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Pascal动态规划-复习2

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pascal语言试题及答案

pascal语言试题及答案

pascal语言试题及答案1. Pascal语言的创始人是谁？- A. Dennis Ritchie- B. Bjarne Stroustrup- C. Niklaus Wirth- D. Guido van Rossum答案： C2. 以下哪个选项不是Pascal语言的特性？- A. 结构化编程- B. 强类型- C. 面向对象- D. 编译型语言答案： C3. Pascal语言中，用于声明变量的关键字是什么？- A. var- B. let- C. def- D. declare答案： A4. 在Pascal中，以下哪个运算符用于比较两个变量是否不相等？ - A. =- B. <>- C. ==- D. !=答案： B5. Pascal语言中，以下哪个关键字用于定义函数？- A. function- B. procedure- C. define- D. method答案： A6. 在Pascal中，如何声明一个整型数组？- A. var arr: array[1..10] of integer;- B. var arr: integer[1..10];- C. var arr: integer array[1..10];- D. var arr: integer[10];答案： A7. Pascal语言中，以下哪个语句用于循环执行一段代码？ - A. loop- B. repeat- C. while- D. for答案： D8. 在Pascal中，以下哪个关键字用于定义过程？- A. function- B. procedure- C. subroutine- D. method答案： B9. Pascal语言中，以下哪个运算符用于取模运算？- A. %- B. mod- C. div- D. rem答案： D10. 在Pascal中，以下哪个关键字用于定义一个记录类型？ - A. record- B. struct- C. type- D. class答案： A。

pascal经典算法28页PPT

pascal经典算法28页PPT

pascal经典算法
经典算法
语言与计算机
• 递归调用 • 向前引用 • 随机化 • 指针类型 • 按位运算
排序（一）
• 冒泡排序（起泡排序） • 选择排序 • 插入排序 • ★ Shell排序 • 快速排序
排序（二）
• 线性时间排序 • 查找第k大元素 • 带第二关键字的排序
数论（一）
• 素性判断 • 筛选建立素数表 • 分解质因数 • 进制转换 • 二分取幂 • ★二分求解线性递推方程
贪心
• 最优装载问题 • 部分背包问题 • 独立区间的选择 • 覆盖区间的选择 • 区间的最小点覆盖 • 点的最小区间覆盖
递推
• Fibonacci数的若干应用 • Catalan数的若干应用 • 拆分数 • 差分序列
• ★网络流 • ★置换群 • ★KMP算法
其它
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
数据结构（二）
• ★平衡二叉树 • ★树状数组 • ★线段树 • ★块状链表
排列与组合
• 生成所有排列 • 生成所有组合 • 生成下一个排列 • 生成下一个组合
计算几何（一）
• 计算斜率 • 计算点积 • 计算余弦 • 计算平面两点的距离 • 计算空间两点的距离 • ★计算广义空间两点的距离 • 判断三点是否共线
动态规划（一）
• 0-1背包 • 完全背包 • 乘法问题 • 数塔问题 • 装箱问题
动态规划（二）
• 最长上升序列（LIS） • 最长公共子串（LCM） • 最小代价子母树
Pascal动态规划-复习

Pascal动态规划-复习


[题2] 数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是 向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最 大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。
[题2] 数塔
贪心法。时间上有保证，但得不到最优解。主要原因是贪心法只顾 眼前利益，不考虑长远利益。 在规定时间内得到正确结果，唯一的方法就是“动态规划”。
dpl(i，j)=min{dpl(i-1，j)+v(i，j)，dpl(i，j-1)+h(i，j)}
[题5] 机器分配
【问题描述】 总公司拥有高效生产设备M台，准备分给下属的N个公司。各分公司
若获得这些设备，可以为国家提供一定的盈利。问：如何分配这M台设
备才能使国家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中M≤15，N≤10。 分配原则：每个公司有权获得任意数目的设备，但总台数不得超过总设
下面以示意图表示动态规划的过程：所选路径为：9-12-10-18-10
注意分析时，有以下几个特点：
（1）将问题划分成了4个阶段；
（2）每个阶段均得到了“部分”的最优解，得到最优解时，需要进行条件判断；
（3）从最下面一层往顶层推导。
[题3] 棋盘路径问题
【题目简介】 有一个n*m的棋盘，左下角为（1,1），右上角为（n,m），如下图： 有一颗棋子，初始位置在（1,1），该棋子只能向右走或者向上走，问该 棋子从（1,1）到（n,m）一共有几条路径？ 输入：两个整数n和m 输出：一个数，路径总数
● 第i级台阶,可以从第i-2级台阶迈2级台阶到达,也 可以从第i-1级台阶迈1级台阶到达
上楼梯问题
● 慢在哪里？
● 重叠的问题被计算了多次！ ● 例如：计算f[5]时，f[5]=f[3]+f[4];而f[4]=f[3]+f[2], 此时，f[3]又被计算了一遍。 ● 每次计算f[i]时，都要递归到f[0]或f[1]! ● 时间复杂度变成了O(N!)
动态规划算法教学PPT

