知识讲解_常用逻辑用语 全章复习与巩固

常用逻辑用语充分条件与必要条件1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p ⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【练习】1．“x＞1”是“x＞2”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知a是实数，则“a＜﹣1”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若x，y∈R，则“x＞y”的一个充分不必要条件可以是（）A．|x|＞|y| B．x2＞y2C．D．2x﹣y＞24．设x∈R，则“”是“x＞3”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．设a，b∈R，则“”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．“x＞1”是“x≥1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件全称量词与特称量词、全称命题与特称命题【全称量词】：短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词．符号：∀全称量词：对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．【全称命题】含有全称量词的命题．“对任意一个x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，现列表如下命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【存在量词】：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．【特称命题】含有存在量词的命题．“∃x∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．“存在一个”，“至少有一个”叫做存在量词．命题全称命题∀x∈M，p（x）特称命题∃x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在x0∈M，使p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【练习】1．下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零 B．自然数都是正整数C．高一（1）班绝大多数同学是团员 D．每一个实数都有大小2．下列命题含有全称量词的是（）A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数C．方程x2+2x+5＝0有实数解 D．素数中只有一个偶数3．已知命题“∀x∈[1，2]，2x+x﹣a＞0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．x≤5 B．x≥6 C．x≤3 D．x≥34．若命题“∀x∈[﹣1，2]，x2+1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是（）A．x≤0 B．x≤1 C．x≤2 D．x≤55．命题“∀x∈R，mx2﹣2mx+1＞0”是假命题，则实数m的取值范围为（）A．0≤m＜1 B．m＜0或m≥1 C．m≤0或m≥1 D．0＜m＜16．已知命题p：“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．x≤2 B．2<x<2C．x≤2或x≥2 D．2≤x≤27．已知命题p：∃x∈R，使得ax2+2x+1＜0成立为真命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1）C．[0，1）D．（0，1]命题的否定全称命题的否定一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p（x）它的否命题¬p：∃x0∈M，¬p（x0）．写全称命题的否定的方法：（1）更换量词，将全称量词换为存在量词，即将“任意”改为“存在”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，全称命题的否定的特称命题．特称命题的否定一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定，有下面的结论：特称命题p：∃x0∈M，p（x0）它的否命题¬p：∀x∈M，¬p（x）．写特称命题的否定的方法：（1）更换量词，将存在量词换为全称量词，即将“存在”改为“任意”；（2）将结论否定，比如将“＞”改为“≤”．值得注意的是，特称命题的否定的全称命题．【练习】1．命题p：∃n∈N，n2≥2n，则命题p的否定为（）A．∀n∈N，n2≤2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2＜2n D．∃n∈N，n2＜2n2．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是（）A．∃x0≤1，B．∀x＞1，x2﹣x≤0C．∃x0＞1，D．∀x≤1，x2﹣x＞03．命题“∃x0∈R，使得”的否定为（）A．B．∃x0∈R，使得C．D．∃x0∈R，使得4．命题“∀x∈R，x2＞1﹣2x”的否定是（）A．∀x∈R，x2＜1﹣2x B．∀x∈R，x2≤1﹣2xC．∃x∈R，x2≤1﹣2x D．∃x∈R，x2＜1﹣2x5．命题“∃a∈R，ax2+1＝0有实数解”的否定是（）A．∀a∈R，ax2+1≠0有实数解B．∃a∈R，ax2+1＝0无实数解C．∀a∈R，ax2+1＝0无实数解D．∃a∈R，ax2+1≠0有实数解四种命题（原命题、否命题、逆命题、逆否命题）常见词语的否定如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n﹣1个至少有两个存在一个x不成立【练习】1．下列语句是命题的是（）A．0是偶数吗？B．这个数学问题真难啊！C．你好烦，出去！D．关于x的方程x2＝1无解2．下列语句是命题的是（）A．空集是任何集合的子集B．指数函数是增函数吗？C．x＞15 D．2x﹣1＜03．设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2＝m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2＝m有实根，则m≥0 B．若方程x2＝m有实根，则m＜0C．若方程x2＝m没有实根，则m≥0 D．若方程x2＝m没有实根，则m＜04．命题“若x2+y2＞2，则|x|＞1或|y|＞1”的否命题是（）A．若x2+y2＞2，则|x|≤1且|y|≤1 B．若x2+y2≤2，则|x|≤1或|y|≤1C．若x2+y2≤2，则|x|≤1且|y|≤1 D．若x2+y2＞2，则|x|≤1或|y|≤15．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思！”这首《相思》是唐代山水田园诗人王维的作品，王维字摩诘，号摩诘居士．苏轼有云：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗．”这首《相思》中，在当时的条件下，其中可以作为命题的诗句是（）A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思6．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（）A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．07．命题“若x＝﹣3，则x2+2x﹣3＝0”的逆否命题是（）A．若x≠﹣3，则x2+2x﹣3≠0 B．若x＝﹣3，则x2+2x﹣3≠0C．若x2+2x﹣3≠0，则x≠﹣3 D．若x2+2x﹣3≠0，则x＝﹣38．已知原命题“若a＝1，则（a﹣1）（a﹣2）＝0”，那么原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题9．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的（）A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题逻辑联结词“或”、“且”、“非”【或】一般地，用连接词“或”把命题和命题连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p或q”．规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pⅤq是假命题．【且】一般地，用连接词“且”把命题p和命题q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”．规定：当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替．【非】一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定．规定：若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题．“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：p￢p真假假真“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p或q”、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p或非q”，“都”的否定是“不都”．“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．【复合命题及其真假】若原命题P为真，则¬P必定为假，但否命题可真可假，与原命题的真假无关，否命题与逆命题是等价命题，同真同假．【练习】1．在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“两位学员都没有降落在指定范围”可表示为（）A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q）C．p∨q D．（￢p）∧（￢q）2．命题“12既是4的倍数，又是3的倍数”的形式是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p D．简单命题3．设p：4是素数，q：4是偶数，则“4既不是素数，也不是偶数”可符号化为（）A．￢p∨￢q B．p∧q C．￢p∧￢q D．￢p→￢q4．对于命题p，q，若p∧q是假命题，p∨￢q是假命题，则下列判断正确的是（）A．p，q都是真命题B．p，q都是假命题C．p是真命题，q是假命题D．p是假命题，q是真命题5．已知是无理数，命题q：∃x∈R，x2＜0，则为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∨q D．￢（p∨q）6．已知命题p：“若b＜a，则”；命题q：“a＝x2﹣x，b＝x﹣2，则a＞b”．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧（￢q） C．p∨（￢q）D．（￢p）∨q7．已知p：∀x＞0，x2+3x＞0；q：∃x∈R，x2+1＝0．则下列命题中，真命题是（）A．¬p∧q B．¬p∨q C．p∧¬q D．p∧q8．已知p：﹣2＜a＜2，q：关于x的方程x2﹣x+a＝0有实数根．（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若p∨q为真命题，￢q为真命题，求实数a的取值范围．9．设p：（3﹣k）（1+k2）＞0；q：关于x的方程x2﹣2kx+k＝0无实根．（1）若q为真命题，求实数k的取值范围；（2）若p∧q是假命题，且p∨q是真命题，求实数k的取值范围．10．命题p：∀x∈R，x2﹣2ax+3a＞0；命题q：∃x∈R，x2﹣2x+a＜0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围．。

