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动 态 规 划 算 法 ( 2 0 2 0 )

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排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )

排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )

秒杀排列组合（上）————排列篇首先为什么要写排列组合？因为排列组合在数学中占有重要的地位，其与概率论也有密切关系；并且排列组合问题在求职的笔试，面试出现的概率特别高，而我在网上又没有搜到比较全面题型的文章；同时，我觉得编写排列组合程序对学习递归也是很有帮助的；当然，最重要的原因是排列组合本身就很有趣！所以就总结下排列组合的各种问法，分两篇写：上篇写排列，下篇写组合。

首先从各【导师实操追-女孩教-学】大IT公司的题中总结出排列组合的对象都是整形数组或字符数组，排列问题可以按输入数据分为两大类：输入数据【扣扣】有重复和无重复，又可以按输出数据分为两大类：输出数据有【⒈】重复和无重复；而排列问题也偶尔会考非递归。

首先提一【０】下全排列的几种算法：1—【１】—字典序法2——递增进位数制法; 3——递减进位数制法【б】4——邻位交换法5——n进制数法6——递归生成法7——循【⒐】环移位法8——回溯法由于侧【５】重点在输入数据无重复，所以先看输入数据无重复类型：其中又【２】可以分为全排列和分组后排列：首先写基【６】本的全排列：1.输出数组a的全排列(不可重复取)如a={1,2,3}。

输出123，132，213，231，312，321这个是最基本，也是最经典的排列算法思想：可以输出1加上23的全排列，2加13的全排列，3加上12的全排列，运用递归求比如23的全排列.依次递归下去；比如现在要2开头求全排，首先要交换1，2的位置，让a[0]变为2，在用递归求13的所有全排列，前面加个2就是2开头的所有全排列了，最后运用回溯再把1，2调换回来。

代码清单：public class PaiLie {public void runPermutation(int[] a){getAllPermutation(a, 0);-*index用于控制如上述分析中2加上13的所有全列的*-public void getAllPermutation(int[] a,int index){-*与a的元素个数相同则输出*-if(index == a.length-1){for(int i = 0; i a.length; i++){System.out.print(a[i] + " ");System.out.println();return;for(int i = index; i a.length; i++){swap(a ,index, i);getAllPermutation(a, index+1);swap(a ,index, i);public void swap(int[] a, int i, int j) {int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;public static void main(String[] args) {PaiLie robot = new PaiLie();int[] a = {1,2,3};robot.runPermutation(a);2.输出数组a的全排列(可重复取)如a={1,2}。

动态规划法的基本思想

动态规划法的基本思想

一、动态规划的‎基本思想在比较基本‎的算法设计‎思想里，动态规划是‎比较难于理‎解，难于抽象的‎一种，但是却又十‎分重要。

动态规划的‎实质是分治‎思想和解决‎冗余，因此它与分‎治法和贪心‎法类似，它们都是将‎问题的实例‎分解为更小‎的、相似的子问‎题，但是动态规‎划又有自己‎的特点。

贪心法的当‎前选择可能‎要依赖于已‎经作出的选‎择，但不依赖于‎还未做出的‎选择和子问‎题，因此它的特‎征是由顶向‎下，一步一步地‎做出贪心选‎择，但不足的是‎，如果当前选‎择可能要依‎赖子问题的‎解时，则难以通过‎局部的贪心‎策略达到全‎局最优解。

相比而言，动态规划则‎可以处理不‎具有贪心实‎质的问题。

在用分治法‎解决问题时‎，由于子问题‎的数目往往‎是问题规模‎的指数函数‎，因此对时间‎的消耗太大‎。

动态规划的‎思想在于，如果各个子‎问题不是独‎立的，不同的子问‎题的个数只‎是多项式量‎级，如果我们能‎够保存已经‎解决的子问‎题的答案，而在需要的‎时候再找出‎已求得的答‎案，这样就可以‎避免大量的‎重复计算。

由此而来的‎基本思路是‎，用一个表记‎录所有已解‎决的子问题‎的答案，不管该问题‎以后是否被‎用到，只要它被计‎算过，就将其结果‎填入表中。

比较感性的‎说，其实动态规‎划的思想是‎对贪心算法‎和分治法的‎一种折衷，它所解决的‎问题往往不‎具有可爱的‎贪心实质，但是各个子‎问题又不是‎完全零散的‎，这时候我们‎用一定的空‎间来换取时‎间，就可以提高‎解题的效率‎。

二、动态规划的‎基本步骤动态规划算‎法通常用于‎求解具有某‎种最优性质‎的问题。

在这类问题‎中，可能会有许‎多可行解。

每一个解都‎对应于一个‎值，我们希望找‎到具有最优‎值（最大值或最‎小值）的那个解。

设计一个动‎态规划算法‎，通常可以按‎以下几个步‎骤进行：（1）找出最优解‎的性质，并刻画其结‎构特征。

（2）递归地定义‎最优值。

（3）以自底向上‎的方式计算‎出最优值。

动态规划(生产和存储问题)

