2022年高考复习 利用空间向量求空间角

8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离

一、选择题

1．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是( )．

A．平行 B．相交

C．异面垂直 D．异面不垂直

解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，

则A(2,0,0)，M(0,0,1)，

O(1,1,0)，N(2，t,2)，NO→＝(－1,1－t，－2)，

AM→＝(－2,0,1)，NO→·AM→＝0，则直线NO、AM的

位置关系是异面垂直．

答案 C

2．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM→＝12MC1→，N为B1B的中点，则|MN→|为( )．

A.216a B.66a C.156a D.153a

解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D­xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，Na，a，a2.

设M(x，y，z)，

∵点M在AC1上且AM→＝12MC1→，

∴(x－a，y，z)＝12(－x，a－y，a－z) ∴x＝23a，y＝a3，z＝a3.

得M2a3，a3，a3，

∴|MN→|＝ a－23a2＋a－a32＋a2－a32＝216a.

答案 A

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM→，D1N→〉的值为( )．

A.19 B.495 C.295 D.23

解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，

DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角

用空间向量法求解立体几何问题典例及解析

以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。

首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法

一：利用空间向量求空间角

(1)两条异面直线所成的夹角

范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线,ab的方向向量为a,b，其夹角为，则有cos___________.

(2)直线与平面所成的角

定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。

范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。

向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与法向量所成角的余弦值为|cos|___________.直线与平面所成的角为，则有sin___________.或在平面内任取一个向量m，则|cos|___________..

(3)二面角

二面角的取值范围是 .

二面角的向量求法：

方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的

即为所求的二面角的大小；

方法二：设1n，2n分别是两个面的 ，则向量1n与2n的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。

二：利用空间向量求空间距离

（1）点面距离的向量公式

平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 ，即d=||||MPnn.

（2）线面、面面距离的向量公式

平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d= .

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）

1.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为( )

A.1010 B.15

C.31010 D.35

2.已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1， 则CD＝( )．

A．2 B.3 C.2 D．1

3.如图，在四面体ABCD中，AB＝1，AD＝23，BC＝3，CD＝2.∠ABC＝∠DCB＝π2，则二面角A－BC－D的大小为 (

)．

A.π6 B.π3 C.5π3

D.5π6

4.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）

A. 110 B. 25 C. 3010 D. 22

5.已知正四棱柱1111ABCDABCD中，12AAAB，则CD与平面1BDC所成角的正弦值等于（ ）

A．23 B．33 C．23 D．13 6.已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P为底面111ABC的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为

A.125 B.3 C.4 D.6

7.已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，135ACD，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为 （ ）

利用空间向量求空间角考点与题型归纳

一、基础知识

1．异面直线所成角

设异面直线a，b所成的角为θ，则cos

θ＝|a·b||a||b|❶， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|❷.

3．二面角

(1)若AB，CD分别是二面角α­l­β的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB―→与CD―→的夹角，如图(1)．

(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|❸，如图(2)(3)．

两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值．

直线与平面所成角的范围为0，π2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值．

利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n1，n2〉与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断．

二、常用结论

解空间角最值问题时往往会用到最小角定理

cos θ＝cos θ1cos θ2.

如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2.

考点一 异面直线所成的角

[典例精析]

如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.

(1)求证：MN∥平面BDE；

(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为721，求线段AH的长．