6
三.逻辑联结词
• “或” A B x x A 或 x B
• “且” A B x A 且 x B
• “非” A xx U 且 x A
真假判断： （1）p且q----p、q有假则假； （2）p或q----p、q有真则真；
⑶“ p”─ p 的全盘否定，p 与p 你真我假.
7
四．全称命题 p: x M , p(x) .
解题时互可考虑原命 的否逆否命题
逆否命题 若 q,则 p
注:(1) “互为”的; (2)原命题与其逆否命题同真同假. (3)逆命题与否命题同真同假.
3
二、充要条件、必要条件的判定
对于充分条件和必要条件，要能够正确地理解和判断
(1)从概念的角度去理解． 若pq，则p是q的充要条件． 若p q，且q p，则称p是q的充分不必要条件． 若p q，且qp，则称p是q的必要不充分条件． 若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件
10
3答案
练习三: 1. 已 知 命 题 p: 方 程 x2 3x 2 0 的 根 是 x=2; 命 题 q: 方 程 x2 3x 2 0 的根是 x=1,则命题 p或q 为____________.
方程 x2 3x 2 0 的根一定是 x=2 或一定是 x=1
2. 写 出 命 题 “ a 、 b 、 c R ， 若 x a2 2b 1 ， y b2 2c 1 ， z c2 2a 1 ，则 x 、 y 、 z 中至少有一个不 小于 0”的否定为____________________.
a 2x 11
2x
2
对 一 切 正 实 数 x均 成 立
x
x( 2 x 1 1) 2 x 1 1
由 于 x 0 , 2 x 1 1, 2 x 1 1 2 ,

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 20 —
解析 若∠BAD＝90°，则四边形ABCD为矩形或直角梯形，若四边形ABCD为直 角梯形，则∠BAD不一定为90°，所以“∠BAD＝90°”是“四边形ABCD为直角梯 形”的既不充分也不必要条件．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 9—
3．(2022·天津南开一模)设a∈R，则“a>3”是“a2>4”的( A ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由a2>4，解得a<－2或a>2，∴由“a>3”可推出“a2>4”，而由“a2>4”推不出 “a>3”，∴“a>3”是“a2>4”的充分不必要条件．
— 27 —
解析 (1)命题“∀n∈Z，n∈Q”的否定为“∃n∈Z，n∉Q”． (2)因为命题p是存在量词命题，存在量词的否定为全称量词，且否定结论，所 以命题p的否定是“所有的等差数列都不是等比数列”．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 28 —
考向2 含量词命题的真假判断 例4 (多选)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正 确的是( AB ) A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉B C．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B
A．－1<x<－12
B．x>0
C．－1<x<0
D．x<0
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 14 —

方法总结
全称命题与特称命题的否定
(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词
的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．
考向2 全称、特称命题的真假判断
1．(202X届沈阳一中高三月考)下列四个命题中真命题是( B )
A． ∀n∈R，n2≥n
B． ∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝m
名称
情势
结构
全称命题
特称命题
对M中的任意一个x， 存在M中的一个x0，使
有p(x)成立
p(x0)成立
简记
∀x∈M，p(x)
_____________
∃x0∈M，p(x0)
______________
否定
∃x0∈M, ﹁p(x0)
﹁p(x)
∀x∈M
________，
常用结论
基础小测
1．命题∀ x∈R，x2＋x≥0的否定是( B )
1
2
－m，若对∀x1∈[0，3]，
∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是
1
, +∞
_________．
4
方法总结
根据命题的真假求参数的取值范围的步骤
(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；
(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；
(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集
(－∞，0]
必要不充分条件，则实数a的取值范围为____________．
3．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的
充要条件是 ( D )
A．－1＜x≤1

《常用逻辑用语》全章复习与巩固【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q ”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识网络】【要点梳理】 要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x（3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件 对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法 （1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“ÜA B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p和q分别表示原命题的条件和结论，用⌝p和⌝q分别表示p和q的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若⌝p则⌝q；逆否命题：若⌝q则⌝p.四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一.②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断；（2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：命题的真假判断（利用真值表）：（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：①当p、q同时为假时，“p或q”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”；②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题 全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

