆否命题：若q ⌝，则p ⌝2.四种命题之间的相互关系3.四种命题的真假关系（1）互为逆否的两个命题具有相同的真假性.（2）互逆或互否的两个命题真假性没有关系.4.充分条件与必要条件的判断方法（I ）定义法①若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的充分不必要条件 ②若q p ,p q ⇒⇒，则说p 是q 的必要不充分条件 ③若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的充分必要条件 ④若p q ,q p ⇒⇒，则说p 是q 的既不充分也不必要条件（II ）集合法对于集合}q x |x {B },p x |x {A 满足条件满足条件==， 则①若B A ≠⊂，则说p 是q 的充分不必要条件②若A B ≠⊂，则说p 是q 的必要不充分条件 ③若B A =，则说p 是q 的充分必要条件④若A 与B 无包含关系，则说p 是q 的既不充分也不必要条件归纳总结：小范围可推出大范围， 大范围不能推出小范围 . 小范围是大范围的充分不必要条件， 大范围是小范围的必要不充分条件.(III)等价转换法把判断“p 是q 的什么条件”转化为判断“q ⌝ 是p ⌝的什么条件”(正难则反），这种方法特别适合以否定形式给出的命题.5.复合命题"p ","q p ","q p "⌝∧∨ 的真假性判断（1）当q ,p 中有一个为真时，则q p ∨为真；当q ,p 中有一个为假时，则q p ∧为假.（2）p 与p ⌝的真假性相反.6.全称命题与特称命题（1）全称命题的否定是特称命题 ； （2）特称命题的否定是全称命题基础巩固：1.下列命题中的真命题为( )(A)若1x =1y ,则x=y (B)若x 2=1,则x=1 (C)若x=y, (D)若x<y,则x 2<y 22.命题“若α=π4,则tan α=1”的逆否命题是( ) (A)若α≠π4,则tan α≠1 (B)若α=π4,则tan α≠1 (C)若tan α≠1,则α≠π4 (D)若tan α≠1,则α=π43.(1)命题“若x>1,则x>0”的否命题是( )(A)若x>1,则x ≤0 (B)若x ≤1,则x>0 (C)若x ≤1,则x ≤0 (D)若x<1,则x<0(2)命题“已知c>0,若a>b,则ac>bc ”的逆命题是________________________________.4.有以下命题:①“若xy=1,则x,y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全等”的否命题;③“若m ≤1,则x 2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;④“若A ∩B=B,则A ⊆B ”的逆否命题. 其中真命题为( )(A)①② (B)②③ (C)④ (D)①②③ 5.设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P 在直线l:x+y-1=0上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.“2x >”是“0)1x (log 2>+”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若p:x ≠1或y ≠2;q:x+y ≠3,则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件8.已知p:3x 1<<,q:02x 3x 2<+-,则 p ⌝是q ⌝的_____________条件.9.设命题p:函数y=sin 2x 的最小正周期为π2;命题q:函数y=cos x 的图象关于直线x=π2对称.则下列判断正确的是( )(A)p 为真 (B)⌝q 为假 (C)p ∧q 为假 (D)p ∨q 为真10. 若命题“p且q”为假,有“⌝p”为假,则( )(A)“p或q”为假 (B)q假 (C)q真 (D)p假11.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为( )(A)对任意x∈R,都有x2<0 (B)不存在x∈R,使得x2<0(C)存在x0∈R,使得20x≥0 (D)存在x0∈R,使得20x<012.若“m≤a”是“方程x2+x+m=0有实数根”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是_____________.13.(1)设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .(2)不等式|x-m|<1成立的充分不必要条件是13<x<12,则m的取值范围是___________.14.若“∃x∈R,x2-ax+1≤0”为假命题,则a的取值范围为______________.例题讲解例1设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若﹁p是﹁q的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.变式训练：已知:p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且⌝p是⌝q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围.例2已知c>0,且c≠1,设p:函数y=c x在R上单调递减;q:函数f(x)=x2-2cx+1在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上为增函数,若“p∧q”为假,“p∨q”为真,求实数c的取值范围.变式训练：已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真命题，p且q为假命题，求m的取值范围．课后作业：1.命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是( )A．若a≠0且b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 B．若a＝b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0C．若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0 D．若a≠b≠0，a，b∈R，则a2＋b2＝02.已知p：a<0，q：a2>a，则p是q的_________________条件．3.“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的_______________条件.4. 已知p：∀x∈R，cos x≥1，则﹁p是__________________________.5．命题p：∀x∈R，3x>x，命题q：若函数y＝f(x－3)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像关于点(3，0)成中心对称，下列说法错误的是( )A．p∨q为真命题 B．p∧q为真命题 C． q为真命题 D．﹁p 为假命题6.已知命题:“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”为真命题,则a的取值范围是.。

第2讲常用逻辑用语模块1 必要条件与充分条件一、知识梳理1.命题可以判断真假，用文字或符号表述的陈述句叫作命题.一般用小写英文字母表示一个命题，如p,q,r,···一个命题通常可以表示为“若p，则q”和“p是q”两种形式.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫做作假命题．2.充分条件与必要条件一般地，当命题“若 p，则 q”是真命题时，我们就说由 p 可以推出 q，记作 p ⇒q，读作“p 推出 q”．此时称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．3.充要条件当命题“如果 p ⇒ q且 q ⇒ p，则称 p 是 q 的充分且必要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 p ⇔ q．p 是 q 的充要条件，又常说成“p成立当且仅当q成立”或“ p与q ”等价．p 是 q 的充要条件时，q也是p的充要条件.4. p 与 q 之间的四种关系与相应结论二、精讲讲练考点 1：充分性与必要性的判断例 1★★★用“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”填空．①在同一平面内，同位角相等是两直线平行的条件．②设a∈R，则 a > 1 是a2> 1的条件．③设a，b ∈R，则a+b > 4 是 a > 2 且b > 2 的条件．④x > 1是1x< 1的条件．⑤若A，B 是两个集合，则A∩B ≠∅是A ⊆B 的条件．⑥已知x，y∈R，则（x−1）2 +（y−2）2= 0是(x−1) (y−2) = 0 的条件．例 2 ★★★已知p：x＝2，q：x－2＝2－x，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例 3 ★★★设a，b ∈R ，则“a+b > 4”是“a > 2 且b > 2”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件考点 5：充分条件和必要条件逆向求参问题例 4★★★若“条件α：2 ⩽ x ⩽4”是“条件β：3m−1 ⩽ x ⩽−m”的充分条件，则实数 m 的取值范围是．例 5★★★设α：−1 ⩽ x ⩽ 3，β：x ∈[m−1,2m+5]，若α是β的充分条件，则m∈．