高中数学典型例题解析(第一章集合与常用逻辑用语)

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.集合的元素个数是（）．A．59B．31C．30D．29【答案】C【解析】由2n－1＜60，得n＜，又∵n∈N*，∴满足不等式n＜的正整数一共有30个．即集合M中一共有30个元素，可列为1，3，5，7，9，…，59，组成一个以a1=1，a30=59，n=30的等差数列．集合M中一共有30个元素。

【考点】集合问题2.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算3.（本题满分12分）计算：（1）集合集合求和（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由集合的运算性质可得；（2）利用对数与指数的运算性质，以及公式化简可得试题解析：（1）（2）【考点】1．集合的运算性质；2．对数与指数的运算性质4.（本题满分12分）已知全集，，，（1）求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】（1）首先求解集合A中函数的定义域得到集合A，A,B两集合的交集是由两集合的相同元素构成的集合，A,B并集是由两集合的所有元素构成的集合；（2）由已知得两集合的子集关系，从而得到两集合边界值的大小关系，解不等式求解的取值范围．试题解析：（1）（2）∵∴∴得∴实数的取值范围为【考点】1．集合的交并集运算；2．集合的子集关系5.含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成，．【答案】-1【解析】由两集合相等可得【考点】集合相等与集合元素特征6.满足的集合A的个数是_______个．【答案】7【解析】符合条件的集合A可以为，，，，，，，共7个．【考点】集合间的关系．7.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．8.（本小题满分14分）已知集合，．（1）求：，；（2）已知，若，求实数的取值集合【答案】（1）;（2）．【解析】（1）画数轴先求,再求．（2）画数轴分析可得关于关于的不等式,从而可求得的范围．试题解析：解：（1）（2）【考点】集合的运算．9.在①；②；③；④上述四个关系中，错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】，所以①错；，所以②错；③④正确．【考点】1．元素与集合的关系；2．集合与集合的关系．10.已知集合，，则A．或B．C．D．【答案】B【解析】由交集的定义可知，，故选B．【考点】集合的运算及表示．【易错点睛】本题主要考查集合的运算与集合的表示方法，属容易题．集合A中的代表元素用的字母为，集合B中的代表元素用的字母为，学生会误认为是两个不同类型的集合，选D，即对两个集合均为数集的含义不清楚导致错误．11.设全集是实数集.，.（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，求出集合，然后将代入就交集和并集即可；（2）若分和求出的取值范围，周求并集即可试题解析：（1）根据题意，由于，当时，，而，所以，，（2），若，则，若，则，，综上，【考点】集合的运算，子集12.（10分）已知，。

第一章 集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）五个特定的集合2.3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . 5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）； 空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅A ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B =， 所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．32 B ．31 C ．16 D ．15【答案】D【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣， 其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ) ． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p ⇒q且q ⇏pp是q的必要不充分条件p ⇏q且q ⇒pp是q的充要条件p ⇔qp是q的既不充分也不必要条件p ⇏q且q ⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔A B；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B A；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题形式语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合A={1，3，5，6}，集合B={2，3，4，5}，那么A∩B=（）A．{3，5}B．{1，2，3，4，5，6}C．{1，3，5}D．{3，5，6}【答案】A【解析】所求是两个集合的公共元素组成的集合，所以．【考点】集合的运算2.（本小题满分13分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2＋（a－1）x－a>0}，B＝{x|（x＋a）（x ＋b）>0（a≠b）}，M＝{x|x2－2x－3≤0}．（1）若∁B＝M，求a，b的值；U（2）若－1<b<a<1，求A∩B；（3）若－3<a<－1，且a2－1∈∁A，求实数a的取值范围．U【答案】（1）a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1；（2）A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}；（3）≤a≤－．B＝M，则得到B,M两集合的边界值相同，从而可得【解析】首先整理化简集合A,M，（1）中∁U到a，b的值；（2）中由－1<b<a<1可求得集合B的范围，借助于数轴求解A∩B即可；（3）由－3<a<－1求解集合A的范围，得到A的补集，代入a2－1∈∁A可得a的不等式，求解其范U围B＝{x|（x＋a）（x＋b）≤0}，M＝{x|（x 试题解析：由题意，得A＝{x|（x＋a）（x－1）>0}，∁U＋1）（x－3）≤0}．（1）若∁B＝M，则（x＋a）（x＋b）＝（x＋1）（x－3），U所以a＝1，b＝－3，或a＝－3，b＝1．（2）若－1<b<a<1，则－1<－a<－b＜1，所以A＝{x|x<－a或x>1}，B＝{x|x<－a或x>－b}．故A∩B＝{x|x＜－a或x＞1}．（3）若－3<a<－1，则1<－a<3，所以A＝{x|x<1或x>－a}，∁A＝{x|1≤x≤－a}．又由a2－UA，得1≤a2－1≤－a，即，解得≤a≤－．．1∈∁U【考点】1．一元二次不等式的解法；2．集合的交并补运算3.（本题满分8分）已知集合A={x|1≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：A∩B，A∪（）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，若C B，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B=（2，6），A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）[2，8]．【解析】（1）由交集、并集、补集的定义容易求解；（2）由子集运算可列出关于a的不等式组，解得即可．试题解析：（1）∵A={x|1≤x＜6}=[1，6），B={x|2＜x＜9}=（2，9），全集为R，∴A∩B=（2，6），=（﹣∞，2]∪[9，+∞），则A∪=（﹣∞，6）∪[9，+∞）；（2）因为C={x|a＜x＜a+1}，B={x|2＜x＜9}，且C B，所以解得：2≤a≤8，则实数a的取值范围是[2，8]．【考点】交集、并集、补集、子集运算．4.若集合则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】两集合的交集即两集合的相同的元素构成的集合，因此【考点】集合的交集运算5.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）设，集合，．（Ⅰ）若且，求实数P的取值范围；（Ⅱ）若，求B．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）集合是一个二次方程的解集，，则其判别式；（Ⅱ）由，说明二次方程的解是和3，由韦达定理可求得，解方程可得集合．试题解析：（Ⅰ）由已知得：，则方程有实根，故，解得：或；（Ⅱ）由知：方程有两根-1和3，由韦达定理得：，所以，于是集合B的元素是方程，即的根，解之得：或或，从而集合．【考点】一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解方程．6.（本小题满分8分）已知集合，，若能使成立的所有实数的集合是，求集合．【答案】（－∞，4]．【解析】（I）先利用，转化为．由空集是任何集合的子集，需要对集合B是否为空集分类讨论。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合A= ，B= ．定义集合A，B之间的运算A*B= ，则集合A*B等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意集合A，B之间的运算A*B= ，可得，故选择C 【考点】集合运算2.方程组的解构成的集合是（）A．（1，1）B．C．D．【答案】C【解析】解得，x=1，y=1．但应注意集合中的元素是有序数对且只有一个元素．故选C．【考点】解方程组、集合的表示．3.设，给出下列关系：①②③④⑤,其中正确的关系式共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】,．．,．．所以正确的有②④．故正确的有2个．故A正确．【考点】1元素与集合的关系；2集合与集合间的关系．4.（10分）已知A⊆M＝{x|x2－px＋15＝0，x∈R}，B⊆N＝{x|x2－ax－b＝0，x∈R}，又A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，求p，a和b的值．【答案】p＝8，a＝5，b＝－6【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，从而可得p=8，又由于3∈A，且A∪B={2，3，5}，方程x2－ax－b＝0的二根为2和3．由韦达定理可得a，b，从而解决问题试题解析：由A∩B＝{3}，知3∈M，得p＝8．由此得M＝{3,5}，从而N＝{3,2}，由此得a＝5，b＝－6．【考点】1．交集及其运算；2．并集及其运算5.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以，故选D．【考点】集合的运算．6.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）已知全集，集合，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】集合的问题要明确集合中的元素是什么？集合是一元二次不等式的解集，集合是分式不等式的解集，在数轴上标出集合，可得，．试题解析：（Ⅰ），，则；（Ⅱ），得，则．【考点】集合的运算．7.“”是“x﹥0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为是的真子集,所以“”是“”的必要不充分条件．故B正确．【考点】充分必要条件．【方法点晴】本题主要考查的是充分必要条件，属于容易题．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化．8.已知集合,,,则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,，则，．故选C．【考点】集合的全集、补集、交集运算．9.已知集合，集合则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【考点】解不等式与集合交集10.若全集且，则集合的真子集共有（）A．3个B．5个C．7个D．8个【答案】C【解析】由且，故，则集合的真子集共有【考点】集合的真子集11.设全集是实数集.，.（1）当时，求和；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意，求出集合，然后将代入就交集和并集即可；（2）若分和求出的取值范围，周求并集即可试题解析：（1）根据题意，由于，当时，，而，所以，，（2），若，则，若，则，，综上，【考点】集合的运算，子集12.已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若Q⊆P,那么a的值是（）A．1B．-1C．1或-1D．0,1或-1【答案】D【解析】集合，对应的值分别为【考点】集合的子集关系13.设，集合，则（）A．1B．C．2D．【答案】A【解析】由两集合相等可知【考点】集合相等14.设集合，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以应选D．【考点】集合的基本运算．15.设，a为实数．（1）分别求；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】本题中（1）先求出集合B的补集，在求出，得到答案；（2）中由得到，在比较区间的断点，求出a的取值范围．得到本题的结论．试题解析：（1）A∩B={x|2<x≤3}，B={x|x≤2或x≥4}UB）= {x|x≤3或x≥4}A∪（U（2）∵B∩C=C∴C B∴2<a<a+1<4 ∴2<a<3【考点】集合中交集、并集、补集的混合运算．16.已知集合，则为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由集合，则，故选D.【考点】1、特殊角三角函数求值；2、一元二次方程的解法；3、集合的交集.【易错点晴】本题主要考查了集合的交集的求法，考查了特殊角三角函数值及一元二次方程的解法，根据特殊角三角函数值求出集合A，解一元二次方程求得集合B，从而求得两个集合的交集，属于容易题.求集合A时，要牢记特殊角三角函数值，否则容易出错.17.设函数的定义域为A，函数的定义域为B.（1）若，求实数a的取值范围；（2）设全集为R，若非空集合的元素中有且只有一个是整数，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解不等式可求得嘉禾A，解不等式可求得集合B，由可知集合A中元素均属于集合B，据此列不等式求a得取值范围；（2）有第一问，可知，因为的元素中只有一个整数，此整数必为2，即a既要大于1又不能大于2，据此列不等式求a的取值范围.试题解析：（1）由，∴，由，得，∴，∵，∴.（2）∵，∴，∵的元素有且只有一个是整数，∴.【考点】求函数定义域，集合的运算.18.已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝_____．【答案】【解析】解不等式可知集合，所以A∩B＝【考点】集合的交集运算19.已知集合，集合，若满足，求实数a的取值范围．【答案】【解析】由可知B是A的子集，结合B集合的不等式特点，需分两种情况分别得到两集合边界值的大小关系，通过解关于的不等式，从而得到实数a的取值范围试题解析：综上述得的取值范围为【考点】1．