最优化模型(第五讲)

建立模型
记工地的位置为(ai，bi)，水泥日用量为di，i=1,…,6;料场位置为(xj ，yj)，日储量为ej，j=1,2；料场j向工地i的运送量为Xij．
26
目标函数为： min f
X ij (x j ai )2 ( y j bi )2
j1 i1
2
X ij di ,
约束条件为： j1 6 X ij e j , i 1
60公里。
• 最多需考虑六架飞机；
根据当年竞赛题目给出的数据，可以验证区
域内的飞机不超过架(包括新进入的)。
• 不必考虑飞机离开此区域后的状况。
第二十一页，共116页。
• 个人的想法不同，队友之间争执不下的情况下，若 时间允许，都可一一写到论文中去，建立的模型一 、模型二……；或者经讨论后，选择一个认为更合理的
第十八页，共116页。
该题比较有意思的一句话是： “使调整弧度最小” 开放性的一句话，没有限制得很死，较灵活， 给参赛者的创新空间比较大一些，使得构建模型 的目标函数表现形式很多，再加上模型求解方法（算 法）的多样性，从而可以呈现出五花八门的论文。
第十九页，共116页。
假设条件：
注： 有时需要通过查阅文献、资料给出合理假设
i— — 第 i架 机 的 整 后 的 方 向 角 , ( i 1 ， 2 ， 6 )
T i— — 第 i架 飞 机 按 方 向 角 i在区域内飞行
时间（可以根据数据算出来）
第二十四页，共116页。
四种情况：
四个象限，易用4个表达式表示
说明：用初等数学的知识即可完成， 思考：在哪个时间段某两架飞机可能相撞？
69.6
83.8
自由泳
58.6
53

投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法

数学建模最优化模型随着科学与技术的不断发展，数学建模已经成为解决复杂实际问题的一种重要方法。

在众多的数学建模方法中，最优化模型是一种常用的方法。

最优化模型的目标是找到最佳解决方案，使得一些目标函数取得最大或最小值。

最优化模型的基本思想是将实际问题抽象为一个数学模型，该模型包含了决策变量、约束条件和目标函数。

决策变量是需要优化的变量，约束条件是对决策变量的限制条件，目标函数是优化的目标。

最优化模型的求解方法可以分为线性规划、非线性规划和整数规划等。

线性规划是最优化模型中最基本的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右边向量。

线性规划的目标是找到最优的决策变量向量x，使得目标函数的值最大或最小。

非线性规划是最优化模型中更为复杂的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min f(x)s.t.g_i(x)<=0,i=1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_i(x)是等式约束条件。

非线性规划的求解过程通常需要使用迭代的方法，如牛顿法、拟牛顿法等。

整数规划是最优化模型中另一种重要的方法，其数学模型在线性规划的基础上增加了决策变量的整数限制。

max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0x是整数整数规划的求解通常更为困难，需要使用特殊的算法，如分支定界法、割平面法等。

最优化模型在实际问题中有着广泛的应用，如资源调度、生产计划、路线选择、金融投资等。

通过建立数学模型并求解，可以得到最优的决策方案，提高效益和效率。

总结起来，最优化模型是数学建模的重要方法之一、通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，再通过求解方法找到最佳解决方案。

最优化模型包括线性规划、非线性规划和整数规划等方法，应用广泛且效果显著。

数学建模讲义主讲人:穆学文西安电子科技大学数学系Email:xdmuxuewen@ 最优化模型---最优化方法的概念参考书目1. 陈宝林。

最优化理论与算法。

清华大学出版社.2. 谢金星，薛毅。

优化建模与lindo/lingo优化软件. 清华大学出版社. 背景知识基本概念及其应用最优化问题举例最优化方法的概念优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点常用的数学软件§1背景知识•运筹学理论的一部分•最早起源于中国古代¾公元前6世纪孙武所著的《孙子兵法》¾孙膑“斗马术”，田忌与齐王赛马，博弈论¾运筹帷幄之中，决胜千里之外”。

这千古名句也可以说是对张良运筹思想的赞颂和褒奖。

•国外起源与发展¾1896年，V.Pareto首次从数学角度提出多目标优化问题，引进了Pareto最优的概念。

¾1935-38年，英国为了正确地运用新研制的雷达系统来对付德国飞机的空袭，在皇家空军中组织了一批科学家，进行新战术试验和战术效率评价的研究，并取得了满意的效果。