模块2 全称量词与存在量词一、知识梳理1.全称量词与全称量词命题在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.在命题中，诸如“任意”“所有”“每一个”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“∀”表示，读作“对任意的”.2.存在量词与存在量词命题在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中，诸如“存在”、“有一个”、“至少有一个”“有些”这样的词叫作存在量词，用符号“∃”表示，读作“对任意的”量词的命题，称为存在量词命题.3.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）命题的否定一般地，对命题 p 加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非 p”或“p 的否定”．若 p 是真命题，则¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则¬p 必是真命题．（2）全称量词命题与存在量词命题的否定对于全称量词命题p：∀x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∃x∈M，不具有性质p(x)对于存在量词命题p：∃x∈M，具有性质p(x)，通常把它的否定表示为：∀x∈M，不具有性质p(x)二、精讲讲练考点 1：含量词的命题真假判断例 1 ★★下列命题中为存在量词命题的是 ( )A. ∀x∈R, x2 > 0B. ∃x∈R, x2⩽ 0C. 所有平行四边形的对边平行D. 矩形的任一组对边相等例 2 ★★下列四个命题中为全称量词命题的是 ( )A. 有些实数是无理数B. 至少有一个整数不能被3 整除C. 任意一个偶函数的图象都关于y 轴对称D. 存在一个三角形不是直角三角形例 3 ★★用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题：（1）实数的平方大于等于0；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3 > 0 成立．例 4 ★★下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A. ∀x∈R，x2 +2x+1 > 0B. 有一个素数不是奇数C. 所有菱形的四条边都相等D. π是无理数考点 2：含量词的命题否定例 5 ★★已知命题p : ∃x，y∈Z，x2 + y2 = 2015，则¬p 为()A. ∀x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015B. ∃x, y∈Z, x2 + y2≠ 2015C. ∀x, y∈Z, x2 + y2 = 2015D. 不存在x, y∈Z, x2 + y2 = 2015例 6 ★★命题“∀x∈R，|x|+ x2⩾0”的否定是()A. ∀x∈R，|x|+ x2 < 0B. ∀x∈R，|x|+ x2⩽ 0C. ∃x∈R，|x|+ x2 < 0D. ∃x∈R，|x|+ x2⩽ 0考点 3：命题与量词的逆向求参问题例7 ★★★已知命题“∀x∈R, a x2+4x+1 > 0”是真命题，则实数a 的取值范围是()A. (4, +∞)B. (0, 4]C. (−∞, 4]D. [0, 4)例8 ★★★若命题“∃x∈R，x2+ (a−1)x+1 < 0”是真命题，则实数a 的取值范围是() A. [−1, 3] B. (−1, 3)C. (−∞, −1]∪[3, +∞)D. (−∞, −1)∪(3, +∞)例9 ★★★命题“∀x∈R，x2+mx+m > 0 恒成立”为真命题，则实数m 的取值范围为() A. [0, 4] B. (0, 4) C. [−4, 0] D. (−4, 0)。

第02讲常用逻辑用语第一部分：思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； （2）p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件； （3）p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；第二部分：知识点（4）p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则 （1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； （2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； （3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； （4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件； （5）若A B =，则p 是q 的充要条件；（6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构 （1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p （注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序） （2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q （注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）2、全称量词与存在量词 （1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝. （4）存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．命题“0x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）．A ．0x ∀>，20x x -≤B ．00x ∃<，2000x x -≤C ．0x ∀<，20x x -≤D ．00x ∃>，2000x x -≤ 3．命题“0x R ∃∈，00e 1xx -≥”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1xx -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<4．设x ∈R ，则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0高频考点一：充分条件与必要条件的判断1．祖暅原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 2.若:12p x -≤≤，:11q x -≤≤，则p 为q 的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．已知a ，b R ∈，则“1≥ab ”是“222a b +≥”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件5．“50k -<<”是“函数2y x －kx －k 的值恒为正值”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件高频考点二：充分条件与必要条件的应用1．已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”，则实数a 的最大值为（ ） A ．-2B ．-1C ．0D ．12．函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是（ ）A ．,[)0b ∈+∞B ．(0,)b ∈+∞C ．,)(0b ∈-∞D ．,](0b ∈-∞3．已知集合{}2280A x x x =--<，非空集合{}23B x x m =-<<+，若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是___________. 4．已知命题p ：122x x -≥-，命题q ：22x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 5．设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>，语句:p x A ∈，语句:q x B ∈. (1)当1a =时，求集合A 与集合B 的交集；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围.高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比1．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件2．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1x >-且2x ≠ B ．13x C ．1x <D ．3x >4．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（ ） A ．20x -<< B ．23x -<< C ．05x <<D ．24x -<<5．命题：x R ∃∈，20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．(][),80,-∞-⋃+∞B ．