动态规划算法教学PPT


03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
动态规划-例题众多-详细讲解

动态规划-例题众多-详细讲解


步骤2：状态转移方程：
步骤3：以自底向上的方法来计算最优解
12
程序的实现
BuyTicks(T, R)
1 n ← length[T]
2 f[0] ← 0
3 f[1] ← T[1]
4 for i ← 2 to n do
5
f[i] ← f[i-2]+R[i-1]
6
if f[i] > f[i-1]+T[i] then
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F(n) 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
2
递归 vs 动态规划
递归版本:
F(n)
1 if n=0 or n=1 then
2
return 1
3 else
4
return F(n-1) + F(n-2)
太慢!
动态规划:
F(n)
1 A[0] = A[1] ← 1
这里是某支股票的价格清单： 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 <= N <= 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(<=231) 当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方 案被认为是相同的。
你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要 几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。
第3章-动态规划算法

第3章-动态规划算法


算法复杂度分析：
算法matrixChain的主要计算量取决于算法中对r， i和k的3重循环。循环体内的计算量为O(1)，而3重 循环的总次数为O(n3)。因此算法的计算时间上界 为O(n3)。算法所占用的空间显然为O(n2)。
22
3.1.4 构造最优解 若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最 优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优 解。 s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在 矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为 (A[i:k])(A[k+1:j)。
21
m[2][5]
min
m[2][2] m[3][5] m[2][3] m[4][5]
p1 p2 p5 p1 p3 p5
0 2500 35 2625 1000
15 35 5
20 20
13000 7125
m[2][4] m[5][5] p1 p4 p5 4375 0 3510 20 11375
}
}
T(Apxq*Bqxr)=O(p*q*r)
10
A, B, C, D
A 5010 B 1040 C 4030 D 305
(A((BC)D)) (A(B(CD))) ((AB)(CD)) (((AB)C)D) ((A(BC))D)
计算量分别为：16000, 10500, 36000, 87500, 34500
矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种 计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩 阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘 积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个 矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
PASCAL语言教程_完整版_

PASCAL语言教程_完整版_

Pascal 教程目录第一章简单程序 (2)第一节Pascal 程序结构和基本语句 (2)第二节顺序结构程序与基本数据类型 (6)第二章分支程序 (10)第一节条件语句与复合语句 (10)第二节情况语句与算术标准函数 (12)第三章循环程序 (16)第一节for 循环 (16)第二节repeat 循环 (22)第三节While 循环 (27)第四章函数与过程 (32)第一节函数 (32)第二节自定义过程 (35)第五章Pascal的自定义数据类型 (40)第一节数组与子界类型 (40)第二节二维数组与枚举类型 (48)第三节集合类型 (56)第四节记录类型和文件类型 (60)第五节指针类型与动态数据结构 (67)第六章程序设计与基本算法 (73)第一节递推与递归算法 (73)第二节回溯算法 (80)第七章数据结构及其应用 (86)第一节线性表 (86)第二节队列 (90)第三节栈 (93)第四节数组 (97)第八章搜索 (100)第一节深度优先搜索 (100)第二节广度优先搜索 (111)第九章其他常用知识和算法 (115)第一节图论及其基本算法 (115)第二节动态规划 (122)第一章简单程序无论做任何事情，都要有一定的方式方法与处理步骤。