他们把自己从事的这种工作命名为“Operational Research”(背景知识（续）Operational Research(运筹学，或直译为作战研究)。

¾1939年，苏联的Л.В.Канторович总结了他对生产组织的研究，写了《生产组织与计划中的数学方法》一书，是线性规划应用于工业生产问题的经典著作¾1947年,G.B.Dantzig提出了单纯形方法后，线性规划便迅速形成为一个独立的分支。

并逐级发展起来。

¾英国运筹学会1948年成立（1948-53年是运筹学俱乐部，1953年11月起改名为学会）。

¾二次大战胜利后，美英各国不但在军事部门继续保留了运筹学的研究核心，而且在研究人员、组织的配备及研究范围和水平上，都得到了进一步的扩大和发展，同时筹学方法也向政府和业等部门扩展背景知识（续）运筹学方法也向政府和工业等部门扩展。

• h.模型的结果（略） • i.模型的分析及推广 • 这是一个产销平衡的运输问题的一般形式。对于 仸何一个具体的问题。只要代入相应数值即可， 对于平衡问题，约束条件都是取等号，所以该问 题还可以推广到产销丌平衡的运输问题，即产大 于销或者销大于产，只需要对约束条件的等号经 行调整为相应的丌等号即可。
• d.模型的建立 • 根据以上分析，要求完成100套工架的下料仸务， 所用的原材料最省，也就等价于求余下的料头总 和最少，于是可以建立模型如下：
mi nz 0 x1 0.1x2 0.2 x3 0.3x4 0.8 x5 0.9 x6 x1 2 x2 x4 x6 100 2 x 2 x x x 100 3 4 5 6 3x1 x2 2 x3 3x5 x6 100 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0.
• e.模型的求解 • lingo的简单介绍 • 在lingo中建立优化模型。都是由MODEL语句开 头，由END语句结束，编程分三步，第一步定义 集合，第二步列出数据，第三步利用函数写出约 束条件及目标函数。 • 本题的程序如下
• MODEL: • sets: ! 开始定义集合 • num_i/1,2,3/:b; ! 约束条件等式右边的三个值组 成的3维数组 • num_j/1..6/:x,c; ! xi的系数组成的6维数组 • link（num_i,num_j）:a; ! 约束条件中的系数矩阵 • endsets ! 集合定义完毕 • data: !开始写入数据 • b=100,100,100; • c=0,0.1,0.2,0.3,0.8,0.9;
• e.模型的分析 • 因为问题假设总产量等于总销量，所以该问题是 一个标准的产销平衡问题的运输问题，即由生产 地Ai运往 各销售地的产品总量应该等于Ai的生产 量，同时由各生产地运往销售地Bj的产品总量应 该等于Bj的需求量。 • 设xij表示从生产地Ai运往销售地Bj的数量，总运 费为z。