()8,0-C ．(],0-∞D ．[]8,0-6．已知0m >，()():120p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．下列四个命题中，是真命题的为（ ）A ．任意R x ∈，有230x +<B ．任意N x ∈，有21x >C ．存在Z x ∈，使51x <D ．存在Q x ∈，使23x = 2．下列命题中的假命题是（ ）A ．230,x x x ∃>>B ．,ln 0x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∃∈>-D ．,20x x R ∀∈>3．在下列命题中，是真命题的是（ ）A ．2R,30x x x ∃∈++=B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x ∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅ 4．下列命题为真命题的是（ ） A ．,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．2000,230x R x x ∃∈-+≤ D ．,sin x R x x +∀∈≥5．下列命题中的假命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．高频考点五：含有一个量词的命题的否定1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，2000x x ->B ．01x ∃>，2000x x -≤ C ．1x ∀>，20x x -≤D ．1x ∀>，20x x ->2．命题“0x ∀>，01xx >-”的否定是（ ） A ．0x ∃<，01x x ≤- B ．0x ∃>，01x ≤≤ C ．0x ∀<，01x x ≤- D ．0x ∀<，01x ≤≤ 3．命题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是___________.4．命题“0x R x x ∈∃，”的否定是___________. 高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数1．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞-B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞2．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 3．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．13a -<<C ．3a >-D ．31a -<<4．存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．12D ．-15．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________6．已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________.7．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 8．命题“0x ∃∈R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________．9．命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题，则实数a 的取值范围是________________．10．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___．1．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨2．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．“x =1”是“2320x x -+=”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件7．下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥一、单选题1．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（ ）.A ．n N ∀∈，22n n >B ．n N ∀∈，22n n ≤C ．n N ∃∈，22n n >D ．n N ∃∈，22n n ≤ 2.若“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．[0,4]B ．(0,4)C ．[0,4)D ．(0,4]3．已知命题“存在()3,27x ∈，使得3log 03xx m +->”是假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)12,+∞D ．()12,+∞4．已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈，{}64,B y y n n Z ==+∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥7．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭8．“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是（ ）A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．0a <二、填空题9．已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值____________.10．已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<，若￢q 是￢p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是__．11．已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______.12．已知函数2()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得(())4()f f x a af x +>成立，则实数a 的取值范围是_______. 三、解答题13．已知集合()(){}3|10,|12A x x a x a B x x ⎧⎫=--+≤=>⎨⎬+⎩⎭． (1)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)设命题22:,(21)8p x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围．14．在①x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，②a ∃∈R ，使得区间()2,4A =，(),3B a a =满足A B =∅这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．已知命题p :[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：______，p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围．15．在①A B B ⋃=；②“x A ∈”是 “x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合{}11A x a x a =-≤≤+，{}2230B x x x =--≤(1)当2a =时，求A B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.