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2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。
结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。
在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。
针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。
一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。
R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。
原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。
在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。
通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。
进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。
为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。
此时，材料最省。
但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。
因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本文针对各问题中假设的易拉罐形状，通过构建以制造易拉罐所需材料的体积为目标函数，易拉罐容积等于所测数值为约束条件的数学模型，求解分析出实际中易拉罐形状设计的合理性，并找到了影响其形状的关键参数。
在问题一中，通过观察易拉罐实物，分析认为得出对后面模型建立和验证模型有帮助的物理量，并用直接测量和间接测量两种方法获得了比较精确的数据。
在约束条件——易拉罐容积的测量中，引入其质量和密度，用物理天平成功测出易拉罐容积为370.7ml。
在问题二中，首先针对最简化形状——圆柱体，建立了比较精确的模型一，通过Lingo软件求解出结果，进一步作出假设（侧壁厚度远小于罐体半径）并对模型一作一定的简化，运用拉格朗日乘数法，求得了模型的解析解。
在此基础上，通过将求得结果与实际数据相比较，分析出对形状的最优设计起关键作用的参数α（顶盖厚度与侧壁厚度比值）和β（底面厚度与侧壁厚度比值），并揭示出决定易拉罐形状的关系式：()=+r hαβ/1/。
在问题三中，针对易拉罐形状变为正圆台与正圆柱体的组合体，对模型一做了相应的改动，在运用几何知识求解目标函数中，引入圆台倾斜角的正切值s，对于分析罐体的承重和受压性能以及模型的进一步修正起到很好的帮助。
在此模型结果基础上，继续与实际数据比较，发现、决定。
易拉罐最优形状依然主要由参数αβ在问题四中，通过仔细观察易拉罐实物，认为之前的假设都比较粗糙，对问题二的模型作了三点改进，即充分考虑到圆台侧壁厚度与圆柱侧壁厚度不相同、易拉罐顶部和底部都有凸起、底部包含一个球冠，通过模型求解，得到了与实际数据更为吻合的最优形状。
一、问题重述 （略）二、模型假设与符号说明2.1模型假设（1）测量易拉罐容积时，不考虑由于开启而导致饮料挥发和降压膨胀等物理因素造成的饮料体积的变化。
（2）不考虑涂料对易拉罐侧壁厚度的影响。
（3）假设易拉罐各个表面的厚度为均匀的（不考虑拉环对其体积的影响）。
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要研究内容我们利用数学建模方法，求解355毫升易拉罐的形状、尺寸最优设计，即在满足容积相同条件下，易拉罐制作用料最节省的设计方案，并与测量所得各指标数据相比较，讨论实际的易拉罐制造是否符合最优设计，及最优设计的正确性和可行性。
然后根据以上最优设计方案结果发挥想象，合理合情地设计一个打破传统的易拉罐形状和尺寸的最优设计。
最后我们对于优化模型的现实意义进行了讨论，结合实际提出了改进与推广建议。
研究方法与研究结果我们小组根据对象的特征和建模目的，做出两个必要、合理的简化假设：一是将易拉罐的形状作了规范，二是结合测量数据与了解到的实际制作方法，假设易拉罐顶部与侧壁的厚度比设为3:1。
