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易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模一、问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐6070亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。
为此提出下述问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032毕业论文（设计）诚信声明本人声明：所呈交的毕业论文（设计）是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，论文中引用他人的文献、数据、图表、资料均已作明确标注，论文中的结论和成果为本人独立完成，真实可靠，不包含他人成果及已获得青岛农业大学或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
论文（设计）作者签名：日期：2013 年3月10 日毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文（设计）作者同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。
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论文（设计）作者签名：日期：2013 年3 月10 日指导教师签名：日期：年月日毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。
摘要本文针对常见的易拉罐(355毫升可口可乐)进行测量,在合理的假设下通过不断的优化建立最优易拉罐尺寸和外形的设计模型,并进行了相当程度的创新设计。
针对问题一，我们分别通过合理的方法测量计算得易拉罐的顶部，中间，和底部的直径，高度，顶部高度，以及罐侧，罐底，罐顶的厚度，并提供相应的测量方法。
针对问题二，我们本着由简单到复杂的演绎过程，逐步放宽条件和假设，依次得到相应的最优化模型。
首先考虑了最简单情况下的最优化问题（即假设易拉罐为正圆柱，罐顶罐底侧面材料相同且厚度一致，制作过程中没有材料的浪费）其次我们考虑了制作易拉罐铁皮切料过程中的问题，并在两种切料方法进行讨论。
再次，我们加入了制作费用，即各部分接缝的损失。
最后我们加入了罐底，罐顶，侧面，厚度不一致的考虑，得到了较为接近现实情况的优化模型。
针对问题三，即易拉罐是一个圆台加圆柱的组合情况，这与我们测得的实际情况较为相似,我进行了罐体抗压力, 罐内气体压强, 人体嘴形舒适度等方面考虑，肯定了圆台存在的意义.在体积不变的约束下建立了规划模型. 并通过MATLAB求解.针对问题四,我们综合了前面的优化过程,并在传统易拉罐模型的基础上对新型模型进行了进一步的优化创新, 虽然在体积一样的情况下圆柱是表面积最小的(证明见附录1),但从外形美观,原材料的节省,运输成本的节约方面看平面的柱体占有一定的优势,结合了以上两面的综合考虑,我们设计出了带弧度的底部上凸的正三棱体，并分别从形状和尺寸的确立、设计过程依据、总体成本估算、特殊形状成因、广告效应、材质选择以及运输成方面分别阐述了该模型超越传统模型的优势，以及新型模型本身的合理性与科学性。
通过运用弧形设计、弯曲表面效应、线性规划等的原理，对模型进行了的优化。
同时，针对新型模型本身我们不仅仅立足于科学的规划，而且着重考虑了人们的偏好以及舒适度，以使得易拉罐的新型更具有现实意义。
最后我们提出的一种有待进一步验证的蛋状易拉罐的方案，将易拉罐的设计意义和目的赋予了更加鲜明的民族色彩和文化内涵。
易拉罐形状和尺寸的最优设计生活中像可口可乐、青岛啤酒这类饮料量约355毫升的易拉罐拥有相同的形状和尺寸，考虑到其销量可能大至几亿，甚至几十亿，那么我们认为指定形状后的最优设计就是最省料的设计。