动态规划(生产和存储问题)

动态规划（生产和存储问题）一、动态规划法的发展及其研究内容动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。

20世纪50年代初美国数学家R.E.BELLMAN等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，把多阶段问题转化为一系列的单阶段问题，逐个求解创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。

1957年出版的他的名著《Dynamic Proggramming》，这是该领域的第一本著作。

动态规划问世以来，在经济管理·生产调度·工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。

例如最短路线·库存管理·资源分配·设备更新·组合·排序·装载等问题，采用动态规划法求解比用其他方法更为简便。

二、动态规划法基本概念一个多阶段决策过程最优化问题的动态规划模型通常包括以下几个要素：1．阶段阶段（stage）是对整个过程的自然划分。

通常根据时间顺序或是空间特征来划分阶段，对于与时间，空间无关的“静态”优化问题，可以根据其自然特征，人为的赋予“时段”概念，将静态问题动态化，以便按阶段的顺序解优化问题。

阶段变量一般用k=1.2….n.表示。

1.状态状态(state)是我们所研究的问题（也叫系统）在过个阶段的初始状态或客观条件。

它应能描述过程的特征并且具有无后效性，即当某阶段的状态给定时，这个阶段以后的过程的演变与该阶段以前各阶段的状态无关。

通常还要求状态是可以直接或者是间接可以观测的。

描述状态的变量称为状态变量（State Virable）用s 表示，状态变量的取值集合称为状态集合，用S表示。

变量允许取值的范围称为允许状态集合(set of admissble states).用x(k)表示第k阶段的状态变量，它可以是一个数或者是一个向量。

用X(k)表示第k阶段的允许状态集合。

n 个阶段的决策过程有n+1个状态变量，x(n+1)是x(n)的演变的结果。

运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)

运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
由此，可得出三条最优的运输路线：
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10

动态规划算法

动态规划算法

动态规划算法
动态规划算法（Dynamic Programming）是一种解决多阶段最优化决策问题的算法。

它将问题分为若干个阶段，并按照顺序从第一阶段开始逐步求解，通过每一阶段的最优解得到下一阶段的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

动态规划算法的核心思想是将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，而是直接使用已有的计算结果。

即动态规划算法采用自底向上的递推方式进行求解，通过计算并保存子问题的最优解，最终得到整个问题的最优解。

动态规划算法的主要步骤如下：
1. 划分子问题：将原问题划分为若干个子问题，并找到问题之间的递推关系。

2. 初始化：根据问题的特点和递推关系，初始化子问题的初始解。

3. 递推求解：按照子问题的递推关系，从初始解逐步求解子问题的最优解，直到求解出整个问题的最优解。

4. 得到最优解：根据子问题的最优解，逐步推导出整个问题的最优解。

5. 保存中间结果：为了避免重复计算，动态规划算法通常会使
用一个数组或表格来保存已经求解过的子问题的解。

动态规划算法常用于解决最优化问题，例如背包问题、最长公共子序列问题、最短路径问题等。

它能够通过将问题划分为若干个子问题，并通过保存已经解决过的子问题的解，从而大大减少计算量，提高算法的效率。

总之，动态规划算法是一种解决多阶段最优化决策问题的算法，它通过将问题划分为子问题，并保存已经解决过的子问题的解，以便在求解其他子问题时不需要重新计算，从而得到整个问题的最优解。

动态规划算法能够提高算法的效率，是解决最优化问题的重要方法。

DP算法（动态规划算法）

DP算法（动态规划算法）

DP算法（动态规划算法）前⼏天做leetcode的算法题很多题都提到了动态规划算法，那么什么是动态规划算法，它是什么样的思想，适⽤于什么场景，就是我们今天的主题。