复习课(一) 常用逻辑用语命题及其关系通过选择题、填空题的方式设置一些多知识点、知识跨度大的试题，考查命题及其关系，以及对命题真假的判断．[考点精要]四种命题的相互改写交换原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的逆命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．[注意] 互为逆否命题的两个命题，它们具有相同的真假性．[典例] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题并判断它们的真假．(1)垂直于同一平面的两条直线平行；(2)当mn<0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根．[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若两条直线平行，则这两条直线垂直于同一个平面．(假命题)否命题：若两条直线不垂直于同一个平面，则这两条直线不平行．(假命题)逆否命题：若两条直线不平行，则这两条直线不垂直于同一个平面．(真命题)(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．它的逆命题、否命题和逆否命题如下：逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn<0.(假命题)否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假命题)逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真命题)[类题通法]简单命题真假的判断方法[题组训练]1．命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上是增函数，则a ≤2”的否命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题一真一假 C ．为假命题D ．为真命题解析：选D 原命题显然为真，原命题的否命题为“若函数f (x )＝x 2－ax ＋3在[1，＋∞)上不是增函数，则a >2”，为真命题，故选D.2．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若a >b ，则3a >3b”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b”的逆否命题解析：选A 对于A ，逆命题是“若3a >3b，则a >b ”，是真命题；对于B ，否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；对于C ，否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题，因为当x ＝0时，x 2－x ＝0；对于D ，逆否命题是“若1a ≥1b，则a ≤b ”，是假命题，如a ＝1，b ＝－1.故选A.3．下列说法中错误的个数是( )①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数” ②命题“若x >1，则x －1>0”的否命题是“若x ≤1，则x －1≤0” ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”④命题“x ＝－4是方程x 2＋3x －4＝0的根”的否命题是“x ＝－4不是方程x 2＋3x －4＝0的根”A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x 2＋3x －4＝0的根”.充分条件与必要条件充要条件是数学的重要概念之一，在数学中有着非常广泛的应用，在高考中有着较高的考查频率，其特点是以高中数学的其他知识为载体考查充分条件、必要条件、充要条件的判断．[考点精要]充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．[典例] (1)(2017·某某高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2017·某某高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6，故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分而不必要条件． [答案] (1)C (2)A [类题通法]充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．[题组训练]1．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．3．对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B 当x＝1.8，y＝0.9时，满足|x－y|<1，但〈1.8〉＝2，〈0.9〉＝1，即〈x〉≠〈y〉；当〈x〉＝〈y〉时，必有|x－y|<1，所以“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的必要不充分条件，故选B.含有逻辑联结词、量词的命题的真假，以及全称命题，特称命题的否定．[考点精要]1．含有逻辑联结词的命题与集合之间的关系2．全称命题、特称命题的否定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”，特称命题“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”．[典例] (1)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0(2)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，π；p 3：|a －b |>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3；p 4：|a －b |>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] (1)已知全称命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)≥0，则綈p ：∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0，故选C.(2)由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立．[答案] (1)C (2)A [类题通法]1．判断含有逻辑联结词的命题真假的方法 (1)先确定简单命题p ，q .(2)分别确定简单命题p ，q 的真假． (3)利用真值表判断所给命题的真假． 2．判断含有量词的命题真假的方法(1)全称命题的真假判定：要判定一个全称命题为真，必须对限定集合M 中每一个x 验证 p (x )成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需举出一个反例即可．(2)特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M 中，能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题为假．(3)全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的否定一定是全称命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定．[题组训练]1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：选C 由题意p 与q 均为假命题，故p ∧q 为假．2．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________________．解析：这里给出的是一个特称命题，其否定是一个全称命题．等于的否定是不等于． 答案：对任意的x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠03．已知p ：点M (2,3)在直线ax －y ＋1＝0上，q ：方程x 2＋y 2＋x ＋y ＋a ＝0表示圆，p ∨q 是假命题，某某数a 的取值X 围．解：当p 是真命题时，2a －3＋1＝0，即a ＝1， 所以当p 是假命题时，a ≠1；当q 是真命题时，1＋1－4a >0，即a <12，所以当q 是假命题时，a ≥12.又p ∨q 是假命题，所以p ，q 均为假命题， 所以a ≥12且a ≠1，所以实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)．1．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( ) A ．綈p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B C ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B解析：选C 命题p 是全称命题：∀x ∈M ，p (x )，则綈p 是特称命题：∃x ∈M ，綈p (x )．故选C.2．命题p ：若ab ＝0，则a ＝0；命题q ：若a ＝0，则ab ＝0，则( ) A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假D ．p 假q 真解析：选D 由条件易知：命题p 为假命题，命题q 为真命题，故p 假q 真．从而“p 或q ”为真，“p 且q ”为假．3．下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0 B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件解析：选D ∵∀x ∈R ，e x >0，∴A 错；∵函数y ＝2x 与y ＝x 2的图象有交点，如点(2,2)，此时2x＝x 2，∴B 错；∵当a ＝b ＝0时，a ＋b ＝0，而0作分母无意义，∴C 错；a >1，b >1，由不等式可乘性知ab >1，∴D 正确．4．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 先证“α⊥β⇒a ⊥b ”．∵α⊥β，α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，∴b ⊥α.又∵a ⊂α，∴b ⊥a ；再证“a ⊥b ⇒/ α⊥β”．举反例，当a ∥m 时，由b ⊥m 知a ⊥b ，此时二面角α­m ­β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β.故选A.5．下列有关命题的说法错误的是( )A ．命题“若x 2－1＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－1≠0” B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 C ．若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝1D ．对于命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0 解析：选C A 显然正确；当x ＝1时，x 2－3x ＋2＝0成立，但x 2－3x ＋2＝0时，x ＝1或x ＝2，故“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，B 正确；若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0}中只有一个元素，则k ＝0或k ＝1，故C 错误；D 显然正确．6．已知p ：m －1<x <m ＋1，q ：(x －2)(x －6)<0，且q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值X 围是( )A ．(3,5)B ．[3,5]C ．(－∞，3)∪(5，＋∞)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)解析：选B p ：m －1<x <m ＋1，q ：2<x <6.因为q 是p 的必要不充分条件，所以由p 能得到q ，而由q 得不到p ，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧m －1>2，m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥2，m ＋1<6.解得3≤m ≤5.7．命题“在△ABC 中，如果∠C ＝90°，那么c 2＝a 2＋b 2”的逆否命题是__________________________________．答案：在△ABC 中，若c 2≠a 2＋b 2，则∠C ≠90°8．设p ：x >2或x <23；q ：x >2或x <－1，则綈p 是綈q 的________条件．解析：綈p ：23≤x ≤2.綈q ：－1≤x ≤2.因为綈p ⇒綈q ，但綈q ⇒/ 綈p . 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要9．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．解析：命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”为真，则a ≤x 2，x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1. 命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真， 则“4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0”，解得a ≤－2或a ≥1. 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值X 围是(－∞，－2]∪{1}． 答案：(－∞，－2]∪{1}10．已知p ：x 2－8x －20＞0，q ：x 2－2x ＋1－a 2＞0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．解：p ：x 2－8x －20＞0⇔x ＜－2或x ＞10， 令A ＝{x |x <－2或x >10}，∵a ＞0，∴q ：x ＜1－a 或x ＞1＋a ， 令B ＝{x |x <1－a 或x >1＋a }， 由题意p ⇒q 且q ⇒/ p ，知A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a <10，1－a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1＋a ≤10，1－a >－2⇒0＜a ≤3，∴a 的取值X 围为(0,3]．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3－2≤x ≤12.(1)求函数f (x )的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，某某数m 的取值X 围．解：(1)作出函数f (x )的图象，可知函数f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12上单调递增，故f (x )min ＝f (－2)＝1.(2)对于命题p ，m 2＋2m －2≤1， 故－3≤m ≤1； 对于命题q ，m 2－1>1，故m >2或m <－ 2.由于“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 与q 一真一假．①若p 真q 假，则⎩⎨⎧－3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1.②若p 假q 真，则⎩⎨⎧m >1或m <－3，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2. 故实数m 的取值X 围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。