计算机程序设计比日常生活中的事务处理更具有严谨性、规范性、可行性。

为了使计算机有效地解决某些问题，须将处理步骤编排好，用计算机语言组成“序列”，让计算机自动识别并执行这个用计算机语言组成的“序列”，完成预定的任务。

将处理问题的步骤编排好，用计算机语言组成序列，也就是常说的编写程序。

在Pascal语言中，执行每条语句都是由计算机完成相应的操作。

编写Pascal 程序，是利用Pascal语句的功能来实现和达到预定的处理要求。

“千里之行，始于足下”，我们从简单程序学起，逐步了解和掌握怎样编写程序。

第一节Pascal 程序结构和基本语句在未系统学习Pascal语言之前，暂且绕过那些繁琐的语法规则细节，通过下面的简单例题，可以速成掌握Pascal程序的基本组成和基本语句的用法，让初学者直接模仿学习编简单程序。

全国信息学奥赛NOI培训教程(Pascal 2016)重点

全国信息学奥赛NOI培训教程(Pascal 2016)重点

全国信息学奥赛NOI培训教程（Pascal 2016）目录计算机基础知识 ------------------------------6第1章计算机基础常识第二章操作系统简介第三章计算机网络第四章计算机信息安全基础知识Pascal 语言 -----------------------------------19Pascal语言概述与预备知识第一章开始编写pascal语言程序第二章 Pascal语言基础知识第三章顺序结构程序设计第四章选择结构程序设计第五章循环结构程序设计第六章数组与字符串第七章函数和过程第八章子界与枚举类型第九章集合类型第十章记录与文件类型第十一章指针第十二章程序调试常用算法与策略 -----------------------------------56第一章算法的概念第二章递归第三章回溯第四章排序第五章查找第六章穷举策略第七章贪心算法第八章分治策略数据结构 -----------------------------------101第一章什么是数据结构第二章线性表第三章栈第四章队第五章树第六章图动态规划 -----------------------------------144第一章什么叫动态规划第二章用动态规划解题第三章典型例题与习题第四章动态规划的递归函数法第五章动态规划分类1数学知识及相关算法第一章有关数论的算法第二章高精度计算第三章排列与组合第四章计算几何第五章其它数学知识及算法图论算法-----------------------------------192第一章最小生成树第二章最短路径第三章拓扑排序（AOV网）第四章关键路径（AOE网）第五章网络流第六章图匹配搜索算法与优化-----------------------------------218第一章双向广度优先搜索第二章分支定界法第三章 A*算法青少年信息学奥林匹克竞赛情况简介信息学奥林匹克竞赛是一项旨在推动计算机普及的学科竞赛活动，重在培养学生能力，使得有潜质有才华的学生在竞赛活动中锻炼和发展。

动态规划习题

动态规划习题

动态规划专题分类视图数轴动规题： (1)较复杂的数轴动规 (4)线性动规 (7)区域动规： (14)未知的动规： (20)数轴动规题：题1.2001年普及组第4题--装箱问题【问题描述】有一个箱子容量为V(正整数,0≤V≤20000),同时有n个物品(0<n≤30),每个物品有一个体积（正整数）。

要求从n个物品中,任取若干个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。

【输入格式】输入文件box.in有若干行。

第一行：一个整数，表示箱子容量V；第二行：一个整数，表示物品个数n；接下来n行，分别表示这n个物品的各自体积。

【输出格式】输出文件box.out只有一行数据，该行只有一个数，表示最小的箱子剩余空间。

【输入样例】2468312797【输出样例】题2.1996年提高组第4题--砝码秤重__数据加强版【问题描述】设有n种砝码,第k种砝码有C k个,每个重量均为W k,求：用这些砝码能秤出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

【输入格式】输入文件weight.in的第一行只有一个数n,表示不同的砝码的种类数.第2行至第n+1行,每行有两个整数.第k+1行的两个数分别表示第k种砝码的个数和重量.【输出格式】输出文件weight.out中只有一行数据:Total=N。

表示用这些砝码能秤出的不同重量数。

【输入样例】22 22 3【输出样例】Total=8【样例说明】重量2,3,4,5,6,7,8,10都能秤得【数据限制】对于100%的数据,砝码的种类n满足:1≤n≤100;对于30%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤20;对于100%的数据,砝码的总数量C满足:1≤C≤100;对于所有的数据,砝码的总重量W满足:1≤W≤400000;题3.石子归并-szgb.pas【问题描述】有一堆石头质量分别为W1,W2,…,Wn.(Wi≤10000),将石头合并为两堆,使两堆质量的差最小。