本文建立模型解决圆柱形及圆柱圆台组合形易拉罐的最优设计问题，并在节省材料和人性化的基础之上设计出一种新的易拉罐．1 对实际易拉罐的测量与统计取一个生活中常见的355毫升的易拉罐，采用15次测量求平均值的方法对真值进行估计，并根据样本数据取置信度为0.85，得到均值和置信区间如表1所示．表1 所测易拉罐的尺寸大小 /mm总高H 圆柱高h 圆柱外 直径D 圆台内 直径d 圆台 高l 壁厚b 下底 厚度c 上盖 厚度a 均值和置信区间123.38 ±0.034102.54 ±0.02966.00 ±0.03756.36 ±0.03512.80 ±0.0360.13 ±0.0130.13 ±0.0150.30 ±0.0142 圆柱形易拉罐的最优设计——模型一2.1模型建立：此时易拉罐的形状见图1，易拉罐的体积是一定的，现将易拉罐分成侧面、上底面和下底面三部分（下底面与侧壁同厚、上顶面厚度记为b β），分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222322(,)()[(1)]22(1)(1)(1)2(1)V R h V V V R b R h b b R b R R h b R bh bbR bR h b R bππβπππππππππ⎡⎤=++= +-+++β⎣⎦+ =++β+++β++β≈++β顶柱侧底又因为易拉罐的容积V 一定，即2R h V π=，所以建立以下条件极值优化模型[1]： 目0, 0m in (,)R h V R h >>约束条件： 2R h V π=图1 圆柱形易拉罐 2.2 模型求解：将2Vh Rπ=代入(,)V R h 得()22()2(1)VV R h R Rb R bRπππ=++β，，令32222[(1)](1)0dVVbb R R V dR R Rππ⎡⎤=+β-=+β-=⎣⎦，解R =因此，2(1(1)Vh Rπ==+β=+β，由于220d V dR>，故所得唯一驻点使目标函数取得最小值[2]．综上所述，当355毫升易拉罐简化为圆柱体时，从用料最省的角度进行易拉罐尺寸的最优化设计，其设计方案为：32.48R m m =,107.18h m m =，此时使用的原材料最少，为34262.83mm ．对比实测数据易知，将易拉罐简化为圆柱形进行最优设计所得尺寸与实测数据有一定的差异．3 圆台与圆柱组合形易拉罐的最优设计——模型二及模型三3.1模型二的建立：此时易拉罐的中心纵面图见图2，现将易拉罐分成圆柱部分的侧面、圆台部分的侧面、上底面和下底面四部分，分别计算三部分的用料体积并得出总体积为（注意到：b R b h ，，由此可得到用料的近似值）： 222222222223222(,,,)[()][(1)]11()()()()()3322()2V R r h l V V V V R b R h b b r b R l R b r b R b r b l R r R r R b r b b h b R bh R b bl R r b R b r b R bh lR b lrbππββππππππβπππππππβπππ=+++=+-++++⎡⎤+++++++-++⎣⎦=++++++++≈++++顶柱侧底台又因为易拉罐的容积V 一定，即()22213R h lRR r rV ππ+++=目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>> 约束条件：2221()3R h l R R r r V ππ+++=图2 圆台形纵面图3.2模型二求解：将()22213V l R r Rr h Rππ-++=代入(,,,)V R r h l 得到：()()222222(),,,,,()3bV bl RrR r VR r l h R r l Rb r b lb R r RRπππβπ++=++-++对l 求偏导，得：222()()()(2)33V b R r Rr b b R r R r R r lRRπππ∂++=-++=-+∂，因为()()203bR r R r Rπ-+>，所以函数()(,,,,,)V R r l h R r l 是关于l 的增函数，那么，l 越大，所用的材料就越多，因此0l =时，即为圆柱形易拉罐时用料最省．3.3模型二的改进及其求解-模型三结合实际生活中常见的易拉罐，它们的顶部确实加上一个圆台，然而通过这一问的解答， 圆台与圆柱相结合是达不到用材料最少的，我们便考虑到这样的设计涉及到易拉罐的坚固性、可使用性及美观性．利用物理知识可以知道，圆柱上加上一定斜率的圆台后能使罐顶达到一定的机械强度；可使用性指罐顶的半径必须达到一定长才能使人易于扳开拉环；美观程度可以用直径与高的比与黄金比例间的差距来衡量．根据这三个条件将该模型归结为一个有约束条件的非线性最优化问题．根据实际测量值，现假设圆台的夹角余切在0.3到0.4之间 ,[]0.56,0.70∈直径高(黄金比例为0.618)，圆台的顶盖半径大于24m m ．