集合的子集关系；2．分情况讨论20.已知全集，，，则（）．A．B．C．D．【答案】B 【解析】由 ,得，选B ．【考点】集合运算21. 若集合，，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．或D ．或或【答案】D 【解析】由，当时， ，当时， ，当时， ，故选 D ．【考点】子集概念22. 设I 为全集，集合M ，N ，P 都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）．A ．M∩（N ∪P ）B ．M∩（P∩I N ）C ．P∩（I N∩I M ）D ．（M∩N ）∪（M∩P ）【答案】B【解析】由结合图形可知，阴影部分属于M∩P ，不属于N ，故属于（M∩P ）∩I N 即 M∩（P∩I N ），选 B ． 【考点】集合运算23. 已知集合A 是函数g （x ）=log a [﹣（x ﹣2a ）（x ﹣a ）]（a ＞0，且a≠1）的定义域，集合B 和集合C 分别是函数的定义域和值域． （1）求集合A ，B ，C ；（2）若A ∪C=C ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A=（a ，2a ），B=[2，+∞），C=[0，3）（2）实数a 的取值范围是且a≠1．【解析】（1）先求出集合A ，根据二次根式的性质求出集合B 、C 即可；（2）若A ∪C=C ，则A ⊆C ，得到关于a 的不等式，解出即可．解：（1）由﹣（x ﹣2a ）（x ﹣a ）＞0得（x ﹣2a ）（x ﹣a ）＜0，又因为a ＞0，且a≠1 所以a ＜x ＜2a ，所以A=（a ，2a ）…（2分） 对于函数，由9﹣3x ≥0得x≤2，B=[2，+∞） 所以0＜3x ≤9，0≤9﹣3x ＜9，所以，C=[0，3） （2）若A ∪C=C ，则A ⊆C ， 则有⇒且a≠1，所以实数a 的取值范围是且a≠1．【考点】函数的定义域及其求法；集合的包含关系判断及应用．24. 已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A∩（∁U B ）等于（ ） A ．{1} B ．{0，1} C ．{1，3} D ．{0，1，2，3} 【答案】C【解析】先求出（∁U B ），再根据交集的运算法则计算即可 解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，∴（∁U B ）={1，3} ∴A∩（∁U B ）={1，3} 故选：C ．【考点】交、并、补集的混合运算．25. 集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|﹣2≤x≤5} （1）若a=3，求集合（∁R P ）∩Q ； （2）若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）（∁R P ）∩Q={x|﹣2≤x ＜4}；（2）（﹣∞，2]．【解析】（1）将a 的值代入集合P 中的不等式，确定出P ，找出P 的补集，求出P 补集与Q 的交集即可；（2）根据P 为Q 的子集列出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可得到a 的范围． 解：将a=3代入得：P={x|4≤x≤7}，可得∁R P={x|x ＜4或x ＞7}， ∵Q={x|﹣2≤x≤5}，∴（∁R P ）∩Q={x|﹣2≤x ＜4}； （2）由P ⊆Q ，分两种情况考虑： （ⅰ）当P≠∅时，根据题意得：，解得：0≤a≤2；（ⅱ）当P=∅时，可得2a+1＜a+1，解得：a ＜0， 综上：实数a 的取值范围为（﹣∞，2]． 【考点】交、并、补集的混合运算．26. 已知集合，，全集．（1）求；（2）已知集合，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）解不等式，可得集合，又，所以；（2）由，结合数轴，可知集合右端点应在（包括）的左边．试题解析：（1） ,（2）①当时，，此时； ②当时，，则 综合①②，可得的取值范围是 【考点】集合的运算．27. 设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（ ） A ．{x|0≤x≤2} B ．{x|1≤x≤2} C ．{x|0≤x≤4} D ．{x|1≤x≤4}【答案】A【解析】找出A 和B 解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集． 解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}， ∴A∩B={x|0≤x≤2}． 故选A【考点】交集及其运算．28. 若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A∩B=（ ） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1}【答案】D【解析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩{x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．【考点】并集及其运算．29.记全集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由韦恩图可知，图中阴影部分可表示为．且所以，故选C．【考点】集合的交集、并集、补集运算；韦恩图表示集合．【方法点晴】本题主要考查的是韦恩图表示集合和集合的交集、并集、补集运算，属于容易题，首先要把韦恩图中的阴影部分翻译为集合语言，再进行集合的补集，交集运算.本题也可以直接在韦恩图中标出阴影部分的所以元素，从而直接得到答案，其中正确掌握集合运算的基本概念是解答此类问题的关键．30.已知集合，（1）若，，求实数m的取值范围。

(名师选题)部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案必考知识点归纳单选题1、已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={−1,0,3}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{0,1}C．{−1,0,3}D．{−1,3}2、设a，b是实数，集合A={x||x−a|<1,x∈R}，B={x||x−b|>3,x∈R}，且A⊆B，则|a−b|的取值范围为（）A．[0,2]B．[0,4]C．[2,+∞)D．[4,+∞)3、设命题p:∃x0∈R，x02+1=0，则命题p的否定为（）A．∀x∉R，x2+1=0B．∀x∈R，x2+1≠0C．∃x0∉R，x02+1=0D．∃x0∈R，x02+1≠04、已知集合P={x|1<x<4}，Q={x|2<x<3}，则P∩Q=（）A．{x|1<x≤2}B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4}D．{x|1<x<4}5、下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；A．0B．1C．2D．36、若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7、设a,b∈R，A={1,a}，B={−1,−b}，若A⊆B，则a−b=（）A．−1B．−2C．2D．08、集合A={0,−1,a2},B={−2,a4}.若A∪B={−2,−1,0,4,16}，则a=（）A．±1B．±2C．±3D．±4多选题9、集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示为（）A．{x|x是不大于9的非负奇数}B．{x|x=2k+1,k∈N,且k≤4}C．{x|x≤9,x∈N∗}D．{x|0≤x≤9,x∈Z}10、已知P={x|x2−8x−20≤0}，集合S={x|1−m≤x≤1+m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m 的取值可以是（）A．−1B．1C．3D．511、已知关于x的方程x2+(m−3)x+m=0，则下列说法正确的是（）A．当m=3时，方程的两个实数根之和为0B．方程无实数根的一个必要条件是m>1C．方程有两个正根的充要条件是0<m≤1D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m<0填空题12、已知集合A={y|y=x2−32x+1,x∈[34,2]}，B={x|x+m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数m的取值范围为________．13、能够说明“∀x∈N∗，2x≥x2”是假命题的一个x值为__________．部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案(二十五)参考答案1、答案：D分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.因为A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，所以∁R A={x|x<0或x>2}，又B={−1,0,3}，所以(∁R A)∩B={−1,3}，故选：D．2、答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A={x||x−a|<1,x∈R}={x|a−1<x<a+1}，B={x||x−b|>3,x∈R}={x|x<b−3或x>b+3}又A⊆B，所以a+1≤b−3或a−1≥b+3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D3、答案：B分析：根据存在命题的否定为全称命题可得结果.∵存在命题的否定为全称命题，∴命题p的否定为“∀x∈R，x2+1≠0”，故选：B4、答案：B分析：根据集合交集定义求解.P∩Q=(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.5、答案：C分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“∀x ∈R ，x 2+1<0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p:∃x ∈R ,x 2+2x +1≤0，则¬p:∀x ∈R ,x 2+2x +1>0，故③错误；对于④：ac 2>bc 2可以推出a >b ，所以a >b 是ac 2>bc 2的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C6、答案：D分析：根据集合元素的互异性即可判断.由题可知，集合M ={a,b,c }中的元素是△ABC 的三边长，则a ≠b ≠c ，所以△ABC 一定不是等腰三角形．故选：D ．7、答案：D分析：根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a 、b ，即可求a −b .由A ⊆B 知：A =B ，即{a =−1−b =1，得{a =−1b =−1， ∴a −b =0.故选：D.8、答案：B分析：根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a 的值.由A ∪B ={−2,−1,0,4,16}知，{a 2=4a 4=16，解得a =±2 故选：B9、答案：AB分析：利用描述法的定义逐一判断即可.对A ，{x |x 是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故A 正确；对B ，{x |x =2k +1,k ∈N ,且k ≤4}表示的集合是{1,3,5,7,9}，故B 正确；对C ，{x |x ≤9,x ∈N ∗ }表示的集合是{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故C 错误；对D ，{x |0≤x ≤9,x ∈Z }表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，故D 错误.故选：AB.10、答案：ABC分析：解不等式得集合P ，将必要条件转化为集合之间的关系列出关于m 的不等式组，解得m 范围即可得结果. 由x 2−8x −20≤0，解得−2≤x ≤10，∴P =[−2,10]，非空集合S ={x |1−m ≤x ≤1+m }，又x ∈P 是x ∈S 的必要条件，所以S ⊆P ，当S =∅，即m <0时，满足题意；当S ≠∅，即m ≥0时，∴{−2≤1−m 1+m ≤10，解得0≤m ≤3， ∴m 的取值范围是(−∞,3]，实数m 的取值可以是−1,1,3，故选：ABC.11、答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A 错误；由题得m >1，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；由题得0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；由题得m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.对于选项A ，方程为x 2+3=0，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则Δ=(m −3)2−4m =m 2−10m +9<0,所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则{Δ=m 2−10m +9≥0−(m −3)>0m >0,所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则{Δ=m 2−10m +9>0m <0 ,所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确.故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解.12、答案：(−∞,−34]∪[34,+∞) 分析：求函数的值域求得集合A ，根据“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围. 函数y =x 2−32x +1的对称轴为x =34，开口向上，所以函数y =x 2−32x +1在[34,2]上递增，当x =34时，y min =716；当x =2时，y max =2.所以A =[716,2].B ={x|x +m 2≥1}={x|x ≥1−m 2}，由于“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以1−m 2≤716，m 2≥916，解得m ≤−34或m ≥34，所以m 的取值范围是(−∞,−34]∪[34,+∞).所以答案是：(−∞,−34]∪[34,+∞)13、答案：3分析：取x =3代入验证即可得到答案.因为x =3∈N ∗，而23<32，∴说明“∀x ∈N ∗，2x ≥x 2”是假命题．所以答案是：3小提示：本题考查命题与简易逻辑，属于基础题．。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.若集合，则中元素的个数为（）A．3个B．4个C．1个D．2个【答案】B【解析】,,所以B中共4个元素．【考点】1．一元二次不等式的解法；2．集合的表示方法（描述法）．2.已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是（）【答案】C【解析】映射要满足对于A中的每一个元素a,b在B中都有唯一的元素与之对应，C项中对应关系不满足要求【考点】映射的概念3.（12分）已知集合A={x｜-2≤x≤5}，B={x｜m≤x≤2m-1} A∩B="B," 求m的取值范围。