第02讲 常用逻辑用语第一部分：思维导图1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）p 是q 的充分不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的充分不必要条件； （2）p 是q 的必要不充分条件⇔q ⌝是p ⌝的必要不充分条件； （3）p 是q 的充要条件⇔q ⌝是p ⌝的充要条件；第二部分：知识点（4）p 是q 的既不充分也不必要条件⇔q ⌝是p ⌝的既不充分也不必要条件. 拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若p 以集合A 的形式出现，q 以集合B 的形式出现，即p ：{|()}A x p x =，q ：{|()}B x q x =，则 （1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件； （2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件； （3）若A B ⊂≠，则p 是q 的充分不必要条件； （4）若B A ⊂≠，则p 是q 的必要不充分条件；（5）若A B =，则p 是q 的充要条件； （6）若A B ⊂≠且B A ⊂≠，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构 （1）p 是q 的充分不必要条件⇔p q ⇒且q p （注意标志性词：“是”，此时p 与q 正常顺序）（2）p 的充分不必要条件是q ⇔q p ⇒且p q （注意标志性词：“的”，此时p 与q 倒装顺序）2、全称量词与存在量词 （1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. （2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. （3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对M 中的任意一个x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∀∈. ②全称量词命题的否定：,()x M p x ∃∈⌝. （4）存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在M 中的元素x ，有()p x 成立；数学语言：,()x M p x ∃∈. ②存在量词命题的否定：,()x M p x ∀∈⌝. （5）常用的正面叙述词语和它的否定词语1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B“返回家乡”的前提条件是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件故选：B2．命题“0x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）．A ．0x ∀>，20x x -≤B ．00x ∃<，2000x x -≤C ．0x ∀<，20x x -≤D ．00x ∃>，2000x x -≤【答案】D解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：，故选：D3．命题“0x R ∃∈，00e 1xx -≥”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00e 1x x -<B ．0x R ∃∈，00e 1xx -<C ．x R ∀∈，e 1x x -≤D ．x R ∀∈，e 1x x -<【答案】D 命题“，”为特称量词命题，其否定为，；故选：D4．设x ∈R ，则“13x -≤≤”是“|2|13x -≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 因为，所以，显然由推不出，由可推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.5．“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0 【答案】A设p: 0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由: 0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0， 故选：A高频考点一：充分条件与必要条件的判断1．祖暅原理，一个涉及几何求积的著名命题．内容为：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．意思是两个等高的几何体，如在等高处的截面积相等，体积相等．设A ，B 为两个等高的几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面积相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C已知A ，B 为两个等高的几何体，由祖暅原理知，而p 不能推出，可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，第四部分：例题剖析一个倒置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不相等，则p 是的必要不充分条件 故选：C2.若:12p x -≤≤，:11q x -≤≤，则p 为q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C对于p ，如果x =1.5，则q 不能成立，如果 ，则x 必然在 区间内，因此p 为q 的必要不充分条件； 故选：C.3．已知a ，b R ∈，则“1≥ab ”是“222a b +≥”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 当时，由，故充分性成立，当时，比如，满足，但，故必要性不成立.故选：A4．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B 解不等式可得，，又，反之不成立，所以“”是“111x >-”的必要不充分条件， 故选：B.5．“50k -<<”是“函数2y x －kx －k 的值恒为正值”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 函数－kx －k 的值恒为正值，则，∵，∴“”是“函数－kx －k 的值恒为正值”的必要不充分条件.故选：B.高频考点二：充分条件与必要条件的应用1．已知()2160x a +->”的必要不充分条件是“2x -≤或3x ≥”，则实数a 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】D 由，得或，因为”的必要不充分条件是“或”，所以，解得，所以实数a 的最大值为1，故选：D2．函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是（ ） A ．,[)0b ∈+∞ B ．(0,)b ∈+∞C ．,)(0b ∈-∞D ．,](0b ∈-∞【答案】B函数2()f x x bx c =++的单调递增区间是，依题意，，于是得，解得，所以函数2()f x x bx c =++在[0,)+∞上单调递增的充分不必要条件是. 故选：B3．已知集合{}2280A x x x =--<，非空集合{}23B x x m =-<<+，若x B ∈是x A ∈成立的一个充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】由题意得，，由是成立的一个充分而不必要条件，得，即解得，，故答案为：.4．已知命题p ：122x x -≥-，命题q ：22x a -<，若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 【答案】或（4，6]解析：122x x -≥-移项整理可得，解得．22x a -<得．由题意得：122a -+≤且132a+>，从而得出．故答案为：5．设集合{}()(){}2|20,|30,0A x x x B x x a x a a =--<=--<>，语句:p x A ∈，语句:q x B ∈. (1)当1a =时，求集合A 与集合B 的交集；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围. 【答案】(1)；(2). (1)由题设，，当时，所以；(2)由题设，，且，若p 是的必要不充分条件，则，又a 为正实数，即，解得，故的取值范围为. 高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比1．设p ：3x <，q ：()()130x x +-<，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 解不等式得：，即，显然{|13}x x -<< ，所以p 是q 成立的必要不充分条件. 故选：C2．设x R ∈，则“322x -≤”是“2102x x +≤-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 解：因为，所以，解得；由，即，解得；所以与互相不能推出，故“”是“”的既不充分也不必要条件；故选：D3．使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．1x >-且2x ≠ B ．13x C ．1x < D ．3x >【答案】D 因为，故不等式的解集为且，故不等式成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是且的真子集，显然，满足题意的只有.故选：D.4．使不等式260x x --<成立的充分不必要条件是（ ） A ．20x -<< B ．23x -<< C ．05x << D ．24x -<<【答案】A 解不等式得：，对于A ，因 ，即是成立的充分不必要条件，A 正确；对于B ，是成立的充要条件，B 不正确；对于C ，因，且，则是成立的不充分不必要条件，C 不正确； 对于D ，因，则是成立的必要不充分条件，D 不正确. 故选：A5．命题：x R ∃∈，20020ax ax -->为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．(][),80,-∞-⋃+∞B ．()8,0-C ．(],0-∞D ．[]8,0- 【答案】B命题”为假命题，命题“，220ax ax --”为真命题，当时，20-成立， 当时，，故方程的解得：80a -<，故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B 满足题意.故选：B6．已知0m >，()():120p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】．