高中数学经典错因正解汇总：第一章集合与常用逻辑用语

第一章 集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ∉则B a ∈），则称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或BA.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R . 二、疑难知识1.符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=Φ易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来. 8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n2-1三、经典例题[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．{（0，1），（1，2）} C ．{y|y=1,或y=2} D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R )，y =x ＋1(x∈R )的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R }={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R }． ∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x 2＋1,x ∈R }、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R }，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ． 错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2． 当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A . 当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或 ∴C={0，1，2}[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有： （ ）A ．m +n ∈A B. m +n ∈B C.m +n ∈C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个 错解：∵m ∈A ，∴m =2a ,a Z ∈,同理n =2a +1,a ∈Z, ∴m +n =4a +1,故选C 错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z , 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z , ∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B, 故选B.[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使BA ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由BA 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜ 2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解． （2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0， ∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. [例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则a-11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素. ⑵A 能否为单元素集合？请说明理由. ⑶若a∈A，证明：1－a1∈A. ⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A ∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a-11即12+-a a＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集 ⑶a∈A ⇒a-11∈A ⇒ a--1111∈A ⇒111---a a ∈A ，即1－a 1∈A⑷由⑶知a∈A 时，a-11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a-11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a-11②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a 1③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a-11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={a |a =12+n ,n ∈N +}，集合B={b |b =542+-k k ,k ∈N +}，试证：AB ．证明：任设a ∈A， 则a =12+n=(n ＋2)2－4(n ＋2)＋5 (n ∈N +),∵ n∈N*，∴ n ＋2∈N* ∴ a∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B={b |b =542+-k k,k ∈N +}={b |b =1)2(2+-k ，k ∈N +}知1∈B，于是A≠B②由①、② 得A B ．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系． （2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义． 四、典型习题1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x ∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ） A ．16 B ．14 C ．15 D ．32 2．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－5} C ．{±2，±5} D ．{5，－5}3. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ） A ．P B ．Q C ． D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ） A ．P∩Q= B ．P Q C ．P=Q D ．PQ5．若集合M ＝｛11|<xx ｝，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝ （ ） A ．}11|{<<-x x B ．}10|{<<x x C ．}01|{<<-x x D ．∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.（06高考全国II 卷）设a R∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语重难点归纳单选题1、设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},B={2,3,4}，则A∩(∁U B)=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}答案：B分析：根据交集、补集的定义可求A∩(∁U B).由题设可得∁U B={1,5,6}，故A∩(∁U B)={1,6}，故选：B.2、已知集合P={x|1<x<4}，Q={x|2<x<3}，则P∩Q=（）A．{x|1<x≤2}B．{x|2<x<3}C．{x|3≤x<4}D．{x|1<x<4}答案：B分析：根据集合交集定义求解.P∩Q=(1,4)∩(2,3)=(2,3)故选：B小提示：本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3、已知集合S={x∈N|x≤√5}，T={x∈R|x2=a2}，且S∩T={1}，则S∪T=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.4、若命题“∃x0∈[−1,2],−x02+2⩾a”是假命题，则实数a的范围是（）A．a>2B．a⩾2C．a>−2D．a⩽−2答案：A解析：根据命题的否定为真命题可求.若命题“∃x 0∈[−1,2],−x 02+2⩾a ”是假命题，则命题“∀x ∈[−1,2],−x 2+2<a ”是真命题，当x =0时，(−x 2+2)max =2，所以a >2.故选：A.5、已知A ={1,x,y }，B ={1,x 2,2y }，若A =B ，则x −y =（ ）A ．2B ．1C ．14D ．23答案：C分析：由两集合相等，其元素完全一样，则可求出x =0,y =0或x =1,y =0或x =12，y =14，再利用集合中元素的互异性可知x =12，y =14，则可求出答案.若A =B ，则{x =x 2y =2y 或{x =2y y =x 2，解得{x =0y =0或{x =1y =0或{x =12y =14， 由集合中元素的互异性，得{x =12y =14， 则x −y =12−14=14，故选：C ．6、设a ，b 是实数，集合A ={x||x −a |<1,x ∈R}，B ={x||x −b|>3,x ∈R }，且A ⊆B ，则|a −b |的取值范围为（ ）A ． [0,2]B ．[0,4]C ．[2,+∞)D ．[4,+∞)答案：D分析：解绝对值不等式得到集合A,B ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.集合A ={x||x −a |<1,x ∈R}={x|a −1<x <a +1}，B ={x||x −b |〉3,x ∈R}={x|x <b −3或x >b +3}又A ⊆B ，所以a +1≤b −3或a −1≥b +3即a−b≤−4或a−b≥4，即|a−b|≥4所以|a−b|的取值范围为[4,+∞)故选：D7、已知集合M={x∣x2+x=0}，则（）A．{0}∈M B．∅∈M C．−1∉M D．−1∈M答案：D分析：先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.因为集合M={x∣x2+x=0}={0，−1}，所以−1∈M，故选：D.8、已知集合A={(x,y)|x,y∈N∗,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．6答案：C分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N∗，由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A∩B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 多选题9、（多选题）已知集合A={x|x2−2x=0}，则有（）A．∅⊆A B．−2∈A C．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案：ACD分析：先化简集合A={0,2},再对每一个选项分析判断得解.由题得集合A={0,2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确：因为A={0,2}，所以CD正确，B错误.故选ACD.小提示：本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10、1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（）A．M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M没有最大元素，N也没有最小元素答案：BD分析：根据集合的定义和题目要求，分析各选项即可.对于选项A，因为M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x>0}，M∪N={x∈Q|x≠0}≠Q，故A错误；对于选项B，设M={x∈Q|x<0}，N={x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m,n)使M∪N=Q不成立；若m=n，则M∩N=∅不成立，故C错误；对于选项D，设M={x∈Q|x<√2}，N={x∈Q|x≥√2}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确．故选:BD．11、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；A.由(−4,4)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；B.由(−3,3)⊂≠C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.12、下列各组对象能构成集合的是（）A．拥有手机的人B．2020年高考数学难题C．所有有理数D．小于π的正整数答案：ACD分析：根据集合元素的性质可判断.根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD.13、已知集合A={0,1,2}，B={a,2}，若B⊆A，则a=（）A．0B．1C．2D．0或1或2答案：AB分析：由B⊆A，则B={0,2}或B={1,2}，再根据集合相等求出参数的值；解：由B⊆A，可知B={0,2}或B={1,2}，所以a=0或1.故选:AB.小提示：本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.14、已知全集U =Z ，定义A ⊙B ={x |a ⋅b,a ∈A,b ∈B }，若A ={1,2,3}，B ={−1,0,1}，则∁U (A ⊙B)______．答案：{x ∈Z ||x |≥4}分析：利用集合运算的新定义和补集运算求解.全集U =Z ，定义A ⊙B ={x |a ⋅b,a ∈A,b ∈B }，A ={1,2,3}，B ={−1,0,1}所以A ⊙B ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，所以∁U (A ⊙B)={x||x|≥4,x ∈Z }.所以答案是：{x||x|≥4,x ∈Z }15、命题“∀x ∈R,ax 2+4ax +3>0”为真，则实数a 的范围是__________答案：[0,34) 分析：将问题转化为“不等式ax 2+4ax +3>0对x ∈R 恒成立”，由此对a 进行分类讨论求解出a 的取值范围. 由题意知：不等式ax 2+4ax +3>0对x ∈R 恒成立，当a =0时，可得3>0，恒成立满足；当a ≠0时，若不等式恒成立则需{a >0Δ=16a 2−12a <0，解得0<a <34， 所以a 的取值范围是[0,34)，所以答案是：[0,34).小提示：思路点睛：形如ax 2+bx +c <0(>0)的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析a =0的情况；（2）再分析a ≠0，并结合Δ与0的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.16、若“x >3”是“x >a “的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.答案：a <3解析：根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.因为“x >3”是“x >a ”的充分不必要条件， ∴a <3．所以答案是：a <3．小提示：本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 解答题17、若集合A ={x |x 2+ax +b =0}，B ={x |x 2+cx +6=0}，是否存在实数a 、b ，c ，使A ∩B ={2}且A ∪B =B ，若存在，求出a 、b ，c 的值；若不存在，说明理由．答案：存在,a =−4，b =4，c =−5分析：由A ∩B ={2}，得到2∈B ，求得c =−5，再由A ∪B =B ，求得A ={2}，进而列出方程组{2+2=−a 2×2=b，即可求解，得到答案.由题意，集合A ={x |x 2+ax +b =0}，B ={x |x 2+cx +6=0}，因为A ∩B ={2}，所以2∈B ，可得4+2c +6=0，c =−5，即B ={2,3}．又因为A ∪B =B ，所以A B 且2∈A ，得A ={2}．当A ={2}时，则满足{2+2=−a 2×2=b，解得a =−4，b =4， 所以存在实数a =−4，b =4，c =−5，使A ∪B =B 且A ∩B ={2}.小提示：本题主要考查了根据集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记的交集和并集的概念及运算，以及正确运用元素与集合的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18、已知集合A ={x |2−a ≤x ≤2+a }，B ={x|x ≤1或x ≥4}．（1）当a =3时，求A ∩B ；（2）“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案：（1）A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}；（2）{a|a <1}分析：（1）先求出集合A ={x |−1≤x ≤5}，再求A ∩B ；（2）先求出∁R B ={x|1<x <4}，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数a 的取值范围.（1）当a =3时，A ={x |−1≤x ≤5}.因为B ={x|x ≤1或x ≥4}，所以A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}；（2）因为B={x|x≤1或x≥4}，所以∁R B={x|1<x<4}. 因为“x∈A”是“x∈∁R B”的充分不必要条件，所以A∁R B.当A=∅时，符合题意，此时有2+a<2−a，解得：a<0.当A≠∅时，要使A∁R B，只需{2+a≥2−a2+a<42−a>1，解得：0≤a<1综上：a<1.即实数a的取值范围{a|a<1}.。