【答案】【解析】由A∩B=B得到，将两集合标注在数轴上使其满足子集关系，进而得到m的不等式，得到m的范围，求解时要将B集合分为空集与非空集两种情况讨论试题解析：①B=∅时，m>2m-1m<1②B∅时, m2m-1 即m 1又有则【考点】1．集合的子集关系；2．分情况讨论4.市场调查公司为了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订阅的有150户，则两种都不订阅的有．【答案】19【解析】（1）只订日报不订晚报的人数为（人）．（2）只订晚报不订日报的人数为（人）．（3）只订一种报纸的人数为（人）．又两种都订的人数为150人，所以至少订一种报纸的人数为（人）．（4）不订报纸的人数为（人）．【考点】集合的运算．【思路点晴】本题采用集合表示法中的图示法分析问题可使问题简化．5.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．6.已知集合,,,则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,，则，．故选C．【考点】集合的全集、补集、交集运算．7.已知集合，，若，则实数=（）A．-1B．2C．-1或2D．1或-1或2【答案】C【解析】由题故或解得，又根据集合中元素的互异性可得或。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语必练题总结单选题1、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D2、某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：A．5B．10C．15D．20答案：C分析：用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，易得它们的关系，从而得出结论．用集合A表示除草优秀的学生，B表示植树优秀的学生，全班学生用全集U表示，则∁U A表示除草合格的学生，则∁U B表示植树合格的学生，作出Venn图，如图，设两个项目都优秀的人数为x，两个项目都是合格的人数为y，由图可得20−x+x+30−x+y=45，x=y+5，因为y max=10，所以x max=10+5=15．故选：C．小提示：关键点点睛：本题考查集合的应用，解题关键是用集合A,B表示优秀学生，全体学生用全集表示，用Venn图表示集合的关系后，易知全部优秀的人数与全部合格的人数之间的关系，从而得出最大值．3、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.4、命题“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是（）A．∃x≥0,x2+ax−1<0B．∃x≥0,x2+ax−1≥0C．∃x<0,x2+ax−1<0D．∃x<0,x2+ax−1≥0答案：C分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x<0,x2+ax−1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax−1<0”.故选：C5、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.6、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.7、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C8、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.多选题9、(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是（）A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}答案：ABD分析：选项A中，M和P的代表元素不同，是不同的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，解出集合M和P.选项D中，M和P的代表元素不同，是不同的集合.选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项C中，M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}=[1,+∞)，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}=[1,+∞)，故M=P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．10、已知全集U=Z，集合A={x|2x+1≥0,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，则（）A．A∩B={0,1,2}B．A∪B={x|x≥0}C．(∁U A)∩B={−1}D．A∩B的真子集个数是7答案：ACD分析：求出集合A，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.A={x|2x+1≥0,x∈Z}={x|x≥−1,x∈Z}，B={−1,0,1,2}，2A∩B={0,1,2}，故A正确；A∪B={x|x≥−1,x∈Z}，故B错误；,x∈Z}，所以(∁U A)∩B={−1}，故C正确；∁U A={x|x<−12由A∩B={0,1,2}，则A∩B的真子集个数是23−1=7，故D正确.故选：ACD11、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．填空题12、请写出不等式a>b的一个充分不必要条件___________．答案：a>b+1 (答案不唯一)分析：根据充分不必要条件，找到一个能推出a>b，但是a>b推不出来的条件即可.因为a>b+1能推出a>b，但是a>b不能推出a>b+1，所以a>b+1是不等式a>b的一个充分不必要条件，所以答案是：a>b+1（答案不唯一）13、已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案：(−∞,4]分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解.当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则{m+1≥−2, 2m−1≤7,m+1<2m−1,解得2<m≤4．综上，m的取值范围为(−∞,4]．所以答案是：(−∞,4]14、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．解答题15、已知集合A={x|−1≤x≤2},B={y|y=ax+3,x∈A}，C={y|y=2x+3a,x∈A}，（1）若∀y 1∈B ，∀y 2∈C ，总有y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；（2）若∀y 1∈B ，∃y 2∈C ，使得y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围； 答案：（1）a ≥5；（2）a ≥−14. 分析：（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，由题设可得y 1max ≤y 2min ，建立不等式组，解之可得答案. （2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，建立不等式组，解之可得答案.（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，其中−1≤x ≤2， 由题设可得y 1max ≤y 2min ，即y 1max ≤3a −2，故{−a +3≤−2+3a 2a +3≤−2+3a ， 解得a ≥5.（2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，故{−a +3≤4+3a 2a +3≤4+3a ，解得a ≥−14.。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语总结(重点)超详细单选题1、已知集合M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（）A．2个B．3个C．4个D．8个答案：B分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.解：∵M={−1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}∴P={1，3}，P的真子集是{1},{3},∅共3个.故选：B.2、已知集合A={1,2,3},B={(x,y)|x∈A,y∈A,|x−y∣∈A}中所含元素的个数为（）A．2B．4C．6D．8答案：C分析：根据题意利用列举法写出集合B，即可得出答案.解：因为A={1,2,3}，所以B={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6个元素．故选：C.3、若集合A={x∣|x|≤1,x∈Z}，则A的子集个数为（）A．3B．4C．7D．8答案：D分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、已知集合M={x|1−a<x<2a}，N=(1,4)，且M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．(−∞,2]B．(−∞,0]C．(−∞,13]D．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时 M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13]. 故选：C5、已知集合P ={x|1<x <4}，Q ={x|2<x <3}，则P ∩Q =（ ）A ．{x|1<x ≤2}B ．{x|2<x <3}C ．{x|3≤x <4}D ．{x|1<x <4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P ∩Q =(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.6、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ）A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先 根据题意求出集合T ，然后根据并集的概念即可求出结果.S ={x ∈N|x ≤√5}={0,1,2}，而S ∩T ={1}，所以1∈T ，则a 2=1，所以T ={x ∈R|x 2=a 2}={−1,1}，则S ∪T ={−1,0,1,2}故选：C.7、设集合A ={x |−2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A ∩B =（ ）A ．{2}B ．{2,3}C ．{3,4}D ．{2,3,4}答案：B分析：利用交集的定义可求A∩B.由题设有A∩B={2,3}，故选：B .8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m与n，也不成立，所以不存在m,n为整数使得m2+n2=3成立，故选项C不正确；对于选项D：m2+n2=4，此时存在m=0,n=2或m=2,n=0使得其成立，故选项D正确，故选：ABD.10、已知全集U =R ，集合A ={x|−2≤x ≤7}，B ={x|m +1≤x ≤2m −1}，则使A ⊆∁U B 成立的实数m 的取值范围可以是（ ）A ．{m|6<m ≤10}B ．{m|−2<m <2}C ．{m|−2<m <−12}D ．{m|5<m ≤8}答案：ABC分析：讨论B =∅和B ≠∅时，计算∁U B ，根据A ⊆∁U B 列不等式，解不等式求得m 的取值范围，再结合选项即可得正确选项.当B =∅时，m +1>2m −1，即m <2，此时∁U B =R ，符合题意，当B ≠∅时，m +1≤2m −1，即m ≥2，由B ={x|m +1≤x ≤2m −1}可得∁U B ={x|x <m +1或x >2m −1}，因为A ⊆∁U B ，所以m +1>7或2m −1<−2，可得m >6或m <−12， 因为m ≥2，所以m >6，所以实数m 的取值范围为m <2或m >6，所以选项ABC 正确，选项D 不正确；故选：ABC.11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1 答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．12、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ）A ．函数F (x )是偶函数B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图．由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确；函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C 项错误，D 项正确．故选：ABD[0,1]13、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，A.由(−4,4)⊂≠(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；B.由(−3,3)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.填空题14、已知集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，则M的子集个数______答案：8分析：按x、y、z的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.因为集合M={m|m=x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|，x、y、z为非零实数}，当x、y、z都是正数时，m=4，当x、y、z都是负数时，m=-4，当x、y、z中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当x、y、z中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.所以答案是：815、设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0，2两个元素，Q中含有1，6两个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是_________．答案：4分析：求得P+Q的元素，由此确定正确答案.依题意，0+1=1,0+6=6,2+1=3,2+6=8，所以P+Q共有4个元素.所以答案是：416、已知全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，若A={1,2,3}，B={−1,0,1}，则∁U(A⊙B)______．答案：{x∈Z||x|≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U=Z，定义A⊙B={x|a⋅b,a∈A,b∈B}，A={1,2,3}，B={−1,0,1}所以A⊙B={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U(A⊙B)={x||x|≥4,x∈Z}.所以答案是：{x||x|≥4,x∈Z}解答题17、已知集合A={x|(x−a)(x+a+1)≤0}，B={x|x≤3或x≥6}.（1）当a=4时，求A∪B；（2）当a>0时，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围.答案：（1）A∪B={x|x≤4或x≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a=4时，解出集合A，计算A∪B；（2）由集合法判断充要条件，转化为A⊆B，进行计算.解：（1）当a=4时，由不等式(x−4)(x+5)≤0，得−5≤x≤4，故A={x|−5≤x≤4}，又B={x|x≤3或x≥6}，所以A∪B={x|x≤4或x≥6}.（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，等价于A⊆B，因为a>0，由不等式(x−a)(x+a+1)≤0，得A={x|−a−1≤x≤a}，又B={x|x≤3或x≥6}，要使A⊆B，则a≤3或−a−1≥6，综合可得a的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；(2)若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；(3)若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；(4)若p是q的既不充分又不必要条件，q对应集合与p对应集合互不包含．18、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