第五讲 二元函数最优化问题§5.1 问题的引入一、 引例【引例】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？分析：此题讨论利润最大，属最优化问题，先建立函数关系——因变量为企业利润π由于C R -=π而成本为)33(01.03240022y xy x y x C +++++=——二元函数y x R 910+=——二元函数故C R -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+=40003.001.003.06822----+=y xy x y x ——二元函数故此问题为二元函数求最值问题二、 复习一元函数最值求法一元实际应用问题最值求法（步骤） 1、 建立函数关系式 2、 求最值(1) 求定义域 (2) 求一阶导 (3) 找所有可能极值点① 使一阶导＝0的点——驻点 ② 使一阶导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一 (4) 将惟一可能极值点转化为最值点因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点3、 答题显然，一元函数的最值与极值有关，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，而可能极值点与一阶导有关二元函数与一元函数相类似，在二元函数中，若实际问题存在最值，则惟一可能极值点定是最值点，故二元实际问题应用，也将惟一可能极值点转化为最值点的一元函数可能极值点与一阶导有关，二元函数与一元函数相类似，只不过在一元函数中，为导数，而在二元函数中，不称为导数，而称为偏导数故二元函数极值的寻找也与一阶偏导数有关，判断仍与二阶偏导数有关故为了解最值，需先了解偏导数的概念及计算，以及如何根据偏导数寻找极值、判断极值§5.2 二元函数的偏导数一、二元函数一阶偏导数 (一) 复习一元函数一阶导数定义一元函数)(x f y =在点0x 处的导数定义为：xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00000其中：x ∆表示自变量x 在0x 处的改变量y ∆表示当自变量x 在0x 处有改变量x ∆时，函数相应改变量于是导数定义为：函数改变量比自变量改变量，当自变量改变量趋于0时的极限简称为：差商极限(二) 二元函数一阶偏导概念 1、二元函数改变量概念二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处的改变量分为两类——全改变量、偏改变量x 和y 都发生改变——),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆x 改变量；②偏y 改变量①偏x 改变量——仅x 发生改变（y 不变）——),(),(0000y x f y x x f z x -∆+=∆ ②偏y 改变量——仅y 发生改变（x 不变）——),(),(0000y x f y y x f z y -∆+=∆ 二元函数的导数，用的是偏改变量，因而称为偏导数 2、二元函数在一点处的偏导数值定义函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数表示为：),(00y x f x 或),(00y x x z∂∂，其定义如下：xy x f y x x f x z y x f x x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(lim lim),(00000000函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数表示为：),(00y x f y 或),(00y x yz∂∂，其定义如下：yy x f y y x f yz y x f y y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆),(),(limlim),(0000000一点处的偏导数),(00y x f x 、),(00y x f y 结果为——数值3、二元函数一阶偏导函数概念函数),(y x f z =在区域D 内每点对x 的偏导数都存在，则称函数在区域D 内对x 可偏导，于是对于区域D 内每一个点),(y x ，都有惟一确定的对x 的偏导函数值相对应，于是在D 内定义了一个新函数，以),(y x 为自变量，而对x 的偏导数值为因变量，称为函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f x 或xz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数． 同理有函数),(y x f z =在区域D 内的对x 的偏导函数，记作：),(y x f y 或yz∂∂，其结果仍为y x ,的二元函数．4、一点处偏导数与导函数间关系),(0000)),((),(y xx x y x f y x f =， ),(0000)),((),(y x y y y x f y x f =(三) 二元函数一阶偏导的求法 1、 思想——转化为一元函数求导 2、 具体操作方法按照偏导数定义xy x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅x 变，y 不变，故y 暂时看成常数，形成一元函数yy x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000——仅y 变，x 不变，故x 暂时看成常数，形成一元函数故二元函数求偏导的方法——转化为一元函数求导问题——对x 求偏导，将x 看成变量，y 暂时看成常数 ——对y 求偏导，将y 看成变量，y 暂时看成常数 ——对谁求偏导，将谁看成变量，另一变量暂时看成常数【例1】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】 2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 【例2】已知厂商的生产函数为二元函数32316),(K L K L f y ==，其中L 表示劳动投入量，K 表示资本投入量，求L y ∂∂和Ky ∂∂． 解：3232323231322316)(6--=⋅='=∂∂L K L K L K L y L 【L 变量，K 常数】3131313132314326)(6--=⋅='=∂∂K L K L K L K y K 【K 变量，L 常数】 【例3】已知函数xye z =，求)2,1(xf 和)2,1(y f ． 解：xy xy x xy ye y e xy e xz=⋅='⋅=∂∂)(【x 变量，y 常数】 xy xy y xy xe x e xy e yz=⋅='⋅=∂∂)(【y 变量，x 常数】 )2,1(x f 2212e ye y x xy==== )2,1(y f 221e xe y x xy====二、二元函数的二阶偏导（数）二元函数的二阶偏导共有四个 1、符号及含义x x xxxx z x zx y x f z x z )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏x 偏x ；先偏x 再偏x y x xy xy z x zy y x f z y x z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏x 偏y ；先偏x 后偏y x y yx yx z yzx y x f z x y z )()(),(2=∂∂∂∂===∂∂∂ 偏y 偏x ；先偏y 后偏x y y yy yy z y zy y x f z yz )()(),(22=∂∂∂∂===∂∂ 偏y 偏y ；先偏y 再偏y 其中y x z ∂∂∂2和xy z∂∂∂2称为二阶混合偏导2、求二阶偏导的方法(1) 先求一阶偏导；(2) 再对二阶偏导，即对一阶偏导结果再求一次偏导 【例4】已知函数52332-+-+=y xy y x z ，求各二阶偏导． 解：y x y x xz3200302-=-+-+=∂∂【x 变量，y 常数】2330233022+-=-+-+=∂∂x y x y yz【y 变量，x 常数】 2)32(22=-=∂∂x y x xz【x 变量，y 常数】 3)32(2-=-=∂∂∂y y x yx z【y 变量，x 常数】 3)233(22-=+-=∂∂∂x x y xy z【x 变量，y 常数】 y x y yz y 6)233(222=+-=∂∂【y 变量，x 常数】 此题中，两个混合偏导相等一般，只要两个混合偏导连续，则一定相等由于幂函数在定义域内一定连续，而幂函数的导数仍为幂函数，故幂函数的两个混合偏导一定相等故今后幂函数不需分别求两个混合偏导，只需求一个即可【例5】已知函数2234x y e z -=，求各二阶偏导．