【输入】输入文件szgb.in的第一行只有一个整数n(1≤n≤50),表示有n堆石子。

pascal 教程2

pascal 教程2

课题: PASCAL循环嵌套程序教学目标知识目标: 1．掌握FOR多重循环结构；2．熟练运用流程图表达简单程序算法。

能力目标:1．学会运用FOR嵌套解决多层穷举算法问题。

2．掌握穷举算法的设计。

情感目标: 1．理解反复执行程序段的设计方法；2．体验计算机高速与穷举算法思想在程序中的实现。

教学重点:FOR嵌套在程序中的运用难点: 穷举算法设计教学方法：任务驱动和解析启示法课程类型：授新课教学准备：投影或小黑板尼科梅彻斯NS图& Tab99.PAS教学反思：教学过程一、任务导入：打印1X1=12X1=2 2X2=49X1=9 9X2=18 ……9X9=81FOR A : = 1 to 9 dobeginFor B : =1 to A do Write(A , ’*’ , B, ‘=’, AXB:2 ) ;WritelnEnd；在上例中，FOR循环中又包括另一个FOR循环，称为循环嵌套。

内嵌套的FOR语句是外循环体的一部分。

二、新授写出运行结果：FOR I:= 1 to 2 doBegin For j:=1 to 4 do write (I:4，J:4); writeln end;跟踪变量当前值，并借助循环过程执行流程图,说明循环嵌套的执行过程。

外循环执行一次，内循环执行一遍，总次数为外循环次数*内循环次数。

例6-1．百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。

用百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？师生共同分析算法：设公鸡、母鸡、小鸡分别X，Y，Z只，则X+Y+Z=100 （只）5X+3Y+z/3=100（钱）这是一个不定方程求整数解，，因为三个变量只能列出两个方程，不能解，必须一个一个组合地去试，看是否能满足条件。

——穷举法。

Var X,Y,Z，N:integer;Begin {计数器置空}FOR X:=1 to 100 doFOR Y:= 1 to 100 doFor Z:=1 to 100 doBegin IF X+Y+Z=100 AND 5*X+3*Y+z/3=100Then writeln(x:10, y:10, z:10) ; {未设置计数器N：=N+1；}End;END.该程序要运行100*100*100=1000000(一百万)次。

动态规划_多阶段决策问题的求解方法

动态规划_多阶段决策问题的求解方法

动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。

使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段态的思维方法。

动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。

3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。

一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。

策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。

二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。

任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。

这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。

原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。

动态规划讲解大全(含例题及答案)

基本模型
多阶段决策过程的最优化问题。 在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在 它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。当然，各个阶段决策的选取不 是任意确定的，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展，当各个阶段决策确定后，就组成一个 决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线，如图所示：（看词条图） 这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问 题就称为多阶段决策问题。
在前面的例子中，第一个阶段就是点 A，而第二个阶段就是点 A 到点 B，第三个阶段是点 B 到点 C，而第四个阶段是点 C 到点 D。
状态：状态表示每个阶段开始面临的自然状况或客观条件，它不以人们的主观意志为转移，也称 为不可控因素。在上面的例子中状态就是某阶段的出发位置，它既是该阶段某路的起点，同时又是前 一阶段某支路的终点。
fout.close(); return 0; }
USACO 2.3 Longest Prefix
题目如下： 在生物学中，一些生物的结构是用包含其要素的大写字母序列来表示的。生物学家对于把长的序 列分解成较短的（称之为元素的）序列很感兴趣。 如果一个集合 P 中的元素可以通过串联（允许重复；串联，相当于 Pascal 中的 “+” 运算符） 组成一个序列 S ，那么我们认为序列 S 可以分解为 P 中的元素。并不是所有的元素都必须出现。 举个例子，序列 ABABACABAAB 可以分解为下面集合中的元素： {A, AB, BA, CA, BBC} 序列 S 的前面 K 个字符称作 S 中长度为 K 的前缀。设计一个程序，输入一个元素集合以及一 个大写字母序列，计算这个序列最长的前缀的长度。 PROGRAM NAME: prefix INPUT FORMAT 输入数据的开头包括 1..200 个元素（长度为 1..10 ）组成的集合，用连续的以空格分开的字 符串表示。字母全部是大写，数据可能不止一行。元素集合结束的标志是一个只包含一个 “.” 的行。 集合中的元素没有重复。接着是大写字母序列 S ，长度为 1..200,000 ，用一行或者多行的字符串 来表示，每行不超过 76 个字符。换行符并不是序列 S 的一部分。 SAMPLE INPUT (file prefix.in) A AB BA CA BBC . ABABACABAABC OUTPUT FORMAT 只有一行，输出一个整数，表示 S 能够分解成 P 中元素的最长前缀的长度。 SAMPLE OUTPUT (file prefix.out) 11 示例程序如下： #include <stdio.h>