(名师选题)部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案重点知识归纳单选题1、设集合A ={2,a 2−a +2,1−a }，若4∈A ，则a 的值为（ ）． A ．−1，2B ．−3C ．−1，−3，2D ．−3，22、设集合A ={1,2},B ={2,4,6}，则A ∪B =（ ） A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}3、已知集合A ={x ∈N |x ≤1},B ={−1,0,1,2}，则A ∩B 的子集的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44、已知集合S ={x ∈N|x ≤√5}，T ={x ∈R|x 2=a 2}，且S ∩T ={1}，则S ∪T =（ ） A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{-1，0，1，2}D ．{-1，0，1，2，3}5、已知p ：√x −1>2，q ：m −x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A ．m <3B ．m >3C ．m <5D ．m >56、命题∃x ∈R,x 2+1≤0的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+1>0B ．∃x ∈R ，x 2+1>0 C ．∀x ∈R ，x 2+1≥0D ．∃x ∈R ，x 2+1≥07、已知集合P ={x |x =2k −1,k ∈N ∗ }和集合M ={x|x =a ⊕b ，a ∈P ，b ∈P}，若M ⊆P ，则M 中的运算“⊕”是（ ）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法8、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ） A ．2B ．1C ．14D ．23多选题9、下列条件中，为 “关于x 的不等式mx 2−mx +1>0对∀x ∈R 恒成立”的充分不必要条件的有（ ） A ．0≤m <4B ．0<m <2 C ．1<m <4D ．−1<m <610、下列四个条件中可以作为方程ax2−x+1=0有实根的充分不必要条件是（）C．a=−1D．a≠0A．a=0B．a≤1411、若x2−x−2<0是−2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）．A．1B．2C．3D．4填空题12、已知集合A={x|−2≤x≤7}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．13、已知集合A={4,3,5m−6},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m=___________.部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案(二)参考答案1、答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a=−3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a=−3满足要求．综上，a=2或a=−3．故选：D．2、答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.3、答案：D分析：根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．由题意A∩B={0,1}，因此它的子集个数为4．故选：D．4、答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.5、答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C6、答案：A分析：根据特称命题的否定形式直接求解.特称命题的否定是全称命题，即命题“∃x∈R,x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x2+1>0”.故选：A7、答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．8、答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x=0,y=0或x=1,y=0或x=12，y=14，再利用集合中元素的互异性可知x=12，y=14，则可求出答案.若A=B，则{x=x2y=2y 或{x=2yy=x2，解得{x=0y=0或{x=1y=0或{x=12y=14，由集合中元素的互异性，得{x=12y=14，则x−y=12−14=14，故选：C．9、答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.10、答案：AC，再利用集合的关系判断得解.分析：先化简方程ax2−x+1=0有实根得到a≤14当a=0时，方程ax2−x+1=0有实根x=1；.当a≠0时，方程ax2−x+1=0有实根即Δ=1−4a≥0,∴a≤14所以a≤1且a≠0.4.综合得a≤14],设选项对应的集合为A, 集合B=(−∞,14由题得集合A是集合B的真子集，所以只能选AC.所以答案是：AC小提示：方法点睛：充分条件必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.11、答案：BCD分析：根据充分必要条件得出a范围，可得选项.由x2−x−2<0得−1<x<2，因此，若x2−x−2<0是−2<x<a的充分不必要条件，则a≥2．故选：BCD．小提示：本题考查根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题. 12、答案：(−∞,4]分析：分情况讨论：当B=∅或B≠∅，根据集合的包含关系即可求解. 当B=∅时，有m+1≥2m−1，则m≤2；当B≠∅时，若B⊆A，如图，则{m+1≥−2, 2m−1≤7,m+1<2m−1,解得2<m≤4．综上，m的取值范围为(−∞,4]．所以答案是：(−∞,4]13、答案：−2或3##3或-2分析：利用子集关系B⊆A可知，4=m2或5m−6=m2，求出m再验证即得结果. ∵B⊆A，∴4=m2或5m−6=m2，解得m=2或m=−2或m=3，将m的值代入集合A、B验证，知m=2不符合集合的互异性，故m=−2或3.所以答案是：−2或3.。

(名师选题)部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案基础知识点归纳总结单选题1、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}2、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．43、已知全集U=R，集合M={x∣(x−1)(x+2)≥0}，N={x∣−1≤x≤3}，则(∁U M)∩N=（）A．[−1,1)B．[−1,2]C．[−2,−1]D．[1,2]4、2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5、已知x∈R，则“x≠0”是“x+|x|>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要6、已知集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{−1,2}C．{−2,4}D．{−2,−1,4}7、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}8、设命题p:∃x0∈R，x02+1=0，则命题p的否定为（）A．∀x∉R，x2+1=0B．∀x∈R，x2+1≠0C．∃x0∉R，x02+1=0D．∃x0∈R，x02+1≠0多选题9、对任意实数a ，b ，c ，下列命题中真命题是（ ）A ．a =b 是ac =bc 的充要条件B ．“a +5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件C ．a >b 是a 2>b 2的充要条件D ．a <5是a <3的必要条件10、已知集合A ={x ∣x 2−2x −3=0}，B ={x ∣ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的可能取值（ ）A ．0B ．3C ．13D ．−111、已知p ：x 2+x −6=0；q ：ax +1=0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的值可以是（ ）A ．﹣2B ．−12C ．13D ．−13填空题12、已知p:−1<x <3，q:−1<x <m +2，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_______.13、已知集合U ={−2,−1,0,1,3},A ={1,3}，则∁U A =__________.部编版高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语带答案(六)参考答案1、答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.2、答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.3、答案：A分析：先由一元二次不等式的解法求得集合M，再由集合的补集、交集运算求得答案.解：由题意可得：由(x−1)(x+2)≥0得x≥1或x≤−2，所以M=(−∞，−2]∪[1，+∞)，则：C U M=(−2,1)，又N={x∣−1≤x≤3}，所以(∁U M)∩N=[−1,1).故选：A．4、答案：C分析：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．5、答案：B分析：由x+|x|>0可解得x>0，即可判断.由x+|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，故“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件.故选：B.6、答案：D分析：利用补集定义求出∁R A，利用交集定义能求出(∁R A)∩B．解：集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则∁R A={x|x≤−1或x>2}，∴(∁R A)∩B={−2,−1,4}．故选：D7、答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3}, 所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.8、答案：B分析：根据存在命题的否定为全称命题可得结果.∵存在命题的否定为全称命题，∴命题p的否定为“∀x∈R，x2+1≠0”，故选：B9、答案：BD分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断解：∵“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A为假命题；∵“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；∵“a>b”⇒“a2>b2”为假命题，“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；∵{a|a<3}⊊{a|a<5}，故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件，故D为真命题.故选：BD.10、答案：ACD解析：由集合间的关系，按照a=0、a≠0讨论，运算即可得解.∵集合A={−1,3}，B={x|ax=1}，B⊆A，当a=0时，B=∅，满足题意；当a≠0时，B={x|ax=1}={1a }，要使B⊆A，则需要满足1a=−1或1a=3，解得a=−1或a=13，∴a的值为0或−1或13.故选：ACD.11、答案：BC解析：根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 由题意得p:A={−3，2}，当a=0时，q：B=∅，当a≠0时，q：B={−1a}，因为p是q的必要不充分条件，所以B A，所以a=0时满足题意，当−1a =−3或−1a=2时，也满足题意，解得a=13或a=−12，故选：BC.小提示：本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.12、答案：(1,+∞)分析：由已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围. 因为p是q的充分不必要条件，则{x|−1<x<3}{x|−1<x<m+2}，所以，m+2>3，解得m>1.因此，实数m的取值范围是(1,+∞).所以答案是：(1,+∞).13、答案：{−2,−1,0}分析：由已知集合，应用集合的补运算求∁U A.由题设，U={−2,−1,0,1,3},A={1,3}，∴∁U A={−2,−1,0}.所以答案是：{−2,−1,0}.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语重点知识点大全单选题1、已知集合A={1，2，3，5，7，11}，B={x|3<x<15}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．