故选A.
解题心得充要条件的三种判断方法:
(1)定义法:根据p⇒q,q⇒p是否同时成立进行判断.
(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:指对所给题目的条件进行一系列的等价转化,直到转化成
容易判断充要条件为止.
对点训练1(1)(2020河南开封三模,文3,理3)已知a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的
B.存在偶函数的图像关于y轴对称
C.存在偶函数的图像不关于y轴对称
D.不存在偶函数的图像不关于y轴对称
答案 C
解析 “偶函数的图像关于y轴对称”等价于“所有的偶函数的图像关于y轴对
称”,根据全称命题进行否定规则,全称量词改写为存在量词,条件不变,否定
结论.所以原命题否定是“存在偶函数的图像不关于y轴对称”.故选C.
“a|a|>b|b|”的充分必要条件,故选 C.
(2)若 p 成立,则 a=4 -2 =
x
1
-4, + ∞
x
2
1
2 - 2
1
− 4,所以
1
a≥-4,即
a 的取值范围为
;若 q 成立,则 x+a-2>1 对∀x>0 恒成立,所以 a>3-x 对∀x>0 恒
成立,则 a≥3.即 a 的取值范围为[3,+∞).由于[3,+∞)⫋
4
1
4
1
4
∴- ≤m< ,或- <m≤ ,∴- ≤m≤ .
2
3
2
3
2
3
解题心得解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并
由此列出关于参数的不等式(组)求解.要注意区间端点值的检验,不等式是

精心整理基础典型题归类与解析C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.解析：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝.(3)已知x、y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解析：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．．例求使pq是假例ABCD．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为”，它是真命题．故选D.例6．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数答案： B例7．若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )A．若x≤y，则x2≤y2B．若x>y，则x2<y2C．若x2≤y2，则x≤y D．若x<y，则x2<y2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．例8．．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；y，则非x例∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．六、题型六：判断条件关系及求参数范围例10．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x＝2kπ＋时，tan x＝1，而tan x＝1得x＝kπ＋，所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A 的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D是A的必要不充分条件例12．已知条件p：－1≤x≤10，q：x2－4x＋4－m2≤0(m>0)不变，若非p是非q的必要而不充分条件，如何求实数m的取值范围？解：p：－1≤x≤10.q：x2－4x＋4－m2≤0⇔[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0(m>0)⇔2－m≤x≤2＋m(m>0)．因为非p是非q的必要而不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，即{x|－1≤x≤10}{x|2－m≤x≤2＋m}，故有或，解得m≥8.所以实数m的范围为{m|m≥8}．变式练习1：已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p q．故选A.变式练习2已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．解析：q是p的必要不充分条件，则p⇒q但qp.∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.∴满足条件的a的取值范围为.七、充要条件的论证例13求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．证明：充分性：∵0<a<，∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，∴a＝0或解得0≤a<.例ABCD例变式练习2：(2010年高考安徽卷)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．解：存在x∈R，使得|x－2|＋|x－4|≤3变式练习3．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：题号判断p的真假非p的形式判断非p的真假(1)假方程x2－x＋1＝0无实数根真(2)真函数y＝tan x不是周期函数假(3)真∅A 假(4)真不等式x2＋3x＋5<0的解集不是∅假十、全称命题与特称命题相关小综合题例16．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x＋1>0.∴命题(4)是假命题．例17．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．a≤－3或a>2 B．a≥2C．a>－2 D．－2<a<2解析：依题意：ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，所以有：⇔⇔a≥2.所以选B变式练习1：已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x0＝时，tan x0＝，∴命题p为真命题；x2－x＋1＝2＋>0恒成立，∴命题q为真命题，∴“p且q”为真命题．所以填：真变式练习2：已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是( )A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④解析：当x＝时，tan x＝1，∴命题p为真命题．由x2－3x＋2<0得1<x<2，∴命题q为真命题．∴p∧q为真，p∧¬q为假，¬p∨q为真，¬p∨¬q为假．所以选D十一、综合训练典型题例18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.又a>0，所以a<x<3a，当a＝1时，1<x<3，即p为真命题时，实数x的取值范围是1<x<3.由解得即2<x≤3.所以q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则⇔2<x<3，所以实数x的取值范围是(2,3)．(2)非p是非q的充分不必要条件，即非p⇒非p且非q非q.设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则A B.所以0<a≤2且3a>3，即1<a≤2.所以实数a的取值范围是(1,2]．例19．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．(1)(2)即(2)∴m∵f∴mq：关于x＝[∴－(a2－a)≤－2，即a2－a－2≥0，解得a≤－1或a≥2.即p：a≤－1或a≥2由不等式ax2－ax＋1＞0的解集为R得，即解得0≤a＜4∴q：0≤a＜4.∵p∧q假，p∨q真．∴p与q一真一假．∴p真q假或p假q真，即或∴a≤－1或a≥4或0≤a＜2.所以实数a的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．。