动态规划_多阶段决策问题的求解方法

动态规划_多阶段决策问题的求解方法1.构造状态网络; :一:解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法在程序设计中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程2.根据状态转移关系和状态转移方程建立最优值的分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要做出决策，从而3.按阶段的先后次序计算每个状态的最优值。

使整个过程达到最好的活动效果。

因此各个阶段决策的选取不能任逆向思维法是指从问题目标状态出发倒推回初始意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。

当各个阶段态的思维方法。

动态规划的逆向思维法的要点可归纳为以决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条 1.分析最优值的结构，刻画其结构特征; 活动路线。

这种把一个问题看作是一个前后关联具有链状结构的多 2.递归地定义最优值; 阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策问题。

3.按自底向上或自顶向下记忆化的方式计算最优在多阶段决策问题中，各个阶段采取的决策，一般来说是与时间有关的，决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移，一个决策序列如果原问题可以分解成几个本质相同、规模较小的就是在变化的状态中产生出来的，故有"动态"的含义，我们称这种就会联想到从逆向思维的角度寻求问题的解决。

一般解决多阶段决策最优化的过程为动态规划方法。

策问题多采用动态规划逆向思维方法解决。

二、举:二:动态规划最优化原理 pascal 语例说明本文以信息学奥赛用语言——最优化原理是动态规划的基础。

任何一个问题，如果失去了这言为编程个最优化原理的支持，就不可能用动态规划方法计算。

这个“最优化说明，其他编程语言编写方法相同，语句类似。

原理”如果用数学化一点的语言来描述的话，就是:假设为了解决某 :一:问题描述一优化问题，需要依次作出 n 个决策 D1，D2，，Dn，如若这个决策设有 N 个不相同的整数组成的数列，记为: 序列是最优的，对于任何一个整数 k，1 < k < n，不论前面 k 个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即 ()且 ?? a1 a2 an aiajij以后的决策 Dk+1，Dk+2，，Dn 也是最优的。

动态规划问题常见解法

动态规划问题常见解法动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的算法思想，用于解决一类具有重叠子问题性质和最优子结构性质的问题。

动态规划通常通过将问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，从而得到原问题的最优解。

以下是动态规划问题常见的解法：1. 斐波那契数列斐波那契数列是动态规划问题中的经典案例。

它的递推关系式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。

可以使用动态规划的思想来解决斐波那契数列问题，通过保存已经计算过的子问题的结果，避免重复计算。

2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

背包问题包括 0/1 背包问题和完全背包问题。

0/1 背包问题中每个物品要么被选中放入背包，要么不选。

完全背包问题中每个物品可以被选中多次放入背包。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解背包问题。

3. 最长递增子序列最长递增子序列是一个常见的子序列问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

最长递增子序列指的是在一个序列中，找到一个最长的子序列，使得子序列中的元素按照顺序递增。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以有效地求解最长递增子序列问题。

4. 最长公共子序列最长公共子序列是一个经典的字符串问题，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定两个字符串，找到它们之间最长的公共子序列。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解最长公共子序列问题。