高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算【一】知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素〔假设A a ∉那么B a ∈〕，那么称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，那么A ＝B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法〔VENN 图〕.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N ＋或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.【二】疑难知识导析1.符号⊆，，⊇，，＝，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“＝”两种情况，同样“⊇”包括“”和“＝”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围、用集合表示不等式〔组〕的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断、空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B ＝Φ易漏掉的情况.5.假设集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.假设集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、VENN 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有N 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n2－1【三】经典例题导讲【例1】 集合M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝，那么M ∩N ＝〔 〕A 、〔0，1〕，〔1，2〕B 、｛〔0，1〕，〔1，2〕｝C 、｛Y ｜Y ＝1，或Y ＝2｝D 、｛Y ｜Y ≥1｝ 错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么、事实上M 、N 的元素是数而不是实数对（X ，Y ），因此M 、N 是数集而不是点集，M 、N 分别表示函数Y ＝X2＋1（X ∈R ），Y ＝X ＋1（X ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集、 正解：M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ∈R ｝、 ∴M ∩N ＝｛Y ｜Y ≥1｝∩｛Y ｜（Y ∈R ）｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， ∴应选D 、注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分｛X ｜Y ＝X2＋1｝、｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝、｛（X ，Y ）｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，这三个集合是不同的、【例2】 A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝，B ＝｛X ｜AX －2＝0｝且A ∪B ＝A ，求实数A 组成的集合C 、 错解：由X2－3X ＋2＝0得X ＝1或2、当X ＝1时，A ＝2， 当X ＝2时，A ＝1、错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B ＝时，仍满足A ∪B ＝A.当A ＝0时，B ＝，符合题设，应补上，故正确答案为C ＝｛0，1，2｝、正解：∵A ∪B ＝A ∴B A 又A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝＝｛1，2｝∴B ＝或{}{}21或 ∴C ＝｛0，1，2｝ 【例3】M ∈A ，N ∈B ， 且集合A ＝{}Z a a x x ∈=,2|，B ＝{}Z a a x x ∈+=,12|，又C ＝{}Z a a x x ∈+=,14|，那么有： 〔 〕A 、M ＋N ∈A B. M ＋N ∈B C.M ＋N ∈C D. M ＋N 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵M ∈A ，∴M ＝2A ，A Z ∈，同理N ＝2A ＋1，A ∈Z ， ∴M ＋N ＝4A ＋1，应选C错因是上述解法缩小了M ＋N 的取值范围.正解：∵M ∈A ， ∴设M ＝2A1，A1∈Z ， 又∵N B ∈，∴N ＝2A2＋1，A2∈ Z ，∴M ＋N ＝2（A1＋A2）＋1，而A1＋A2∈ Z ， ∴M ＋N ∈B ， 应选B.【例4】 集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0｝，集合B ＝｛X ｜P ＋1≤X ≤2P －1｝、假设BA ，求实数P 的取值范围、错解：由X2－3X －10≤0得－2≤X ≤5、 欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ P 的取值范围是－3≤P ≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B ＝时，符合题设、正解：①当B ≠时，即P ＋1≤2P －1P ≥2.由B A 得：－2≤P ＋1且2P －1≤5.由－3≤P ≤3.∴ 2≤P ≤3②当B ＝时，即P ＋1》2P －1P 《2.由①、②得：P ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝、A ∪B ＝，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题、【例5】 集合A ＝｛A ，A ＋B ，A ＋2B ｝，B ＝｛A ，AC ，AC2｝、假设A ＝B ，求C 的值、分析：要解决C 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式、解：分两种情况进行讨论、〔1〕假设A ＋B ＝AC 且A ＋2B ＝AC2，消去B 得：A ＋AC2－2AC ＝0，A ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故A ≠0、∴C2－2C ＋1＝0，即C ＝1，但C ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解、〔2〕假设A ＋B ＝AC2且A ＋2B ＝AC ，消去B 得：2AC2－AC －A ＝0，∵A ≠0，∴2C2－C －1＝0，即（C －1）（2C ＋1）＝0，又C ≠1，故C ＝－21、点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.【例6】 设A 是实数集，满足假设A ∈A ，那么a -11∈A ，1≠a 且1（A.⑴假设2∈A ，那么A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶假设A ∈A ，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A （ －1∈A （ 21∈A （ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，那么A ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶A ∈A （ a -11∈A （a --1111∈A （111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知A ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明A ，1－a 1， a -11三数互不相等.①假设A ＝a -11，即A2－A ＋1＝0 ，方程无解，∴A ≠a -11②假设A ＝1－a 1，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴A ≠1－a 1③假设1－a 1 ＝a -11，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否那么证明欠严谨.【例7】 设集合A ＝｛a ｜a ＝12+n ，n ∈N ＋｝，集合B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝，试证：A B 、证明：任设a ∈A ，那么a ＝12+n ＝（n ＋2）2－4（n ＋2）＋5 （n ∈N ＋），∵ N ∈N ×，∴ N ＋2∈N ×∴ A ∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝＝｛b ｜b ＝1)2(2+-k ，k ∈N ＋｝知1∈B ，于是A ≠B ②由①、② 得A B 、点评：〔1〕判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系、〔2〕判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义、【四】典型习题导练1、集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0，X ∈Z ｝，B ＝｛X ｜2X2－X －6》0， X ∈ Z ｝，那么A ∩B 的非空真子集的个数为〔 〕A 、16B 、14C 、15D 、322、数集｛1，2，X2－3｝中的X 不能取的数值的集合是〔 〕A 、｛2，－2 ｝B 、｛－2，－5 ｝C 、｛±2，±5 ｝D 、｛5，－5｝3. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，那么P ∩Q 等于〔 〕A 、PB 、QC 、D 、不知道4. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛（X ，Y ）｜Y ＝X2，X ∈R ｝，那么必有〔 〕A 、P ∩Q ＝B 、P QC 、P ＝QD 、P Q5、假设集合M ＝｛11|<x x ｝，N ＝｛x ｜2x ≤x ｝，那么M N ＝ 〔 〕A 、}11|{<<-x xB 、}10|{<<x xC 、}01|{<<-x xD 、∅6.集合A ＝｛X ｜X2＋（M ＋2）X ＋1＝0，X ∈R ｝，假设A ∩R ＋＝，那么实数M 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、7.〔06高考全国II 卷〕设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--假设()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。