5答案：B分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B={5,7,11}，故A∩B中元素的个数为3.故选：B【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.2、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据真子集的定义即可求解.由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.故选：B.5、下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；A．0B．1C．2D．3答案：C分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案. 对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C6、在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是（）A．{x|x≤−3或x≥3}B．{x|−3≤x≤3}C．{x|x≤−3}D．{x|x≥3}答案：B分析：在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合为|x|≤3的集合．由题意，满足|x|≤3的集合，可得：{x|−3≤x≤3}，故选：B7、集合A={0,−1,a2},B={−2,a4}.若A∪B={−2,−1,0,4,16}，则a=（）A．±1B．±2C．±3D．±4答案：B分析：根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.由A∪B={−2,−1,0,4,16}知，{a 2=4a4=16，解得a=±2故选：B8、设集合A={−1,0,1,2}，B={1,2}，C={x|x=ab,a∈A,b∈B}，则集合C中元素的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：分别在集合A,B中取a,b，由此可求得x所有可能的取值，进而得到结果.当a=−1，b=1时，ab=−1；当a=−1，b=2时，ab=−2；当a=0，b=1或2时，ab=0；当a=1，b=1时，ab=1；当a=1，b=2或a=2，b=1时，ab=2；当a=2，b=2时，ab=4；∴C={−2,−1,0,1,2,4}，故C中元素的个数为6个.故选：B.多选题9、下列选项正确的是（）A ．√7∈RB ．Z ∈QC ．0∈∅D ．∅⊆{0}答案：AD分析：根据元素与集合的关系，集合与集合的关系以及空集的概念进行判断即可.A ．√7是无理数，无理数属于实数，所以√7∈R ，故正确；B ．因为Z,Q 都是集合，所以不能用∈表示两者关系，故错误；C ．因为∅不包含任何元素，所以0∉∅，故错误；D ．因为空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0}，故正确；故选：AD.10、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0}, A ∩B =B ，则实数m 取值为（ ）A ．13B ．−12C ．−13D ．0答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ， 因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13， 综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题11、“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）A ．m >14B ．0<m <1C ．m >2D ．m >1答案：CD解析：先计算已知条件的等价范围，再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.因为“不等式x 2−x +m >0在R 上恒成立”，所以等价于二次方程的x 2−x +m =0判别式Δ=1−4m <0，即m >14. 所以A 选项是充要条件，A 不正确；B 选项中，m >14不可推导出0<m <1，B 不正确；C 选项中，m >2可推导m >14，且m >14不可推导m >2，故m >2是m >14的充分不必要条件，故C 正确；D 选项中，m >1可推导m >14，且m >14不可推导m >1，故m >1是m >14的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．填空题12、设集合S ={A 0,A 1,A 2,A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i +j 被4除的余数，i ，j =0，1，2，3，则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x （x ∈S ）的个数为________.答案：2解析：由已知中集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ，其中k 为i +j 被4除的余数，i ，j =0，1，2，3，分别分析x 取A 0，A 1，A 2，A 3时，式子的值，并与A 0进行比照，即可得到答案． 当x =A 0时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 0⊕A 0)⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2≠A 0当x =A 1时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 1⊕A 1)⊕A 2=A 2⊕A 2=A 4=A 0当x =A 2时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 2⊕A 2)⊕A 2=A 0⊕A 2=A 2≠A 0当x =A 3时，(x ⊕x)⊕A 2=(A 3⊕A 3)⊕A 2=A 2⊕A 2=A 0=A 0则满足关系式(x ⊕x)⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为：2个．所以答案是：2．小提示：本题考查的知识点是集合中元素个数，其中利用穷举法对x 取值进行分类讨论是解答本题的关键.属于中档题.13、已知A ＝{x ∈R|2a ≤x ≤a ＋3},B ＝{x ∈R|x <－1或x >4}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 答案：a <－4或a >2分析：按集合A 为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a 的取值范围.①当a >3即2a >a ＋3时，A ＝∅，满足A ⊆B ；.②当a ≤3即2a ≤a ＋3时，若A ⊆B ，则有{2a ≤a +3a +3<−1或2a >4，解得a <－4或2<a ≤3 综上，实数a 的取值范围是a <－4或a >2.所以答案是：a <－4或a >214、命题p:∀x >2,2x −3>0的否定是___________.答案：∃x >2,2x −3≤0分析：将全称命题否定为特称命题即可命题p:∀x >2,2x −3>0的否定是∃x >2,2x −3≤0，所以答案是：∃x >2,2x −3≤0解答题15、已知集合A ={x |1≤x ≤3 }，B ={x |a −4≤x ≤a −1 }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.答案：[4,5]分析：根据给定条件可得AB ，再借助集合的包含关系列式计算作答.因“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，于是得AB ，而集合A ={x |1≤x ≤3 }，B ={x |a −4≤x ≤a −1 }，因此，{a −4<1a −1≥3 或{a −4≤1a −1>3，解得4≤a <5或4<a ≤5，即有4≤a ≤5， 所以实数a 的取值范围为[4,5].。

第一章集合与常用逻辑用语（单元测试卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列表述中正确的是( )A.{0}＝∅B.{(1，2)}＝{1，2}C.{∅}＝∅D.0∈N2.已知集合A＝{1，2}，B＝{1}，则下列关系正确的是( )A.B AB.B∈AC.B⊆AD.A⊆B3.已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则a＝( )A.－1B.－23C.－32D.－134.集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝( )A.{2}B.{1，2}C.{2，4，6}D.{1，2，4，6}5.“x为整数”是“2x＋1为整数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设集合M＝{菱形}，N＝{平行四边形}，P＝{四边形}，Q＝{正方形}，则这些集合之间的关系为( )A.P⊆N⊆M⊆QB.Q⊆M⊆N⊆PC.P⊆M⊆N⊆QD.Q⊆N⊆M⊆P7.已知a，b为实数，M：a＜b ，N：a＜b，则M是N的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是( )A.{m|m≥1}B.{m|m＞1}C.{m|m＜1}D.{m|m≤1}二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.下列关系正确的有( )A.12∈R B.2∉R C.|－3|∈N D.|－3|∈Q10.方程组Error!的解集可表示为( )A.Error!B.Error!C.(1，2)D.{(2，1)}11.已知A ＝{x|x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1，0，1}，则(A)∩B 中的元素有( )A.－2B.－1C.0D.1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上．12.若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a|a ＋|b|b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________13.已知命题p ：x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，则¬p 为________14.已知集合A ＝{－2，1}，B ＝{x|ax ＝2}，若A ∪B ＝A ，则实数a 值集合为________四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（14分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x|－1≤x ≤2}，B ＝{x|－3≤x ≤1}．(1)求A ；(2)求B ∪(A)．16.（14分）命题p 是“对任意实数x ，有x －a ＞0或x －b ≤0”，其中a ，b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？R ð R ðR ð17.（15分）已知集合A ＝{x|2≤x ＜7}，B ＝{x|5＜2x －1＜17}．(1)求A ∩B ，(B)∪A ；(2)已知C ＝{x|m ＋2＜x ≤2m}，若C ∩B ＝C ，求实数m 的取值范围．18.（16分）已知P ＝{x|1≤x ≤2}，S ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．19.（18分）设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．R ð参考答案及解析：一、选择题1.D 解析：由集合的性质可知，∅表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，故A 错误；{(1，2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1，2}表示有2个元素的集合，是数集，故B 错误；∅表示没有任何元素的集合，而{∅}表示有一个元素∅，故C 错误．故选D ．2.C 解析：因两个集合之间不能用“∈或”，首先排除选项A ，B ．因为集合A ＝{1，2}，B ＝{1}，所以集合B 中的元素都是集合A 中的元素，由子集的定义知B ⊆A ．故选C ．3.C 解析：因为－3∈A ，所以－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ，所以a ＝－1或a ＝－32．所以当a ＝－1时，a －2＝－3，2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去；当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，满足，所以a ＝－32．故选C ．4.D 解析：∵A ＝{1，2}，B ＝{2，4，6}，∴A ∪B ＝{1，2，4，6}．故选D ．5.A 解析：x 为整数时，2x ＋1也是整数，充分性成立；2x ＋1为整数时，x 不一定是整数，如2x ＋1＝2时，x ＝12，所以必要性不成立，是充分不必要条件．故选A ．6.B 解析：正方形都是菱形，菱形都是平行四边形，平行四边形都是四边形．故选B ．7.A 解析：因为a ，b 为实数，所以由a ＜b ，能够得到a ＜b ，反之，由a ＜b ，不一定有a ＜b ，如－3＜－2，而－3无意义，所以M 是N 的充分不必要条件．故选A ．8.B 解析：命题p ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋m ≠0是真命题，则Δ＜0，即m ＞1．二、选择题9.AC 解析:AC 正确，BD 错误．10.ABD 解析:方程组Error!只有一个解，解为Error!所以方程组Error!的解集中只有一个元素，且此元素是有序数对，所以A ，B ，D 都符合题意．11.AB 解析：∵A ＝{x|x ＋1＞0}＝{x|x ＞－1}，∴A ＝{x|x≤－1}．又∵B ＝{－2，－1，0，1}，∴(A)∩B ＝{－2，－1}．∴(A)∩B 中的元素有－2，－1．三、填空题12.答案：3解析：当a ，b 同正时，|a|a ＋|b|b ＝a a ＋b b＝1＋1＝2.当a ，b 同负时，|a|a ＋|b|b ＝－a a ＋－b b ＝－1－1＝－2.当a ，b 异号时，|a|a ＋|b|b＝0. R ðR ðR ð∴|a|a ＋|b|b的可能取值所组成的集合中元素共有3个．13.答案：x ∈R ，x 2－3x ＋3＞0　解析：命题p ：x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，则¬p ：x ∈R ，x 2－3x ＋3＞0．14.答案：{0，－1，2}　解析：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，当B ＝∅时，a ＝0；当B ≠∅时，B ＝{2a }，则2a ＝－2或2a＝1，解得a ＝－1或a ＝2，所以实数a 值集合为{0，－1，2}．四、解答题15.解：(1)∵A ＝{x|－1≤x ≤2}，∴A ＝{x|x ＜－1或x ＞2}．(2)B ∪(A)＝{x|－3≤x ≤1}∪{x|x ＜－1或x ＞2}＝{x|x ≤1或x ＞2}．16.