则建立非线性规划模型为：目标函数：0, 0,0,0min (,,,)R h r l V R r h l >>>>约束条件：2221()30.30.420.560.70,,,0R h l R Rr r V R r lRh l R r h l ππ+++=⎧⎪⎪-⎪≤≤⎪⎨⎪≤≤⎪+⎪⎪>⎩ 利用MATLAB7.1最优化工具箱中的fmincon 函数求解[3]，求解时要对模型做进一步的约束, 结合模型一的结果，我们取：32R ≥，24r ≥，R r >，107h ≥，12.1l ≥，规定步长为0.01m m ，经过搜索得到一个最优解：33.55,28.71,R mm r mm = = 107.00,h mm =12.10l m m =，此时上部是一个正圆台，下部是一个正圆柱体，用料为34471.60mm ．对比于实际数据和模型一的结果，显然更加接近实际值，这说明我们对模型二的改进是合理的．4 基于若干设计原则的新易拉罐的最优设计-模型四4.1模型的建立：在对两种简化后的易拉罐进行最优设计的分析后，我们综合考虑了易拉罐的形状、手感和观感方面对易拉罐进行重新设计．从形状来看，罐内装有大量液体，在运输过程中会对罐体壁产生很大的冲力，为了使罐体受力均匀，故将罐体壁设计成旋转体.同时为了降低罐底受到的较大压力，将下底面设计成凸起的形状.再结合球形用材少容积大的好处，我们将圆台设计为半球，即上盖变成了半球．从手感方面考虑，在成年人中，女性手掌的尺寸一般小于男性，这里我们以女性手掌尺寸为参考.当大拇指和中指这两个部位的距离达不到易拉罐横切面周长的一半时，则手感不佳且不易握牢.因此，当成年女性正常握持易拉罐时，其大拇指指尖到中指指尖间的圆弧长度应不小于罐身半周长.从观感来看，将易拉罐底面直径与高的比设置在黄金分割比的附近为佳，此处规定其值在0.56到0.70考虑以上各种因素，新设计的易拉罐形状见图3图3 新易拉罐形状图 图4 新易拉罐纵面图为减小冲力，罐内需留出少量空间，同时考虑底部有凸起的部分，因此将罐体容积设计成390毫升。
易拉罐形状及尺寸的最优模型『摘要』本文研究的是易拉罐外形和尺寸的最优化问题，通过建立数学模型找到在易拉罐体积一定的条件下，使得易拉罐表面积最小，材料最省的外形及尺寸。
我们首先动手测量易拉罐的各项尺寸，然后通过一个由简单到复杂的分析过程，逐步建立模型与实测数据比较确定易拉罐外形和尺寸的设计方案，并且通过进一步优化得到最优的设计方案。
第一题需要我们亲自动手用各种工具测量易拉罐上底面及下底面直径、易拉罐各部分高度以及厚度。
第二题假设易拉罐为一个正圆柱体，问题简化为已知圆柱体的体积求其高度和底面半径为多少时表面积最小。
进一步分析问题建立目标函数，用微分地方法求解。
最后于我们实际测量的数据比较发现这种模型不是最优模型，还需要进一步研究。
第三题假设易拉罐的上部是一个正圆台，这样问题就变为上不圆台和下部圆柱体体积和一定的条件下，求其表面积和最小，与第二步相同建立目标函数，并考虑到各种约束条件，例如美观要符合黄金比例、人体机能等关键词：最优化 LINGO 黄金分割率 3dmax cad1问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
⾼中数学建模论⽂-易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案易拉罐形状和尺⼨的最优设计⽅案摘要：本⽂讨论的是兼顾圆台状易拉罐的不同壁厚，建⽴以易拉罐材料体积为⽬标函数，容积⼀定为约束条件的⾮线性规划模型。
通过⾮线性规划与条件极值求得结果。
在此基础上，引⼊了黄⾦分割点，环保以及材料最省，设计了⼀种兼顾各种优点的新型易拉罐，具有较强的实⽤性和推⼴性。
关键词：⾮线性规划条件极值正⽂⽣活中稍加留意就会发现销量很⼤的饮料的饮料罐的形状和尺⼨⼏乎相同。
看来，这并⾮偶然，⽽应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是⽣产⼏亿，甚⾄⼏⼗亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
⼀、提出问题1、问题为什么不同⼯⼚的易拉罐采⽤统⼀规格？2、易拉罐的圆柱底⾯圆的直径与圆柱的⾼的⽐是多少才为最优？从数学的⾓度怎样给予合理的解释？3、和现实中的实际情况有什么差异，为什么？⼆、模型假设与符号约定2.1模型假设1、易拉罐的容积是⼀定的；2、易拉罐所有材料的密度都相同，材料的价格与其体积成正⽐；3、各种易拉罐的上⾯的拉环⽣产成本固定，不受易拉罐形状和尺⼨的影响；4、⽹上查的数据真实可靠2.2符号约定三、问题分析与模型建⽴对于问题1：可以借助物理仪器，如游标卡尺、螺旋测微仪测量易拉罐的⾼度、直径、顶⾯、底⾯、圆台侧⾯、圆柱侧⾯的厚度等相关数据.对于问题2：将易拉罐看成正圆柱体，考虑到易拉罐的侧壁、顶盖、底⾯的厚度均不相同且为常数，以圆柱体材料的体积作为⽬标函数，其容积等于定值作为约束条件，构建⾮线性规划模型并通过模型简化，得到解析的最优解，以此来探讨最优形状的设计。