解：222222343422346)6()34(x yx yx x yx xe x e x y e z ----=-⋅=-⋅=【x 变量，y 常数】222222343422348)8()34(x yx yy x yy ye y e x y e z ---=⋅=-⋅=【y 变量，x 常数】x x yx yx x x yxx e x e x xe z ))(6()6()6(222222343434----+-=-= x x yx y x y xe e )34(662234342222-⋅--=--)6(6622223434x xe e x yx y---=--)16(623422-=-x e x y【x 变量，y 常数】y xe x y xe e x xe z x yy x yy x yy x yxy 86)34(6)(6)6(222222223422343434⋅-=--=-=-=----223448x yxye --=【y 变量，x 常数】)6(8)(8)8(222222343434x ye e y ye z x yx x yx x y yx -===---223448x y xye --=【x 变量，y 常数】y x yx yy x yx yy y x yyy x y ye e e y e y ye z )34(88)(8)8()8(2234343434342222222222-+=+==-----)81(88882343434222222y e y ye e x yx yx y+=+=---【y 变量，x 常数】§5.3 二元函数的极值一、 二元函数极值的概念设二元函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有定义，对于该邻域内任何异于),(00y x 的点),(y x (),(y x ),(00y x ≠)① 若恒有),(),(00y x f y x f >，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极大值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极大值点② 若恒有),(),(00y x f y x f <，则称),(00y x f 为函数),(y x f z =的极小值并称),(00y x 为函数),(y x f z =的极小值点注意：二元函数极值仍为局部概念 二、 二元函数极值的求法 1、 二元函数的驻点使⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z的点),(00y x 称为驻点2、 极值存在必要条件定理：若二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极值，则),(00y x 为驻点，或在点),(00y x 处偏导不存在【注意】与一元函数相同，二元函数的驻点只是可能的极值点，是否为真正极值点，必须根据极值存在充分条件做进一步判定3、 极值存在充分条件使用条件——),(00y x 为驻点 使用方法——根据AC B -2的符号其中：),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy = ➢ 若02>-AC B ，则),(00y x 不是极值点 ➢ 若02<-AC B ，则),(00y x 是极值点，且① 若0>A ，则),(00y x 是极小值点 ② 若0<A ，则),(00y x 是极大值点➢ 若02=-AC B ，则),(00y x 是否为极值点不定 4、 二元函数求极值的步骤(1) 求两个一阶偏导x z ∂∂和yz ∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz x z，得驻点),(00y x找使一阶偏导不存在点（一般无，∵若一阶偏导不存在，则二阶更不存在，无法用二阶判断了） (3) 求二阶偏导函数：),(y x f xx ，),(y x f xy ，),(y x f yy(4) 将驻点),(00y x 代入二阶偏导函数求值，得),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =(5) 用充分条件(02>-AC B 还是0<)判断驻点是极小值点还是极大值点当有多个驻点时，重复(4)和(5) (6) 写出结论【例1】求函数124),(223+---=y xy x x y x f 的极值解：(1)y x x x z 2832--=∂∂，y x yz 22--=∂∂ (2) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00yz xz，即⎩⎨⎧=--=--02202832y x y x x 得驻点)0,0(和)2,2(-无使一阶偏导不存在点(3) 86),(-=x y x f xx ，2),(-=y x f xy ，2),(-=y x f yy 在点)0,0(处：(4) 8)0,0(-==xx f A ，2)0,0(-==xy f B ，2)0,0(-==yy f C (5) ∵012)2()8()2(22<-=-⨯---=-AC B ，∴)0,0(为极值点又∵08<-=A ，∴)0,0(为极大值点，极大值为1)0,0(=f 在点)2,2(-处：(4) 4)2,2(=-=xx f A ，2)2,2(-=-=xy f B ，2)2,2(-=-=yy f C (5) ∵012)2(4)2(22>=-⨯--=-AC B ，∴)2,2(-不是极值点 (6) 函数有极大值1)0,0(=f ．【练习】求函数279),(33+-+=xy y x y x f 的极值．解：(1) y x y x f x 93),(2-=，x y y x f y 93),(2-=(2) 令⎩⎨⎧==0),(0),(y x f y x f y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-09309322x y y x ，得驻点)0,0(，)3,3(无使一阶偏导不存在点(3) x y x f xx 6),(=， 9),(-=y x f xy ， y y x f yy 6),(= 在点)0,0(处：(4) 0=A ，9-=B ，0=C(5) ∵0812>=-AC B ，∴)0,0(不是极值点 在点)3,3(处：(4) 18=A ，9-=B ，18=c(5) ∵02432<-=-AC B ，∴)3,3(是极值点又由于0>A ，∴)3,3()0,0(为极小值点 极小值为33(3,3)33933270f =+-⨯⨯+= (6) 函数有极小值0)3,3(=f ．§5.4 二元函数的最值及其应用一、二元函数最值概念若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f >，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最大值，),(00y x 称为最大值点若对于区域D 内的所有),(),(00y x y x ≠，都有),(),(00y x f y x f <，称),(00y x f 为二元函数),(y x f z =在区域D 内的最小值，),(00y x 称为最小值点最大值、最小值统称为极值，最大值点、最小值点统称为极值点二、实际问题求最值方法1、实际问题通常二元函数有惟一极值，则该惟一极值必为最值2、若实际问题存在最大（小）值，则惟一驻点定为最大（小）值点． 三、二元函数最值应用步骤 1、建立函数关系式 2、求极值(1) 求一阶偏导 (2) 找所有可能极值点① 找驻点② 使一阶偏导不存在的点 实际问题通常可能极值点惟一3、求最值因为实际问题存在最大（小）值 所以惟一可能极值点为最大（小）值点 4、答题四、经济学中二元函数最值应用举例【例1】某厂生产两种型号的钢笔，甲种每支售价为10元，乙种每支售价为9元，而生产甲种笔x 支，乙种笔y 支的总费用为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++=元，问两种笔的产量各为多少时，企业利润最大？解：1、建立函数关系——两种产品产量x 和y 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为y x y x R 910),(+=总成本函数为)33(01.032400),(22y xy x y x y x C +++++= 利润函数),(),(),(y x C y x R y x -=π)]33(01.032400[91022y xy x y x y x +++++-+= 40003.001.003.06822----+=y xy x y x2、求极值 (1)y x x 01.006.08--=π，y x y 06.001.06--=π(2) 令⎩⎨⎧==00yx ππ，即⎩⎨⎧=--=--006.001.06001.006.08y x y x ，得惟一驻点)80,120(无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点)80,120(为最大值点4、答：甲种型号钢笔生产120支，乙种型号钢笔生产80支，可使企业利润最大．【例2】某商店销售A 、B 两种产品，A 产品的成本为2元／个，B 产品的成本是3元／个．A 产品的需求量为x ，价格为p ，B 产品的需求量为y ，价格为q ．两种产品的价格-需求方程分别为：q p x 254075+-=，q p y 302080-+=商店为得到最大利润，应如何对A 、B 两种产品定价？商店最大利润为多少？A 、B 两种产品的需求量各为多少？解：1、建立函数关系——两种产品价格p 和q 为自变量，企业利润π为因变量收益函数为qy px q p R +=),()302080()254075(q p q q p p -+++-= 总成本函数为y x q p C 32),(+=)302080(3)254075(2q p q p -+++-= 利润函数),(),(),(q p C q p R q p -=π)302080)(3()254075)(2(q p q q p p -+-++--=3903040451209522---++=q p pq q p2、求极值 (1)p q p 804595-+=π，q p q 6045120-+=π(2) 令⎪⎩⎪⎨⎧==00qp ππ，即⎩⎨⎧=-+=-+060451200804595q p p q ，得惟一驻点4=p ，5=q无使一阶偏导不存在点3、求最大值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点4=p ，5=q 为最大值点此时A 产品需求量为：40=x ，B 种产品需求量为：10=y 商店最大利润为100)5,4(=π4、答：A 产品的销售价格为4元、B 产品销售价格为5元时，商店利润最大，最大利润为100元，此时A 产品需求量为40个，B 产品需求量为为10个．