解：(1)命题p 的否定：存在实数x ，有x －a ≤0且x －b ＞0．(2)要使命题p 的否定为真，则需要使不等式组Error!的解集不为空集，通过画数轴（画数轴略）可看出，a ，b 应满足的条件是b ＜a ．17.解：(1)因为B ＝{x|5＜2x －1＜17}＝{x|3＜x ＜9}，所以A ∩B ＝{x|3＜x ＜7}，B ＝{x|x ≤3或x ≥9}，所以(B)∪A ＝{x|x ＜7或x ≥9}．(2)因为C ∩B ＝C ，所以C ⊆B ．当C ＝∅时，m ＋2≥2m ，解得m ≤2；当C ≠∅时，{m ＋2＜2m ，m ＋2≥3，2m ＜9，解得2＜m ＜92．综上可得，实数m 的取值范围为Error!．18.解：(1)要使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，需使P ＝S ，即Error!此方程组无解，故不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．(2)要使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，需使S ⊆P ．当S ＝∅时，1－m ＞1＋m ，解得m ＜0，满足题意；当S ≠∅时，1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，要使S ⊆P ，则有Error!解得m ≤0，所以m ＝0．综上可得，当实数m ≤0时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．∀∃∀R ðR ðR ðR ð19.解：(1)由题可知A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}＝{1，2}．因为A∩B ＝{2}，所以2∈B ，将2代入集合B 中，得4＋4(a －1)＋(a 2－5)＝0，解得a ＝－5或a ＝1．当a ＝－5时，集合B ＝{2，10}符合题意；当a ＝1时，集合B ＝{2，－2}，符合题意．综上所述，a ＝－5或a ＝1．(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ．因为A ＝{1，2}，所以B ＝∅或B ＝{1}或{2}或{1，2}．若B ＝∅，则Δ＝4(a －1)2－4(a 2－5)＝24－8a ＜0，解得a ＞3；若B ＝{1}，则{Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2(a －1)2＝1－a ＝1，不存在满足式子同时成立的a 值；若B ＝{2}，则{Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2(a －1)2＝1－a ＝2，不存在满足式子同时成立的a 值；若B ＝{1，2}，则{Δ＝24－8a ＞0，1＋2＝－2(a －1)，1×2＝a 2－5，不存在满足式子同时成立的a 值．综上所述，a ＞3．。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)单选题1、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.2、已知集合A={(x,y)||x|+|y|≤2,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．10C．12D．13答案：D分析：利用列举法列举出集合A中所有的元素，即可得解.由题意可知，集合A中的元素有：(−2,0)、(−1,−1)、(−1,0)、(−1,1)、(0,−2)、(0,−1)、(0,0)、(0,1)、(0,2)、(1,−1)、(1,0)、(1,1)、(2,0)，共13个.故选：D.3、设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案.①若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P （A ）＋P （B ）＝1；②投掷一枚硬币3次，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P （A ）＝78，P （B ）＝18，满足P （A ）＋P （B ）＝1，但A ，B 不是对立事件. 所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A小提示：本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对立事件的理解，属于基础题.4、已知命题p:∃x ∈(−1,3)，x 2−a −2≤0.若p 为假命题，则a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−2)B ．(−∞,−1)C ．(−∞,7)D ．(−∞,0)答案：A解析：由题可得命题p 的否定为真命题，即可由此求解.∵ p 为假命题，∴ ¬p:∀x ∈(−1,3)，x 2−a −2>0为真命题，故a <x 2−2恒成立，∵ y =x 2−2在x ∈(−1,3)的最小值为−2，∴a <−2.故选：A.5、若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则实数a 的范围是（ ）A ．a >2B ．a ⩾2C ．a >−2D ．a ⩽−2答案：A解析：根据命题的否定为真命题可求.若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则命题“∀x ∈[−1,2],−x 2+2<a ”是真命题，当x =0时，(−x 2+2)max =2，所以a >2.6、若不等式|x −1|<a 成立的充分条件为0<x <4，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a ∣a ≥3}B ．{a ∣a ≥1}C ．{a ∣a ≤3}D ． {a ∣a ≤1}答案：A分析：由已知中不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，令不等式的解集为A ，可得{x |0<x <4 }⊆A ，可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到答案.解：∵不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，设不等式的解集为A ，则{x |0<x <4 }⊆A ，当a ≤0时，A =∅，不满足要求；当a >0时，A ={x ∣1−a <x <1+a}，若{x |0<x <4 }⊆A ，则{1−a ⩽01+a ⩾4，解得a ≥3. 故选：A.7、下列命题是假命题的有（ ）A ．若x ∈A ，那么x ∈A ∩B B ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈AC ．若x ∈A ∩B ，那么x ∈A ∪BD ．若x ∈A ，那么x ∈A ∪B答案：A分析：由集合与元素的关系和交集并集的定义逐一判断，即可求解对于A ，若x ∈A ，那么x 可能不属于B ，故A 错误；对于B ，若x ∈A ∩B ，则x 是集合A 和B 的公共元素，那么x ∈A ，故B 正确；对于C ，若x ∈A ∩B ，那么x ∈A ∪B ，故C 正确；对于D ，若x ∈A ，那么x ∈A ∪B ，故D 正确．故选：A ．8、已知命题p ：∃x ∃N ，e x <0（e 为自然对数的底数），则命题p 的否定是（ ）A ．∃x ∃N ，e x <0B ．∃x ∃N ，e x >0C ．∃x ∃N ，e x ≥0D ．∃x ∃N ，e x ≥0分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．多选题9、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.10、若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是（）A．(−∞，−5)B．(−3，−1]C．(3，+∞)D．[0，3]答案：AB解析：根据假命题的否定为真命题可知∀x∈M，x≤3，又∀x∈M，|x|>x，求出命题成立的条件，求交集即可知M满足的条件.∵∃x∈M，x>3为假命题,∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(−∞,3]，又∀x∈M，|x|>x为真命题，可得M⊆(−∞,0)，所以M⊆(−∞,0)，故选：AB小提示：本题主要考查了含量词命题的真假，集合的包含关系，属于中档题.11、下列说法中不正确的是（）A．0与{0}表示同一个集合B．集合M＝{3, 4}与N＝{(3, 4)}表示同一个集合C．方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1, 1, 2}D．集合{x|4<x<5 }不能用列举法表示答案：ABC分析：根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解.对于A中，0是一个元素（数），而{0}是一个集合，可得0∈{0}，所以A不正确；对于B中，集合M＝{3， 4}表示数3,4构成的集合，集合N＝{(3， 4)}表示点集，所以B不正确；对于C中，方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}，根据集合元素的互异性，可得方程(x−1)2(x−2)＝0的所有解的集合可表示为{1， 2}，所以C不正确；对于D中，集合{x|4<x<5}含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.故选：ABC.填空题12、关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且只有一个负实数根（含两相等实根）的充要条件为____________.答案：a≤0或a=1分析：根据方程根的情况，讨论a=0和a≠0两种情况，结合一元二次方程根的分布情况，以及充要条件的概念，即可求解.，符合题意.若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负实数根，则当a=0时，x=−12当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实数根，则Δ=4−4a≥0，解得a≤1，当a=1时，方程有且仅有一个负实数根x=−1，当a<1且a≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则1<0，即a<0.a所以当a≤0或a=1时，关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根.综上，“关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根中有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a≤0或a=1”.所以答案是：a≤0或a=1.13、设非空集合Q⊆M，当Q中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q是M的偶子集，若集合M={1,2,3,4,5,6,7}，则其偶子集Q的个数为___________.答案：63分析：对集合Q中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q的个数，综合可得结果.集合Q中只有2个奇数时，则集合Q的可能情况为：{1,3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、{5,7}，共6种，若集合Q中只有4个奇数时，则集合Q={1,3,5,7}，只有一种情况，若集合Q中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q中只含2个偶数，则集合Q可能的情况为{2,4}、{2,6}、{4,6}，共3种情况；若集合Q中只含3个偶数，则集合Q={2,4,6}，只有1种情况.因为Q是M的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q的个数为7；若集合Q中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q中的元素是2个奇数1个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数2个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.所以答案是：63.14、写出一个使得命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是假命题的实数a的值__________．（写出一个a的值即可）答案：−1分析：根据题意，假设命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当a=0和a≠0时两种情况，从而得出实数a的取值范围，再根据补集得出命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题时a的取值范围，即可得出满足题意的a的值.解：若命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，则当a=0时成立，当a≠0时有{a>0Δ=4a2−12a<0，解得：0<a<3，所以当0≤a<3时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，所以当a∈(−∞,0)∪[3,+∞)时，命题“∀x∈R,ax2−2ax+3>0恒成立”为假命题，所以答案是：−1.（答案不唯一，只需a∈(−∞,0)∪[3,+∞)）解答题15、已知命题p:∀1≤x≤2,x2−a≥0，命题q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0.（1）若命题¬p为真命题，求实数 a 的取值范围；（2）若命题 p 和¬q均为真命题，求实数 a 的取值范围.答案：（1）{a|a>1}；（2）{a|0<a≤1}.分析：（1）写出命题p的否定，由它为真命题求解；（2）由（1）易得命题p为真时a的范围，再由q为真命题时a的范围得出非q为真时a的范围，两者求交集可得．解：(1)根据题意，知当1≤x≤2时，1≤x2≤4.¬p:∃1≤x≤2,x2−a<0，为真命题，∴a>1.∴实数 a 的取值范围是{a|a>1}.(2)由(1)知命题 p 为真命题时，a≤1.命题 q 为真命题时，Δ=4a2−4(2a+a2)≥0，解得a≤0,∴¬q为真命题时，a>0.∴{a≤1a>0，解得0<a≤1，即实数 a 的取值范围为{a|0<a≤1}.。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语解题方法技巧单选题1、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.2、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据真子集的定义即可求解.由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个.故选：B.3、设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7}，则M∩N=（）A．{7,9}B．{5,7,9}C．{3,5,7,9}D．{1,3,5,7,9}答案：B分析：求出集合N后可求M∩N.N=(7,+∞)，故M∩N={5,7,9}，2故选：B.4、已知集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{−1,2}C．