因是的充分不必要条件，则p 是q 的必要不充分条件，于是得，解得，所以实数m的取值范围是．高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断1．下列四个命题中，是真命题的为（ ）A ．任意R x ∈，有230x +<B ．任意N x ∈，有21x >C ．存在Z x ∈，使51x <D ．存在Q x ∈，使23x = 【答案】C 由于对任意，都有，因而有，故A 为假命题．由于，当时，不成立，故B 为假命题．由于，当时，，故C 为真命题．由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数平方等于3，故D 是假命题．故选：C2．下列命题中的假命题是（ ）A ．230,x x x ∃>>B ．,ln 0x R x ∀∈>C ．,sin 1x R x ∃∈>-D ．,20x x R ∀∈>【答案】B 解：对A ：取，则成立，故选项A 正确；对B ：当时，没有意义，故选项B 错误；对C ：取，则成了，故选项C 正确；对D ：由指数函数的性质有成立，故选项D 正确.故选：B.3．在下列命题中，是真命题的是（ ）A ．2R,30x x x ∃∈++=B ．2R,20x x x ∀∈++>C ．2R,x x x ∀∈>D ．已知{}{}2,3A aa n Bb b m ====∣∣，则对于任意的*,n m N ∈，都有A B =∅ 【答案】B 选项A ，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除；选项B ，，，故该选项正确；选项C ，，而当，不成立，故该选项错误，排除；选项D ，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B.4．下列命题为真命题的是（ ） A ．,,2x y R x y xy ∀∈+≥ B ．1,2x R x x∀∈+≥ C ．2000,230x R x x ∃∈-+≤ D ．,sin x R x x +∀∈≥【答案】D对于A 选项，当0x <且，，A 选项错误；对于B 选项，当0x <时，，B 选项错误；对于C 选项，，C 选项错误；对于D 选项，构造函数，其中，则()1sin 0f x x '=-≥，所以，函数在区间上单调递增，则，所以，，，D 选项正确.故选：D.5．下列命题中的假命题的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 当时，，显然选项B 错误，故选B. 高频考点五：含有一个量词的命题的否定1．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是（ ）A ．01x ∃≤，2000x x ->B ．01x ∃>，2000x x -≤ C ．1x ∀>，20x x -≤D ．1x ∀>，20x x ->【答案】B∵全称命题的否定是特称命题，即先将量词“”改为量词“”，再将结论否定， ∴“，”的否定为“，”，故选：. 2．命题“0x ∀>，01xx >-”的否定是（ ） A ．0x ∃<，01x x ≤- B ．0x ∃>，01x ≤≤ C ．0x ∀<，01x x ≤- D ．0x ∀<，01x ≤≤ 【答案】B 由得：0x <或，所以的否定是.所以，命题的否定是“，”.故选：B.3．命题“x ∀∈R ，都有210x x +>＋”的否定是___________. 【答案】，有 题“，都有”的否定是：．故答案为：．4．命题“0x R x x ∈∃+≥，”的否定是___________. 【答案】，.特称命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“，”的否定是“，”，故答案为：，.高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数1．已知命题“x R ∀∈，2410ax x +-<”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞- B ．(),4-∞C ．[)4,-+∞D ．[)4,+∞【答案】C 由题意可知，命题“，”是真命题.当时，则有，不合乎题意；当时，由，可得，则有，，当且仅当时，等号成立，所以，.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.2．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0.若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．103a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭∣ C ．13a a ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．13aa ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】C 先求当命题p ：，为真命题时的的取值范围 （1）若，则不等式等价为，对于不成立，（2）若不为0，则，解得13a >，∴命题p 为真命题的的取值范围为13aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣， ∴命题p 为假命题的的取值范围是13aa ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭∣. 故选：C3．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <- B ．13a -<<C ．3a >-D ．31a -<<【答案】B 因为命题“，使”是假命题，所以恒成立， 所以，解得，故实数的取值范围是．故选：B ．4．存在[1,1]x ∈-，使得230x mx m +-≥，则m 的最大值为（ ） A ．1 B ．14C ．12D ．-1【答案】C由不等式230x mx m +-≥，可化为，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又由，所以函数的最大值为，要使得存在，使得230x mx m +-≥，则，则的最大值为.故选：C.5．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】（由题意知：不等式对x ∈R 恒成立，当时，可得，恒成立满足；当时，若不等式恒成立则需，解得304a <<，所以的取值范围是(，故答案为：（.6．已知()24f x x mx =-+，()2log g x x =，若“[]11,4x ∀∈，[]22,4x ∃∈，使得()()12f x g x >成立”为真命题，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】当，有，则，，使得()()12f x g x >成立，等价于，，即，在上恒成立， 参变分离可得：，当，，当时取等，所以，故答案为：.7．命题“x R ∀∈，使得不等式210mx mx ++≥”是真命题，则m 的取值范围是________. 【答案】解：因为命题“，使得不等式”是真命题当时，10≥恒成立，满足条件； 当时，则解得综上可得即故答案为：8．命题“0x ∃∈R ，使20mx －（m ＋3）x 0＋m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】若，使是假命题，则，使是真命题，当转化，不合题意； 当，使即恒成立，即，解得或（舍），所以，故答案为：9．命题1:,12p x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，4x a x +>恒成立是假命题，则实数a 的取值范围是________________．【答案】∵ 命题，恒成立是假命题，∴ ，，∴ ，，又函数在为减函数，∴ ，∴，∴ 实数a 的取值范围是（, 故答案为：（.10．若“存在x ∈[﹣1，1]，3210x x a ⋅++>成立”为真命题，则a 的取值范围是___． 【答案】存在x ∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，设，，易得y ＝f (x )在[﹣1，1]为减函数，所以，即，即，即，所以，故答案为：．1．已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∨【答案】A 由于，所以命题p 为真命题；由于在R 上为增函数，0x ≥，所以，所以命题为真第五部分：高考真题命题；所以为真命题，、、为假命题.故选：A ．2．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 由题意，若，则，故充分性成立；若，则或6a <-，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3．“x =1”是“2320x x -+=”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 将代入中可得,即“”是“”的充分条件； 由可得,即或2x =,所以“”不是“”的必要条件,故选:A4．已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.5．已知a ∈R ，若集合{}1,M a =，{}1,0,1N =-，则“0a =”是“M N ⊆”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.6．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.7．下列命题为真命题的是（ ）A ．