此为模型1。
在此基础上，将易拉罐看成是圆台与圆柱的组合体。
此时⽬标函数——材料体积由圆柱体和圆台两部分体积构成，因此⽬标函数表达式变得⽐较复杂。
此时形状由圆柱的⾼和半径及圆台的⾼和上表⾯半径决定，以此作为决策变量对模型⼀稍作修改建⽴模型2。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型查建飞 郑娴雅 金兰贞 (2006年获全国二等奖)摘要:目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。
而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。
本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。
首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。
针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。
模型Ⅰ:把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h 与底面半径r 之间的关系为()r h 21αα+=，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型Ⅱ进行分析。
模型Ⅱ:进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。
通过对模型Ⅰ中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。
模型Ⅲ：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。
最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。
关键词：最优设计 形状与尺寸 合适度一、问题重述生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：（1）取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。
（2）设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要研究内容我们利用数学建模方法，求解355毫升易拉罐的形状、尺寸最优设计，即在满足容积相同条件下，易拉罐制作用料最节省的设计方案，并与测量所得各指标数据相比较，讨论实际的易拉罐制造是否符合最优设计，及最优设计的正确性和可行性。
然后根据以上最优设计方案结果发挥想象，合理合情地设计一个打破传统的易拉罐形状和尺寸的最优设计。
最后我们对于优化模型的现实意义进行了讨论，结合实际提出了改进与推广建议。
研究方法与研究结果我们小组根据对象的特征和建模目的，做出两个必要、合理的简化假设：一是将易拉罐的形状作了规范，二是结合测量数据与了解到的实际制作方法，假设易拉罐顶部与侧壁的厚度比设为3:1。
具体建模步骤及结果如下：1）简化模型，假设易拉罐为一个正圆柱体，我们发现当圆柱体的高与底面半径比为4:1时，制作用料最省，达到最优。
2）细化模型，将模型看作上部圆台、下部圆柱体的结合，又分别在不考虑顶部与侧壁厚度差异和考虑厚度差异两种情况下，求得最优设计分别应满足条件：圆柱体高：圆台高=10：1；圆柱体底面半径：圆台顶部半径=6：53）自主设计易拉罐最优方案，根据相同体积下球形的表面积最小原理，发挥想象力，从最简单的球形演化分析，一步步演绎出最终的易拉罐形状和尺寸的最优设计。
模型优缺点评价优点：综合分析考虑到人体工程学、审美学（黄金分割点）等多方面的内容，从多个角度构建出数学模型约束条件。
在模型求解的过程中利用汇编语言，减少了人工计算的时间成本。
在测量数据过程中，使用实验室专业测量工具如游标卡尺，避免了直尺测量或到互联网上寻找相关数据的不准确性。
缺点：由于不熟悉线性、非线性数学软件的操作，所得结果存在一定的误差。
关键字355毫升易拉罐优化设计数学建模（简化模型、细化模型）黄金分割点人体工程学一、问题重述在提高我们的生活质量进程中，饮料成为不可或缺的一部分。
如今的饮料的盛装器皿也是琳琅满目，有可口可乐经典的玻璃瓶，有550～600毫升的塑料瓶，也有盛装牛奶的标志性容器利乐砖，而其中最为普遍的是铝制易拉罐。
