动态规划(二)

班号 学号 姓名 成绩《算法与数据结构(2) 》期末考试卷注意事项：1、关闭手机、将考试用文具以外的物品放于讲台上 2、严格遵守学校的考场纪律，违纪者请出考场 题目：一、 判断题（20分）请在正确的陈述前面括号中打√，在错误的陈述前面括号中打×。

1. （ × ）如果一个问题不是NP 问题，那么它有可能是P 问题。

2. （ × ）回溯法用深度优先或广度优先法搜索状态空间树。

3. （ × ）)(n n O 221=+且)(n n O 222=4． （ × ）贪心算法通过增加空间复杂性来减少时间复杂性。

5． （ × ）快速排序算法的平均时间复杂度是O(nlogn),使用随机化快速排序算法可以将平均时间复杂度降得更低。

6． （ √ ）基于比较的寻找数组A[1...n ]中最大值元素问题的下界是)3/(n Ω。

7． （ √ ）直观地讲，P 类问题是易解的问题；而NP 问题是易被验证的问题。

8． （ × ）下列问题是一个判定问题：给定一个合取范式，对其中的所有逻辑变量求一组真值赋值，使得给定的合取范式在该组真值赋值下为真。

9． （ √ ）max(f(n),g(n))= Θ(f(n)+g(n))10．（ √ ）若 ))(()(n g O n f =，则 ))(()(n f n g Ω=二、 简答题（30分）：1．简述拉斯维加斯（Las Vegas ）算法和蒙特卡洛（Monte Carlo ）算法的主要区别前者不一定总能给出解，但给出的解一定是正确的； 后者总能给出解，但是给出的解可能是错误的。

2．按照增长率上升的顺序排列以下函数，即，若在你的排序结果中，函数f(n) 跟在 g(n)的后面，则说明应该满足g(n)是O （f(n)）：4/31)(n n f = n n f 2)(2= n n f log )(3= !)(4n n f = 22)(5n n f = nn n f log )(6= )(3n f , )(1n f , )(6n f , )(2n f , )(4n f , )(5n f3．推导以下递推式的解：T(n)=2 当n = 1时T(n)=2T(n/3)+2n 当n ≥2时T(n)=2T(n/3)+2n=2[2T(n/32)+2(n/3)]+2n=4T(n/32)+4(n/3)+2n=4[2T(n/33)+2(n/32)]+ 4(n/3)+2n=8T(n/33)+8(n/32)+ 4(n/3)+2n=…设n=3k=2k T(n/3k )+ 2k (n/3k-1)+ 2k-1 (n/3k-2)+…+ 4(n/3)+2n =2k 2+2n[(2/3)k-1 +(2/3)k-2 +…+2/3+1]=2k 2+6n[1-(2/3)k]=2k 2+6n-6.2k=6n-4.2k=6n-4.2=n n3log246⋅-4．请给出基于比较的对数组A[1…n]进行排序问题的最紧的下界，并写出两个平均时间复杂度为该下界的排序算法的名称。

动态规划-最优⼆叉搜索树摘要： 本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。

主要内容包括⼆叉查找树的性质，如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值，如何找出某⼀个元素的前驱和后继，如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。

在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐，⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn)，从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、⼆叉查找树 ⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的，因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。

⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是：设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。

如果y是x的左⼦树中的⼀个结点，则key[y]≤key[x]。

如果y是x的右⼦树中的⼀个结点，则key[x]≤key[y]。

根据⼆叉查找树的特征可知，采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树，可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。

介绍了⼆叉树概念及其遍历。

⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰：书中给出了⼀个定理：如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根，则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。

问题：⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别？能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？2、查询⼆叉查找树 ⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进⾏了详细的讲解。

（1）查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似，根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较，如果k⼤⽐根的关键字⼤，则在根的右⼦树中查找，否则在根的左⼦树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为⽌。

例如下图所⽰的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右⼦树中做出选择，减少⼀半的⼯作量）书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码：1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x（2）查找最⼤关键字和最⼩关键字 根据⼆叉查找树的特征，很容易查找出最⼤和最⼩关键字。