高一数学第一章集合与常用逻辑用语好嘞，今天咱们聊聊高一数学的第一章，集合与常用逻辑用语。

听起来有点儿高深，但其实挺有趣的，像是一场数学的冒险。

集合这个词，听起来是不是有点像“大杂烩”？对，就是把不同的东西放到一起的感觉。

想象一下，咱们把各种水果放到一个篮子里，苹果、香蕉、橘子，统统都来了。

这就是集合。

它可以包含任何东西，比如数字、字母，甚至你最喜欢的动画角色。

把这些东西放到一起，就成了一个集合。

要是你问我，“嘿，集合里有什么？”我会说：“看你想要什么呀！我这儿有无限可能！”哈哈，没错，集合就这么简单又神奇。

然后呢，咱们得聊聊集合的运算。

听起来有点儿复杂，但其实就像打游戏一样。

咱们可以把集合进行并、交、补等操作。

并集就是把两个集合合起来，想象一下把你和朋友的零食合在一起，太完美了！交集嘛，就是找到两个集合里都存在的元素。

就好比你和朋友都是篮球迷，爱看的都是詹姆斯的比赛，那你们的共同爱好就是交集啦。

至于补集，简单来说就是集合外的那些东西。

就像你在学校里，咱们班的同学就是一个集合，而不在班里的同学就是补集。

数学可真有意思，让人忍不住想继续探索下去。

逻辑用语登场了！逻辑就像是数学的语言，表达方式别提多重要了。

有些小伙伴可能会觉得，逻辑和数学好像没什么关系，但其实是密不可分的。

想象一下，你在班级里开会，得说服大家去参加一次活动。

你要用逻辑，清晰地表达理由，才能让大家心服口服。

比如，“如果咱们去爬山，那就能锻炼身体”，这就是一个条件句。

听着就让人想动一动，对吧？逻辑用语的“如果……那么……”这种结构，让咱们表达观点时更有说服力。

除了“如果……那么……”，还有“并且”和“或者”，这两个小家伙就像是数学的调味料。

并且，表示两者同时成立，像你吃饭的时候，既要有米饭又要有菜，才能吃得饱饱的。

而“或者”就有趣多了，给你选择的自由。

就像你今天想喝可乐还是果汁，随便你，反正你都能爽一把。

用这些逻辑用语，我们可以搭建出严密的数学论证，简直就像建房子一样，一层一层的，稳稳当当。

高中数学第一章集合与常用逻辑用语知识点总结全面整理单选题1、设x∈R，则“1<x<2”是“−2<x<2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要答案：A分析：根据集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集可得答案.因为集合{x|1<x<2}是集合{x|−2<x<2}的真子集，所以“1<x<2”是“−2<x<2”的充分不必要条件.故选：A小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件，q对的集合与p对应集合互不包含．2、集合M={2,4,6,8,10},N={x|−1<x<6}，则M∩N=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}答案：A分析：根据集合的交集运算即可解出．因为M={2,4,6,8,10}，N={x|−1<x<6}，所以M∩N={2,4}．故选：A.3、已知集合A={x|x2−2x≤0}，B={−1,0,3}，则(∁R A)∩B=（）A．∅B．{0,1}C．{−1,0,3}D．{−1,3}答案：D分析：先由一元二次不等式的解法求得集合A，再由集合的补集和交集运算可求得答案.因为A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，所以∁R A={x|x<0或x>2}，又B={−1,0,3}，所以(∁R A)∩B={−1,3}，故选：D．4、若集合U={0,1,2,3,4,5},A={0,2,4}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A．{3}B．{5}C．{3,4,5}D．{1,3,4,5}答案：A分析：根据补集的定义和运算求出∁U A，结合交集的概念和运算即可得出结果.由题意知，∁U A={1,3,5}，又B={3,4}，所以(∁U A)∩B={3}.故选：A5、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.6、2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：C分析：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C ．7、若a 、b 为实数，则“ab >1”是“b >1a ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：D分析：利用推理判断或举特例说明命题“若ab >1，则b >1a ”和“若b >1a ，则ab >1”的真假即可作答.若ab >1成立，取a =−1,b =−2，而−2<1−1，即命题“若ab >1，则b >1a ”是假命题， 若b >1a 成立，取a =−1,b =2，而(−1)⋅2<0，即命题“若b >1a ，则ab >1”是假命题，所以“ab >1”是“b >1a ”的既不充分也不必要条件.故选：D8、下列命题中正确的是（ ）①∅与{0}表示同一个集合②由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}③方程(x −1)2(x −2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对答案：C分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．解：对于①，由于“0”是元素，而“{0}”表示含0元素的集合，而ϕ不含任何元素，所以①不正确；对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.综上可得只有②正确.故选：C.多选题9、已知集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，若A⊆B，则实数a可以为（）A．12B．1C．0D．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A=∅或A={1}或A={2}，从而1a 不存在，1a=1，1a=2，由此能求出实数a．解：∵集合A={x|ax=1}，B={0，1，2}，A⊆B，∴A=∅或A={1}或A={2}，∴1a 不存在，1a=1，1a=2，解得a=1，或a=1，或a=12．故选：ABC．小提示：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．10、以下满足{0,2,4}⊆A{0,1,2,3,4}的集合A有（）A．{0,2,4}B．{0,1,3,4}C．{0,1,2,4}D．{0,1,2,3,4}答案：AC分析：直接写出符合题意要求的所有集合A ，再去选项中选正确答案.由题意可知，集合A 包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A 为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD 均不符合要求，排除.故选：AC11、已知集合A ={x|x 2−x −6=0},B ={x|mx −1=0},A ∩B =B ，则实数m 取值为（ ）A ．13B ．−12C ．−13D ．0 答案：ABD解析：先求集合A ，由A ∩B =B 得B ⊆A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可解：由x 2−x −6=0，得x =−2或x =3，所以A ={−2,3}，因为A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当B =∅时，方程mx −1=0无解，则m =0，当B ≠∅时，即m ≠0，方程mx −1=0的解为x =1m ， 因为B ⊆A ，所以1m =−2或1m =3，解得m =−12或m =13，综上m =0，或m =−12，或m =13，故选：ABD小提示：此题考查集合的交集的性质，考查由集合间的包含关系求参数的值，属于基础题12、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，下列结论正确的是（ ）A ．