常用逻辑用语一、命题1、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2、四种命题及其关系(1)、四种命题(2)、四种命题间的逆否关系(3)、四种命题的真假关系**两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；*两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1、定义1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．2、四种条件的判断⇒/.1.如果“若p则q”为真，记为p q⇒，如果“若p则q”为假，记为p q2.若p q⇒，则p是q的充分条件，q是p的必要条件3.判断充要条件方法：（1）定义法：①p是q的充分不必要条件⇔p qp q⇒⎧⎨⇐/⎩②p是q的必要不充分条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐⎩③p是q的充要条件⇔p qq p⇒⎧⎨⇒⎩④p是q的既不充分也不必要条件⇔p qp q⇒⎧/⎨⇐/⎩（2）集合法：设P={p}，Q={q}，①若P Q，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.②若P=Q，则p是q的充要条件（q也是p的充要条件）.③若P Q且Q P，则p是q的既不充分也不必要条件.（3）逆否命题法：①⌝q是⌝p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件②⌝q是⌝p的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件③⌝q是⌝p的充分要条件⇔p是q的充要条件④⌝q是⌝p的既不充分又不必要条件⇔p是q的既不充分又不必要条件三、简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．①用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．②用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．③对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”．(2)简单复合命题的真值表：*p∧q：p、q有一假为假，*p∨q：一真为真，*p与¬p：真假相对即一真一假．四、量词1、全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等． (3)全称量词用符号“∀”表示；存在量词用符号“∃”表示． 2 全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题: “对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为∀x ∈M ，p (x )，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”．(2)含有存在量词的命题叫特称命题: “存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为∃x 0∈M ，P (x 0)，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”． 3命题的否定(1) 含有量词命题的否定全称命题p ：,()x M p x ∀∈的否定⌝p ：(),x M p x ∃∈⌝；全称命题的否定为存在命题 存在命题p ：(),x M p x ∃∈的否定⌝p ：(),x M p x ∀∈⌝；存在命题的否定为全称命题 其中()p x p （x ）是一个关于x 的命题. (2) 含有逻辑连接词命题的否定 “p 或q ”的否定：“ ⌝p 且⌝q ” ； “p 且q ”的否定：“ ⌝p 或⌝q ”(3) “若p 则q “命题的否定：只否定结论特别提醒：命题的“否定”与“否命题”是不同的概念，命题的否定：只否定结论；否命题：全否 对命题p 的否定（即非p ）是否定命题p 所作的判断，而“否命题”是 “若⌝p 则⌝q ”实战练习：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、．已知集合,集合,,则（ ）2、（2013年高考浙江卷（文））设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T=（）A．[-4,+∞)B．(-2, +∞)C．[-4,1] D．(-2,1]3、设,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题,则（）A．B．C． D．4、设全集则下图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．5、若全集为实数集，集合=A．B．C．D．6.命题“所有实数的平方都是正数”的否定为21世纪教育网A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方不是正数D．至少有一个实数的平方是正数7、已知集合，,则（）（A）｛1，4｝（B）｛2，3｝（C）{9，16} （D）｛1，2}8、设, 则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件9、设点,则“且”是“点在直线上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10、给出下列四个命题：（1）命题“若，则”的逆否命题为假命题；（2）命题．则，使；（3）“”是“函数为偶函数”的充要条件；（4）命题“，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）．．．．11、设z是复数, 则下列命题中的假命题是（）A．若, 则z是实数B．若, 则z是虚数C．若z是虚数, 则 D．若z是纯虚数, 则12．给定两个命题,的必要而不充分条件,则（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13、已知集合,则_____14.已知P：|x－a|＜4；q：（x－2）（3－x）>0，若p是q的充分不必要条件，则a 的取值范围为．15．已知，，则________________．16、设是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足;(i);(ii)对任意,当时,恒有.①;②;③.其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设关于x的函数的定义域为集合A，函数，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足,求实数a的取值范围.18、已知集合A={x| | x–a | < 2，x∈R }，B={x|<1，x∈R }．(1) 求A、B；(2) 若，求实数a的取值范围．19．已知；不等式恒成立，若是的必要条件，求实数的取值范围.20、设命题：实数满足，其中；命题：实数满足且的必要不充分条件，求实数的取值范围.21．设命题p:函数f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x2+x>2+ax,对x∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.22．已知全集U=R，非空集合＜，＜.（1）当时，求；（2）命题，命题，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.。

D.既不充分也不必要条件
解析 当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2， 所以a>b⇏ac2>bc2， 当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b， 所以ac2>bc2⇒a>b， 即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.
4.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是__存__在__一__个__等__边_三__角__形__，___ _它__不__是__等__腰__三__角__形__.
题组二 教材改编
2.(多选)下列命题是真命题的是
√A.∀x∈R，x2－x＋1>0
B.∃x∈R，sin x＝2
√C.存在一个无理数，它的平方是有理数 √D.平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上
3.“a>b”是“ac2>bc2”的
A.充分不必要条件
√B.必要不充分条件
C.充要条件
思维升华
充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条 件中涉及参数范围的推断问题.
跟踪训练2 (1)已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d
成等比数列”的
A.∃x∈R，ex－x－1≥0
B.∃x∈R，ex－x－1>0
√C.∀x∈R，ex－x－1>0
D.∀x∈R，ex－x－1≥0
解析 根据全称量词命题与存在量词命题的否定关系，可得綈p为 “∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2.“x<0”是“ln(x＋1)<0”的 A.充分不必要条件

第一章 常用逻辑用语
常考知识点复习小结（资料收集整理人：林文城）
1.掌握充分条件、必要条件的概念;
p是q的充分不必要条件
pq pq
p是q的必要不充分条件
pq pq
p是q的既不充分也不必要条件 p q pq
2.判断的步骤：（1）认清条件（2）分两步：
判断条件是充分条件还是必要条件
1
1.设 p、q 是简单命题,则“p 且 q 为假”是“p 或 q 为假”的
答案：A
11
11.已知 c＞0，设命题 p：函数 y＝cx 为减函数.命题 q：当 x
∈[12，2]时，函数 f(x)＝x＋1x＞1c恒成立.如果 p 或 q 为真命
题，p 且 q 为假命题.求 c 的取值范围.
11.解：由命题 p 知：0＜c＜1.
由命题 q 知：2≤x＋1x≤52，
要使此式恒成立，则 2＞1c，即 c＞21.
答案：D
10
10.已知命题 p：“∀x∈，x2－a≥0”，命题 q：“∃x∈R，x2
＋2ax＋2－a＝0”.若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的
取值范围为
()
A.a≤－2 或 a＝1
B.a≤－2 或 1≤a≤2
C.a≥1
D.－2≤a≤1
10.解析：由已知可知 p 和 q 均为真命题，由命题 p 为真 得 a≤1，由命题 q 为真得 a≤－2 或 a≥1，所以 a≤－2， 或 a＝1.
4.解析 :由题意知 P＝{x|-1＜ f(x+t)＜3}＝{x|-t＜x＜ 3-t},Q＝{x|f(x)＜f(3)}＝{x|x＞3}, ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分而不必要条件, ∴P Q.∴-t≥3,t≤-3.故选 C. 答案:C

x R 使得 x 2ax a 0 ，若命题 p∧q 为真命题，求
2
实数 a 的取值范围． 变式 1.已知命题 p ： 对 x [1, 2], 2 x 2 x a 0恒成立 ， 命题 q ： x R 使得 x 2ax a 0 ，若命题 p∧q 为真
二、简单的逻辑联结词
三种复合命题“或”“且”“非”与集合关系的理 解： 设全集为U，且A⊆U、B⊆U，若p：x∈A，q：x∈B，则
“p或q”为真 “p且q”为真 “﹁p”为真
x AB x AB
x CU A
三、全称命题与特称命题 全称命题与特称命题的关系：
对 全 称 命 题 p : xM , p ( x )
若 q 为真，则 对方程x2 2ax 2a 0
2 有 4 a 80 a , 解 得 a 0 或 a 2
2.已知命题 p ：方程 a 2 x 2 ax 2 0 在[－1，1]上有解，
2 q 命题 ：只有一个实数 x 满足不等式 x 2ax 2a 0 ，
若 p 假 q 真，则 a {a | 1 a 1} {a | a 0或a 2} 即 a=0 综上所述，当命题p和q一假一真时，
a { a | a 1 ， 或 12 a ， 或 a 2 ， 或 a 0 }
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
解：（1）∵x2+2x+m=(x+1)2+m-1 ∴若∃x∈R，使p(x)为真 则m-1<0，即m<1 ∴ m的取值范围是(-∞，1) （2）∵ “∀x∈R， p(x)为假”是“∃x∈R，使p(x)为真” 的否定 ∴ 若∀x∈R， p(x)为假，则m≥1