铝制易拉罐发展非常迅速，到20世纪末每年的消费量已有1800多亿只，在世界金属罐总量（约4000亿只）上是数量最大的一类。
用于制造铝罐的铝材消费量同样快速增长，1963年还近于零，1997年已达 360万吨，相当于全球各种铝材总用量的15％。
[1]因此对于单个的易拉罐来说，形状与尺寸的最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
本论文要解决的问题就是，结合数学建模讨论在具有相同容积下易拉罐的尺寸满足什么条件，能够实现制造易拉罐的用料最少；并力图寻找建模得出的最优模型与真实易拉罐的制作尺寸的关联性，利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出本小组关于易拉罐形状和尺寸的最优设计二、测量数据2.1测量对象：厂家：大连可口可乐饮料有限公司品牌：雪碧额定容量：355毫升生产日期：2006.08.122.2测量工具：游标卡尺，量程0~150毫米，准确度为0.02毫米，该量具经过国家计量机构检定合格，有效期至2006.9.302.3 测量结果：易拉罐实际尺寸测量数据一览表单位：毫米易拉罐顶部厚度：0.6毫米；易拉罐初顶部外其他部分厚度：0.2毫米三、简化模型3.1分析和假设：首先把易拉罐近似看成一个正圆柱。
要求饮料罐内体积一定时, 求能使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。
3.2 明确变量和参数：因为制造顶盖使用材料的硬度要比其他的材料要硬，假设除b, 顶盖的厚度为易拉罐的顶盖外, 罐的厚度相同, 记作α。
b设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h，罐内体积为 V， b 为除顶盖外的材料的厚度。
则其中 r, h 是自变量, 所用材料的体积 SV 是因变量, 而 b 和 V 是固定参α是待定参数.数,3.3 建立模型：易拉罐侧面所用材料的体积为：222223(())((1))(2)((1))22(1)(1)r b r h b rb b h b rhb r b h b b ππαππαππαππα+-++=+++=+++++饮料罐顶盖所用材料的体积为： 2b r απ饮料罐底部所用材料的体积为： 2b r π所以, SV 和 V 分别为,22232(,)2(1)2(1)(1)(,)SV r h rhb r b r b h b bV r h r h ππαπαππαπ=+++++++=因为r b <<, 所以带 23, b b 的项可以忽略，因此：2(,)(,)2(1)SV r h S r h rhb r b ππα≈=++记 2(,) g r h r h V π=-.于是我们可以建立以下的数学模型：0, 0m in (,).. (,)0r h S r h s t g r h >>=其中S 是目标函数，(,)0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下, 求罐的体积最小的r ，h 和α使得r,h 和测量结果吻合。
3.4 模型求解：求解方法：从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题。
从2(,)0g r h r h V π=-= 解出 2/ h V r π=,代入 S, 使原问题化为：求 d : h 使 S 最小, 即求 r 使22(,())[(1) ]VS r h r b r r πα=++最小. 求临界点: 令其导数为零得32222[(1)]((1))0.dSVb b r r V dr r r απαπ=+-=+-= 解得临界点为r =因此22(1(1) (1).2V h dr απαα==++=+= 因为经测量所得数据可知顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍，则h=2d=4r为验证这个 r 确实使 S 达到极小。
计算 S 的二阶导数 324[2(1)]0, 0.VS b r r πα''=++>>所以, 这个 r 确实使 S 达到局部极小, 因为临界点只有一个, 因此也是全局极小.3.5 模型验证和进一步的分析：当将易拉罐简化成正圆柱体时，其最优设计应保证易拉罐的高为底面半径的四倍。
而测量数据显示易拉罐外侧高度H=10.002cm+1cm=11.002cm, 外侧底面半径R=6.502/2=3.251cm, 所以h/r=（H-0.2-0.6）/(R-0.2)≈3.3842.因为实际情况中的易拉罐不是正圆柱，而是类似上面圆台、下面圆柱的结合体，并考虑到易拉罐底面上凹球面的高度，我们可以说易拉罐的生产制造基本上采用了满足相等容量下，制造用料最少的最优设计方案。
