第24讲 空间向量及其应用
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一、知识梳理
1.空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量 大小相等、方向相同的向量
相反向量 大小相等、方向相反的向量
共线向量
(或平行向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)
共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→.
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.4.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
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- .word.zl 空间向量的应用----求空间角与距离
一、考点梳理
1.自新教材实施以来，近几年高考的立体几何大题，在考察常规解题方法的同时，更多地关注向量法〔基向量法、坐标法〕在解题中的应用。坐标法〔法向量的应用〕，以其问题〔数量关系：空间角、空间距离〕处理的简单化，而成为高考热点问题。可以预测到，今后的高考中，还会继续表达法向量的应用价值。
2.利用法向量求空间角和空间距离，其常用技巧与方法总结如下：
1)求直线和直线所成的角
假设直线AB、CD所成的角是，cos=|,cos|CDAB||||||CDABCDAB•
2).利用法向量求线面角
设为直线l与平面所成的角，为直线l的方向向量v与平面的法向量n之间的夹角，那么有2或2。
特别地0时， 2，l；2时，0，l或l。计算公式为：
||sincos||||vnvn或||sinsin()cos(0)2||||||||vnvnvnvnvn
3).利用法向量求二面角
设1n、2n分别为平面、的法向量，二面角l的大小为，向量1n、2n的夹角为，那么有或。. -
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专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1．考查空间向量的概念及运算，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．
2．考查空间向量的应用，凸显逻辑推理、数学运算、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
1．平行(共线)向量与共面向量
平行(共线)向量 共面向量
定
义 位置
关系 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：__互相平行或重合__
平行于同一个__平面__的向量 特征 方向__相同或相反__
特例 零向量与__任意向量__共线
充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使__a＝λb__ 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在__惟一__的有序实数对(x，y)使__p＝xa＋yb__
推论 对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式__OP→＝OA→＋ta__，向量a为直线l的__方向向量__或在直线l上取向量AB→＝a，则OP→＝__OA→＋tAB→__ 点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使AP→＝__xAB→＋yAC→__或对空间任意一点O，有OP→＝__OA→＋xAB→＋yAC→__
2．数量积的性质设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
①a∥b时，θ＝__0或π__，θ＝__0__时，a与b同向；
θ＝__π__时，a与b反向． ②a⊥b⇔θ＝__π2__⇔a·b＝0．
③θ为锐角时，a·b__>__0，但a·b>0时，θ可能为__0__；θ为钝角时，a·b__<__0，但a·b<0时，θ可能为__π__．
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝__0__时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝__π__时，a·b＝－|a|·|b|．
⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__．
空间向量初步与法向量的求法
主干知识归纳
1．空间向量的有关概念、定理
(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．
(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.
(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量．
(5)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.
(6)共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(7)空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.
3．两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.直线的方向向量和平面的法向量
（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
（2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
方法规律总结
1.利用空间向量解决立体几何问题，要选择不共面的三个向量作为基底，也可能通过建立适当的空间直角坐标系来进行向量运算；
2、利用用向量判断位置关系命题真假的方法
（1）条件中的线面关系翻译成向量关系
（2）确定由条件能否得到结论
（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假
3.空间法向量的求法：（先设再求）设平面的法向量为,,nxyz，若平面上所选两条直线的方向向量分别为111222,,,,,axyzbxyz，则可列出方程组：11122200xyzxyxyzxyzz 解出,,xyz的比值即可