§5.5 二元函数条件极值 ——拉格朗日乘数法一、 问题的引入【引例】若某产品的产出函数为4.06.010),(y x y x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？该题目求函数4.06.010),(y x y x N =的最大值 已知变量x 和y 满足条件3000006030=+y x称问题为函数4.06.010),(y x y x N =在条件3000006030=+y x 下的极值——条件极值 二、 解决条件极值的方法——两种(1) 将条件代入函数，使函数减少一个变量，按极值方法计算 (2) 拉格朗日乘数法 三、 条件极值的拉格朗日乘数法以二元函数为例．求函数),(y x f z =在条件0),(=y x g 下的极值(1) 做拉格朗日函数),(),(),,(y x g y x f y x L λλ+=——三元函数(2) 求),,(λy x L 的驻点：即满足⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x g y x L y x g y x f y x L y x g y x f y x L y y y x x x λλλλλλ的),(00y x(3) 由实际意义确定是极值【例1】若某产品的产出函数为4.06.010),(y xy x N =，x 为人工数量，y 为资金数量．如果每个人工的费用30美元，每个单位资金的费用为60美元．如果总预算为300000美元，求：如何分配这个总预算，可以获得最大的生产率？ 解：(1) 明确问题：极大值：4.06.010),(y xy x N =约束条件：03000006030),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数：)3000006030(10),(),(),,(4.06.0-++=+=y x y x y x g y x N y x L λλλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=--03000006030060403066.06.04.04.0y x F y x F y x F y x λλλ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--6.06.04.04.015151y x y x λλ ∴6.06.04.04.015151---=-y x y x 则：y x 3=6000=x ，2000=y(4) 因为6000=x ，2000=y 为惟一驻点，故6000=x ，2000=y 为最大值点(5) 最大产出为4.38658)2000,6000(=N 【例2】某消费者购买甲、乙两种商品的价格为2=x p 和5=y p ，消费者用40个单位的费用购买这两种商品，又知当购买量分别为x 和y 时，消费者的效用函数2131),(y x y x =μ，问消费者如何购买，可以得到最大效用？最大效用为多少？ 解：(1) 明确问题：极大值：2131),(y x y x =μ约束条件：04052),(=-+=y x y x g(2) 构造拉格朗日函数函数：)4052(),,(2131-++=y x y x x x L λλ(3) 解一阶偏导数组成的方程组，求驻点⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+==+=--04052052102312131213221y x F y x F y x F Q Q λλλ⇒8=x ，524=y ，1201-=λ 因为实际问题存在最大值 所以惟一驻点8=x ，524=y 为最小值点 答：§5.6 最小二乘法Method of least squares一、问题的引入我们前面讨论了经济中常用函数，并且讨论了边际、弹性、最优化等问题．而这些问题讨论的前提是——已知一个函数关系式．如果没有这些关系，上述问题都将无法讨论．那么，这些函数关系是如何建立的呢？回归分析是经济分析中常用的一种方法，它是通过最小二乘法的原理将一组数据拟合为初等函数．引例：某种商品价格(x ：美元)与销售量(y ：件)间的数据如下表试确定销售量与价格间函数关系式．二、最小二乘法 (一) 画（散点）图(二) 根据散点图确定拟合图形形状（函数类型）——此题显然应拟合成直线可拟合为抛物线c bx ax y ++=2可拟合为指数函数bxae y =也可拟合为直线b ax y += 也可拟合为分段函数当不能确定拟合为何种类型函数更合适时，可拟合多个函数，然后比较哪个更好，更贴切 我们只将拟合为直线的方法，其他思想相同，请自学 拟合为直线（线性函数）的方法——线性回归(三) 拟合的最好标准为更能说明问题，采用下面图形1、图中各点依次称为),(11y x ，),(22y x ，……，),(n n y x2、设拟合的直线方程为b ax y +=，其中为待定系数要通过最小二乘法，找到最好的a 和b3、将1x 代入b ax y +=，得b ax y +=1，则),(),(111b ax x y x +=为拟合直线上的点实际点),(11y x 与拟合直线上的点),(11b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-1111)(，该误差可能正，也可能负实际点),(22y x 与拟合直线上的点),(22b ax x +间有一个误差——b ax y b ax y --=+-2222)(，该误差可能正，也可能负……实际点),(n n y x 与拟合直线上的点),(b ax x n n +间有一个误差——b ax y b ax y n n n n --=+-)(，该误差可能正，也可能负每个实际点与拟合直线上的点都有误差，且误差有正有负 4、所谓最好，最贴切指——误差最小5、但不能将这些误差直接相加，因为其中必然有正有负——直接相加将相互抵消——平方之和6、所有点误差平方之和为∑=--=--++--+--ni i i n n b ax y b ax y b ax y b ax y 12222211)()()()( ——使其最小7、将∑=--ni i ib ax y12)(中的a 和b 看成变量——二元函数，问题转化为：——求a 和b 的值——使∑=--=ni i ib ax yb a F 12)(),(最小——二元函数求最小值问题8、a ni i i a ni i ia b ax y b ax yb a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=-⋅--=ni i i i x b ax y 1)()(2∑=+-=ni i i i i bx y x ax 12)(2][21112∑∑∑===+-=n i i n i i i n i ibx y x ax ][21112∑∑∑===+-=ni i n i i i n i ix b y x x ab ni i i b n i i i b b ax y b ax y b a F ])[(])([),(1212∑∑==--=--=∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=-⋅--=n i i i b ax y 1)1()(2∑=+-=ni i i b y ax 1)(2][2111∑∑∑===+-=n i n i i n i i b y ax ][211nb y x a ni i n i i +-=∑∑==令 ⎩⎨⎧==0),(0),(b a F b a F b a则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-∑∑∑∑∑=====0][20][2111112nb y x a x b y x x a ni in i i ni i n i i i n i i即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====n i i n i i n i i i n i i n i i y nb x a y x x b x a 1111129、实际操作时，通常画表列出求a 和b 所需的参数：∑=ni ix 1，∑=ni iy 1，∑=ni ii y x 1，∑=ni ix12三、 用最小二乘法线性回归的步骤【例1】已知某种商品价格(x ：美元)与需求量(y ：件)间的数据如下表(1) 利用最小二乘法确定价格-需求关系的线性方程．(2) 如果每件产品的成本为3美元，欲取得最大利润的价格应该是多少？ 【解】(1) ① 设拟合的价格-需求关系的线性方程b ax y +=② 画表③ 计算a 和b8.16255.12756.12255.585)(22112111-=-⨯⨯-⨯=-⋅-=∑∑∑∑∑=====ni i n i i ni in i i n i i i x x n y x y x n a 92.10525)8.16(6.1211=⨯--=-=∑∑==nx a yb ni ini i④ 所求价格-需求关系为：92.1068.1+-=x y (2) ① 建立利润随价格变化函数关系)(x πx x x x xy x R 92.1068.1)92.1068.1()(2+-=+-==76.3204.5)92.1068.1(33)(+-=+-==x x y x C)76.3204.5(92.1068.1)()()(2+--+-=-=x x x x C x R x π76.3296.1568.12++-=x x② 求极值96.1536.3)(+-='x x π令0)(='x π，得惟一驻点75.4=x 无使)(x π'不存在点 ③ 求最值∵实际问题存在最大值∴惟一可能极值点75.4=x 为最大值点 ④ 答：价格为4.75美元时，利润最大。

