在扌比注屮理解透(单纯诅记无瘪也深刻理解提能力)
1. 异面直线所成角
设异面直线a, b所成的角为0,则cos 0=曹岂？,其中a, b分别是直线a, b的方向 一™™ la Ub|
向量.
2. 直线与平面所成角
如图所示，设I为平面a的斜线，IQ a= A, a为I的方向向量，n为平面a的法向量,
la • I ?
Sin "=」cos…a,n…L=|a||n| .
“两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为 (0, n)所以公式中要
加绝对值.
啬直线与平面所成角的范围为 0, n I,而向量之间的夹角的范围为 ［0, n］所以公式中
要加绝对值.
和利用公式与二面角的平面角时，要注意〈 n1, n2>与二面角大小的关系，是相等还是
互补，需要结合图形进行判断.
［熟记常用结论］
解空间角最值问题时往往会用到最小角定理利用空间向量求空间角
0为I与a所成的角，则
3. 二面角
(1)若AB , CD分别是二面角 a-l- 3的两个平面内与棱 I垂直的异面直线，则二面角
其补角)的大小就是向量^AB与的夹角，如图(1).
(2)平面a与3相交于直线I，平面 a的法向量为ni,平面3的法向量为n2, < n 1, n?〉
=0,则二面角a -I - 3为0或n— 0.设二面角大小为 沁1切=|cos0 =躺
，如图(2)(3).
图⑴ 图⑵ 图⑶ ■>
-- > --- >
cos BM , AN BM
・—> —> |BM ||AN | 3 =V30
,6X 5 10
2.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱 )ABC-A1B1C1的底面边长为
2,侧棱长为2 2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为 ______________
--- > ----- > ------------------- >
解析：以A为坐标原点，以 AB , AE (AE丄AB), AA1所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 D为AB的 COS 0= COS 01COS 02.
教学内容 利用向量方法求空间角
教学目标 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．
重点 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．
难点 1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别，体会求空间角中的转化思想．
教学准备
教
学
过
程
自主梳理
1．两条异面直线的夹角
①定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．
②范围：两异面直线夹角θ的取值范围是_____________________．
③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝________＝_______________.
2．直线与平面的夹角
①定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．
②范围：直线和平面夹角θ的取值范围是________________________．
③向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.
3．二面角
(1)二面角的取值范围是____________．
(2)二面角的向量求法：
①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB→与CD→的夹角(如图①)．
②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．
自我检测
1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________．
高中 | 数学 高
中
数
学
︵
向
量
法
求
空
间
角
︶ 培
优
篇
1
考点1：异面直线所成的角
若异面直线l
1，l
2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝|u·v|
|
u||v
|．
考点2：直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向向量法求空间角 高
中
数
学
︵
向
量
法
求
空
间
角
︶ 培
优
篇
2 量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
u·n
|u||n|＝|u·n|
|u||n|．
考点3：平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角
称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n
1和n
2，则平面α与平面β的夹角即为向量n
1和n
2的夹角或
其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n
1，n
2〉|＝|n
1·n
2|
|n
1||n
2|．
【常用结论总结】
1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，
即sin θ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|．
2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0,
2
．
【例1】 直三棱柱ABC-A
1B
1C
1如图所示，AB=4
，BC
=3
，
AC
=5
，D
为棱AB
的中点，三棱柱
的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π
，则异面直线A
1D
和B
1C
所成的角的余弦值
为（
） 高中 | 数学 高
中
数
学
︵
向
量
法
求
空
间
角
︶
培
优
篇
3 A
．32
5
B
．2
5 C
．42
5 D
．162
25
【例2】 如图，四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，△𝑃𝐴𝐷是正三角形，𝐴𝐵=2，平
面𝑃𝐴𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，则𝑃𝐶与𝐵𝐷所成角的余弦值为（
）
A
．1
4
B
．2
4 C
．1
3 D
．3
课时作业51 利用空间向量求空间角
1．(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
解：(1)∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，
AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．
由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，
∴AB⊥BE，AB⊥BD.
以B为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
依题意，得B(0,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
A(0,0,1)，M(0，12，12)，
则BC→＝(1,1,0)，BM→＝(0，12，12)，AD→＝(0,1，－1)．
设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，
则 n·BC→＝0，n·BM→＝0，即 x0＋y0＝0，12y0＋12z0＝0，
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1,1)．
设直线AD与平面MBC所成角为θ，
则sinθ＝|cosn，AD→|＝|n·AD→| |n|·|AD→|＝63，
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.
2．(2014·天津卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F—AB—P的余弦值．
解：
依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