方程x 2+(m −3)x +m =0有实数根的充要条件是m ∈{m|m <1或m >9}B ．方程x 2+(m −3)x +m =0有一正一负根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}C ．方程x 2+(m −3)x +m =0有两正实数根的充要条件是m ∈{m ∣0<m ≤1}D ．方程x 2+(m −3)x +m =0无实数根的必要条件是m ∈{m|m >1}答案：CD解析：根据充分条件和必要条件的定义对选项逐一判断即可.在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ=(m−3)2−4m≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m∈{m|m≤1或m≥9}，故A错误；在B中，二次方程有一正一负根，等价于{(m−3)2−4m>0m<0，解得m<0，方程有一正一负根的充要条件是m∈{m|m<0}，故B错误；在C中，方程有两正实数根，等价于{Δ=(m−3)2−4m≥03−m>0,m>0,解得0<m≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m∈{m∣0<m≤1}，故C正确；在D中，方程无实数根，等价于Δ=(m−3)2−4m<0得1<m<9，而{m|1<m<9}⊆{m|m>1}，故m∈{m|m>1}是方程无实数根的必要条件，故D正确；故选：CD．小提示：名师点评关于充分条件和必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的充分条件，则p可推出q，即p对应集合是q对应集合的子集；（2）若p是q的必要条件，则q可推出p，即q对应集合是p对应集合的子集；（3）若p是q的充要条件，则p，q可互推，即p对应集合与q对应集合相等.13、已知M为给定的非空集合，集合T={T1,T2,⋯,T n}，其中T i≠∅，T i⊆M，且T1∪T2∪⋯∪T n=M，则称集合T是集合M的覆盖；如果除以上条件外，另有T i∩T j=∅，其中i=1,2,3,⋯,n，j=1,2,3,⋯,n，且i≠j，则称集合T是集合M的划分.对于集合A={a,b,c}，下列命题错误的是（）A．集合S={{a,b},{b,c}}是集合A的覆盖B．集合Q={{a},{a,b},{a,c}}是集合A的划分C．集合E={{a},{b},{c}}不是集合A的划分D．集合F={{a},{a,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分答案：BC分析：根据集合新定义以及集合的交、并运算，逐一判断即可.对于A，集合S={{a,b},{b,c}}满足{a,b}⊆A，{b,c}⊆A，且{a,b}∪{b,c}=A，故集合S是集合A的覆盖，选项A正确；对于B，集合Q={{a},{a,b},{a,c}}中，{a,b}∩{a,c}≠∅，不满足题目定义中“T i∩T j=∅”，故集合Q={{a},{a,b},{a,c}}不是集合A的划分，选项B错误；对于C，集合E={{a},{b},{c}}是集合A的划分，因为{a}⊆A，{b}⊆A，{c}⊆A，且{a}∪{b}∪{c}=A，{a}∩{b}=∅，{b}∩{c}=∅，{a}∩{c}=∅，满足定义中的所有要求，选项C错误；对于D，集合F={{a},{a,c}}中，{a}∪{a,c}≠A，{a}∩{a,c}≠∅，故集合F={{a},{a,c}}既不是集合A的覆盖，也不是集合A的划分，选项D正确. 故选：BC.填空题14、命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．答案：存在一个无理数，它的平方不是有理数分析：根据全称命题的否定形式，即可求解结论.存在一个无理数，它的平方不是有理数，全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．所以答案是：存在一个无理数，它的平方不是有理数小提示：本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题. 15、若命题“∀x∈(3,+∞),x>a”是真命题，则a的取值范围是__________.答案：(−∞,3]分析：根据不等式恒成立求解即可.对于任意x>3,x>a恒成立，即大于3的数恒大于a,∴a⩽3.所以答案是：(−∞,3].16、若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案：m>3分析：由题，“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，则是(3,+∞)的真子集，可得答案. 因为“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，所以是(3,+∞)的真子集，所以m >3，故答案为m >3.小提示：本题考查了不要不充分条件，属于基础题.解答题17、在①A ∪B =B ；②“x ∈A ”是 “x ∈B ”的充分不必要条件；③A ∩B =∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：已知集合A ={x |a −1≤x ≤a +1}，B ={x |x 2−2x −3≤0}(1)当a =2时，求A ∪B ；(2)若______，求实数a 的取值范围.答案：(1)A ∪B ={x|−1≤x ≤3}(2)条件选择见解析，(−∞,−2)∪(4,+∞)分析：（1）化简集合A 与B 之后求二者的并集（2）先判断集合A 与B 的关系，再求a 的取值范围（1）当a =2时，集合A ={x|1≤x ≤3}，B ={x|−1≤x ≤3}，所以A ∪B ={x|−1≤x ≤3}；（2）若选择①A ∪B ＝B ，则A ⊆B ，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，所以A ≠∅，又B ={x|−1≤x ≤3}，所以{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[0,2]．若选择②，“x ∈A “是“x ∈B ”的充分不必要条件，则AB ，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，所以A ≠∅， 又B ={x|−1≤x ≤3}，(),m +∞(),m +∞所以{a −1≥−1a +1≤3，解得0≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[0,2]．若选择③，A ∩B =∅，因为A ={x|a −1≤x ≤a +1}，B ={x|−1≤x ≤3}，所以a −1>3或a +1<−1，解得a >4或a <−2，所以实数a 的取值范围是(−∞,−2)∪(4,+∞)．18、已知集合A ={x |x ≤−3或x ≥−1}，B ={x|2m <x <m −1}，且A ∪B =A ，求m 的取值范围． 答案：m ≤−2或m ≥−1分析：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，分别讨论B =ϕ和B ≠ϕ两种情况然后求并集.解：因为A ∪B =A ，所以B ⊆A ，当B =ϕ时，2m ≥m −1，解得：m ≥−1；当B ≠ϕ时，{2m <m −1m −1≤−3或{2m <m −12m ≥−1解得：m ≤−2或m ∈ϕ 所以m ≤−2或m ≥−1.。