⾸先我们提出所有与动态规划有关的算法⽂章中都会提出的观点：　将⼀个问题拆成⼏个⼦问题，分别求解这些⼦问题，即可推断出⼤问题的解。

什么都不了解的话看到这句话是懵逼的，我们也先略过，等看完整篇⽂章再回过头来看⼀看这个观点。

下⾯正式开始。

⾸先我们来看这个译名，动态规划算法。

这⾥的动态指代的是递推的思想，算法在实现的过程中是动态延伸的，⽽不是提前控制的。

规划指的是需要我们给出动态延伸的⽅法和⽅向。

这两个就是算法的问题点。

假设您是个⼟豪，⾝上带了⾜够的1、5、10、20、50、100元⾯值的钞票。

现在您的⽬标是凑出某个⾦额w，需要⽤到尽量少的钞票。

依据⽣活经验，我们显然可以采取这样的策略：能⽤100的就尽量⽤100的，否则尽量⽤50的……依次类推。

在这种策略下，666=6×100+1×50+1×10+1×5+1×1，共使⽤了10张钞票。

这种策略称为“贪⼼”：假设我们⾯对的局⾯是“需要凑出w”，贪⼼策略会尽快让w变得更⼩。

能让w少100就尽量让它少100，这样我们接下来⾯对的局⾯就是凑出w-100。

长期的⽣活经验表明，贪⼼策略是正确的。

但是，如果我们换⼀组钞票的⾯值，贪⼼策略就也许不成⽴了。

如果⼀个奇葩国家的钞票⾯额分别是1、5、11，那么我们在凑出15的时候，贪⼼策略会出错： 15=1×11+4×1（贪⼼策略使⽤了5张钞票） 15=3×5（正确的策略，只⽤3张钞票） 为什么会这样呢？贪⼼策略错在了哪⾥？ ⿏⽬⼨光。

刚刚已经说过，贪⼼策略的纲领是：“尽量使接下来⾯对的w更⼩”。

这样，贪⼼策略在w=15的局⾯时，会优先使⽤11来把w降到4；但是在这个问题中，凑出4的代价是很⾼的，必须使⽤4×1。

第6章 动态规划

第6章 动态规划

第6章动态规划判断06100011判断：在动态规划模型中，问题的阶段数等于问题中的子问题的数目；06100021判断：动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所作决策的相互独立性；06100031判断：）动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策；06100041判断：对一个动态规划问题，应用顺推或逆推解法可能会得出不同的最优解；06100051判断：动态规划计算中的“维数障碍”主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的；06100061判断：）假如一个线性规划问题含有5个变量和3个约束，则用动态规划方法求解时将划分为3个阶段，每个阶段的状态将由一个5维的向量组成；06100071判断：任何一个多阶段决策过程的最优化问题，都可以用非线性规划模型来描述。

06100081判断：动态规划问题如果按状态转移率区分,可分成确定性的与随机性的.简答06200011简答：一个N阶段的决策过程具有哪特征？06200021简答：试述动态规划的优点。

06200031简答：试述最优化原理的内容06200041简答：试述动态规划数学模型的四种类型.计算题最短路问题06301012设某厂自国外进口一步精密机器，由机器制造厂至出口港口可供选择，而进口港又有三个可供选择，进口后可经由两个城市到达目的地，期间的运输成本如下图所示，试求运费最低的路线。

06301022、某工厂从国外引进一台设备，由A到G港口有多条通路可供选择，其路线及费用如下图所示。

现要确定一条从A到G的使总费用最小的路线。

请将该问题描述成一个动态规划问题，然后求其最优解。

资源分配06302012有一部货车每天沿着公路给四个零售店卸下6箱货物，如果各零售店出售该货物06302022设有某种肥料共6个单位重量，准备供给四块粮田用，其每块粮田施肥数量与增06302033某公司打算向承包的三个营业区增设六个销售店，每个营业地区至少增设一个，从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如下表所示。

浙教版五年级上册信息技术第13课算法的设计课件(共18张PPT)

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小结 今天你学到了什么?说一说自己的收获。
练习1
针对机器人画正六边形 的问题,设计一个算法。
练习2
练习3
感谢聆听
与此同时，他提出了解决这类问题的 “最优化原理”(Principle of optimality)：“一个过程的最优决策具有这 样的性质：即无论其初始状态和初始决策如 何，其今后诸策略对以第一个决策所形成的 状态作为初始状态的过程而言，必须构成最 优策略”。简言之，一个最优策略的子策略， 对于它的初态和终态而言也必是最优的。
最优化原理是动态规 划的基础，任何一个问题， 如果失去了这个最优化原 理的支持，就不可能用动 态规划方法计算。能采用 动态规划求解的问题都需 要满足一定的条件。
满足条件：
(1) 问题中的状态必须 满足最优化原理；
(2) 问题中的状态必须 满足无后效性。所谓的无后 效性是指：“下一时刻的状 态只与当前状态有关，而和 当前状态之前的状态无关， 当前的状态是对以往决策的 总结”。
03
02
(2)确定状态和状态变量： 将问题发展到各个阶段时 所处于的各种客观情况用 不同的状态表示出来。当 然，状态的选择要满足无 后效性。
动态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。
01
02
（3）确定决策并写出状态转 移方程：因为决策和状态转移 有着天然的联系，状态转移就 是根据上一阶段的状态和决策 来导出本阶段的状态。所以如 果确定了决策，状态转移方程 也就可写出。但事实上常常是 反过来做，根据相邻两段各状 态之间的关系来确定决策。
这个“最优化原理”如果用数学化一点的语言 来描述的话，就是：假设为了解决某一优化问题，需 要依次作出n个决策D1，D2，…，Dn，如若这个决策 序列是最优的，对于任何一个整数k，1 \u003C k \u003C n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优 决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即以后 的决策Dk+1，Dk+2，…，Dn也是最优的。