5. 矩阵链乘法矩阵链乘法是一个求解最优括号化问题的经典案例，可以使用动态规划的方法进行求解。

给定多个矩阵的大小，需要找到一个最优的计算顺序，使得计算乘积的次数最少。

通过定义状态转移方程和使用动态规划的思想，可以高效地求解矩阵链乘法问题。

以上是动态规划问题的常见解法，通过使用动态规划的思想和方法，可以解决这些问题，并求得最优解。

经典的动态规划入门练习题

动态规划入门练习题1.石子合并在一个圆形操场的四周摆放着N堆石子(N<= 100),现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选取相邻的两堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分.编一程序,由文件读入堆栈数N及每堆栈的石子数(<=20).(1)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最小;(2)选择一种合并石子的方案,使用权得做N－1次合并,得分的总和最大;输入数据:第一行为石子堆数N;第二行为每堆的石子数,每两个数之间用一个空格分隔.输出数据:从第一至第N行为得分最小的合并方案.第N+1行是空行.从第N+2行到第2N+1行是得分最大合并方案.每种合并方案用N行表示,其中第i行(1<=i<=N)表示第i次合并前各堆的石子数(依顺时针次序输出,哪一堆先输出均可).要求将待合并的两堆石子数以相应的负数表示.输入输出范例:输入:44 5 9 4输出:－４５９－４－８－５９－１３－９２２４－５－９４４－１４－４－４－１８２２最小代价子母树设有一排数，共ｎ个，例如：22 14 7 13 26 15 11.任意2个相邻的数可以进行归并,归并的代价为该两个数的和,经过不断的归并,最后归为一堆,而全部归并代价的和称为总代价,给出一种归并算法,使总代价为最小.输入、输出数据格式与“石子合并”相同。

输入样例：412 5 16 4输出样例：－１２－５１６４１７－１６－４－１７－２０３７2.背包问题设有ｎ种物品，每种物品有一个重量及一个价值。

但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为ＸＫ，今从ｎ种物品中选取若干件（同一种物品可以多次选取），使其重量的和小于等于ＸＫ，而价值的和为最大。

输入数据：第一行两个数：物品总数Ｎ，背包载重量ＸＫ；两个数用空格分隔；第二行N个数,为Ｎ种物品重量；两个数用空格分隔；第三行N个数,为N种物品价值; 两个数用空格分隔；输出数据：第一行总价值；以下N行，每行两个数，分别为选取物品的编号及数量；输入样例：4 102 3 4 71 3 5 9输出样例：122 14 13.商店购物某商店中每种商品都有一个价格。

动态规划(完整)


(3) 决策、决策变量
所谓决策就是确定系统过程发展的方案，
决策的实质是关于状态的选择，是决策者
从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出
的选择。
用以描述决策变化的量称之决策变量， 和状态变量一样，决策变量可以用一个数， 一组数或一向量来描述．也可以是状态变量
的函数，记以 xk xk (sk ) ，表示于 k 阶段状
动态规划的分类:
• 离散确定型 • 离散随机型 • 连续确定型 • 连续随机型
动态规划的特点:
• 动态规划没有准确的数学表达式和定义 精确的算法, 它强调具体问题具体分析,
依赖分析者的经验和技巧。
• 与运筹学其他方法有很好的互补关系, 尤 其在处理非线性、离散性问题时有其独 到的特点。
通常多阶段决策过程的发展是通过状态的一系列变换来 实现的。一般情况下，系统在某个阶段的状态转移除与本阶 段的状态和决策有关外，还可能与系统过去经历的状态和决 策有关。因此，问题的求解就比较困难复杂。而适合于用动 态规划方法求解的只是一类特殊的多阶段决策问题，即具有 “无后效性”的多阶段决策过程。
4 6
C1
3
B2 3
4T
3 3
C2
阶段指标函数：
vk sk , xk cskxk
5
A3
B3
过程指标（阶段递推）函数:
fk(sk ) min
vk (sk , xk )
fk
1
(sk
1 )
k= 4
f4 (C1) = 3, f4 (C2) = 4
2
k=3
f3(B1)=min{1+f4(C1)=4*, 4+f4(C2)=8}=4
(6) 指标函数
用来衡量策略或子策略或决策的效果的 某种数量指标，就称为指标函数。它是定义 在全过程或各子过程或各阶段上的确定数量 函数。对不同问题，指标函数可以是诸如费 用、成本、产值、利润、产量、耗量、距离、 时间、效用，等等。