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点归纳总结(精华版)单选题1、命题“∃x>1，x2≥1”的否定是（）A．∃x≤1，x2≥1B．∃x≤1，x2<1C．∀x≤1，x2≥1D．∀x>1，x2<1答案：D分析：根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.命题“∃x>1，x2≥1”的否定是“∀x>1，x2<1”，故选：D.2、设集合A、B均为U的子集，如图，A∩(∁U B)表示区域（）A．ⅠB．IIC．IIID．IV答案：B分析：根据交集与补集的定义可得结果.由题意可知，A∩(∁U B)表示区域II.故选：B.3、已知集合A={x|x≤1}，B={x∈Z|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0<x<1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0<x≤4}D．{0,1}答案：D分析：根据集合的交运算即可求解.由B={x∈Z|0≤x≤4}得B={0,1,2,3,4}，所以A∩B={0,1}，故选：D4、已知集合A={x|x2−3x−4<0},B={−4,1,3,5}，则A∩B=（）A．{−4,1}B．{1,5}C．{3,5}D．{1,3}答案：D分析：首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得A∩B，得到结果.由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，又因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}，故选：D.小提示：本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.5、若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5,6}，B={x|x<3}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{3,4,5,6}B．{0,1,2}C．{0,1,2,3}D．{4,5,6}答案：A分析：根据图中阴影部分表示(∁U B)∩A求解即可.由题知：图中阴影部分表示(∁U B)∩A，∁U B={x|x≥3}，则(∁U B)∩A={3,4,5,6}.故选：A6、已知集合S={s|s=2n+1,n∈Z}，T={t|t=4n+1,n∈Z}，则S∩T=（）A．∅B．S C．T D．Z答案：C分析：分析可得T⊆S，由此可得出结论.任取t∈T，则t=4n+1=2⋅(2n)+1，其中n∈Z，所以，t∈S，故T⊆S，因此，S∩T=T.故选：C.7、已知命题p：∃x∃N，e x<0（e为自然对数的底数），则命题p的否定是（）A．∃x∃N，e x<0B．∃x∃N，e x>0C．∃x∃N，e x≥0D．∃x∃N，e x≥0答案：D分析：根据命题的否定的定义判断．特称命题的否定是全称命题．命题p的否定是：∃x∃N，e x≥0．故选：D．8、设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：A分析：记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出A D，，所以甲是丁的充分不必要条件.记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得，B=C，由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.9、已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}答案：D分析：根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D10、已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}答案：D分析：根据交集的定义写出A∩B即可．集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D多选题11、若x2−x−2<0是−2<x<a的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）．A．1B．2C．3D．4答案：BCD分析：根据充分必要条件得出a范围，可得选项.由x2−x−2<0得−1<x<2，因此，若x2−x−2<0是−2<x<a的充分不必要条件，则a≥2．故选：BCD．小提示：本题考查根据充分必要条件求参数的范围，属于基础题.12、使a∈R，|a|<4成立的充分不必要条件可以是（）A．a<4B．|a|<3C．−4<a<4D．0<a<3答案：BD分析：根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.由|a|<4可得a的集合是(−4,4)，(−∞,4)，所以a<4是|a|<4成立的一个必要不充分条件；A.由(−4,4)⊂≠(−4,4)，所以|a|<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；B.由(−3,3)⊂≠C.由(−4,4)=(−4,4)，所以−4<a<4是|a|<4成立的一个充要条件；D.由(0,3)(−4,4)，所以0<a<3是|a|<4成立的一个充分不必要条件；故选：BD.13、已知集合A={4，a}，B={1，a2}，a∈R，则A∪B可能是（）A．{-1，1，4}B．{1，0，4}C．{1，2，4}D．{-2，1，4}答案：BCD分析：根据集合元素的互异性讨论参数范围即可得结果．若A∪B含3个元素，则a=1或a=a2或a2=4，a=1时，不满足集合元素的互异性，a=0，a=2或a=−2时满足题意，结合选项可知，A∪B可能是{1，0，4}，{1，2，4}，{-2，1，4}．故选：BCD．14、(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有（）A．若x，y是偶数，则x＋y是偶数B．若a＜2，则方程x2－2x＋a＝0有实根C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形D．若ab＝0，则a＝0答案：BCD分析：根据必要条件的定义逐一判断即可.A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有(−2)2−4a≥0⇒a≤1，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD15、对任意实数a、b、c，给出下列命题，其中真命题是（）A．“a=b”是“ac=bc”的充要条件B．“a>b”是“a2>b2”的充分条件C．“a<5”是“a<3”的必要条件D．“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件答案：CD分析：利用特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断A、B选项的正误；利用必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用充要条件的定义可判断D选项的正误.对于A，因为“a=b”时ac=bc成立，ac=bc且c=0时，a=b不一定成立，所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故A错；对于B，a=−1，b=−2，a>b时，a2<b2；a=−2，b=1，a2>b2时，a<b.所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；对于C，因为“a<3”时一定有“a<5”成立，所以“a<3”是“a<5”的必要条件，C正确；对于D“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，D正确.故选：CD.小提示：本题考查充分条件、必要条件的判断，考查了充分条件和必要条件定义的应用，考查推理能力，属于基础题.16、已知集合A ={x ∣x 2−2x −3=0}，B ={x ∣ax =1}，若B ⊆A ，则实数a 的可能取值（ ）A ．0B ．3C ．13D ．−1答案：ACD解析：由集合间的关系，按照a =0、a ≠0讨论，运算即可得解.