C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
高考一轮总复习•数学
第19页
解析：方法一：甲：{an}为等差数列，设其首项为 a1，公差为 d， 则 Sn＝na1＋nn2－1d，Snn＝a1＋n－2 1d＝d2n＋a1－d2，nS＋n＋11－Snn＝d2， 因此Snn为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：Snn为等差数列，即nS＋n＋11－Snn＝nSn＋n1－n＋n＋11Sn＝nnann＋＋1－1Sn为常数，设为 t， 即nnann＋＋1－1Sn＝t，则 Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有 Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2， 此推导过程略显繁琐，等差数列的本质可从各个方面体现出来．(1)通项公式为一次函 数型. (2)前 n 项和为 n 的二次函数型且无常数项.
p⇒/ q 且 q⇒/ p
高考一轮总复习•数学
第7页
三 全称量词和存在量词
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “ ∀ ”表示．
2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符 号“ ∃ ”表示．
四 全称量词命题和存在量词命题
名称
全称量词命题
高考一轮总复习•数学
2．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是( )
A．∃x∈R，x2－x＋14＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0
第10页
解析：对于 A，其否定为∀x∈R，x2－x＋14≥0，是全称量词命题，又 x2－x＋14＝x－12 2≥0，所以为真命题，故符合题意；对于 B，其否定为存在量词命题，故不符合题意；对 于 C，其否定为全称量词命题，又 x2＋2x＋2＞0，则原命题为假命题，即其否定为真命题， 故符合题意；对于 D，其否定为对于任意实数 x，都有 x3＋1≠0，而 x＝－1 时，x3＋1＝0， 所以其否定不是真命题，故不符合题意．故选 AC．

常用逻辑用语知识梳理
逻辑就是思维的规律，逻辑学就是关于思维规律的学说。

以下是由店铺整理关于常用逻辑用语知识梳理的内容，提供给大家参考和了解，希望大家喜欢!
常用逻辑用语知识梳理
1、四种命题：
⑴原命题：若p则q;⑵逆命题：若q则p;⑶否命题：若 p则q;⑷逆否命题：若 q则 p
注：1、原命题与逆否命题等价;逆命题与否命题等价。

判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题否定形式是 ;否命题是 .命题“ 或”的否定是“ 且”;“ 且”的否定是“ 或”.
3、逻辑联结词：
⑴且(and) ：命题形式 p q; p q p q p q p
⑵或(or)：命题形式 p q; 真真真真假
⑶非(not)：命题形式 p . 真假假真假
假真假真真
假假假假真
“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”;
“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”;
“非命题”的真假特点是“一真一假”
4、充要条件
由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件;由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。

5、全称命题与特称命题：
短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号表示，含有
存在量词的命题，叫做存在性命题。

全称命题p： ; 全称命题p的否定 p：。

特称命题p： ; 特称命题p的否定 p：。

常用逻辑用语知识点总结逻辑是一种以证明、推理和推断为基础的理性思维方法。

在日常生活和学术研究中, 人们经常会遇到各种逻辑问题, 如何正确运用逻辑用语是非常重要的。

下面将就常用的逻辑用语进行知识点总结。

一、假言命题1. 假言命题是由“如果……，则……”的句子构成的命题。

它表示的是一种条件关系。

2. 假言命题的充分条件和必要条件。

充分条件是指如果A成立，则B必定成立；必要条件是指B成立就必定是A成立。

3. 常用逻辑连接词：如果……，就……；只要……，就……；每当……，就……。

4. 示例：如果下雨，地面就会湿。

这就是一个假言命题，如果下雨是充分条件，地面湿是必要条件。

5. 常见的假言命题推理错误：偷换充分条件与必要条件；否定假设；无中生有。

二、联言命题1. 联言命题是由“而且”、“也”、“而且还”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是多个条件同时成立的关系。