《动态规划算法》课件

总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
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● （5）第三次计算结点为B1，B2，B3，而决 策输出结点可能为C1，C2，C3。仿前计算可 得Bl，B2，B3的决策路径为如下情况。 ● Bl:B1C1费用 12+8=20， 路径:B1+C1+D1+E B2:B2C1费用 6+8=14， 路径:B2+C1+D1+E B3:B2C2费用 12+7=19，路径:B3+C2+D2+E ● 此时也无法定下第一，二，三阶段的城市哪 三个将在整体的最优决策路径上。 ● （6）第四次计算结点为A，决策输出结点可 能为B1，B2，B3。同理可得决策路径为 ● A：AB2，费用5+14=19，路径 A+B2+C1+D1+E。 ● 此时才正式确定每个子问题的结点中，哪一 个结点将在最优费用的路径上。19将是最短 路径的结果 ● 显然这种计算方法，符合最优原理。 ● 子问题的决策中，只对同一城市（结点）比 较优劣。而同一阶段的城市（结点）的优劣 要由下一个阶段去决定。
数塔
● 如下图所示的数塔，从顶部出发，在每一结点可以选择向左下走或是 向右下走，一直走到底层，要求找出一条路径，使路径上的数的和最 大。数塔层数用n表示，1<=n<=100。 ● 【分析】对于这一问题，很容易想到用枚举的方法（深度搜索法）去 解决，即列举出所有路径并记录每一条路径所经过的数字总和。然后 寻找最大的数字总和，这一想法很直观，很容易编程实现。 ● 但是当行数很大时，当三角形的行数等于100时，其枚举量之大是可 想而知的，用枚举法肯定超时，甚至根本不能得到计算结果，必须用 动态规划法来解。
动态规划适合解决什么样的问题
● 准确地说，动态规划不是万能的，它只适于解决一定条件的最优策略 问题。 ● (1)状态必须满足最优化原理； (2)状态必须满足无后效性 ● 1、动态规划的最优化原理是指无论过去的状态和决策如何，对前面 的决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。 ● 可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优在上 例最短路径问题中，A到E的最优路径上的任一点到终点E的路径也必 然是该点到终点E的一条最优路径，满足最优化原理。 ● 动态规划的无后效性原则指某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演 变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”， 当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的 状态去影响过程未来的演变。具体地说，如果一个问题被划分各个阶 段之后，阶段 I 中的状态只能由阶段 I+1 中的状态通过状态转移方程 得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就 是无后效性。
怎样用动态规划法解题
● program datasjx; const maxn=100; var n,i,j:integer; a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; f:array[1..maxn,1..maxn] of integer; maxsum:integer; begin readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to i do read(a[i,j]); fillchar(f,sizeof(f),0); f[1,1]:=a[1,1]; for i:=2 to n do begin f[i,1]:=a[i,1]+f[i-1,1]; for j:=2 to i do if f[i-1,j-1]>f[i-1,j] then f[i,j]:=a[i,j]+f[i-1,j-1] else f[i,j]:=a[i,j]+f[i-1,j]; end; maxsum:=0;
怎样用动态规划法解题
● 1.逆推法: ● 按三角形的行划分阶段，若行数为 n，则可把问 题看做一个n-1个阶段的决策问题。先求出第n-1 阶段(第n-1行上各点)到第n行的的最大和，再依 次求出第n-2阶段、第n-3阶段……第1阶段(起始 点)各决策点至第n行的最佳路径。 ● 设：f[i,j]为从第i阶段中的点j至第n行的最大的数字 和； 则: f[n,j]=a[n,j] 1<=j<=n ● f[i,j]=max{a[i,j]+f[i+1,j],a[i,j]+f[i+1,j+1]} 1<=j<=i. ● f[1,1]即为所求。
动态规划---复习篇
Dynamic Programming
多阶段决策过程的最优化问题
● 1、问题的提出 ● 首先，例举一个典型的且很直观的多阶段决策问题: [例] 下图表示城市之间的交通路网，线段上的数字表示费用，单向通行由A>E。求A->E的最省费用。