1. 冰山融化规律
冰山初始半径R 航行t天时半径 冰山初始半径 0，航行 天时半径 R t = R 0 − ∑ rk
t
4π 3 冰山初始体积 V0 = 天时体积 R0 t天时体积 3
k =1
4π 3 Vt = Rt 3
选定u,V 选定 0, 航行 4 π 3 3V 0 V ( u ,V 0 , t ) = 4π − t天时冰山体积 t天时冰山体积 3 9600 400 = 总航行天数 T = 24 u u 到达目的地 时冰山体积
2c1r Q = rT = c2
实际 问题
建 立 模 型
目标函数 可求导） （可求导）
求导数
令导数 等于零
解 方 程
得到最 优解
二 冰山运输
背景
• 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的 波斯湾地区水资源贫乏， 成本为每立方米0.1英镑 英镑。 成本为每立方米 英镑。 • 专家建议从 专家建议从9600千米远的南极用拖船 千米远的南极用拖船 运送冰山， 运送冰山，取代淡化海水 • 从经济角度研究冰山运输的可行性。 从经济角度研究冰山运输的可行性。
106 10.5 13.5 16.5
107 12.6 16.2 19.8
q1 = c1 ( u + c 2 )(log 10 V + c 3 ), c1 = 0.3, c2 = 6, c3 = −1
选定u,V0, 航行第 天燃料消耗 q (英镑 天) 航行第t天燃料消耗 英镑 英镑/天 选定
q (u , V0 , t ) = 24 u ⋅ c1 (u + c2 )[log 10 V (u , V0 , t ) + c3 ] 4π = 7 .2u (u + 6 ) log 10 [ 3