2. 常用逻辑连接词：而且、又、且、还、除此之外还。

3. 示例：他不但聪明，而且还非常勤奋。

这就是一个联言命题，表示他既聪明又勤奋。

4. 常见的联言命题推理错误：谬误的联言；与联言条件无关；由联言推出联言分解。

三、析言命题1. 析言命题是由“但是”、“除了……还有”等词连接的两个或多个简单命题构成的命题。

它表示的是两个条件相互排斥的关系。

2. 常用逻辑连接词：但是、然而、不过、相反、相反地、与……相反。

3. 示例：他很有学识，但是思维缜密不足。

这就是一个析言命题，表示他虽然有学识，但思维缜密不足。

4. 常见的析言命题推理错误：非提出人之谬误；擅自坚持；不正当引用。

四、复言命题1. 复言命题是由多个简单命题以及相应的逻辑连接词构成的复杂命题。

2. 常用逻辑连接词：如果……，就……；且；但是；不是；如果……则……；不是因为……而是因为……。

3. 示例：如果你努力学习，就一定会取得好成绩。

这就是一个复言命题，由假言命题构成。

5. 常见的复言命题推理错误：对联言的否定；混淆假言及联言；推而广之。

第一课时 1.1.1 命题及其关系（一）教学要求：了解命题的概念，会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式.教学重点：命题的改写.教学难点：命题概念的理解.教学过程：一、复习准备：阅读下列语句，你能判断它们的真假吗？（1）矩形的对角线相等；>；（2）312>吗？（3）312（4）8是24的约数；（5）两条直线相交，有且只有一个交点；（6）他是个高个子.二、讲授新课：1. 教学命题的概念：①命题：可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）. 也就是说，判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件.上述6个语句中，（1）（2）（4）（5）（6）是命题.②真命题：判断为真的语句叫做真命题（true proposition）；假命题：判断为假的语句叫做假命题（false proposition）.上述5个命题中，（2）是假命题，其它4个都是真命题.③例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？x<；（5）215（6）平面内不相交的两条直线一定平行；（7）明天下雨.（学生自练→个别回答→教师点评）④探究：学生自我举出一些命题，并判断它们的真假.2. 将一个命题改写成“若p，则q”的形式：①例1中的（2）就是一个“若p，则q”的命题形式，我们把其中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.②试将例1中的命题（6）改写成“若p，则q”的形式.③例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式.（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等.（学生自练→个别回答→教师点评）3. 小结：命题概念的理解，会判断一个命题的真假，并会将命题改写“若p，则q”的形式.三、巩固练习：1. 练习：教材P41、2、32. 作业：教材P9第1题第二课时 1.1.2 命题及其关系（二）教学要求：进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.教学重点：四种命题的概念及相互关系.教学难点：四种命题的相互关系.教学过程：一、复习准备：指出下列命题中的条件与结论，并判断真假：（1）矩形的对角线互相垂直且平分； （2）函数232y x x =-+有两个零点. 二、讲授新课：1.（师生共析→学生说出答案→教师点评）②例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： （1）同位角相等，两直线平行； （2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. （学生自练→个别回答→教师点评） 2. 教学四种命题的相互关系：①讨论：例1中命题（2）与它的逆命题、否命题、逆否命题间的关系. ②四种命题的相互关系图：③讨论：例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系.④结论一：原命题与它的逆否命题同真假；结论二：两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. ⑤例2 若222p q +=，则2p q +≤.（利用结论一来证明）（教师引导→学生板书→教师点评） 3. 小结：四种命题的概念及相互关系. 三、巩固练习：1. 练习：写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）函数232y x x =-+有两个零点；（2）若a b >，则a c b c +>+； （3）若220x y +=，则,x y 全为0；（4）全等三角形一定是相似三角形； （5）相切两圆的连心线经过切点.2. 作业：教材P9页 第2（2）题 P10页 第3（1）题1.1.3 四种命题间的相互关系 教学目标：1.了解命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.明白四种命题之间的关系.3.会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假． 授课类型：新授课 教学重点：四种命题的关系． 教学难点：判断两个命题关系及真假． 教学方法： 读、议、讲、练结合教学． 教学过程： 一、引入请判断下列语句的真假，能否看出这些语句的表达形式有什么特点？（1）如果直线a∥b，那么直线a和直线b无公共点；（2）2 + 4 = 7；（3）平行于同一条直线的两条直线平行；（4）若x2 = 1 , 则x= 1 ；（5）两个全等三角形的面积相等；（6）3能被2整除.分析得到命题的概念：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．强调判断命题的两个基本条件：①必须是一个陈述句；②可以判断真假．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；=-（32（4）在同一平面内,如果两条直线不相交，那么这两条直线平行；（5）指数函数是增函数吗？；（6）x > 15 ．二、讲授新课1、命题的题设和结论:例1中的命题（2）（4）容易看出其具有“若p，则q” 或“如果p，那么q”的形式．通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的题设(条件)，q叫做命题的结论．(本章中我们只讨论这种“若p，则q”形式的命题),（3）（6）不能判定其真假,故不是命题. 条件成立结论一定成立的命题是真命题, 条件成立结论不一定成立的命题是假命题.2、四种命题的关系:思考下列四个命题中，命题（１）与命题（２）（３）（４）的条件和结论之间分别有什么关系？（１）如果两个三角形全等,那么它们的面积相等；（２）如果两个三角形的面积相等,那么它们全等；（３）如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（４）如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等；一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的否命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的的逆否命题．归纳总结： 三、例题例题3.写出命题“若0a =,则0ab =”的逆命题,否命题与逆否命题从上面的例子可以看出：原命题是真命题，逆命题是假命题，否命题是假命题，逆否命题是真命题．例题4.把下列命题改写成“若p ，则q”的形式,并写出它们的逆命题,否命题与逆否命题,同时指出它们的真假: （1）两个全等三角形的三边对应相等; （2）四条边相等的四边形是正方形.一般地，互为逆否命题地两个命题，要么都是真命题，要么都是假命题．即互为逆否命题的两个命题的真假相同． 四、练习1.把下列命题改写成“若p ，则q”的形式,并写出它们的逆命题,否命题与逆否命题,同时指出它们的真假:（1）能被2整除的整数是偶数； （2）菱形的对角线互相垂直且平分．,q p若非则非,p q若非则非（3）垂直于同一个平面的两条直线平行；（4）对顶角相等．2.课本第6页练习.五、课堂小结1．四种命题的准确表达及其相互关系；2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假的应用．六、作业: 课本P8 习题1.1 1、21.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第02讲 常用逻辑用语（精讲）①充分、必要条件的判断一、充分条件、必要条件、充要条件1.定义如果命题“若p ，则q ”为真(记作p q ⇒)，则p 是q 的充分条件；同时q 是p 的必要条件. 2.从逻辑推理关系上看 ①若p q ⇒且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；①若pq 且q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；①若p q ⇒且q p ⇒，则p 是q 的的充要条件(也说p 和q 等价)； ①若pq 且q p ，则p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.注：对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：p q ⇒，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件.所谓“充分”是指只要p 成立，q 就成立；所谓“必要”是指要使得p 成立，必须要q 成立(即如果q 不成立，则p 肯定不成立). 二、全称量词与存在童词1.全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为“,()x M p x ∀∈”，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.2.存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的一个0x ，使0()p x 成立”可用符号简记为一、必备知识整合“00,()x M P x ∃∈”，读作“存在M 中元素0x ，使0()p x 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.三、含有一个量词的命题的否定1.全称量词命题:,()p x M p x ∀∈的否定p ⌝为0x M ∃∈，0()p x ⌝.2.存在量词命题00:,()p x M p x ∃∈的否定p ⌝为,()x M p x ∀∈⌝.1．从集合与集合之间的关系上看：设{}{}|(),|()A x p x B x q x ==. （1）若A B ⊆，则p 是q 的充分条件(p q ⇒)，q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件，即p q ⇒且q p ；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小⇒大”.（2）若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，q 是p 的充分条件； （3）若A B =，则p 与q 互为充要条件. 2.常见的一些词语和它的否定词如下表(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例. (2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个0x 使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.【题型一充分、必要条件的判断】判断充分、必要条件的几种方法【典例1】（单选题）设,αβ是两个不同的平面，,l m是两条直线，且,m lαα⊂⊥.