● 如图从A到E共分为4个阶段，即第一阶段从A 到B，第二阶段从B到C，第三阶段从C到D，第 四阶段从D到E。 ● 除起点A和终点E外，其它各点既是上一阶段的 终点又是下一阶段的起点。 ● 例如从A到B的第一阶段中，A为起点，终点有 B1，B2，B3三个，因而这时走的路线有三个 选择，一是走到B1，一是走到B2，一是走到 B3。若选择B2的决策，B2就是第一阶段在我 们决策之下的结果，它既是第一阶段路线的终 点，又是第二阶段路线的始点。在第二阶段， 再从B2点出发，对于B2点就有一个可供选择的 终点集合(C1，C2，C3)；若选择由B2走至C2 为第二阶段的决策，则C2就是第二阶段的终点， 同时又是第三阶段的始点。同理递推下去，可 看到各个阶段的决策不同，线路就不同。 ● 很明显，当某阶段的起点给定时，它直接影响 着后面各阶段的行进路线和整个路线的长短， 而后面各阶段的路线的发展不受这点以前各阶 段的影响。（无后效性） ● 故此问题的要求是：在各个阶段选取一个恰当 的决策，使由这些决策组成的一个决策序列所 决定的一条路线，其总路程最短。
● 动态规划的最优化概念是在一定条件下，找到一 种途径，在对各阶段的效益经过按问题具体性质 所确定的运算以后，使得全过程的总效益达到最 优。 ● 应用动态规划要注意阶段的划分是关键，必须依 据题意分析，寻求合理的划分阶段(子问题)方法。 ● 而每个子问题是一个比原问题简单得多的优化问 题。而且每个子问题的求解中，均利用它的一个 后部子问题的最优化结果，直到最后一个子问题 所得最优解，它就是原问题的最优解。
● （1）由目标状态E向前推，可以分成四个 阶段，即四个子问题。如上图所示。 ● （2）策略：每个阶段到E的最省费用为本 阶段的决策路径。 ● （3）D1，D2是第一次计算的结点。他们 到E都只有一种费用，在D1框上面标5，D2 框上面标2。目前无法定下，那一个点将在 全程最优策略的路径上。第二阶段计算中， 5，2都应分别参加计算。 ● （4）C1，C2，C3是第二次计算结点，他 们到D1，D2各有两种费用。此时应计算 C1，C2，C3分别到E的最少费用。 ● C1的决策路径是 min{（C1D1）， （C1D2）}。计算结果是C1+D1+E，在C1 框上面标为8。(程序中用数组保存记录） 同理C2的决策路径计算结果是C2+D2+E， 在C2框上面标为7。 同理C3的决策路径计算结果是C3+D2+E， 在C3框上面标为12。 此时也无法定下第一，二阶段的城市那二 个将在整体的最优决策路径上。
● 在此例的多阶段决策问题中，各个阶段 采取的决策，一般来说是与时间有关的， 决策依赖于当前状态，又随即引起状态 的转移，一个决策序列就是在变化的状 态中产生出来的，故有“动态”的含义， 称这种解决多阶段决策最优化问题的方 法为动态规划方法。 ● 与穷举法相比，动态规划的方法有两个 明显的优点: (1)大大减少了计算量 (2)丰富了计算结果 ● 从此例的求解结果中，我们不仅得到由 A点出发到终点E的最短路线及最短距 离，而且还得到了从所有各中间点到终 点的最短路线及最短距离，这对许多实 际问题来讲是很有用的。
怎样用动态规划法解题
program datasjx; const maxn=100; var n,i,j:integer; a:array[1..maxn,1..maxn] of integer; f:array[1..maxn,1..maxn] of integer; begin readln(n); for i:=1 to n do for j:=1 to i do read(a[i,j]); for i:=1 to n do f[n,i]:=a[n,i]; for i:=n-1 downto 1 do for j:=1 to i do if f[i+1,j]>f[i+1,j+1] then f[i,j]:=a[i,j]+f[i+1,j] else f[i,j]:=a[i,j]+f[i+1,j+1]; writeln(f[1,1]); end.
● ●● ●Fra bibliotek用动态规划法解 题的一般模式
● 动态规划所处理的问题是一个多阶段决策问题，一般由初始状态开始，通 过对中间阶段决策的选择，达到结束状态。这些决策形成了一个决策序列， 同时确定了完成整个过程的一条活动路线(通常是求最优的活动路线)。动 态规划的设计都有着一定的模式，一般要经历以下几个步骤。 ● (1)划分阶段：按照问题的时间或空间特征，把问题分为若干个阶段。在划 分阶段时，注意划分后的阶段一定要是有序的或者是可排序的，否则问题 就无法求解。 ● (2)确定状态和状态变量：将问题发展到各个阶段时所处于的各种客观情况 用不同的状态表示出来。当然，状态的选择要满足无后效性。 ● (3)确定决策并写出状态转移方程：因为决策和状态转移有着天然的联系， 状态转移就是根据上一阶段的状态和决策来导出本阶段的状态。所以如果 确定了决策，状态转移方程也就可写出。但事实上常常是反过来做，根据 相邻两段各状态之间的关系来确定决策。 ● (4)寻找边界条件：给出的状态转移方程是一个递推式，需要一个递推的终 止条件或边界条件。 ● (5)程序设计实现：动态规划的主要难点在于理论上的设计，一旦设计完成， 实现部分就会非常简单。