状态转移矩阵例题

第三章答案1. (6分)已知齐次状态方程Ax x=&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1t -Φ和系统矩阵A 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。

解： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 13e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。

()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭&解：11t tt Att tt t tt e te te e e t t tee te -------+⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ （4分）0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e τττττττττ------=Φ+Φ-⎡⎤⎡⎤+⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （4分）3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2tt 2t t 2tt 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。

解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。

求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

解：解法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(11； （4分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t ttte e te e te e d e e t e e tee x 212111)(00100τττττ。

状态转移概率矩阵计算摘要：1.状态转移概率矩阵的概念2.状态转移概率矩阵的计算方法3.状态转移概率矩阵的应用正文：一、状态转移概率矩阵的概念状态转移概率矩阵是在马尔可夫过程中，描述系统从某一状态转移到另一状态的概率分布的矩阵。

在马尔可夫过程中，系统的状态转移是随机的，且只与当前状态有关，与过去状态无关。

状态转移概率矩阵是一个方阵，行和列分别对应系统的所有可能状态。

矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到对应状态的概率。

二、状态转移概率矩阵的计算方法状态转移概率矩阵的计算方法有多种，以下介绍两种常用的方法：1.直接计算法对于具有n 个状态的马尔可夫过程，假设状态转移概率矩阵为P，那么P 的第i 行第j 列元素表示从状态i 转移到状态j 的概率，可以通过如下公式计算：P(i, j) = (观测到从状态i 转移到状态j 的次数+ 1) / (总的观测次数+ n)2.隐马尔可夫模型算法在实际应用中，通常使用隐马尔可夫模型（HMM）算法来估计状态转移概率矩阵。

该算法的基本思想是利用训练数据中的观测序列和状态序列，通过最小二乘法或其他优化算法来估计状态转移概率矩阵。

具体步骤如下：（1）初始化状态转移概率矩阵P 为任意值。

（2）根据训练数据中的观测序列和状态序列，计算观测概率矩阵O 和观测概率矩阵I。

（3）利用最小二乘法或其他优化算法，求解状态转移概率矩阵P，使得观测概率矩阵O 和观测概率矩阵I 的乘积等于观测序列的概率分布。

（4）不断迭代，直到状态转移概率矩阵P 收敛。

三、状态转移概率矩阵的应用状态转移概率矩阵在实际应用中有广泛的应用，例如：1.在马尔可夫过程中，用于描述系统的状态转移规律，预测未来状态的概率分布。

2.在隐马尔可夫模型中，用于估计状态转移概率，从而推测隐藏状态序列。

状态转移问题本节介绍两种状态转移问题，解决这种问题的方法,有状态转移法，图解法及用图的邻接距阵等。

1 人、狗、鸡、米问题人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如和过河？分析：假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到河的北岸，由题意，在过河的过程中，两岸的状态要满足一定条件，所以该问题为有条件的状态转移问题。

1. 允许状态集合我们用(w, x, y, z)，w, x, y, z=0或1，表示南岸的状态，例如(1，1，1，1)表示它们都在南岸，(0，1，1，0)表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；很显然有些状态是允许的，有些状态是不允许的，用穷举法可列出全部10个允许状态向量，(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)我们将上述10个可取状态向量组成的集合记为S ，称S 为允许状态集合2、状态转移方程对于一次过河，可以看成一次状态转移，我们用向量来表示决策，例(1,0,0,1)表示人，米过河。

令D 为允许决策集合， D={ (1, x, y, z) : x+y+z=0 或 1}另外，我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，k k k k d S S )1(1−+=+ (2.1)),,,(k k k k k z y x w S =表示第k 次状态，D d k ∈ 为决策向量.图2-1 2. 人、狗、鸡、米过河问题，即要找到D d d d m ∈−121,,,"S S S S m ∈,,,10")0,0,0,0(0=S)1,1,1,1(=m S 且满足(2.1)式。