具体建模步骤及结果如下：1）简化模型，假设易拉罐为一个正圆柱体，我们发现当圆柱体的高与底面半径比为4:1时，制作用料最省，达到最优。
2）细化模型，将模型看作上部圆台、下部圆柱体的结合，又分别在不考虑顶部与侧壁厚度差异和考虑厚度差异两种情况下，求得最优设计分别应满足条件：圆柱体高：圆台高=10：1；圆柱体底面半径：圆台顶部半径=6：53）自主设计易拉罐最优方案，根据相同体积下球形的表面积最小原理，发挥想象力，从最简单的球形演化分析，一步步演绎出最终的易拉罐形状和尺寸的最优设计。
模型优缺点评价优点：综合分析考虑到人体工程学、审美学（黄金分割点）等多方面的内容，从多个角度构建出数学模型约束条件。
在模型求解的过程中利用汇编语言，减少了人工计算的时间成本。
在测量数据过程中，使用实验室专业测量工具如游标卡尺，避免了直尺测量或到互联网上寻找相关数据的不准确性。
缺点：由于不熟悉线性、非线性数学软件的操作，所得结果存在一定的误差。
关键字355毫升易拉罐优化设计数学建模（简化模型、细化模型）黄金分割点人体工程学一、问题重述在提高我们的生活质量进程中，饮料成为不可或缺的一部分。
如今的饮料的盛装器皿也是琳琅满目，有可口可乐经典的玻璃瓶，有550～600毫升的塑料瓶，也有盛装牛奶的标志性容器利乐砖，而其中最为普遍的是铝制易拉罐。
淮海工学院毕业论文题目：易拉罐形状和尺寸的最优设计系(院)：数理科学系专业班级：信息与计算科学032毕业论文（设计）诚信声明本人声明：所呈交的毕业论文（设计）是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，论文中引用他人的文献、数据、图表、资料均已作明确标注，论文中的结论和成果为本人独立完成，真实可靠，不包含他人成果及已获得青岛农业大学或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。
与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。
论文（设计）作者签名：日期：2013 年3月10 日毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文（设计）作者同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅。
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论文（设计）作者签名：日期：2013 年3 月10 日指导教师签名：日期：年月日毕业论文中文摘要毕业论文文摘要目录1 引言 (1)1．1易拉罐的发展和前景 (1)1．2 实际调研 (2)1.3基本设计方案 (2)2可口可乐易拉罐的优化设计 (3)2．1模型的假设 (4)2．2数据测量 (4)2.3符号说明 (5)2．4 模型的建立与求解 (5)2．4．1 模型一的建立与求解 (5)2．4．2 模型二的建立与求解 (7)2．4．3 模型三的建立与求解 (9)2．5 模型的评价与推广 (11)结论 (13)致谢 (14)参考文献 (15)图1 罐体主要尺寸图 (4)图2 圆柱罐体剖面图 (5)图3 柱台罐体剖面图 (7)图 4 罐体受压性能图 (10)表 1 罐体主要尺寸 (4)表 2 罐体物理性能 (10)1 引言1．1易拉罐的发展和前景铝质易拉罐具有许多优点，如重量轻、密闭性好、不易破碎等，被大量用作啤酒、碳酸类饮料、果汁等食品的包装材料。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型钱益锋 罗坚坚 董龙寅(2006年获全国一等奖)摘 要：本文主要考虑当容积一定时，如何设计易拉罐的形状和尺寸，使得所用材料最省。
首先对易拉罐进行测量，对问题二、问题三、问题四建立数学模型，并利用LINGO 软件结合所测的数据进行计算，得出最优易拉罐模型的设计。
模型一，对正圆柱体形状的易拉罐，当容积一定时，以材料体积最小为目标，建立材料体积的函数关系式，并通过求二元函数条件极值得知，当圆柱高为直径两倍时，最经济，并用容积为360 ml 进行验算，算得mm H 63.122=，mmR 58.30=与市场上净含量为355ml 的测得的数据基本接近。
模型二，对上面部分为正圆台、下面部分为正圆柱的易拉罐同样在容积量一定时，考虑所用材料最省，建立优化模型，并通过LINGO 软件仍用容积为360 ml进行验算，算得mm R 58.30=，mm r 33.291=，mm h 94.81=，mm h 8.1112=，高之和约为直径的两倍。