{−2,4}D．{−2,−1,4}答案：D分析：利用补集定义求出∁R A，利用交集定义能求出(∁R A)∩B．解：集合A={x|−1<x≤2}，B={−2,−1,0,2,4}，则∁R A={x|x≤−1或x>2}，∴(∁R A)∩B={−2,−1,4}．故选：D5、已知集合A={−1,1,2,4},B={x||x−1|≤1}，则A∩B=（）A．{−1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{−1,4}答案：B分析：方法一：求出集合B后可求A∩B.[方法一]：直接法因为B={x|0≤x≤2}，故A∩B={1,2}，故选：B.[方法二]：【最优解】代入排除法x=−1代入集合B={x||x−1|≤1}，可得2≤1，不满足，排除A、D；x=4代入集合B={x||x−1|≤1}，可得3≤1，不满足，排除C.故选：B.【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．6、已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A．{−1,0,1}B．{0,1}C．{−1,1}D．{0,1,2}答案：A分析：先计算集合B里的不等式，将B所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可. 不等式x2≤1，即−1≤x≤1，B=[−1,1]，A={−1,0,1,2}，B={x|−1≤x≤1}，所以A∩B={−1,0,1}；故选：A．7、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}答案：B分析：根据交集、补集的定义可求A∩(∁U B).由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}，故选：B.8、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.9、若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，若A∪B={1,2,4}，则实数m的取值集合为（）A．{−√2,√2}B．{2,√2}C．{−2,2}D．{−2,2,−√2,√2}答案：D分析：由题中条件可得m2=2或m2=4，解方程即可.因为A={1,m2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}，所以m2=2或m2=4，解得m=±√2或m=±2，所以实数m的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选：D.10、命题∃x∈R,x2+1≤0的否定是（）A．∀x∈R，x2+1>0B．∃x∈R，x2+1>0C．∀x∈R，x2+1≥0D．∃x∈R，x2+1≥0答案：A分析：根据特称命题的否定形式直接求解.特称命题的否定是全称命题，即命题“∃x∈R,x2+1≤0”的否定是“∀x∈R,x2+1>0”.故选：A填空题11、用符号“∈”或“∉”填空：（1）设集合B是小于√11的所有实数的集合，则2√3______B，1+√2______B；（2）设集合D是由满足方程y=x2的有序实数对(x,y)组成的集合，则－1______D，(−1,1)______D．答案：∉∈∉∈分析：（1）先判断2√3，1+√2与√11的大小关系，再根据元素与集合的关系求解，（2）集合D是点集，可知−1不在此集合中，再将(−1,1)代入函数解析式中验证即可.（1）∵2√3=√12>√11，∴2√3∉B．∵1+√2<3<√11，∴1+√2∈B．（2）∵集合D中的元素是有序实数对(x,y)，而－1不是有序实数对，∴−1∉D．∵(−1)2=1，∴(−1,1)是满足方程y=x2的有序实数对，∴(−1,1)∈D．所以答案是：∉，∈，∉，∈.12、命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的否定是__________．答案：∀x∈R，x＜1根据含有量词的命题的否定，即可得到命题的否定分析：特称命题的否定是全称命题，∴命题“∃x∈R，x≥1或x＞2”的等价条件为：“∃x∈R，x≥1”，∴命题的否定是：∀x∈R，x＜1．所以答案是：∀x∈R，x＜1．13、已知集合A={4,3,5m−6},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m=___________. 答案：−2或3##3或-2分析：利用子集关系B⊆A可知，4=m2或5m−6=m2，求出m再验证即得结果. ∵B⊆A，∴4=m2或5m−6=m2，解得m=2或m=−2或m=3，将m的值代入集合A、B验证，知m=2不符合集合的互异性，故m=−2或3.所以答案是：−2或3.14、集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B⊆A，则m＝___．答案：±2分析：根据B⊆A，得到集合B的元素都是集合A的元素，进而求出m的值．∵集合A={−1，2，4}，B={2，m2}，B⊆A，∴m 2=4，解得m =±2．所以答案是：±2．15、若“∃x ∈R,有k ≤−x 2+1 成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________答案：k ≤1分析：转化条件为k ≤(−x 2+1)max ，结合二次函数的性质即可得解.由题意可得k ≤(−x 2+1)max ，函数y =−x 2+1的最大值为1，∴k ≤1.所以答案是：k ≤1.解答题16、已知集合A ={x |x 2−2x −3>0 }，B ={x |x 2+px +q ≤0 }．（1）若A ∪B =R ，且A ∩B =[−2,−1)，求实数p 及q 的值；（2）在（1）的条件下，若关于x 的不等式组{x 2+px +q ≤0x −a >0没有实数解，求实数a 的取值范围； （3）若B =[−3,−1]，且关于x 的不等式；112kx 2+kx +pq ≤0的解集为∅，求实数k 的取值范围．答案：（1）p =−1，q =−6；（2）[3,+∞)；（3）[0,4).解析：（1）本题首先可通过求解x 2−2x −3>0得出A ={x |x >3 或x <−1}，然后根据A ∪B =R 、A ∩B =[−2,−1)得出集合B ={x |−2≤x ≤3 }，最后根据x =−2和x =3是方程x 2+px +q =0的解即可得出结果；（2）本题首先可结合（1）将{x 2+px +q ≤0x −a >0 转化为{−2≤x ≤3x >a ，然后根据{−2≤x ≤3x >a 没有实数解即可得出结果；（3）本题首先可根据B =[−3,−1]求出p =4、q =3，然后分为k ≠0、k =0两种情况对k 12x 2+kx +12≤0进行讨论，即可得出结果.（1）因为x 2−2x −3>0，即(x −3)(x +1)>0，解得x >3或x <−1，所以集合A ={x |x >3 或x <−1}，因为A ∪B =R ，A ∩B =[−2,−1)，所以集合B ={x |−2≤x ≤3 }，因为集合B ={x |x 2+px +q ≤0 }，所以x =−2和x =3是方程x 2+px +q =0的解，则{(−2)2−2p +q =032+3p +q =0，解得p =−1，q =−6. （2）因为p =−1，q =−6，所以x 2−x −6≤0，即(x −3)(x +2)≤0，解得−2≤x ≤3，故不等式组{x 2+px +q ≤0x −a >0没有实数解即{−2≤x ≤3x >a 没有实数解， 故a ≥3，实数a 的取值范围为[3,+∞).（3）因为B =[−3,−1]，所以x =−3和x =−1是方程x 2+px +q =0的解，则{9−3p +q =01−p +q =0，解得p =4，q =3， 112kx 2+kx +pq ≤0即k 12x 2+kx +12≤0， 因为k 12x 2+kx +12≤0的解集为∅， 所以若k ≠0，则{k 12>0k 2−4×k 12×12<0，解得0<k <4， 若k =0，k 12x 2+kx +12≤0即12≤0，解集为∅，综上所述，实数k 的取值范围为[0,4).小提示：本题考查集合与一元二次不等式的性质的综合应用，考查根据交集、并集的相关性质求集合，考查一元二次不等式的解法，考查推理能力与计算能力，考查函数方程思想，体现了综合性，是难题.17、已知全集U =R ，集合A ={x|x 2−4x −5≤0}，B ={x|2≤x ≤4}.（1）求A ∩(C U B )；（2）若集合C ={x|a ≤x ≤4a,a >0}，满足C ∪A =A ，C ∩B =B ，求实数a 的取值范围.答案：（1）{x|−1≤x <2 或4<x ≤5}.；（2）{a|1≤a ≤54}.分析：（1）求出A 以及∁U B 后可得A ∩(C U B ).（2）根据集合等式关系可得B ⊆C ⊆A ，故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数a 的取值范围.（1）由题A ={x|−1≤x ≤5}，C U B ={x|x <2 或x >4}，A ∩(C UB )={x|−1≤x <2 或4<x ≤5}.（2）由C ∪A =A 得C ⊆A ，则{a ≥−14a ≤5a >0，解得0<a ≤54， 由C ∩B =B 得B ⊆C ，则{a ≤24a ≥4a >0，解得1≤a ≤2， ∴实数a 的取值范围为{a|1≤a ≤54}． 小提示：本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.18、设α:m −1≤x ≤2m ，β:2≤x ≤4，m ∈R ，α是β的必要条件，但α不是β的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：[2,3]分析：由题意可知α是β的必要不充分条件，可得出集合的包含关系，进而可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.由题意可知，α是β的必要不充分条件，所以，{x |m −1≤x ≤2m }{x |2≤x ≤4 }，所以{m −1≤22m ≥4，解之得2≤m ≤3. 因此，实数m 的取值范围是[2,3].19、已知集合A ={x|−1≤x ≤2},B ={y|y =ax +3,x ∈A }，C ={y|y =2x +3a,x ∈A }，（1）若∀y 1∈B ，∀y 2∈C ，总有y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；（2）若∀y 1∈B ，∃y 2∈C ，使得y 1≤y 2成立，求实数a 的取值范围；答案：（1）a ≥5；（2）a ≥−14.分析：（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，由题设可得y 1max ≤y 2min ，建立不等式组，解之可得答案.（2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，建立不等式组，解之可得答案.（1）设y 1=ax +3，y 2=2x +3a ，其中−1≤x ≤2， 由题设可得y 1max ≤y 2min ，即y 1max ≤3a −2，故{−a +3≤−2+3a 2a +3≤−2+3a ， 解得a ≥5.（2）由题设可得y 1max ≤y 2max ，故{−a +3≤4+3a 2a +3≤4+3a ，解得a ≥−14.。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识总结例题单选题1、集合M ={2,4,6,8,10},N ={x |−1<x <6 }，则M ∩N =（ ）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M ={2,4,6,8,10}，N ={x|−1<x <6}，所以M ∩N ={2,4}．故选：A.2、已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝（ ）A ．{x |0≤x <1}B ．{x |－1<x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |0<x <1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，故选：B.3、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ）A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案.若A =B ，则{x =x 2y =2y 或{x =2yy =x 2 ，解得{x =0y =0 或{x =1y =0 或{x =12y =14，由集合中元素的互异性，得{x =12y =14，则x −y =12−14=14，故选：C ．4、已知集合M ={x |1−a <x <2a }，N =(1,4)，且M ⊆N ，则实数a 的取值范围是（）A ．(−∞,2]B ．(−∞,0]C ．(−∞,13]D ．[13,2]答案：C分析：按集合M 是是空集和不是空集求出a 的范围，再求其并集而得解.因M ⊆N ，而ϕ⊆N ，所以M =ϕ时，即2a ≤1−a ，则a ≤13，此时M ≠ϕ时，M ⊆N ，则{1−a <2a 1−a ≥12a ≤4 ⇒{a >13a ≤0a ≤2，无解，综上得a ≤13，即实数a 的取值范围是(−∞,13].故选：C5、已知集合A ={x |x+2x−4<0 }，B ={0,1,2,3,4,5}，则(∁R A )∩B =（ ）A ．{5}B ．{4,5}C ．{2,3,4}D ．{0,1,2,3}答案：B分析：首先化简集合A ，再根据补集的运算得到∁R A ，再根据交集的运算即可得出答案.因为A ={x |x+2x−4<0 }=(−2,4)，所以∁R A={x|x≤−2或x≥4}.所以(∁R A)∩B={4,5}故选：B.6、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A7、集合A={x|x<−1或x≥3}，B={x|ax+1≤0}若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．[−13,1)B．[−13,1]C．(−∞,−1)∪[0,+∞)D．[−13,0)∪(0,1)答案：A分析：根据B⊆A，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，建立不等关系即可求实数a的取值范围．解：∵B⊆A，∴①当B=∅时，即ax+1⩽0无解，此时a=0，满足题意．②当B≠∅时，即ax+1⩽0有解，当a>0时，可得x⩽−1a，要使B⊆A，则需要{a>0−1a<−1，解得0<a<1．当a<0时，可得x⩾−1a，要使B⊆A，则需要{a<0−1a⩾3，解得−13⩽a<0，,1)．综上，实数a的取值范围是[−13故选：A．小提示：易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为∅.8、已知集合A，B，定义A﹣B＝{x|x∈A且x∉B}，A+B＝{x|x∈A或x∈B}，则对于集合M，N下列结论一定正确的是（）A．M﹣（M﹣N）＝N B．（M﹣N）+（N﹣M）＝∅C．（M+N）﹣M＝N D．（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅答案：D解析：根据集合的新定义逐一判断即可.解：根据题中的新定义得：M﹣N＝{x|x∈M且x∉N}，N−M={x|x∈N且x∉M}，M+N={x∈M或x∈N}，对于A，M﹣（M﹣N）＝M∩N，故A不正确；对于B，设M={1,2,3}，N={2,3,4}，则（M﹣N）+（N﹣M）＝{1,4}，故B不正确；对于C，设M={1,2,3}，N={2,3,4}，则（M+N）﹣M＝{4}≠N，故C不正确；对于D，根据题中的新定义可得：（M﹣N）∩（N﹣M）＝∅．