空间向量与空间角-高考数学复习

平面向量及空间向量高考数学专题训练（四）

一、选择题（本大题共12小题，每小题分6，共72分）

1．设1(acos,3), (bsin)3,,且a∥b， 则锐角为（ ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 125

2．已知点)0,2(A、)0,3(B，动点2),(xPBPAyxP满足，则点P的轨迹是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

3．已知向量值是相互垂直，则与且kbabakba2),2,0,1(),0,1,1(（ ）

A. 1 B. 51 C. 53 D. 57

4．已知ba,是非零向量且满足的夹角是与则babababa,)2(,)2(（ ）

A. 6 B. 3 C. 32 D. 65

5．将函数y=sinx的图像上各点按向量a（2,3）平移，再将所得图像上各点的横坐标变为原来的2倍，则所得图像的解析式可以写成（ ）

A.y=sin(2x+3)+2 B.y=sin(2x－3)－2 C.y=(321x)－2 D.y=sin(321x)+2

6．若A,B两点的坐标是A(3cos,3sin,1),B(2,cos2,sin1),|AB|的取值范围是( )

A. [0,5] B. [1,5] C. (1,5) D. [1,25]

7．从点A(2,－1,7)沿向量)12,9,8(a方向取线段长|AB|=34,则点B的坐标为（ ）

A.(-9,-7,7) B. (-9,-7,7) 或(9,7,-7) C. (18,17,-17) D. (18,17,-17)或(-18,-17,17)

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）

1.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )

A.1010 B.15

C.31010 D.35

2.已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1， 则CD＝( )．

A．2 B.3 C.2 D．1

3.如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝π2，则二面角A－BC－D的大小为 (

)．

A.π6 B.π3 C.5π3

D.5π6

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A. 110 B. 25 C. 3010 D. 22

5.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）

A．23 B．33 C．23 D．13 6.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

A.125 B.3 C.4 D.6

7.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 （ ）

空间向量的运算及应用

一、基础知识

1．空间向量及其有关概念

概念 语言描述

共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

共面向量 平行于同一个平面的向量

共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb

共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb

空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.

推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OP―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOC―→且x＋y＋z＝1

2．数量积及坐标运算

(1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.

(2)空间向量的坐标运算：

a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)

向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)

数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3

共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)

垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

夹角公式 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23

3．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或或共线，则称此向量a为直线l的方向向量．

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

4．空间位置关系的向量表示

位置关系 向量表示

1 运用空间向量解决空间角

一、题型选讲

题型一 、异面直线所成的角以及

研究异面直线所成的角首先要注意交的范围，然后转化为有直线的方向向量的夹角。

例1、【2018年高考江苏卷】如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；

（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．

例2、(2019南京学情调研） 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD的边长AB＝3，侧棱AA1＝2，E是棱CC1的中点，点F满足AF→＝2FB→.

(1) 求异面直线FE和DB1所成角的余弦值；

(2) 记二面角EB1FA的大小为θ，求|cosθ|.

题型二、直线与平面所成的角

直线与平面所成的角是通过研究直线的方向向量和平面的法向量的所成的角，因此，要特别注意所求的角与已求的角之间的关系。 2 例3、【2020年高考浙江】如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．

（Ⅰ）证明：EF⊥DB；

（Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．

例4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．

题型三、平面与平面所成的角 3 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据观察判断向量在图形中的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点