模型三，考虑到罐底承受的压力，根据力学上横梁支点的受力与拱桥设计的原理，设计底部支架（环形）与一定弧度的拱面，同时利用黄金分割，将直径与高之比设为0.618，建立容积量一定时材料最省的优化模型，再将有关数据代入计算，得到结论，现行易拉罐的设计从某种意义上不乏是最优设计。
关键词：优化模型 易拉罐 非线性规划 正圆柱 正圆台一、问题重述销量很大的饮料容器(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计，而不是偶然。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是测量得到的，那么必须注明出处。
摘要本文针对常见的易拉罐(355毫升可口可乐)进行测量,在合理的假设下通过不断的优化建立最优易拉罐尺寸和外形的设计模型,并进行了相当程度的创新设计。
针对问题一，我们分别通过合理的方法测量计算得易拉罐的顶部，中间，和底部的直径，高度，顶部高度，以及罐侧，罐底，罐顶的厚度，并提供相应的测量方法。
针对问题二，我们本着由简单到复杂的演绎过程，逐步放宽条件和假设，依次得到相应的最优化模型。
首先考虑了最简单情况下的最优化问题（即假设易拉罐为正圆柱，罐顶罐底侧面材料相同且厚度一致，制作过程中没有材料的浪费）其次我们考虑了制作易拉罐铁皮切料过程中的问题，并在两种切料方法进行讨论。
再次，我们加入了制作费用，即各部分接缝的损失。
最后我们加入了罐底，罐顶，侧面，厚度不一致的考虑，得到了较为接近现实情况的优化模型。
针对问题三，即易拉罐是一个圆台加圆柱的组合情况，这与我们测得的实际情况较为相似,我进行了罐体抗压力, 罐内气体压强, 人体嘴形舒适度等方面考虑，肯定了圆台存在的意义.在体积不变的约束下建立了规划模型. 并通过MATLAB求解.针对问题四,我们综合了前面的优化过程,并在传统易拉罐模型的基础上对新型模型进行了进一步的优化创新, 虽然在体积一样的情况下圆柱是表面积最小的(证明见附录1),但从外形美观,原材料的节省,运输成本的节约方面看平面的柱体占有一定的优势,结合了以上两面的综合考虑,我们设计出了带弧度的底部上凸的正三棱体，并分别从形状和尺寸的确立、设计过程依据、总体成本估算、特殊形状成因、广告效应、材质选择以及运输成方面分别阐述了该模型超越传统模型的优势，以及新型模型本身的合理性与科学性。
通过运用弧形设计、弯曲表面效应、线性规划等的原理，对模型进行了的优化。
同时，针对新型模型本身我们不仅仅立足于科学的规划，而且着重考虑了人们的偏好以及舒适度，以使得易拉罐的新型更具有现实意义。
最后我们提出的一种有待进一步验证的蛋状易拉罐的方案，将易拉罐的设计意义和目的赋予了更加鲜明的民族色彩和文化内涵。
易拉罐形状和尺寸的最优设计模型查建飞郑娴雅金兰贞(2006年获全国二等奖)摘要：目前，易拉罐饮料在市场上的销量很大，易拉罐的需求也是难以估计的。
而资源是有限的，因此易拉罐的最优设计是非常有必要的。
本文着重从形状和尺寸的角度分析碳酸饮料的铝质易拉罐，在容积确定的条件下以材料最省为目标建立优化模型。
首先对雪碧、可口可乐、蓝带啤酒等易拉罐容器进行测量，获取实测值。
针对易拉罐现有形状和尺寸等数据，进行综合分析，建立了逐渐改进的三个数学模型。
模型I :把易拉罐近似地看成一个正圆柱体，在易拉罐的容积一定时，以材料最省为目标，用求极值的方法求得易拉罐高度h与底面半径r之间的关系为h - ：^：：.2 r，用实测值进行验证发现比较吻合，但还是有一定误差存在，因此进一步建立模型U进行分析。
模型U :进一步考虑易拉罐的形状，即罐体上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，利用线性规划方法求得此时易拉罐的最优设计。
通过对模型I中的圆柱型易拉罐的对比，所得模型与实测值更加吻合。
模型川：以材料最省为主要目的，兼顾易拉罐的舒适度进行设计，建立模型，并给出具体的设计方案。
最后结合本模型的建立过程写对数学建模的认识与数学建模过程的难点。
关键词：最优设计形状与尺寸合适度一、问题重述生活中我们发现饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等销量很大的饮料易拉罐的形状和尺寸几乎都是一样的。
这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