下面用状态转移图求解将10个允许状态用10个点表示，并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态，则这两个允许状态间存在连线，而构成一个图, 如图2—1 , 在其中寻找一条从(1,1,1,1)到(0,0,0, 0)的路径，这样的路径就是一个解, 可得下述路径图由图，有两个解都是经过7次运算完成，均为最优解2 商人过河问题三名商人各带一个随从乘船渡河，现有一只小船只能容纳两个人，由他们自己划行，若在河的任一岸的随从人数多于商人，他们就可能抢劫财物。

第三章习题参考答案1．画出以1)(246+++=x x x x f 为联接多项式的线性移位寄存器逻辑框图，及其对应的状态图。

解：由1)(246+++=x x x x f ，得反馈函数为531621),,,(x x x x x x f ++= ，故 （1）逻辑框图：（2）状态图：状态圈-1： 状态圈-2：状态圈-3： 状态圈-4：状态圈-5： 状态圈-6：状态圈-7： 状态圈-8：状态圈-9： 状态圈-10：状态圈-11： 状态圈-12：2．已知图3-2所示的7级线性反馈移位寄存器：图3-2（1）绘出该移位寄存器的线性递推式，联接多项式及特征多项式。

（2）给出状态转移矩阵。

（3）设初态为（1 1 1 1 1 1 1），给出输出序列a 。

解：(1)由逻辑框图得，递推式为：k k k k a a a a ++=+++357 ()0≥k 。

联接多项式为：7421)(x x x x f +++=。

特征多项式为：7531)(~x x x x f +++=（2）状态转移矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0100000101000000010001000100000001000000011000000。

（3）输出序列：)111111111( =-a 。

3．设5级线性反馈移位寄存器的联接多项式为1)(25++=x x x f ，初态为（10101）。

求输出序列a 。

解：由联接多项式得，反馈函数为：41521),,,(x x x x x f += 。

故以)10101(为初态的状态转移图为：1010101010001010001000001100000100000100100100100110100110100110100110100111100111100111101111101111001110001110001110000110010110110111110101110101110101110101→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ 由此可得，输出序列为：=a一个周期0110100100000011111001010111011…。

基本解阵和状态转移矩阵一、基本解阵基本解阵是指对于一个线性方程组，通过矩阵运算得到的一组基础解向量的矩阵表示。

在解决线性方程组问题时，基本解阵是非常重要的工具。

我们来看一个例子，假设有一个线性方程组：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中aᵢⱼ表示矩阵A的元素，bᵢ表示矩阵B的元素。

我们可以将其转化为矩阵形式：AX = B其中X为未知数向量，A为系数矩阵，B为常数向量。

为了求解方程组的解，我们需要求出基础解向量。

基本解阵的求解方法有很多，其中一种常用的方法是高斯消元法。

通过将增广矩阵进行一系列行变换，使得矩阵A变为行阶梯形矩阵，然后根据行阶梯形矩阵的特点，可以得到基础解向量。

二、状态转移矩阵状态转移矩阵是指在马尔可夫链模型中，描述状态之间转移概率的矩阵。

马尔可夫链是一种随机过程，在任意时刻，其未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s₁, s₂, ..., sₙ}，转移概率矩阵为P，其中P[i,j]表示从状态sᵢ转移到状态sₙ的概率。

状态转移矩阵的作用是描述了马尔可夫链在任意时刻的状态转移情况。

通过状态转移矩阵，我们可以计算出在给定初始状态下，马尔可夫链在未来的状态分布情况。

状态转移矩阵的求解方法有很多，其中一种常用的方法是通过统计实际观测到的状态转移序列，估计转移概率。

通过最大似然估计或贝叶斯估计等方法，可以得到状态转移矩阵的估计值。

总结：基本解阵和状态转移矩阵都是在不同领域中应用的重要概念。

基本解阵用于求解线性方程组的解，而状态转移矩阵用于描述马尔可夫链在不同状态之间转移的概率。

它们在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。

通过对基本解阵和状态转移矩阵的理解和运用，我们可以更好地解决相关问题，并推动相关领域的发展。