∵集合A ={−1,3}，B ={x |ax =1}，B ⊆A ，当a =0时，B =∅，满足题意；当a ≠0时，B ={x |ax =1}={1a }，要使B ⊆A ，则需要满足1a =−1或1a =3，解得a =−1或a =13，∴a 的值为0或−1或13.故选：ACD .17、设A ={x|x 2−8x +15=0}，B ={x|ax +1=0}，若A ∩B =B ，则实数a 的值可以为（）A ．−15B ．0C ．3D ．−13答案：ABD分析：根据A ∩B =B ，得到B ⊆A ，然后分a =0， a ≠0讨论求解.∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，A ={x|x 2−8x +15=0}={3,5} ，当a =0时，B =∅，符合题意；当a ≠0时，B ={−1a } ，要使B ⊆A ，则−1a =3或−1a =5，解得a =−13或a =−15． 综上，a =0或a =−13或a =−15．故选：ABD ．18、下列说法正确的是（ ）A ．“对任意一个无理数x ，x 2也是无理数”是真命题B ．“xy >0”是“x +y >0”的充要条件C ．命题“∃x ∈R, x 2+1=0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+1≠0”D ．若“1<x <3”的必要不充分条件是“m −2<x <m +2”，则实数m 的取值范围是[1,3]答案：CD解析：根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项．x =√2是无理数，x 2=2是有理数，A 错；x =−1,y =−2时，xy >0，但x +y =−3<0，不是充要条件，B 错；命题∃x ∈R,x 2+1=0的否定是：∀x ∈R,x 2+1≠0，C 正确；“1<x <3”的必要不充分条件是“m −2<x <m +2”，则{m −2≤1m +2≥3，两个等号不同时取得．解得1≤m ≤3．D 正确．故选：CD ．小提示：关键点点睛：本题考查命题的真假判断，解题要求掌握的知识点较多，需要对四个选项一一判断．但求解时根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断，对有些错误的命题可以举例说明其不正确．19、（多选）下列是“a <0，b <0”的必要条件的是（ ）A ．(a +1)2+(b +3)2=0B ．a +b <0C ．a −b <0D ．a b >0答案：BD分析：由a<0,b<0判断各个选项是否成立可得．取a=−2，b=−4，得(a+1)2+(b+3)2=2≠0，故A不是“a<0，b<0”的必要条件；由a<0，b<0，得a+b<0，故B是“a<0，b<0”的必要条件；取a=−2，b=−4，得a−b=−2−(−4)=2>0，故C不是“a<0，b<0”的必要条件；>0，故D是“a<0，b<0”的必要条件．由a<0，b<0，得ab故选：BD．20、下列关系正确的是（）A．0∉∅B．∅⊆{0}C．{∅}⊆{0}D．∅{∅}答案：ABD分析：利用元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系判断即可.由空集的定义知：0∉∅，A正确.∅⊆{0},B正确.{∅}⊄{0}，C错误.∅{∅},D正确.故选：ABD.填空题21、已知集合A={x|x<-1，或x>2}，B={x|2a≤x≤a+3}，若“x∃A”是“x∃B”的必要条件，则实数a的取值范围是______.答案：(-∞，-4)∃(1，+∞)分析：根据题目条件可得B ∃A ，对B 进行分类讨论求出实数a 的取值范围.因为“x ∃A ”是“x ∃B ”的必要条件，所以B ∃A ，当B =∃时满足题意，即2a >a +3，所以a >3；当B ≠∃时，{2a ≤a +3a +3<-1 或{2a ≤a +32a >2， 解得：a <-4或1<a ≤3；综上可得，实数a 的取值范围是(-∞，-4)∃(1，+∞).所以答案是：(-∞，-4)∃(1，+∞).22、设非空集合Q ⊆M ，当Q 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称Q 是M 的偶子集，若集合M ={1,2,3,4,5,6,7}，则其偶子集Q 的个数为___________.答案：63分析：对集合Q 中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合Q 的个数，综合可得结果.集合Q 中只有2个奇数时，则集合Q 的可能情况为：{1,3}、{1,5}、{1,7}、{3,5}、{3,7}、{5,7}，共6种， 若集合Q 中只有4个奇数时，则集合Q ={1,3,5,7}，只有一种情况，若集合Q 中只含1个偶数，共3种情况；若集合Q 中只含2个偶数，则集合Q 可能的情况为{2,4}、{2,6}、{4,6}，共3种情况；若集合Q 中只含3个偶数，则集合Q ={2,4,6}，只有1种情况.因为Q 是M 的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合Q 中的元素全为偶数，则满足条件的集合Q 的个数为7；若集合Q 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共7种；若集合Q 中的元素是2个奇数1个偶数，共6×3=18种；若集合Q 中的元素为2个奇数2个偶数，共6×3=18种；若集合Q中的元素为2个奇数3个偶数，共6×1=6种；若集合Q中的元素为4个奇数1个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数2个偶数，共1×3=3种；若集合Q中的元素为4个奇数3个偶数，共1种.综上所述，满足条件的集合Q的个数为7+7+18+18+6+3+3+1=63.所以答案是：63.23、若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案：m>3分析：由题，“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则(m,+∞)是(3,+∞)的真子集，可得答案. 因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m,+∞)是(3,+∞)的真子集，所以m>3，故答案为m>3.小提示：本题考查了不要不充分条件，属于基础题.。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总单选题1、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.2、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.3、已知集合S={x∈N|x≤√5}，T={x∈R|x2=a2}，且S∩T={1}，则S∪T=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.4、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．7、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q> 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.多选题9、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）A．0≤m<4B．0<m<2C．1<m<4D．−1<m<6答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.10、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．11、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.填空题12、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．13、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：014、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．解答题15、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