动态规划基础

动态规划基础

动态规划（一）、动态规划的基本思想：动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。

在这类问题中，可能会有许多可行解。

每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。

若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。

我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。

不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。

这就是动态规划法的基本思路。

具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

二、设计动态规划法的步骤：1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）；3、以自底向上的方式计算出最优值；4、根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

步骤1-3是动态规划算法的基本步骤。

在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略，步骤3中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4，步骤3中记录的信息必须足够多以便构造最优解。

三、动态规划问题的特征：动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。

1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。

动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

（二）、动态规划算法的基本步骤设计一个标准的动态规划算法，通常可按以下几个步骤进行：1.划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。

0-1背包问题之动态规划法_-

0-1背包问题之动态规划法_-

1.5 无后效性原则
所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：
某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不 再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与 过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结， 此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演 变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后， 阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态 转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发 生的状态没有关系，这就是无后效性。
2.
组合问题中的动态规划法
2.1 2.2 0/1背包问题 最长公共子序列问题
2.1 0/1背包问题
给定 n 种物品和一个背包， 物品i的重量是wi，其价值为 v i ，背包的容量为 C 。背包 问题是如何选择装入背包的 物品，使得装入背包中物品 的总价值最大 ? 如果在选择 装入背包的物品时，对每种 物品 i 只有两种选择：装入 背包或不装入背包，即不能 将物品 i 装入背包多次，也 不能只装入物品 i 的一部分， 则称为0/1背包问题。
可以用动态规划法求解的问题除了能够分解为相互重叠的 若干子问题外，还要满足最优性原理（也称最优子结构性 质），这类问题具有如下特征：该问题的最优解中也包含 着其子问题的最优解。在分析问题是否满足最优性原理时， 通常先假设由问题的最优解导出的子问题的解不是最优的， 然后再设法说明在这个假设下可构造出比原问题最优解更 好的解，从而导致矛盾。 动态规划法利用问题的最优性原理，以自底向上的方 式从子问题的最优解逐步构造出整个问题的最优解。应用 动态规划法设计算法一般分成三个阶段： （1）分段：将原问题分解为若干个相互重叠的子问题； （2）分析：分析问题是否满足最优性原理，找出动态规划 函数的递推式； （3）求解：利用递推式自底向上计算，实现动态规划过程。

动态规划_多阶段决策问题的求解方法

动态规划_多阶段决策问题的求解方法

动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。

使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段态的思维方法。

动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。

3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。

一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。

策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。

二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。

任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。

这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。

原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。

动态规划问题常见解法

动态规划问题常见解法

动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。

动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。

以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。

它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。

可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。

2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。

0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。

完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。

3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。

4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。

5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。

以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。

动态规划算法题（5题）

动态规划算法题（5题）

动态规划算法题（5题）1、题⽬描述（⽹易）有 n 个学⽣站成⼀排，每个学⽣有⼀个能⼒值，⽜⽜想从这 n 个学⽣中按照顺序选取 k 名学⽣，要求相邻两个学⽣的位置编号的差不超过d，使得这 k 个学⽣的能⼒值的乘积最⼤，你能返回最⼤的乘积吗？输⼊描述:每个输⼊包含 1 个测试⽤例。

每个测试数据的第⼀⾏包含⼀个整数 n (1 <= n <= 50)，表⽰学⽣的个数，接下来的⼀⾏，包含 n 个整数，按顺序表⽰每个学⽣的能⼒值 ai（-50 <= ai <= 50）。

接下来的⼀⾏包含两个整数，k 和 d (1 <= k <= 10, 1 <= d <= 50)。

输出描述:输出⼀⾏表⽰最⼤的乘积。

试题分析：本题要使⽤动态规划来解，动态规划的特点：1.求解的是最优化问题；2.可以分解为最优⼦结构本题可以先求解在第i个学⽣的位置下，j（j<K）个学⽣的能⼒值的最⼤值，得到所有学⽣位置下j个学⽣的能⼒值的最⼤值；在j个学⽣的情况下，得到j+1个学⽣的最⼤值，样例输出： 10 8 7 2 -7 9 5 4 10 -7 1 3 3输出： 630如上，第⼀步先计算k=2的情况：7:在d=3的情况下，最⼤最⼩值都为562:在d=3的情况下，最⼤值为16，最⼩值为14-7:在d=3的情况下，最⼤值为-14，最⼩值为-56......得到第⼀趟的结果k=3的情况下（这⾥以第⼀趟的结果为基础，只有这样就不需要考虑第⼀趟中d=3的限制）：2:在d=3的情况下，最⼤最⼩值都为112（56*2）-7:在d=3的情况下，最⼤值为-98（14*-7）最⼩值为-392（56*-7）9:在d=3的情况下，最⼤值为504（56*9）最⼩值为-504（-56*9）......得到第⼆趟的结果返回最⼤值就是最后的结果#-*- coding:utf-8 -*-n=input()array=[int(i) for i in raw_input().split()]k,d=[int(i) for i in raw_input().split()]# n=36array_max=array_min=array#轮询k-1趟即可for i in range(0,k-1):_max=[-float('inf')]*n#将最⼤值的数组赋值⽆穷⼩_min=[float('inf')]*n#将最⼩值的数组赋值⽆穷⼤for j in range(i+1,n):if j<=d+i:#下⾯对应的min、max都是考虑到array[j]为负值的情况下temp_max = max(max(ii*array[j] for ii in array_max[i:j]),max(ii*array[j] for ii in array_min[i:j]))temp_min = min(min(ii*array[j] for ii in array_max[i:j]),min(ii*array[j] for ii in array_min[i:j]))else:temp_max = max(max(ii*array[j] for ii in array_max[j-d:j]),max(ii*array[j] for ii in array_min[j-d:j]))temp_min = min(min(ii*array[j] for ii in array_max[j-d:j]),min(ii*array[j] for ii in array_min[j-d:j]))_max[j]=temp_max_min[j]=temp_minarray_max=_maxarray_min=_minprint array_maxprint array_minprint max(array_max)2、题⽬描述（腾讯）：腾讯⼤厦有39层，你⼿⾥有两颗⼀抹⼀眼的玻璃珠。

