工程力学上—空间力系

cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。

工 程 力 学
§3-2
平面力系的平衡条件
F1 Fn F3
1、平面任意力系的平衡方程 F2 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。
0 FR
第 三 章 力 系 的 平 衡
Mo 0
平面任意力系
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2
M O M O (F )
2
0
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
即:汇交力系的平衡条件是力系中所有各力在各个坐
标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
工 程 力 学
三、空间平行力系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
F
z
0,
M (F ) 0, M (F ) 0
x
y
工 程 力 学
四、空间力偶系的平衡方程
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：如图所示为一种起吊装置的结构简图。图中尺寸d , 载荷F， <FAD =60均为已知。若不计各杆自重，试求杆AF与杆AD在各 自的约束处所受的约束力。
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
第 三 章 力 系 的 平 衡
工 程 力 学
例：滑轮支架系统如图所示。已知G，a,r,θ ,其余物体重 量不计,试求A和B的约束力。
工 程 力 学
3、平面汇交力系的平衡方程
F
x
0,
F
y
0
4、平面力偶系的平衡条件
第 三 章 力 系 的 平 衡
M 0
即：力偶系各力偶力偶矩的代数和等于零。
工 程 力 学

图 4-2 解：研究对象：起重杆 ABG 重物
受力分析：P， F1， F2， FA (AB 为二力杆) 球铰链如图 4-2b 特点：1) 可绕球心任意相对转动
2) 约束反力可用三个直交分力表示 选坐标 Axyz 列平衡方程：
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0,
F1 sin 45° F2 sin 45° = 0 FA sin 30° F1 cos 45°cos 30° F2 cos 45°cos 30° = 0 F1 cos 45°sin 30° + F2 cos 45°sin 30° + FA cos30° P = 0
2．空间汇交力系的合力与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得
(1) 空间汇交力系的合成：
① 几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
FR = F1 + F2 +……+Fn = F 即：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
② 解析法：
将 F = Fxi + Fyj + Fzk 代入上式得 FR = Fxi + Fyj + Fzk 即： FRx = Fx, FRy = Fy, FRz = Fz 空间合力投影定理：
M0(F)在三个坐标轴上的投影，即
[M0(F)]x = yFz – zFy
[M0(F)]y = zFx – xFz
(a)
[M0(F)]z =xFy – yFz
2．力对轴的矩
以门的转动为例来说明：力 F 与转轴不相垂直的情况：此时可把力 F
分解为平行 z 轴的 Fz 和垂直于 z 轴的平面 xy 上的分力 Fxy，(即力 F 在 xy 平面上的投影)很显然 Fz 对门没有转动效应，只有 Fxy 对门有转动效应，因 此，可用力 Fxy 对 O 点主矩来度量，即：

M O ( F ) M x ( F ) i M y ( F ) j M z ( F )k Fb sin i Fa sin j ( Fb sin sin Fa sin cos ) k
例 题 3
已知： P 、 a、b、c 求： 力P 对OA轴之矩
z
解：（1）计算 MO(P)
已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影
解：把力偶用 力偶矩矢表示， 平行移到点A .
M x M ix M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m

M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
a 2 b2 c2
例4 6.2
如图所示，长方体棱长为 a、 b、c，力 F 沿BD，求力 F 对AC 之矩。 解： mAC (F ) mC (F ) AC
B

F
c
a
C
D

b


A
mC ( F ) F cosa
Fba a 2 b2
mAC ( F ) mC ( F ) cos
Fabc a 2 b2 a 2 b2 c 2
§4–3
空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积；
（2） 方向：转动方向；
（3） 作用面：力偶作用面。
（1） 大小
（2） 方向