DP⼊门（2）——DAG上的动态规划有向⽆环图（DAG,Directed Acyclic Graph）上的动态规划是学习动态规划的基础。

很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。

⼀、DAG模型【嵌套矩形问题】问题：有n个矩形，每个矩形可以⽤两个整数a、b描述，表⽰它的长和宽。

矩形X(a , b)可以嵌套在矩形Y(c , d)中当且仅当a<c,b<d,或者b<c,a<d(相当于把矩形X旋转90°)。

例如(1,5)可以嵌套在(6, 2)内，但不能嵌套在(3, 4)内。

你的任务是选出尽可能多的矩形排成⼀⾏，使得除了最后⼀个之外，每个矩形都可以嵌套在下⼀个矩形内。

如果有多解，矩形编号的字典序应尽量⼩。

分析：矩形之间的“可嵌套”关系是⼀个典型的⼆元关系（我的理解是两个矩形之间存在关系），⼆元关系可以⽤图来建模。

如果矩形X可以嵌套在矩形Y⾥，就从X到Y连⼀条有向边。

这个有向图必然是⽆环的，因为⼀个矩形⽆法直接或间接地嵌套在⾃⼰内部。

换句话说，它是⼀个DAG。

这样，所要求的便是DAG上的最长路径。

【硬币问题】问题：有n种硬币，⾯值分别为V1, V2, ..., V n，每种都有⽆限多。

给定⾮负整数S，可以选⽤多少个硬币，使得⾯值之和恰好为S？输出硬币数⽬的最⼩值和最⼤值。

1 <= n <= 100, 0 <= S <= 10000, 1 <= V i <= S。

分析：此问题尽管看上去和嵌套矩形问题很不⼀样，但本题的本质也是DAG上的路径问题。

将每种⾯值看作⼀个点，表⽰“还需要凑⾜的⾯值”，则初始状态为S，⽬标状态为0。

若当前在状态 i，每使⽤⼀个硬币 j，状态便转移到i - V j。

补充：这个模型和上⼀题类似，但也有⼀些明显地不同之处：上题并没有确定路径的起点和终点（可以把任意矩形放在第⼀个和最后⼀个），⽽本题的起点必须为S，终点必须为0。

运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。

它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。

b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。

它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。

c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。

习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。

它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。

运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。

1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。

在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。

在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。

在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。

在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。

习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。

在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。

在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。

在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。

第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。

其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。

习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。

动态规划动态规划是运筹学的一个分支，它是解决多阶段决策过程最优化问题的一种方法。

该方法是由美国数学家贝尔曼(R．Bellman)等人在本世纪50年代初提出的。

他们针对多阶段决策问题的特点，提出了解决这类问题的“最优化原理”，并成功地解决了生产管理、工程技术等方面的许多实际问题，从而建立了运筹学的一个新分支——动态规划。

他的名著《动态规划》于1957年出版，该书是动态规划的第一本著作。

动态规划是现代企业管理中的一种重要决策方法，在工程技术、经济管理、工农业生产及军事及其它部们都有广泛的应用，并且获得了显著的效果。

动态规划可用于解决最优路径问题、资源分配问题、生产计划与库存问题、投资分配问题、装载问题、设备更新与维修问题、排序问题及生产过程的最优控制等。

由于它所具有独特的解题思路，在处理某些优化问题时，常常比线性规划或非线性规划方法更有效。

第一节动态规划的基本方法多阶段决策的实际问题很多，下面通过具体例子，说明什么是动态规划模型及其求解方法。

例1：最短路线问题某工厂需要把一批货物从城市A运到城市E，中间可经过B1 、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2等城市，各城市之间的交通线和距离如下图所示，问应该选择一条什么路线，使得从A到E的距离最短？下面引进几个动态规划的基本概念和相关符号。

(1)阶段(Stage)把所给问题的过程，按时间和空间特征划分成若干个相互联系的阶段，以便按次序去求每个阶段的解，阶段总数一般用字母n表示，用字母k表示阶段变量。

如例l中 (最短路线问题)可看作是n=4阶段的动态规划问题，k=2表示处于第二阶段。

(2)状态(State)状态表示每个阶段开始时系统所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过程状况。

描述各阶段状态的变量称为状态变量，常用字母sk表示第k阶段的状态变量，状态变量的取值范围称为状态集，用Sk表示。

如例l中，第一阶段的状态为A（即出发位置）。

第二阶段有三个状态：B1 、B2、B3，状态变量s2=B2表示第2阶段系统所处的位置是B2。

延安我把你追寻第二段的意思如何理解延安我把你追寻第二段的意思第二段，第二段定义的是动态规划（Dynamic Programming），它是一种运用分析最优化方法来求解复杂问题的数学优化技术。

动态规划通常用于处理有关求最优路径、最大值等问题，它可以对一个复杂问题拆分成多个相互依赖的子问题，在求解子问题时，会把已求得的结果缓存，以便在需要时快速使用。

第二段追寻，：追寻是一种行为，指的是一种通过识别和跟踪目标来实现特定目标的动作。

它是一种通过在时间空间上连续间断及行踪追踪来获得对象信息的方法。

也就是用各种方式搜索目标，并尽可能把握、掌握有关目标的信息。

第二段追寻延安，延安，位于中国陕西省北部的一座城市，曾是革命老区，也是革命家们的摇篮。

延安还是中华人民共和国的诞生地之一。

1935年，中国共产党政权正式宣布在延安建立。

延安经过几十年的革命斗争，成为一座充满激情和希望的城市，发挥着重要的历史作用。

延安代表着英雄和勇敢，象征着中国革命传统，受到全国人民的尊重。

许多中国革命老一辈，如毛泽东、朱德、周恩来等，都在延安闪耀过，逐渐成为中国革命史上不可磨灭的印记。

因此，延安可以被定义为中国革命的来源和根据地，是中国革命的象征和回忆。

延安我把你追寻第二段的意思，是：我追寻你，穿过历史的沙漠，穿越延安，就如旋律中的音乐，唤起我心中的追忆。

为什么需要延安我把你追寻第二段的意思这段话的意义如下：1. 我继续追寻我心中的延安，希望能够回到这个充满热情的地方。

2. 延安变得更加开放、多元化，令经济发展蓬勃发展，使其成为了一座中国当之无愧的科技新城。

3. 令更多的人受益于延安这座“古老而新”的城市，让其领略延安的传统文化和更新的内涵。

怎么进一步推进完成延安我把你追寻第二段的意思1、提升对延安文化历史研究和国际交流的热情，尽快开展关于延安文化历史及相关内容的学术讨论活动；2、选择一些能够真正体现延安文化历史的重要地方作为观光景点，让游客可以接触到延安的文化历史；3、建立国家级的延安文化遗产保护中心，制定一整套的延安文化遗产保护的政策；4、加大对延安文化遗产的研究，并进行一些形式多样的文化传承；5、推广延安纪念文化，发扬延安精神，增强世界各国人民对延安文化的认知和理解。