动态规划讲解大全(含例题及答案)

动态规划讲解大全(含例题及答案)
动态规划算法的应用
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.

2控制对象的动态特性及其传递函数的求取(两点法、切线法)

2控制对象的动态特性及其传递函数的求取(两点法、切线法)

1 Ta s(Ts 1) n Ta ta 0 0h
dy( t ) dt
t

0 Ta
3
n
1 2 4 5 6
0．368 0．271 0．224 0．195 0．175 0．161
（3）
T＝ta /n
二、无自平衡能力对象
2.当对象的阶数n≥6时一般用有迟延的一阶积分环 节描述 传递函数为： W ( s ) （1） τ＝ ta （2） Ta
二、控制对象的近似传递函数
（一）有自平衡能力的对象
1.无迟延一阶对象 切线法 2.有迟延一阶对象 切线法和两点法 3．二阶对象 4. 高阶对象
(1)切线法
参数的求取
• •
增益K的确定 y( ) y( ) K 0
时间常数T的确定
方法一：过拐点做切线，相交线段在时间轴上的投影
方法二：响应曲线上找y(t1)＝0.632y(∞)的时间t1，
a
容量迟延时间τ
C
多容有自平衡对象可用下列传递函 数表示：
2.无自平衡能力多容对象
自平衡单容对象
无平衡单容对象
无自平衡能力多容对象
μ
Kμ
Q0
_
1 F1 S
h1
1 R1
Q1
1 F2 S
h2
自平衡单容对象
无平衡单容对象
阶跃响应
特征参数
多容无自平衡能力的对象的动态特 性可用两组参数描述：
Ta、 和 、
主水槽水位
a
特征参数
多容有自平衡能力的对象的动态特 性可用两组三个参数描述即 ：
容积迟延时间τC 、时间常数TC及放大系数 K 平衡率ρ、飞升速度ε和迟延时间τ(包括 纯迟延τ0和容积迟延τC)

贪心算法和动态规划算法

贪心算法和动态规划算法

贪⼼算法和动态规划算法动态规划和贪⼼算法都是⼀种递推算法即均由局部最优解来推导全局最优解（不从整体最优解出发来考虑，总是做出在当前看来最好的选择。

）不同点：贪⼼算法与动态规划的区别：贪⼼算法中，作出的每步贪⼼决策都⽆法改变，由上⼀步的最优解推导下⼀步的最优解，所以上⼀部之前的最优解则不作保留。

能使⽤贪⼼法求解的条件：是否能找出⼀个贪⼼标准。

我们看⼀个找币的例⼦，如果⼀个货币系统有三种币值，⾯值分别为⼀⾓、五分和⼀分，求最⼩找币数时，可以⽤贪⼼法求解；如果将这三种币值改为⼀⾓⼀分、五分和⼀分，就不能使⽤贪⼼法求解。

例：贪⼼法标准的选择设有n个正整数，将它们连接成⼀排，组成⼀个最⼤的多位整数。

例如：n=3时，3个整数13，312，343，连成的最⼤整数为34331213。

⼜如：n=4时，4个整数7，13，4，246，连成的最⼤整数为7424613。

输⼊：n个数输出：连成的多位数算法分析：此题很容易想到使⽤贪⼼法，在考试时有很多同学把整数按从⼤到⼩的顺序连接起来，测试题⽬的例⼦也都符合，但最后测试的结果却不全对。

按这种标准，我们很容易找到反例：12，121应该组成12121⽽⾮12112，那么是不是相互包含的时候就从⼩到⼤呢？也不⼀定，如12，123就是 12312⽽⾮12123，这种情况就有很多种了。