用不大的控制能量，使系统状态X(t)保持在零值 附近——状态调节器问题。
7
线性二次型最优控制问题的几种特殊情况
若Yr(t)0，则 e(t) Yr (t) Y (t)
于是性能指标可写为
J

1 2
[Yr
(t
f
) Y (t f
)]T
S[Yr (t f
) Y (t f
)]
1 2
性能指标的物理意义
➢性能指标中的第一部分
1 2
eT
(t
f
)Se(t
f
)
称作终端代价，用它来限制终端误差e(tf) ，以保证
终端状态X(tf)具有适当的准确性。
➢性能指标中的第二部分
1 tf eT (t)Q(t)e(t)
2 t0
称作过程代价，用它来限制控制过程的误差e(t)，
以保证系统响应具有适当的快速性。 9
t
f
]
(t f ) P(t f )X (t f )
(t f ) SX (t f )
所以，
P(t f ) S
矩阵黎卡提(Riccati)微分方程 的边界条件
21
P(t)的3个重要性质:
由微分方程理论的存在与唯一性定理，可以证明P(t) 存在而且唯一。 对于任意的t[t0，tf]， P(t)均为对称阵，即P(t)＝PT(t)。
由(1)和(2)，得
[P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t)]X (t) 0 20
由于X(t)是任意的，所以有
P&(t) P(t)B(t)R1(t)BT (t)P(t) P(t) A(t) AT (t)P(t) Q(t) 0