通过实际测量结果我们还发现了易拉罐的以下几方面特点：a.易拉罐中间圆柱部分的直径和高的比为 6.502/10.02≈0.649, 非常接近黄金分割比 0.618。
这样的设计考虑不仅仅是巧合，而是在外观上使得易拉罐看起来更舒服、美观，吸引顾客的购买[3]。
b.易拉罐的罐体周长，即人手握住罐体的部分约为3.1415*6.502≈20.4266厘米，十分接近人手掌长度的范围16厘米到20厘米[2]，可以方便人们在饮用的时候携带、抓、拿。
四、细化模型4.1 分析和假设：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
试求它的最优设计，并讨论其结果是否可以合理地说明测量所得的易拉罐的形状和尺寸。
4.2 明确变量和参数：设正圆柱底面内半径为r1,内高为h1。
设正圆台顶部内半径为r2,内高为h2。
设圆台母线长为l,由右图可知，设罐内体积为V，罐的表面积为S，制造此罐用料体积为SV。
则其中r1,h1是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b和V是固定参数, 是待定参数.4.3 建立模型并求解：4.3.1首先不考虑易拉罐各部分的厚度差异，因此只要求出易拉罐的表面积，即上部圆台与下部圆柱的结合体的表面积，最后乘以厚度，则为一个易拉罐的用料体积。
4.3.1.1 建立模型：体积4.3.1.2 模型约束条件：方程中共有r1,r2,h1,h2,我们需要添加约束条件，找出r2,h2与r1或h1的关系减少方程中的自变量数目，便于模型求解：约束条件为：a. 通过网上相关资料调查，人手掌长度范围是[2]，所握部分罐体周长为C，首先要能够握住罐体，其次罐体太细，小于人手掌长度握起来不舒服，因此要求所握部分罐体周长C满足：此条件结果在后面的假设合理性判定中经常运用到。
b.上部圆台的设计不仅可以使得易拉罐更加牢固，我们通过实际体验与观察也发现其坡度的设计还体现了以下两方面的优化思想：第一，坡度适合人嘴张开的角度；第二，坡度可以使饮用起来更方便，图一表示罐口为直角，饮用时需要将易拉罐抬起的角度；图二表示罐口有一定坡度时，将易拉罐抬起的角度。
显而易见，，坡度设计体现优化。
第三，圆台的坡度设计还可以防止泼洒。
一般我们根据实际情况设拿起易拉罐会产生与水平面的倾角，问题反映到模型上，只要圆台图中所示的角，就可以满足防止泼洒。
综合以上三方面因素，我们设圆台坡度为，坡角为，则则约束条件方程为1=c.最优的易拉罐设计还应考虑外观，一个符合黄金分割原理的设计尺寸势必会加大易拉罐的受欢迎程度。
则约束条件方程为：0.614.3.1.3 模型求解：我们发现方程求解很繁琐,所以采用C 语言编程，并间接借助数学软件Matlab 来求数值解。
以下是我们的程序原文：main (){ int x, s, s=sub(x);}printf(“s=%d\n ”, s);float r 1, r 2, h 2, n, f;for (r 1=2.5; r 1<=6.5; r 1++);for (r 2=5.0; r 2<=5.6; r 2++); for (h 2=0.4; h 2<=1.25; h 2++);float sub (x1){x1=π*r 1*r 1+π*r 2*r 2+freturn (x 1);}float sub (x 1)float x 1float sqrt (x2)float x2{f=(r1-r2)*(r1-r2)+h2*h2return (f);}int a[n][t], k, min, l, h1;for (k=0; k<n; k++)min=a[0][0];if (min>=a[n][t])min=a[n][t];t=t++;while (l=π*r1*r2*h1+1/3*π*h2(r1*r1+r1*r2+r2*r2)=355)printf(“r1,r2,h2=%d\n”,r1,r2,h2);elseprintf(“error”);return(l)printf(“h1=%d\n”,h1)所得结果为：4.3.1.4 最优模型与真实数据比较：测量结果:h1=10.002cm, h2=1cm,故h1:h2=10.002:1≈10:1 r1=6.502/2=3.251cm, r2=5.502/2=2.751cm,故r1:r2=3.251:2.751≈1.18≈6:5因此我们发现易拉罐的实际制作尺寸十分近似最优模型，这说明随着技术的进步，易拉罐的制作工艺已经十分发达。