是不是此题不能⽤贪⼼法呢？其实此题可以⽤贪⼼法来求解，只是刚才的标准不对，正确的标准是：先把整数转换成字符串，然后在⽐较a+b和b+a，如果a+b>=b+a，就把a排在b的前⾯，反之则把a排在b的后⾯。

动态规划算法与贪⼼法的区别：不是由上⼀步的最优解直接推导下⼀步的最优解，所以需要记录上⼀步的所有解（下例中的F[i][j]就表⽰第i⾏的j个解)能使⽤动态规划算法的条件：如果⼀个问题被划分各个阶段之后，阶段I中的状态只能由阶段I-1中的状态通过状态转移⽅程得来，与其它状态没有关系，特别是与未发⽣的状态没有关系，那么这个问题就是“⽆后效性”的，可以⽤动态规划算法求解动态规划算法求解：1。

动态规划算法原理与应用

动态规划算法原理与应用

动态规划算法原理及其应用研究系别：x x x 姓名：x x x 指导教员：x x x2012年5月20日摘要：动态规划是解决最优化问题的基本方法，本文介绍了动态规划的基本思想和基本步骤，并通过几个实例的分析，研究了利用动态规划设计算法的具体途径。

关键词：动态规划多阶段决策1.引言规划问题的最终目的就是确定各决策变量的取值，以使目标函数达到极大或极小。

在线性规划和非线性规划中，决策变量都是以集合的形式被一次性处理的；然而，有时我们也会面对决策变量需分期、分批处理的多阶段决策问题。

所谓多阶段决策问题是指这样一类活动过程：它可以分解为若干个互相联系的阶段，在每一阶段分别对应着一组可供选取的决策集合；即构成过程的每个阶段都需要进行一次决策的决策问题。

将各个阶段的决策综合起来构成一个决策序列，称为一个策略。

显然，由于各个阶段选取的决策不同，对应整个过程可以有一系列不同的策略。

当过程采取某个具体策略时，相应可以得到一个确定的效果，采取不同的策略，就会得到不同的效果。

多阶段的决策问题，就是要在所有可能采取的策略中选取一个最优的策略，以便得到最佳的效果。

动态规划是一种求解多阶段决策问题的系统技术，可以说它横跨整个规划领域（线性规划和非线性规划）。

在多阶段决策问题中，有些问题对阶段的划分具有明显的时序性，动态规划的“动态”二字也由此而得名。

动态规划的主要创始人是美国数学家贝尔曼（Bellman）。

20世纪40年代末50年代初，当时在兰德公司（Rand Corporation）从事研究工作的贝尔曼首先提出了动态规划的概念。

1957年贝尔曼发表了数篇研究论文，并出版了他的第一部著作《动态规划》。

该著作成为了当时唯一的进一步研究和应用动态规划的理论源泉。

在贝尔曼及其助手们致力于发展和推广这一技术的同时，其他一些学者也对动态规划的发展做出了重大的贡献，其中最值得一提的是爱尔思（Aris）和梅特顿（Mitten）。

爱尔思先后于1961年和1964年出版了两部关于动态规划的著作，并于1964年同尼母霍思尔（Nemhauser）、威尔德（Wild）一道创建了处理分枝、循环性多阶段决策系统的一般性理论。

动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧

动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧

动态规划应用动态规划解决问题的思路与技巧动态规划应用 - 动态规划解决问题的思路与技巧动态规划（Dynamic Programming）是一种常见的算法思想，用于解决一些具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

通过将大问题划分为小问题，并将小问题的解存储起来以避免重复计算，可以在一定程度上优化问题的求解过程。

本文将介绍动态规划的应用，并提供一些思路与技巧。

一、动态规划的基本思路动态规划问题通常可以由以下步骤解决：1. 定义状态：将问题划分成若干子问题，并确定每个子问题需要记录的状态。

2. 定义状态转移方程：通过分析子问题之间的关系，建立状态转移方程，以表达子问题的最优解与更小规模子问题的关系。

3. 初始化边界条件：确定最小规模子问题的解，并初始化状态转移方程中需要用到的边界条件。

4. 递推求解：按照状态转移方程的定义，从较小规模的子问题开始逐步推导出较大规模的问题的解。

5. 求解目标问题：根据最终推导出的状态，得到原始问题的最优解。

二、动态规划的技巧与优化1. 滚动数组：为了降低空间复杂度，可以使用滚动数组来存储状态。

滚动数组只记录当前状态与之前一部分状态相关的信息，避免了存储所有状态的需求。

2. 状态压缩：对于某些问题，可以将状态压缩成一个整数，从而大幅减小状态的数量。

例如，当问题中涉及到某些特定的组合或排列时，可以使用二进制位来表示状态。

3. 前缀和与差分数组：对于某些问题，可以通过计算前缀和或差分数组，将问题转化为求解累加或差对应数组中的某个区间的值的问题，从而简化计算过程。

4. 贪心思想：有些动态规划问题可以结合贪心思想，在每个阶段选择局部最优解，然后得到全局最优解。

5. 双重循环与多重循环：在实际解决问题时，可以使用双重循环或多重循环来遍历状态空间，求解问题的最优解。

三、动态规划的实际应用动态规划广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 最短路径问题：例如，求解两点之间的最短路径、最小生成树等。