则“lβ⊥”是“//mβ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【典例2】（单选题）设n S为无穷等比数列{}n a的前n项和，则“{}n a有最大值”是“{}n S有最大值”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知ABCD是平面四边形，设p：AB＝3DC，q：四边形ABCD是梯形，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件二、考点分类精讲C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数()i i(,,i z a b a b =+∈R 为虚数单位)的共轭复数为z ，则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（ ） A ．220a b +≠ B ．0ab = C ．0,0a b =≠D ．0,0a b ≠=3．（2024·全国·模拟预测）a b ≥是22am bm ≥的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·全国·模拟预测）已知直线1l ：360ax y +-=，直线2l ：()2140x a y +--=，则“2a =-”是“12l l ∥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2024·江西南昌·二模）已知集合{}{ln 0},22x A xx B x ==∣∣，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2024高三·全国·专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“C 为钝角”是“()22212c a b >+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2024·陕西汉中·二模）已知,m n 为两条直线，,αβ为两个平面，,,m n m n αβ⊂⊂⊥，则m β⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2024·四川成都·三模）已知圆C ：221x y +=，直线l ：0x y c -+=，则“c =是“圆C 上恰存在三个点到直线l 的距离等于12”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要9．（2024·浙江金华·模拟预测）已知函数e 1(),()cos x f x g x x x-==，设甲：()()f x g x >；乙：0x >，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件10．（2024·北京东城·一模）设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}n an为递增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【题型二 根据充分必要条件求参数的取值范围】1．充分、必要条件的探求方法(与范围有关)【典例1】（单选题）已知2:280,:21p x x q a x a --<-<<+，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),30,∞∞-⋃+B ．[)4,+∞C ．[]3,0-D ．()3,0-A ．1a <-B ．0a ≤C ．1a <D ．2a ≤件是（ ） A ．45m << B ．35m << C ．15m <<D ．13m <<一、单选题1．（23-24高三上·四川·期中）已知:0,:1p x a q x ->>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{1}aa <∣ B ．{}1aa ≤∣ C ．{1}aa >∣ D ．{}1aa ≥∣ 2．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知()132xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()5f x <的一个必要不充分条件是（ ）A ．4x >-B ．3x >-C ．<2x -D ．3x <-3．（2023·海南海口·模拟预测）已知集合{}{}220,1P x x x Q =-<=<，则P Q P =的充要条件是（ ）A ．01a <<B ．01a <≤C ．01a ≤<D ．01a ≤≤4．（2023·四川甘孜·一模）设()22:log 1;:1p x m q x-<>.若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ） A ．(],0-∞B ．[)0,∞+C ．[)1,-+∞D ．(],1-∞-5．（22-23高三下·北京·开学考试）函数()()()2e e -=-++x xf x ax bx c 是偶函数的充分必要条件是（ ）．A ．0b =B ．0ac =C ．0a =且0cD ．0a =，0c 且0b ≠6．（23-24高三上·四川德阳·阶段练习）使得“函数()2313x txf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()2,3上单调递增”成立的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．2t ≥B ．2t ≤C ．3t ≥D ．433t ≤≤ 7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“[]2,1x ∃∈-，20x x a -->”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．14a -≤B ．0a ≤C ．6a ≥D ．8a ≥8．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题p ：函数3()2f x x x a =+-在(]1,2内有零点，则命题p 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．318a ≤< B ．318a <<C ．18a <D ．3a ≥【题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定】全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进【典例1】（单选题）已知命题p ：x ∀∈R ，3210x x +->，则p ⌝为（ ） A ．0x ∃∈R ，300210x x +-≤ B ．0x ∃∈R ，300210x x +-< C ．x ∀∈R ，3210x x +-≤D ．x ∀∈R ，3210x x +-<一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）命题“x ∀∈Z ，20x ≥”的否定是（ ） A ．x ∃∈Z ，20x ≥ B ．x ∃∉Z ，20x ≤ C ．x ∃∈Z ，20x <D ．x ∃∉Z ，20x <2．（2024·四川成都·模拟预测）命题[]1,1,0x x x ∃∈-+<的否定是（ ） A ．[]1,1,0x x x ∃∈-+≥ B ．[]1,1,0x x x ∀∈-+≥C ．()(),11,,0x x x ∞∞∀∈--⋃++≥D ．()(),11,,0x x x ∞∞∀∈--⋃++<3．（2024·山西吕梁·二模）设命题p ：对任意的等比数列{}{}1,n n n a a a ++也是等比数列，则命题p 的否定p ⌝为（ ）A ．对任意的非等比数列{}{}1,n n n a a a ++是等比数列B ．对任意的等比数列{}{}1,n n n a a a ++不是等比数列C ．存在一个等比数列{}n a ，使{}1n n a a ++是等比数列D ．存在一个等比数列{}n a ，使{}1n n a a ++不是等比数列 4．（2024·山西·一模）设命题:R,x p x a kx ∃∈>，则p ⌝为（ ） A ．R,x x a kx ∀∈> B ．R,x x a kx ∃∈≤ C ．R,x x a kx ∀∈≤D ．R,x x a kx ∃∈=5．（2024·全国·模拟预测）命题“1a ∀>，函数()a f x x =在[),a +∞上单调递增”的否定为（ ）A ．1a ∃>，函数()af x x =在[),a +∞上单调递减B ．1a ∃>，函数()af x x =在[),a +∞上不单调递增C ．1a ∃≤，函数()af x x =在[),a +∞上单调递减D ．1a ∃≤，函数()af x x =在[),a +∞上不单调递增6．（23-24高一上·山东青岛·期中）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数2n >，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（ ）A ．对任意正整数2n >，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=都没有正整数解B ．对任意正整数2n >，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解C ．存在正整数2n ≤，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解D ．存在正整数2n >，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=至少存在一组正整数解【题型四 根据全称、存在量词命题的真假求参数的取值范围】根据全称、存在量词命题的真假求参数的取值范围一般思路1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求【典例1】（单选题）命题“[]1,2,25xx x a ∀∈+-≥”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．(],2-∞ D ．(],1-∞【典例2】（单选题）若命题“[]1,2x ∃∈-，使21x m +>”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞B ．(),2-∞C ．(),5-∞D ．()5,+∞一、单选题1．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）若命题“2x ∀<，2x a <”为真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,4)-∞C ．[4,)+∞D ．(4,)+∞2．（2024高三·全国·专题练习）若命题“2000,20x x x m ∃∈-+<R ”为真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．(1,)+∞3．（2024·四川·模拟预测）已知命题“[]21,4,e 0xx m x∀∈--≥”为真命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],e 2-∞-B ．41,e 2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．[)e 2,-+∞D ．41e ,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．（2024·四川凉山·二模）已知命题“R x ∀∈，()2sin π2cos 0x x m +++≤”是假命题，则m 的取值范围为（ ）A ．[)2,-+∞B ．()2,-+∞C ．(),1-∞-D ．(],2-∞-5．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知向量()(),2,,12m ax n x ax ==-，命题:,0p x m n ∃∈⋅<R ．若p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．（2024·陕西西安·模拟预测）设函数()22f x ax ax =-，命题“[]2,6x ∃∈，()23f x a ≤-+”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()3,+∞C ．()2,+∞D ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于()0,x ∀∈+∞，e 1x ax >+”为真命题，写出符合条件的a 的一个值： ．8．（23-24高三上·湖北武汉·期末）若命题“0ππ,86x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，0tan 22x m +≥”是假命题，则实数m 的取值范围是 ．。