10>且34>B ．12>或45>C ．x R ∃∈，cos 1x >D ．x R ∀∈，20x ≥【答案】D A 项：因为，所以且是假命题，A 错误；B 项：根据、易知B 错误；C 项：由余弦函数性质易知，C 错误；D 项：2x 恒大于等于，D 正确，故选：D.一、单选题1．设命题:p n N ∃∈，22n n >，则p ⌝为（ ）.A ．n N ∀∈，22n n >B ．n N ∀∈，22n n ≤C ．n N ∃∈，22n n >D ．n N ∃∈，22n n ≤ 【答案】B 因为命题，，所以为，.故选：B.2.若“x R ∃∈，2390ax ax -+≤”是假命题，则a 的取值范围为（ ） A ．[0,4] B ．(0,4)C ．[0,4)D ．(0,4]【答案】C 因为 “，”是假命题，所以 “，”是真命题，所以当时，90>成立；当时，则，解得04a <<，综上：04a ≤<，所以a 的取值范围为， 故选：C3．已知命题“存在()3,27x ∈，使得3log 03xx m +->”是假命题，则m 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．[)12,+∞D ．()12,+∞【答案】C 因为命题“存在，使得”是假命题，所以命题“对任意，都有”是真命题.令函数，显然在上单调递增，则，故，即12m ≥.故选：C4．已知集合{}32,A x x n n Z ==-∈，{}64,B y y n n Z ==+∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B第六部分：课后测试因为 ，但，故不充分；因为，所以当时，，故必要；故选:B5．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B由绝对值三角不等式得：，当且仅当时，等号成立，所以1a b -<⇒，而1a b +<⇒，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B6．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．()2lg(23)f x x x =-++的增区间为(1,1)-B ．“1x =”是“2x -4x +3=0”的充分不必要条件C ．若集合{}2440A x kx x =++=中只有两个子集，则1k =D ．对于命题p ：.存在0x R ∈，使得20010x x ++<，则⌝p ：任意x ∈R ，均有210x x ++≥【答案】C A.令，由，解得，由二次函数的性质知：t 在上递增，在上递减，又lg y t =在上递增，由复合函数的单调性知：在上递增，故正确；B. 当时，2x -4x +3=0成立，故充分，当2x -4x +3=0成立时，解得或，故不必要，故正确；C.若集合中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程2440kx x ++=有一根，当时，，当时，，解得，所以或，故错误；D.因为命题p ：.存在0x R ∈，使得是存在量词命题，则其否定为全称量词命题，即p 任意x ∈R ，均有，故正确；故选：C7．已知函数()24ln f x ax ax x =--，则()f x 在()1,3上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A ．1,6a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭D ．11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【答案】C，若在上不单调，令，对称轴方程为，则函数与 轴在上有交点．当时，显然不成立；当时，有解得或．四个选项中的范围，只有为的真子集，∴在上不单调的一个充分不必要条件是.故选：C ．8．“函数()221xx f x a =++有零点”的充要条件是（ ）A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．0a <【答案】B 由得，因为，所以，所以，所以，所以.故选：B 二、填空题9．已知“321a x a -<<-”是“2560x x -+<”成立的必要不充分条件，请写出符合条件的整数a 的一个值____________. 【答案】 由，得,令，，“”是“”成立的必要不充分条件，BA ∴.（等号不同时成立），解得，故整数的值可以为.故答案为：中任何一个均可.10．已知24:()9,:log (3)1p x m q x -<+<，若￢q 是￢p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是__．【答案】．因为￢q 是￢p 的必要不充分条件，所以p 是q 的必要不充分条件，由不等式，可得，由不等式，可得，所以， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以，解得，故实数m 的取值范围是．故答案为：．11．已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，若对[]12,4x ∀∈，[]28,16x ∃∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围为______. 【答案】因为若对，，使得，所以，因为的对称轴为，所以，因为，，所以所以，即所以12．已知函数2()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得(())4()f f x a af x +>成立，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】。

高考数学一轮复习专题1.2 常用逻辑用语1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养；2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念A B B A A B 2.全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”. 2.存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题.（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”. 3.全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. （2）含有一个量词的命题的否定充分条件、必要条件的判断【方法储备】充要关系的几种判断方法：（1）定义法：①若p ⇒q,q ⇏p ，则p 是q 的充分而不必要条件； ②若p ⇏q,q ⇒p ，则p 是q 的必要而不充分条件； ③若p ⇒q,q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ⇏q,q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.（2）等价转化法：即利用p ⇒q 与¬q ⇒¬p ；q ⟹p 与¬p ⇒¬q ；p ⟺q 与¬q⇒¬p的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价转化法. （3）集合关系法：从集合的观点理解，根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系.【精研题型】1.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.（多选）下列命题中为真命题的是A.“a-b=0”的充要条件是“=1”B.“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件C.命题“x R,-<0”的否定是x R,-0”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件3.某班从A，B，C，D四位同学中选拔一人参加校艺术节展演，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教师预测如下：甲说：“C或D被选中，”乙说：“B被选中，”丙说：“A，D均未被选中，”丁说：“C被选中．”若这四位教师中只有两位说的话是对的，则被选中的是A.AB.BC.CD.D【思维升华】4.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是A. B.C. D.5.设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件充分条件、必要条件的应用【方法储备】1.求参数的取值范围：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，由集合之间的关系列不等式(或不等式组)求解；（2）要注意区间端点值的检验．．．．．．．．，不等式是否能够取等号决定端点值得取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.2.探求某结论成立的充分、必要条件：（1）准确化简条件，即求出每个条件对应的充要条件；（2）问题的形式：①“p是q的……”，②“p的……是q”，②要转化为①，再求解；（3）准确判断两个条件之间的关系：①转化为两个命题关系的判断；②借助两个集合之间的关系来判断.【精研题型】6.设p：2x2-3x+1≤0，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B.C. D.7.