动态规划

动态规划

3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 3
C1 C2 4 C3 3
1 D
第三阶段（ A → B ）： A 到B 有二条路线。 有二条路线。 第三阶段（ f3(A)1 = d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) ＝2＋4＝6 ＋ ＋ ＝ f3 (A)2 = d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＝4＋3＝7 ＋ ＋ ＝ ＋ ∴ f3 (A) = min d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) = min｛6,7｝=6 ｛ ｝ d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＋ (最短路线为 最短路线为A→B1→C1 →D) 最短路线为
3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 C3 C2 4 3 3 C1
1 D
3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 3
C1 C2 4 C3 3
1 D
整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。 解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。 第一阶段（ 第一阶段（C →D）： C 有三条路线到终点 。 ）： 有三条路线到终点D 显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4
动 态 规 划
(Dynamic programming)
动态规划的基本思想 最短路径问题 投资分配问题 背包问题
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优 化的一种数量方法。其特点在于， 化的一种数量方法。其特点在于，它可以把一 维决策问题变换为几个一维最优化问题， 个n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从 而一个一个地去解决。 而一个一个地去解决。 需指出：动态规划是求解某类问题的一种 需指出： 方法，是考察问题的一种途径， 方法，是考察问题的一种途径，而不是一种算 必须对具体问题进行具体分析， 法。必须对具体问题进行具体分析，运用动态 规划的原理和方法，建立相应的模型， 规划的原理和方法，建立相应的模型，然后再 用动态规划方法去求解。 用动态规划方法去求解。
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01背包问题的动态规划算法、蛮力法和空间优化算法算法思想：（1）【导师实战恋爱教-程】、动态规划算法：解决背包物品价值最大化问题的最优解，是建立在每一个子问题的最优解的前提下完成的。

设Valu【扣扣】e[i,j]表示的是i个物品放进背包容量为j的背包的价值，令i从0【⒈】增至n（物品总数量），j从0增至c（背包总容量）。

Value[n,c]就是我【О】们要的背包价值最大化的解。

为了得到这个解必须要把之前的都解【１】决，每一个问题的最优解的算法又根据以下确定：当物品重【６】量w小于背包体积j时，此物品不放进背包，价值与上一次【⒐】价值相同；当物品重量w不小于背包体积j时，此物品是否放进背【５】包，取决于Value[i-1,j]和Value[i-1,j-w]+v的大小。

写成表达式【２】则为以下内容：? Va【б】lue[i-1,j]? weight[i]jValue[i,j]? Max(Value[i-1,j],Value[i-1,j-w[i]]+v[i])? weight[i]=j而这个表达式的约束条件就是当物品数量为0（i=0）时和背包容量为0（j=0）时，最大价值为0。

（2）、空间优化算法：动态规划法的空间复杂度为O（nw），现将空间复杂度优化到O（w）。

我使用的方法为建立一个新的一维数组V[w+1]，此数组与上述动态规划的Value数组不同的是只用于记录上一行的价值，如当我需要求第i行的价值的时候，v数组中存放的是第i-1行的价值。

然后从后往前（背包容量从c到0）计算价值、覆盖数组，因为每一次计算背包容量j大小的价值可能会用到j-w的价值，如果从前往后计算的话则数组已被更新，所以要从后往前计算。

计算价值的方法也是和上面大致相同：如果物品体积w小于背包容量j，则判断V[j]和V[j-w]+v的大小;如果大于背包容量，则放不进去，V[j]价值不变。

写成表达式如下：? V[j]? weight[i]j? Max(V[j],V[j-w[i]]+value[i])? weight[i]=j由于使用一维数组的方法，内容还一直被覆盖，所以无法得出背包中具体有哪些物品。

（3）、穷举法：用于验证动态规划方法是否正确。

以n=4为例，创建一个v[4]的数组，用0和1表示第i个物品是否放进背包，如0001表示只有第四个物品放进背包。

然后数组从0000~1111，计算每次摆放的重量以及价值。

如果重量小于背包重量，且价值大于当前最大价值，则记录当前的最大价值以及数组。

原理是这样在实施的时候为了记录背包的解，将0000和1111看成0和15的二进制形式，所以让i从0到15进行增长，每次将i转换成二进制格式放进数组中，这样做就可以记录最大价值时的i，转换成二进制则可获得具体物品。