qi
18
两阶段法的思路 第一阶段的任务是求解LP,将人工变量 尽快迭代出去，从而找到一个没有人工变 量的基可行解；

• 第二阶段以第一阶段得到的基可行解为 初始解，采用原单纯型法求解(LP)； • 若第一阶段结束时，人工变量仍在基变 量中，则原问题无解.
19
练习1 求解线性规划
min f ( x ) 10 x1 8 x2 7 x3 6 2 x1 x2 s .t . x1 x2 x3 4 x1 , x2 , x3 0
M是相当大的正数(可以理解为正无穷),对人工 变量起到惩罚的作用,逼迫辅助线性规划的最优 解中人工变量均为0.
5
考虑辅助规划中的目标函数
c x
j 1 j
n
n m j
M
j n1
x
j
定理：若辅助规划的最优解(x1,x2,· · · ,xn+m)中人 工变量不全为0(设xr≠0),则原规划无可行解. 如若不然,设原规划有可行解 x ( x1 , x2 , , xn ) 则 x ' ( x1 , , xn , 0, , 0)T 是辅助规划可行解.
T
6
大M方法算例
例5.5.1 用大M单纯 引入松弛变量x5,人工变量 形法求解线性规划 x6,x7,构造辅助线性规划 min f(x)=-3x1+x2+x3 min –3x1+x2+x3+Mx6+Mx7 s.t. x1-2x2+x3 ≤11 s.t. x1-2x2 +x3 +x5 =11 -4x1+x2+2x3-x4=3 –4x1+x2+2x3-x4 +x6 =3 -2x1 +x3 =1 –2x1 +x3 +x7=1 x1,x2,x3,x4≥0 x1, · · · ,x7≥0

解 设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2x)2 x
建立无约束优化模型为：min y =- (3 2x)2 x ， 0< x <1.5
先编写M文件fun0.m如下:
function f=fun0(x)
f=-(3-2*x).^2*x; 主程序为wliti2.m: [x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5); xmax=x fmax=-fval
MATLAB(wliti2)
运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边 长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.
2.多元函数无约束优化问题
标准型为：min F(X )
命令格式为: （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；
其中等式（3）、（4）、（5）的右边可选用（1）或（2） 的等式右边. 它要求目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解.
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
术等领域。
• 在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分 析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量
一下是否达到了最优。 （比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会 经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件 下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。

总收益可表示为：R 10x1 5x2 受一级黄豆数量限制：0.3x1 0.4x2 9 受二级黄豆数量限制：0.5x1 0.2x2 8
第25页
综上分析，得到该问题线性规划模型
max R 10x1 5x2
0.3x1 0.4x2 9
s.t.
0.5x1 0.2x2 8
x1, x2 0
ans = 175
ans = 10 15
第28页
线性规划
设某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间，生产 A、B、C、D、E、F六种产品。依据机床性能 和以前生产情况，得知每单位产品所需车间工作 小时数、每个车间在一个季度工作小时上限以及 单位产品利润，下列表所表示(比如，生产一个单
位A产品，需要甲、乙、丙三个车间分别工作1小时、2
其中档式（3）、（4）、（5）右边可选取（1）或（2）等 式右边.
函数fminbnd算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求目 的函数必须是连续函数，并也许只给出局部最优解.
第10页
MATLAB(wliti1)
例 1 求 x = 2ex sin x 在 0< x <8 中的最小值与最大值.
主程序为wliti1.m: f='2*exp(-x).*sin(x)'; fplot(f,[0,8]); %作图语句 [xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)
最优化模型
一、最优化办法概述 二、无约束最优化问题 三、无约束最优化问题 MATLAB求解 四、有约束最优化问题
第1页
最优化办法概述
1、最优化理论和办法是近二十多年来发展十分快 速一个数学分支。
2、在数学上，最优化是一个求极值办法。 3、最优化已经广泛渗入到工程、经济、电子技术