“，”为真命题的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【思维升华】8.“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是A. B.C. D.9.已知函数的定义域是，不等式的解集是．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求的取值范围．【特别提醒】对于不等式问题：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围全称命题与特称命题【方法储备】1.全称(或特称)命题的否定：①将全称(或存在)量词改为存在 (或全称) 量词； ②结论否定；即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 2. 全称命题与特称命题真假的判断：3.常见词语的否定形式有：【精研题型】10.命题“∃x∈R，”的否定是A.∀x∈R，B.∃x∈R，C.∀x∈R，D.∃x∈R，11.（多选）若“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是A.{x|x＜-5}B.{x|-3＜x＜-1}C.{x|x＞3}D.{x|0≤x≤3}12.公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”．被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．其中“一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为A.∀x，y，z，n，m，p∈Z且n≥2，x n＋y m≠z p恒成立B.∀x，y，z，n，p∈Z且n＞2，x n＋y n≠z p恒成立C.∀x，y，z，n∈Z且n＞2，x n＋y n≠z n恒成立D.∀x ，y ，z ，n ∈Z 且n≥2，x n ＋y n ≠z n 恒成立【思维升华】13. （多选）下列四个关于三角函数的全称量词命题与存在量词命题，其中真命题为 A.， B.，C.，D.，14. 在①∃x ∈R ，x 2+2x +2-a ＝0，②存在集合A ＝{x |2＜x ＜4}，非空集合B ＝{x |a ＜x ＜3a }，使得A ∩B ＝∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a ．问题：求解实数a ，使得命题p ：∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2-a ≥0，命题q ：_______都是真命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．全称（存在）量词命题的综合应用【方法储备】含有量词的命题求参数的问题是恒成立或有解问题：（1）全称量词命题()x M a f x ∀∈>，（或()a f x <）为真：不等式恒．成立问题，通常转化为求()f x 的最大值（或最小值），即max ()a f x >（或min ()a f x <）；（2）存在量词命题()x M a f x ∃∈>，（或()a f x <）为真：不等式能．成立问题，通常转化为求()f x 的最小值（或最大值），即min ()a f x >（或max ()a f x <）．【精研题型】15. 若“,使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 ．16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且在[0，+∞）上单调递减，若对任意的x∈R，f(x2−a)+f(x)<2恒成立，则实数a的取值范围为A. B.（-∞，-1） C. D.（1，+∞）17.若∃x0∈R，为假，则实数a的取值范围为．【思维升华】18.已知函数f(x)＝x，g(x)＝-x2+2x+b，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，9]，19.（多选）已知p:，q:,则下列说法正确的是A.p的否定是：B.q的否定是：C.p为真命题时，D.q为真命题时，。

常用逻辑用语（讲义）知识点睛一、命题及其关系、充分条件与必要条件1.命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以___________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫做真命题，______的语句叫做假命题．2.命题及其关系（1）四种命题原命题：若p，则q（命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论）逆命题：_________________；否命题：_________________；逆否命题：_______________．（2）四种命题间的关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性______．3.充分条件与必要条件（1）相关概念（2）集合与充要条件二、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.命题中的“______(∧)”“______(∨)”“______(⌝)”叫做逻辑联结词．2.简单复合命题的真假关系3.全称量词与存在量词（1）全称量词：所有、一切、任意、全部、每一个等．符号：∀存在量词：存在一个、至少一个、有些、某些等．符号：∃（2）全称命题与特称命题1．把下列命题改写为“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．（1）两条异面直线没有公共点；（2）四边相等的四边形是正方形．2．命题“若x 2+y 2=0，则x =y =0”的否命题是（ ）A ．若x 2+y 2=0，则x ，y 中至少有一个不为0B ．若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0C ．若x 2+y 2≠0，则x ，y 都不为0D ．若x 2+y 2=0，则x ，y 都不为03．命题“若π4α=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）A ．若π4α≠，则tan 1α≠B ．若π4α=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则π4α≠D ．若tan 1α≠，则π4α=4．下列命题中为真命题的是（ ）A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题B ．命题“若x >y ，则x >|y|”的逆命题C ．命题“若x =1，则x 2+x -2=0”的否命题D ．命题“若x 2>0，则x >1”的逆否命题5．已知集合A ={1，a }，B ={1，2，3}，则“a=3”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设R ∈ϕ，则“0ϕ=”是“()cos(+)()f x x x R =∈ϕ为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．在p ⌝，p q ∧，p q ∨形式的命题中，p q ∨为真，p q ∧为假，p ⌝为真，那么p ，q 的真假为（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假8．已知命题p ：“x >2是x 2>4的充要条件”，命题q ：“若22a bc c >，则a b >”，则（ ） A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假D ．p ，q 均为假9．下列命题中是假命题是（ ）A ．1 20x x R -∀∈>，B ．*2 (1)0x x N ∀∈->，C ． lg 1x x ∃∈<R ，D ． tan 2x x ∃∈=R ，10．命题“300x x R Q Q ∃∈∈，”的否定是（ ） A ．300x x R Q Q ∃∉∈， B ．300x x R Q Q ∃∈∉， C ．3x x ∀∉∈R Q Q ，D ．3x x ∀∈∉R Q Q ，11．已知命题p ：122121[()()]()0x x f x f x x x ∀∈--R ，，≥， 则p ⌝是（ ）A ．122121[()()]()0x x f x f x x x ∃∈--R ，，≤ B ．122121[()()]()0x x f x f x x x ∀∈--R ，，≤ C ．122121 [()()]()0x x f x f x x x ∃∈--<R ，，D ．122121 [()()]()0x x f x f x x x ∀∈--<R ，，12．已知命题p ： sin 2R x x ∃∈=，； 命题q ：x R ∀∈，都有x 2+x +1>0．给出下列结论：①命题p q ∧是真命题；②命题p q ∨⌝是假命题；③命题p q ⌝∧是真命题；④命题p q ⌝∨⌝是假命题， 其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．③④D ．①②③13．给出下列三个结论：（1）若命题p 为真命题，命题q ⌝为真命题，则命题p q ∧为真命题； （2）命题“若xy =0，则x =0或y =0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0或y ≠0”；（3）命题“0R x ∃∈，020x >”的否定为“ 20≤x x R ∀∈，”， 则结论正确的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．014．设命题p ：2(43)1≤x -；命题q ：2(21)(1)0≤x a x a a -+++，若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．回顾与思考________________________________________________________ ________________________________________________________ ________________________________________________________【参考答案】精讲精练一、1．判断真假判断为真判断为假2．（1）若q，则p若⌝p，则⌝q若⌝q，则⌝p （2）否命题逆命题逆否命题（3）相同没有关系3．（1）充分必要充分不必要必要不充分充分必要（充要）既不充分也不必要（2）真子集真子集A=B包含二、1．且或非2．真真假假真假假真真假假真精讲精练1．略2．B 3．C 4．B 5．A6．A 7．B8．A 9．B 10．D 11．C 12．B13．C 14．1 02a≤≤。