(名师选题)2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语易错知识点总结单选题1、已知“命题p:∃x ∈R,使得ax 2+2x +1<0成立”为真命题，则实数a 满足（ ）A ．[0，1)B ．(-∞，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，1]答案：B分析：讨论a =0或a ≠0，当a =0时，解得x <−12，成立；当a ≠0时，只需{a >0Δ>0或a <0即可. 若a =0时，不等式ax 2+2x +1<0等价为2x +1<0，解得x <−12，结论成立.当a ≠0时，令y =ax 2+2x +1，要使ax 2+2x +1<0成立，则满足{a >0Δ>0或a <0，解得0<a <1或a <0，综上a <1， 故选：B .小提示：本题考查了根据特称命题的真假求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.2、设全集U ={1,2,3,4,5}，集合M 满足∁U M ={1,3}，则（ ）A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M答案：A分析：先写出集合M ,然后逐项验证即可由题知M ={2,4,5},对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A3、若集合A ={x ∣|x |≤1,x ∈Z }，则A 的子集个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．8分析：先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.解：A={x∥x∣≤1,x∈Z}={−1,0,1}，则A的子集个数为23=8个，故选：D.4、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.5、“a=0”是关于x的不等式ax−b≥1的解集为R的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件答案：B分析：取a=0，b=1时可判断充分性；当不等式ax−b≥1的解集为R时，分a>0，a<0，a=0讨论可判断必要性.若a=0，取b=1时，不等式ax−b≥1⇔−1≥1，此时不等式解集为∅；}，当a>0时，不等式ax−b≥1的解集为{x|x≥b+1a}，当a<0时，不等式ax−b≥1的解集为{x|x≤b+1a当a=0，且b≤−1时，不等式ax−b≥1⇔−b≥1⇔b≤−1，所以，若关于x的不等式ax−b≥1的解集为R，则a=0.综上，“a=0”是关于x的不等式ax−b≥1的解集为R的必要非充分条件.6、设集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}．若A∩B=B，则实数a的值为（）A．1B．−1C．1或−1D．0或1或−1答案：D分析：对a进行分类讨论，结合B⊆A求得a的值.由题可得A={x|x2=1}={1,−1}，B⊆A，当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B={1a }，则1a=1或1a=−1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D.7、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.8、已知集合A={x|1x>1}，则∁R A=（）A．{x|x<1}B．{x|x≤0或x≥1}C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x|1≤x}答案：B分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集由1x >1，得1−xx>0，x(1−x)>0，解得0<x<1，所以A={x|0<x<1}，所以∁R A={x|x≤0或x≥1}故选：B9、已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|−1<x<2}B．{x|−1<x≤2}C．{x|0≤x<1}D．{x|0≤x≤2}答案：B分析：结合题意利用并集的定义计算即可.由题意可得：A∪B={x|−1<x≤2}.故选：B.10、已知p:0<x<2，q:−1<x<3，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分不必要条件答案：A分析：根据充分和必要条件的定义即可求解.由p:0<x<2，可得出q:−1<x<3，由q:−1<x<3，得不出p:0<x<2，所以p是q的充分而不必要条件，故选：A.11、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.12、已知U=R，M={x|x≤2}，N={x|−1≤x≤1}，则M∩∁U N=（）A．{x|x<−1或1<x≤2}B．{x|1<x≤2}C．{x|x≤−1或1≤x≤2}D．{x|1≤x≤2}答案：A分析：先求∁U N，再求M∩∁U N的值.因为∁U N={x|x<−1或x>1}，所以M∩C U N={x|x<−1或1<x≤2}.故选：A.双空题13、请写一个与集合知识有关的全称量词命题或存在量词命题，并写出该命题的否定．原命题：_____________________，原命题的否定：___________________________．答案：∃x∈Q，x∈Z. ∀x∈Q，x∉Z（答案不唯一）分析：根据全称量词命题或存在量词命题与该命题的否定定义填写即可．原命题：∃x∈Q，x∈Z；原命题的否定：∀x∈Q，x∉Z．14、设全集U={1,2,3,4,5,6}，U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如{2,5}表示的是从左往右数第2个字符为1，第5个字符为1，其余均为0的6位字符串010010，并规定空集表示的字符串为000000.（1）若M={1,3,4}，则∁U M表示的6位字符串为______；（2）若A={2,3}，集合A∪B表示的字符串为011011，则满足条件的集合B的个数为______.答案： 010011 4分析：（1）先求出∁U M={2,5,6}，然后根据字符串的定义求解即可，（2）由已知可求得A∪B={2,3,5,6}，而A={2,3}，从而可求出集合B（1）因为U={1,2,3,4,5,6}，M={1,3,4}，所以∁U M={2,5,6}，所以∁U M表示的6位字符串为010011.（2）因为集合A∪B表示的字符串为011011，所以A∪B={2,3,5,6}，又A={2,3}，所以集合B可能为{5,6}，{2,5,6}，{3,5,6}，{2,3,5,6}，即满足条件的集合B的个数为4.所以答案是：（1）010011，（2）415、用“充分不必要”或“必要不充分”填空：（1）“x≠3”是“|x|≠3”的_____条件.（2）“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的_____条件.答案：必要不充分充分不必要分析：（1）根据必要不充分条件的定义判断可得答案；（2）根据充分不必要条件的定义判断可得答案（1）因为当x=−3时，|x|=3，所以“x≠3”不能推出“|x|≠3”当|x|≠3时，可以推出x≠3，所以“x≠3”是“|x|≠3”的必要不充分条件.（2）因为个位数字是5的自然数都能被5整除，而自然数能被5整除时，其个位数字也可能为0，即“这个自然数能被5整除”不能够推出“这个自然数的个位数字为5”所以“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分不必要条件.所以答案是：必要不充分；充分不必要16、已知全集U={2,3,5}，集合A={x|x2+bx+c=0}，若∁U A={2}，则b=_______，c=_______．答案：−8 15分析：根据补集的结果推出集合A，可知方程x2+bx+c=0的两个实数根为3和5，利用根与系数的关系即可求得b、c.∵∁U A={2}，∴A={3,5}，∴方程x2+bx+c=0的两个实数根为3和5，∴b=−(3+5)=−8,c=3×5=15．所以答案是：−8；15小提示：本题考查集合补集的概念、一元二次方程，属于基础题.17、若集合A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，则B=_________（用列举法表示），集合A与集合B的关系为：A____B（填入适当的符号）.答案：{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}∈分析：由集合A及集合B中元素与A的关系知B是由A集合的子集构成的集合，应用列举法写出集合B，即可得到答案因为A={1,2,3}，B={x|x⊆A}，所以集合B中的元素是集合A的子集：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，所以集合B={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，因为集合A={1,2,3}是集合B的一个元素，所以A∈B，所以答案是：{∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}；∈解答题18、定义：若任意m,n∈A（m，n可以相等），都有1+mn≠0，则集合B={x|x=m+n1+mn,m,n∈A}称为集合A的生成集；(1)求集合A={3,4}的生成集B；(2)若集合A={a,2}，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；(3)若集合A=(−1,1)，A的生成集为B，求证A=B.答案：(1)B={35,817,713}(2)a=±1或a=12(3)证明见解析分析：（1）根据新定义算出x的值即可求出B；（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出a的值；（3）求出B的范围即可证明出结论（1）由题可知，(1)当m=n=3时，x=3+31+3×3=35，(2) 当m=n=4时，x=4+41+4×4=817，（3）当m=3,n=4或m=4,n=3时，x=3+41+3×4=713所以B={35,817,713}（2）（1）当m=n=2时，x=2+21+2×2=45，（2）当m=n=a时，x=a+a1+a2=2a1+a2（3）当m=2,n=a或m=a,n=2时，x=2+a1+2a B的子集个数为4个，则B中有2个元素，所以45=2a1+a2或2a1+a2=2+a1+2a或2+a1+2a=45，解得a=±1或a=12（a=2舍去）,所以a=±1或a=12.（3）证明：∀m,n∈(−1,1)=A，m+n 1+mn +1=(m+1)(n+1)1+mn>0，m+n 1+mn −1=−(m−1)(n−1)1+mn<0，∴−1<m+n1+mn<1，即B=(−1,1)∴B⊆A，又A=(−1,1)，所以A⊆B，所以A=B19、设p：|2x+1|<3，q：x−(2a+1)<0.(1)若a=1，且p、q均为真命题，求满足条件的实数x构成的集合；(2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.答案：(1){x|−2<x<1}(2)[0,+∞)分析：（1）当a=1时，分别化简p与q，再取交集即得所求（2）p是q的充分条件，则p所表示的取值范围是q 所表示的取值范围的子集，利用集合的包含关系即可求解（1）因为p：−2<x<1，q：x−3<0，即x<3，所以p、q均为真命题，则取公共部分得实数x构成的集合为{x|−2<x<1}；（2）（2）因为p是q的充分条件，且p：−2<x<1，q：x<2a+1，所以(−2,1)⊆(−∞,2a+1)，所以2a+1≥1，解得a≥0，故实数a的取值范围是[0,+∞).20、已知集合A={x|x2−2x−8=0}，集合B={x|x2+ax+a2−12=0}.若B∪A≠A，求实数a的取值范围. 答案：{a|−4≤a<4，a≠−2}分析：求得集合A，从反面入手，B∪A=A⇔B⊆A，然后分类讨论求得a的范围，最后再求其在R中的补集即得．若B∪A=A，则B⊆A，又∵A={x|x2−2x−8=0}={−2，4}，∴集合B有以下三种情况：①当B=∅时，Δ=a2−4(a2−12)<0，即a2>16，∴a<−4或a>4，②当B是单元素集时，Δ=a2−4(a2−12)=0，∴a=−4或a=4，若a=−4，则B={2}不是A的子集，若a=4，则B={−2}⊆A，∴a=4，③当B={−2，4}时，−2、4是方程x2+ax+a2−12=0的两根，∴{−a=−2+4a2−12=−2×4，∴a=−2，综上可得，B∪A=A时，a的取值范围为a<−4或a=−2或a≥4，∴满足B∪A≠A的实数a的取值范围为{a|−4≤a<4，a≠−2}.。