请通过数学建模来分析上述情况并回答如下问题：(1)取一个饮料量为355毫升的易拉罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，请注明出处。
(2)设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
(3)设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
图一（4） 禾I 」用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和 尺寸的最优设计。
（5） 用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么 是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
二、问题分析要使易拉罐达到最优设计，必须满足以下条件： （1） 保证容量是足够的。
（2） 材料要最节省，使生产者在保证质量的情况下，成本能降到最低。
（3） 能够保证易拉罐对容器内液体和气体的压力。
（4） 易拉罐是大批量生产、运输的，要避免运输过程中瓶罐之间因碰撞造成的损失, 必须稳定放置两个易拉罐，才能保证安全运输。
三、模型假设（1） 研究的对象是容量为355ml 的碳酸饮料的易拉罐，如可口可乐、雪碧、蓝代啤酒 （2） 测量的是无变形、无损坏的易拉罐。
（3） 测量的是铝制易拉罐。
四、符号定义r :易拉罐柱体部分的内半径S :易拉罐的总面积。
b 2 :易拉罐下底厚度。
Z :所用材料的体积。
:下底厚与侧壁厚的比值。
>2 :上底厚与侧壁厚的比值。
d i :上底内直径。
d 2 :下底内直径。
V :易拉罐的容量，为一固定值。
b :易拉罐侧壁的厚度b i :易拉罐上底厚度。
h :易拉罐的内高度。
H :易拉罐的总体高度a i :上底内咼。
a 2 :下底内咼。
h 3 :上底内高。
h 4 :下底拱高。
-：：舒适度。
上底厚bl厂图一五、模型建立与求解问题一1.1测量方法㈠测厚度：把易拉罐切开压平，n层的易拉罐壁进行叠加，直至总厚度可达m mm则单个易拉罐壁厚则为m/n mm同样方法对不同品种的易拉罐进行测量，取平均值.㈡测外径：用一条无弹力的绳子水平绕标准易拉罐的柱体部分一圈，再利用直尺测出绳子的长度。
为减少误差，用以上相同方法进行多次测量，取得平均值。
由 c = 2“：r，得出r。
㈢其余的数据全由千分尺测得。
近似取值为小数点后两位数。
对易拉罐所测得的数据见下表一：表一：自己测量得到的易拉罐所需数据表（单位:mm）问题二（模型I）2.1模型假设：易拉罐的形状为正圆柱体，如图图2.2模型分析：把易拉罐近似看成一个正圆柱，要求易拉罐内的体积一定时，求能使易拉罐制作所用的材料最省。
2.3模型的建立与求解：易拉罐侧面所用材料的体积:二hr b 2-二hr2=2：rbh二hb2,b《r •二hb2可以忽略•所以侧面材料的体积可以近似看作2…rbh易拉罐上底面所用材料的体积：:f：r2b易拉罐下底面所用材料的体积：一二r2b则Z r,h -二"厲匕2r2• 2rh 1 ①②代入①得： Z = b 2V:［宀'—2 r 2丨③知2—-哼宀V令dz=0,解得临界点为r 处：—V,代入②得:dr. ： i ： 2 ■:所以当h =〉1 *2 r 时,Z 取得最优值.根据测量数据:-1 :、2;〉2 2，则：［心2 =4，代入公式得匕=4r圆柱型的易拉罐的尺寸虽然与实测数据相对比较吻合，但还是有一定的误差。
通过 观察发现实际中易拉罐的上部分有类似圆台的地方，这是为了减少材料还是其他目的 呢？因此建立模型。
问题三（模型n ）3.1 补充假设（如图三）(1) l 为圆台部分的母线长。
(5) S 2表示圆柱上底面积。
(2) h 1表示圆台部分的高度。
(6) V 1表示圆台的体积。
(3) h 2表示圆柱上线高度。
(7) V 2表示圆柱上线的体积。
(4) S 1表示圆台上底的面积。
(8)355- v 1 =355- v 2 即 v 1 =v 。
V =二 r 2h2h 二 V /h ，「1*2 二宀亠二213 ___恥1*2 二八1d 2 _又因为—S dr 2=4b 2 二「-学 1, r 0r图三3.2模型分析：此问题考虑的是把易拉罐的上部分改成圆台使得它跟原先的体积一样 ，求出h 1,h 2使得易拉罐的用材最省。