常用逻辑用语”命题”这个词在新闻报道中经常可以见到．例如：“从最直接的生态保护方式之一植树造林，到多种更具创新性的环保活动的开展，如何建立起公众与自然沟通的桥梁，引发人们对于自然环境的关注和思考，成为时下的环保‘新命题’．”（2017年12月21日《中国青年报》）我们在数学中也经常接触到”命题“这两个字，你知道新闻报道中的”命题”与数学中的”命题”有什么区别吗?新闻报道中的”命题”往往是”命制的题目”的简写，常常指的是待研究的问题或需要完成的任务等．需要注意的是，一般来说，数学中的”命题”与新闻报道中的”命题”不一样．我们在初中的时候就已经学习过数学中的命题，知道类似”对顶角相等”这样的可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题．数学中的命题，还经常借助符号和式子来表达．例如，命题“9的算术平方根是3”可表示为．1. 命题一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句称为命题．其中判断为真的语句称为，判断为假的语句称为．中学数学中的许多命题可以写成“若，则”（或“如果，那么”）的形式．其中称为命题的条件，称为命题的结论．后面我们主要讨论这种形式的命题．经典例题（1）（2）（3）（4）（5）1.判断下列语句是否是命题；如果是命题，写出其真假．实数是有理数．如果一个数是有理数，则这个数的平方也是有理数．苏必利尔湖位于美国和加拿大交界处，是世界上海拔最高的淡水湖．过直线外一点作直线的平行线．常泽昊老师长得很帅．A.若，则 B.若，则C.若，则D.若，则2.下列命题是真命题的为（ ）．巩固练习3.下列语句不是命题的有（ ）．A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．4.能够说明“设是任意实数．若，则”是假命题的一组整数的值依次为．2. 充分条件与必要条件下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若，则；（4）若平面内两条直线和均垂直于直线，则．一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出．这时我们就说，由可以推出，记作，此时称是的，是的．如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，此时称不是的充分条件，不是的必要条件．将命题"若，则"中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若，则”，称这个命题为原命题的逆命题．如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，则记作，此时既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的，简称为．显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件．概括地说，如果．那么与互为充要条件．类似的，如果是的充分不必要（必要不充分）条件，那么就是的必要不充分（充分不必要）条件．注意：对于某一命题，要首先明确谁是条件、谁是结论，对于条件才能判断其充分、必要性！用集合间的关系描述充分性和必要性设{满足条件}，{满足条件}．若，则是的；若，则是的；若，则称是的．若，则称是的．若且，则称是的．若，则称是的．经典例题A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知集合，则“”是“”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设，，则“”是“”的（ ）．A.③④B.①②C.①④D.②③7.有限集合中元素的个数记作，设 ，都为有限集合，给出下列命题：①的充要条件是；②的必要条件是；③的充分条件是；④的充要条件是；其中真命题的序号是 （ ）．8.已知集合，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．巩固练习A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.王昌龄的《从军行》中有两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）．A. B.C.D.或10.关于的方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）．11.三个逻辑学家走进酒吧，侍者问：“每个人都要来一杯啤酒吗？”第一个逻辑学家说：“我不知道．”第二个说：“我也不知道．”第三个说：“是的！”请问第三个人为什么知道每个人都要一杯啤酒?12.已知，求证：成立的充要条件是．3. 量词我们知道，命题是可以判断真假的陈述句．在数学中，有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题．但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们称为一个命题，我们把这样的短语称为量词．下面我们将介绍全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. 全称量词（）概念：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．（）全称量词命题的符号记法：将含有变量的语句用，，，表示，变量的取值范围用表示．那么，全称量词命题“对中任意一个，有成立．”可用符号简记为：，，读作“对任意属于，成立”．2. 存在量词（）概念：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．（）存在量词命题的符号记法：“存在中的一个，使成立”可用符号简记为，，读作“存在一个属于，使成立”．3. 命题的否定你能说出命题：”的相反数是“和命题：”的相反数不是”这两个命题之间的关系吗?它们的真假性如何?可以发现，命题是对命的否定，命题也是对命题的否定．而且，是真命题，是假命题．一般地，对命题加以否定，就得到一个新的命题，记作””，读作”非”或”的否定”．如果一个命题是真命ρ题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．4. 全称量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：，，它的否定：，．全称量词命题的否定是存在量词命题．5. 存在量词命题的否定一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：，，它的否定：，．存在量词命题的否定是全称量词命题．经典例题（1）（2）13.用量词符号“，”表示下列命题，并判断下列命题的真假．存在一对实数，，使成立．有理数的平方仍为有理数．A.B.C.D.14.命题“，”的否定是（）．，，，，15.命题“，”的否定是．A. B.C. D.16.已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.17.已知，，，，若命题是真命题，且命题是真命题，则实数的取值范围是（）．巩固练习（1）（2）（3）18.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．是无理数，是无理数．对任意实数，有成立．有一个实数乘以任意一个实数都等于．19.写出下列命题的否定，并判断其真假.（）：，不是的根；（）：有些质数是奇数；（）：，；A.B.C.20.已知命题：，都有，则为（）．，使得，都有，都有D.，使得A. B.C.或D.21.已知：，，：，，若都为假命题，则实数的取值范围为（）．（1）（2）22.已知，命题：，，命题：，．若命题为真命题，求实数的取值范围；若命题“”命题“”一真一假，求实数的取值范围．A. B.C.D.23.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）．导图总结你学会了吗？快用思维导图来总结本节课所学吧！出门测24.已知命题：对任意实数都有恒成立；命题：关于的方程有实数根；如果与中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．A.B.C. D.25.已知命题，，则（ ）．命题，，为假命题命题，，为真命题命题，，为假命题命题，，为真命题A. B.C.D.26.含一个量词的命题“，使得”的否定是（ ）．，使得，使得，，。