第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。

(每日一练)高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总单选题1、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．2、下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；A．0B．1C．2D．3答案：C分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案. 对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C3、集合A={0,−1,a2},B={−2,a4}.若A∪B={−2,−1,0,4,16}，则a=（）A．±1B．±2C．±3D．±4答案：B分析：根据并集运算，结合集合的元素种类数，求得a的值.由A∪B={−2,−1,0,4,16}知，{a2=4，解得a=±2a4=16故选：B4、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.5、设集合A={2,a2−a+2,1−a}，若4∈A，则a的值为（）．A．−1，2B．−3C．−1，−3，2D．−3，2答案：D分析：由集合中元素确定性得到：a=−1，a=2或a=−3，通过检验，排除掉a=−1.由集合中元素的确定性知a2−a+2=4或1−a=4．当a2−a+2=4时，a=−1或a=2；当1−a=4时，a=−3．当a=−1时，A={2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a=−1舍去；当a=2时，A={2,4,−1}满足集合中元素的互异性，故a=2满足要求；当a=−3时，A={2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a=−3满足要求．综上，a=2或a=−3．故选：D．6、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.7、设集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}．若A∩B=B，则实数a的值为（）A．1B．−1C．1或−1D．0或1或−1答案：D分析：对a进行分类讨论，结合B⊆A求得a的值.由题可得A={x|x2=1}={1,−1}，B⊆A，当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B={1a }，则1a=1或1a=−1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D.8、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.9、集合A={0,1,2}的非空真子集的个数为（）A．5B．6C．7D．8答案：B分析：根据真子集的定义即可求解.由题意可知，集合A的非空真子集为{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}，共6个. 故选：B.10、已知集合A={x|−1<x<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（）A．{x|−1<x<2}B．{x|−1<x≤2}C．{x|0≤x<1}D．{x|0≤x≤2}答案：B分析：结合题意利用并集的定义计算即可.由题意可得：A∪B={x|−1<x≤2}.故选：B.多选题11、下列四个命题中正确的是（）A．∅={0}3所组成的集合最多含2个元素B．由实数x，－x，|x|，√x2，−√x3C．集合{x|x2−2x+1=0}中只有一个元素∈N}是有限集D．集合{x∈N|5x答案：BCD分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案.对于A，空集不含任何元素，集合{0}有一个元素0，所以∅={0}不正确；3=−x，且在x，－x，|x|中，当x>0时，|x|=x，当x<0时，|x|=−x，当对于B，由于√x2=|x|，−√x3x=0时，|x|=x=−x=0，三者中至少有两个相等，所以由集合中元素的互异性可知，该集合中最多含2个元素，故B正确；对于C，{x|x2−2x+1=0}={1}，故该集合中只有一个元素，故C正确；∈N}={1,5}是有限集，故D正确．对于D，集合{x∈N|5x故选：BCD．12、已知A、B为实数集R的非空集合，则A⫋B的必要不充分条件可以是（）A．A∩B＝A B．A∩∁R B＝∅C．∁R B⫋∁R A D．B∪∁R A＝R答案：ABD分析：根据集合之间的关系和必要不充分条件的定义即可判断．解：因为A⫋B⇔∁R B⫋∁R A，所以∁R B⫋∁R A是A⫋B的充分必要条件，因为A⫋B⇒A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∩∁R B＝∅⇔B∪∁R A＝R，故选：ABD．13、整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，其中k∈{0,1,2,3,4}．以下判断正确的是（）A．2021∈[1]B．−2∈[2]C．Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D．若a−b∈[0]，则整数a，b属同一类答案：ACD分析：根据题意可知，一个类即这些整数的余数相同，进而求出余数即可.对A，2021=404×5+1，即余数为1，正确；对B，−2=−1×5+3，即余数为3，错误；对C，易知，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，正确；对D，由题意a−b能被5整除，则a,b分别被5整除的余数相同，正确.故选：ACD.14、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④¬p是¬s的必要条件而不是充分条件；则正确命题序号是（）A．①B．②C．③D．④答案：ABD分析：根据题设有p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，即知否定命题的推出关系，判断各项的正误.由题意，p⇒r⇔s⇔q，但r⇏p，故①②正确，③错误；所以，根据等价关系知：¬ s⇔¬ q⇔¬ r⇒¬ p且¬p⇏¬ r，故④正确.故选：ABD15、下列结论正确的是（）A．“x2＞1”是“x＞1”的充分不必要条件B．设M⫋N，则“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件C．“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件D．“a＞1且b＞1”是“a+b＞2且ab＞1”的充分必要条件答案：BC分析：根据不等式的性质可判断A和D；由集合之间的包含关系可判断B；由数的奇偶性可判断C．对于选项A：x2>1⇒x>1，x>1⇒x2>1，所以“x2>1”是“x>1”的必要不充分条件，故A错误；对于选项B：由MN得∁R N∁R M，则x∉N⇒x∉M，x∉M⇒x∉N，所以“x∉M”是“x∉N”的必要不充分条件，故B正确；对于选项C：由“a，b都是偶数”可以得到“a+b是偶数”，但是当“a+b是偶数”时，a，b可能都是奇数，所以“a，b都是偶数”是“a+b是偶数”的充分不必要条件，故C正确；对于选项D：“a>1，且b>1”⇒“a+b>2且ab>1”，而由“a+b>2且ab>1”⇒“a>1，且b>1”，比如a=3，b=1. 所以“a>1，且b>1”是“a+b>2且ab>1”的充分不必要条件，故D错误.2故选：BC．16、若集合A={x|x=m2+n2,m,n∈Z}，则（）A．1∈A B．2∈A C．3∈A D．4∈A答案：ABD解析：分别令m2+n2等于1,2,3,4，判断m,n是否为整数即可求解.对于选项A：m2+n2=1，存在m=0,n=1或m=1,n=0使得其成立，故选项A正确；对于选项B：m2+n2=2，存在m=1,n=1，使得其成立，故选项B正确；对于选项C：由m2+n2=3，可得m2≤3，n2≤3，若m2=0则n2=3可得n=±√3，n∉z，不成立；若m2=1则n2=2可得n=±√2，n∉z，不成立；若m2=3，可得n2=0，此时m=±√3，m∉z，不成立；同理交换m 与n ，也不成立，所以不存在m,n 为整数使得m 2+n 2=3成立，故选项C 不正确；对于选项D ：m 2+n 2=4，此时存在m =0,n =2或m =2,n =0使得其成立，故选项D 正确，故选：ABD.17、设A ={x |x 2−9x +14=0 }，B ={x |ax −1=0 }，若A ∩B =B ，则实数a 的值可以为（ ）A ．2B ．12C ．17D ．0答案：BCD分析：先求出集合A ，再由A ∩B =B 可知B ⊆A ，由此讨论集合B 中元素的可能性，即可判断出答案. 集合A ={x|x 2−9x +14=0}={2，7}，B ={x|ax −1=0}，又A ∩B =B ，所以B ⊆A ，当a =0时，B =∅，符合题意，当a ≠0时，则B ={1a }，所以1a =2或1a =7，解得a =12或a =17，综上所述，a =0或12或17, 故选：BCD18、已知下列说法：①命题“∃x ∈R ，x 2+1>3x ”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1<3x ”；②命题“∀x ，y ∈R ，x 2+y 2≥0”的否定是“∃x ，y ∈R ，x 2+y 2<0”；③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④命题：对任意x ∈R ，总有x 2>0.其中说法错误的是（ ）A．①B．②C．③D．④答案：ACD分析：①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.对于①，命题“∃x∈R，x2+1>3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”，故错误；对于②，命题“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x，y∈R，x2+y2<0”，正确；对于③，“a>2”是“a>5”的必要不充分条件，故错误；对于④，当x=0时x2=0，故错误.故选：ACD.19、已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件.下列命题中正确的是（）A．s是q的充要条件B．p是q的充分条件而不是必要条件C．r是q的必要条件而不是充分条件D．¬p是¬s的必要条件而不是充分条件答案：ABD分析：根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.将四个条件写成：p⇒r，且r不能推出p；q⇒r；r⇒s；s⇒q，所以q⇒r⇒s，所以s⇔q，故A正确；p⇒r⇒s⇒q,q⇒r不能推出p，故B正确；r⇒s⇒q，又q⇒r，故r是q的充要条件，故C错误；由p⇒r⇒s，可得¬s⇒¬p，由s⇒q⇒r不能推出p，可得¬p不能推出¬s，故D正确.故选：ABD20、已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={(x,y)|y=x2+1}，下列关系正确的是（）．A．(1,2)∈B B．A=B C．0∉A D．(0,0)∉B答案：ACD分析：根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式．由已知集合A={y}y≥1}=[1,+∞)，集合B是由抛物线y=x2+1上的点组成的集合，A正确，B错，C正确，D正确，故选：ACD．小提示：本题考查集合的概念，确定集合中的元素是解题关键．填空题21、已知p:x>2，q:x>1，则p是q的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．答案：充分条件分析：根据集合关系判断即可得答案.设命题p:x>2对应的集合为A={x|x>2},命题q：x>1对应的集合为B={x|x|x>1},因为A⊊B,所以命题p是命题q的充分条件.所以答案是：充分条件.小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）若p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）若p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）若p是q的既不充分又不必要条件，则q对的集合与p对应集合互不包含．1122、若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p=12(a+b+c)，则该三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若△ABC的周长为8，AB=2，则该三角形面积的最大值为___________.答案：2√2分析：计算得到p=4，c=2，a+b=6，根据均值不等式得到ab≤9，代入计算得到答案.p=12(a+b+c)=4，c=2，a+b=6，a+b=6≥2√ab，ab≤9，当a=b=3时等号成立.S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=√8(4−a)(4−b)=√128−32(a+b)+8ab≤2√2.所以答案是：2√2.23、已知命题p:“∀x∈R，2kx2+kx−38<0恒成立”是真命题，则实数k的取值范围是___________.答案：(−3,0]分析：分k=0与k≠0两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数k的不等式组，由此可解得实数k的取值范围.已知命题p:“∀x∈R，2kx2+kx−38<0恒成立”是真命题.当k=0时，则有−38<0恒成立，合乎题意；当k≠0时，则有{2k<0Δ=k2+3k<0，解得−3<k<0.综上所述，实数k的取值范围是(−3,0].所以答案是：(−3,0].小提示：名师点评利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设f(x)=ax2+bx+c (a≠0)①f(x)>0在R上恒成立，则{a>0Δ<0；12②f(x)<0在R上恒成立，则{a<0Δ<0；③f(x)≥0在R上恒成立，则{a>0Δ≤0；④f(x)≤0在R上恒成立，则{a<0Δ≤0.13。