故选：D．9、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a ∈A,b ∈A 时a +b 最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B = {−2,−1,0,1,2}故选：D10、已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}答案：D分析：根据交集的定义写出A ∩B 即可．集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}，故选：D填空题11、已知条件p:2k −1≤x ≤2，q:−5≤x ≤3，p 是q 的充分条件，则实数k 的取值范围是_______． 答案：[−2,+∞)分析：设A ={x |2k −1≤x ≤2 }，B ={x |−5≤x ≤3 }，则A ⊆B ，再对A 分两种情况讨论得解.记A ={x |2k −1≤x ≤2 }，B ={x |−5≤x ≤3 }，因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B .当A =∅时，2k −1>2，即k >32，符合题意；当A ≠∅时，k ≤32，由A ⊆B 可得2k −1≥−5，所以k ≥−2，即−2≤k ≤32.综上所述，实数的k 的取值范围是[−2,+∞)．所以答案是：[−2,+∞)．12、若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ={−1,0,13,12,1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为_________________.答案：15分析：首先确定具有伙伴集合的元素有1，−1，“3和13” ，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.因为1∈A ，11=1∈A ；−1∈A ，1−1=−1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ；这样所求集合即由1，−1，“3和13” ，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24−1=15，所以答案是：15.13、设集合A ={(x,y)|x +y =3,x ∈N ∗,y ∈N ∗}，则用列举法表示集合A 为______．答案：{(1,2),(2,1)}分析：根据题意可得{x >0y =3−x >0，则0<x <3，对x =1,2代入检验，注意集合的元素为坐标． ∵x +y =3,x ∈N ∗,y ∈N ∗，则可得{x >0y =3−x >0，则0<x <3 又∵x ∈N ∗，则当x =1,y =2成立，当x =2,y =1成立，∴A ={(1,2),(2,1)}所以答案是：{(1,2),(2,1)}．14、已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，则实数a 的取值范围是 __.答案：a ≥−14分析：根据命题p 为假命题，则它的否定￢p 是真命题，利用判别式Δ≥0求出实数a 的取值范围.解：因为命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，所以它的否定￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ﹣a ≤0为真命题，所以Δ＝12﹣4×（﹣a ）≥0，解得a ≥−14.所以答案是：a ≥−1415、已知集合A ={1,3,5,7,9}，B ={x ∈Z |2≤x ≤5}，则A ∩B =_____________．答案：{3,5}分析：首先确定集合B，由交集定义可得结果.∵B={x∈Z|2≤x≤5}={2,3,4,5}，∴A∩B={3,5}.所以答案是：{3,5}.解答题∈N+}，B={x|x=2a,a∈A}.16、已知全集U={1,2,4,6,8}，集合A={x∈N+|4x(1)求A∪B；(2)写出∁U(A∩B)的所有非空真子集.答案：(1)A∪B={1,2,4,8}(2){1}，{6}，{8}，{1,6}，{1,8}，{6,8}分析：（1）根据题意求出集合A,B，然后结合并集的概念即可求出结果；（2）根据集合间的基本运算求出∁U(A∩B)，进而根据非空真子集的概念即可求出结果.（1）由题意得A={1,2,4}，B={2,4,8}，故A∪B={1,2,4,8}.（2）由题意得A∩B={2,4}，∁U(A∩B)={1,6,8}，故∁U(A∩B)的所有非空真子集为{1}，{6}，{8}，{1,6}，{1,8}，{6,8}.17、已知集合A={x|m−1<x<m2+1}，B={x|x2<4}．（1）当m=2时，求A∪B，A∩B；（2）若′′x∈A′′是′′x∈B′′成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．答案：（1）(−2,5)，(1,2)；（2）−1<m≤1分析：（1）当m=2时，A={x|1<x<5}，B={x|−2<x<2}，根据交集并集运算法则即可得解；（2）根据A 是B 的真子集，建立不等关系求解参数范围.（1）当m =2时，A ={x|1<x <5}，B ={x|−2<x <2}，A ∪B =(−2,5)，A ∩B =(1,2)；（2）若′′x ∈A′′是′′x ∈B′′成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，m −1≥m 2+1或{m −1<m 2+1m −1≥−2m 2+1≤2解得：−1≤m ≤1，因为m =-1时为充要条件，不合题意，所以−1<m ≤118、已知集合A ={x |(x −a )(x +a +1)≤0}，B ={x |x ≤3 或x ≥6}.（1）当a =4时，求A ∪B ；（2）当a >0时，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围.答案：（1）A ∪B ={x |x ≤4 或x ≥6}；（2）(0,3].解析：（1）当a =4时，解出集合A ，计算A ∪B ；（2）由集合法判断充要条件，转化为A ⊆B ，进行计算.解：（1）当a =4时，由不等式(x −4)(x +5)≤0，得−5≤x ≤4，故A ={x |−5≤x ≤4}，又B ={x |x ≤3 或x ≥6}，所以A ∪B ={x |x ≤4 或x ≥6}.（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，等价于A ⊆B ，因为a >0，由不等式(x −a )(x +a +1)≤0，得A ={x |−a −1≤x ≤a }，又B ={x |x ≤3 或x ≥6}，要使A ⊆B ，则a ≤3或−a −1≥6，综合可得a 的取值范围为(0,3].小提示：名师点评有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；(2)若p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；(3)若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；(4)若p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对应集合与p 对应集合互不包含．19、已知p:∃x ∈R ，x 2+ax +2=0.q:∀x ∈(0,1)，x 2−a <0.(1)若p 为真命题，求a 的取值范围；(2)若p ，q 一个是真命题，一个是假命题，求a 的取值范围．答案：(1)[2√2,+∞)∪(−∞,−2√2](2)(−∞,−2√2]∪[1,2√2)分析：（1）根据p 为真命题，则Δ≥0，解之即可；（2）分别求出p ，q 是真命题时，a 的范围，再分p 是真命题，q 是假命题时和p 是假命题，q 是真命题时，两种情况讨论，即可得出答案.（1）解：由p:∃x ∈R ，x 2+ax +2=0，若p 为真命题，则Δ=a 2−8≥0，解得a ≥2√2或a ≤−2√2，所以a 的取值范围为[2√2,+∞)∪(−∞,−2√2]；（2）解：若q 为真命题时，则a >x 2对∀x ∈(0,1)恒成立，所以a ≥1，若p ，q 一个是真命题，一个是假命题，当p 是真命题，q 是假命题时，则{a ≥2√2a <1 或{a ≤−2√2a <1，解得a ≤−2√2，当p 是假命题，q 是真命题时，则{−2√2<a <2√2a ≥1，解得1≤a <2√2， 综上所述a ∈(−∞,−2√2]∪[1,2√2).。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语考点题型与解题方法单选题1、已知集合M ={x |x =2k +1,k ∈Z }，集合N ={y |y =4k +3,k ∈Z }，则M ∪N =（ ）A ．{x |x =6k +2,k ∈Z }B ．{x |x =4k +2,k ∈Z }C ．{x |x =2k +1,k ∈Z }D ．∅答案：C分析：通过对集合N 的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M ={x|x =2k +1,k ∈Z}，集合N ={y|y =4k +3,k ∈Z}={y|y =2(2k +1)+1,k ∈Z}，因为x ∈N 时，x ∈M 成立，所以M ∪N ={x|x =2k +1,k ∈Z}.故选：C.2、若集合A ={1,m 2}，集合B ={2,4}，若A ∪B ={1,2,4}，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{−√2,√2}B ．{2,√2}C ．{−2,2}D ．{−2,2,−√2,√2}答案：D分析：由题中条件可得m 2=2或m 2=4，解方程即可.因为A ={1,m 2}，B ={2,4}，A ∪B ={1,2,4}，所以m 2=2或m 2=4，解得m =±√2或m =±2，所以实数m 的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选：D.3、已知“命题p:∃x ∈R,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题，则实数a 满足（ ）A ．[0，1)B ．(-∞，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，1]答案：B分析：讨论a =0或a ≠0，当a =0时，解得x <−12，成立；当a ≠0时，只需{a >0Δ>0或a <0即可.若a=0时，不等式ax2+2x+1<0等价为2x+1<0，解得x<−12，结论成立. 当a≠0时，令y=ax2+2x+1，要使ax2+2x+1<0成立，则满足{a>0Δ>0或a<0，解得0<a<1或a<0，综上a<1，故选：B.小提示：本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.4、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.5、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．6、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q> 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．7、设集合M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，则M∩N=（）A．{x|0<x≤13}B．{x|13≤x<4}C．{x|4≤x<5}D．{x|0<x≤5}答案：B分析：根据交集定义运算即可因为M={x|0<x<4},N={x|13≤x≤5}，所以M∩N={x|13≤x<4},故选：B.小提示：本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.8、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.多选题9、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．10、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.11、定义集合运算：A⊗B={z∣z=(x+y)×(x−y),x∈A,y∈B}，设A={√2,√3}，B={1,√2}，则（）A．当x=√2，y=√2时，z=1B．x可取两个值，y可取两个值，z=(x+y)×(x−y)有4个式子C．A⊗B中有4个元素D．A⊗B的真子集有7个答案：BD分析：根据集合的定义可求出A⊗B，从而可判断各项的正误.A⊗B={z∣z=x2−y2,x∈A,y∈B}={1,0,2}，故A⊗B中有3个元素，其真子集的个数为23−1=7，故C错误，D正确.当x=√2，y=√2时，z=0，故A错误.x可取两个值，y可取两个值，z=(x+y)×(x−y)共有4个算式，分别为：(√2+1)(√2−1),(√3+1)(√3−1)，(√3+√2)(√3−√2),(√2+√2)(√2−√2)，故B正确．故选：BD．小提示：本题考查新定义背景下集合的计算、集合子集个数的计算，注意不同的算式可以有相同的计算结果，另外，注意集合中元素的互异性对于集合表示的影响，本题属于基础题．填空题12、若命题“∃x0∈R，x02−2x0−a=0”为假命题，则实数a的取值范围是______.答案：a<−1；解析：根据命题为假得到x2−2x−a>0恒成立，计算得到答案.命题“∃x0∈R，x02−2x0−a=0”为假命题，故x2−2x−a>0恒成立.Δ=4+4a<0，故a<−1.所以答案是：a<−1.小提示：本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的推断能力.13、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：014、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x 2+ax +4=0的一根为1，则a =−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x 2+ax +4=0的根，则方程两根x 2+x 3=−a =2，此时a =−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．解答题15、已知集合A ={x|m −1<x <m 2+1}，B ={x|x 2<4}．（1）当m =2时，求A ∪B ，A ∩B ；（2）若′′x ∈A′′是′′x ∈B′′成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．答案：（1）(−2,5)，(1,2)；（2）−1<m ≤1分析：（1）当m =2时，A ={x|1<x <5}，B ={x|−2<x <2}，根据交集并集运算法则即可得解；（2）根据A 是B 的真子集，建立不等关系求解参数范围.（1）当m =2时，A ={x|1<x <5}，B ={x|−2<x <2}，A ∪B =(−2,5)，A ∩B =(1,2)；（2）若′′x ∈A′′是′′x ∈B′′成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，m −1≥m 2+1或{m −1<m 2+1m −1≥−2m 2+1≤2解得：−1≤m ≤1，因为m =-1时为充要条件，不合题意，所以−1<m ≤1。