3.3模型的建立与求解： 圆台的表面积为： s 圆台表=（兀d +兀r ）J （r f +h|2 + nd 12a 1b其中由模型一可知： r =2,d =0.13mm,H = 122.6mm化简得：兀件 +r #（r —d j f勺（d 「— r 2 ）—2rh 2〔b-h i d 2 r 2 d i r二r 2 H - h ? 1= 3550003h2=0mm 材料为 752.8548mm3 （见附录一）从模型所求结果可以看出，圆台的上底半径只有6.ii 毫米，这样一来易拉罐罐口只有ii7.283平方毫米，这与我们所测易拉罐的实际尺寸相差比较大。
因此我们对所假 设的模型做如下改进：在实际中圆台上底半径与易拉罐中间半径相差很小约 5;圆台的高度也是很小约为5。
因此模型修正为：max Z = :d i ' r \ ir -d^ ' d i2 :- i d i 2 - r 2- 2rh 2b圆柱高h 2的表面积为:2s 圆柱=2二rh 2b+二max 二理 一d i■ r L.〔r -d i $ - h i 卜二i d i -r 2利用LINGO 软件求得 di= 30.367i6 mmR= 30.367i6mm hi=0mmti-2rh 20岂d i 岂二h i3d i2r2 d1r二r2 122.6 - h21=355000h i = 5d i =5d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.46219imm hi=5.000000mm料为-450.1384（mm）A3 （见附录二）由于实际中易拉罐的圆台与罐底，方便运输，而问题三中讨论的易拉罐上部是圆台用料与圆柱的废料问题，因此，浪费点原料来提高人对易拉罐的舒适度。
本文在对问题四的回答中进一步的阐述这个改进。
问题四（模型三）图四I 二h/cos v改进后易拉罐模型的母线为：改进后易拉罐模型的上底半径: d j = r hta nr因此，可求得改进后易拉罐模型的表面积:S台侧4 二r 2 二htah----- 7cos^上下底面积之和为：S底r = hr2十让（几+htan日丫^1b规定改进后易拉罐模型的容积不变，还是V，则V = 1怙2+ 兀£ + h ta n B f + 兀r （r + h tan 日）】h 3圆柱形的表面积：S侧二2二rhb圆柱上下底的面积：S底h/r2〉2b •二r2：」因此，可得原型易拉罐的面积为：2 2s r= 2-rhb + 二r ：2b 二r ■ r b+450改进后易拉罐模型与原型易拉罐的面积的差值：r h|b r 2 2S =1/2（4町+2兀山 -------- tan日）十兀（r + h| tan日）。
小一2町h2b —n r。
初一450cos日舒适程度的函数曲线：「•二f（R――它的图象为可以根据市场调查的散点图形式来拟合曲线，如下图:综上所述，浪费材料与舒适程度的关系式为：p = - sp i ；（k:舒适程度的增加钱的增值；p1:表示每个单位的价格）问题五：浅谈数学建模在未接触建模时，就已经听说过它了，但不太了解，直到真正接触，才发现原来数学建模就在我们的身边。
早在中学，甚至是小学时就已经用建立数学模型的方法来解决过一些简单或理想化的实际问题。
例如航行问题、速度问题等。
数学建模不只是对实际问题建立数学模型的过程，它还包括了对实际问题进行的解释、求解、验证并解决的全过程。
数学建模是运用如同MATLAB LINGO等数学工具来得到一个数学结构，用各种数学方程、表格、图形等表现模型的思想。
它是为解决现实中存在的特定的对象，特定的目的，根据特有的内有规律进行必要的简化假设，而设计的模型。
另外，对于同一个客观事物可以有多种数学描述，因此有必要在若干模型中选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。
对于模型，可以选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。
如下图：实际1旬题——►模型假设一►模型建立一►模型求辭在易拉罐模型中，我们在审题时，结合实际中普遍饮用的易拉罐，大概了解易拉罐的构造，形状，并在某些生产产品的公司网站上查阅了一些有关易拉罐具体尺寸、材料组成等，以及它的制作工艺、过程。
考虑到罐内物质对瓶罐的压力，再查阅了有关于应力等方面的知识。
我们也通过各种方法，测量了易拉罐的直径、高度、厚度等。
其次，建立数学模型。
通过观察可以发现，饮料罐总体上可分为部分：圆台、圆柱当然，这不是偶然，必定是某种意义上的最优设计。
对模型进行适当的假设与简化，这是建立模型的关键一步，必须对研究对象进行统一，即认定都为饮料量为355毫升的易拉罐。