伪代码如下：For i 0~2n-1? Coverbin( i )? --将i转化成二进制? For j 0~n?If? bin[j]==1? --如果第j个物品被放进去，就加上其价值和重量? Sumweigh+=weigh[j]? Sumvalue+=value[j]? If Sumweigh =c SumvalueMaxvalue? --如果总重量小于背包体积且价值最大? Maxvalue=Sumvalue--若要获得背包内的物品直接将flag转成二进制即可代码如下：#include iostream#include cmath#include ctimeusing namespace std;int maxvalue(int a,int b);--返回价值大的void bag(int x[],int i,int j);--计算包内物品int priority(int n,int w);--空间优化算法void violent(int n,int w);--蛮力法void conversion(int x,int b[]);--将int转化成二进制int a[50000][50000];--二维数组int *heavy=new int [100000];--物品重量int *v=new int [100000];--物品价值int max=0;int main()cout"请输入物品数量n和背包大小w： ";for(i=1;i=n;i++)heavy[i]=(rand()%w)+1;v[i]=(rand()%w)+1; --随机生成物品重量和价值-- coutheavy[i]" "v[i]endl;for(i=0;i=w;i++)a[0][i]=0;for(i=0;i=n;i++)a[i][0]=0; --将二维数组i=0和j=0的情况都填0 clock_t start, end;start = clock();--开始计时for(i=1;i=n;i++)for(j=1;j=w;j++)if(heavy[i]j) --如果重量比容量j大，就不放了a[i][j]=a[i-1][j];else --能放进去int k=j-heavy[i];a[i][j]=maxvalue(a[i-1][j],(a[i-1][k]+v[i])); end = clock();--结束计时-*for(i=0;i=n;i++){for(j=0;j=w;j++)couta[i][j]" ";--输出二维数组表coutendl;int *x=new int [n+1];for(i=1;i=n;i++)bag(x,n,w); --求包内的物品编号cout"最大价值为："a[n][w]endl;cout"能放进背包的物品编号是： ";for(i=1;i=n;i++)if(x[i]==1)couti" ";coutendl;cout"运行的时间是(s)： ";cout(double)(end - start) - (CLOCKS_PER_SEC)"s "endl; coutendl;cout"使用一维数组得出最大的价值为：";for(i=1;i=n;i++)coutpriority(n,w)endl;coutendl;violent(n,w);cout"使用蛮力法得出的最大价值为：";coutmaxendl;return 0;int maxvalue(int a,int b)return b;return a;void bag(int x[],int i,int j)if(a[i][j]==a[i-1][j]) --如果和上一列的数字相同，则表示该物品没放bag(x,i-1,j);else --和上一列的不同x[i]=1;--该物品放进去了bag(x,i-1,j-heavy[i]);--继续找上一个物品是否放进去了int priority(int n,int w)int *bag=new int [w+1];--数组用于保存上一行的数据for(i=0;iw+1;i++)bag[i]=0;--第一行先置0for(i=1;i=n;i++)for(j=w;j=heavy[i];j--)--从后往前判断，当背包容量大于物品重量if(bag[j]bag[j-heavy[i]]+v[i])--两个价值谁大填哪个bag[j]=bag[j-heavy[i]]+v[i];int end=bag[w];--最大价值就是数组最后一个return end;void violent(int n,int w)int i,j,sumw,sumv,flag=0;int bin[10];for(i=0;ipow(2,n);i++)--n等于4的话，二进制从0000~1111即0~15 for(j=1;j=n;j++)bin[j]=0; --初始化数组conversion(i,bin);--转换成二级制for(j=1;j=n;j++)if(bin[j]==1)--如果放了这个物品sumw=sumw+heavy[j];sumv=sumv+v[j]; --重量相加，价值相加if(sumw=w)if(sumvmax) --当总重量小于背包重量且价值大于当前最大价值时max=sumv; --记录最大价值flag=i; --记录当前ifor(j=1;j=n;j++)bin[j]=0;conversion(flag,bin); --将最大价值的i转换成二进制，得出背包物品编号cout"能放进背包的物品编号是： ";for(j=1;j=n;j++)if(bin[j]==1)coutj" ";coutendl;void conversion(int x,int b[]) --转化成二进制for(i=1;;i++)b[i]=x%2;if(x==0)int a[N] = {1,2,3,4,5,6,9,7,8,10};8 else PRINT-LCS(b, X, i, j - 1)int u = RecurMatrixChain(i, i, p, s) + RecurMatrixChain(i+1, j, p, s) + p[i-1]*p[i]*p[j];(1)i,j之间差1，先计算出[1,2] [2,3] [3,4]这些两两相邻的矩阵System.out.println("Multiply A["+i+":"+s[i][j]+"] and A["+(s[i][j]+1)+":"+j+"]");自顶向下只需要求解问题需要的解，不需要对所有子问题都去求解。

但是它需要额外的递归开销。

自底向上必须对所有子问题进行求解但是可有效减少计算时间和所需的存储空间。

int minimumTotal(vectorvectorint triangle) {count = 0; -* 输出顶点数 *-?m[4:5]=m[4:4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];if (f[i - 1][j] f[i - 1][(j - weight[i - 1])] + value[i - 1])。